Manual Estadistica i Version3

7/31/2019 Manual Estadistica i Version3

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INTRODUCCION.

El presente documento de trabajo, tiene como propsito principal apoyar a la imparticin de la

asignatura de Estadstica Descriptiva para los alumnos de 5 Y 6 semestre del bachillerato

tecnolgico. Los autores, profesores pertenecientes a la Academia de Matemticas, preocupados

por elevar la calidad de nuestras clases y considerando los obstculos cognoscitivos de nuestros

estudiantes, hemos diseado el presente Manual para superar dichos obstculos y tratar deasegurar que los educandos logren un nivel aceptable de aprendizaje de la materia en cuestin.

El material est organizado de tal manera que sea lo ms prctico para el alumno, con un mnimo

de teora, para que el acceso a su aprendizaje sea de manera sencilla, pero al mismo tiempo se

complemente con la experiencia docente y no tan solo que el alumno lo intente resolver; no es

una gua de autoestudio, debe ser apoyado con otras tareas o actividades que el profesor

instrumente en clase.

COMPETENCIAS MATEMTICAS A DESARROLLAR.

Genricas.

Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante lautilizacin de medios, cdigos y herramientas apropiadas.

Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingsticas, matemticas ogrficas.

Maneja las tecnologas de la informacin y la comunicacin para obtener informaciny expresar sus ideas.

Disciplinares Extendidas. Argumenta la solucin obtenida de un problema con mtodos numricos, grficos,analticos o variacionales, mediante lenguaje verbal, matemtico y el uso de las

tecnologas de la informacin y la comunicacin.

Interpreta, tablas, graficas, mapas, diagramas y textos con smbolos matemticos ycientficos.

Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso fenmeno,y argumenta su pertinencia.


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TEMARIO.

I. ORGANIZACIN DE LOS DATOS PARA UN MAYOR SIGNIFICADO.

1. Breve Resea Histrica dela Estadstica.2. Tablas de Distribucin de Frecuencias.3. Grficas de la Distribucin de Frecuencias.

II. MEDIDAS DE CENTRALIZACIN DE LA DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS.

1. Media.2. Mediana.3. Moda.4. Media Geomtrica5. Media Armnica

III. MEDICIN DE LA VARIABILIDAD EN LAS DISTRIBUCINES DE FRECUENCIAS.

1. Medidas de Dispersin.Rango

Desviacin Media

Desviacin Tpica

Varianza


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I. ORGANIZACIN DE LOS DATOS PARA UN MAYOR SIGNIFICADO.

1. Breve Resea Histrica de la Estadstica.

Actividad N 1Formar equipos de tres integrantes cada uno para leer la historia de la Estadstica y alfinalizar la lectura elaboren un crucigrama que den respuestas en 10 horizontales y 10

verticales.

HISTORIA DE LA ESTADISTICA

Los comienzos de la estadstica pueden ser hallados en el antiguo Egipto, cuyos faraoneslograron recopilar, hacia el ao 3050 antes de Cristo, prolijos datos relativos a lapoblacin y la riqueza del pas. De acuerdo al historiador griego Herodoto, dicho registrode riqueza y poblacin se hizo con el objetivo de preparar la construccin de laspirmides. En el mismo Egipto, Ramss II hizo un censo de las tierras con el objeto deverificar un nuevo reparto.

En el antiguo Israel la Biblia da referencias, en el libro de los Nmeros, de los datosestadsticos obtenidos en dos recuentos de la poblacin hebrea. El rey David por otraparte, orden a Joab, general del ejrcito hacer un censo de Israel con la finalidad deconocer el nmero de la poblacin.Tambin los chinos efectuaron censos hace ms de cuarenta siglos. Los griegos efectuaroncensos peridicamente con fines tributarios, sociales (divisin de tierras) y militares(clculo de recursos y hombres disponibles). La investigacin histrica revela que serealizaron 69 censos para calcular los impuestos, determinar los derechos de voto yponderar la potencia guerrera.Pero fueron los romanos, maestros de la organizacin poltica, quienes mejor supieronemplear los recursos de la estadstica. Cada cinco aos realizaban un censo de la

poblacin y sus funcionarios pblicos tenan la obligacin de anotar nacimientos,defunciones y matrimonios, sin olvidar los recuentos peridicos del ganado y de lasriquezas contenidas en las tierras conquistadas. Para el nacimiento de Cristo suceda unode estos empadronamientos de la poblacin bajo la autoridad del imperio.Durante los mil aos siguientes a la cada del Imperio Romano se realizaron muy pocasoperaciones Estadsticas, con la notable excepcin de las relaciones de tierraspertenecientes a la Iglesia, compiladas por Pipino el Breve en el 758 y por Carlomagno enel 762 DC. Durante el siglo IX se realizaron en Francia algunos censos parciales de siervos.En Inglaterra, Guillermo el Conquistador recopil el Domesday Book o libro del GranCatastro para el ao 1086, un documento de la propiedad, extensin y valor de las tierras

de Inglaterra. Esa obra fue el primer compendio estadstico de Inglaterra.Aunque Carlomagno, en Francia; y Guillermo el Conquistador, en Inglaterra, trataron derevivir la tcnica romana, los mtodos estadsticos permanecieron casi olvidados durantela Edad Media.Durante los siglos XV, XVI, y XVII, hombres como Leonardo de Vinci, Nicols Coprnico,Galileo, Neper, William Harvey, Sir Francis Bacon y Ren Descartes, hicieron grandesoperaciones al mtodo cientfico, de tal forma que cuando se crearon los Estados


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Nacionales y surgi como fuerza el comercio internacional exista ya un mtodo capaz deaplicarse a los datos econmicos.Para el ao 1532 empezaron a registrarse en Inglaterra las defunciones debido al temorque Enrique VII tena por la peste. Ms o menos por la misma poca, en Francia la leyexigi a los clrigos registrar los bautismos, fallecimientos y matrimonios. Durante unbrote de peste que apareci a fines de la dcada de 1500, el gobierno ingls comenz a

publicar estadsticas semanales de los decesos. Esa costumbre continu muchos aos, yen 1632 estos Bills of Mortality (Cuentas de Mortalidad) contenan los nacimientos yfallecimientos por sexo. En 1662, el capitn John Graunt us documentos que abarcabantreinta aos y efectu predicciones sobre el nmero de personas que moriran de variasenfermedades y sobre las proporciones de nacimientos de varones y mujeres que cabraesperar. El trabajo de Graunt, condensado en su obra Natural and Political Observations...Made upon the Bills of Mortality (Observaciones Polticas y Naturales... Hechas a partir delas Cuentas de Mortalidad), fue un esfuerzo innovador en el anlisis estadstico.Por el ao 1540 el alemn Sebastin Muster realiz una compilacin estadstica de losrecursos nacionales, comprensiva de datos sobre organizacin poltica, instruccionessociales, comercio y podero militar. Durante el siglo XVII aport indicaciones msconcretas de mtodos de observacin y anlisis cuantitativo y ampli los campos de lainferencia y la teora Estadstica.Los eruditos del siglo XVII demostraron especial inters por la Estadstica Demogrficacomo resultado de la especulacin sobre si la poblacin aumentaba, decreca opermaneca esttica.En los tiempos modernos tales mtodos fueron resucitados por algunos reyes quenecesitaban conocer las riquezas monetarias y el potencial humano de sus respectivospases. El primer empleo de los datos estadsticos para fines ajenos a la poltica tuvo lugaren 1691 y estuvo a cargo de Gaspar Neumann, un profesor alemn que viva en Breslau.Este investigador se propuso destruir la antigua creencia popular de que en los aos

terminados en siete mora ms gente que en los restantes, y para lograrlo hurgpacientemente en los archivos parroquiales de la ciudad. Despus de revisar miles departidas de defuncin pudo demostrar que en tales aos no fallecan ms personas que enlos dems. Los procedimientos de Neumann fueron conocidos por el astrnomo inglsHalley, descubridor del cometa que lleva su nombre, quien los aplic al estudio de la vidahumana. Sus clculos sirvieron de base para las tablas de mortalidad que hoy utilizantodas las compaas de seguros.Durante el siglo XVII y principios del XVIII, matemticos como Bernoulli, Francis Maseres,Lagrange y Laplace desarrollaron la teora de probabilidades. No obstante durante ciertotiempo, la teora de las probabilidades limit su aplicacin a los juegos de azar y hasta el

siglo XVIII no comenz a aplicarse a los grandes problemas cientficos.Godofredo Achenwall, profesor de la Universidad de Gotinga, acu en 1760 la palabraestadstica, que extrajo del trmino italiano statista (estadista). Crea, y con sobradarazn, que los datos de la nueva ciencia seran el aliado ms eficaz del gobernanteconsciente. La raz remota de la palabra se halla, por otra parte, en el trmino latinostatus, que significa estado o situacin; Esta etimologa aumenta el valor intrnseco de lapalabra, por cuanto la estadstica revela el sentido cuantitativo de las ms variadassituaciones.


