Manual Mathcad - 2000 ou 13

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2.5 3.8

7

8

.log 2.8( ) tan 3 π

.( ) sin(

2 X2. 2 X. 4 0 solve X,

X3 12 X

2. 47 X 60 solve X,

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MathCad 13 Jan/2012

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Índice Analítico

1. Introdução----------------------------------------------------------------------------------------------------- 3

1.1 Digitação de Textos-------------------------------------------------------------------------------------------------- 3

1.2 Digitação de Expressões -------------------------------------------------------------------------------------------- 3

2. Barras de Ferramentas-------------------------------------------------------------------------------------- 5

2.1 Barra de ferramentas Math---------------------------------------------------------------------------------------- 5

2.2 Barra de ferramentas Calculator--------------------------------------------------------------------------------- 6

3. Formatação --------------------------------------------------------------------------------------------------- 9

3.1 Formatação de Texto------------------------------------------------------------------------------------------------ 9

3.2 Formatação da Precisão -------------------------------------------------------------------------------------------- 9

3.3 Formatação das Expressões---------------------------------------------------------------------------------------- 9 3.3.1 Formatação das Constantes-------------------------------------------------------------------------------------------------- 9 3.3.2 Formatação das Variáveis --------------------------------------------------------------------------------------------------10

3.4 Escolha da Posição e do Alinhamento--------------------------------------------------------------------------- 10 3.4.1 Escolha da Posição-----------------------------------------------------------------------------------------------------------10 3.4.2 Escolha do Alinhamento ----------------------------------------------------------------------------------------------------10

4. Definição de Variáveis ------------------------------------------------------------------------------------- 12

5. Definição de Funções -------------------------------------------------------------------------------------- 14

6. Solução de Equações --------------------------------------------------------------------------------------- 16

7. Operações com Matrizes ----------------------------------------------------------------------------------- 18

7.1 Soma e Subtração de Matrizes ----------------------------------------------------------------------------------- 18

7.2 Multiplicação de Matrizes----------------------------------------------------------------------------------------- 19 7.3 Multiplicação de Matriz por um Número ---------------------------------------------------------------------- 20

7.4 Divisão de Matriz por um Número ------------------------------------------------------------------------------ 21

7.5 Matriz Transposta-------------------------------------------------------------------------------------------------- 21

7.6 Matriz Inversa------------------------------------------------------------------------------------------------------- 22

7.7 Determinante de uma Matriz------------------------------------------------------------------------------------- 23

8. Sistemas de Equações -------------------------------------------------------------------------------------- 24

9. Cálculo de Integrais ---------------------------------------------------------------------------------------- 27

9.1 Integrais Simples---------------------------------------------------------------------------------------------------- 27

9.2 Integrais Duplas----------------------------------------------------------------------------------------------------- 29

10. Cálculo de Derivadas--------------------------------------------------------------------------------------- 30

10.1 Derivadas de 1ª Ordem -------------------------------------------------------------------------------------- 30

10.2 Derivadas de Ordem N--------------------------------------------------------------------------------------- 30

11. Estudo de Regressões--------------------------------------------------------------------------------------- 32

11.1 Regressão Linear---------------------------------------------------------------------------------------------- 32

11.2 Regressão Polinomial----------------------------------------------------------------------------------------- 35

12. Construção de Gráficos ------------------------------------------------------------------------------------ 40

12.1 Formatação de Gráficos ------------------------------------------------------------------------------------- 41



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12.2 Gráficos de Duas Funções ----------------------------------------------------------------------------------- 43

13. Erro: Existência e Propagação--------------------------------------------------------------------------- 44

13.1 Existência do Erro -------------------------------------------------------------------------------------------- 44

13.2 Propagação do Erro ------------------------------------------------------------------------------------------ 44

14. Cálculo de Raízes ------------------------------------------------------------------------------------------- 48

14.1 Método Gráfico------------------------------------------------------------------------------------------------ 48

14.2 Método da Bipartição ---------------------------------------------------------------------------------------- 49

15. Resolução de Sistemas de Equações Lineares --------------------------------------------------------- 51

15.1 Método da Eliminação de Gauss --------------------------------------------------------------------------- 53

15.2 Método de Jacobi --------------------------------------------------------------------------------------------- 56

15.3 Método de Gauss-Seidel ------------------------------------------------------------------------------------- 59

16. Interpolação Polinomial ----------------------------------------------------------------------------------- 61

16.1 Interpolação pelo Método de Lagrange------------------------------------------------------------------- 63

16.2 Interpolação pelo Método de Newton (Diferenças Divididas) ---------------------------------------- 65 16.3 Ajuste de Curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados---------------------------------------------- 67

16.3.1 Ajuste Linear------------------------------------------------------------------------------------------------------------------67

17. Integração Numérica--------------------------------------------------------------------------------------- 70

17.1 Método dos Trapézios ---------------------------------------------------------------------------------------- 70

17.2 Método Simpson----------------------------------------------------------------------------------------------- 71



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Cálculo Numérico

1. Introdução

Quando se abre o MathCad é mostrado um arquivo novo, que consiste de uma folhaonde serão digitados os textos, expressões ou fórmulas, conforme mostrado na Fig. 1abaixo.

Para iniciar a digitação basta clicar com o cursor do mouse no local da tela onde esta selocalizará e então digitar o que se deseja.

1.1 Digitação de Textos Para se digitar um texto proceda da seguinte forma:

♦ Clique com o cursor do mouse no local onde ficará o início do texto

♦ Digite “ (aspas) para informar ao MathCad que se trata de um texto

♦ Digite o texto (Por exemplo: Introdução ao MathCad )

♦ Clique novamente com o cursor do mouse em qualquer lugar fora do texto parainformar que terminou a digitação ou tecle Enter .

1.2 Digitação de Expressões

Para se digitar uma expressão matemática proceda da seguinte forma:

Fig. 1

Barra de Ferramentas

Standard

Barra de Ferramentas

Formating



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♦ Clique com o cursor do mouse no local onde ficará o início da expressão.

♦ Digite a expressão (Por exemplo: 2+3 )

♦ Digite o operador = para informar ao MathCad que deve ser mostrado o resultado.

♦ Clique novamente com o cursor do mouse em qualquer lugar fora da expressão parainformar ao MathCad que terminou a digitação ou tecle Enter .



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2. Barras de Ferramentas

O texto e a expressão digitados até agora sãoextremamente simples, dispensando qualquerferramenta para sua digitação.

Para expressões mais complexas o MathCaddispõe de Barras de Ferramentas (Toolbars) paraa introdução de dados e cálculo dos resultados.

Ao se criar um arquivo novo (Fig. 1) sãomostradas automaticamente duas barras deferramentas:

♦ Standard,

Mostra os comandos básicos de operação com arquivos.

♦ Formating

Mostra os comandos básicos de formatação de textos .

Para ocultar ou exibir estas barras durante os trabalhos,selecione na barra de menus View e depois selecione a barradesejada (Fig. 2).

2.1 Barra de ferramentas Math

A barra de ferramentas Math é o meio de acesso as demais barras de ferramentas doMathCad, conforme mostrado na Fig.2.1.a . Estas barras serão vistas mais adiante.

v

Fig. 2

Calculator

Matrix

Calculus

Programming

Symbolic Keyword

Graph

Evaluation

Boolian

Greek Symbol

Fig. 1



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2.2 Barra de ferramentas Calculator

Como visto anteriormente, expressões simples podem ser digitadasdiretamente pelo teclado. Contudo, expressões mais complexas, comopor exemplo as que envolvem funções trigonométricas e exponenciais,requerem o auxílio da barra de ferramentas Calculator .

Para exibir a barra de ferramentas Calculator leve o cursor até abarra de ferramentas Math e clique no ícone Calculator , que ficaráconforme Fig. 2.2.a

A título de exercício, vamos calcular o valor das expressões abaixo:

a) 2.54 + 3.58 – 12.27

♦ Para iniciar, clique com o cursor no lugar da tela onde ficará aexpressão.

♦ Digite o número 2.54

♦ Digite + (mais) ou clique na barra Calculator nosímbolo + (Addition). Aparecerá um pequeno quadrado preto após o sinal de soma, informando que se deve digitar o próximo valor.

♦ Digite o número 3.58 ♦ Digite - (menos) ou clique na barra Calculator no símbolo -. (Subtration)

Aparecerá um pequeno quadrado preto após o sinal de subtração, informando que se deve digitar o próximo valor.

♦ Digite o número 12.27 ♦ Digite = (igual ) ou clique na barra Calculator no símbolo = (Evaluate Expression) que

será mostrado o resultado da operação.

b) 2.54 x 3.58

♦ Para iniciar, clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a expressão.

♦ Digite o número 2.54 ♦ Digite * (asterisco ) ou clique na barra Calculator no símbolo X (Multiplication).

Aparecerá um pequeno quadrado preto após o sinal de multiplicação, informando que se deve digitar o próximo valor.

♦ Digite o número 3.58 ♦ Digite = (igual ) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o

resultado da operação.

c) 169

♦ Para iniciar, clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a expressão.♦ Clique na barra Calculator no símbolo (Square Root)

♦ Aparecerá o símbolo de raiz quadrada com um quadradinho preto e com o cursor no

lugar onde será digitado o número. Digite 169 ♦ Digite = (igual ) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o

O símbolo de

decimal é o ponto

e não a vírgula.

