MANUAL FÍSICA I

AUTOFORMATIVOMANUAL

FÍSICA I

Ángel Aquino Fernández

Cada autor es responsable del contenido de su propio texto.

De esta edición:

© Universidad Continental S.A.C 2013

Jr. Junin 355, Miraflores, Lima-18

Teléfono: 213 2760

Derechos reservados

Primera Edición: Marzo 2013

Tiraje: 1000 ejemplares

Autor: Ángel Aquino Fernández

Impreso en el Perú - Printed in Perú

Fondo Editorial de la Universidad Continental

Impreso en los Talleres Gráficos:

Xprinted Solución Gráfica S.R.L.

Todos los derechos reservados.

Esta publicación no puede ser reproducida, en todo ni en parte, ni registrada en o trasmitida por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio sea mecánico, fotoquímico, electrónico, magnético, electroóptico, por fotocopia, o cualquier otro sin el permiso previo por escrito de la Universidad.

ÍNDICEINTRODUCCIÓN 7

DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA ASIGNATURA 9

UNIDAD I: UNIDADES, CANTIDADES FÍSICAS, VECTORES Y MOVIMIENTO EN LÍNEA RECTA 11

DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD I

TEMA N° 1: NATURALEZA DE LA FÍSICA 1 ESTÁNDARES Y UNIDADES 12

2 CONSISTENCIA Y CONVERSIÓN DE UNIDADES 13

3 INCERTIDUMBRE Y CIFRAS SIGNIFICATIVAS 13

4 ESTIMACIONES Y ÓRDENES DE MAGNITUD 13

ACTIVIDAD N°1:

TEMA N° 02: VECTORES 1 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE VECTORES 15

2 COMPONENTES DE VECTORES 16

3 VECTORES UNITARIOS 17

4 PRODUCTOS DE VECTORES 17

ACTIVIDAD N°2:

TEMA N° 03: MOVIMIENTO EN LÍNEA RECTA 1 DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD MEDIA Y VELOCIDAD INSTANTÁNEA 31

2 ACELERACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA 31

3 MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN CONSTANTE 32

4 CUERPOS EN CAIDA LIBRE 31

5 VELOCIDAD Y ACELERACIÓN POR INTEGRACIÓN 32

ACTIVIDAD N°3:

TEMA N° 4: MOVIMIENTO EN DOS Y TRES DIMENSIONES 1 VECTORES DE POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN 14

2 MOVIMIENTO DE PROYECTILES 17

3 MOVIMIENTO EN UN CÍRCULO 17

ACTIVIDAD N°4:

AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD I 36

LECTURA SELECCIONADA N°1:

BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD I 40

UNIDAD II: LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON, TRABAJO Y ENERGÍA 41

DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD II

TEMA 1: LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON

1 PRIMERA LEY DE NEWTON O LEY DE LA INERCIA: 42

2 SEGUNDA LEY DE NEWTON O LEY DE FUERZA: 43

3 TERCERA LEY DE NEWTON O LEY DE ACCIÓN Y REACCIÓN 43

ACTIVIDAD N°1:

TEMA N° 02: APLICACIÓN DE LAS LEYES NEWTON 1 EMPLEO DE LA PRIMERA LEY DE NEWTON: PARTÍCULA EN EQUILIBRIO 56

2 EMPLEO DE LA SEGUNDA LEY DE NEWTON: DINÁMICA DE PARTÍCULAS. FUERZAS DE FRICCIÓN 57

3 DINÁMICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR 56

ACTIVIDAD N°2:

TEMA N° 03: TRABAJO Y ENERGÍA CINÉTICA 1 TRABAJO MECÁNICO 56

2 TRABAJO Y ENERGÍA CINÉTICA 57

3 TRABAJO Y ENERGÍA CON FUERZAS VARIABLES 56

4 POTENCIA 57

ACTIVIDAD N°3:

TEMA N° 04: ENERGÍA POTENCIAL Y CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA1 ENERGÍA POTENCIAL 56

2 ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA 57

3 ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA 56

4 FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS 57

5 FUERZA Y ENERGÍA POTENCIAL 57

ACTIVIDAD N°4:

AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD II 61

LECTURA SELECCIONADA N° 1:

BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD II 65

UNIDAD III: CANTIDAD DE MOVIMIENTO, IMPULSOS, CHOQUES, ROTACIÓN DE CUERPOS RÍGIDOS 67

DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD III

TEMA N° 01: CANTIDAD DE MOVIMIENTO, IMPULSO, CHOQUES Y/O COLISIONES 1 CANTIDAD DE MOVIMIENTO E IMPULSO 68

2 PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA 69

3 CHOQUES Y/O COLISIONES 71

4 CENTROS DE MASA 75

ACTIVIDAD N°1:

TEMA N° 02: ROTACIÓN DE CUERPOS RÍGIDOS 1 VELOCIDAD Y ACELERACIÓN ANGULAR 76

2 ROTACIÓN CON ACELERACIÓN ANGULAR CONSTANTE 77

3 RELACIÓN ENTRE LA CINEMÁTICA LINEAL Y ANGULAR 76

4 ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO ROTACIONAL 77

5 MOMENTOS DE INERCIA 76

6 TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS 77

ACTIVIDAD N°2:

AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD III 87

LECTURAS SELECCIONADA N° 1 85

BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD III 90

UNIDAD IV: DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ROTACIONAL, EQUILIBRIO, ELASTICIDAD Y GRAVITACIÓN 91

DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD IV

TEMA N° 01: DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ROTACIONAL 1 MOMENTO DE TORSIÓN 92

2 MOMENTO DE TORSIÓN Y ACELERACIÓN ANGULAR DE UN CUERPO RÍGIDO 94

3 ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO SOBRE UN EJE MÓVIL 96

4 TRABAJO Y POTENCIA EN MOVIMIENTO ROTACIONAL 97

5 CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR 96

6 CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR 97

ACTIVIDAD N°1:

TEMA N° 02: EQUILIBRIO Y ELASTICIDAD 1 CONDICIONES DEL EQUILIBRIO 109

2 CENTROS DE GRAVEDAD 109

3 ESFUERZO, TENSIÓN Y MÓDULOS DE ELASTICIDAD 109

4 ELASTICIDAD Y PLASTICIDAD 109

ACTIVIDAD N°2:

TEMA N° 03: GRAVITACIÓN 1 LA LEY Y LA FUERZA GRAVITACIONAL 109

2 ENERGIA POTENCIAL DE LA FUERZA GRAVITACIONAL 109

3 MOVIMIENTO DE SATÉLITES 109

4 LAS LEYES DE KEPLER Y EL MOVIMIENTO DE LOS PLANETAS 109

ACTIVIDAD N°3:

AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD IV 122

LECTURAS SELECCIONADA N° 1 119

BIBLIOGRAFÍA DE LA UNIDAD IV 125

ANEXOCLAVE DE RESPUESTA DE AUTOEVALUACIONES 111

INTRODUCCIÓN

La rápida expansión de la Física en las últi-

mas décadas ha sido posible gracias a los

avances fundamentales del primer tercio

del siglo XX, junto con los recientes adelantos tec-

nológicos, sobre todo en tecnología informática,

electrónica, aplicaciones de la energía nuclear y ace-

leradores de partículas de altas energías.

En tal sentido esta asignatura ha sido diseñada para

proporcionar al estudiante de ciencias e ingeniería,

las herramientas indispensables para generar un

aprendizaje autónomo, permanente y significativo

del mundo que nos rodea.

La Física, en general, es la ciencia que estudia los fe-

nómenos que ocurren en la naturaleza y como tal exi-

ge rigurosidad en los cálculos numéricos, atendien-

do las necesidades y características de las actividades

globales, personales, académicas, extracurriculares

y profesionales que pueda afrontar. En general, los

contenidos propuestos en el material de estudio, se

basan en la Mecánica Clásica Newtoniana.

Se recomienda que el estudiante desarrolle un hábi-

to permanente de estudio con la lectura constante

de la teoría, asimismo, que sea minucioso en la in-

vestigación, ya sea vía Internet, uso de laboratorios

virtuales, consulta a expertos a fin de consolidar los

temas propuestos. El contenido del manual se com-

plementará, con las clases por video conferencia, y

con el uso continúo del aula virtual de la Universi-

dad, con el fin de desarrollar en forma más detalla-

da y amplia la asignatura.

Se sugiriere la siguiente secuencia de estudio para

cada unidad:

• Realizar el estudio de los contenidos, el cual será

de carácter analítico y reflexiva subrayando, resu-

miendo y asimilando la información.

• Pasar al estudio de las lecturas seleccionadas, que

son de estudio de profundización, ampliación y

actualización científico tecnológico.

• Desarrollar la auto evaluación, que es una

preparación para la prueba final de la asig-

natura.

• Desarrollar las actividades programadas para cada semana en el aula

virtual, con la asesoría del Profesor Tutor.

En este manual autoformativo se consideraron problemas, ejercicios y

resúmenes teóricos de los libros de “Física Universitaria” de Sears, Ze-

mansky, Hugh D. Young y Roger A. Freedman; “Física para Ciencias

e Ingenierías” de Raymond A. Serway y John W. Jevett; “Física para la

Ciencia y la Tecnología” de Paul A.Tipler y Gene Mosca, como también

“Mecánica Vectorial para Ingenieros – Estática” de Beer & Johnston y

“Estática” de Riley. .

El Autor

FÍSICA I MANUAL AUTOFORMATIVO 9

Diagrama Objetivos Inicio

Desarrollode contenidos

Actividades Autoevaluación

Lecturasseleccionadas

Glosario Bibliografía

Recordatorio Anotaciones

COMPETENCIA DE LA ASIGNATURA

1. Maneja los conceptos teóricos sobre unidades, cantidades físicas y vectores, y apli-ca las leyes que gobiernan el movimiento unidimensional, bidimensional y tridi-mensional de una partícula.

2. Utiliza las leyes de Newton a la solución correcta de problemas de la mecánica clásica e interpreta las leyes del trabajo, potencia, energía y conservación de la energía mecánica.

3. Interpreta la cantidad de movimiento de una partícula y comprende adecuada-mente la rotación de cuerpos rígidos.

4. Analiza los principios de la dinámica del movimiento rotacional; las leyes del equi-librio y elasticidad, para esclarecer los principios del centro de gravedad, además explica las leyes de la gravitación.

UNIDADES DIDÁCTICAS

UNIDAD Nº 1 UNIDAD Nº 2 UNIDAD Nº 3 UNIDAD Nº 4

Unidades, cantida-des Físicas, Vecto-res y Movimiento en línea recta

Leyes del Movi-miento de Newton, Trabajo y Energía

Cantidad de Movi-miento, Impulsos, choques, Rotación de cuerpos rígidos

Dinámica del Movi-miento Rotacional, Equilibrio, Elastici-dad y Gravitación

TIEMPO MÍNIMO DE ESTUDIO:

UNIDAD Nº 1 UNIDAD Nº 2 UNIDAD Nº 3 UNIDAD Nº 4

1ª y 2ª semana

16 horas

3ª y 4ª semana

16 horas

5ª y 6ª semana

16 horas

7ª y 8ª semana

16 horas







PRESENTACIÓN DE LA ASIGNATURA FÍSICA I








CONTENIDO

BIBLIOGRAFÍA

EJEMPLOS

AUTOEVALUACIÓN

ACTIVIDADES







UNIDAD I: UNIDADES, CANTIDADES FÍSICAS, VECTORES Y MOVIMIENTO EN LÍNEA RECTA







DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD

CONOCIMIENTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES

TEMa N° 1: La NaTUraLEza dE La FísICa1. Estándares y unidades.2. Consistencia y conversiones

de unidades.3. Incertidumbre y cifras signifi-

cativas.4. Estimaciones y órdenes de

magnitud

TEMa N° 2: VECTorEs 1. Adición y sustracción de Vec-

tores 2. Componentes de vectores.3. Vectores unitarios.4. Producto de vectores

TEMa N° 3: MoVIMIENTo EN LíNEa rECTa:1. Desplazamiento, velocidad

media y velocidad instantá-nea.

2. Aceleración media e instantá-nea.

3. Movimiento con aceleración constante.

4. Cuerpos en caída libre.5. Velocidad y aceleración por

integración

TEMa N° 4: MoVIMIENTo EN dos y TrEs dIMENsIo-NEs1. Vectores de posición, veloci-

dad y aceleración.2. Movimiento de proyectiles.3. Movimiento en un círculo

Lectura seleccionada N° 1: Ya tenemos el Higgs, ¿y ahora qué?

autoevaluación de la Unidad I

1. Explica el método científico empleado por la Física.

2. Utiliza las unidades y su estan-darización

3. Aplica estimaciones en cálcu-los realizados.

actividad N° 1:Resuelve ejercicios y problemas.4. Interpreta las magnitudes vec-

toriales5. Explica cómo obtener el mó-

dulo de un vector.6. Resuelve operaciones con

vectores7. Utiliza los vectores unitarios

en ejemplos prácticos.8. Explica del producto escalar y

vectorial.

actividad N° 2:Resuelve ejercicios y problemas.9. Utiliza los conceptos de Movi-

miento unidimensional en la solución de problemas.

10. Explica la caída de cuerpos cerca de la superficie terres-tre.

11. Aplica los conceptos de de-rivación e integración en la solución de problemas de cinemática.

actividad N° 3:Resuelve ejercicios y problemas.12. Explica y resuelve problemas

sobre cinemática de una par-tícula en dos y tres dimensio-nes.

13. Explica el movimiento en un círculo.

actividad N° 4:Resuelve ejercicios y problemas.

1. Toma conciencia del rol de ser estudiante universitario.

2. Demuestra interés en los nue-vos conocimientos y respeta la opinión de sus compañeros.

3. Juzga la importancia del cálcu-lo en su quehacer cotidiano y profesional.


CoMPETENCIa:Maneja los conceptos teóricos sobre unidades, cantidades físicas y vectores, y aplica las leyes que go-biernan el movimiento unidimensional, bidimensional y tridimensional de una partícula.

12







ModalidadVirtual

TEMA N° 1: NATURALEZA DE LA FÍSICA

El mundo está lleno de experiencias que piden ser explicadas. Piense por ejemplo en los colores de un arco iris y en las pompas de jabón, en las colas de vapor de un avión volando a alta altitud, al hecho del agua, en el estado líquido, que se transforma bru-talmente en hielo sólido a una cierta temperatura, en el relámpago y el trueno que se producen durante una tormenta, en la maravillosa simetría hexagonal de un pequeño copo de nieve; todos esos fenómenos así como un número infinito de otros son del dominio específico de la Física.

En general, la esencia de la ciencia está constituida de la observación y de la exploración del mundo que nos rodea, buscando identificar un orden o una estructura en lo que se descubre. La Física es esa parte de la ciencia que trata esencialmente del mundo inani-mado buscando identificar los principios fundamentales y unificadores.

La Física es una ciencia que nos ayuda a comprender el mundo en que vivimos. Los físicos están empeñados en descubrir las leyes que rigen el comportamiento del Univer-so, pero éste sólo revela sus misterios a quienes con constancia, esfuerzo e inteligencia trabajan para descubrir sus maravillas.

El método científico es un método efectivo para adquirir, organizar y aplicar nuevos conocimientos. Su principal fundador fue Galileo (1564-1642). El método científico puede dividirse en varias etapas, estas son:

1. La observación: Es un proceso que nos permite obtener información acerca de los objetos, hechos o fenómenos.

2. La hipótesis: Es una explicación que contesta una pregunta, luego debe ser compro-bada para ver si es correcta o no.

3. La experimentación o búsqueda de información: Servirá para comprobar o refutar una hipótesis a través de la medición o comparación.

4. La organización de la información: Es el resultado de nuevas observaciones, mediciones o indagaciones a través de un experimento o búsqueda de información en libros, revis-tas, entrevistas, etc. Ahora, estos datos obtenidos durante la actividad de investigación, tendremos que organizarlos en cuadros gráficos, esquemas, diagramas, fotos, etc.

5. Las conclusiones o comunicación de los resultados obtenidos: Si comprobamos que la hipótesis planteada es verdadera, nuestra conclusión será VALIDA; en caso de que los hechos investigados no coincidan con la hipótesis, esta será NO VALIDA, por lo que tendremos que replantear la hipótesis

1 EsTÁNdarEs y UNIdadEsLa Física es una ciencia experimental. Los experimentos requieren mediciones cu-yos resultados suelen describirse con números. Un número empleado para descri-bir cuantitativamente un fenómeno físico es una cantidad física. Dos cantidades fí-sicas que describen a una persona son su peso y estatura. Algunas cantidades físicas son tan básicas que sólo podemos definirlas describiendo la forma de medirlas, es decir con una definición operativa. Ejemplos de ello son medir una distancia con una regla, o un lapso de tiempo con un cronómetro.

En otros casos definimos una cantidad física describiendo la forma de calcular a partir de otras cantidades medibles. Así, podríamos definir la velocidad media de un objeto como la distancia recorrida (medida con una regla) entre el tiempo de recorrido (medido con un cronómetro). Al medir una cantidad, siempre la compa-ramos con un estándar de referencia. Este estándar define una unidad de la canti-dad. El metro es una unidad de distancia, y el segundo, de tiempo. Al describir una









cantidad física con un número, siempre debemos especificar la unidad empleada; describir una distancia como “4,56” no significa nada.

Las mediciones exactas y confiables exigen unidades inmutables que los observado-res puedan duplicar en distintos lugares.

El sistema de Unidades empleado por los científicos e Ingenieros en todo el mundo se denomina comúnmente “sistema métrico”, pero desde 1960 su nombre oficial es Sistema Internacional, o SI.

El uso del SI es obligatorio en todos los países, reportando enormes ventajas al comercio, la tecnología y la ciencia. No obstante la utilización del Sistema Ingles subsiste en EEUU, Inglaterra y otros pocos países. (Física Universitaria de Sears–Zemansky)

Ejemplo:

• Longitud: pulgada (“) 1” = 2,54 cm

• Fuerza : libra (lb) 1lb = 4,448 N

2 CoNsIsTENCIa y CoNVErsIÓN dE UNIdadEsUsamos ecuaciones para expresar las relaciones entre cantidades físicas represen-tadas por símbolos algebraicos. Cada símbolo denota siempre un número y una unidad. Por ejemplo, d podría representar una distancia de 10 m, t un tiempo de 5s y v una rapidez de 2 m/s.

Toda ecuación debe ser dimensionalmente consistente. No podemos sumar manza-nas y automóviles; sólo podemos sumar o igualar dos términos si tienen las mismas unidades.

La conversión de unidades es importante, pero también lo es saber cuándo se re-quiere. En general, lo mejor es usar las unidades SI fundamentales dentro de un problema, Si la respuesta se debe dar en otras unidades, espere hasta el final para efectuar la conversión. (Física Universitaria de Sears–Zemansky)

3 INCErTIdUMBrE y CIFras sIGNIFICaTIVasLas mediciones siempre tienen incertidumbre. La incertidumbre también se llama error, porque indica la máxima diferencia probable entre el valor medido y el real. La incertidumbre o error de una valor medido depende de la técnica empleada.

A menudo indicamos la exactitud de un valor medido escribiendo el número, el símbolo y un segundo número que indica la incertidumbre (56,47 0,02 mm).

También podemos expresar la exactitud en términos del error fraccionario o porcentaje de error máximo probable (47 Ω 10%) (Física Universitaria de Sears–Zemansky)

4 EsTIMaCIoNEs y ÓrdENEs dE MaGNITUdEn ocasiones sólo interesa un valor aproximado para una cantidad, ya sea porque un cálculo exacto tomaría más tiempo del que vale la pena o porque se requerirían datos adicionales que no están disponibles. En otros casos, tal vez se quiere hacer una estimación simple con la finalidad de verificar un cálculo exacto hecho en una calculadora, para asegurarnos de que no hubo error al ingresar los números.

Una estimación aproximada se realiza al redondear todos los números a una cifra significativa y su respectiva potencia de 10, y después de que el cálculo se realiza, de nuevo sólo se conserva una cifra significativa. A tal estimación se le conoce


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ModalidadVirtual

como estimación de orden de magnitud y puede ser exacta dentro de un factor de 10, y a menudo mejor. De hecho la frase “orden de magnitud” a veces se usa para hacer referencia simplemente a la potencia de 10. (Física Universitaria de Sears–Zemansky)







aCTIVIdad N° 1:

Esta actividad puede consultarla en su aula virtual.

TEMA N° 2: VECTORES

Algunas cantidades físicas, como tiempo, temperatura, masa, densidad y carga eléctri-ca, se pueden describir plenamente con un número y una unidad, pero muchas otras cantidades importantes están asociadas a una dirección y no pueden describirse con un solo número. Tales cantidades desempeñan un papel fundamental en muchas áreas centrales de la física, como el movimiento y sus causas y los fenómenos de electricidad y magnetismo. Un ejemplo sencillo es el movimiento de un avión; para describirlo ple-namente, de bemos indicar no sólo qué tan rápidamente se mueve, sino también hacia dónde. Para ir de Lima a Huancayo, un avión debe volar al este, no al sur. La rapidez del avión combinada con su dirección constituye una cantidad llamada velocidad.

Si una cantidad física se describe con un solo número, decimos que es una cantidad es-calar. En cambio, una cantidad vectorial tiene una magnitud, dirección y sentido. (Sear Zemanski – Física Vol1)

Vector:

Un vector se representa gráficamente con un segmento de recta orientada y se simboliza haciendo uso de letras del alfabeto sean estas mayúsculas o minúsculas, con una flecha sobre la letra, como A, C, AB.

Elementos de un vector:

| x |: Modulo, longitud, tamaño o norma de un vector

Dirección: Se mide desde algún eje de referencia (α grados sobre la horizontal)

Sentido: Esta dado por la punta de la flecha

A: Punto de aplicación (origen del vector)

B: Punto final (extremo del vector)

Línea de acción: Recta sobre la cual se ubica el vector

1 adICIÓN y sUsTraCCIÓN dE VECTorEsa) Método del paralelogramo

Se forma un paralelogramo, tomando como lados los dos vectores, con origen co-mún, la diagonal que sale del origen común es la resultante.









b) Método del triángulo

Se pone un vector a continuación del otro, la unión del origen del primero con el extremo libre del otro es la resultante.

c) Método del polígono

Es utilizado para sumar más de dos vectores, se coloca un vector a continuación de otro, el vector que une el origen del primero con el extremo libre del último es la resultante.