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Jacques Qutelect es quien aplica las Estadsticas a las ciencias sociales. Este interpret lateora de la probabilidad para su uso en las ciencias sociales y resolver la aplicacin delprincipio de promedios y de la variabilidad a los fenmenos sociales. Qutelect fue elprimero en realizar la aplicacin prctica de todo el mtodo Estadstico, entoncesconocido, a las diversas ramas de la ciencia.Entretanto, en el perodo del 1800 al 1820 se desarrollaron dos conceptos matemticos

fundamentales para la teora Estadstica; la teora de los errores de observacin, aportadapor Laplace y Gauss; y la teora de los mnimos cuadrados desarrollada por Laplace, Gaussy Legendre. A finales del siglo XIX, Sir Francis Gaston ide el mtodo conocido porCorrelacin, que tena por objeto medir la influencia relativa de los factores sobre lasvariables. De aqu parti el desarrollo del coeficiente de correlacin creado por KarlPearson y otros cultivadores de la ciencia biomtrica como J. Pease Norton, R. H. Hooker yG. Udny Yule, que efectuaron amplios estudios sobre la medida de las relaciones.Los progresos ms recientes en el campo de la Estadstica se refieren al ulterior desarrollodel clculo de probabilidades, particularmente en la rama denominada indeterminismo orelatividad, se ha demostrado que el determinismo fue reconocido en la Fsica comoresultado de las investigaciones atmicas y que este principio se juzga aplicable tanto a lasciencias sociales como a las fsicas.

La historia de la estadstica est resumida en tres grandes etapas o fases.Primera Fase: Los Censos.Desde el momento en que se constituye una autoridad poltica, la idea de inventariar deuna forma ms o menos regular la poblacin y las riquezas existentes en el territorio estligada a la conciencia de soberana y a los primeros esfuerzos administrativos.Manual de Estadstica P 6Segunda Fase: De la Descripcin de los Conjuntos a la Aritmtica Poltica.Las ideas mercantilistas extraan una intensificacin de este tipo de investigacin. Colbert

multiplica las encuestas sobre artculos manufacturados, el comercio y la poblacin: losintendentes del Reino envan a Pars sus memorias. Vauban, ms conocido por susfortificaciones o su Dime Royale, que es la primera propuesta de un impuesto sobre losingresos, se seala como el verdadero precursor de los sondeos. Ms tarde, Bufn sepreocupa de esos problemas antes de dedicarse a la historia natural.La escuela inglesa proporciona un nuevo progreso al superar la fase puramentedescriptiva. Sus tres principales representantes son Graunt, Petty y Halley. El penltimo esautor de la famosa Aritmtica Poltica.Chaptal, ministro del interior francs, publica en 1801 el primer censo general depoblacin, desarrolla los estudios industriales, de las producciones y los cambios,

hacindose sistemticos durante las dos terceras partes del siglo XIX.

Tercera Fase: Estadstica y Clculo de Probabilidades.El clculo de probabilidades se incorpora rpidamente como un instrumento de anlisisextremadamente poderoso para el estudio de los fenmenos econmicos y sociales y engeneral para el estudio de fenmenos cuyas causas son demasiados complejas para

conocerlos totalmente y hacer posible su anlisis.


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Definicin de EstadsticaLa Estadstica es la ciencia cuyo objetivo es reunir una informacin cuantitativaconcerniente a individuos, grupos, series de hechos, etc. y deducir de ello gracias al anlisis

de estos datos unos significados precisos o unas previsiones para el futuro.

La estadstica, en general, es la ciencia que trata de la recopilacin, organizacinpresentacin, anlisis e interpretacin de datos numricos con e fin de realizar una toma

de decisin ms efectiva.La ms aceptada, sin embargo, es la de Minguez, que define la Estadstica como Laciencia que tiene por objeto aplicar las leyes de la cantidad a los hechos sociales paramedir su intensidad, deducir las leyes que los rigen y hacer su prediccin prxima.

Utilidad e ImportanciaLos mtodos estadsticos tradicionalmente se utilizan para propsitos descriptivos, paraorganizar y resumir datos numricos. La estadstica descriptiva, por ejemplo trata de latabulacin de datos, su presentacin en forma grfica o ilustrativa y el clculo de medidasdescriptivas.Ahora bien, las tcnicas estadsticas se aplican de manera amplia en mercadotecnia,contabilidad, control de calidad y en otras actividades; estudios de consumidores; anlisisde resultados en deportes; administradores de instituciones; en la educacin; organismospolticos; mdicos; y por otras personas que intervienen en la toma de decisiones.Manual de Estadstica PDivisin de la EstadsticaLa Estadstica para su mejor estudio se ha dividido en dos grandes ramas:Estadstica Descriptiva: consiste sobre todo en la presentacin de datos en forma de tablasy grficas. Esta comprende cualquier actividad relacionada con los datos y est diseadapara resumir o describir los mismos sin factores pertinentes adicionales; esto es, sinintentar inferir nada que vaya ms all de los datos, como tales.

Estadstica Inferencial: se deriva de muestras, de observaciones hechas slo acerca de unaparte de un conjunto numeroso de elementos y esto implica que su anlisis requiere degeneralizaciones que van ms all de los datos. Como consecuencia, la caracterstica msimportante del reciente crecimiento de la estadstica ha sido un cambio en el nfasis delos mtodos que describen a mtodos que sirven para hacer generalizaciones. LaEstadstica Inferencial investiga o analiza una poblacin partiendo de una muestratomada.

Mtodo EstadsticoEl conjunto de los mtodos que se utilizan para medir las caractersticas de la informacin,

para resumir los valores individuales, y para analizar los datos a fin de extraerles elmximo de informacin, es lo que se llama mtodos estadsticos. Los mtodos de anlisispara la informacin cuantitativa se pueden dividir en los siguientes seis pasos:1. Definicin del problema.2. Recopilacin de la informacin existente.3. Obtencin de informacin original.4. Clasificacin.5. Presentacin.


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Conceptos Fundamentales de la Estadstica.

Actividad No. 3

Formar equipos de tres integrantes cada uno y relacionar las siguientes columnas:

Poblacin Caractersticas

Transporte terrestre ( ) 1. Hablan dos idiomasAnimales del desierto ( ) 2. Viven en clima tropical, con flora y

fauna abundante

Transporte martimo ( ) 3. Visten ropa de terciopelo, se delineanlos ojos y se pintan las uas de negro

Alumnos polglotas ( ) 4. Se usan en ciudades y vas asfaltadas yrieles.

Indgenas mazahuas ( ) 5. Son muy sensibles y usan flecotapando los ojos

Jvenes Darketos ( ) 6. Su lengua se llama gnau.Alumnos bilinges ( ) 7. Hablan ms de tres idiomasAnimales de la selva ( ) 8. Viven principalmente al sur de

Michoacn y en el Estado de Hidalgo

Jvenes Emos ( ) 9. Habitan en zonas donde se escasea elagua y el clima es extremoso

Indgenas otomes ( ) 10. Se desplazan ros, lagos y mares.

Todos estos conjuntos o grupos se denominan en la Estadstica Poblacin que es:Conjunto de todos los individuos (personas, objetos, animales, etc.) que porten

informacin sobre el fenmeno que se estudia.

Si estudiamos el precio de la vivienda en una ciudad, la poblacin ser el total de lasviviendas de dicha ciudad.