Fig. 2.2.a



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d) 5 169


♦ Clique na barra Calculator no símbolo n (Nth Root).

♦ Aparecerá o símbolo de raiz enésima com um quadradinho preto no lugar do valor daraiz e outro no lugar do número. Clique com o cursor no lugar da raiz e digite 5

♦ Clique com o cursor no lugar do número e digite 169 ♦ Digite = (igual ) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o


e) )7.1(3.2π sene +


♦ Clique na barra Calculator no símbolo e X

(Exponential) ♦ Quando aparecer o símbolo de exponencial digite 2.3 ♦ Tecle espaço para que o cursor do MathCad vá para o final da expressão.♦ Digite + (mais) ou clique na barra Calculator no símbolo + (Addition). ♦ Clique na barra Calculator no símbolo de SIN (Sine) ♦ Clique no quadradinho preto e digite 1.7 ♦ Digite * (asterisco ) ou clique na barra Calculator no símbolo X (Multiplication). ♦ Clique na barra Calculator no símbolo ¶ ♦ Tecle espaço para que o cursor do MathCad vá para o final da expressão.

♦ Digite = (igual ) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado oresultado da operação.

f)

)5,3(

4

6.2

7.32

π sen

e−


♦ Digite 3.7 ♦ Digite / (barra) ou clique na barra Calculator no símbolo de divisão . Aparecerá a

fração com um quadradinho preto no denominador.♦ Digite 2.6 ♦ Tecle espaço para que o cursor do MathCad vá para o final da expressão.

♦ Digite - (menos) ou clique na barra Calculator no símbolo -. (Subtration).♦ Digite 4

♦ Digite / (barra) ou clique na barra Calculator no símbolo de divisão . Aparecerá afração com um quadradinho preto no denominador.

♦ Clique na barra Calculator no símbolo e X (Exponential) ♦ Quando aparecer o símbolo de exponencial digite 2

♦ Tecle espaço para que o cursor do MathCad vá para o final da expressão e2.



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♦ Digite / (barra) ou clique na barra Calculator no símbolo de divisão . Aparecerá afração com um quadradinho preto no denominador.

♦ Clique na barra Calculator no símbolo SIN (Sine) ♦ Clique no quadradinho preto e digite 3.5 ♦ Digite * (asterisco ) ou clique na barra Calculator no símbolo X (Multiplication). ♦ Clique na barra Calculator no símbolo ¶ ♦ Tecle espaços até o cursor do MathCad chegar ao final da expressão.♦ Digite = (igual ) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o




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3. Formatação

O MathCad permite a formatação diferenciada de textos , fórmulas e dos resultados numéricos . Nas fórmulas é possível formatar as variáveis de forma diferente dasconstantes .

3.1 Formatação de Texto

Para formatar um texto proceda da seguinte forma:♦ Selecione o texto que quer formatar♦ Selecione na barra de menu Format – Text ♦ Quando aparecer a janela Text Format escolha a formatação desejada

3.2 Formatação da Precisão

Os resultados das operações

matemáticas realizadas podem serformatados com um número fixo decasas decimais. Para isto, proceda daseguinte forma:

♦ Selecione na barra de menuFormat – Result

♦ Na janela Result Format selecione:

Number of decimal places:.................... Número de casas decimais

Show trailing zeros:............................... Marque esta opção se quiser que mostrezero quando não houver partes decimais.

Show expoents in engineering format:.. Marque esta opção se quiser que osvalores apareçam na notação deengenharia.

3.3 Formatação das Expressões

O MathCad permite formatar as fontes das variáveis e das constantes de fórmulas efunções de maneira distinta.

3.3.1 Formatação das Constantes

Para formatação da fonte das constantes de expressões proceda da seguinte forma:♦ Selecione na barra de menu Format – Equation

Fig. 3.2.A



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♦ Na janela Equation Format (Fig.3.3.1)selecione na caixa de listagem Style Name a opção Constants

♦ Clique no botão Modify ♦ Na janela Constants escolha formatação

adequada e clique OK .

♦ Na janela Equation Format clique OK

3.3.2 Formatação das Variáveis

Para formatação da fonte das variáveis de expressões proceda da seguinte forma:♦ Selecione na barra de menu Format – Equation

♦ Na janela Equation Format (Fig.3.3.1) selecione na caixa de listagem Style Name aopção Variables

♦ Clique no botão Modify ♦ Na janela Constants escolha formatação adequada e clique OK .♦ Na janela Equation Format clique OK

A título de exercício, construa e expressão abaixo 3 formate-a da seguinte forma:

- Resultado : ------- 2 decimais

- Constantes: ----- Times New Roman, negrito itálico, tamanho 13

- Resultado:------- Bookman Old Style, negrito, tamanho 14

Uma vez formatada a função deverá ter a aparência abaixo.

3.4 Escolha da Posição e do Alinhamento

3.4.1 Escolha da Posição

Para mudar a posição de uma expressão, proceda da seguinte forma:♦ Selecione a expressão.♦ Mova o cursor até uma das bordas da seleção, até que o cursor do mouse mude para

a forma de uma mão.♦ Nesta posição, pressione o botão do mouse e, com ele pressionado, arraste a

expressão para o local desejado.

3.4.2 Escolha do Alinhamento

O MathCad permite alinhar todas as expressões digitadas, tanto na horizontal quantona vertical .

Para efetuar este alinhamento, proceda da seguinte forma:

Fig3.3.1

2.5 3.87

8+ log 2.8( )+ tan 3 π⋅( )− sin 0.27 π⋅( )− 6.87 =



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♦ Selecione as expressões que serão alinhadas. Depois selecione na barra de menu:♦ Format – Align regions – Down (para alinhamento vertical ) ou Across (para

alinhamento horizonta l)



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4. Definição de Variáveis

A definição de variáveis pode ser feita através do teclado ouusando a barra de ferramentas Calculator (Fig. 4.1).

Para definir variáveis através do teclado proceda da seguinte forma :♦ Escreva a variável (uma ou mais caracteres alfanuméricos)

♦ Digite : (dois pontos). O MathCad automaticamenteacrescentará = depois dos dois pontos.

♦ Digite o valor da variável

Para definir variáveis usando a barra de ferramentas Calculator proceda da seguinte forma :

♦ Escreva a variável (uma ou mais caracteres alfanuméricos)

♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentasCalculator

♦ Digite o valor da variável.A título de exercício, vamos definir as varáveis abaixo abaixo:a) X = 5♦ Para iniciar, clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a expressão.♦ Digite X

♦ Digite : (dois pontos) ou clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentasCalculator

♦ Digite o número 5

b) Sabendo-se que b =3

π

a=3

5.1 π

e que Y = (sen(2 b)+cos(a)3)2 determine o

valor de Y

Como usaremos vários símbolos gregos neste exercício, vamosativar a barra de ferramentas Greek Symbol Palette mostrada naFig.4.2, que dispões de vários destes símbolos

Etapa 1: Definição de b ♦ Para iniciar, clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a

primeira variável.

♦ Clique no símbolo b da barra Greek Symbol ♦ Digite : (dois pontos) ou clique no ícone := (Assign Value) da

barra de ferramentas Calculator

♦ Digite3

π

Etapa 2: Definição de a

♦ Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a segundavariável.

Fig. 4.1

Fig. 4.2



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♦ Clique no símbolo a da barra Greek Symbol

♦ Digite : (dois pontos) ou clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentasCalculator

♦ Digite3

*5.1 π

Etapa 3: Definição de Y ♦ Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a variável Y.♦ Digite Y ♦ Digite : (dois pontos) ou clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas

Calculator

♦ Digite a expressão (sen(2 b)+cos(a)3)2

Etapa 4: Cálculo do valor de Y

Uma vez definidas as variáveis b, a e Y podemos agora determinar o valor de Y

♦ Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará o valor de Y.♦ Digite Y




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5. Definição de Funções

O MathCad dispõe de funções devárias categorias, tais comomatemáticas, trigo-nométricas,estatísticas e muitas outras, todas elasprontas para serem utilizadas.

Para acessar estas funções procedada seguinte forma:

♦ Selecione na barra de menuInsert – Function

♦ Aparecerá a janela Intert Function (Fig.5). Para selecionar a função,proceda da seguinte forma: No quadro Function Category

selecione a categoria da funçãoou selecione a categoriaTodas .

No quadro Function Category selecione o nome da função.

♦ Clique OK.

Além destas funções, o MathCad permite que outras funções sejam definidas para nossouso específico, assunto este que será tratado agora.

A definição de funções é muito similar a definição de varáveis, que consiste basicamentede três etapas:

1) Escolha do nome da função

2) Colocação do sinal de atribuição de valor (Assign Value)

3) Digitação da função

A título de exercício vamos definir as funções abaixo e calcular seu valor para umdeterminado valor da variável.

a) Sabendo-se que F(X) = 5X2 – 3X +4, determine F(3,5)

♦ Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a variável F(X).

♦ Escreva F(X) ♦ Digite : (dois pontos) ou clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentasCalculator

♦ Escreva a função 5*X2 – 3*X +4 ♦ Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará o valor de F(3,5).