La resta o diferencia de vectores se define como un caso especial de la suma, apli-cando el método del polígono se puede escribir como:

observaciones:

1ra: La resultante máxima de dos vectores es cuando son paralelas y del mismo sentido (θ=0º)

Rmax = a + b

2da: La resultante mínima de dos vectores es cuando son paralelas y de sentido contrario (θ=180º)

Rmin = a – b

2 CoMPoNENTEs dE VECTorEsUtilizando el sistema de coordenadas cartesianas podemos representar un vector en forma analítica definiendo 3 vectores unitarios, o sea, de módulo la unidad y sin dimensiones, en cada uno de ejes de coordenadas y dirigidos en el sentido positivo de dichos ejes. Estos vectores los designaremos siempre por i (en el eje x), j (en el eje y) y k (en el eje z). Un vector genérico se expresará así: F = Fx i + Fy j + Fz k, sien-do Fx, Fy y Fz las tres componentes del vector F. Estas componentes son escalares y


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ModalidadVirtual

de las mismas dimensiones que F.

En la figura observamos las proyecciones del vector , vector de posición del punto P, sobre los tres ejes de coordenadas, que son por otra parte las 3 componentes de dicho vector. Se pueden expresar en función de los ángulos α, β, y así: x = Acosα; y=Acos β; z=Acos , donde cos α, cos β y cos γ se denominan cosenos directores del vector a.

En tal sentido el vector A en función a sus componentes vectoriales será:

A = Ax i +Ay j + Az k

Cuyo módulo es: |A| = √Ax2 + Ay2 + Az2

Ejemplo:

En la Fig.

El vector es:

A = −2 i + 3 j − 4 k,

y su módulo:

|A| = √(−2)2 + (3)2 + (−4)2

|A| = √29

3 VECTorEs UNITarIosUn vector µ es unitario si su módulo vale la unidad: | µ | = 1. Se obtiene un vector unitario de igual dirección y sentido que un vector a cualquiera multiplicando éste

por el inverso de su módulo, 1/| a |: µ = . Por tanto, un vector siempre se puede

expresar como el pro¬ducto de su módulo por el vector unitario: a = | a | . µ

4 ProdUCTos dE VECTorEsa) Producto escalar de dos vectores

Dados dos vectores a y b , el producto escalar, a . b , es un número igual al pro-ducto de sus módulos por el coseno del ángulo * que forman:

a . b = | a | . | b | . cos ϕ = a b cos ϕ









Expresión analítica del producto escalar

Los productos de los vectores unitarios entre sí valen:

i.i = j.j = k.k = 1.1.cos 0 = 1

i.j = j.k = k.i = 1.1.cos π/2 = 0

Teniendo en cuenta las propiedades es fácil calcular el producto escalar de

a = ax i + ay j + az k por b = bx i + by j + bz k:

a . b = ax bx + ay by + az bz

b) Producto vectorial de dos vectores

El producto vectorial de dos vectores a y b es otro vector, a x b , cuyo módulo vale:

| a x b | = | a | . | b | . sen ϕ = a b sen ϕ

La dirección es perpendicular a los dos vectores y, por tanto, al plano que determinan:

a x b ⊥ a ; a x b ⊥ b

En cuanto al sentido, es el que resulta de aplicar la regla del tornillo o de la mano derecha al giro que lleva a sobre b por el camino más corto; es decir, los vectores a , b y a x b tomados por este orden, con un origen común, deben formar un triedro directo o dextrógiro.

Geométricamente, el producto vectorial representa el área del paralelogramo que forman los dos vectores. Como se ve en la figura, es la altura; por tanto:

Expresión analítica del producto vectorial

Primero calcularemos los productos de los vectores unitarios i , j , k; como sen0 = 0 :

Para el resto de los productos, como los vectores son perpendiculares entre sí y uni-tarios, el resultado es siempre el vector unitario restante o su opuesto. Aplicando la regla del tornillo se deduce que:


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ModalidadVirtual

Ahora, aplicando el producto vectorial entre los vectores por obtenemos:







aCTIVIdad N° 2:


TEMA N° 3: MOVIMIENTO EN LÍNEA RECTA

Es cotidiano encontrar movimientos como la caída vertical de una partícula, como tam-bién lanzamientos de un Jet de combate en la pista de un portaaviones, iniciamos el estu-dio de la mecánica con el movimiento más simple en una sola dimensión o en línea recta. A menudo usaremos una partícula para modelar un cuerpo en movimiento, si efectos tales como la rotación o el cambio de forma no son importantes. Para describir el mo-vimiento de una partícula; introduciremos las cantidades físicas velocidad y aceleración.

Se presenta un resumen teórico del texto Física Universitaria. Vol 1 de Sears–Zemansky, que se puede encontrar en http://books.google.com.pe/books

1 dEsPLazaMIENTo, VELoCIdad MEdIa y VELoCIdad INsTaNTÁNEaDesplazamiento: Es la longitud de la trayectoria comprendida entre la posición inicial y la posición final de un punto material.









Velocidad Media: Es la diferencia de posición que ocupa un móvil cualquiera en dos instantes distintos de su movimiento y el tiempo transcurrido entre ellos.

Velocidad Instantánea: La velocidad instantánea permite calcular la velocidad que posee el móvil en un instante determinado, por lo que se define como el límite de la velocidad media.

Que a su vez, matemáticamente, es la derivada de la posición respecto del tiempo.

La derivada de una curva en un punto equivale a la pendiente de la recta tangente

Distancia (d): La distancia recorrida por un móvil es la longitud de su trayectoria y se trata de una magnitud escalar.

Rapidez media (v) o Velocidad Promedio:


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2 aCELEraCIÓN MEdIa E INsTaNTÁNEaLa aceleración media es la tasa media de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo ∆t.

v2 – velocidad final

v1 – velocidad inicial

∆t – intervalo de tiempo

La aceleración instantánea se obtiene tomando el límite de la aceleración media

Gráficamente, la aceleración instantánea es la pendiente de la tangente en el punto P1.









3 MoVIMIENTo CoN aCELEraCIÓN CoNsTaNTEEl movimiento más sencillo es el rectilíneo con aceleración constante. En este caso, la velocidad, cambia al mismo ritmo todo el tiempo. Se trata de una situación muy especial, pero común en la Naturaleza: como veremos en la sección que sigue, un cuerpo que cae tiene aceleración constante si los efectos del aire no son importan-tes. Lo mismo sucede con un cuerpo que se desliza por una pendiente o sobre una superficie horizontal áspera. El movimiento rectilíneo con aceleración casi constan-te se da también en la tecnología, como cuando un jet de combate es lanzado con catapulta desde un portaviones.

Considerando:

Sustituyendo la aceleración media por la aceleración constante ax

Para un t1 = 0, t2 = t y la V1x se convierte en Vox

Gráficas para un movimiento con Aceleración Constante

4 CUErPos EN Caída LIBrECuando se suelta un cuerpo a una determinada altura, éste cae a través de la vertical, para ello ejerce un movimiento que toma el nombre mencionado. Si el cuerpo es lanzado desde la superficie hacia “arriba” también describe una trayectoria vertical.


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ModalidadVirtual

NoTa:

En el caso de nuestro planeta, los cuerpos cercanos a ella caen porque la Tierra ejerce atracción sobre los cuerpos próximos a la superfi cie con una fuerza llamada peso.

Aceleración de la Gravedad (g)

Es aquella aceleración con la cual caen los cuerpos. Su valor depende íntegramen-te del lugar en que se tome.

En la superfi cie terrestre esta aceleración no es constante, esto se debe a que la tierra no es perfectamente esférica y además posee superfi cies accidentadas.

• En el caso de la caída libre (caída de un cuerpo cerca de la superfi cie terrestre), se aplican las mismas ecuaciones del MRUV, considerando que g = 9,8 m/s2

• Eso signifi ca que TODOS los cuerpos, cerca de la superfi cie terrestre, caen con la misma aceleración. g = cte

• Como es un movimiento con aceleración constante, debe regirse por las mismas ecuaciones del MRUV.

5 VELoCIdad y aCELEraCIÓN Por INTEGraCIÓN

Desplazamiento para cualquier movimiento rectilíneo:

Desplazamiento para cualquier movimiento rectilíneo

Para un MRU se tiene velocidad constante

Si to = 0









Velocidad como función del tiempo

Velocidad para cualquier movimiento rectilíneo

Para un movimiento con aceleración constante

Velocidad como función de la posición

Válido para cualquier movimiento rectilíneo

Para un movimiento con aceleración constante







aCTIVIdad N° 3:


TEMA N° 4: MOVIMIENTO EN DOS Y TRES DIMENSIONES

Al comenzar el estudio de este tema, comenzaremos preguntándonos ¿Cómo describimos el movimiento de un carro de montaña rusa en una curva o el vuelo de una mariposa alrededor de un campo abierto o quizás analizar la trayectoria que describe una partícula expulsada de un volcán?

No podríamos contestar estas preguntas usando los conceptos del Tema anterior, debe-mos comprender que en el mundo todo análisis es tridimensional.

Para conocer este tema se presenta un resumen teórico del texto Física Universitaria. Vol 1 de Sears–Zemansky, que se puede encontrar en http://books.google.com.pe/books

1 VECTorEs dE PosICIÓN, VELoCIdad y aCELEraCIÓN Vector Posición: Es aquel vector dirigido desde el origen de un sistema coorde-nado hacia el punto de ubicación instantánea P la partícula. Se representa por:


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Vector Desplazamiento: Al moverse la partícula en el espacio, el camino que sigue es en general una curva al que llamamos trayectoria Durante un intervalo de tiem-po Dt, la partícula se mueve de P1, donde su vector de posición es r1, a P2, donde su vector de posición es r2. El cambio de posición que experimenta la partícula se denomina desplazamiento.

Velocidad Media: Cuando la partícula se mueve de P1 a P2 experimenta un desplaza-miento ∆r en un intervalo de tiempo ∆t. la velocidad media se defi ne como:

La velocidad media es un vector que tiene la misma dirección que el desplazamien-to es decir es secante a la curva.

Velocidad Instantánea: Si el intervalo de tiempo se hace cada ves más pequeño (∆t→0), el desplazamiento también tiende a cero. Llevando al límite la velocidad

media se obtiene la velocidad instantánea. Es decir:

La velocidad instantánea es un vector tangente a la trayectoria.









Aceleración media: Cuando la partícula cambia de posición su velocidad también cambia. Entonces la aceleración media será:

Es un vector que se encuentra dirigido a lo largo del cambio de velocidades.

Aceleración instantánea: Se obtiene llevando al límite la aceleración media.

Es un vector que se encuentra dirigido hacia la concavidad de la curva y su magni-tud es:

Componentes tangencial y normal de la aceleración:

- Consideremos el movimiento de una partícula en una trayectoria curva plana.

- En el tiempo t se encuentra en P con una velocidad v en dirección tangente y una aceleración a dirigida hacia la concavidad de la curva. La aceleración puede des-


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componerse en una componente tangencial at (aceleración tangencial) paralela a la tangente y otra paralela a la normal an (aceleración normal)

- La aceleración tangencial es la responsable del cambio en el modulo de la velocidad.

- La aceleración normal es la responsable del cambio en la dirección de la velocidad.

2 MoVIMIENTo dE ProyECTILEsEs caso más simple del movimiento plano, en el cual:

• Aceleración horizontal es: ax = 0.

• Aceleración vertical es: ay = −g = −9,81 m/s2

Consideraciones para el movimiento parabólico

Para analizar este movimiento se usa las siguientes consideraciones:

(a) El alcance del proyectil es suficientemente pequeño como para poder despre-ciar la curvatura de la superficie terrestre (la aceleración gravitatoria g es nor-mal a dicha superficie);

(b) La altura que alcanza el proyectil es suficientemente pequeña como para poder despreciar la variación del campo gravitatorio (aceleración de la gravedad) te-rrestre con la altura;

(c) La velocidad del proyectil es suficientemente pequeña como para poder despre-ciar la resistencia que presenta el aire al movimiento del proyectil.

(d) No tendremos en cuenta el efecto de rotación de la Tierra que, como veremos más adelante, tiende a desviar el proyectil hacia la derecha de su trayectoria cuando el movimiento tiene lugar en el hemisferio Norte.









Ecuaciones del movimiento parabólico

Movimiento horizontal: Debido a que ax = 0

Movimiento vertical: Debido a que ay = −g (cte)

Altura máxima y alcance horizontal:

Cuando se estudia el movimiento de proyectiles, dos características son de especial interés.

1. El alcance R, es la máxima distancia horizontal alcanzada por el proyectil:

2. La altura máxima H alcanzada por el proyectil:


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Alcance horizontal realizado por el proyectil.

Movimiento semiparabólico

3 MoVIMIENTo EN UN CírCULoCuando una partícula se mueve en un círculo con rapidez constante, tiene un mo-vimiento circular uniforme. Un auto que da vuelta a una curva de radio constante con rapidez constante, un satélite en órbita circular y un patinador que describe un círculo con rapidez constante son ejemplos de este movimiento. No hay compo-nente de aceleración paralela (tangente) a la trayectoria; si la hubiera, la rapidez cambiaría. La componente de aceleración perpendicular (normal) a al trayectoria, que causa el cambio de dirección de la velocidad, tienen una relación sencilla con la rapidez de la partícula y el radio del círculo.









Movimiento circular no uniforme

Si la rapidez varia, tenemos un movimiento circular no uniforme. Un ejemplo es un carrito de montaña rusa que frena y se acelera al moverse en un lazo vertical. En el movimiento circular no uniforme nos sigue dando la componente radial de aceleración arad = v2/r, siempre perpendicular a la velocidad instantánea y dirigida al centro del círculo. Sin embargo, dado que la rapidez v tiene diferentes valores en diferentes puntos, arad no es constante. La aceleración radial (centrípeta) es mayor donde v es mayor.

En el movimiento circular no uniforme también hay una componente de acele-ración paralela a la velocidad instantánea. Ésta es la componente paralela y aquí llamamos atan para subrayar que es tangente al círculo, en consecuencia atan es igual a la tasa de cambio de la rapidez.







aCTIVIdad N° 4:



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aUToEVaLUaCIÓN dE La UNIdad N° I

INSTRUCCIONES: Seleccionar y marcar la respuesta correcta de las 5 alternativas pre-sentadas en cada pregunta. (Cada pregunta tiene un valor de 2 puntos)

1. Según la etiqueta de un frasco de aderezo para ensalada, el volumen del contenido es 0,573 litros (L). Use sólo las conversiones 1 L = 1000 cm3 y 1pulg = 2,54 cm para expresar dicho volumen en pulgadas cúbicas.

a) 34,97 in3

b) 28,86 in3

c) 43,97 in3

d) 24,97 in3

e) 54,97 in3

2. Determina el vector resultante.

a)

b)

c)

d)

e)

3. Un Auto viaja en línea recta en carretera. Su distancia x de un letrero de alto está dada en función de t por: x(t) = (2t2 + 3t3) m. Calcule la velocidad media del auto para el intervalo de t = 1,00 s a t = 2,00 s.

a) 33 m/s

b) 44 m/s

c) 11 m/s

d) 55 m/s

e) 22 m/s

4. La velocidad de un auto en función del tiempo está dada por v¬x(t) = (2 + 0,15t2) m/s. Calcule la aceleración instantánea en t = 2.00 s.

a) 0,3 m/s2

b) 0,4 m/s2

c) 0,5 m/s2

d) 0,6 m/s2

e) 0,7 m/s2

5. Un tren subterráneo en reposo parte de una estación y acelera a 1,6 m/s2 durante 14s, viaja con rapidez constante 70 s y frena a 3,5 m/s2 hasta parar en la siguiente estación. Calcule la distancia total cubierta.

a) 156,8 m

b) 1568 m

c) 71,68 m

d) 1796,48 m

e) 1724,8 m

6. Si una pulga puede saltar 0,44 m hacia arriba, ¿qué rapidez tiene al separarse del suelo?

a) 0,94 m/s









b) 1,94 m/s

c) 2,94 m/s

d) 3,94 m/s

e) 4,94 m/s

7. La aceleración de un camión está dada por donde α = 1,2 m/s3. Si la ra-pidez del camión en t = 1 s es 5 m/s, cuál será en t = 2?. Si la posición del camión en t = 1 s es 6 m, ¿cuál será en t = 2 s?

a) 6,8 m/s

b) 7,4 m/s

c) 4,8 m/s

d) 7,8 m/s

e) 8,8 m/s

8. Un diseñador de páginas Web crea una animación en la que un punto en una pan-talla de computadora tiene posición . Deter-mine la magnitud de la velocidad instantánea en t = 3,0 s.

a) 11,38 m/s

b) 12,38 m/s

c) 21,38 m/s

d) 31,28 m/s

e) 13,28 m/s

9. Qué rapidez inicial imparte el jugador al balón para que logre que la pelota pase por el centro de la canasta.

a) 4,65 m/s

b) 6,65 m/s

c) 8,65 m/s

d) 7,65 m/s

e) 5.65 m/s

10. Un modelo de rotor de helicóptero tiene cuatro aspas, cada una de 4,20 m de longi-tud desde el eje central hasta la punta. El modelo se gira en un túnel de viento a 600 rpm. ¿Qué aceleración radial tiene la punta del aspa en m/s2?

a) 12,58 x 103 m/s2

b) 13,58 x 103 m/s2

c) 14,58 x 103 m/s2

d) 15,58 x 103 m/s2

e) 16,58 x 103 m/s2


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LECTUra sELECCIoNada N° 1

ya TENEMos EL HIGGs, ¿y aHora qUé?

“Gracias, Naturaleza”. Con esas palabras, Fabiola Gianotti, portavoz del experimento ATLAS, del CERN, terminaba la histórica intervención durante la que confi rmaba el hallazgo de una nueva partícula con todas las características predichas para el Bosón de Higgs.

Antes que ella, Joe Incandela, portavoz del CMS, el segundo gran experimento eu-ropeo implicado en la búsqueda, hacía lo propio ante un auditorio que estalló en vítores y aplausos. Incandela consiguió emocionar al mismísimo Peter Higgs, el físico que en 1964 predijo la existencia de la partícula, que no logró contener las lágrimas. El anuncio de los resultados obtenidos por separado por ATLAS y CMS pone fi n a casi cincuenta años de “cacería”, la más larga, intensa y costosa de toda la historia de la Física moderna.

¿Cuál o cuáles serán, a partir de ahora, los pasos siguientes?

Muchos están convencidos de que el hallazgo del Bosón de Higgs abre las puertas a nuevos y apasionantes campos de investigación, y a respuestas con las que hoy la Física apenas si se atreve a soñar. Materia oscura, supersimetría, unifi cación de las fuerzas de la Naturaleza… Hoy se ha cruzado un umbral que abre para la Ciencia infi nitas posi-bilidades. Aunque resulta difícil concretar, éstas son algunas de las consecuencias más previsibles del hallazgo del Higgs.

Confi rmación del Modelo Estándar

El Modelo Estándar es la teoría que engloba todos nuestros conocimientos sobre el mundo subatómico. El modelo predice con exactitud todas las partículas que forman la materia, y también las fuerzas que actúan entre ellas, haciendo posible que el Universo sea tal y como lo conocemos.

Todas las partículas predichas por el Modelo Estándar han sido paulatinamente descu-biertas en laboratorio; sólo faltaba una: el Bosón de Higgs. Su hallazgo supone la con-fi rmación defi nitiva de que las ideas actuales son correctas, por lo menos en cuanto se refi ere a la materia ordinaria, de la que todos estamos hechos. Si el Higgs no se hubiera descubierto, habríamos tenido que asumir que algo en el Modelo Estándar estaba equi-vocado, y eso habría obligado a replantear todo desde el principio.

Sin embargo, y a pesar de su exactitud, el Modelo Estándar sigue sin poder “cuantifi -car” la gravedad, una de las cuatro fuerzas fundamentales de la Naturaleza, y tampoco explica lo que son la materia y la energía oscuras, responsables del 96% de la masa del Universo. Toda la materia ordinaria, la que forma las galaxias, las estrellas y los planetas,









apenas si suma un 4% del total. Puede que el Higgs abra nuevas ventanas para la com-prensión del Universo en que vivimos.

Fabiola Gianotti, portavoz del experimento ATLAS, del CERN y Peter Higgs cuya recién descubierta partícula lleva su nombre.

El origen de la masa

Si hay algo que hemos oído ya hasta la saciedad es que el Bosón de Higgs puede resolver el misterio de por qué las cosas tienen masa. Algo que, si lo pensamos mínimamente, resulta de la máxima importancia, ya que si las partículas subatómicas no tuvieran masa la materia sólida no existiría.

El Bosón de Higgs está asociado a un campo energético, llamado el Campo de Higgs, que inunda todo el Universo de la misma forma en que el agua inunda una piscina. Y es precisamente así, “nadando” en el campo de Higgs, cómo las diferentes partículas (protones, neutrones, electrones, etc.) adquieren su masa.

El LHC (Large Hadron Collider en sus siglas en inglés) es un acelerador de partículas construido en el laboratorio del CERN, e instalado en un túnel circular de 27 kilómetros de circunferencia a cien metros de profundidad en la frontera franco-suiza cerca de Ginebra.

Las más pequeñas y ligeras encuentran menos resistencia a la hora de moverse; las más grandes lo hacen con mayor difi cultad. Sin este mecanismo, ninguna partícula tendría masa, y ninguna de ellas habría podido juntarse con otras partículas para formar átomos y, después, poco a poco, objetos más complejos y grandes, como estrellas y planetas (o seres humanos).