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Actividad No. 4

Anota en la tabla siguiente cinco ejemplos de poblacin:

Poblacin Caractersticas

Actividad No. 5

Formar equipos de tres integrantes cada uno, y lean los siguientes enunciados paraidentificar cul es la poblacin? y escrbela sobre la raya

1. Un fabricante de medicamentos est interesado en la proporcin de personas quepadecen hipertensin (presin arterial elevada) cuya condicin pueda ser

controlada por un nuevo producto desarrollado por la empresa. Se condujo unestudio en el que participaron 5000 personas que padecen hipertensin, y seencontr que 80% de las personas pueden controlar su hipertensin con elmedicamento. Suponiendo que las 5000 personas son representativas del grupode hipertensin.Cul es la poblacin? _______________________________________

2. Una empresa fabrica una lmpara de gran intensidad, que se emplea en variosproductos, elctricos. Al tratar de aumentar la vida til de sus lmparas, losdiseadores del producto desarrollaron un nuevo filamento.

Cul es la poblacin? _________________________________________

3. La revista Fortune publica datos sobre la clasificacin de las 500 corporacionesindustriales estadounidenses ms grandes, en trminos de ventas y utilidades.

Cul es la poblacin? ________________________________________

4. Un tcnico de control de calidad selecciona piezas ensambladas de una lnea demontaje y registra la siguiente informacin sobre cada pieza:


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A: defectuosa o no defectuosaB: El nmero de identificacin del trabajador que ensambl la piezaC: el peso de la pieza


5. Elija diez estudiantes actualmente inscritos en su escuela y recolecte datos para lastres variables siguientes:X: nmero de cursos en los que est inscritoY: costo total de los libros de texto y el material para los curso.


LAS MUESTRAS DE UNA POBLACIN

La Estadstica como una disciplina de estudio, tiene como propsito fundamental elanlisis del comportamiento de poblaciones de diferente naturaleza y ambiente. Para elloes importante conocer que algunas poblaciones son muy grandes en nmero deelementos, o son infinitas, o tambin se encuentran muy dispersas para su comprensin;esto trae como consecuencia que cuando se inicia un estudio de este tipo, las limitacionesse centran en la disponibilidad de recursos y tiempo para su realizacin. De ah que sedeben considerar otras estrategias ms viables en recursos y tiempo, pero que al mismotiempo sean bastante representativas de cualquier poblacin. Veamos un ejemplo:

Se pretende estudiar aquellas familias mexicanas que consuman al menos dos a la semanacarne de pescado.

Para determinar el nmero de familias mexicanas con las caractersticasanteriores, se necesitara un censo completo en todo el pas, lo que implicaemplear bastantes encuestadores, capturistas de datos, analistas de lainformacin, equipo de cmputo, impresoras, etc.

El tiempo del censo y su procesamiento dependera de los recursos disponibles. Algunas regiones del pas son inaccesibles, dadas sus condiciones de caminos o

medios de comunicacin, lo que absorbera ms tiempo y recursos monetarios.Es por ello que se recurre a la seleccin de grupos de familias que puedan estudiarse y quepuedan apoyar a un estudio vlido, en lugar de la totalidad. Si queremos representar unapoblacin y la muestra de manera grfica, podemos recurrir a los denominados Diagramasde Venn, como sigue:


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En nuestro estudio, los elementos se identifican as:

Totalidad de las familias mexicanas que consumen al menos dos das a la semana

carne de pescado

B = Nmero pequeo de familias mexicanas que consumen al menos dos das a la semana

carne de pescado.

El primer conjunto (totalidad), la Estadstica lo denomina Poblacin; mientras que al

conjunto ms pequeo se le llama Muestra. Pero qu es una muestra y qu

caractersticas debe tener?

Una Muestra es el subconjunto representativo de la poblacin o colectivo que se

investiga.

Ejemplos:

Poblacin Muestra

Tipo de Sangre de las personas. Raciones de 10 ml de sangre por persona y

definir su tipo.

Estudiantes que hablan dos idiomas del

medio superior en el Estado de Mxico.

Grupo seleccionado al azar de no ms de

100 personas que hablan dos idiomas en el

Estado de Mxico.

Grupo de personas mayores de 60 aos Conjunto de personas mayores de 60 aos

que habitan en las ciudades ms grandes

del pas.Alumnos del sistema educativo nacional

con promedios mayores de 9.

Seleccin de un alumno por nivel escolar

con un promedio mayor de 9 en cada

Estado de la Repblica Mexicana.

Animales en Mxico en peligro de extincin Animales en peligro de extincin de los

estados con mayor ndice de fauna

BAA

A

B


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Actividad N 6

A continuacin en una hoja cuadriculada de cuaderno, ilumina cada cuadro segn losresultados que da el lanzamiento de una moneda: si es guila, el cuadro ser rojo; si elresultado es sol, el color es amarillo. Delimita el rea a iluminar de la hoja a un cuadrogrande de 7 x 7 cuadritos.

Al terminar de iluminar la hoja, observa la distribucin de los cuadros y haz lo siguiente: Trata de distinguir pequeos grupos por color, encerrndolos en un cuadro con

tinta.

Busca pequeos grupos de cuadros donde se alternen de manera homognea losdos colores usados, y encirralos en un crculo con tinta.

Si sabemos que las caractersticas de las muestras para un anlisis estadstico son:1. Poseer las mismas caractersticas de la poblacin de donde se generen.2. Ser representativas de la poblacin, con un mximo de confiabilidad.3. Con base en los principios de probabilidad y teora de agrupamientos, poseer el

tamao adecuado para producir enunciados vlidos para generalizarlos en toda laPoblacin.

4. Establecer criterios para especificar la muestra y su tamao. (Tiempo, espacio,cantidad, etc.) Los criterios se determinan segn lo que se est analizando.

Fig. N 1

Tiempo

Zona

Cantidad


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Cul sera una muestra adecuada para representar a la Poblacin de Cuadros iluminadosde dos colores diferentes, segn las caractersticas sealadas de una muestra?__________________________________________________________________

_________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Qu relacin existe entre el azar y los cuadros seleccionados para formar la muestra ennuestro experimento?_________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Compara las muestras de tus compaeros y escribe las diferencias con la tuya.

MIA COMPAEROS


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Para finalizar la actividad, escribe en una tabla de doble entrada, cinco poblaciones, loscriterios para definir la muestra y enuncia las caractersticas de la muestra.

POBLACIN CRITERIOS A CONSIDERAR MUESTRA

Notas Tericas:

El muestro, como ya se mencion, implica algo de incertidumbre que debe ser aceptada para poder realizar

el trabajo, pues aparte de que estudiar una poblacin resulta ser un trabajo en ocasiones demasiado grande,

Wonnacott y Wonnacottofrecen las siguientes razones extras:

Recursos limitados. Es decir, no existen los recursos humanos, materiales o econmicos pararealizar el estudio sobre el total de la poblacin. Es como cuando se compra un aparato, un

automvil usado (por ejemplo), que se prueba unos minutos (el encendido, una carrerita, etc.) paraver si funciona correctamente y luego se adquiere, pero no se espera a probarlo toda la vida

(encendindolo y apagndolo o, simplemente, dejndolo encendida) antes de realizar la adquisicin.

Escasez. Es el caso en que se dispone de una sola muestra. Por ejemplo, para el estudiopaleontolgico de los dinosaurios (el T. Rex por ejemplo) sera muy bueno contar con, al menos,

muchos restos fsiles y as realizar tales investigaciones; sin embargo, se cuenta slo con una

docena de esqueletos fosilizados (casi todos incompletos) de esas criaturas en todo el mundo.

Pruebas destructivas. Es el caso en el que realizar el estudio sobre toda la poblacin llevara a ladestruccin misma de la poblacin. Por ejemplo, si se quisiese saber el conteo exacto de

hemoglobina de una persona habra que extraerle toda la sangre.
http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xbiblio.html#Wonnacotthttp://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xbiblio.html#Wonnacotthttp://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xbiblio.html#Wonnacott


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El muestreo puede ser ms exacto. Esto es en el caso en el que el estudio sobre la poblacin totalpuede causar errores por su tamao o, en el caso de los censos, que sea necesario utilizar personal

no lo suficientemente capacitado; mientras que, por otro lado, el estudio sobre una muestra podra

ser realizada con menos personal pero ms capacitado.