♦ Escreva F(3,5) ♦ Digite = (igual ) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o

resultado da operação conforme abaixo.

Fig. 5



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b) Sabendo-se que F(X) = 3,3e X

– 3sen(X) +4 X 3 , determine F(0.57)

♦ Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a variável F(X).

♦ Escreva F(X) ♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator

♦ Escreva a função 3,3e X

– 3sen(X) +4 X 3 ♦ Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará o valor de F(0,57).♦ Escreva F(0.57) ♦ Digite = (igual ) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o

resultado da operação conforme abaixo.

c) Sabendo-se que F(X,Y) = 2,75e 2,3Y – 3sen(0,54X) +4 X

Y 5,1

3 , determine F(2,3)

♦ Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a variável F(X,Y)

♦ Escreva F(X,Y) ♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator

♦ Escreva a função 2,75e 2,3Y

– 3sen(0,54X) +4 X

Y

5,13

♦ Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará o valor de F(2,3)

♦ Escreva F(2,3)


F X Y,

( ) 2.75 e2.3 Y⋅

⋅ 3 sin 0.54 X⋅( )⋅− 4 3Y

15 X⋅⋅+:=

F 2 3,( ) 2733.152=



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6. Solução de Equações

O MathCad dispõe de dois métodos para cálculo de raízes de equações: o método numérico e o método analítico . Aqui nos deteremos no método analítico .

Para calcular raízes de equações pelo método

analítico precisaremos das barras de ferramentasSymbolic (Fig. 6.a) e Boolean (Fig. 6.b) . Por isso, leve o cursor do mouse até a barra de

ferramentas Math e clique nos ícones destas barras paraexibi-las.

Para determinar as raízes de uma equação pelométodo analítico são necessários os seguintes passos:

1º) Digite a equação sendo que o sinal = a ser usadotem que ser o = (Equal to) da barra deferramentas Boolean.

2º) Uma vez digitada a equação clique clique napalavra Solve da barra de ferramentas Symbolic.

3º) No quadrado preto que surgirá depois da palavrasolve digite a variável que se quer determinar.

A título de exercício, determine as raízes dasequações abaixo

a) 07

1

53 =−

X

♦

Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a equação.♦ Escreva

7

1

53 −

X

♦ Clique no ícone = (igual) da barra de ferramentas Symbolic

♦ Digite o valor 0

♦ Clique no botão solve da barra de ferramentasEvaluation

♦ No quadrado preto depois da palavra solve edigite X

♦ Tecle Enter que será mostrado o resultado comoabaixo

b)

2 X2. 2 X. 4 0

♦ Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a equação.

♦ Escreva 2 X2. 2 X. 4



O sinal = a ser usado éo Equal to da barra de

ferramentas Boolean.

Fig. 6.a

Fig. 6.b

3X5

⋅1

7− 0 solve X,

5

21→ 0.24=



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♦ Clique no botão solve da barra de ferramentas Evaluation

♦ No quadrado preto que surgirá depois da palavra solve digite X

♦ Tecle Enter que será mostrado o resultado como abaixo

2 X2. 2 X. 4 0 solve X,

b)

♦ Clique com o cursor no lugar da tela onde ficará a equação.

♦ Escreva

X3 12 X

2. 47 X.



♦ Clique no botão solve da barra de ferramentas Evaluation

♦ No quadrado preto que surgirá depois da palavra solve digite X

♦ Tecle Enter que será mostrado o resultado como abaixo

X3 12 X

2. 47 X 60 solve X,



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7. Operações com Matrizes

Para realizar operações com Matrizes

precisaremos da barra de ferramentas Matrix . Porisso, leve o cursor até a barra de ferramentas Math e clique no ícone Matrix para ativar esta barra deferramentas, mostrada na Fig.7.a.

7.1 Soma e Subtração de Matrizes

Para se somar matrizes é necessário que elas tenham o mesmo

número de linhas e colunas

Para isto, vamos criar as matrizes MAT1 e MAT2 conforme abaixo e armazenar suasoma na matriz MATSOMA e sua subtração na matriz MATSUB..

a) Criação da matriz MAT1

♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matrizMAT1

♦ Escreva MAT1♦

Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentasCalculator

♦ Na barra de ferramentas Matrix clique no ícone Matrix ♦ Surgirá a janela Insert Matrix , solicitando o número de

linhas e o número de colunas. Digite 3 para ambas eclique OK

♦ Aparecerá uma matriz com quadrados pretos no lugaronde serão digitados os números, conforme Fig.7.1.a .Digite os valores, utilizando a tecla TAB para passarpara o próximo. Uma vez concluída a digitação, deverá estar conforme Fig.7.1.b.

b) Criação da matriz MAT2

♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MAT2

♦ Escreva MAT2♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de

ferramentas Calculator

♦ Na barra de ferramentas Matrix clique no ícone Matrix

♦ Surgirá a janela Insert Matrix , solicitando o número delinhas e o número de colunas. Digite 3 para ambas e clique OK

♦ Aparecerá uma matriz com quadrados pretos no lugar onde serão digitados osnúmeros Digite os valores, utilizando a tecla TAB para passar para o próximo. Uma vez

Fig. 7.1.a

Fig. 7.1.b

Fig. 7.1.c



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concluída a digitação, deverá estar conforme Fig.7.1.c.

c) Criação da matriz MATSOMA

♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MATSOMA

♦ Escreva MATSOMA♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator

♦ Digite MAT1 + MAT2. A equação deverá estar conforme abaixo.

d) Criação da matriz MATSUB

♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MATSUB

♦ Escreva MATSUB♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator

♦ Digite MAT1 - MAT2. A equação deverá estar conforme abaixo.

e) Impressão das matrizes MAT e MATS

♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MAT

♦ Escreva MAT

♦ Digite = (igual ) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matrizMAT, que deverá estar conforme abaixo:

♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MATS

♦ Escreva MATS

♦ Digite = (igual ) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matrizMATS, que deverá estar conforme abaixo:

7.2 Multiplicação de Matrizes

Para se multiplicar duas matrizes o número de linhas da primeira deve ser igual ao número de colunas da segunda .

♦ Vamos multiplicar as matrizes MAT1 e MAT2 e armazenar o produto na matriz MATX.

♦ Para isto digite as matrizes MAT1 e MAT2 abaixo



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♦ Escreva MATX

♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator ♦ Digite MAT1 * MAT2. A equação deverá estar conforme abaixo.

♦ Escreva MATX

♦ Digite = (igual ) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matrizMATX, que deverá estar conforme abaixo:

7.3 Multiplicação de Matriz por um Número

Vamos multiplicar a matriz MAT1 pelo número 2,75 e armazenar o resultadona matriz MULT. Para isto, proceda conforme abaixo:

♦ Digite a matriz MAT1 abaixo.

♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MULT

♦ Escreva MULT

♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator

♦ Escreva 2.75*MAT1. A equação deverá estar conforme abaixo.

♦ Escreva MULT

♦ Digite = (igual ) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matrizMULT, que deverá estar conforme abaixo:



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7.4 Divisão de Matriz por um Número

Vamos dividir a matriz MAT1 pelo número 2,75 e armazenar o resultado namatriz DIV. Para isto, proceda conforme abaixo:

♦ Digite a matriz MAT1 abaixo.

♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz DIV ♦ Escreva DIV


♦ Escreva MAT1/2.75. A equação deverá estar conforme abaixo.

♦ Escreva DIV♦ Digite = (igual ) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matriz

DIV, que deverá estar conforme abaixo:

7.5 Matriz Transposta

As linhas e colunas da matriz MATT , transposta da matriz MAT ,correspondem às colunas e linhas da matriz MAT , respectivamente,conforme abaixo:

♦ Digite a matriz MAT abaixo.



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♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a equação.

♦ Escreva MATT


♦ Escreva MAT

♦ Clique no ícone Matrix Transpose da barra de ferramentas Matrix. A equação deverá

estar conforme abaixo:

♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MATT

♦ Escreva MATT

♦ Digite = (igual ) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matrizMATT, que deverá estar conforme abaixo:

7.6 Matriz Inversa

Só admitem Matriz Inversa as matrizes cujo número de linhas seja igual ao número de colunas .


♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz inversa.♦ Digite a matriz MAT ♦ Clique no ícone XY da barra de ferramentas Calculator

♦ Digite -1 ♦ Leve o cursor do MathCad para o final da expressão teclando na barra de espaço.

♦ Digite = (igual ) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrada a matrizinversa, que deverá estar conforme abaixo:



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7.7 Determinante de uma Matriz

Só se pode calcular o Determinante das matrizes cujo número de linhas seja igual ao número de colunas .


♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a expressão.♦ Digite a matriz DET


♦ Clique no ícone Determinant da barra de ferramentas Matrix. Aparecerá um quadradopreto entre barras onde se deve digitar o nome da matriz cujo determinante se desejacalcular.