Por eso, el hallazgo del Bosón de Higgs también confi rma que este mecanismo existe, y que funciona además tal y como lo predecían las teorías. Ahora, el siguiente paso será el de explicar la razón por la que cada tipo individual de partícula tiene exactamente la masa que tiene, y no cualquier otra. Lo que, a su vez, podría abrir las puertas a cuestio-nes que, hoy por hoy, siguen envueltas en el misterio.


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La unifi cación de las fuerzas

Existen cuatro fuerzas fundamentales en la Naturaleza: electromagnetismo, fuerza nu-clear fuerte, fuerza nuclear débil, y gravedad. Cada una de ellas cuenta con una partícu-la “mensajera” que es la que transporta la unidad mínima de cada fuerza concreta (por ejemplo, el fotón para el electromagnetismo, y los bosones W y Z para la fuerza nuclear débil). Y los físicos están convencidos de que es posible unifi car las cuatro fuerzas en una única teoría que las englobe a todas.

A fi nales del siglo XIX, James Clerk Maxwell dio el primer paso hacia esta “gran uni-fi cación” al descubrir que la electricidad y el magnetismo son, en realidad, una única fuerza que se manifi esta de dos formas diferentes. La partícula mensajera para ambas, en efecto, es la misma: el fotón.

Ahora, el Bosón de Higgs haría posible “unifi car” además con el electromagnetismo la fuerza nuclear débil, que es la responsable de la desintegración radiactiva de las dife-rentes partículas. Basta pensar en los avances que permitió la comprensión de la fuerza electromagnética (unifi cada) para darse cuenta de la importancia, y las posibilidades, que tendrá la nueva “fuerza electrodébil”.

El generador ATLAS es un detector de 45 metros de longitud, 25 metros de altura, 7000 toneladas de peso, y con más de 160 millones de canales de lectura. El volumen de datos

acumulados por los experimentos es inmenso (equivalente a 27 CDs por minuto).

Mucho más adelante, quizá, será posible unifi car también la fuerza nuclear fuerte (que es la responsable de la cohesión de los núcleos atómicos, y cuya partícula mensajera es el gluón) y la gravedad, la auténtica “bestia negra” de la Física actual, ya que se resiste más que ninguna otra a ser “cuantifi cada” por los científi cos.

¿Es el bosón de Higgs la partícula de Dios?

Supersimetría

Otra teoría que seguramente se verá afectada (y mucho) por el descubrimiento del Hi-ggs es la de la Supersimetría. Según esta idea, cada una de las partículas conocidas debe tener una “superpartícula” asociada, muy parecida a su “socia” pero con características sutilmente diferentes, entre ellas una masa mucho mayor.









Y a pesar de que hasta ahora no hay evidencias experimentales que la validen, la Super-simetría resulta enormemente atractiva porque podría contener las claves para la unifi -cación de las dos fuerzas de la Naturaleza que aún se nos resisten, las ya citadas fuerza nuclear fuerte, y la gravedad.

Peter Higgs: 'Nunca pensé que esto ocurriría estando yo con vida'.

E incluso podría suministrar una partícula candidata a ser la unidad mínima de materia oscura, esa “otra clase” de materia de la que no sabemos prácticamente nada y cuya existencia conocemos sólo por los efectos (gravitatorios) que produce en la materia ordinaria, que sí podemos ver.

Por supuesto, todos estos nuevos conocimientos teóricos llevarán a un incontable (e imprevisible) número de aplicaciones prácticas que, hoy por hoy, ni siquiera podemos atisbar. Pensemos lo que sería el mundo sin electricidad, energía atómica, internet, electrónica,… es decir, si nunca hubiéramos luchado por comprender cómo funciona el electromagnetismo o la energía atómica.

Dicen que, en pleno siglo XIX y durante una presentación pública, un político pregun-tó a Michael Faraday, descubridor de la inducción electromagnética, para qué demo-nios podría servir su descubrimiento. A lo cual Faraday respondió: “Señor, no estoy muy seguro, pero es más que probable que dentro de veinte años usted cobre impuestos por ello”.

Fuente: ABC

Rolf Heuer, Director General del CERN, responde a la pregunta de un periodista sobre la búsqueda del bosón de Higgs en Meyrin, cerca de Ginebra el miércoles.

Quantum opina:

El descubrimiento del bosón de Higgs es tan importante para la Física como el descu-brimiento del ADN lo fue para Biología, y aún más, tiene la misma importancia como la que tenía la electricidad a mediados del siglo XIX. Este hallazgo establece el marco


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para una nueva aventura en el esfuerzo por comprender la estructura del Universo y la creación del Universo mismo. Este anuncio asegura que el Modelo Estándar es correcto, y ahora se podrá empezar a explorar hasta dónde lleva esta partícula, y profundizar más en el Modelo Estándar.

De seguro muchos ahora se han preguntado que es el bosón de Higgs y les explico: Es la partícula que confiere masa a todas las demás partículas. Existen 2 categorías impor-tantes que son los "bosones" y los "fermiones". Los bosones transportan las unidades mínimas de cada una de las cuatro fuerzas de la naturaleza. Los fermiones (protones, neutrones...) son los que forman los átomos y la materia sólida. Los fermiones son los 'ladrillos' de la materia. Los bosones son el 'cemento' que los mantiene unidos.

Leer más:

http://www.quantum-rd.com/2012/07/ya-tenemos-el-higgs-y-ahora-que.html#ixzz22G0BhznGDiagrama Objetivos Inicio






BIBLIoGraFía dE La UNIdad I:

Francis W. sears, Mark W. zemansky, Hugh d. young y roger a. Freedman. Física Univer-sitaria. Vol 1. XII Edición Pearson Education; México; 2006.

raymond a. serway y John W. Jevett. Física para Ciencias e Ingenierías. Vol 1. VI Edición. Editorial Thomson; 2002.

Paul a.Tipler y Gene Mosca. Física para la Ciencia y la Tecnología. Vol. 1. V Edición. Edi-torial Reverte.- 2006















UNIDAD II: LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON, TRABAJO Y ENERGÍA









Tema N° 1: LEyEs dEL Mo-VIMIENTo dE NEWToN1. Primera ley de Newton o

Ley de la inercia. 2. Segunda ley de Newton o

Ley de fuerza. 3. Tercera Ley de Newton o

Ley de acción y reacción.

Tema N° 2: aPLICaCIÓN dE Las LEyEs NEWToN1. Empleo de la primera ley

de Newton: partícula en equilibrio.

2. Empleo de la segunda ley de Newton: dinámica de partí-culas. Fuerzas de fricción.

3. Dinámica del movimiento circular.

Tema N° 3: TraBaJo y ENErGía CINéTICa1. Trabajo mecánico. 2. Trabajo y energía cinética. 3. Trabajo y energía con fuer-

zas variables. 4. Potencia

Tema N° 4: ENErGía Po-TENCIaL y CoNsErVa-CIÓN dE La ENErGía

1. Energía potencial

2. Energía potencial gravitatoria.

3. Energía potencial elástica

4. Fuerzas conservativas y no conservativas.

5. Fuerza y energía potencial.

Lectura seleccionada N° 1:

Stephen W. Hawking, el Isaac Newton de nuestros tiempos

autoevaluación de la Unidad II

1. Explica las leyes de Newton en la naturaleza.

2. Identifica los casos en las que se aplican las leyes de Newton.

actividad N° 1:Resuelve ejercicios y proble-mas.3. Aplica los conceptos de

una partícula en equili-brio usando la 1ra. Ley de Newton.

4. Aplica los conceptos de fricción entre superficies usando la 2da. Ley de Newton.

5. Resuelve satisfactoriamente problemas sobre rozamiento.

actividad N° 2:Resuelve ejercicios y proble-mas.6. Explica el concepto de tra-

bajo desarrollado por una fuerza.

7. Resuelve satisfactoriamente problemas relativos a traba-jo y energía.

actividad N° 3:Resuelve ejercicios y proble-mas.8. Explica el concepto de

Energía potencial. Explica la ley de conservación de la energía. Resuelve proble-mas de energía potencial y conservación de la energía.

actividad N° 4:Resuelve ejercicios y proble-mas.


2. Demuestra interés en los nuevos conocimientos y res-peta la opinión de sus com-pañeros.

3. Juzga la importancia del cál-culo en su quehacer cotidia-no y profesional.

CONTENIDO

BIBLIOGRAFÍA

EJEMPLOS

AUTOEVALUACIÓN

ACTIVIDADES

CoMPETENCIa:Utiliza las leyes de Newton a la solución correcta de problemas de la mecánica clásica e interpreta las leyes del trabajo, potencia, energía y conservación de la energía mecánica.


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TEMA N° 1: LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON

En este capítulo usaremos las cantidades de cinemática, desplazamiento, velocidad y ace-leración junto con dos conceptos nuevos, fuerza y masa, para analiza los principios de la dinámica, los cuales se resumen en las leyes del movimiento de Newton. La primera ley dice que si la fuerza neta sobre un cuerpo es cero, su movimiento no cambia. La segunda ley relaciona la fuerza con la aceleración cuando la fuerza neta no es cero. La tercera ley es una relación entre las fuerzas que ejercen dos cuerpos que interactúan uno con el otro.

Las leyes de Newton no son producto de deducciones matemáticas, sino una síntesis ob-tenida por los físicos que han descubierto al realizar un sin número de experimentos con cuerpos en movimientos. Dichas leyes son verdaderamente fundamentales porque no pueden deducirse ni demostrarse a partir de otros principios. La gran importancia de las leyes e Newton radica en que permiten entender la mayor parte de los movimientos comunes; son la base de la mecánica clásica (o mecánica newtoniana). Sin embargo, las leyes de Newton no son universales; requieren modifi cación a velocidades muy altas (cer-canas a la de la luz) y para tamaños muy pequeños (dentro del átomo)

Se presenta parte de un resumen teórico del texto Física Universitaria. Vol 1 de Sears–Ze-mansky, que se puede encontrar en http://books.google.com.pe/books como también aportes teóricos de http://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newton

Sir Isaac Newton (1642-1727) fue el primero en enunciar claramente las leyes del mo-vimiento, publicándolas en 1687 en su Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (“Principios matemáticos de la fi losofía natural”). Muchos científi cos anteriores a Newton hicieron contribuciones a los cimientos de la mecánica, entre ellos: Copérnico, Brahe, Kepler y sobre todo Galileo Galilei (1564 -1642) quien murió el año en que nació Newton. De hecho, Newton dijo: “Si he podido ver un poco más lejos que otros hombres, es porque me he parado en los hombros de gigantes”. Ahora le toca a Ud. pararse en los hombros de Newton y usar sus leyes para entender cómo funciona el mundo físico.

El planteamiento de las leyes de Newton es sencillo, pero muchos estudiantes las en-cuentran difíciles de comprender y manejar. La razón es que, antes de estudiar física, hemos pasado años caminando, lanzando pelotas, empujando cajas y haciendo muchas otras cosas que implican movimiento. AL hacerlo, hemos desarrollado ciertas ideas de “sentido común” respecto al movimiento y sus causas. Sin embargo, muchas de esas ideas o resisten un análisis lógico. Una buena parte de la tarea de este capítulo es ayu-darnos a reconocer cuándo las ideas de “sentido común” nos conducen al error, y cómo ajustar nuestro entendimiento del mundo físico de modo que sea congruente con lo que nos dicen los experimentos.

Las Leyes de Newton, también conocidas como Leyes del movimiento de Newton, son tres principios a partir de los cuales se explican la mayor parte de los problemas plan-









teados por la dinámica, en particular aquellos relativos al movimiento de los cuerpos. Revolucionaron los conceptos básicos de la física y el movimiento de los cuerpos en el universo, en tanto que constituyen los cimientos no sólo de la dinámica clásica sino también de la física clásica en general.

Aunque incluyen ciertas definiciones y en cierto sentido pueden verse como axiomas, Newton afirmó que estaban basadas en observaciones y experimentos cuantitativos; cier-tamente no pueden derivarse a partir de otras relaciones más básicas. La demostración de su validez radica en sus predicciones. La validez de esas predicciones fue verificada en todas y cada uno de los casos durante más de dos siglos.

En concreto, la relevancia de estas leyes radica en dos aspectos:

Por un lado, constituyen, junto con la transformación de Galileo, la base de la mecánica clásica; Por otro, al combinar estas leyes con la Ley de la gravitación universal, se pueden deducir y explicar las Leyes de Kepler sobre el movimiento planetario.

Así, las Leyes de Newton permiten explicar tanto el movimiento de los astros, como los movimientos de los proyectiles artificiales creados por el ser humano, así como toda la mecánica de funcionamiento de las máquinas.

El primer concepto que maneja es el de masa, que identifica con "cantidad de materia"; la importancia de esta precisión está en que le permite prescindir de toda cualidad que no sea física-matemática a la hora de tratar la dinámica de los cuerpos.

1 PrIMEra LEy dE NEWToN o LEy dE La INErCIa: La primera ley del movimiento rebate la idea aristotélica de que un cuerpo sólo puede mantenerse en movimiento si se le aplica una fuerza. Newton expone que:

Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sea obligado a cambiar su estado por fuerzas impresas sobre él.

Esta ley postula, por tanto, que un cuerpo no puede cambiar por sí solo su estado inicial, ya sea en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme, a menos que se aplique una fuerza neta sobre él. Newton toma en cuenta, así, el que los cuerpos en movimiento están sometidos constantemente a fuerzas de roce o fricción, que los frena de forma progresiva, algo novedoso respecto de concepciones anteriores que entendían que el movimiento o la detención de un cuerpo se debía exclusiva-mente a si se ejercía sobre ellos una fuerza, pero nunca entendiendo como esta a la fricción.

En consecuencia, un cuerpo con movimiento rectilíneo uniforme implica que no existe ninguna fuerza externa neta o, dicho de otra forma, un objeto en movimien-to no se detiene de forma natural si no se aplica una fuerza sobre él. En el caso de los cuerpos en reposo, se entiende que su velocidad es cero, por lo que si esta cam-bia es porque sobre ese cuerpo se ha ejercido una fuerza neta.

2 sEGUNda LEy dE NEWToN o LEy dE FUErza: La segunda ley del movimiento de Newton dice que el cambio de momentum lineal


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es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime.

Esta ley explica qué ocurre si sobre un cuerpo en movimiento (cuya masa no tiene por qué ser constante) actúa una fuerza neta: la fuerza modificará el estado de mo-vimiento, cambiando la velocidad en módulo o dirección. En concreto, los cambios experimentados en la cantidad de movimiento de un cuerpo son proporcionales a la fuerza motriz y se desarrollan en la dirección de esta; esto es, las fuerzas son causas que producen aceleraciones en los cuerpos.

En términos matemáticos esta ley se expresa mediante la relación:

Donde es la cantidad de movimiento y la fuerza total. Bajo la hipótesis de cons-tancia de la masa, puede reescribirse más sencillamente como: que es la ecuación fundamental de la dinámica, donde la constante de proporcionalidad distinta para cada cuerpo es su masa de inercia, pues las fuerzas ejercidas sobre un cuerpo sirven para vencer su inercia, con lo que masa e inercia se identifican. Es por esta razón por la que la masa se define como una medida de la inercia del cuerpo.

Por tanto, si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula no es cero, esta partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud de la resultante y en dirección de ésta.

Unidad de Fuerza: Newton

De la ecuación fundamental se deriva también la definición de la unidad de fuerza o newton (N). Si la masa y la aceleración valen 1, la fuerza también valdrá 1; así, pues, el newton es la fuerza que aplicada a una masa de un kilogramo le produce una aceleración de 1 m/s2. Se entiende que la aceleración y la fuerza han de tener la misma dirección y sentido.

1N = 1kg. m/s2

La importancia de esa ecuación estriba sobre todo en que resuelve el problema de la dinámica de determinar la clase de fuerza que se necesita para producir los dife-rentes tipos de movimiento: rectilíneo uniforme (m.r.u), circular uniforme (m.c.u) y uniformemente acelerado (m.r.u.a).

Si sobre el cuerpo actúan muchas fuerzas, habría que determinar primero el vector suma de todas esas fuerzas. Por último, si se tratase de un objeto que cayese hacia la tierra con una resistencia del aire igual a cero, la fuerza sería su peso, que provoca-ría una aceleración descendente igual a la de la gravedad.

3 TErCEra LEy dE NEWToN o LEy dE aCCIÓN y rEaCCIÓNCon toda acción ocurre siempre una reacción igual y contraria: o sea, las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en direcciones opuestas.

Σ









La tercera ley es completamente original de Newton (pues las dos primeras ya ha-bían sido propuestas de otras maneras por Galileo, Hooke y Huygens) y hace de las leyes de la mecánica un conjunto lógico y completo. Expone que por cada fuerza que actúa sobre un cuerpo, éste realiza una fuerza de igual intensidad y dirección, pero de sentido contrario sobre el cuerpo que la produjo. Dicho de otra forma, las fuerzas, situadas sobre la misma recta, siempre se presentan en pares de igual mag-nitud y opuestas en dirección.

Es importante observar que este principio de acción y reacción relaciona dos fuer-zas que no están aplicadas al mismo cuerpo, produciendo en ellos aceleraciones diferentes, según sean sus masas. Por lo demás, cada una de esas fuerzas obedece por separado a la segunda ley.

Junto con las anteriores, permite enunciar los principios de conservación del mo-mento lineal y del momento angular.

Las Leyes de Newton, tal como fueron escritas, sólo son válidas en los sistemas de referencia inerciales, o más precisamente, para aplicarlas a sistemas no-inerciales, re-quieren la introducción de las llamadas fuerzas ficticias, que se comportan como fuer-zas pero no están provocadas directamente por ninguna partícula material o agente concreto, sino que son un efecto aparente del sistema de referencia no inercial.

Las leyes de Newton constituyen tres principios aproximadamente válidos para ve-locidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz c=300000 km/s.

Diagrama de Cuerpo Libre DCL

Hacer el D.C.L. de un cuerpo es representar gráfi camente las fuerzas que actúan en él. Para esto se siguen los siguientes pasos:

1. Se aísla al cuerpo, de todo el sistema.

2. Se representa al peso del cuerpo mediante un vector dirigido siempre hacía el centro de la Tierra (W).

3. Si existiesen superfi cies en contacto, se representa la reacción mediante un vec-tor perpendicular a dichas superfi cies y empujando siempre al cuerpo (N ó R).

4. Si hubiesen cuerdas o cables, se representa a la tensión mediante un vector que está siempre jalando al cuerpo, previo corte imaginario (T).

5. Si existiesen barras comprimidas, se representa a la compresión mediante un vector que está siempre empujando al cuerpo, previo corte imaginario (C).

6. Si hubiese rozamiento se representa a la fuerza de roce mediante un vector tan-gente a las superfi cies en contacto y oponiéndose al movimiento o posible movi-miento.


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DCL en diferentes tipos de apoyo







aCTIVIdad N° 1:


TEMA N° 2: APLICACIÓN DE LAS LEYES NEWTON

Ya vimos en el Tema N° 1 de la II unidad que las leyes del movimiento de Newton, cimientos de la mecánica clásica, tienen un planteamiento muy sencillo, pero su aplica-ción a situaciones como un velero para hielo que patina sobre un lago congelado, un tobogán que se desliza colina abajo o un avión a reacción que efectúa una vuelta cerra-da requiere capacidad analítica y técnica para resolver problemas. En este Tema N° 2 ampliaremos las destrezas para resolver problemas que el lector comenzó a desarrollar en el Tema anterior.

Para su conocimiento se presentan aportes del texto Física 1 de Luis Rodriguez Va-lencia, que se pueden encontrar en http://fi sica.usach.cl/~lhrodrig/fi sica1/fi sica-i.pdf









además también se consideraron algunos conceptos de las direcciones:

http://es.wikipedia.org/wiki/Fricci%C3%B3n

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fi sica/dinamica/rozamiento/general/rozamiento.htm

1 EMPLEo dE La PrIMEra LEy dE NEWToN: ParTíCULa EN EqUILIBrIoFuerzas y equilibrio

La estática determina las condiciones bajo las cuales un cuerpo actuado por diver-sas fuerzas permanece en equilibrio, es decir en reposo. El desarrollo de la estáti-ca viene desde mucho tiempo atrás, mucho antes del desarrollo de la dinámica. Algunos de sus principios fueron formulados por los egipcios y los babilónicos en problemas relacionados con la construcción de las pirámides y de templos. Entre los más antiguos escritos sobre este tema se puede mencionar a Arquímedes quién formuló los principios del equilibrio de fuerzas actuando en palancas y algunos principios de la hidrostática. Por estas razones no creemos conveniente considerar a la estática como un caso particular de la dinámica.

La principal razón para que el desarrollo de la dinámica fuera posterior, está di-rectamente relacionada con el desarrollo de los métodos para medir el tiempo, es decir del desarrollo de los relojes.

Generalmente ocurre algo similar. Un avance en una teoría permite la construc-ción de nuevos aparatos de medición que a su vez ayudan a perfeccionar la teoría y así sucesivamente. El desarrollo de nuevas tecnologías permite el avance en las teorías y recíprocamente. ¿Qué fue primero?. Nuestra posición es que lo primero es la observación del mundo natural mediante los instrumentos naturales básicos, nuestros sentidos.

Condiciones de equilibrio. Leyes de la estática

La condición necesaria y suficiente para que una partícula permanezca en equili-brio (en reposo) es que la resultante de las fuerzas que actúan sobre ella sea cero

•

Naturalmente con esta condición la partícula podría también moverse con velo-cidad constante, pero si está inicialmente en reposo la anterior es una condición necesaria y suficiente.

2 EMPLEo dE La sEGUNda LEy dE NEWToN: dINÁMICa dE ParTí-CULas. FUErzas dE FrICCIÓNEl principio de acción de fuerzas o segunda ley de Newton

Cuando se ejerce una fuerza sobre un objeto, este sufre los efectos. Una fuerza puede poner en movimiento un cuerpo que inicialmente se encontraba en reposo, detener un cuerpo inicialmente en movimiento, hacer que aumente o disminuya la velocidad con la que se desplaza, o simplemente deformarlo.