Para calcular el tamao de una muestra hay que tomar en cuenta tres factores:

1. El porcentaje de confianza con el cual se quiere generalizar los datos desde la muestra hacia lapoblacin total. (95%)

2.

El porcentaje de error que se pretende aceptar al momento de hacer la generalizacin. (4% y el 6%)3. El nivel de variabilidad que se calcula para comprobar la hiptesis.

En la Estadstica las Poblaciones se identifican en general con la letra N; mientras que lasmuestras con la letra n. Sobre todo en las frmulas y procesamientos numricos.

La humanidad desde sus orgenes ha estado atenta a todos los fenmenos que suceden a

su alrededor, inclusive a los ms cotidianos en su existencia y lo que le rodea. Para ello, haperfeccionado da con da sus mtodos para captar y entender dichos eventos de larealidad, proceso que se resumen como OBSERVACIN. Pero en qu consiste tal procesomental?... en fijar la atencin en un objeto o situacin para identificar sus caractersticas. La

identificacin ocurre en dos etapas: la primera concreta y la segunda abstracta.

CONCRETA = contacto directo con el objeto.

ABSTRACTA = se imagina las caractersticas del objeto.

OBSERVACION INDIRECTA

OBSERVACION DIRECTA

OBSERVACION DIRECTA

OBJETO

1

OBJETO

1

OBJETO

2

OBJETO

2

?


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ACTIVIDAD N 7

A continuacin, seala las principales caractersticas de la imagen que se muestra,

tratando de clasificar en observaciones directas e indirectas lo que se est mirando.

Sin mirar la imagen, escribe por lo menos tres caractersticas que recuerdes de la imagen y

descrbelas a tu compaero de a lado, para que las intente dibujar.

ACTIVIDAD N 8Muchos de los objetos que observamos tienen caractersticas diferentes o semejantes; acontinuacin se presentan dos imgenes que tienen una misma naturaleza, pero queciertos rasgos los hacen diferentes, escribe las que puedes observar.

ULI TRAVO


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CARACTERSTICASDE

TRAVO

CARACTERSTICASDEULI

Ahora, en vez de decir que Travo es alto y Uli bajo, podramos decir que Travo y Uli

son diferentes en algo. En qu?

* EN ALTURA

As, podemos generalizar las caractersticas diferentes de Travo y Uli; entonces, nuestra

tabla de diferencias se completa con una tercera columna as:

CARACTERSTICASDE

TRAVO

CARACTERSTICASDEULI

CARACTERSTICA GENERALEN QUE DIFIEREN

Alto Bajo Estatura


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ACTIVIDAD N 9

Completa la tabla anterior con los conceptos que generalizan las caractersticas que hacen

a Travo y Uli diferentes.

ACTIVIDAD N 10

Los conceptos o palabras que expresan de manera general un tipo de caractersticas de

las cosas se llaman variables.Su nombre se deriva de la diversidad de apreciaciones o

valores que se les pueden asignar. Su uso tiene las siguientes ventajas:

Precisar en qu son diferentes varios objetos de la misma clase. Organizar mejor la lista de las caractersticas en que difieren un conjunto de cosas

del mismo tipo.

Nos permite separar cada tipo de observacin. Nos ayuda a clasificar los aspectos cuando se est observando.

En seguida se muestran las siguientes figuras (ANEXO 2), tomando en cuenta la variable

especfica que se define en la tabla siguiente:

VARIABLE CARACTERSTICAAUTOMVIL

CARACTERSTICABICICLETA

Nmero de llantas.

Cantidad de Esfuerzo Fsico

para conducirlo.

Tipo de Energa que utiliza.

Fuente de Energa que lo

impulsa.

Velocidad que desarrolla.

Sistema de frenos.


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VARIABLE PERSONAS MS PARECIDAS

Estatura.

Expresin facial.

Tipo de peinado.

Tipo de vestido.

Sexo.

Postura.

ACTIVIDAD N 13

De la siguiente tabla, marca con una cruz dos elementos de los tres que sean similares,

segn la variable determinada en la primera columna.

VARIABLE ELEMENTOS

Tamao. Gato Perro Camello

Tamao. Gato Perro Conejo

Rapidez Triciclo Auto Bicicleta

Rapidez. Triciclo Auto Avin

Distancia desde

Mxico

Guatemala Venezuela Colombia

Distancia desde

Mxico

Guatemala Venezuela China

ACTIVIDAD N 14

En el lenguaje de las Matemticas, propiamente en el lgebra, las variables se identifican

con letras para su mejor operacin en la solucin de diferentes ejercicios y problemas. Es

muy importante saber que cada variable representa una caracterstica de algn objeto o

persona.Las letras que se usan frecuentemente son las ltimas del abecedario a partir

de la u, todas en minsculas.


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En la siguiente tabla, se presenta en la primera columna se enlistan diferentes objetos a

los que se pueden hacer diferentes tipos de mediciones en distintas unidades de medida;

escribe con la letra correspondiente, en la columna de en medio, cules mediciones se les

pueden hacer segn las unidades de la ltima columna. Se pueden repetir las unidades y

tener ms de una.

OBJETO MEDICIONES UNIDADES DE

MEDIDA

Agua u) Gramo

Libro v) Litro

rbol w) Metro

Sangre x) Kilmetro/hora

Puerta y) Grado Centgrado

Tela z) Metro Cuadrado

Motor

Avin

Montaa

Viento

Actividad No. 15

Leer en equipos de tres integrantes cada uno el subtema sobre variables.

Las variables pueden ser de dos tipos:

Variables cualitativas o atributos: No se puede medir numricamente. Ejemplos:

Nacionalidad, color de piel, sexo, etc.

Variables cuantitativas: Son las que tienen valor numrico. Ejemplo: Edad, precio de un

producto, ingreso mensual de un empleado.

Las variables tambin se puede clasificar en:

Variables unidimensionales: Solo recoge informacin sobre una caracterstica de algn

elemento o poblacin determinada. Ejemplo: Edad de los alumnos de un grupo de

cualquier semestre.

Variables bidimensionales: Recogen informacin de dos caractersticas de algn elemento

o poblacin determinada. Ejemplo: Edad y estatura de los alumnos de un grupo de

cualquier semestre.


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Variables pluridimensionales: Recogen informacin de tres o mas caractersticas de un

elemento o poblacin determinada. Ejemplo: Edad, estatura y peso de un elemento o

poblacin determinada.

Por su parte, las variables cuantitativas se pueden clasificar en variables discretas y

variable continuas:Variables discretas: Solo pueden tomar valores enteros: 1, 2, 8 -4, etc. Ejemplo: Nmero

de hermanos de una determinada familia.

Variables continuas: Pueden tomar cualquier valor real dentro de un intervalo

determinado. Ejemplo: La velocidad de un automvil vara en carretera de 80.3 Km/h a

110 Km/h.

Anota en el recuadro el tipo de variable (variable continua o variable discreta) segn la

informacin dada.

DATOS TIPO DE VARIABLE

Milmetros de precipitacin en una ciudad en tres meses.

Billetes de cincuenta pesos que circulan en la Repblica

Mexicana.

Estudiantes matriculados en el CBTIS 133.

Valor total de acciones vendidas en un da en BMV.

Temperaturas registradas cada media hora en la ciudad.

Longevidad de bateras para automvil marca ACME.

Censos anuales del colegio de abogados.

Longitud de 1000 cerrojos fabricados por ACME.

Velocidad de un automvil en kilmetros por hora.

La presin atmosfrica diaria durante un mes en el D.F.


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ACTIVIDAD No. 16

Anota en la siguiente tabla diez ejemplos de poblacin con su caracterstica, muestra y

tipo de variable.

Poblacin Caracterstica Muestra Tipo de variable

1.

2.

3.

4.

5

6.

7.

8.

9.

10.