♦ Digite MAT e tecle Enter . A expressão deverá estar conforme abaixo:

♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará o determinante DET da matriz MAT.♦ Digite a matriz DET ♦

Digite = (igual ) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado odeterminante DET, que deverá estar conforme abaixo:



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8. Sistemas de Equações

Um sistema de equações lineares é constituído por n equações com n incógnitas. Paraexemplificar um sistema de três equações lineares seria do tipo abaixo:

a3 X + a2Y +a1 Z = a0

b3 X + b2 Y +b1 Z = b0

c3 X + c2 Y +c1 Z = c0

O procedimento para resolver este tipo de sistema utilizando o MathCad consiste de três etapas:

Etapa 1:

Cria-se o determinante X com os coeficientes das incógnitas, conforme abaixo:

a3 a2 a1

b3 b2 b1

c3 c2 c1

Etapa 2:

Cria-se o determinante Y com as constantes das equações, conforme abaixo:

ao

bo

co Etapa 3:

Utiliza-se a função Lsolv da seguinte forma:

♦ Escreva a variável que armazenará o resultado, por exemplo escreva R ♦ Depois de escrever R clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas

Calculator

♦ Selecione na barra de menuInsert – Function

♦ Na janela Insert Function

selecione a função Lsolve (M v) (Fig.8.a).

X=

Y=

Fig. 8.a



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A título de exercício vamos resolver o sistema de quatro equações abaixo:

X + 3Y + 5Z + W = 8,22X - 2Y + 3Z + 4W = 11,83X - 5Y + 2Z + W = -2,22X - 3Y + 4Z + 7W = 18,5

Para resolver este sistema precisaremos da barra de ferramentasMatrix . Por isso, leve o cursor até a barra de ferramentas Math eclique no ícone Matrix para ativar esta barra de ferramentas,mostrada na Fig.7.b acima.

a) Criação da matriz MAT

♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará o determinante X ♦ Escreva MAT♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator

♦ Na barra de ferramentas Matrix clique no ícone Matrix ♦ Surgirá a janela Insert Matrix , solicitando o número de linhas e o número de colunas.

Digite 43 para ambas e clique OK

♦ Aparecerá uma matriz com quadrados pretos no lugar onde serão digitados osnúmeros. Digite os valores, utilizando a tecla TAB para passar para o próximo. Umavez concluída a digitação, deverá estar conforme Fig.8.c.

b) Criação da matriz VET ♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará o determinante Y

♦ Escreva VET♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator

♦ Na barra de ferramentas Matrix clique no ícone Matrix

♦ Surgirá a janela Insert Matrix , solicitando o número de linhas e o número de colunas.Digite 4 para linhas e 1 para colunas e clique OK

♦ Aparecerá uma matriz com quadrados pretos no lugar onde serão digitados osnúmeros. Digite os valores, utilizando a tecla TAB para passar para o próximo. Uma

vez concluída a digitação, deverá estar conforme Fig.8.d. c) Criação da função Lsolv

♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a função Lsolv

♦ Escreva RES♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator

♦ Selecione na barra de menu Selecione na barra de menu Insert – Function

♦ Na janela Insert Function selecione a função Lsolve (M v) e clique OK. Será mostradoo argumento da função Lsolv com dois quadrados pretos separados por vírgulas entre

os parêntesis.♦ No primeiro quadrado preto escreva MAT e no segundo quadrado escreva VET e



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depois tecle Enter (Fig. 8.e)

d) Calculo das raízes

♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará o vetor RES com os valores de X, Y, Z e W

♦ Escreva RES♦ Digite = (igual ) ou clique na barra Calculator no símbolo = que será mostrado o

resultado da operação (Fig. 8.f).

Aplicando a metodologia acima, determine os valores de V, X, Y, Z e W do sistema deequações abaixo:

4,5 V + 10,8 X + 6,9 Y + 4,2 Z + 2,8 W + = 19,93

0,9 V + 1,3 X + 4,2 Y + 3,2 Z + 0,6 W + = 29,19

1,2 V + 8,7 X + 10,3 Y + 9,7 Z + 8,3 W + = 76,75

4,3 V + 5,1 X + 2,3 Y + 6,4 Z + 5,7 W + = 53,87

5,3 V + 3,7 X + 0 + 7,3 Z + 5,7 W + = 61,80

A solução deverá estar conforme abaixo:

Fig. 8.c Fig. 8.d Fig. 8.e Fig. 8.f

Fig. 8.g Fig. 8.h Fig. 8.i Fig. 8.j



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9. Cálculo de Integrais

Para o cálculo de integrais precisaremos dabarra de ferramentas Calculus . Por isso, leve ocursor até a barra de ferramentas Math e clique noícone Matrix para ativar esta barra de ferramentas,mostrada na ao lado.

O cálculo de integrais no MathCad pode ser feito pelo métodos Numérico e Analítico ,conforme veremos adiante.

9.1 Integrais Simples

Para calcular Integrais simples siga as seguintes etapas:

Etapa 1: Leve o cursor até a barra de ferramentas Calculus e clique no botãoDefinite Integral . Aparecerá o símbolo de integral definida, tendoquadrados pretos indicando onde digitar os limites inferior e superior e afunção, conforme figura ao lado.

Etapa 2: Clique nos quadrados pretos e digite a função e os limites de integração.

Etapa 3:

a) Método Numérico:

Digite = (igual ) ou clique na barra Calculator no símbolo = para calcular a Integral.

b) Método Analítico:

Clique no botão Symbolic Evaluation da barra de ferramentas Symbolic Keyword e

depois tecle Enter para calcular a Integral.A título de exercício vamos calcular as Integrais abaixo:

a) ∫2 /

0

)(

π

dX X COS

♦ Leve o cursor até a barra de ferramentas Calculus e clique no botão Definite Integral .

♦ Quando aparecer o símbolo de Integral digite nos devidos locais os seguintes valores:

Limite inferior: ........0

Limite Superior:......¶/2Função: ...................Cos(X)dX



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a) Método Numérico:

♦ Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = (Evaluate Expression) queserá mostrado o resultado.


♦ Clique no botão Symbolic Evaluation da barra de ferramentas Symbolic Keyword e

depois tecle Enter que será mostrado o resultado.

b) dX X X

X )175.14

2(

2 / 3

0

23

∫+−+

π

Calcule a integral executando os passos do item a acima. Uma vez terminado deveráestar conforme figura abaixo:

c)

Calcule a integral executando os passos do item a acima. Uma vez terminado deveráestar conforme abaixo:

Método Numérico Método Analítico

Método Numérico

Método Analítico




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9.2 Integrais Duplas

O cálculo de integrais duplas é feito da mesma maneira que no caso das integraissimples, que consiste das seguintes etapas:

Etapa 1: Leve o cursor até a barra de ferramentas Calculus e clique duasvezes no botão Definite Integral . Aparecerá o símbolo de integraldefinida dupla, tendo quadrados pretos indicando onde digitar oslimites inferior e superior e as funções, conforme figura ao lado.

Etapa 2:

Clique nos quadrados pretos e digite a função e os limites de integração.

Etapa 3:

a) Método Numérico: Digite = (igual ) ou clique na barra Calculator no símbolo = (Evaluate Expression) queserá mostrado o resultado.


Clique no botão Symbolic Evaluation da barra de ferramentas Symbolic Keyword edepois tecle Enter para resolver a Integral.

Exemplos:

Explo 1:

Calcule a integral pelos dois métodos, executando os passos do item a acima. Uma vezterminado deverá estar conforme abaixo.

Explo 2:

Calcule a integral pelos dois métodos,executando os passos do item a acima. Uma vezterminado, o resultado do método numéricodeverá estar conforme ao lado. Calcule agora o

método analítico.


Método Numérico



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10. Cálculo de Derivadas

Para o cálculo de derivadas precisaremos das barras deferramentas Calculus e Symbolic .

10.1 Derivadas de 1ª Ordem

Seja a função:

G(X) = 6X3 + 3 X2 -5X + 3

Para calcular a derivada de 1ª ordem desta função, proceda da seguinte forma:

♦ Na barra de ferramentas Cálculos , clique na ferramenta Derivative (Fig.10.a).

♦ Preencha a ferramenta Derivative conforme abaixo:

♦ Terminada a digitação conforme acima, certifique-se que o cursor está no final daexpressão.

♦ Clique na barra de ferramentas Symbolic na ferramenta Symbolic Evaluation edepois tecle Enter .

A expressão deve estar conforme abaixo:

10.2 Derivadas de Ordem N

Seja a função:

G(X) = 6X3 + 3 X2 -5X + 3

Para calcular a derivada de 2ª ordem desta função, proceda da seguinte forma:♦ Na barra de ferramentas Cálculos , clique na ferramenta Nth Derivative (Fig.10.a)

♦ Preencha a ferramenta Nth Derivative conforme abaixo:

♦ Terminada a digitação conforme acima, certifique-se que o cursor está no final daexpressão.

♦ Clique na barra de ferramentas Symbolic na ferramenta Symbolic Evaluation edepois tecle Enter .



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A expressão deve estar conforme abaixo:



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11. Estudo de Regressões

Os estudos de regressão tem por finalidade determinar a função que melhor representauma série de valores conhecidos. Uma vez obtida esta função, pode-se então estimar umvalor futuro, obviamente admitindo que o cenário que gerou os valores conhecidos não

venha a mudar no futuro.Os tipos de regressão mais conhecidos são o Linear , Exponencial , Polinomial ,

Logarítmica e Média Móvel . Nós nos deteremos exclusivamente nos métodos Linear ePolinomial .