Además, cuando el valor de la fuerza aumenta, el efecto aumenta también; por otra parte, una misma fuerza puede producir efectos diferentes.


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Todos estos hechos llevaron a Newton a formular su segunda ley de la dinámica o segunda ley de Newton:

- Cuando sobre un cuerpo actúa una fuerza neta , se produce una aceleración , de modo que ambas magnitudes son directamente proporcionales. La constante de proporcionalidad es la masa, m, del cuerpo. O sea:

Observemos que los vectores y tienen la misma dirección y sentido.

Si sobre un cuerpo actuara más de una fuerza, el primer miembro de la ecuación anterior representaría la resultante de todas ellas, así que:

Para utilizar estas formulas correctamente debemos medir la fuerza en newtons, la masa en kg y la aceleracion en m/s2.

3 dINÁMICa dEL MoVIMIENTo CIrCULar. La fuerza en el movimiento circular uniforme

En los movimientos circulares uniformes hay siempre una aceleración normal o

centrípeta (aN), cuyo valor viene dado por:

Pues bien, según el segundo principio de la dinámica, si hay una aceleración, debe haber una fuerza que la produzca. Esa fuerza, dirigida hacia el centro de la trayec-toria se llama fuerza centrípeta o normal ( ) y su módulo será:

•

Fuerza Centripeta

Fuerza de Fricción

Se defi ne como fuerza de rozamiento o fuerza de fricción entre dos superfi cies en contacto a la fuerza que se opone al movimiento de una superfi cie sobre la otra (fuerza de fricción dinámica) o a la fuerza que se opone al inicio del movimiento (fuerza de fricción estática). Se genera debido a las imperfecciones, especialmente microscópicas, entre las superfi cies en contacto. Estas imperfecciones hacen que la fuerza entre ambas superfi cies no sea perfectamente perpendicular a éstas, sino que forma un ángulo ϕ con la normal (el ángulo de rozamiento). Por tanto, esta fuerza resultante se compone de la fuerza normal (perpendicular a las superfi cies en contacto) y de la fuerza de rozamiento, paralela a las superfi cies en contacto.

•









Comportamiento de un cuerpo que descansa sobre un plano horizontal

• Desde el origen hasta el punto A la fuerza F aplicada sobre el bloque no es sufi -cientemente grande como para moverlo. Estamos en una situación de equilibrio estático F = Fs < µsN

• En el punto A, la fuerza de rozamiento estático Fs alcanza su máximo valor F = Fs máx = µsN

• Si la fuerza F aplicada se incrementa un poquito más, el bloque comienza a mover-se. La fuerza de rozamiento disminuye rápidamente a un valor menor e igual a la fuerza de rozamiento por deslizamiento, Fk = µkN

• Si la fuerza F no cambia, punto B, y permanece igual a Fs máx el bloque comienza moviéndose con una aceleración a = (F − Fk)/m

• Si incrementamos la fuerza F, punto C, la fuerza neta sobre el bloque F-Fk se incre-menta y también se incrementa la aceleración.

• En el punto D, la fuerza F aplicada es igual a Fk por lo que la fuerza neta sobre el bloque será cero. El bloque se mueve con velocidad constante.

• En el punto E, se anula la fuerza aplicada F, la fuerza que actúa sobre el bloque es - Fk, la aceleración es negativa y la velocidad decrece hasta que el bloque se para.







aCTIVIdad N° 2:


TEMA N° 3: TRABAJO Y ENERGÍA CINÉTICA

Estimados alumnos, algunos problemas son más difíciles de lo que parecen. Por ejem-plo, suponga que trata de calcular la rapidez de una fl echa disparada por un arco. Aplica las leyes de Newton y todas las técnicas de resolución de problemas que hemos aprendido, pero se topa con un obstáculo importante: una vez que el arquero suelta la fl echa, la cuerda ejerce una fuerza variable que depende de la posición de la fl echa. Por ello, los métodos sencillos que aprendimos no bastan para calcular la rapidez. No tema; nos falta mucho para acabar con la mecánica, y hay otros métodos para manejar este tipo de problemas.


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El nuevo método que vamos a presentar usa las ideas de trabajo y energía. La importan-cia del concepto de energía surge del principio de conservación de la energía: la ener-gía es una cantidad que se puede convertir de una forma a otra pero no puede crearse ni destruirse. En un motor de automóvil, la energía química almacenada en el combus-tible se convierte parcialmente en la energía del movimiento del auto y parcialmente en energía térmica. En un horno de microondas, la energía electromagnética obtenida de la compañía de electricidad se convierte en energía térmica en la comida cocida. En éstos y todos los demás procesos, la energía total – la suma de toda la energía presente en diferentes formas – no cambia. Todavía no se ha hallado ninguna excepción.

Para abordar este tema se presenta un resumen teórico del texto Física Universitaria. Vol 1 de Sears–Zemansky, que se puede encontrar en:

http://books.google.com.pe/books

El trabajo y la energía se encuentran entre los conceptos más importantes de la Física y desempeñan igualmente papeles importantes en nuestra vida diaria. En Física el trabajo tiene una defi nición precisa que difi ere de nuestro uso cotidiano: el trabajo se realiza por una fuerza que actúa sobre un cuerpo solo cuando el punto de aplicación de la fuerza se mueve a través de una distancia y existe una componente de la fuerza a lo largo de la línea de movimiento, así cuando se ejerce una fuerza sobre un trineo y éste se mueve a través de la nieve, se realiza un trabajo sobre el trineo. Pero, si el trineo se inmovilizara (sujeto a un árbol, por ejemplo) y se ejerce sobre él la misma fuerza que en el caso anterior, no se verifi caría ningún trabajo sobre el trineo porque el punto de aplicación de la fuerza no se mueve a través de una distancia.

Íntimamente asociado al concepto de trabajo está el concepto de energía, que es la capacidad de realizar trabajo. Cuando un sistema realiza trabajo sobre otro se transfi ere energía entre los dos sistemas. En el caso del trineo, el trabajo realizado se convierte parcialmente en energía del movimiento del trineo, llamada energía cinética y parcial-mente en energía térmica producto de la fricción entre la nieve y el trineo; al mismo tiempo, la energía química interna de la persona que realiza el empuje disminuye con el proceso. El resultado neto es la transformación de la energía química interna del cuer-po de la persona en energía cinética del trineo más la energía térmica producida por la fricción. En el caso de un atleta que realiza un salto con garrocha, la energía química interna del saltador se convierte en energía cinética (durante la carrera previa); parte de esta energía cinética se convierte en energía potencial elástica (deformación de la garrocha durante la elevación del atleta) y el resto en energía potencial gravitatoria que a su vez se convierte en energía cinética cuando el saltador cae y fi nalmente se convierte en energía térmica cuando llega al suelo.

1 TraBaJo MECÁNICoMedida cuantitativa de la transferencia de movimiento ordenado de un cuerpo a otro mediante la acción de una fuerza

Trabajo Efectuado por una Fuerza Constante

Se hace trabajo mecánico (w) sobre un cuerpo de masa m cuando es desplazado una distancia s desde su posición inicial a otro punto distinto mediante una fuerza F.

Condiciones Necesarias:

• Debe haber una fuerza aplicada.

• La Fuerza debe actuar en la misma dirección en que se desplaza el cuerpo.









Si la fuerza forma un ángulo q con el desplazamiento Dx, el trabajo realizado por F es:

El trabajo es una magnitud escalar y puede ser positiva o negativa, dependiendo de que si el ángulo θ es menor o mayor a 90° respectivamente.

Unidad de medida:

• En el SI 1 J = 1 N.m

• En el Sistema Ingles libra-pie

Tipos de Trabajo Mecánico

Trabajo positivo

Ocurre cuando la fuerza tiene la misma dirección que el desplazamiento y aumen-ta la velocidad del cuerpo.

En el caso de la fi gura θ = 0º

También tiene lugar cuando la fuerza forma un ángulo agudo con el desplazamiento.

En este caso: 0 ≤ θ < 90º.

Trabajo negativo

Ocurre cuando la fuerza tiene dirección opuesta al desplazamiento y el trabajo de la fuerza disminuye la velocidad del cuerpo. En este caso: θ = 180º por lo que el cos180°=-1


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ModalidadVirtual UNIDAD II: LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON, TRABAJO Y ENERGÍA

También tiene lugar cuando el ángulo es obtuso.

Trabajo nulo

Ocurre cuando las fuerzas tienen dirección perpendicular al desplazamiento, no realizan trabajo. En este caso: θ = 90º por lo que cos 90°=0

Trabajo Neto

El trabajo neto o resultante realizado sobre un cuerpo, es igual a la suma algebraica de los trabajos realizados por las diferentes fuerzas aplicadas al cuerpo.

El trabajo neto o resultante realizado sobre un cuerpo, es igual a la fuerza resultan-te por el desplazamiento.








2 TraBaJo y ENErGía CINéTICaEl teorema del trabajo-energía para una fuerza que varía con la posición también puede deducirse usando vx en vez de x como variable en la integral de trabajo

Si se reescribe la expresión del trabajo calculado en el párrafo anterior, el cual se aplica a cualquier fuerza, se tendrá:

A esta expresión se le denomina “Teorema del trabajo-energía cinética”.

Trabajo efectuado por una Fuerza Variable Unidimensional

Cuando se tiene una fuerza variable, se determina la expresión de la diferencial de trabajo. Luego, se procede a integrar la diferencial de trabajo a lo largo de la trayectoria seguida por la fuerza.

La integral, desde el punto de vista geométrico es el área de que se encuentra bajo la curva fuerza-desplazamiento.

Como un ejemplo de una fuerza variable, consideremos un resorte que actúe sobre una partícula de masa m.


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•

Cuando la partícula se mueve desde la posición inicial x = 0

3 TraBaJo y ENErGía CoN FUErzas VarIaBLEsTrabajo efectuado por una Fuerza Variable Bidimensional

Una partícula se mueve desde el punto i hasta el punto f a lo largo de la trayectoria mostrada. Durante este movimiento actúa sobre ella una fuerza F que varía tanto en magnitud como en dirección. Cuando ds → 0, sustituimos al intervalo por ds, la cual está en la dirección de la velocidad instantánea y, por lo tanto, tangente a la trayectoria.

Teorema del Trabajo-Energía para movimiento en una curva

Una partícula sigue una trayectoria curva de P1 a P2 bajo la acción de una fuerza F que varía en magnitud y dirección. En un desplazamiento infi nitesimal el traba-jo dW efectuado por la fuerza está dado por:

La fuerza que contribuye al trabajo es la componente de fuerza paralela al despla-zamiento es

El trabajo total realizado en una trayectoria curva por sobre la partícula al mo-verse de P1 a P2 es:

4 PoTENCIaPotencia Mecánica

Es el trabajo realizado por una fuerza en la unidad de tiempo.

Se defi ne potencia media como:

Potencia instantánea:

La unidad de la potencia en el SI: 1 vatio = 1 watt =









También se utiliza la unidad de potencia “caballo de fuerza” (hp).

1 hp = 746 W

1 hp = 550 pie.lb/s

Relación entre potencia y velocidad

Una fuerza se desplaza sobre una trayectoria C desde el punto M1 hasta el punto M2 tardando un cierto tiempo.

El trabajo realizado por la fuerza es:

La potencia media es, por defi nición:

Por lo tanto, la potencia media es el producto escalar entre la fuerza aplicada y la

velocidad media adquirida.

La potencia instantánea es, por defi nición:

Por lo tanto, la potencia instantánea es el producto escalar entre la fuerza aplicada

y la velocidad instantánea adquirida.

Si la trayectoria C es curva o la fuerza no tiene la dirección del desplazamiento,

entonces:

Donde es la componente de la fuerza que produce trabajo.

De la fórmula se deduce que en un motor cuya potencia es constante, la fuerza de

tracción será tanto mayor cuanto menor sea la velocidad del movimiento producido.

Por ejemplo: al marchar un automóvil por caminos en mal estado, se conectan velo-cidades inferiores que permiten obtener una mayor fuerza de tracción.

Relación entre potencia y energía cinética.

Por el principio de masa:

Aplicando el producto escalar con en ambos miembros de la igualdad:

…. (1)


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Por otro lado, la derivada de un producto escalar de vectores, es:

Despejando queda:

Reemplazando en (1), queda:

Donde el producto escalar es la potencia y la expresión es la

variación de la energía cinética respecto al tiempo.

Entonces: “La potencia de la fuerza resultante aplicada a un cuerpo es igual a la variación de la energía cinética respecto al tiempo.”







aCTIVIdad N° 3:


TEMA N° 4: ENERGÍA POTENCIAL Y CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA

Cuando un clavadista se tira de un tram-polín a la piscina, golpea el agua rápida-mente, con mucha energía cinética. ¿De dónde proviene esa energía? La respuesta que dimos es que la fuerza gravitacional (el peso) realiza trabajo sobre el clava-dista al caer. La energía cinética del cla-vadista – energía asociada con su movi-miento- aumenta en una cantidad igual al trabajo realizado.

Sin embargo, hay otra forma muy útil de ver el trabajo y la energía cinética. Este nuevo enfoque se basa en el concepto de energía potencial, que es energía asociada con la posición de un sistema, no a su movimiento. En este enfoque, hay energía potencial gra-vitacional incluso cuando el clavadista está parado en el trampolín. Al caer, no se agrega energía al sistema Tierra − clavadista, sino que una reserva de energía se transforma de una forma (energía potencial) a otra (energía cinética). En este Tema, estimados









estudiantes, veremos cómo puede entenderse esta transformación con el teorema de trabajo − energía.

También demostraremos que, en algunos casos, la suma de las energías cinética y poten-cial de un sistema, llamada, energía mecánica total, es constante durante su movimien-to. Esto nos llevará al enunciado general de la ley de conservación de la energía, uno de los principios más fundamentales y trascendentales de la ciencia.

Para conocer este tema se presenta un resumen del texto Física Universitaria. Vol 1 de Sears−Zemansky, que se puede encontrar en http://books.google.com.pe/books

1 ENErGía PoTENCIaLSe conoce como energía potencial a la capacidad que tiene un cuerpo para realizar un trabajo de acuerdo a la confi guración que tenga en el sistema de cuerpos que ejercen fuerzas entre sí. En otras palabras, la energía potencial es la energía que es capaz de generar un trabajo como consecuencia de la posición del cuerpo.

El concepto supone que, cuando un cuerpo se moviliza con relación a un cierto nivel de referencia, está en condiciones de acumular energía. Por ejemplo: cuando un cuerpo es levantado a una determinada altura, adquiere energía potencial gra-vitacional. Al dejar caer dicho cuerpo, la energía potencial se convierte en energía cinética.

La energía potencial es, en defi nitiva, una magnitud escalar que está asociada a un campo de fuerzas. La diferencia entre los valores de campo de un punto a respec-to a un punto B es igual al trabajo que realiza la fuerza para realizar un recorrido entre a y B.

La energía potencial química es aquella que se transforma en energía cinética a partir de un proceso de combustión interna. Los automóviles impulsados por gaso-lina aprovechan la energía potencial química de ésta (que, al entrar en combustión, genera la energía sufi ciente para mover al vehículo).

Otro tipo de energía potencial es la energía potencial elástica, que se produce cuan-do aumenta la energía interna acumulada en un sólido deformable por el trabajo que ejercen las fuerzas que causan la deformación.

2 ENErGía PoTENCIaL GraVITaTorIaEs un tipo de energía asociada al peso de un cuerpo y su altura sobre el suelo.

La energía potencial sólo tiene sentido cuando se establece un nivel de referencia.

El nivel de referencia es arbitrario.

El valor de la energía potencial depende del nivel de referencia y de la masa del cuerpo.


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Calculemos el trabajo realizado por el peso del cuerpo de la fi gura (a) mientras el cuerpo cae.

El producto mgy recibe el nombre de energía potencial gravitatoria.

El signo negativo de ∆U implica que:

• Cuando la energía potencial del cuerpo aumenta, el trabajo realizado por el peso es negativo.

• Cuando la energía potencial del cuerpo disminuye. El trabajo realizado por el peso es positivo.

Conservación de la Energía Mecánica

Solo fuerzas Gravitacionales:

El cuerpo cae libremente sin la resistencia del aire.

La suma E1 = U1+K1 recibe el nombre de energía mecánica del sistema. (si sólo la gravedad efectúa trabajo)

También E2 = U2 + K2

Finalmente: E1 = E2 = cte

Efecto de otras fuerzas:









(Si otras fuerzas además de la gravedad efectúan trabajo).

Energía Potencial Gravitatoria para un Movimiento Curvo

En el caso de que el aporte en la energía se dé en resortes y por el movimiento en el campo gravitatorio, la expresión general sería:

Por lo tanto:


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3 ENErGía PoTENCIaL ELÁsTICa

La fuerza del resorte siempre se opone al movimiento del bloque mostrado (FR=-kx)

De la Figura:

a) Bloque conectado a un resorte en equilibrio (x=0) en una superfi cie horizontal.

b) Cuando el resorte sufre un estiramiento, efectúa trabajo negativo sobre el bloque.

c) Cuando el resorte se relaja, efectúa trabajo positivo sobre el bloque.

d) Un resorte comprimido también realiza trabajo positivo sobre el bloque al relajarse

El trabajo efectuado por el resorte, vemos que, al desplazarse de x1 a x2, el resorte efectúa un trabajo W dado por:

En consecuencia la Energía Potencial Elástica:

Tenemos:

(Si sólo la fuerza elástica realiza trabajo)

Si otras fuerzas aparte de la elástica efectúan trabajo:









4 FUErzas CoNsErVaTIVas y No CoNsErVaTIVasFuerzas conservativas

El trabajo realizado por una fuerza conservativa siempre tiene las siguientes pro-piedades:

– Puede expresarse como la diferencia entre los valores inicial y fi nal de una fun-ción de energía potencial.

– Es independiente de la trayectoria del cuerpo y depende solo de los puntos ini-cial y fi nal.

– Si los puntos inicial y fi nal son el mismo punto (trayecto cerrado) el trabajo total es nulo.

– Es reversible.

– Son fuerzas conservativas: el peso, la fuerza elástica, la fuerza eléctrica, etc

Fuerzas No conservativas

Llamadas también fuerzas disipativas, y el trabajo que realizan depende de la trayec-toria seguida por el cuerpo.

La fuerza no conservativa más común y la más importante es el rozamiento, tam-bién tenemos a la fuerza magnética, la fuerza de resistencia de fl uidos, etc.

Ley de la conservación de la energía

• Si las Fuerzas son Conservativas: EMinicial = EMfi nal

Esta ley es una de las leyes fundamentales de la física y su teoría se trata de que la energía no se crea ni se destruye, únicamente se transforma (ello implica que la masa en ciertas condiciones se puede considerar como una forma de energía. En general, no se tratará aquí el problema de conservación de masa en energía ya que se incluye la teoría de la relatividad).

La ley de conservación de la energía afi rma que:

1. No existe ni puede existir nada capaz de generar energía.

2. No existe ni puede existir nada capaz de hacer desaparecer la energía.

3. Si se observa que la cantidad de energía varía siempre será posible atribuir dicha variación a un intercambio de energía con algún otro cuerpo o con el medio circundante.


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• Si las Fuerzas no son Conservativas:

Consideremos el trabajo total efectuado sobre el objeto como la suma del traba-jo efectuado por el peso más el trabajo realizado por las otras fuerzas aplicadas al objeto.

De la anterior expresión concluimos que:

1. WFNC > 0, entonces la energía mecánica total aumenta.

2. WFNC < 0, entonces la energía mecánica total disminuye.

3. WFNC = 0, entonces la energía mecánica inicial es igual a la energía mecánica fi nal, es decir la energía mecánica total se conserva.

5 FUErza y ENErGía PoTENCIaL (1 dim)La energía potencial toma un valor en cada punto del espacio:

En forma infi nitesimal

Y así :

Fuerza y energía potencial (3 Dim)

Se puede generalizar el trabajo en 3D:

donde el gradiente se puede expresar en coordenadas

En consecuencia:







aCTIVIdad N° 4:
















aUToEVaLUaCIÓN dE La UNIdad N° II

INSTRUCCIONES: Seleccionar y marcar la respuesta correcta de las 5 alternativas pre-sentadas en cada pregunta. (Cada pregunta tendrá un valor de 2 puntos)

1. Una carga de 15,0 kg de tabiques pende de una cuerda que pasa por una polea pe-queña sin fricción y tiene un contrapeso de 28,0 kg en el otro extremo. El sistema se libera del reposo. ¿Qué magnitud tiene la aceleración hacia arriba de la carga de tabiques?

a) 4,96 m/s2

b) 3,96 m/s2

c) 0,96 m/s2

d) 1,96 m/s2

e) 2,96 m/s2

2. Si el ángulo α = 50° y el aguilón AC ejerce una fuerza dirigida a lo largo de AC

La magnitud de la fuerza AC es:

a) 109,7 lbf

b) 169,7 lbf

c) 197,6 lbf

d) 176,9 lbf

e) 196,7 lbf

3. Un hombre arrastra un baúl por la rampa de un camión de mudanzas. La rampa está inclinada 20° y el hombre tira con una fuerza cuya dirección forma un ángulo de 30° con la rampa. Qué se necesita para que la componente Fx paralela a la rampa sea 60 N.

a) 29,3 N

b) 39,3 N

c) 49,3 N

d) 69,3 N

e) 89,3 N


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4. Una fuerza horizontal neta de 140 N actúa sobre una caja de 32,5 kg que inicialmen-te está en reposo en el piso de una bodega. Qué distancia recorre la caja en 10 s.

a) 115 m

b) 205 m

c) 215 m

d) 315 m

e) 415 m

5. Dos cajas, una de 4,0 kg y la otra de 6,0 kg, descansan en la superfi cie horizontal sin fricción de un estanque congelado, unidos por una cuerda ligera. Una mujer con zapatos de golf que le dan tracción, aplica una fuerza horizontal F a la caja de 6,0 kg y le imprime una aceleración de 2,50 m/s2. Determine la tensión T en la cuerda que une a las dos cajas.

a) 8 N

b) 10 N

c) 12 N

d) 14 N

e) 16 N

6. Dos cuerdas están unidas a un cable de acero que sostiene un peso colgante como se muestra. Si la tensión máxima que una cuerda resiste sin romperse es de 5 000 N, determine el valor máximo del peso colgante que las cuerdas pueden sostener sin peligro. Desprecie el peso de las cuerdas y el cable.

a) 2 400 N

b) 3 400 N

c) 4 400 N

d) 6 400 N

e) 7 400 N

7. Un carrito de masa M1 = 12 kg. se encuentra sobre una mesa horizontal y está unida a una masa M2 = 2 kg (colgada en la vertical) a través de una cuerda que pasa por una polea. La masa M1 se mueve a lo largo de la superfi cie de la mesa partiendo del reposo apenas se conecta a M2 de modo que se desplaza una distancia L = 8 m. ¿Cuál es el trabajo realizado sobre la masa M1? (g = 9.8 m/s2)

a) 104.4 J

b) 114.4 J

c) 124.4 J

d) 134.4 J

e) 144.4 J

8. Una esfera de masa M se desliza por una pista de perfi l curvilíneo (parábola) par-tiendo del reposo desde al punto A el cual se encuentra a una altura H = 10 m res-pecto a la horizontal (suelo). ¿Con qué rapidez pasa por el punto más bajo B el cual es el









vértice de la parábola y también origen de coordenadas?