2. TABLA DE DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS.

ACTIVIDAD No 17Leer en equipos de tres integrantes cada uno lo siguiente:

Distribucin agrupada de frecuencias: Distribucin de frecuencias en la que los valores dela variable se han agrupado en clases. Esto se debe principalmente a la disposicin de grannmero de datos. Las razones por las que se elaboran este tipo de agrupacin de datosson por economa, practicidad, y baja frecuencia de algunos puntajes.

Agrupacin de datos: para elaborar las tablas estadsticas, se debe seguir unprocedimiento preciso:


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25

a) Toma de datos.- Es la obtencin de una coleccin de datos por medio deencuestas, preguntas, sondeos etc. Que no han sido ordenados numricamente yque dicha informacin se extrae al azar, es decir, de tal forma que cada miembrode la poblacin tenga la misma oportunidad de ser elegida o seleccionada.

Estos son algunos mtodos para obtener datos:

Censo: Se entiende por censo aquella numeracin que se efecta a todos y cadauno de los caracteres componentes de una poblacin. Para Levin & Rubin (1996)"Algunas veces es posible y prctico examinar a cada persona o elemento de lapoblacin que deseamos describir. A esto lo llamamos una numeracin completa ocenso. Utilizamos el muestre cuando no es posible contar o medir todos loselementos de la poblacin. Si es posible listar (o enumerar) y observar cadaelemento de la poblacin, los censos se utilizan rara vez porque a menudo sucompilacin es bastante difcil, consume mucho tiempo por lo que resultademasiado costoso.

Encuesta: Se entiende por encuesta las observaciones realizadas por muestreo, esdecir son observaciones parciales. El diseo de encuestas es exclusivo de lasciencias sociales y parte de la premisa de que si queremos conocer algo sobre elcomportamiento de las personas, lo mejor, ms directo y simple es preguntrselodirectamente a ellas. (Cadenas, 1974). Segn Antonio Napolitano "La encuesta, esun mtodo mediante el cual se quiere averiguar. Se efecta a travs decuestionarios verbales o escritos que son aplicados a un gran nmero depersonas".

Ordenacin de datos: es una colocacin de los datos numricos tomados en ordencreciente a decreciente de magnitud. La diferencia entre el mayor y el menor de

los nmeros se llama rango o recorrido de datos.

ACTIVIDAD No. 18ESTUDIO DE CASOObjetivo:

Determinar la existencia de obesidad en los estudiantes del quinto semestre delturno matutino en el Centro de Bachillerato Tecnolgico Industrial y de servicios No. 133para lo cual se requiere la edad, sexo, el peso, la estatura, longitud de cintura y el ndicede masa corporal del grupo asignado a cada profesor de la asignatura de Probabilidad y

Estadstica.

Realiza lo siguiente:1. Investigar la poblacin de los alumnos inscritos en el CBTIS No. 133 en el turno

matutino, describir la muestra, qu tipo de variables son las utilizadas en esteestudio.


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2. En las tablas anexas anotaras los datos que tomas a cada sujeto en estudio, una esla tabla para las mujeres y la otra tabla es para los hombres.

3. Frmula para calcular el ndice de Masa Corporal es:)(

)(2maltura

KgpesoIMC

4. La tabla de Peso y Talla se adjunta para que la consulten.5. Una vez tomada la muestra y calculado la masa corporal se procede a ordenar los

datos.

Tabla para Mujeres

Nombre Edaden aos

Pesoen Kg.

Estaturaen cm.

Longitudde cinturaen cm.

Masacorporal

1.

2.

3.4.

5.6.

7.

8.9.

10.11.

12.

13.14.

15.

16.

17.18.19.

20.21.

22.

23.24.

25.


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27

Tabla para Hombres

Nombre Edaden aos

Pesoen Kg.

Estaturaen cm.

Longitudde cinturaen cm.

Masacorporal

1.2.

3.4.5.

6.

7.8.

9.10.

11.

12.

13.14.15.

16.17.

18.19.

20.

21.22.

23.24.25.

ACTIVIDAD No. 19A partir de la ordenacin de los datos realiza los siguientes clculos para construir la tablade distribucin de frecuencias:

Total de datos (N) =

Rango (R) = Dato mayor Dato menor =

Clculo de tamao de clase: para calcular el tamao de clase es necesario calcularprimeramente el nmero de clases utilizando la regla de Sturges y despus se obtiene eltamao de clase dividiendo el rango entre el nmero de clases.*No. De clases (Regla de Sturges): 1 + 3.322 log N o puedes calcular el tamao de clasepor medio de la obtencin de la raz cuadrada del total de datos:


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Donde:

f = Frecuencia de datosxi = Marca de clasef ac. = Frecuencia acumuladaf rel. = Frecuencia relativa

f rel. ac. = Frecuencias relativaacumulada

Li = Lmite inferiorLs = Limite superiorLri = Lmite real inferiorLrs = Lmite real superior

Tabla de distribucin de frecuencias

Intervalos de clase xi fi f ac. f rel. % f rel. ac. %

Clculos para colocar en la tabla de distribucin de frecuencias:

Xi (marca de clase) es el punto medio de la clase = Suma el lmite inferior + lmite superiorde los intervalos de clase, el resultado lo divides entre 2.

f ac. El primer valor de la frecuencia lo anotas en la columna de la frecuencia acumulada,luego sumas la siguiente frecuencia y anotas el resultado abajo del dato anterior, despussumas la siguiente frecuencia y lo anotas abajo del dato anterior, sigues los mismos pasos

hasta llegar a sumar el total de frecuencias.

f rel. El valor de la primera frecuencia la multiplicas por 100 y el resultado lo divides entreel total de datos y ese otro resultado lo anotas en la columna de la frecuencia relativa (frel.) en %.


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31/61

31

Ojiva

Polgono de frecuencias

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5 6 7 8

Marca de clase

Frecuenc

ias

Serie2

Ojiva

0

20

40

60

80

100

120

1 2 3 4 5 6 7

Marca de clase

Frecuenciarelativa

acumulada

Serie1


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32

ACTIVIDAD No. 20

Trace un histograma, un polgono de frecuencias relativas y una Ojiva de los siguientescasos.

1.Treinta estudiantes del primer ao de universidad trabajaron la tarde de un sbado. A

continuacin se muestra la distribucin de frecuencias de sus salarios. Constryanse unadistribucin de frecuencias relativas, una distribucin de frecuencias acumuladas y unadistribucin de frecuencias relativas acumuladas.

Salarios No. deestudiantes

$7.5-12.5 2

12.5-17.5 517.5-22.5 9

22.5-27.5 627.5-32.5 332.5-37.5 5

Total 30

2. Se realiz una investigacin con el fin de describir la duracin en servicio de losprofesores universitarios. Se seleccion una muestra aleatoria de 100 profesores y sedetermin la duracin del servicio en aos para cada uno de ellos.

1 6 9 10 12 13 16 18 21 26

2 7 9 11 12 13 16 18 21 283 7 9 11 12 14 16 18 22 29

4 7 9 11 12 14 16 18 23 304 7 9 11 12 14 17 19 24 30

5 7 10 11 13 14 17 19 25 32

6 8 10 11 13 15 17 19 25 336 8 10 11 13 15 17 19 25 34

6 8 10 12 13 15 17 20 25 38

6 8 10 12 13 15 18 20 25 40

a) Constryanse una distribucin de frecuencias, una distribucin de frecuencias relativas,una distribucin de frecuencias acumuladas y una distribucin de frecuencias relativasacumuladas.

b) Trcense un histograma, un polgono de frecuencias y una ojiva. (Sugerencia: Utilcenselos lmites de clase 0.5 a 5.5, 5.5 a 10.5, etc.)


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3. Los siguientes datos corresponden a las densidades que se registraron al efectuar un

experimento de fsica. a) Hacer una tabla de frecuencias, un histograma, un polgono de

frecuencias y de frecuencias acumulativo.

ACTIVIDAD No. 21

Realiza el siguiente experimento:

Objetivo

Elaborar una tabla de distribucin de frecuencias para verificar los conocimientosadquiridos.