11.1 Regressão Linear

A Regressão Linear consiste em determinar a equação da reta (Fig.10.1.a) que melhorrepresenta uma séria de valores conhecidos (Fig.10.1.b ).

Em resumo, queremos determinar a equação:

Y = a X + b

Onde:

a Coeficiente angular da reta

b Intercessão com o eixo das abscissas

A determinação dos coeficientes a e b da reta consiste de quatro etapas, conformeabaixo:

Etapa 1:

Construção da matriz MAT com N linhas (número de pontosconhecidos) e 2 colunas , tendo na primeira coluna os valores de X (variável independente) e na segunda coluna os valores de Y (variável dependente), conforme figura ao lado.

Fig. 10.1.a Fig. 10.1.b



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Etapa 2: Informar ao MathCad qual coluna contem os valores de X e qual contem os valores de Y .

Isto é feito da atraves do batão Matrix Column da barra de ferramentas Matrix , conformeabaixo:

Etapa 3: Executar as funções conforme abaixo:

Slo pe(X,Y) ............ para determinar o coeficiente angular a

Intercept(X,Y) ...... para determinar a Intercessão com o eixo das abscissas b

a:=Slope(X,Y) b:= Intercept(X,Y)

Etapa 4: Determinar os valores de a e b, digitando conforme abaixo:a =b =

Explo 1: Determine a equação da reta que melhor representa os pontos abaixo:

X 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5Y 7,150 7,850 10,850 10,800 12,650 14,700 15,000 16,100 19,800 19,525

Etapa 1: Construção da matriz MAT

♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matriz MAT

♦ Escreva MAT♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas

Calculator

♦ Na barra de ferramentas Matrix clique no ícone Matrix ♦ Surgirá a janela Insert Matrix , solicitando o número de linhas e o

número de colunas. Digite 10 para linhas e 2 para colunas eclique OK

♦ Aparecerá uma matriz com quadrados pretos no lugar ondeserão digitados os números. Digite os valores, utilizando a teclaTAB para passar para o próximo. Uma vez concluída adigitação, deverá estar conforme Fig.10.1.c.

Etapa 2: Definição das colunas de X e Y

a) Definição da coluna de X ♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará X



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♦ Escreva X♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator

♦ Na barra de ferramentas Matrix clique no ícone Matrix Column

♦ Quando surgir o argumento de Matrix Column (conforme figura ao lado) clique o quadrado inferior e digite MAT. Depois clique no quadrado superiore digite 0 e tecle Enter.

a) Definição da coluna de Y

♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará Y ♦ Escreva Y♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator

♦ Na barra de ferramentas Matrix clique no ícone Matrix Column

♦ Quando surgir o argumento de Matrix Column (conforme figura ao lado) clique o quadrado inferior e digite MAT. Depois clique no quadrado superiore digite 1 e tecle Enter.

Etapa 3: Executar as funções Slope(vx, vy) e Intercept(X,Y)

a) Definição do coeficiente a

♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficarão valor de a

♦ Escreva a♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator

♦ Selecione na barra de menu Insert - Function

♦ Na janela Insert - Function selecione a função Slope(vx, vy) e clique OK.

♦ Aparecera o argumento da função Slope(vx, vy) com doisquadrados pretos indicando onde digitar os dados. No primeiroquadrado e digite X e no segundo digite Y , conforme figura aolado e tecle Enter.

b) Definição do coeficiente b

♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficarão valor de b

♦ Escreva b♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator

♦ Selecione na barra de menu Insert - Function

♦ Na janela Insert - Function selecione a função Intercept(X,Y) e clique OK. ♦ Aparecera o argumento da função Intercept(X,Y com dois

quadrados pretos indicando onde digitar os dados. Noprimeiro quadrado e digite X e no segundo digite Y , conformefigura ao lado e tecle Enter.

Etapa 3: Determinação dos coeficientes a e b ♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficarão valor de a

♦ Escreva a

♦ Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = para calcular o valor de a etecle Enter.



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♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficarão valor de b

♦ Escreva b

♦ Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = para calcular o valor de a etecle Enter.

O resultado deverá ser:

a = 2.86b = 7.008Desta forma, a reta que melhor representa os pontos dados é dada pela equação abaixo:

11.2 Regressão Polinomial

A Regressão Polinomial consiste em determinar o polinômio que melhor representauma séria de valores conhecidos. Esta determinação consiste de quatro etapas, conformeabaixo:

Etapa 1:

Construção da matriz MAT com N linhas (número de pontosconhecidos) e 2 colunas , tendo na primeira coluna os valores de X (variável independente) e na segunda coluna os valores de Y (variável dependente), conforme figura ao lado.

Etapa 2: Informar ao MathCad qual coluna contem os valores de X e qual

contem os valores de Y . Isto é feito da atraves do botão Matrix Column da barra deferramentas Matrix , conforme abaixo:

♦ Escreva X


♦ Escreva MAT

♦ Clique no botão Matrix Column da barra de ferramentas Matrix .

♦ Aparecerá o quadrado preto entre os símbolos <> como expoente de MAT onde sedeve digitar 0, conforme abaixo.

♦ Escreva Y


♦ Escreva MAT ♦ Clique no botão Matrix Column da barra de ferramentas Matrix .

♦ Aparecerá o quadrado preto entre os símbolos <> como expoente de MAT onde sedeve digitar 1, conforme abaixo.

Etapa 3:

Informar ao MathCad qual a ordem do polinômio a ser usado no ajuste polinomial. Isto éfeito da seguinte forma:

008.786.2 += x y



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♦ Escreva K (ou uma outra variável)


♦ Escreva 3 (ou outra ordem) e tecle Enter .

Etapa 4: Armazenar em uma variável a função regress(Mx, vy,n) , conforme abaixo:♦ Escreva W (ou uma outra variável)


♦ Selecione na barra de menu Insert – Function ♦ Na janela Insert - Function selecione a função regress(Mx, vy,n) , e clique OK.

♦ Aparecera o argumento da função regress(Mx, vy,n) , com três quadrados pretosindicando onde digitar os dados.

o No primeiro quadrado e digite X

o No segundo quadrado e digite Y

o No terceiro quadrado e digite K o Tecle Enter. A função deverá estar conforme abaixo.

Etapa 5: Criar o polinômio através da função interp(W, X,Y,S) , conforme abaixo:

♦ Escreva F(Z)


♦

Selecione na barra de menu Insert – Function ♦ Na janela Insert - Function selecione a função interp(vs, Mx,My,x) , e clique OK.

♦ Aparecera o argumento da função interp(vs, Mx,My,x) , com três quadrados pretosindicando onde digitar os dados.

♦ No primeiro quadrado e digite W

♦ No segundo quadrado e digite X

♦ No terceiro quadrado e digite Y

♦ No quarto quadrado e digite Z

♦ Tecle Enter. A função F(Z), que é o polinômio de ordem K deverá estar conforme

abaixo.

Exercício:

Determine o polinômio de 6ª ordem que melhor representa os valores abaixo e calcule seu valor nos pontos X=2,75 e X= 11,47

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

F(X) 10,470 7,273 21,089 23,606 49,729 55,519 95,443 122,175 178,008 227,857



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Etapa 1: Construção da matriz MAT

♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a matrizMAT

♦ Escreva MAT♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas

Calculator ♦ Na barra de ferramentas Matrix clique no ícone Matrix

♦ Surgirá a janela Insert Matrix , solicitando o número de linhase o número de colunas. Digite 10 para linhas e 2 paracolunas e clique OK

♦ Aparecerá uma matriz com quadrados pretos no lugar ondeserão digitados os números. Digite os valores, utilizando atecla TAB para passar para o próximo. Uma vez concluída adigitação, deverá estar conformefigura ao lado

Etapa 2: Definição das colunas de X e Y Informar ao MathCad qual coluna contem os valores de X e qual contem os valores de Y .Isto é feito da atraves do botão Matrix Column da barra de ferramentas Matrix , conformeabaixo:

♦ Escreva X


♦ Escreva MAT ♦ Clique no botão Matrix Column da barra de ferramentas Matrix .♦ Aparecerá o quadrado preto entre os símbolos <> como expoente de MAT onde se

deve digitar 0, conforme abaixo.♦ Escreva Y


♦ Escreva MAT ♦ Clique no botão Matrix Column da barra de ferramentas Matrix .♦ Aparecerá o quadrado preto entre os símbolos <> como expoente de MAT onde se

deve digitar 1, conforme abaixo.

Etapa 3: Definição da ordem do polinômio Informar ao MathCad qual a ordem do polinômio a ser usado no ajuste polinomial. Isto é

feito da seguinte forma:♦ Escreva K (ou uma outra variável)


♦ Escreva 6 (ou outra ordem) e tecle Enter .

Etapa 4: Armazenar em uma variável a função regress(Mx, vy,n)

♦ Escreva W♦ Clique no ícone := (Assign Value) da barra de ferramentas Calculator



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♦ Selecione na barra de menu Insert – Function

♦ Na janela Insert - Function selecione a função regress(Mx, vy,n) , e clique OK.

♦ Aparecera o argumento da função regress(Mx, vy,n) , com três quadrados pretosindicando onde digitar os dados.

o No primeiro quadrado e digite X

o No segundo quadrado e digite Y o No terceiro quadrado e digite K o Tecle Enter. A função deverá estar conforme acima.