Despreciar el rozamiento de la esfera con la superfi cie, y considerar g = 9.8 m/s2).

a) 11 m/s

b) 12 m/s

c) 13 m/s

d) 14 m/s

e) 15 m/s

9. Un auto se desplaza por una carretera horizontal, donde el coefi ciente de roza-miento límite es μs. Si el auto tiene una velocidad inicial vo, despreciando efectos de dinámica rotacional en las llantas y en el motor. Halle la mínima distancia “L” para que se detenga.

a) L = 2vo2/ μsg

b) L = 4vo2/2μs

c) L = 3vo2/2μsg

d) L = vo2/2g

e) L = vo2/2μsg

10. Se tiene una colina lisa como se muestra en la fi gura, las alturas respectivas son 10 m y 40 m. Si un móvil de 4 kg pasa por la colina menor y desliza con una velocidad de 20 m/s. Alcanzará la cima de la colina mayor.

a) Si.

b) No

c) Faltan datos y no se puede afi rmar nada

d) Si, y pasa con velocidad de 4 m/s

e) Si, pero con las justasDiagrama Objetivos Inicio







STEPHEN W. HAWKING, EL ISAAC NEWTON DE NUESTROS TIEMPOS

Stephen William Hawking nació el 8 de Enero de 1942 (300 años luego de la muerte de Galileo) en Oxford, Inglaterra. Asistió a la Escuela Universitaria de Londres, y deseó estudiar matemáticas, pero no estaba disponible como especialidad, así que eligió Física en cambio. Luego de tres años y “no mucho trabajo”, como dijo Hawking, fue galardo-nado con honores de primera clase en Ciencias Naturales. Luego se fue a Cambrigde a realizar investigaciones en Cosmología, ya que nadie estaba trabajando en esa área en esos momentos en Oxford.

Luego de obtener su Ph.D. se convirtió en el primer investigador invitado, (Research


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Fellow) y luego en Profesor Distinguido en Gonville y Caius College. en 1973 Stephen fue al Departamento de Matemáticas Aplicadas y Física Teórica, y desde 1979 ha mante-nido el puesto de Profesor Lucasiano de Matemáticas. Hawking es Profesor Lucasiano de Matemáticas en la Universidad, un título una vez otorgado a Isaac Newton.

Hawking logró su primer reconocimiento en su trabajo teórico en agujeros negros. Refutando la creencia que los agujeros negros son muy densos en donde nada puede escapar de su tirón gravitacional, el mostró que los agujeros negros derraman una pe-queña porción de luz y otros tipos de radiación, ahora conocido como la “radiación de Hawking”. Hawking se convirtió en una celebridad científi ca a través de sus teorías en agujeros negros y la naturaleza del tiempo, trabajo que ha llevado a pesar que estar severamente discapacitado por Esclerosis lateral amiotrófi ca, o (ELA), un trastorno de-generativo incurable también conocida como enfermedad de Lou Gehrig.

La silla de ruedas que utiliza en público está controlada por un ordenador que maneja a través de leves movimientos de cabeza y ojos

Hawking es Profesor Lucasiano de Matemáticas en la Universidad, un

título una vez otorgado a Isaac Newton.

Su libro en 1988 “Una breve historia del Tiempo” fue un best-seller internacional. En 2001 publicó “El Universo en una Cáscara de Nuez” y el libro para niños “La Clave se-creta de George al Universo” que fue publicado en el 2007, con su hija como co-autora, Lucy.

Entre las numerosas distinciones que le han sido concedidas, Hawking ha sido honrado con doce doctorados honoris causa y ha sido galardonado con la Orden del Imperio Británico (grado BCE) en 1982, con el Premio Príncipe de Asturias de la Concordia en 1989 y con la Medalla Copley en 2006.









Imagen del profesor, en ingravidez, en un avión ad hoc, de NASA

Para celebrar su cumpleaños 65 en 2007, tomó un vuelo en gravedad cero. En parte, fue para llamar la atención al público en relación a los viajes espaciales. “Yo creo que la raza humana no tiene futuro si no va al espacio. Por tanto quiero alentar el interés público sobre el Espacio”, dijo él.

Su enfrentamiento con Peter Higgs

En una conferencia de prensa en Edimburgo el Profesor Hawking en broma sugirió que sería “más emocionante” si el experimento en CERN no encontrara la “Partícula de Dios”. Esto provocó en el Profesor Peter Higgs, el científi co que dió su nombre al bosón de Higgs, la partícula central del experimento Gran Colisionador de Hadrones (LHC), un ataque al Profesor Stephen Hawking, diciendo que su trabajo no es “lo sufi -cientemente bueno”.

“Eso mostrará que algo está mal” dice Hawking, “y que tendremos que pensar nueva-mente.” No conforme con esto el profesor Hawking apostó $100 dólares a que la partí-cula no existe indicando que habrán resultados más interesantes con el LHC más que el descubrimiento del bosón de Higgs.

El Profesor Higgs, quién postuló la existencia de la partícula hace 44 años atrás, reaccio-nó con una visible irritación. “Tengo que confesar que no he leído el artículo en dónde Stephen Hawking hace su reclamo,” dice. “Pero he leído uno que escribió, el cual creo que es la base del tipo de cálculo que él hace. Y francamente la manera en que lo hace no es sufi cientemente buena”- comenta Higgs.

“En la física de partículas, desde un punto de vista de la Teoría Cuántica, tienes que poner mucho más que la gravedad para tener una teoría consistente y no creo que Stephen haya hecho eso. Estoy muy dudoso de sus cálculos”. Otros miembros del panel trataron de desviar la discusión, sugiriendo que a lo mejor había tomado los puntos de Vista del Profesor Hawking fuera de contexto.


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Encontró el estímulo de conocer a una chica con la que quería casarse y se dio cuenta que tenía que acabar su doctorado para conseguir un mejor trabajo

Sus grandes aportes. Hawking ha trabajado en las leyes básicas que gobiernan el univer-so. Junto con Roger Penrose mostró que la Teoría General de la Relatividad de Einstein implica que el espacio y el tiempo han de tener un principio en el Big Bang y un fi nal dentro de agujeros negros. Semejantes resultados señalan la necesidad de unifi car la Relatividad General con la Teoría Cuántica, el otro gran desarrollo científi co de la pri-mera mitad del siglo XX.

Una consecuencia de tal unifi cación que él descubrió era que los agujeros negros no eran totalmente negros, sino que podían emitir radiación y eventualmente evaporarse y desaparecer. Otra conjetura es que el universo no tiene bordes o límites en el tiempo imaginario. Esto implicaría que el modo en que el universo empezó queda completa-mente determinado por las leyes de la ciencia.

Alrededor del año 2004 propuso su nueva teoría acerca de las "simas o agujeros negros" un término que por lo general se aplica a los restos de estrellas que sufrieron un co-lapso gravitacional después de agotar todo su combustible nuclear. Según Hawking, el universo está prácticamente lleno de "pequeños agujeros negros" y considera que estos se formaron del material original del universo.

A mi esposa se le sugirió que no merecía la pena mantenerme vivo conectado a una máquina. Pero ella en ningún caso aceptó eso. Regresé al Hospital de Addenbrooke

en Cambridge, donde un cirujano llamado Roger Grey me realizó una traqueotomía. Aquella operación salvó mi vida, pero se llevó mi voz

Aunque Hawking afi rmó bastante sobre los agujeros negros, se equivocó en una cosa muy importante. Los agujeros negros y los "agujeros de gusano" no son una misma cosa, sino que los últimos son lo que Einstein llamó "Brechas en el espacio-tiempo".









Su estado actual. El 20 de abril de 2009 se informó que Hawking había sido internado "muy enfermo" en un hospital de Cambridge. Unas pocas horas después de conocerse la noticia, su web personal mostraba un mensaje que hacía referencia a la avalancha de visitas que había sufrido, con lo que se habían visto obligados a omitir sus contenidos temporalmente para evitar una caída del servidor.

Se desconoce su estado actual de salud pues no se ha presentado públicamente desde entonces. Rogamos por su pronta recuperación.

Fuente: hawking.org.uk







BIBLIoGraFía dE La UNIdad II:

Francis W. sears, Mark W. zemansky, Hugh d. young y roger a. Freedman. Física Uni-versitaria. Vol 1. XII Edición Pearson Education; México; 2006.

raymond a. serway y John W. Jevett. Física para Ciencias e Ingenierías. Vol 1. VI Edi-ción. Editorial Thomson; 2002.

Paul a.Tipler y Gene Mosca. Física para la Ciencia y la Tecnología. Vol. 1. V Edición. Editorial Reverte.- 2006.















UNIDAD III: CANTIDAD DE MOVIMIENTO, IMPULSOS, CHOQUES, ROTACIÓN DE CUERPOS RÍGIDOS









TEMa N° 1: CaNTIdad dE MoVIMIENTo, IMPULso, CHoqUEs y/o CoLIsIoNEs

1. Cantidad de movimiento e impulso.

2. Principio de conservación de la cantidad de movimiento.

3. Choques y/o colisiones.

4. Centro de masa.

TEMa N° 2: roTaCIÓN dE CUErPos ríGIdos

1. Velocidad y aceleración an-gular.

2. Rotación con aceleración an-gular constante.

3. Relación entre cinemática li-neal y angular

4. Energía en el movimiento ro-tacional.

5. Momentos de inercia

6. Teorema de los ejes paralelos.


¿Estamos solos en el universo o simplemente aislados? La para-doja de Fermi.

autoevaluación de la Unidad III

1. Explica el concepto de canti-dad de movimiento.

2. Aplica la teoría de cantidad de movimiento y energía me-cánica en los problemas de choques.

actividad N° 1

Resuelve ejercicios y problemas.

3. Explica la Rotación de cuer-pos rígidos, velocidad y acele-ración angular.

4. Aplica las relaciones de la ci-nemática lineal y angular.

5. Demuestra los teoremas del movimiento rotacional.

6. Resuelve problemas de rota-ción de cuerpos rígidos.

7. Explica la energía en el mo-vimiento rotacional, teorema de los ejes paralelos y momen-tos de inercia.

actividad N° 2





CONTENIDO

BIBLIOGRAFÍA

EJEMPLOS

AUTOEVALUACIÓN

ACTIVIDADES

CoMPETENCIaInterpreta la cantidad de movimiento de una partícula y comprende adecuadamente la rotación de cuerpos rígidos.


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TEMA N° 1: REGISTRO (ESTRUCTURA) Y UNIÓN

Hay muchas preguntas relacionadas con fuerzas que no pueden contestarse aplican-do directamente la segunda ley de Newton . Por ejemplo, si un tráiler de 18 ruedas choca de frente con un automóvil, ¿qué determina hacia dónde se mueven los restos después del choque? Cuando juega billar, ¿Cómo decide usted la dirección que debe dar la bola blanca para meter la bola 8 en un hoyo? Y cuando un meteorito choca con la Tierra, ¿qué tanta de la energía cinética del meteorito se libera en el impacto?

Para responder esas interrogantes acudimos al texto de Física. Vol 1 de Sears – Ze-mansky.

2 CaNTIdad dE MoVIMIENTo E IMPULsoSe llama Cantidad de Movimiento o momentum a la magnitud vectorial , igual al producto de la masa de una partícula por su velocidad.

El vector está dirigido en la dirección de la velocidad y con el mismo sentido, es decir tangente a la trayectoria, pues la masa es un escalar siempre positivo.

Se llama Impulso del Movimiento a la magnitud vectorial igual al producto de la

fuerza aplicada a la partícula (o bien a la componente tangencial ) por el tiempo en que actúa:

Sea:

Entonces:

Suponiendo que es constante y de la misma dirección que integrando:

Según la ecuación (1) el impulso es igual a la variación de la cantidad de movi-miento:

Podemos verifi car con este concepto el Principio de Inercia o Primer Principio de Newton en la ecuación (1)

Si no hay fuerza exterior, el móvil no cambia de velocidad (es un MRU)

UNIDAD III: CANTIDAD DE MOVIMIENTO, IMPULSOS, CHOQUES, ROTACIÓN DE CUERPO RÍGIDOS








3 PrINCIPIo dE CoNsErVaCIÓN dE La CaNTIdad dE MoVIMIEN-To dE UNa ParTíCULaDe las leyes de la Dinámica, del Segundo Principio o Ley Fundamental de la Diná-mica, se deduce que solamente las fuerzas pueden modifi car la cantidad de movi-miento de un cuerpo:

Si

Entonces: “Si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza o la resultante de todas las fuerzas (exteriores) que actúan es cero, la cantidad de movimiento del cuerpo permanece constante”

Principio de conservación de la cantidad de movimiento de un sistema de dos par-tículas aisladas y elásticas

Sea un sistema aislado (donde solamente actúan fuerzas interiores al sistema), for-mado por cuerpos de masas mA y mB de cuerpos perfectamente elásticos.

Los cuerpos antes del choque tienen las velocidades y respectivamente, en la misma dirección y de sentidos contrarios. Al ponerse en contacto comienza el período de deformación hasta obtener la máxima deformación y por ser perfecta-mente elásticos, sigue un período de restitución total hasta separarse.

Durante el tiempo que se ponen en contacto y hasta que se separan se generan dos impulsos iguales y contrarios (principio de acción y reacción), las fuerzas que los originan son las ejercidas por un cuerpo sobre el otro (al impulso que recibe A lo generan las fuerzas que produce B y viceversa).

Esos impulsos separan las masas mA y mB haciéndolas adquirir nuevas velocidades y respectivamente.

Veamos las fuerzas antes del choque:

Y durante el contacto los impulsos son:

actúa sobre mB

actúa sobre mB

Si los impulsos son iguales y de sentido contrario (principio de acción y reacción) su suma será igual a cero:


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Esta fórmula dice que la cantidad de movimiento del sistema aislado formado por dos masas antes del choque es igual a la cantidad de movimiento del sistema des-pués del choque. También se puede decir que: “La cantidad de movimiento de un sistema aislado permanece constante”.

Péndulo balístico: Como aplicación del principio anterior tenemos al péndulo ba-lístico que sirve para medir la velocidad de un proyectil. Aplicaremos los principios de Conservación de la Energía Mecánica y de Conservación de la Cantidad de Mo-vimiento.

Sea una masa grande M de madera que está suspendida como indica la fi gura.

Un proyectil de masa m, conocida, trae una velocidad que queremos determinar.

Al llegar la bala, se incrusta en la masa M y, por el impacto, ambas adquieren una

velocidad , ambas masas realizan un movimiento de traslación circular (donde cualquier segmento se mantiene paralelo a sí mismo) y, cuando alcanzan la altura h con respecto a la posición inicial, se detiene instantáneamente.

Entonces allí = 0 y aplicando el principio de conservación de la cantidad de mo-vimiento al momento del choque tenemos:

(*) antes y después del choque

Aplicando el Principio de Conservación de la Energía Mecánica, la Energía Cinéti-ca máxima se convierte en Energía Potencial máxima, o sea:

Recordando que la velocidad en caída de un cuerpo es: y reemplazan-

do en (*) el valor de tenemos: y despreciando m en la suma (m+M) por su poca incidencia tenemos:









si podemos medir h tenemos la velocidad buscada.

Pero como h es muy pequeña, tendremos un gran error en la medición y a un

pequeño error en la medición de h corresponderá un gran error en el valor de .

Entonces hallaremos el valor de x de la figura, en función de que en el triángulo rectángulo OCA, aplicando el teorema de Pitágoras tendremos:

pero h2 es muy pequeño por lo que se desprecia:

Reemplazando h en la fórmula (**)

es decir que, midiendo x tenemos la velocidad del proyectil.

También es:

Midiendo el ángulo θ también puedo obtener la velocidad del proyectil .

4 CHoqUE y/o CoLIsIoNEsRecibe el nombre de “choque” una colisión entre dos cuerpos que tiene lugar en un intervalo muy pequeño, y durante el cual ambos cuerpos ejercen entre sí fuerzas relativamente grandes. Por lo menos, uno de los cuerpos debe estar en movimiento.

Tipos de choque:

a) Según ubicaciones de los centros de masa:

Si los dos centros de masa de los cuerpos que colisionan se encuentran sobre la línea de choque, se dice que el choque es central. En cualquier otro caso el choque se llama excéntrico.

b) Según velocidades de aproximación:

Si las velocidades de los cuerpos tienen la dirección de la línea de choque, se dice que choque central directo y si ambos, o alguno de los cuerpos se mueve a lo largo de una dirección distinta de la línea de choque, se denomina choque oblicuo (en ambos choques, obviamente, los centros de masa están sobre la línea de choque)


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Choque Central Directo. Sean las partículas A y B, de masas mA y mB, moviéndose a

lo largo de la misma recta y hacia la derecha, con velocidades .

Como la partícula A alcanzará a la B, chocarán y en el choque ambas se deforman y al fi nal de ese período de deformación ambas tendrán la misma velo-

cidad .

A continuación tiene lugar el período de recuperación, fi nalizado el cual, según el módulo de las fuerzas de choque y los materiales de que se trate, las partículas recuperaran su forma inicial o quedarán en estado de deformación permanente.

Calculemos las velocidades después del choque y del período de recupe-ración:

Consideremos en primer lugar al sistema de dos partículas como un todo; las únicas fuerzas en juego son fuerzas internas al sistema y, por lo tanto, se conserva la canti-dad de movimiento (es un sistema aislado), con lo que:

ésta es una ecuación vectorial.

Como las velocidades que intervienen tienen la misma dirección y sentido, se pue-de escribir como una ecuación escalar:

Al calcular, si obtenemos un valor positivo de o de indicará que el sentido correspondiente al vector es hacia la derecha, si el resultado obtenido es negativo, el sentido correspondiente al vector es hacia la izquierda.

Pero tenemos una ecuación escalar con dos incógnitas, necesitamos otra ecuación para resolver para ello consideremos el movimiento de la partícula A durante el período de deformación y escribamos la relación entre el impulso y la cantidad de movimiento.









ecuación vectorial donde es el impulso sobre A ejer-cido por B.

Como la percusión sobre A en este período es debida exclusivamente a la fuerza P, ejercida por B, se puede establecer la siguiente relación escalar donde la integral se extiende a todo el período de deformación.

Si se tiene en cuenta el movimiento de la partícula A durante el período de recupe-ración, llamando R a la fuerza ejercida por B sobre A, se tendrá:

donde la integral se extiende a todo el período de recuperación

En general, la fuerza (de recuperación de forma de B) que se ejerce sobre A, es

distinta de la fuerza que se ejerce sobre A durante el período de deformación (sería una “casualidad” que P = R y por ende el impulso sea igual al impulso

).

En general, el módulo de es menor que el módulo de .

y la relación entre ambos módulos se conoce con el nombre de coefi ciente de res-titución:

Coefi ciente de restitución donde

El valor de e depende fundamentalmente de los materiales de que se trate, aunque e también varía con la velocidad del choque y con la forma y tamaño de los cuerpos que chocan.

De las ecuaciones anteriores despejamos las expresiones integrales tenemos:

Haciendo el mismo análisis para la partícula B tenemos:

Período de Deformación:

Período de Recuperación:

Encontramos otra expresión para el mismo e que hallamos usando A.


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Aplicando la propiedad de los cocientes tenemos:

donde: : velocidad relativa después del choque.

: velocidad relativa antes del choque

Casos extremos de choque

a) Choque completamente inelástico o choque plástico: e = 0

Entonces: no existe período de recupera-ción, ambas partículas siguen unidas después del choque y

b) Choque elástico: e = 1

Vemos que en tal sentido hay igualdad de velocidades rela-tivas antes y después del choque.

Determinación experimental del coefi ciente de restitución

Si dejamos caer un cuerpo sobre una plataforma vinculada a la Tierra desde una cierta altura, el cuerpo en realidad choca con la Tierra.

Como la masa de la Tierra es prácticamente infi nita con relación a la del cuerpo, la velocidad de la Tierra no variará por efectos del choque y se considera entonces a los efectos del choque que = 0, entonces la expresión de e queda:

donde es la velocidad del cuerpo instantes después del choque y es la

velocidad del mismo antes del choque.

La bolita que cae y la placa o plataforma puede ser de igual o distinto material; y así obtenemos el valor de e para cada caso, ya que: y

por lo tanto:

variando









Si a la expresión

la multiplicamos y dividimos por tenemos:

De esta última expresión se observa que la energía potencial disminuye después del choque (como valor límite, para un choque absolutamente elástico e = 1 y

) Si la es porque .

Si a la expresión la elevamos al cuadrado y multiplicamos y dividimos

por tenemos:

∴

Como su cuadrado es mucho menor que 1.