MaterialDos dados por mesa

Procedimiento1. Lanza dos dados y anota la suma de los nmeros que caen en la hoja de control.2. Realiza otros 49 lanzamientos regstralos en la hoja de control.Hoja de Control

1.9155 1.918 1.9265 1.923 1.9285 1.9155

1.915 1.9165 1.9185 1.928 1.929 1.9165

1.926 1.916 1.9265 1.922 1.9305 1.9265

1.9175 1.929 1.9255 1.9235 1.939 1.9235

1.9265 1.92 1.9175 1.918 1.915 1.9175


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3. Calcula:a) El rango de los datos.b) El nmero de intervalos.c) El ancho de la clase.

4. Elabora la tabla de distribucin de frecuencias.5. Anota tus conclusiones.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

ACTIVIDAD No. 1

Formar equipos de tres integrantes cada uno. Leer la siguiente paradoja:


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Los enunciados estadsticos pueden ser en extremo paradjicos, y en ocasiones,directamente engaosos. La historia de la fbrica de Artilugio hace ver una fuente deconfusiones frecuentes entre la media, mediana y moda.La palabra media es por lo comn abreviatura de media aritmtica. Es una medida

estadstica muy valiosa. No obstante, cuando hay valores extremos muy dispares, comosucede con los elevados salarios de los operarios de la fbrica, el salario medio puede

crear una impresin falsa.Las informaciones sobre estadsticas resultan aun ms desconcertantes a causa de quetrmino medio se aplica en ocasiones no a la media aritmtica, sino a la mediana o lamoda.

La mediana es el valor que ocupa la posicin central en una lista de valores ordenados demenor a mayor. Cuando el nmero de trminos de la lista es impar, la mediana essencillamente el trmino central. Cuando la lista consta de nmero par de trminos, es

costumbre tomar para la mediana la media aritmtica de los dos valores situados en elcentro.En la historieta, a Flix la mediana le da informacin ms til que la media aritmtica,

pero incluso la mediana le da la imagen deformada de los salarios de su empresa. Lo que

realmente le convena saber es la moda, el valor de ms frecuente aparicin de la lista.

En este caso, la moda es el salario que ms personas perciben.


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ACTIVIDAD No. 2

Formar equipos de tres estudiantes cada uno para leer lo siguiente y despus resolver losolicitado:

Promedio

Es un valor tpico o representativo de un conjunto de datos. Como tales valores tienden a

situarse en el centro del conjunto de datos ordenados segn su magnitud, los promedios

se conocen tambin como medidas de centralizacin.

Las medidas que describen un valor tpico en un grupo de observaciones suelen llamarsemedidas de tendencia central, las ms comunes son la media aritmtica o brevemente lamedia, la mediana y la moda. Es importante tener en cuenta que estas medidas se aplicana grupos ms que a individuos. Un promedio es una caracterstica de grupo, no individual.

En datos no agrupados

Media aritmtica

X = MEDIA ARITMTICA = SUMATORIA (x = 1 hasta x = n)Xi = VARIABLE n = NMERO DE DATOS

La medida de tendencia central ms obvia que se puede elegir, es el simple promedio delas observaciones del grupo, es decir el valor obtenido sumando las observaciones ydividiendo esta suma por el nmero de observaciones que hay en el grupo.

En realidad hay muchas clases de promedios y sta se la llama media aritmtica paradenotar la suma de un grupo de observaciones dividida por su nmero.

1. La media aritmtica o media de los nmeros 10, 8, 12, 3, 5 es

6.75

38

5

5312810

x


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2. Si 2, 5, 6, 8 se presentan con frecuencias 1, 3, 4, 2 respectivamente, la media aritmticaes:

7.510

1624152

2431

)8(2)6(4)5(3)2(1

x

Mediana

Otra medida de tendencia central que se utiliza con mucha frecuencia es la mediana, quees el valor situado en medio en un conjunto de observaciones ordenadas por magnitud.

1. Sean los nmeros 3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 8, 10 que tienen de mediana 62. Sean los nmeros 5, 5, 7, 9, 11, 12, 15, 18; su mediana ser 10119

2

1

Moda

Otra medida de tendencia central es la moda. La moda es el valor que ocurre con msfrecuencia en un conjunto de observaciones.

1. De los salarios $15 000, $15 000, $15 000, $17 500, $20 000, $22 500, $30 000,$ 30 000, $ 75 000 y $ 125 000, cul es el ms comn?El salario que ocurre con ms frecuencia es el de $15 000 por lo tanto se le llama

la moda.

2. Del conjunto de nmeros 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18 tiene de moda 9.3. Del conjunto de nmeros 3, 5, 8, 10, 12, 15, 16 no tiene moda.4. Del conjunto de nmeros 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9 tiene dos modas 4 y 7, y se

llama bimodal.

Una distribucin que tiene una sola moda se llama unimodal.


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Resuelve de manera individual los siguientes problemas aplicando las frmulas

anteriores.

1. En determinado mes, 8 vendedores de artculos electrnicos vendieron los siguientes

nmeros de aparatos: 8,11, 5, 14, 8, 11, 16, 11. Considerando a este mes como lapoblacin estadstica que interesa, el nmero promedio de unidades vendidas es:

2. Las siguientes cifras son los importes del consumo de 15 personas en un restaurante, enorden ascendente: $1000, $1000, $2500, $2500, $2500, $3000, $3500, $4000, $5300,$9000, $13500, $24500, $27500, $30900 y $41000. Determine: a) la media B) La mediana,c) la moda, para esos importes.

3. Una muestra de 20 trabajadores de una compaa obtuvieron los siguientes salariospara un mes determinado: $240000, $240000, $240000, $240000, $240000, $240000,$240000, $240000, $255000, $255000, $265000, $265000, $280000, $280000, $290000,$300000, $305000, $325000, $330000, $340000. Calcule: a) la media, b) mediana y c) lamoda.

4. Un experto en estndares de trabajo observa el tiempo que se requiere para preparar

una muestra de 10 cartas de negocios en una oficina y obtiene los siguientes resultados enorden y redondeados al minuto ms prximo: 5, 5, 5, 7, 9, 14, 15, 15, 16, y 18. Determine:a) la media b) la mediana c) la moda para ese grupo de valores.

ACTIVIDAD No. 3

En equipos de tres integrantes cada uno anotar cinco ejemplos para calcular la media,

mediana y moda con datos no agrupados, luego cada equipo expone ante el grupo sus

ejemplos, finalmente llegar a una conclusin.


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En el caso de datos agrupados donde se ha construido una curva de frecuencias para

ajustar los datos, la moda ser el valor (o valores) de X correspondientes al mximo (o

mximos) de la curva. Este valor de X se representa a veces por x .

De una distribucin de frecuencias o un histograma la moda puede sacarse de la frmula:

Moda= cL

21

1

1

Donde:

1L = Lmite real inferior de la clase que contiene la moda.

1 = Exceso de la frecuencia modal sobre la frecuencia de la clase contigua inferior.

2 Exceso de la frecuencia modal sobre la frecuencia de la clase contigua superior.

c = tamao del intervalo de clase modal.

ACTIVIDAD No. 5

Calcular la media aritmtica, la mediana y la moda del estudio de caso sobre la

determinacin de obesidad en los alumnos del quinto semestre del CBTIS No. 133.

Anota los intervalos de clase en la tabla, los valores de la marca de la clase y lasfrecuencias conocidas.

Calcula f(x), multiplicando cada frecuencia por la marca de clase de cadaintervalo de clase y anota los resultados en la columna f(x)

Suma el total de f(x) que te representa )(xf Sustituye los valores en la frmula

N

xfx

)(para calcular la media aritmtica.

Intervalos de

clase

xi f f(xi) f ac.


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Anota los valores de la frecuencia acumulada. Determina en la columna de la frecuencias (f), donde se encuentra la

frecuencia mediana ( medianaf ) considera que la mitad de los datos es la

mediana.

Ubicada la frecuencia mediana, ve hacia el intervalo de clase y calcula el lmitereal inferior y antala as como los siguientes datos:1

L = Limite real inferior de la clase mediana, es decir, la clase que

contiene la mediana.N= nmero total de datos, es decir la frecuencia total.

1 f = suma de las frecuencias de todas las clases por debajo de

la clase mediana.

medianaf = frecuencia de la clase mediana.

c = tamao del intervalo de la clase mediana.