Etapa 5: Criar o polinômio F(Z) através da função interp(W, X,Y,S) ♦ Escreva F(Z)


♦ Selecione na barra de menu Insert – Function

♦ Na janela Insert - Function selecione a função interp(vs, Mx,My,x) , e clique OK. ♦ Aparecera o argumento da função interp(vs, Mx,My,x) , com três quadrados pretos

indicando onde digitar os dados.♦ No primeiro quadrado e digite W ♦ No segundo quadrado e digite X ♦ No terceiro quadrado e digite Y ♦ No quarto quadrado e digite Z ♦ Tecle Enter. A função F(Z), que é o polinômio de 6ª ordem e deverá estar conforme

abaixo.

Etapa 6: Definição dos coeficientes ♦ Escreva W

♦ Digite = (igual) ou clique na barraCalculator no símbolo = paravisualizar o vetor com os coeficientesdo polinômio e clique Enter . O vetor

deverá estar conforme figura ao lado.

Para calcular os valores nos pontosX=2,75 e X= 11,47 proceda conformeabaixo:

♦ Escreva F(2.75)

♦ Digite = (igual) ou clique na barraCalculator no símbolo = paravisualizar o valor do polinômio noponto X =2,75 e clique Enter .

♦ Escreva F(11.47)

Coeficiente de X5

Coeficiente de X6

Coeficiente de X4

Coeficiente de X3

Coeficiente de X2

Coeficiente de X1

Termo Independente



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♦ Digite = (igual) ou clique na barra Calculator no símbolo = para visualizar o valor dopolinômio no ponto X= 11,47 e clique Enter .

♦ O resultado deverá estar conforme abaixo:



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12. Construção de Gráficos

Para a construção de gráficos precisaremos da

barra de ferramentas Graph . Por isso, leve o cursoraté a barra de ferramentas Math e clique no íconeGraph Palette para ativar esta barra de ferramentas,mostrada na ao lado.

Para a construção de gráficos de funções proceda conforme abaixo:

♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a função

♦ Digite a função F(X) ♦ Clique na barra de ferramentas Graph no tipo do gráfico

desejado. Aparecerá a estrutura do gráfico com os eixosconforme figura ao lado.

♦ Digite no quadrado do eixo das abscissas o nome davariável e no do eixo das ordenadas o nome da função.

A título de exercício vamos construir o gráfico da função abaixo:

Para isto, proceda conforme abaixo:

♦ Clique com o cursor no ponto da tela onde ficará a função

♦ Digite a função

♦ Clique na barra de ferramentas Graph no ícone X-Y Plot . Aparecerá a estrutura dográfico com os eixos e os quadrados para digitar o nome da variável e da função.

♦ No quadrado do eixo das variáveis digite X

♦ No quadrado do eixo das abscissas digite F(X) ♦ Tecle Enter . O gráfico deve estar conforme abaixo.

Limite superiorde X

Limite inferior

de X

Limite superiorde F(X)

Limite inferiorde F(X)



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12.1 Formatação de Gráficos

Conforme visto no item anterior, o gráfico é gerado automaticamente pelo MathCad, sempodermos escolher os limites nem a escala. No gráfico traçado acima, os limites de X , entre-10 e +10 foram ditados pelo programa.

Isto pode gerar um gráfico que não atenda perfeitamente, principalmente quando

estamos interessados em conhecer o comportamento da função dentro de certos limites davariável.Desta forma, torna-se necessário alterar as propriedades do gráfico gerado.

A título de exercício vamos formatar o gráfico de F(X) gerado no item anterior daseguinte forma:

Limite inferior de X :............... 0 Limite superior de X :............. 5 Limite inferior de F(X) : .......... 0 Limite superior de F(X) : ........ 50

Para isto, proceda da seguinte forma:

♦ Clique com o cursor do mouse no limite inferior de X . Apague o valor -10 e digite 0

♦ Clique com o cursor do mouse no limite superior de X . Apague o valor +10 e digite 5 ♦ Clique com o cursor do mouse no limite inferior de F(X) . Apague o valor -18.8 e

digite o valor 0

♦ Clique com o cursor do mouse no limite superior de F(X) . Apague o valor 45.7 edigite o valor 50

O gráfico deve estar conforme abaixo:

Além dos limites superior e inferior do gráfico podemos formatar também outraspropriedades, como linhas de grade , tipos de eixo, escala , etc.

Vamos formatar o gráfico acima com as seguintes propriedades:

a) Adicionar grades horizontal e vertical b) Mudar a escala vertical para que os valores fiquem múltiplos de 10



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Para isto proceda conforme abaixo♦ Dê um duplo clique sobre o gráfico. Aparecerá a caixa de diálogo Formating

Currently Selected X-Y Plot mostrada abaixo

♦ Selecione as opções conforme figura acima e clique OK . Formate o gráfico nas abasTraces e Label para que fique conforme abaixo.



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12.2 Gráficos de Duas Funções

A construção de gráficos de duas ou mais funções segue os mesmo procedimento que ados gráficos de apenas uma função.

Para informar ao MathCad as funções que devem ser plotadas, elas devem ser escritasno eixo das abcissas separadas por , (vírgula).

Seja, por exemplo, construir os gráficos das funções abaixo, F(X) e H(X).

Uma vez formatado, o gráfico das funções ficará conforme abaixo

F X( ) 3 X2

⋅:= H X( ) 3− X2

⋅ 50+:=

Digite F(X),H(X)



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13. Erro: Existência e Propagação

13.1 Existência do Erro

O Erro está presente em todos os campos do Cálculo Numérico, pois:♦ Os valores, em si, não são exatos.

Isto decorre do processo de medição, do erro do medidor e da incerteza do valor verdadeiro.

Por exemplo, um valor de 50m, com uma incerteza de ±0,2, é algo no intervalo de 49,8 e 50,2

♦ Quando efetuamos operações com esses valores, o Erro se propaga.

Quando efetuamos operações com valores que carregam incertezas, ela é levada para os resultados.

Isto é chamado de Propagação do Erro.

♦ Os métodos numéricos são, freqüentemente, aproximados

Isto realça que os métodos numéricos não são, freqüentemente, exatos. Este método procura valores aproximados, buscando diminuir o erro e cada iteração que é feita.

♦ Arredondamento

O computador representa números reais com um número finito de dígitos, sendo abrigado e aproximá-los quando este demandarem mais dígitos do que ele está programado para usar.

Um exemplo é o número ¶ e o número eeee, que terão que ser arredondados, pois seus infinitos dígitos não podem ser representados no computador.

Quando representamos um valor por M ± µ, M muito maior que µ, chamamos:

µ ..............Desvio Absoluto ou Erro Absoluto

µ / |M| .....Desvio Relativo ou Erro Relativo ( |M| é o valor absoluto de M)

13.2 Propagação do Erro

Sejam os números abaixo, a e b:

a = 60 ± 2

b = 30 ± 3

Desta forma, os valores máximos e mínimos de a e b são:

a:....... De 58 a 62

b:....... De 27 a 33

62 +33 95

a + b



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58 + 27 85

A Soma a + b varia de 85 a 95

62 - 27 35

a - b

58 - 33 25

A Subtração a - b varia de 25 a 35

62 x 33 2.046

a x b

58 x 27 1.566

A Multiplicação a x b varia de 1.566 a 2.046

Seja:ea ...... Erro absoluto de a

eb ...... Erro absoluto de b

Teremos:

a) O Erro Absoluto da Soma

(a ± ea ) + (b ± eb ) = a + b ± (ea + eb )

O Erro Absoluto da Soma é a soma dos erros absolutos das

parcelas.

b) O Erro Absoluto da Subtração

(a ± ea ) - (b ± eb ) = a - b ± (ea + eb )

O Erro Absoluto da Subtração é a soma dos erros absolutos das

parcelas.

c) O Erro Absoluto da Multiplicação

(a ± ea ) x (b ± eb ) = a . b ± (a . eb + b . ea )

O Erro Absoluto da Multiplicação é a soma dos erros absolutos



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das parcelas, ponderado pelo valor das parcelas.

Para analisar o Erro Relativo, consideremos:

Esoma ....Erro Relativo da somaEsub......Erro Relativo da subtraçãoEprod.....Erro Relativo da multiplicaçãoEa.........Erro Relativo d e aEb ........Erro Relativo de b

d) O Erro Relativo da Soma

Esoma = esoma / (a+b) = ea / (a+b) +eb / (a+b)

bab

be

baa

ae E ba

soma+

++

= ..

ba

b E

ba

a E E basoma

++

+= ..

O Erro Relativo da Soma é a soma dos erros Relativos de cada

parcela, ponderada pela respectiva parcela.

e) O Erro Relativo da Subtração

ba

e

ba

e

ba

ee

ba

ae E baba

subsub−

+−

=−

+=

−=

)(.

bab E

baa E E

basub−

+−

= ..

O Erro Relativo da Subtração é a soma dos erros relativos do minuendo com o erro relativo do subtraendo, ponderados pelas

respectivas parcelas.

f) O Erro Relativo do Produto



MathCad 13 Jan/2012


a

e

b

e

ba

e E ab prod

prod +==.