Por lo tanto la Energía Cinética disminuye después del choque (a lo sumo es igual).

Otro método para hallar el coefi ciente de restitución

Dejamos caer desde A, con una altura h1 , una bolita sobre un plano inclinado que forma un ángulo θ con la horizontal.

Producido el rebote, vuelve a producirse un ángulo θ con la normal al plano (ángu-lo de incidencia = ángulo de refl exión) y un ángulo α con respecto a la horizontal,

siendo: y con una cierta al rebotar.

Después del rebote, la bolita llega a una distancia L (alcance) sobre el plano hori-zontal, dada por la expresión:


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ModalidadVirtual

Midiendo L tenemos y la altura máxima que alcanzará la bolita al rebotar será:

altura máxima en tiro oblicuo para un ángulo α

Si el ángulo α fuera de 90º, esta altura máxima sería la del método anterior, donde

la bolita caía y rebotaba verticalmente ( α = 90°) por lo tanto para α = 90°

ya que y reemplazando:

Entonces: es decir que midiendo L (como h1 y α son

conocidos) obtenemos e.

5 CENTro dE Masa

Como la ecuación, tiene la misma forma que la del movimiento de una partí-

cula, cabe preguntarse si hay algún punto del sistema que se mueva de acuerdo con dicha ecuación. En efecto, la cantidad de movimiento total se puede escribir:

(1)

El sumatorio mi es la masa total del sistema, M. Definimos el centro de masas

como un punto cuyo vector de posición es:

Este punto se desplaza con una velocidad:

Sustituyendo en la ecuación (1), la cantidad de movimiento total queda:

Es decir, un punto material de masa M situado en el centro de masas tendría la misma cantidad de movimiento que el sistema en su conjunto.

Por su definición, el centro de masas es un promedio de las posiciones de las partí-culas. Pero es una media ponderada según la masa: una partícula de masa doble que otra cuenta dos veces más en el promedio. La velocidad del centro de masas

también es la media ponderada de las velocidades:

El centro de masas de un sistema de puntos materiales mi (o de un cuerpo extenso) se mueve como lo haría una partícula de masa M = mi sometida a la misma fuerza externa FR que actúa sobre el sistema, como se deduce al sustituir

en la ecuación queda

Por tanto, si la fuerza externa es nula el centro de masas se desplaza en línea recta con velocidad constante, aunque cada partícu¬la tenga un movimiento individual mucho más complicado:

Del mismo modo, si es constante el cdm describirá un movimiento uniforme-

mente acelerado, con .















aCTIVIdad N° 1:


TEMA N° 2: ROTACIÓN DE CUERPOS RÍGIDOS

Para conocer este tema se presenta un resumen teórico del texto Física Universitaria. Vol 1 de Sears–Zemansky, que se puede encontrar en http://books.google.com.pe/books

¿Qué tienen en común los movimientos de un disco compacto, una rueda de la fortuna (sillas voladoras), una sierra circular y un ventilador de techo? Ninguno puede representarse ade-cuadamente como un punto en movimiento; todos implican un cuerpo que gira sobre un eje que está fi jo en algún marco de referencia inercial.

La rotación se da en todos los niveles, desde el movimiento de los electrones en los áto-mos hasta los movimientos de las galaxias enteras. Necesitamos desarrollar métodos ge-nerales para analizar el movimiento de un cuerpo en rotación. Además consideraremos los cuerpos con tamaño y forma defi nidos que, en general, pueden tener movimiento rotacional como también traslacional.

Los cuerpos reales llegan a ser muy complejos; las fuerzas que actúan sobre ellos pueden deformarlos: estirarlos, torcerlos y aplastarlos. Por el momento ignoraremos tales defor-maciones y supondremos que el cuerpo tiene forma y tamaño perfectamente defi nidos e inmutables. Llamamos a este modelo idealizado cuerpo rígido. En este Tema tratare-mos principalmente del movimiento rotacional de un cuerpo rígido.

Comenzaremos con el lenguaje de la cinemática para describir el movimiento rotacio-nal. Luego veremos la energía cinética de la rotación, la clave para usar los métodos de energía en el movimiento rotacional.

1 VELoCIdad y aCELEraCIÓN aNGULar La velocidad angular es una medida de la velocidad de rotación. Se defi ne como el ángulo girado por una unidad de tiempo y se designa mediante la letra griega ω. Su unidad en el Sistema Internacional es el radián por segundo (rad/s).

Aunque se la defi ne para el movimiento de rotación del sólido rígido, también se la emplea en la cinemática de la partícula o punto material, especialmente cuando esta se mueve sobre una trayectoria cerrada (circular, elíptica, etc).

Velocidad Angular Media:

Velocidad Angular instantánea:


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Regla de la mano derecha para determinar la dirección del vector de velocidad angular w. Si se invierte el sentido de la rotación se invierte la dirección de w. Si la rotación es sobre el eje z, el signo de wz depende de si w apunta en la dirección +z o en la dirección −z.

Se defi ne la aceleración angular como el cambio que experimenta la velocidad angular por unidad de tiempo. Se denota por la letra griega alfa . Al igual que la velocidad angular, la aceleración angular tiene carácter vectorial.

Se expresa en radianes por segundo al cuadrado rad/s2, o s−2, ya que el radián es adimensional.

Aceleración Angular Media:

Aceleración Angular instantánea:

Dado que

La aceleración angular podemos expresar

2 roTaCIÓN CoN aCELEraCIÓN aNGULar CoNsTaNTEEn temas anteriores, vimos que el movimiento rectilíneo es muy sencillo si la ace-leración es constante. Lo mismo sucede con el movimiento rotacional sobre un eje fi jo. Si la aceleración angular es constante, podemos deducir ecuaciones para la velocidad y la posición angulares siguiendo el mismo procedimiento que usamos para el movimiento rectilíneo. De hecho, sólo habrá que sustituir x por θ, vx por ω2 y ax por αz .

3 rELaCIÓN ENTrE La CINEMÁTICa LINEaL y aNGULarDe la defi nición de radián (unidad natural de medida de ángulos) obtenemos la relación entre el arco y el radio. Como vemos en la fi gura, el ángulo se obtiene dividiendo la longitud del arco entre su radio









La dirección de la velocidad es tangente a la trayectoria circular, es decir, perpendi-cular a la dirección radial.

Aceleración tangencial

Derivando esta última relación con respecto del tiempo obtenemos la relación en-tre la aceleración tangencial at y la aceleración angular.

(aceleración tangencial de un punto de un cuerpo en rotación)

Un móvil tiene aceleración tangencial, siempre que el módulo de su velocidad cam-bie con el tiempo.

Aceleración normal, centrípeta o radial

El cálculo de la componente normal de la aceleración es algo más complicado. La aceleración normal está relacionada con el cambio de la dirección de la velocidad con el tiempo. En un movimiento circular uniforme no existe aceleración tangen-cial ya que le módulo de la velocidad no cambia con el tiempo, solamente cambia su dirección y por tanto, tiene aceleración normal.

Cuando el intervalo de tiempo ∆t tiende a cero, la cuerda ∆s se aproxima al arco, y el cociente ds/dt nos da el módulo de la velocidad v del móvil,

La aceleración radial arad tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la circunferencia que describe el móvil y su módulo viene dado por una u otra de las expresiones siguientes:

(aceleración centrípeta de un punto de un cuerpo en rotación)


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Esta es la deducción más elemental de la fórmula de la aceleración centrípeta que se basa en la identifi cación de la longitud del arco entre dos puntos de la circunfe-rencia con la cuerda que pasa por dichos puntos, cuando ambos puntos están muy próximos entre sí. Una deducción alternativa se proporciona en la página titulada "Deducción alternativa de las fórmulas de la aceleración tangencial y normal"

Resumiendo

La dirección de la velocidad de un móvil en movimiento circular es tangente a la circunferencia que describe.

Un móvil tiene aceleración tangencial atan siempre que cambie el módulo de la velocidad con el tiempo. El sentido de la aceleración tangencial es el mismo que el de la velocidad si el móvil acelera y es de sentido contrario, si se frena. Un móvil que describe un movimiento circular uniforme no tiene aceleración tangencial.

Un móvil que describe un movimiento circular siempre tiene aceleración normal, arad ya que cambia la dirección de la velocidad con el tiempo. La aceleración cen-trípeta tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la circunferencia que describe.

La aceleración del móvil se obtiene sumando vectorialmente ambos componentes de la aceleración.

4 ENErGía EN EL MoVIMIENTo roTaCIoNaLSupongamos que podemos considerar el objeto como un conjunto de partículas que rotan alrededor del eje z con una celeridad angular.

Cada una de esas partículas tiene una energía cinética caracterizada por su masa y el módulo de su velocidad tangencial.

Aunque todas las partículas tengan la misma celeridad angular, las celeridades tan-genciales individuales dependerán de su distancia al eje de rotación









La energía cinética total del sólido rígido vendrá dada por la suma de las energías cinéticas de todas las partículas que lo componen:

La energía cinética rotacional toma el valor

La energía cinética rotacional no es una nueva forma de energía, simplemente se trata de energía cinética ordinaria (se ha calculado como la suma de la energía cinética de las partículas contenidas en el sólido rígido).

Sin embargo, la nueva expresión matemática es más conveniente cuando tratamos con rotaciones (siempre que sepamos como calcular el momento de inercia).

5 MoMENTos dE INErCIa

6 TEorEMa dE Los EJEs ParaLELosLos momentos de inercia de sólidos rígidos con una geometría simple (alta sime-tría) son relativamente fáciles de calcular si el eje de rotación coincide con un eje de simetría. Sin embargo, los cálculos de momentos de inercia con respecto a un eje arbitrario pueden ser engorrosos, incluso para sólidos con alta simetría.

El Teorema de Steiner (o teorema de los ejes-paralelos) a menudo simplifi ca los cálculos.


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• Premisa: Supongamos que conocemos el momento de inercia con respecto a un eje que pase por el centro de masas de un objeto.

• Teorema: Entonces podemos conocer el momento de inercia con respecto a cualquier otro eje paralelo al primero y que se encuentra a una distancia D

Procedemos ahora la demostración del Teorema:

Tomemos un elemento de masa dm situado en las coordenadas (x,y). Si ahora escogemos un sistema de coordenadas con origen en el centro de masas del objeto, las nuevas coordenadas del elemento de masa serán (x',y')

Calculamos el momento de inercia respecto del eje Z que es paralelo al eje que pasa por el centro de masas:

Como el segundo sistema de referencia tiene como origen el centro de masas:

La primera integral es el momento de inercia respecto del eje que pasa por el CM. La última integral es la masa del sólido, y magnitud que multiplica a esta integral es la distancia al cuadrado entre los dos ejes. por tanto:







aCTIVIdad N° 1:
















aUToEVaLUaCIÓN dE La UNIdad N° III


1. Una resortera dispara un guijarro de 10 g una distancia de 22,0 m hacia arriba, con la energía potencial almacenada en la liga, ¿a qué altura puede dispararse un guija-rro de 25 g?

a) 8,8 m

b) 9,8 m

c) 10,8 m

d) 11,8 m

e) 12,8 m

2. El aspa de un ventilador gira con una velocidad angular dada por ω(t) = 3,00 – 0,600t2. Determine la aceleración angular instantánea α en t = 2,0 s.

a) 0,20 rad/s

b) 0,40 rad/s

c) 0,80 rad/s

d) 1,20 rad/s

e) 1,80 rad/s

3. Un volante de 20,0 cm de radio parte del reposo y se acelera con una aceleración an-gular constante de 0,600 rad/s2. Determine la magnitud de la aceleración tangencial después que haya girado 120°.

a) 0,012 m/s2

b) 0,24 m/s2

c) 0,12 m/s2

d) 0,36 m/s2

e) 1,2 m/s2

4. La ley de conservación de la cantidad de movimiento se aplica a las colisiones entre dos cuerpos si:

a) Ellos ejercen fuerzas iguales y opuestas sobre cada uno.

b) Ellos ejercen fuerzas sobre el otro respectivamente proporcional a sus masas.

c) Cada fuerza ejerce fuerza sobre el otro respectivamente proporcional a sus velo-cidades

d) Cada fuerza ejerce fuerza sobre el otro inversamente proporcional a sus masas respectivamente.

e) Sus aceleraciones son proporcionales a sus masas.

5. En una mesa neumática horizontal sin fricción, el disco A (de masa 0,250 kg) se mueve hacia B (de masa 0,350 kg) que está en reposo. Después del choque, A se mueve a 0,120 m/s a la izquierda, y B lo hace a 0,650 m/s a la derecha. ¿Qué rapidez tenía A antes del choque?

a) 0,29 m/s

b) 1,79 m/s

c) 10,0 m/s

d) 0,79 m/s

e) 0,079 m/s


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6. Dos esferas pequeñas están pegadas a los extremos de una barra uniforme de 2,0 m de longitud y masa 4,0 kg. Las esferas tienen masa de 0,500 kg cada una y se pueden tratar como masa puntuales. Calcule el momento de inercia de ésta combinación en torno a un eje perpendicular a barra que pasa por su centro.

a) 1,33 kg.m2

b) 2,33 kg.m2

c) 3,33 kg.m2

d) 0,33 kg.m2

e) 3,12 kg.m2

7. El volante de un motor de gasolina debe ceder 500 Joules de energía cinética cuan-do su velocidad angular se reduce de 650 rpm a 520 rpm. ¿Qué momento de inercia se requiere?

a) 0,2 kg.m2

b) 0,4 kg.m2

c) 0,6 kg.m2

d) 0,8 kg.m2

e) 1,0 kg.m2

8. Una pieza mecánica tiene un disco de 4,50 cm de radio fijo al extremo de un eje de 0,25 cm de radio. Si la rapidez tangencial en un punto en la superficie del eje es de 2,0 m/s. ¿Qué velocidad tangencial tiene un punto en el borde del disco?

a) 2,25 m/s

b) 4,5 m/s

c) 9 m/s

d) 18 m/s

e) 36 m/s

9. Los ciclos de centrifugado de una lavadora tienen dos velocidades angulares, 423 rpm y 640 rpm. El diámetro interno del tambor es de 0,47 m. ¿Qué relación hay entre la fuerza radial máxima sobre la ropa para las dos velocidades angulares?.

a) 2,29

b) 6,29

c) 8,29

d) 16,29

e) 1,51

10. Una tornamesa vieja de fonógrafo tiene una energía cinética de 0,025 Joules al girar a 45,0 rpm. ¿Qué momento de inercia tiene alrededor del eje de rotación?

a) 0,25 10-3 kg.m2

b) 1,25 10-3 kg.m2

c) 3,25 10-3 kg.m2

d) 2,25 10-3 kg.m2

e) 4,25 10-3 kg.m2
















¿ESTAMOS SOLOS EN EL UNIVERSO O

SIMPLEMENTE AISLADOS? LA PARADOJA DE FERMI

Publicado por Juan Carlos Jiménez en la dirección http://www.quantum-rd.com/

En 1950, en Los Alamos National Laboratory, el físico Enrico Fermi tuvo una conversa-ción intrascendente con Emil Konopinski, Edward Teller y Herbert York mientras que caminaban para almorzar. Hablaban sobre una viñeta de Alan Dunn que se hacía eco sobre la supuesta desaparición de contenedores de basura municipales provocada por supuestos extraterrestres. Esa nota de humor les dio pie a emprender un análisis más serio sobre las posibilidades que tenía el ser humano de observar un objeto material viajar tan rápido como la luz en los 10 años siguientes. Teller calculó una probabilidad de uno entre un millón, pero Fermi dijo que una sobre diez.

La conversación derivó hacia otros temas en la cantina del centro de investigación du-rante el almuerzo hasta que Fermi súbitamente exclamó: “¿Dónde están?”, refi riéndose a los extraterrestres. Según uno de los participantes Fermi realizó una serie de cálculos rápidos y estimaciones a partir de unos pocos datos (algo por lo que tenía buena fama). Entonces concluyó que la Tierra debía de haber sido visitada por extraterrestres hace tiempo y muchas veces después.

Obviamente no hemos visto a ningún extraterrestre ni hay constancia histórica del he-cho, la paradoja es la contradicción evidente entre la predicción y los hechos. Si hay ci-vilizaciones extraterrestres y el viaje interestelar es posible, ¿por qué no hemos visto todavía artefactos extraterrestres o recibido transmisiones de radio de ellos?


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Nosotros estamos posicionados aquí (A)

La idea ha sido posteriormente desarrollada por otros científi cos, y sobre todo por Mi-chael H. Hart en 1975. Se puede estimar el número de civilizaciones de la galaxia a través de la famosa ecuación de Drake, que divide el problema en diversos trozos que pueden ser calculados de manera más sencilla. Sabemos que la galaxia cuenta con unos 200.000 millones de estrellas, de las cuales habrá una fracción que tengan planetas y de ellos una fracción que contengan vida. Además habrá una fracción de éstos que desarrollo vida compleja y de éstos últimos algunos en los que se dio vida inteligente. La duración de civilizaciones tecnológicamente avanzadas sería el factor limitante fi nal.

Como no sabemos estimar los últimos factores o fracciones de la ecuación de Drake su resultado se estima entre miles de civilizaciones avanzadas y cero. Pero incluso si solamente hubiera habido una única civilización avanzada en crecimiento exponencial, dada la edad de la galaxia y asumiendo que el viaje interestelar automático se hace inclu-so a una velocidad no relativista, habría tenido sufi ciente tiempo de explorar cada rin-cón de la galaxia. Al fi n y al cabo la Vía Láctea mide unos 100.000 años luz de ancho y se podría cruzar en sólo un millón de años viajando a un décimo de la velocidad de la luz.

Una variante de esta expansión generalizada a lo largo de la galaxia se podría llevar a cabo mediante autómatas autorreproductores de Von Neumann. Estas máquinas con-ceptuales irían de sistema solar en sistema solar usando los recursos materiales y energé-ticos de cada uno de ellos para reproducirse y expandirse a otros en un comportamien-to que podríamos llamar viral. En este caso habría, sin duda, algunos problemas éticos además de los técnicos.









Nuestra posición en la Vía Láctea no es socialmente privilegiada. Estamos en los suburbios de una galaxia de 200 mil millones de estrellas desparramadas a lo largo de 80.000 años luz, y esta galaxia, a su vez, está en uno de los más pequeños de los 100 grupos de 50 galaxias de 2 mega-parsec de ancho que componen la metrópoli galáctica del Supercúmulo de Virgo, de 200 millones de años luz de diámetro, que, se sospecha, forma parte de un Hipercúmulo de dimensiones aún

más monstruosas, posiblemente ubicado en las afueras del Universo.

Como no hemos visto ningún artilugio extraterrestre y no hemos recibido transmisiones suyas pese a los programas SETI en marcha desde hace años, se puede concluir que esta-mos solos en la galaxia. Quizás sea muy difícil que surja la inteligencia o una civilización tecnológica, o que una vez que surge se autodestruye de alguna manera (colapso eco-lógico, guerra nuclear…).Ahora Jacob Haqq-Misra y Seth Baum, de Pennsylvania State University, han revisado el problema y sugieren que la clave de esta paradoja está en asumir que una civilización puede colonizar el Universo a un ritmo exponencial. Según ellos unos recursos limitados impondría límites al desarrollo de cualquier civilización y por tanto no se podría dar un crecimiento exponencial de la misma.

Ponen como ejemplo a la Tierra. Para que cualquier expansión sea sostenible, el creci-miento en el consumo de recursos no puede exceder el crecimiento en la producción de esos recursos. Como además la Tierra es fi nita y recibe luz solar a una tasa fi ja la humanidad no puede mantener indefi nidamente un crecimiento exponencial.

Si decidiéramos colonizar la galaxia nuestra civilización no lo podría hacer a un ritmo exponencial y la situación sería además parecida a la de otras civilizaciones avanzadas de la Vía Láctea.

Con la siguiente imagen -que representa sólo el 7% del Universo conocido- uno se puede descon-certar plácidamente ante la inmensidad inexplorada de lo que apenas tantean nuestros telesco-pios. Lo que quiero decir es que del otro lado puede haber miles de civilizaciones buscándonos

desesperadamente, como nosotros a ellos, todos prácticamente a ciegas en la bastedad del Universo.


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Si estos investigadores están en lo cierto, y como la expansión exponencial tampoco es posible a nivel galáctico, entonces las civilizaciones extraterrestres avanzadas no se expanden a ritmo exponencial o bien lo hicieron en el pasado y colapsaron debido a ello. Quizás haya miles de civilizaciones avanzadas que tratan de colonizar su entorno espacial cercano, pero lo harán a un ritmo tan lento que nunca entran en contacto con otras.

Podemos concluir, según la solución habitual a la paradoja de Fermi, que las civilizacio-nes extraterrestres no existen o desaparecen al poco de obtener tecnología al autodes-truirse en una guerra nuclear, pero según este resultado simplemente lo que no hay son civilizaciones que crezcan a un ritmo exponencial. En el primer caso estaríamos solos, y en segundo virtualmente solos. El resultado final es el mismo: nunca entraremos en contacto con otros seres o la probabilidad de ello es muy baja.

Este estudio tiene otras implicaciones respecto a la actual administración de los recursos terrestres, pues nos hace reflexionar sobre los problemas que ahora tenemos de calenta-miento global, contaminación generalizada y colapso ecológico. Estos problemas están causados principalmente por el descabellado crecimiento exponencial de la población y el igualmente exponencial consumo de los recursos del planeta.

La perspectiva se puede invertir y podemos pensar que quizás las demás civilizaciones nunca lleguen a conocernos porque nosotros, al poco tiempo de alcanzar tecnología, sucumbiremos a nuestras ansias desaforadas de consumo, durando de este modo muy poco en el tiempo cósmico. Quizás las civilizaciones que sobreviven son precisamente las más discretas, capaces de administrar bien sus recursos y de prolongarse así en el tiempo. No alcanzan más sabiduría y conocimiento al disponer de más tiempo y recur-sos, sino que precisamente disponen de más tiempo por ser de entrada más sabios.