Ahora sustituye los valores en la frmula para calcular la mediana:Mediana =

c

f

fN

Lmediana

1

1

2

Determina en la columna de la frecuencias (f), donde se encuentra lafrecuencia modal ( alfmod ) considera que la moda de los datos es el dato que

ms se repite.

Ubicada la frecuencia modal, ve hacia el intervalo de clase y calcula el lmitereal inferior y antala as como los siguientes datos :

1L = Lmite real inferior de la clase que contiene la moda.

1 = Exceso de la frecuencia modal sobre la frecuencia de la clase

contigua inferior.

2Exceso de la frecuencia modal sobre la frecuencia de la clase

contigua superior.c = tamao del intervalo de clase modal.

Sustituye los datos anteriores en la frmula para calcular la moda:Moda= cL

21

1

1

Grafica el histograma de frecuencias y el polgono de frecuencias sobre elhistograma, traza con una lnea punteada de color rojo la media, la mediana de

otro color, y la moda de un color diferente a las anteriores para determinar la

relacin de las tres medidas de tendencia central.


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Relacin entre la media, mediana y la moda

Las diferencias entre los valores de la media ( x ), la mediana (ME) y la moda (MO)

permiten saber la forma de la curva de frecuencias en trminos de asimetra.

Para una distribucin unimodal simtrica, el valor de la media, la mediana y la moda es

igual. En la simtrica la media = Mediana = moda

Para una distribucin asimtrica positiva, la media es el mayor valor de los tres y la

mediana es mayor que la moda pero menor que la media. En la asimtrica sesgada a la

derecha la media > mediana > moda

Para una distribucin asimtrica negativa, la media es el menor valor de los tres y la

mediana es inferior a la moda pero mayor que la media. En la asimtrica sesgada a la

izquierda la media


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ACTIVIDAD No 6

Resuelve los siguientes problemas:

1. Los siguientes datos corresponden a las temperaturas en C que se registraron alefectuar un experimento de fsica. Calcular la media, mediana y la moda, graficar e

interpretar la relacin de las mediadas de tendencia central.

23 31 29 24 27 18 21 1434 27 22 25 26 17 27 1818 29 21 18 12 19 31 1914 28 19 13 13 12 18 1912 13 16 12 31 10 17 18

2. De la siguiente tabla de frecuencias calcular: la media aritmtica, mediana y lamoda.

Intervalos declase

f

275.5 325.5 4

325.5 375.5 1

375.5 425.5 5

425.5 475.5 4

475.5 525.5 12

525.5 575.5 7

575.5 625.5 5625.5 675.5 4

675.5 -725.5 2

725.5 775.5 1

775.5 825.5 4

ACTIVIDAD No. 7

ObjetivoDeterminar la relacin que existe entre las medidas de tendencia central

Material998 bolas de unicel dentro de una urna o una caja, cada bola tiene un nmero anotado.


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Dnde:G = Media geomtrican = nmero de valores de x

Ejemplos:

1. Las tasas de crecimiento de una empresa durante los ltimos siete aos son: 8.2 %,8.9 %, 6.5 %, 8.5 %, 10.7 %, 11.2 %, y 14.5 %a) Cul es la media geomtrica de las ganancias?b) Cul es la media aritmtica?Solucin:Utiliza la calculadora Casio

Multiplica 8.2 x 8.9 x 6.5 x 8.5 x 10.7 x 11.2 x 14.5 = 7 006 577.724

Pones el nmero 7, oprimes SHIFT y la tecla aparece una raz cuadrada y anotas7 006 577.724, oprimes = y te da 9.5 que es el resultado.a) ()()()()()()() = 9.5 %b) c) Cul de las dos da un resultado ms confiable?Por qu?

La media geomtrica, porque da la tasa promedio de cambio a travs de unperiodo de varios aos.

2. Hallar la media geomtrica y la media aritmtica de los nmeros 3, 5, 6, 6, 7, 10, 12Solucin: ()()()()()()()

Esto pone de manifiesto el hecho de que la media geomtrica de nmerosdesiguales positivos es menor que la media aritmtica de los mismos nmeros.


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EJERCICIO.1. Hallar la media geomtrica de los nmeros a) 4.2 y 16.8, b) 300 y 600.2. Hallar a) la media geomtrica G, y b) la media aritmtica de los nmeros 2, 4, 8, 16,

323. Hallar la media geomtrica de los nmeros a) 3, 5, 8, 3, 7, 2 y b) 28.5, 73.6, 47.2,

31.5, 64.8

4. Una tienda de electrodomsticos tuvo ventas brutas de $ 1 000 millones en el ao2 000, $ 1 200 millones en el ao 2 002, y $ 1 500 millones en el ao 2 004. Cules la media geomtrica?

MEDIA ARMNICA

ACTIVIDAD No. 9La media armnica de n nmeros se define como n dividida entre la suma de losrecprocos de n nmeros. La media armnica tiene utilidad limitada, pero se utiliza comouna medida de tendencia central para conjunto de datos que consisten en tasas decambios, a cantidades iguales de distancias, dinero, etc. Por ejemplo para promediar lavelocidad de un automvil a distancias iguales. Se simboliza (H)

Ejemplo:Un empresario invierte $1 850 000 en ciertos valores a $ 10 000 por accin, $ 1 850 000 a$ 11 000 por accin y $ 1 850 000 a $ 9 500 pesos por accin. Utilice laMedia armnica para determinar el precio promedio por accin de estos valores.

Solucin = $10 129.24 por accinCalculadora:Programa ecuacin 3 ((1 10 000) + (1 11 000) + (1 9 500)) = $10 129.24

EJERCICIO

1. Un automovilista maneja en una autopista a lo largo de 10 kilmetros, a unavelocidad de 100 kilmetros por hora, otros dos tramos de 10 kilmetros cada unoa 110 y 120 kilmetros por hora respectivamente.a) Cul es el promedio armnico de la velocidad de un viaje de 30 kilmetros?b) Cul es el promedio aritmtico de la velocidad de un viaje de 30 kilmetros?c) Cul de los dos da un resultado ms confiable? Por qu?

2. Dados los nmeros: 8, 5, 10, 8, 9, 4, 12, determinar las medidas de tendenciacentral: media, mediana, moda, media geomtrica y media armnica.


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Solucin del problema:1. Llevar las fichas de un solo color al extremo opuesto del tablero respetando las

reglas establecidas.2. Describe el procedimiento de solucin.3. Comprueba el procedimiento.4. Practicar contra reloj.

Registro de datos:1. Tomar tiempos de realizacin del procedimiento y registrarlos.

Anlisis Estadstico:1. Elabora la tabla de distribucin de frecuencias con los tiempos registrados por

participante.2. Construye un histograma, un polgono de frecuencias y la ojiva.3. Calcular la media, mediana, y moda

Interpretacin:1. Comparar los resultados por equipos.

II. MEDICIN DE LA VARIABILIDAD EN LAS DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS.

1. Medidas de Dispersin.ACTIVIDAD No. 1

Leer el siguiente texto:

Dispersin o variacin

Se llama dispersin o variacin al grado en que los datos numricos tienden a extenderse

alrededor de un valor medio. Se utilizan distintas medidas de dispersin o variacin, las

mas empleadas son el rango, la desviacin media, el rango semicuartilico, el rango entre

percentiles 10 90 y la desviacin tpica.

Rango o amplitud

Es la diferencia entre el dato mayor y el dato menor de un conjunto de nmeros.

El rango o la amplitud tiene la ventaja de que es fcil de calcular y sus unidades son lasmismas que las de la variable que se mide. La amplitud no toma en consideracin elnmero de observaciones de la muestra estadstica, sino solamente la observacin delvalor mximo y la del valor mnimo.


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1. Hallar el rango del conjunto de los siguientes nmeros 12, 5, 6, 18, 7, 10, 3 y 15.Solucin:Ordenar el conjunto de nmeros y quedan as: 3, 5, 6, 7, 10, 12, 15, 18.Rango = Dato mayor dato menor = 18 3 = 15 hay mucha variacin o dispersin,por lo que es recomendable rechazar los datos extremos el 3, y el 18 para que elRango = 15 5 = 10

2. Cul es el rango de los siguientes nmeros 9, 18, 3, 9, 8, 8, 8, 9?Solucin:Ordenar los nmeros 8, 8, 8, 9, 9, 9, 18. Rango = Dato mayor dato menor = 18 8= 10, tambin existe una mayor variacin o dispersin por lo que se consideran losdatos de 9 8 = 1.