O Erro Relativo do Produto é a soma dos erros relativos dos

fatores.

g) O Erro Relativo da Divisão

b

e

a

e

b

abb

ae

b

e

E ba

ba

div +=

+

= .

.

O Erro Relativo da Divisão é a soma dos erros relativos do

dividendo e do divisor.



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14. Cálculo de Raízes

Um caso clássico de cálculo de raízes de equações são as de segundo grau, da forma:

0.. 2=++ c xb xa

As duas raízes são dados pela fórmula:

a

cabb x

.2

..42−±−

=

Contudo, existem expressões cuja solução não é tão simples, como nos casos abaixo:

0=+ xe x

0)cos( =− x x

02)( =−+ x x Ln

Também os polinômios, com grau superior a 3 não tem solução simples.

Vamos ver adiante alguns métodos numéricos para cálculos de raízes destas equações,com resultados que, embora aproximados, estejam dentro de limites estabelecidos.

14.1 Método Gráfico

Um gráfico bem plotado pode nos dar uma idéia bastante acurada das raízes deequações e, dependendo da precisão requerida, pode resolver nossos problemas.

Caso a precisão requerida não seja atendida por este método, ele pode servir de entradapara outros métodos mais aprimorados, que nos levem a precisão desejada.

Seja a função:

G X( ) cos X( ) X3

−:=

A raiz nos dá que Logo

Fazendo e

O gráfico das funções ficará conformeabaixo:

0)cos( 3=− x x

3)cos( x x =

)cos()( x xF = 3)( x x H =



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Redimensionando apropriadamente os limites do gráfico, ele ficará conforme abaixo.

Vê-se claramente que a raiz da equação encontra-se entre 0,85 e 0,9 Se adotarmos oponto médio como resposta, teremos:

Vemos que com este método, neste exemplo, temos precisão até a 1ª casa decimal.Caso este erro não seja admissível, poderemos usar esta resposta como ponto de partidapara métodos mais precisos.

14.2 Método da Bipartição

Este método tenta melhorar a precisão de resultados obtidos por outros métodosaproximados como, por exemplo, o método gráfico.

Ele parte de um intervalo entre dois pontos, a e b, onde existe, pelo menos, uma raiz,que é o ponto onde a função muda de sinal, procedendo da seguinte forma:

Acha-se o ponto médio desse intervalo e calcula-se o valor da função nesse ponto. Seo valor da função for zero, achou-se a raiz, o que não costuma acontecer.

O próximo passo é reduzir o espaço à metade e repetir a operação. O sinal daequação determinará se o espaço a ser escolhido será a metade da esquerda ou dadireita.

Para determinar a metade onde se localiza a raiz, procede-se da seguinte forma:⇒ Calcula-se o ponto médio c = (a + b)/2

⇒ Calcula-se F(a), F(b) e F(c)

⇒ Se F(a) x F(c) < 0 a raiz está entre a e c, caso contrário estará entre b e c.

⇒ Se a raiz estiver entre a e c, atribui-se a c o valor de b e repete-se o processo.

⇒ Se a raiz estiver entre b e c, atribui-se a c o valor de a e repete-se o processo.

Este Processo da Bipartição permite chegar tão próximo da raiz quanto se queira, pois,como descrito acima, a cada iteração o intervalo é dividido por dois e pode-se continuar atéatingir a precisão descrita.

Aplicando o Método da Bipartição para determinar a raiz da equação G(X) vista noMétodo Gráfico, teremos o quadro abaixo:

G 0.875( ) 0.02892502−=



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A planilha acima o ponto C mostra o local onde a função corta o Eixo X, que é o valor daraiz. Pode-se fazer tantas iterações quando se queira, até obter um valor de erro dentro dolimite tolerável. Na 10ª iteração, a função terá o valor abaixo, cuja precisão é o dobra daobtida pelo Método Gráfico.

G X( ) cos X( ) X3

−:=

G 0.86884766( ) 0.01018296−=



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15. Resolução de Sistemas de Equações Lineares

Os métodos de resolução de Sistemas Lineares podem ser divididos em Métodos Diretos e Métodos Iterativos.

Independentemente do grupo escolhido, ambos visam a resolução de equações do tipo

abaixo:

Na forma matricial, o sistema de equações lineares acima fica conforme abaixo:

aij Coeficientes das incógnitas, que formam a Matriz dos Coeficientes.

bij Termos Independentes, que formam o Vetor dos Termos Independentes.

xij São as incógnitas, que formam o Vetor das Incógnitas.

Os principais Métodos Diretos são:

Eliminação de Gauss Fatoração LU

Os principais Métodos Iterativos são: Jacobi

Gauss-Seidel

Devemos ter em mente que estes são Métodos Iterativos o número de iterações necessáriaspara atingir a solução está condicionado a precisão desejada e que pode ocorrer dossistema não convergir.Pode ser demonstrado que a condição suficiente, mas não necessária para haverconvergência é que a matriz dos coeficientes seja Diagonalmente Dominante.



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Em uma matriz Diagonalmente Dominante, para cada linha, o

termo da diagonal principal é, em módulo, maior ou igual que a soma

dos demais termos da linha e, pelo menos em uma linha, o módulo é

maior.



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15.1 Método da Eliminação de Gauss

Considere a sistemas de quatro equações abaixo, no qual os coeficientes das incógnitasabaixo da diagonal principal são todos zero.

A solução deste tipo de sistema de equações, em que os termos abaixo da diagonalprincipal são todos nulos, é imediata, pois resolvendo a quarta equação temos:

Resolvendo a 3ª equação temos:

Analogamente, resolvendo as demais equações, teremos:

O Método da Eliminação de Gauss enquadro-se no grupo dos Métodos Diretos e oobjetivo é converter um dado sistema de equações para sua forma triangular (coeficientes nulos abaixo da diagonal principal).

Portanto, este método é composto de duas fases:

1ª Fase (forward): Converter o sistema original em um sistema triangular.Eliminar a variável X1 de todas as equações, a partir da segunda.Depois, eliminar a variável X2 de todas as equações, a partir daterceira e, assim sucessivamente.

2ª Fase (backward): Resolver o sistema, começando pela última variável, depois apenúltima, etc.

Seja o sistema de três equações abaixo:

Determine, pelo Método da Eliminação de Gauss,os valores de X1, X2 e X3.

0,507,4

35,204 == X

0,367,6

593,466,443 =

−=

x X

5,22 = X 0,11 = X



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a11 2.5:= a12 1.5:= a13 3.6:= b1 14.75:=

a21 4.30:= a22 6.50:= a23 2.5:= b2 8.3:=

a31 3.2:= a32 4.3:= a33 3.7:= b3 11.85:=

MAT

a11

a21

a31

a12

a22

a32

a13

a23

a33

:= VET

b1

b2

b3

:=

VET

14.750

8.300

11.850

= MAT

2.500

4.300

3.200

1.500

6.500

4.300

3.600

2.500

3.700

=

==========================================

2L = 2L x k1 - 1L

k1a11a21

:=

a21 a21 21⋅ a11−:= a22 a22 k1⋅ a12−:=

a23 a23 k1⋅ a13−:= b2 b2 k1⋅ b1−:=

MAT

a11

a21

a31

a12

a22

a32

a13

a23

a33

:= VET

b1

b2

b3

:=

MAT

2.500

87.800

3.200

1.500

2.279

4.300

3.600

2.147−

3.700

= VET

14.750

9.924−

11.850

=

==========================================

3L = 3L x k2 - 1L

k2a11a31

:=

a31 a31 k2⋅ a11−:= a32 a32 k2⋅ a12−:=

a33 a33 k2⋅ a13−:= b3 b3 k2⋅ b1−:=

MAT

a11

a21a31

a12

a22a32

a13

a23a33

:= VET

b1

b2b3

:=



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MAT

2.500

87.800

0.000

1.500

2.279

1.859

3.600

2.147−

0.709−

= VET

14.750

9.924−

5.492−

=

==========================================

3L = 3L - 2L x k3

k3a32a22

:=

a31 a31 a21 k3⋅−:= a32 a32 a22 k3⋅−:=

a33 a33 a23 k3⋅−:= b3 b3 b2 k3⋅−:=

MAT

a11

a21

a31

a12

a22

a32

a13

a23

a33

:= VET

b1

b2

b3

:=

MAT

2.500

87.800

71.631−

1.500

2.279

0.000

3.600

2.147−

1.042

= VET

14.750

9.924−

2.605

=

==========================================

a33 x3⋅ b3 solve x3, 2.4999999999999999999→ 2.500=

x3 2.5:=

a22 x2⋅ a23 x3⋅+ b2 solve x2, 2.−→

x2 2−:=

a11 x1⋅ a12 x2⋅+ a13 x3⋅+ b1 solve x1, 3.500000000000000000→

x1 3.5:=



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15.2 Método de Jacobi

Os Métodos Diretos tem o inconveniente de alterar a matriz inicial que, no caso degrandes matrizes, pode levar a erros não toleráveis.

Os Métodos Iterativos mantém inalterada a matriz principal, partindo de umaaproximação inicial, melhorando continuamente a aproximação, até alcançar uma soluçãoaceitável.