Fuente: http://arxiv.org/abs/0906.0568







BIBLIoGraFía dE La UNIdad III:


















UNIDAD IV: DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ROTACIONAL, EQUILI-BRIO, ELASTICIDAD Y GRAVITACIÓN









TEMa N° 1: dINÁMICa dEL MoVIMIENTo roTaCIoNaL

1. Momento de torsión.

2. Momento de torsión y acele-ración angular de un cuerpo rígido.

3. Rotación de un cuerpo rígi-do sobre un eje móvil.

4. Trabajo y potencia en movi-miento rotacional

5. Cantidad de movimiento an-gular.

6. Conservación de la cantidad de movimiento angular

TEMa N° 2: EqUILIBrIo y ELasTICIdad

1. Condiciones del equilibrio.

2. Centros de gravedad.

3. Esfuerzo, tensión y módulos de elasticidad.

4. Elasticidad y plasticidad

TEMa N° 3: GraVITaCIÓN

1. La ley y la fuerza gravitacio-nal.

2. Energía potencial de la fuer-za gravitacional.

3. Movimiento de satélites.

4. Las leyes de Kepler y el movi-miento de los planetas


Stephen Hawking. Historia del Tiempo, Capítulo 11

autoevaluación de la Unidad IV

1. Explica la energía en el mo-vimiento rotacional, teorema de los ejes paralelos y momen-tos de inercia.

2. Explica la cantidad de movi-miento angular y su conserva-ción de la cantidad de movi-miento angular.

actividad N° 1:


3. Explica el concepto de equili-brio y elasticidad.

4. Resuelve problemas relativos a equilibrio, centros de gra-vedad relacionando con los fenómenos cotidianos.

5. Interpreta los conceptos teó-ricos de Elasticidad y plastici-dad.

actividad N° 2:


6. Explica el concepto de gravi-tación.

7. Interpreta el movimiento de planetas y satélites

actividad N° 3:





UNIDAD IV: DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ROTACIONAL, EQUILIBRIO, ELASTICIDAD Y GRAVITACIÓN

CONTENIDO

BIBLIOGRAFÍA

EJEMPLOS

AUTOEVALUACIÓN

ACTIVIDADES

CoMPETENCIaanaliza los principios de la dinámica del movimiento rotacional; las leyes del equilibrio y elasticidad,para esclarecer los principios del centro de gravedad, además explica las leyes de la gravitación.

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TEMA N° 1: DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ROTACIONAL

En Unidades anteriores señalamos que una fuerza aplicada a un cuerpo imparte una aceleración a ese cuerpo. Sin embargo, ¿qué se requiere para impartir a un cuerpo una ace-leración angular? Es decir, ¿qué se necesita para poner a girar un cuerpo estacionario o para detener un cuerpo que está dando vueltas? Se requiere una fuerza, pero debe aplicarse de tal manera que imprima una acción de torcer o der dar vueltas.

En este Tema defi niremos una nueva magnitud física, momento de torsión, que descri-be la acción de torsión o giro de una fuerza. Veremos que el momento de torsión neto que actúa sobre un cuerpo rígido determina su aceleración angular, así como la fuerza neta sobre un cuerpo determina su aceleración lineal. También examinaremos el tra-bajo y la potencia en el movimiento rotacional a fi n de entender los problemas del tipo de cómo el eje giratorio de un auto transmite energía. Por último desarrollaremos un nuevo principio de conservación, la conservación de la cantidad de movimiento angu-lar, que es muy útil para entender la rotación de cuerpos tanto rígidos como no rígidos.

Para abordar esos conocimientos acudimos nuevamente al texto de Física Universitaria. Vol 1 de Sears–Zemansky.

1 MoMENTo dE TorsIÓNLa medida cuantitativa de la tendencia de una fuerza para causar o alterar la rota-ción de un cuerpo se denomina momento de torsión.

• (defi nición del vector de momento de torsión)

• (magnitud del momento de torsión)









El momento de torsión de la fuerza en torno al punto O se defi ne como .La magnitud de es . Aquí, y están en el plano del papel; por la regla de la mano derecha del producto vectorial, apunta afuera de la pagina del lector.

2 MoMENTo dE TorsIÓN y aCELEraCIÓN aNGULar dE UN CUErPo ríGIdo Ahora podemos deducir la relación fundamental de la dinámica rotacional de un cuerpo rígido. Demostraremos que la aceleración angular de un cuerpo rígido en rotación es directamente proporcional a la suma de las componentes de momento de torsión sobre el eje de rotación. El factor de proporcionalidad es el momento de inercia.

Escribimos una ecuación similar para cada partícula del cuerpo y luego sumamos todas las ecuaciones:


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Dos partículas de un cuerpo rígido ejercen fuerzas iguales y opuestas una sobre la otra. Si estas fuerzas actúan a lo largo de la línea que va de una partícula a la otra, los brazos de palanca de las dos fuerzas son iguales y los momentos de torsión causa-dos por ellas son iguales y opuestos. Sólo los momentos de torsión externos afectan la rotación de un cuerpo rígido.

3 roTaCIÓN dE UN CUErPo ríGIdo soBrE UN EJE MÓVILAnalicemos el movimiento de un cilindro en un plano horizontal

a) Movimiento de traslación pura

Asumamos que el cilindro se traslada sin rotar, con rapidez .

En este caso todos los puntos del cilindro se mueven con la misma rapidez , y ade-más:

b) Rotación Pura

Imaginemos ahora el cilindro girando con respecto a un eje que pase por su centro de masa con una velocidad angular ω tal que:

En este caso todos los puntos del borde del cilindro se mueven con la misma rapi-dez, pero el centro de masa no se mueve

¿Qué sucederá cuando el cilindro se traslade con velocidad v y al mismo tiempo gire con rapidez angular w, tal que v = wR?









Energía del movimiento de rodadura

Podemos considerar que por P pasa el llamado eje instantáneo de rotación, pues todos los puntos del cilindro giran en forma instantánea alrededor de este eje.

La energía cinética de rotación respecto a este eje instantáneo de rotación está

dada por:

Donde Ip es el momento de inercia con respecto al eje instantáneo de rotación.

Con ayuda del teorema de los ejes paralelos, se tiene que:

Ahora bien:

Usando la expresión , fi nalmente se tiene que la energía cinética de rota-ción del cilindro se escribe como:

Donde:

Energía cinética de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masa:

Energía cinética de traslación del centro de masa:

Traslación y Rotación Combinadas: Dinámica

También podemos analizar el movimiento traslacional y rotacional combinado de un cuerpo rígido desde la perspectiva de la dinámica.

4 TraBaJo y PoTENCIa EN MoVIMIENTo roTaCIoNaLCuando pedaleamos una bicicleta, aplicamos fuerzas a un cuerpo en rotación y efectuamos trabajo sobre él. Algo similar ocurre en otras situaciones de la vida real, como el eje de un motor que impulsa una herramienta de potencia o a un vehículo. Podemos expresar el trabajo en términos del momento de torsión y desplazamiento angular.


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(trabajo efectuado por un momento de torsión)

Si el momento de torsión es constante

Y el cambio de ángulo es fi nito

(trabajo efectuado por un momento de torsión constante)

Si un momento de torsión efectúa trabajo sobre un cuerpo rígido que gira, la ener-gía cinética cambia en una cantidad igual a ese trabajo.

La Potencia asociada al momento de torsión será:

5 CaNTIdad dE MoVIMIENTo aNGULarSuponga una partícula de masa m moviéndose en el plano XY.

Se defi ne el momentum angular de la partícula como:

Observaciones:

Si m se mueve en la dirección de r, entonces: L = 0

Si r y p son perpendiculares, entonces: LMax = r p









Relación entre y

Al derivar la cantidad de movimiento angular (momentum angular), se halla que uno de los términos se anula, puesto que la velocidad y la cantidad de movimiento son paralelos.

La expresión fi nalmente relaciona a la cantidad de movimiento angular con el tor-que aplicado sobre la partícula.

Momentum angular de un sistema de partículas

Para un conjunto de partículas, el momentum angular del conjunto es igual a: Supongamos, por sencillez, un sistema conformado por dos partículas

sometidas a su interacción mutua y a las fuerzas externas F1 y F2

Torque de un sistema de dos partículas

El torque sobre la partícula 1 será:

y el torque sobre la partícula 2 será:

El torque resultante:

Como:

El torque resultante que actúa sobre el sistema es igual al torque que producen solo las fuerzas externas.

Entonces, la cantidad de movimiento angular del conjunto de partículas será igual

a:

Relación entre L e I para una partícula


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Supóngase una partícula girando en una trayectoria circular bajo la acción de la fuerza tangencial FT y una fuerza centrípeta que asegura el movimiento circular.

El momentum angular de la partícula en el instante t será:

La magnitud de L será:

Finalmente, el momentum angular de la partícula es igual a su momento de inercia por la velocidad angular.

5 CoNsErVaCIÓN dE La CaNTIdad dE MoVIMIENTo aNGULarPodemos apreciar, que si el torque externo es cero, entonces el momentum angular permanece constante, lo que equivale a decir que si cambia el momento de inercia, la velocidad angular también cambiará para que el producto sea constante







aCTIVIdad N° 1:


TEMA N° 2: EQUILIBRIO Y ELASTICIDAD

Para estudiar este tema se presenta un resumen teórico del texto Física Universitaria. Vol 1 de Sears–Zemansky, que se puede encontrar en http://books.google.com.pe/books

Nos hemos esforzado mucho por entender por qué y cómo los cuerpos aceleran en respuesta a las fuerzas que actúan sobre ellos, pero con frecuencia nos interesa asegu-rarnos de que los cuerpos no aceleran. Toda edifi cación, desde los rascacielos hasta las casas más humildes, debe diseñarse de modo que no se derrumbe. Lo mismo ocurre con puentes, represas, una grua etc.

Un cuerpo que puede modelarse como partícula está en equilibrio siempre que la re-sultante de las fuerzas que actúan sobre él es cero. Sin embargo, en las situaciones que acabamos de describir, esa condición no basta. Si actúan fuerzas en diferentes puntos de un cuerpo extendido, se debe satisfacer un requisito adicional para asegurar que el cuerpo no tenga tendencia a girar, la suma de los momentos de torsión alrededor de cualquier punto debe ser cero. Este requisito se basa en los principios de la dinámica ro-tacional. Podemos calcular el momento de torsión debido al peso de un cuerpo usando









el concepto de centro de masa y el concepto relacionado de centro de gravedad, que presentamos líneas abajo.

En la Torre de Pisa el centro de gravedad está dentro del área delimitada por los sopor-tes de la base, lo cual permite el equilibrio. Caso contrario la Torre volcaría.

1 CoNdICIoNEs dEL EqUILIBrIoComo se vio anteriormente la primera condición del equilibrio llamada equilibrio traslacional, se enunciaba de la siguiente forma: “Un cuerpo se encuentra en equi-librio traslacional si y solo si la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre él es igual a cero”. Cuyas ecuaciones son las siguientes:

(primera condición de equilibrio)

Un cuerpo puede encontrarse en equilibrio de traslación, sin embargo puede estar girando sobre su propio eje debido a 2 o más fuerzas. Así por ejemplo, la rotación del volante de un automóvil se debe a la capacidad que tiene cada fuerza para ha-cerlo girar.

Para que un cuerpo esté en equilibrio de rotación, debe cumplirse la segunda con-dición de equilibrio que dice: “para que un cuerpo esté en equilibrio de rotación, la suma de los momentos o torque de las fuerzas que actúan sobre él respecto a cualquier punto debe ser igual a cero”. Matemáticamente esta ley se expresa con la ecuación: (segunda condición de equilibrio)

Antes de proceder a resolver problemas en los que se aplica la primera y segunda condición del equilibrio, veamos algunos conceptos básicos relacionados con el:

• Cuando sobre un cuerpo actúan fuerzas que no tienen una línea de acción co-mún, tal vez exista equilibrio trasnacional pero no necesariamente equilibrio ro-tacional. En otras palabras, quizá no se mueva ni a la derecha ni a la izquierda, tampoco hacia arriba ni hacia abajo, pero puede seguir girando.

• La línea de acción de una fuerza es una línea imaginaria que se extiende inde-fi nidamente a lo largo del vector en ambas direcciones. Cuando las líneas de acción de las fuerzas no se intersecan en un mismo punto, puede haber rotación respecto a un punto llamado eje de rotación.

• La distancia perpendicular del eje de rotación a la línea de la fuerza se llama bra-


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zo de palanca de la fuerza, el cual determina la efi cacia de una fuerza dada para provocar el movimiento rotacional.

2 CENTros dE GraVEdadEl centro de gravedad es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas porciones materiales de un cuerpo, de tal forma que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo.

En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que consti-tuyen el cuerpo producen un momento resultante nulo.

El c.g. de un cuerpo no corresponde necesariamente a un punto material del cuer-po. Así, el c.g. de una esfera hueca está situado en el centro de la esfera que, obvia-mente, no pertenece al cuerpo.

En física, además del centro de gravedad aparecen los conceptos de centro de masa y de centro geométrico o centroide que, aunque pueden coincidir con el centro de gravedad, son conceptualmente diferentes.

El centroide es un concepto puramente geométrico que depende de la forma del sistema; el centro de masas depende de la distribución de materia, mientras que el centro de gravedad depende también del campo gravitatorio.

Centro de masa y centro de gravedad

El centro de masa coincide con el centro de gravedad cuando el cuerpo está en un campo gravitatorio uniforme. Es decir, cuando el vector aceleración de la gravedad es de magnitud y dirección constante en todo el interior del cuerpo. A los efectos prácticos esta coincidencia se cumple con precisión aceptable para todos los cuer-pos que están sobre la superfi cie terrestre, aún para una locomotora o un gran edifi cio; no sucede lo mismo con objetos astronómicos como los planetas.

Centro geométrico y centro de masa

El centro geométrico de un cuerpo material coincide con el centro de masa si el objeto es homogéneo (densidad uniforme) o cuando la distribución de materia en el sistema tiene ciertas propiedades, tales como simetría.









El momento de torsión debido al peso de un cuerpo puede obtenerse suponiendo que todo el peso se concentra en el centro de gravedad.

Consideremos ahora el momento de torsión gravitacional:

Tabla de Centros de gravedad:


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De la fi gura podemos indicar que si el centro de gravedad está dentro del área delimitada por los soportes, el automóvil está en equilibrio. Caso contrario el móvil volcará.

3 EsFUErzo, TENsIÓN y MÓdULos dE ELasTICIdadEl cuerpo rígido es un modelo idealizado útil, pero en muchos casos: los estiramien-tos, aplastamientos y torsiones de los cuerpos reales cuando se les aplican fuerzas son demasiado importantes para despreciarse. La fi gura muestra tres ejemplos. Nos interesa estudiar la relación entre las fuerzas y los cambios de forma en cada caso.









Tres tipos de esfuerzos: (a) Un cable sometido a esfuerzo de tensión, estirado por fuerzas que actúan en sus extremos. (b) Delfín sometido a esfuerzo de volumen, aplastado por todos lados por fuerzas debidas a la presión del agua. (c) Listón sometido a esfuerzo de corte, siendo deformado y fi nalmente cortado por fuerzas ejercidas por las tijeras.

La ley de Hooke establece que, en las deformaciones elásticas, el esfuerzo (fuerza por unidad de área) es proporcional a la deformación (cambio fraccionario de for-ma). La constante de proporcionalidad se llama módulo de elasticidad:

Módulos de elasticidad aproximados:

Material Módulo de young y(Pa)

Módulo de Volumen B(Pa)

Módulo de corte s(Pa)

Aluminio 7.0 x 1010 7,5 x 1010 2.5 x 1010

Latón 9.0 x 1010 6.0 x 1010 3.5 x 1010

Cobre 11 x 1010 14 x 1010 4.4 x 1010

Vidrio óptico 6.0 x 1010 5.0 x 1010 2.5 x 1010

Hierro 21 x 1010 16 x 1010 7.7 x 1010

Plomo 1.6 x 1010 4.1 x 1010 0.6 x 1010

Níquel 21 x 1010 17 x 1010 7.8 x 1010

Acero 20 x 1010 16 x 1010 7.5 x 1010

Esfuerzo y deformación de tensión y comprensión

Unidades:

1 pascal = 1 Pa = 1 N/m2 (1 lb/pulg2 = 1 psi)

1 Psi = 6895 Pa

1 Pa = 1,450x10-4 psi

1 atm = 1,013x105 Pa=14,7 lb/pulg2


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El módulo de elasticidad correspondiente se denomina módulo de Young:

Esfuerzo y tensión de volumen

(presión en un fl uido)

El módulo de elasticidad correspondiente se denomina módulo de volumen:

El recíproco del módulo de volumen se denomina compresibilidad

Esfuerzo y tensión de corte

Esfuerzo de corte o de cizallamiento:

El módulo de elasticidad correspondiente se denomina módulo de corte o de ciza-llamiento:

4 ELasTICIdad y PLasTICIdadDiagrama de esfuerzo-deformación típico para un metal dúctil sometido a tensión.

El límite proporcional es el esfuerzo máximo para el que el esfuerzo y la deforma-









ción son proporcionales. Más allá, la ley de Hooke no es válida. El límite elástico es el esfuerzo a partir del cual se presenta una deformación irreversible. El esfuerzo de rotura, o resistencia límite, es el esfuerzo en el que el material se rompe.







aCTIVIdad N° 2:


TEMA N° 3: GRAVITACIÓN

Algunas de las primeras investigaciones en el campo de la física nacieron de preguntas que la gente se hacía acerca del fi rmamento. ¿Por qué no se cae la Luna? ¿Por qué se mueven los planetas en el cielo? ¿Y por qué no sale la Tierra despedida hacia el espacio exterior en lugar de permanecer en órbita en torno al Sol?. El estudio de la gravitación responde a éstas y muchas otras preguntas relacionadas.

Para responder a estas interrogantes se presenta un resumen teórico del texto Física Universitaria. Vol 1 de Sears–Zemansky, que se puede encontrar en http://books.goo-gle.com.pe/books

1 La LEy y La FUErza GraVITaCIoNaLLa Ley de Gravitación Universal fue descubierta por Newton, cuando le cayó una manzana en la cabeza mientras hacia una siesta debajo de un manzano. Por este


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hecho Newton le pregunto al manzano “¿manzano, si la manzana cae, quizá todos los cuerpos en el Universo se atraen entre sí de la misma forma como la manzana fue atraída por la Tierra?”. Como el manzano nada le respondió, Newton comenzó a trabajar sobre eso hasta que descubrió la Ley de Gravitación Universal, que publicó en 1686 en sus Mathematical Principles of Natural Philosophy. Se puede enunciar de la siguiente forma:

“Toda partícula material del universo atrae a cualquier otra partícula con una fuerza di-rectamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa”

Si las partículas que tienen masas m1 y m2 están separadas una distancia r medida desde sus centros, como se ve en la fi gura 1, entonces, de acuerdo a la ley de gra-vitación universal, la fuerza de atracción gravitacional FG ejercida por la masa m1 sobre la masa m2 es:

Su magnitud es:

La constante de proporcionalidad G se llama Constante de Gravitación Universal y es un vector unitario radial dirigido desde la masa m1 a la masa m2. El valor de

G, que se determina experimentalmente en el SI es 6.672 x 10-11 N m2/kg2. El signo menos en la FG indica que la fuerza es de atracción, dirigida desde m2 hacia m1, es decir es opuesta a la dirección radial hacia fuera, desde la masa m1 que ejerce la fuerza sobre m2; en los cálculos su valor numérico es siempre positivo.

En este punto se debe tener presente que:

• La constante universal G no se debe confundir con el vector g, que ni es univer-sal ni es constante.

• La ley de gravitación universal no es ecuación de defi nición de ninguna de las variables físicas contenidas en ella.

• La ley de gravitación universal expresa la fuerza entre partículas. Si se quiere determinar la fuerza gravitacional entre cuerpos reales, se los debe considerar formado por un conjunto de partículas y usar cálculo integral.

• Las fuerzas de gravitación entre partículas son parejas de acción y reacción.

Fuerza gravitacional y peso.

La fuerza con que la Tierra atrae a los cuerpos cerca de la superfi cie terrestre se defi nió como el peso del cuerpo, P = mg. Esta es la fuerza gravitacional FG entre el cuerpo de masa m y la Tierra de masa MT, separados una distancia entre sus centros r = RT + z, donde RT es el radio de la Tierra y z es la altura de m sobre el suelo. Igua-lando las expresiones de las fuerzas P y FG se obtiene:









Esta ecuación permite calcular el valor de la aceleración de gravedad g a cualquier altura z sobre la superficie, ya que se conoce G, la MT y el RT. De esta ecuación se observa que g disminuye con la altura.

2 ENErGía PoTENCIaL dE La FUErza GraVITaCIoNaLUna partícula de masa m que se encuentre sobre la superficie terrestre, moviéndo-se entre dos puntos cualesquiera, está bajo la influencia de la fuerza gravitacional, cuya magnitud es:

El cambio de energía potencial de la partícula de masa m se define como el trabajo negativo realizado por la fuerza gravitacional, en este caso:

Reemplazando en esta expresión la fuerza gravitacional, para calcular la energía potencial gravitacional de la partícula de masa m, se obtiene:

Como el punto de referencia inicial para la energía potencial es arbitrario, se puede elegir en r = ∞, donde la fuerza gravitacional (y la aceleración de gravedad) es cero. Con esta elección se obtiene la energía potencial gravitacional general para una partícula de masa m ubicada a una altura r medida desde el centro de la Tierra:

La energía potencial gravitacional entre partículas varía en 1/r, y es negativa por-que la fuerza gravitacional es de atracción y se ha tomado la energía potencial como cero cuando la separación entre las partículas es infinita. Como la fuerza gravitacio-nal es de atracción, un agente externo debe realizar trabajo positivo para aumentar la separación entre las partículas. El trabajo produce un aumento de la energía potencial cuando las dos partículas están separadas, esto significa que Eg se vuelve menos negativa cuando r aumenta.