Se observa claramente que en el ejemplo 1 existe una mayor variacin o dispersin que enel ejemplo 2.

Desviacin media

Esta medida es ms acorde que la de amplitud, ya que involucra a todos los valores del

conjunto de observaciones corrigiendo la desviacin. sta medida se obtiene calculando lamedia aritmtica de la muestra, y luego realizando la sumatoria de las diferencias detodos los valores con respecto de la media. Luego se divide por el nmero deobservaciones.

Una medida como sta tiene la ventaja de que utiliza cada observacin y corrige lavariacin en el nmero de observaciones al hacer la divisin final. Y por ltimo tambin seexpresa en las mismas unidades que las observaciones mismas.

1. Hallar la desviacin media de los siguientes nmeros: 12, 5, 6, 18, 7, 10, 3 y 15.

Solucin:


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52

Calcular la media aritmtica = 5.98

76

8

153107186512

x

Calcular la Desviacin media = D. M.=N

xX

D. M.=

8

5.9155.935.9105.975.9185.965.955.912

D. M. = 25.48

34

8

5.55.65.05.25.85.35.45.2

Por lo tanto la D. M. = 4.5

2. Calcular la desviacin media de los nmeros 9, 18, 3, 9, 8, 8, 8, 9.

Solucin:

Calcular la media aritmtica: 98

72

8

988893189

x

Calcular la D. M. =

8

99989898999391899

D. M. 25.2

8

18

8

01110690

Por lo tanto la D. M. = 2.25

En el ejemplo No. 2 la desviacin media tiene menos dispersin que en el ejemplo No. 1

Desviacin tpica

Es la raz cuadrada de la varianza:

N

xXs

2

Entonces en este caso la unidad de s es la misma que la del conjunto de observaciones dela muestra estadstica.

En algunos casos, la desviacin tpica de los datos de una muestra viene definida con (N -1) en lugar de N en los denominadores de la expresin anterior porque el valor resultante


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representa un estimador mejor que la desviacin tpica de una poblacin de la que se hatomado una muestra. Para valores grandes de N por ejemplo, N > 30, prcticamente nohay diferencia entre las dos definiciones. Tambin cuando se necesita el estimador mejor,puede obtenerse siempre multiplicando la desviacin tpica calculada con la primera

definicin por1N

N.

De aqu que se acostumbre a utilizar la primera definicin.

Varianza

La varianza de un conjunto de datos se define como el cuadrado de la desviacin tpica y

se representa por 2s

La variacin muestral se representa por una s

La varianza poblacional se representa por

1. Hallar la desviacin tpica de los nmeros: 5, 3, 7, 6, 1, 2

Solucin:

Calcular la media aritmtica

4

6

24

6

216735

N

Xx

Sustituir el valor de la media aritmtica en la formula de la desviacin

tpica:


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55/61

55

88 74 67 49 69

38 86 77 66 75

94 67 78 69 84

50 39 58 79 70

90 79 97 75 98

77 64 69 82 71

65 68 84 73 58

72 75 89 91 62

81 62 74 81 79

78 86 78 90 81

3. Calcular: a) el rango, b) la desviacin media, c) el rango semiintercuartlico, d) el rango

entre percentiles 10 90, e) la desviacin tpica y f) la varianza de los siguientes datos:

Toneladas Cables

9.3 9.7 2

9.8 10.2 5

10.3 10.7 12

10.8 11.2 17

11.3 11.7 14

11.8 - 12.2 6

12.3 12.7 3

12.8 - 13.2 1

Total 60


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56

Observa las siguientes grficas:

Qu tienen en comn los seis histogramas?

Hay relacin directa de la distribucin de datos a lo largo del Rango y su correspondiente

media o promedio en cada muestra?

A la forma en que se distribuyen los datos en una tabla de Frecuencias o datos ordenados

ubicados por intervalos en un anlisis estadstico se denomina Variacin o Dispersin. Este

hecho tambin se puede medir en cualquier estudio de poblaciones o muestras, ya que es

importante evaluar la confiabilidad del promedio que se est utilizando.

Una dispersin pequea indica que los datos se encuentran acumulados cercanamente,

alrededor de la media aritmtica; y por lo tanto se le considera bastante representativa

de los datos, es confiable. Por el contrario, una dispersin grande indica que la media no

es confiable y por lo tanto no es muy representativa de la muestra o poblacin.


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ACTIVIDAD No. 2

La siguiente distribucin de frecuencias presenta las respuestas correctas de un examen

final de la especialidad de Produccin, consistente en 50 preguntas, aplicado a una

muestra de 60 alumnos.

RESPUESTASCORRECTAS

LIMITES REALES MARCA DE CLASE N ALUMNOS

5 11 7

12 18 8

19 25 7

26 32 10

33 39 12

40 46 12

47 53 4

a. Determina los lmites reales y la marca de clase de la tabla anterior.

Desviacin Media. Es el desvo promedio en trminos absolutos (valores positivos de cadauno de los valores con respecto de su media aritmtica). Para ello se utiliza la siguiente

frmula:

() Donde:

dm = Desviacin Media.

Xi = marca de clase. = media aritmtica. = frecuencia absoluta de cada clase. = tamao de muestra.


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ACTIVIDAD No. 3

Calcula la desviacin media de la muestra de datos de la tabla de respuestas correctas del

examen de los alumnos de Produccin, segn la media que calculaste. Usa la frmula

tabulando los datos correspondientes.

( )

Varianza y Desviacin Estndar de Datos Agrupados.

La Varianza es una medida de dispersin que a diferencia de la Desviacin Media, se determinacon nmeros positivos y negativos y la frmula es la siguiente:

( ) Donde:

2 = la varianza de la muestra.

= suma de las diferencias entre cada marca de clase y la media de la muestra al cuadrado.

xi= marca de clase.

= media o promedio de la muestran = tamao de la muestra.


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ACTIVIDAD No. 5

Tomando en cuenta los datos de la muestra de nmero de respuestas correctas de los alumnos de

la especialidad de Produccin, as como la Varianza obtenida, calcula la Desviacin Estndar.

La Desviacin Estndar se interpreta con dos valores, uno positivo y uno negativo de la siguiente

manera:

La Desviacin Estndar se usa para determinar con mayor precisin dnde se sitan los valores deuna distribucin de frecuencias con relacin a su media. El teorema de Chebyshev establece que:

cualquiera que sea la forma de la distribucin, por lo menos 75% de los valores caern dentro

de 2 desviaciones estndar positivas y negativas respecto de la media de la distribucin, y un

mnimo de 89% de los valores se hallar a 3 desviaciones positivas y negativas con respecto de la

media.

Coeficiente de Variacin.

Una medida de dispersin complementaria a un anlisis estadstico es la que se refiere a la idea

general de la magnitud de la desviacin estndar en relacin con el medida de la media, a la que

se denomina Coeficiente de Variacin y que se expresa en porcentaje. Su frmula es:

() = Desviacin Estndar.

= Media.


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ACTIVIDAD No. 6

Para comprender la utilidad del Coeficiente de Variacin, si en el caso del examen aplicado a los

estudiantes de la especialidad de Produccin, se lleva a cabo la recoleccin de otra muestra del

mismo tamao y se llevan los clculos quedando las magnitudes como se seala a continuacin:

MEDIDA MUESTRA 1 MUESTRA 2

MEDIA 29 31

DESVIACIN

ESTNDAR

4 5

Determina el coeficiente de variacin para cada muestra, observa que la que tengan el porcentaje

mayor tiene mayor nivel de variabilidad y por lo tanto menor ndice de confiabilidad en su

interpretacin y conclusiones finales.

CV1 =

CV2

ACTIVIDAD No. 7

1. Tira un dado 40 veces y registra los resultados en la siguiente tabla:

2. Calcula la desviacin media, la desviacin estndar y la varianza.

Documents

Manual Estadistica i Version3