Esta ecuación es general y vale para cualquier par de partículas de masas m1 y m2 separadas una distancia r, y extenderse a un sistema que contenga varias partículas, en ese caso la energía total del sistema es la suma sobre todos los pares de partícu-las, entonces para dos partículas se tiene:

3 MoVIMIENTo dE saTéLITEsLas órbitas de los objetos celestes naturales están determinadas por unas ciertas condiciones iniciales que la Naturaleza imprimió de modo caprichoso (aunque si-guen ciertas pautas). Sin embargo, con los satélites artificiales se tiene la posibilidad de conseguir unas órbitas específicas, de modo que sean de utilidad para la misión para la que se ha diseñado el satélite.


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La misión a que esté destinado el satélite va a determinar el tipo de órbita. De modo esquemático, podemos distinguir cuatro tipos de misiones: científicas, de aplicaciones, de comunicaciones y de navegación. Los satélites científicos llevan ins-trumentos a bordo con objeto de medir campos magnéticos u observar el universo en diferentes longitudes de onda del espectro. Los de comunicaciones se emplean para trasmitir llamadas telefónicas, señales de televisión, de radio, e incluso para rápidas conexiones a Internet.

Los de aplicaciones son satélites de observación de la Tierra, como por ejemplo, sa-télites meteorológicos, oceanográficos, de reconocimiento de determinadas zonas terrestres, con fines civiles o militares. Por último, los de navegación, sirven para localizar puntos de la superficie terrestre.

Para los satélites de comunicaciones o meteorológicos resultará especialmente atractiva la posibilidad de que el satélite siempre sea visible desde un cierto lugar, es decir, que su periodo orbital coincida con el periodo de rotación de la Tierra, un día sidéreo. En virtud de la tercera Ley de Kepler, el semieje mayor de esa órbita será de 42164.5 km. A estos satélites se les denomina Geosíncronos (GEO). Pero si realmente lo que queremos es que el satélite esté siempre en el zenit de un mismo punto, este punto ha de encontrarse sobre el Ecuador terrestre, la órbita ha de ser circular y la inclinación nula. Estos son los llamados Geoestacionarios.

Otros satélites necesitan una continua iluminación de sus paneles solares, pues es el Sol su fuente de energía. Por eso interesa que la línea de los nodos se encuentre fija con respecto al Sol; a éstos se les llama Heliosíncronos. Otras misiones de re-conocimiento de ciertas áreas de la superficie terrestre, necesitan que los satélites vuelvan a pasar de modo periódico por esas zonas, es decir, que repitan su traza periódicamente.

Como vamos a ver a continuación, para conseguir una cierta inclinación orbital, la base de lanzamiento debe encontrarse en una determinada latitud. Algunos países, no disponen de centros de lanzamiento en latitudes próximas al Ecuador, por lo que forzosamente tienen que colocar sus satélites con una gran inclinación, pero si se emplean para comunicaciones o como reconocimiento, interesa que pasen sobre unas determinadas zonas con una cierta periodicidad y además, a la misma altitud, a pesar de que no sean circulares. Esto se consigue congelando algunos elementos orbitales, como la excentricidad, y sobre todo, el argumento del perigeo; de este modo, pueden sobrepasar una zona a altitudes muy bajas, y siempre con la misma altitud. A esta clase pertenecen los llamados satélites Molniya, con un periodo de 12 horas, una excentricidad de 0.7 y una inclinación de 63.4°, la llamada inclinación crítica.

Hay otros satélites que forman parte de un conjunto de satélites, que reciben el nombre de constelaciones, como los conocidos GPS (Global Positioning Satellites), tan difundido hoy en día, que lo mismo se emplean en la Vuelta ciclista para dar la diferencia de tiempos entre el pelotón y los ciclistas escapados, como nos informa de los minutos que va a tardar en llegar el autobús urbano a la parada. Cada uno de los satélites de estas constelaciones posee la misma órbita que el resto, pero con el ángulo del nodo desplazado, de modo que desde cualquier lugar siempre son visibles varios de éstos. Los GPS son una constelación de 24 satélites, con órbitas circulares de periodo 12 horas e inclinación i = 55°. En total, hay 6 órbitas distintas (el ángulo del nodo de una órbita está desfasado 60° con respecto a la anterior) y 4 satélites en cada órbita.

Como vemos, hay una gran variedad de órbitas. La situación geográfica de la base de lanzamiento juega un papel fundamental, puesto que para conseguir una órbita directamente desde la base de lanzamiento, la latitud de ésta debe ser menor o igual que la inclinación de la órbita deseada. Ese hecho es una de las causas por la que la mayor parte de los centros espaciales de lanzamiento se encuentran en las proximidades del Ecuador. (Teorías Analíticas sobre el Movimiento Orbital De Satélites Artificiales por Antonio Elipe Sánchez).

Velocidad Orbital









La velocidad orbital es la velocidad que tiene un planeta, satélite (natural o artifi -cial) o similar en su órbita alrededor de otro cuerpo celeste (estrella, planeta, ...).

Si la órbita es circular, la magnitud de la velocidad es constante en toda la órbita y está determinada por:

vorb =GM

r

donde vorb es la velocidad orbital, G la constante gravitacional, M la masa del cuer-po atrayente, y r el radio de la órbita. La velocidad orbital no depende de la masa del cuerpo que orbita, aunque sí es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del radio de la órbita. Es decir, cuanto mayor sea el radio, menor será la velocidad necesaria para describir la órbita.

Si el objeto en órbita circular incrementase su velocidad, pasaría a una órbita elíp-tica, con una velocidad que estaría determinada en cada punto por las leyes de Kepler sobre el movimiento planetario. Si se moviera aún más rápido, podría alcan-zar la velocidad de escape y describiría una órbita parabólica; por encima de dicha velocidad, la trayectoria u órbita sería hiperbólica.

Salvo en el caso de la órbita circular, la velocidad orbital no es constante, sino que varía a lo largo de la órbita, siendo tanto menor cuanto más alejado está el cuerpo que orbita del astro que le atrae. En el caso del movimiento de los planetas en el Sistema Solar cabe destacar tres valores signifi cativos:

• Velocidad orbital mínima es la que corresponde al afelio.

• Velocidad orbital máxima es la que corresponde al perihelio.

• Velocidad orbital media durante un recorrido completo de la órbita.

Las velocidades orbitales se expresan en km/s o en km/h. Suele emplearse el valor de velocidad orbital media. Así, el planeta Tierra tiene una velocidad orbital media de 29,78 km/s. (http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_orbital)


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La energía mecánica total

E = K + U =

(órbita circular)

Velocidad de escape

Suponga que un objeto de masa m se lanza verticalmente hacia arriba desde la su-perfi cie terrestre con una velocidad vi. Podemos utilizar consideraciones de energía para encontrar el valor mínimo de la velocidad inicial con la cual el objeto escapará del campo gravitacional de la Tierra. La ecuación anterior nos brinda la energía total del objeto en cualquier punto cuando se conocen su velocidad y distancia desde el centro de la Tierra.

En la superfi cie de ésta vi = v y ri = RT. Cuando el objeto alcanza su altura máxima, vf = 0 y rf = rmáx. Debido a que la energía total del sistema es constante, al reempla-zar estas condiciones se obtiene:

Al despejar se obtiene:

En consecuencia, si se conoce la velocidad inicial, esta expresión puede usarse para calcular la altura máxima h, puesto que sabemos que h = rmáx − RT.

Ahora tenemos la posibilidad de calcular la velocidad mínima que el objeto debe te-ner en la superfi cie terrestre para escapar de la infl uencia del campo gravitacional del planeta. Al viajar a esta velocidad mínima, el objeto puede alcanzar justamente el infi nito con una velocidad fi nal igual a cero. Al establecer rmáx = ∞ en la ecuación anterior y tomando vi = vesc, que se llama la velocidad de escape, obtenemos:

Advierta que esta expresión para vesc es independiente de la masa del objeto. En otras palabras, una nave espacial tiene la misma velocidad de escape que una molé-









cula. Además, el resultado es independiente de la dirección de la velocidad, siem-pre que la trayectoria no interseque la Tierra.

Si al objeto se le da una velocidad inicial igual a vesc, su energía total es igual a cero. Esto puede verse cuando r = ∞, la energía cinética del objeto y su energía potencial son ambas cero. Si vi es más grande que vesc, la energía total es mayor que cero y el objeto tiene un poco de energía cinética residual en r = ∞.

Por último, usted debe observar que las ecuaciones anteriores pueden aplicarse a objetos lanzados desde cualquier planeta. Es decir, en general, la velocidad de escape

desde cualquier planeta de masa M y radio R es:

4 Las LEyEs dE KEPLEr y EL MoVIMIENTo dE Los PLaNETasLos movimientos de los planetas, estrellas y otros cuerpos celestes han sido obser-vados por la gente durante miles de años. En la antigüedad, los científi cos conside-raban a la Tierra como el centro del universo. Así el modelo llamado geocéntrico fue elaborado por el astrónomo griego Claudio Ptolomeo (100−170) en el segundo siglo DC y fue aceptado durante los siguientes 1400 años. En 1543, el astrónomo polaco Nicolás Copérnico (1473−1543) sugirió que la Tierra y los otros planetas giraban en órbitas circulares alrededor del Sol (el modelo heliocéntrico).

El astrónomo danés Tycho Brahe (1546−1601) hizo mediciones astronómicas más precisas por un periodo de 20 años y proporcionó una prueba rigurosa de los mo-delos alternativos del sistema solar. Es interesante observar que estas precisas ob-servaciones sobre los planetas y de 777 estrellas visibles a simple vista se llevaron a cabo con un gran sextante y un compás, sin un telescopio, el cual aún no se había inventado.

El astrónomo alemán Johannes Kepler, quien era ayudante de Brahe, obtuvo los datos astronómicos de este último y empleó casi 16 años en tratar de desarrollar un modelo matemático para el movimiento de los planetas. El análisis completo se resume en tres enunciados, conocidos como las leyes de Kepler:

1. Primera Ley: "La órbita que describe cada planeta es una elipse con el Sol en uno de sus focos".

Las elipses de las trayectorias son de muy poca excentricidad, de tal manera que difi eren muy poco de la circunferencia. Así por ejemplo, la excentricidad de la órbita de la Tierra es e = 0,017, y como la distancia Tierra-Sol es aproximada-mente 150 000 000 de Km. la distancia del Sol (foco) al centro de la elipse es de ae = 2 500 000 Km.

2. Segunda Ley: "Cada planeta se mueve de tal manera que el radio vector (recta que une el centro del Sol con el planeta) barre áreas iguales en tiempos iguales" El radio vector r, o sea la distancia entre el planeta y el foco (S) es variable, pues es mínima en el perihelio y máxima en el afelio. Como la velocidad areal (área barrida en la unidad de tiempo) es constante, la velocidad del planeta en su órbita debe ser variable. En virtud de esta ley, si las áreas ASB y CSD son iguales,


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el arco AB será menor que el CD, lo que indica que el planeta se desplaza más ligero en el aphelio. Es decir, su velocidad es máxima a la mínima distancia al Sol y mínima a la máxima distancia.

3. Tercera Ley: "El cuadrado de los períodos de revolución de dos planetas es pro-porcional a los cubos de sus distancias medias al Sol."

Si R1, y R2 son las distancias medias al Sol de dos planetas, por ejemplo Marte y la Tierra, y T1 y T2 son los respectivos tiempos de revolución alrededor del Sol, de acuerdo con esta ley resulta que:

donde el tiempo está dado en años y la distancia en unidades astronómicas (UA=150.000.000 Km.)

Posteriormente al enunciado de esta ley hecho por Kepler, Newton probó que en la misma deben aparecer las masas de los cuerpos considerados, y de esta manera obtuvo la siguiente fórmula:

donde M es la masa del Sol (el cuerpo situado en el foco de la Órbita), igual a 330000 veces la masa de la Tierra, y m1 y m2 son las masas de los de cuerpos consi-derados que se mueven a su alrededor en orbitas elípticas. Esta expresión permite calcular la masa de un planeta o satélite, si se conoce su periodo de traslación P y su distancia media a al Sol.

En general para los planetas del sistema solar solo las masas de Júpiter y Saturno no son despreciables respecto a la del Sol. De esta manera, en la mayoría de los casos se considera (M+mi) igual a una masa solar y se obtiene así la expresión dada originalmente por Kepler.

Estas leyes empíricas recién encontraron su sustento físico y matemático en la teo-ría de la gravitación universal de Newton, quien estableció el principio físico que explica los movimientos planetarios. La construcción de este cuerpo de ideas que









comienza con Copérnico y culmina en la mecánica de Newton es un ejemplo por excelencia de lo que se considera un procedimiento científico, al que se puede des-cribir muy esquemáticamente de la siguiente forma: se observa un hecho, se mide y se confecciona una tabla de datos; luego se trata de encontrar leyes que relacionen estos datos y, finalmente, se busca un principio que sustente o explique las leyes. (Cálculo distancia Tierra−Sol a partir de imágenes tránsito de Venus. Por Miguel Ángel Pío Jiménez. Astrónomo Instituto de Astrofísica de Canarias, Tenerife.)







aCTIVIdad N° 3:








aUToEVaLUaCIÓN dE La UNIdad N° IV


1. Un cordón se enrolla en el borde de una rueda de 0,25 m de radio y se tira del cordón con una fuerza constante de 40 N. La rueda está montada con cojinetes sin fricción en un eje horizontal que pasa por su centro. El momento de inercia de la rueda alrededor de este eje es 5 kg.m2. Calcule la aceleración angular de la rueda en rad7s2.

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

2. Si el momento de torsión externo neto que actúa sobre un sistema es cero, la canti-dad de movimiento angular total del sistema es:

a) constante

b) nulo

c) variable

d) positivo

e) negativo

3. Si el esfuerzo y la deformación son pequeños, es común que sean directamente pro-porcionales, y llamamos a la constante de proporcionalidad:

a) módulo de plasticidad

b) módulo de young

c) módulo de corte

d) módulo de volumen

e) módulo de elasticidad

4. Si se desea colocar un satélite en órbita. Circular 780 km sobre la superficie terres-tre, ¿qué rapidez orbital se le debe impartir?

a) 9346 m/s

b) 5478 m/s

c) 7458 m/s

d) 2314 m/s

e) 8367 m/s


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5. El volante de un motor de gasolina debe ceder 500 Joules de energía cinética cuan-do su velocidad angular se reduce de 650 rpm a 520 rpm. ¿Qué momento de inercia se requiere?

a) 0,2 kg.m2

b) 0,4 kg.m2

c) 0,6 kg.m2

d) 0,8 kg.m2

e) 1,0 kg.m2

6. ¿Qué período de revolución tiene un satélite de masa m en una órbita circular con radio 7880 km (unos 1500 km sobre la superfi cie terrestre)?

a) 16 minutos

b) 16 minutos

c) 116 minutos

d) 24 minutos

e) 246 minutos

7. Un libro de 2 kg descansa en una superfi cie horizontal sin fricción. Un cordel atado al libro pasa por una polea de 0,15 m de diámetro y está atado en su otro extremo a un libro colgante con masa de 3,00 kg. El sistema se suelta del reposo y se observa que los libros se mueven 1,20 m en 0,8 s. Calcule el momento de inercia de la polea respecto a su eje de rotación.

a) 0,0010 kg.m2

b) 0,0012 kg.m2

c) 0,0014 kg.m2

d) 0,0016 kg.m2

e) 0,0018 kg.m2

8. Se enrolla un hilo varias veces en el borde de un aro de 0,08 m de radio y masa de 0,18 kg. Si el extremo libre del hilo se sostiene fi jo y el aro se suelta del reposo (ver fi gura), calcule el tiempo que el aro tarda en bajar 0,75 m.

a) 0,05 s

b) 0,15 s

c) 0,25 s

d) 0,45 s

e) 0,55 s

9. Una esfera de 1,00 kg con radio r1 = 0,08 m está unida por una varilla ligera de 0,40 m de longitud a una segunda bola de 2,00 kg con radio r2 = 0,10 m. Dónde está el centro de gravedad del sistema. (tome como origen el centro de la esfera más pe-queña)

a) 0,167 m

b) 0,277 m

c) 0,387 m

d) 0,497 m

e) 0,507 m

10. Una escalera uniforme de 5,0 m de longitud que pesa 160 N descansa contra una pared vertical sin fricción con su base a 3,0 m de la pared. El coefi ciente de fricción









estático entre la base de la escalera y el suelo es de 0,4. Un hombre de 740 N sube lentamente la escalera. Hasta donde puede trepar el hombre antes de que la escale-ra resbale.

a) 0,7 m

b) 1,7 m

c) 3,7 m

d) 2,7 m

e) 4,7 m








Asteroide 2012 DA14 cruzará órbita terrestre

El 15 de febrero de 2013

Publicado por Juan Carlos Jiménez en http://www.quantum-rd.com/

Una colisión con un asteroide amenaza a la Tierra el 15 de febrero de 2013. Si el aste-roide 2012 DA14, localizado en febrero, impactara a nuestro planeta, la magnitud de la catástrofe será comparable con la caída del meteorito de Tunguska en Rusia, advierten los científi cos.

El asteroide 2012 DA14 fue encontrado el pasado 23 de febrero por astrónomos del Observatorio Español de La Sagra. Luego, sus datos fueron confi rmados por científi cos franceses, italianos y norteamericanos.

Según sus cálculos, la órbita del asteroide con un diámetro de entre 40 y 95 metros, cruzará la órbita terrestre. Los astrónomos han calculado que el 15 de febrero de 2013, el asteroide va a pasar a solo 26.9 mil kilómetros de nuestro planeta, que es inferior a las órbitas de los satélites geoestacionarios (cerca de 35.000 kilómetros). Pulkovo Víctor Lvov, funcionario del Observatorio de kvazisputnikam en Rusia, dijo que el 2012 DA14 “pertenece” al tipo de asteroides que periódicamente se acerca a nuestro planeta por detrás, y a continuación o después, por delante de él.

Cálculos preliminares, a las 19:25 (GMT) del 15 de febrero de 2013 el cuerpo celeste se acercará a nuestro planeta a unos 26.900 kilómetros.

“Estos son objetos que se mueven de vez en cuando cerca de la Tierra de hecho, ellos no van alrededor de la tierra, pero en un sistema de coordenadas con dos centros (con el Sol y la Tierra) será como dar la vuelta alrededor de la Tierra” citó. Ahora es imposible predecir que pasará en el encuentro con la Tierra del 2012 DA14. “Tenemos que verlo, puede estar más lejos de la Tierra, y luego acercarse más, incluso, lo sufi ciente como para caer a tierra, con alguna probabilidad de que impactará a la Tierra.


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Nuevas observaciones nos permitirán refi nar los datos orbitales y saber con precisión el destino de este objeto, dijo el científi co. Aunque el asteroide 2012 DA14, en caso de impactar la tierra no dará lugar a la muerte de todos los seres vivos, la escala puede ser comparable a la catástrofe de Tunguska en 1908, agregó.

El cuerpo celeste pertenece a la familia de los asteroides de Apolo, cuyas órbitas se cru-zan con la terrestre. Alrededor de dos tercios de los asteroides conocidos que se acercan a la Tierra son de este tipo. Según los datos disponibles, el cuerpo celeste puede medir entre 40 y 95 metros de largo.

Posible trayectoria del asteroide 2012 DA14.

Los astrónomos seguirán recopilando datos sobre 2012 DA14 y precisando la información sobre su trayectoria. De acuerdo con los cálculos de los astrónomos, los asteroides grandes pueden caer a la Tierra en promedio una vez cada 100 mil años. En casos excepcionales, pueden plantear una amenaza a la existencia de vida en nuestro planeta, como lo fue durante la extinción masiva de los dinosaurios hace unos 65 millones de años.

La mayor preocupación es el asteroide Apophis, que se puede encontrar con la Tierra en el 2036. Ese cuerpo celeste se acercará a nuestro planeta el 13 de abril del 2029 a una distancia de 37 a 38 mil kilómetros. Pero incluso después de 7 años, 13 de abril de 2036, Apophis se acercará a la Tierra a una distancia peligrosa, pudiendo tropezar con ella. Sin embargo, la probabilidad de esto es insignifi cante.

El asteroide 2012 DA14 fue detectado el pasado 23 de febrero por los especia-listas del Observatorio Astronómico de La Sagra, situado en el sur de España.

Quantum opina:

De acuerdo con los cálculos preliminares, a las 19:25 (GMT) del 15 de febrero de 2013 el cuerpo celeste se acercará a nuestro planeta a unos 26.900 kilómetros, una distancia menor que las órbitas de los satélites geoestacionarios (cerca de 35.000 kilómetros), según los datos publicados en la web de la NASA. En términos astronómicos vendría a ser como “un roce” entre la Tierra y un asteroide. Este cuerpo celeste es relativamente pequeño pero que, dependiendo de la zona y circunstancias del impacto, podría causar









daños de consideración, pero no a escala global.

En promedio, un objeto del tamaño de un coche entrará en la atmósfera de la Tierra por lo menos una vez al año, produciendo una espectacular bola de fuego en el cielo. Y cada 2.000 años un objeto del tamaño de un campo de fútbol impactará la Tierra, causando importantes daños locales. Y luego, cada pocos millones de años, una roca con una circunferencia que se mide en kilómetros, chocará con el planeta produciendo efectos globales.







BIBLIoGraFía dE La UNIdad IV:





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ANEXO

CLAVES DE RESPUESTAS AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD I

CLAVES DE RESPUESTAS AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD II

CLAVES DE RESPUESTAS AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD III

CLAVES DE RESPUESTAS AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD IV


1. a 6. C

2. a 7. a

3. a 8. C

4. d 9. C

5. d 10. E

1. B 6. C

2. a 7. d

3. E 8. E

4. C 9. C

5. C 10. d

1. a 6. B

2. d 7. C

3. C 8. E

4. a 9. a

5. d 10. d

1. E 6. d

2. B 7. d

3. d 8. d

4. C 9. E

5. B 10. B

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MANUAL FÍSICA I