O Método de Jacobi isola uma variável em cada equação e aplicar às outras umaaproximação inicial chegando-se assim a a outra aproximação, que, espera-se, seja melhorque a anterior.

Assim, dado um sistema de n equações e n incógnitas, teremos:

Vamos resolver o sistema abaixo pelo Método de Jacobi

============== 1a ITERAÇÃO ================

X2 0:= X3 0:= X4 0:=

X116.75 1.5 X2⋅− 3.6 X3⋅−

6.5:=

X1 2.577=

=================================

X1 0:= X3 0:= X4 0:=

X221.3 3.3 X1⋅− 2.5 X3⋅−

8.0:=

X2 2.663=

=================================

X1 0:= X4 0:= X2 0:=

X35.5− 2.1 X1⋅− 2.5 X2⋅−

7.0

:=

X3 0.786−=

),.....,,( 3211 n x x x f x =

),.....,,( 3122 n x x x f x =

.................................

),.....,,( 121 −= nnn x x x f x



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============== 2a ITERAÇÃO ================

X1 2.577:= X2 2.663:= X3 0.786−:=

X116.75 1.5 X2⋅− 3.6 X3⋅−

6.5:=

X1 2.398=

=================================

X1 2.577:= X2 2.663:= X3 0.786−:=

X221.3 3.3 X1⋅− 2.5 X3⋅−

8.0:=

X2 1.845=

=================================

X1 2.577:= X2 2.663:= X3 0.78−:=

X35.5− 2.1 X1⋅− 2.5 X2⋅−

7.0:=

X3 2.510−=

============== 3a ITERAÇÃO ================

X1 2.39:= X2 1.845:= X3 2.51−:=

X116.75 1.5 X2⋅− 3.6 X3⋅−

6.5:=

X1 3.541=

=================================

X1 2.39:= X2 1.845:= X3 2.51−:=

X221.3 3.3 X1⋅− 2.5 X3⋅−

8.0:=

X2 2.458=

=================================

X1 2.39:= X2 1.845:= X3 2.510−:=



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Na 10ª iteração, teremos:X1 = 3.55

X2 = 2.02

X3 = -2.55

X35.5− 2.1 X1⋅− 2.5 X2⋅−

7.0:=

X3 2.164−=



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15.3 Método de Gauss-Seidel

O Método de Gauss-Seidel é uma variação do Método de Jacobi. Ele também partede uma aproximação inicial, geralmente (0, 0, 0, ...,0) e à medida que as raízes sãodeterminadas, elas são usadas desse ponto em diante nas iterações seguintes.

Este medo tende a convergir mais rápido que o Método de Jacobi. Vamos resolver o mesmo sistema pelo Método de Gauss-Seidel.

============== 1a ITERAÇÃO ================

X2 0:= X3 0:= X4 0:=

X116.75 1.5 X2⋅− 3.6 X3⋅−

6.5:=

X1 2.577=

X221.3 3.3 X1⋅− 2.5 X3⋅−

8.0:=

X2 1.600=

X3 5.5− 2.1 X1⋅− 2.5 X2⋅−

7.0:=

X3 2.130−=

============== 2a ITERAÇÃO ================

X116.75 1.5 X2⋅− 3.6 X3⋅−

6.5:=

X1 3.388=

X221.3 3.3 X1⋅− 2.5 X3⋅−

8.0:=

X2 1.931=

X35.5− 2.1 X1⋅− 2.5 X2⋅−

7.0:=

============== 3a ITERAÇÃO ================

X1

16.75 1.5 X2⋅− 3.6 X3⋅−

6.5:=



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Neste caso em particular, a precisão alcançada pelo Método de Jacobi na 10ª iteração é alcançada pelo Metodo de Gauss-Seidel na 5ª iteração .

X1 3.511=

X221.3 3.3 X1⋅− 2.5 X3⋅−

8.0:=

X2 1.993=

X35.5− 2.1 X1⋅− 2.5 X2⋅−

7.0:=

X3 2.551−=

============== 4a ITERAÇÃO ================

X116.75 1.5 X2⋅− 3.6 X3⋅−

6.5:=

X1 3.530=

X221.3 3.3 X1⋅− 2.5 X3⋅−

8.0:=

X2 2.004=

X35.5− 2.1 X1⋅− 2.5 X2⋅−

7.0:=

X3 2.560−=

============== 5a ITERAÇÃO ================

X116.75 1.5 X2⋅− 3.6 X3⋅−

6.5:=

X1 3.533=

X221.3 3.3 X1⋅− 2.5 X3⋅−

8.0:=

X2 2.005=

X35.5− 2.1 X1⋅− 2.5 X2⋅−

7.0:=

X3 2.562−=



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16. Interpolação Polinomial

Seja a tabela abaixo, formada por n+1 pontos (Xi, Yi). O objetivo da Interpolação Polinomial é passar por n+1 pontos um polinômio de grau n,

P(x):

P(x) = an xn + an-1 xn-1 +…….+ a2 x2 + a1 x1 +a0

Trata-se, então de calcular os n+1 coeficientes de P(x), an , an-1 , , a2 , a1 , a0 , demodo que o polinômio passe pelos n+1 pontos da tabela.

Temos, então:P(x0 ) = y0 P(x1 ) = y1

. . . . . . . .

. . . . . . . .

P(xn ) = yn

P(x0 ) = an x0 n + an-1 x0

n-1 + … + a2 x0 2 + a1 x0 + a0 = y0

P(x1 ) = an x1 n + an-1 x1

n-1 + … + a2 x1 2 + a1 x1 + a0 = y1

P(x2 ) = an x2 n + an-1 x2

n-1 + … + a2 x2 2 + a1 x2 + a0 = y2

……………………………………………………………..

……………………………………………………………..

P(xn ) = an xn

n

+ an-1 xn

n-1

+ … + a2 xn

2

+ a1 xn + a0 = yn

Temos, então, um sistema de n equações e n incógnitas, onde as incógnitas são oscoeficientes an , an-1 , , a2 , a1 , a0 do polinômio.

Sob a forma matricial, o sistema ficaria como abaixo:

Uma vez mais, recordemos o significado de cada elemento do sistema acima:



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XXXX0000, Y, Y, Y, Y0000 ................ Par de coordenadas por onde passará o Polinômio.

aaaaiiii .................................... Coeficientes do Polinômio, que são as incógnitas do sistema.

Demonstra-se que o determinante da matriz dos pontos XXXXiiii , DETX, cujo nome éDeterminante de Valdemonde , é dado por:

DETX = (x0 – x1 ) (x0 – x2 )... (x0 – xn ) (x1 – x2 ).. (x1 – xn ).... (xn-1 – xn )

Pode ser demonstrado, também, que a solução existe e é única.

Desta forma, existe um único polinômio de grau n que passa pelos

n+1 pontos dados.

Existe um tipo de sistema que tem um valor de determinante muito pequeno

quando comparado ao valor de seus elementos e uma pequena alteração em um dos

elementos acarreta uma grande variação no resultado.

Este tipo de sistema é chamado de Sistema Mal Condicionado .

O Determinante de Valdemonde é um Sistema Mal Condicionado.



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16.1 Interpolação pelo Método de Lagrange

X X0 X1 X2 X3 .......... XN

Y Y0

Y1

Y2

Y3

.......... YN

Deseja-se passar um polinômio de grau nnnn pelos pontos acima: O Método de Lagrange constrói n+1n+1n+1n+1 polinômios de grau nnnn:

L0(X), L1(X), L2(X), L3(X),...... Ln(X)

O Polinômio de Lagrange é dado por:

Considere a função abaixo:

i 0 1 2 3

Xi 0 1 2 4

Yi 4 11 20 44

Determine o Polinômio de Lagrange de 3º grau que interpola os pontos.

Como vim os acima, o polinômio interpolador e:

)).....()().....().((

))......()()......().(()(

1110

1110

niiiiiii

niii

X X X X X X X X X X

X X X X X X X X X X X L

−−−−−

−−−−−=

+−

+−

)(........)(.)(.)(.)( 22110 X LY X LY X LY X LY X L nno ++++=

)(.)(.)(.)(.)( 3322110 X LY X LY X LY X LY X L o +++=

))().((

)).(2).(()(

302010

310

X X X X X X

X X X X X X X L

−−−

−−−=

)40)(20).(10(

)4).(2).(1(

−−−

−−−=

X X X

1.750,1.875,0.125,0)(

23

0+−+−=

X X X X L

))().((

)).(2).(()(

312101

301

X X X X X X

X X X X X X X L

−−−

−−−=

)41)(21).(01(

)4).(2).(0(

−−−

−−−=

X X X

X X X X L .667,2.2.3333,0)( 23

1 +−=

))().((

)).().(()(

321202

3103

X X X X X X

X X X X X X X L

−−−

−−−=

)24)(14).(04(

)2).(1).(0(

−−−

−−−=

X X X

X X X X L 0833,0.125,0.0417,0)( 23

3 +−−=



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Temos então que o Polinômio é:

Fazendo a verificação do resultados, temos abaixo o valor do polinômio nos pontosdados e respectivo gráfico.

A divergência verificada entre os valores reais e os valores polinomiais deve-se a errosde arredondamento.

))().((

)).().(()(

231303

2103

X X X X X X

X X X X X X X L

−−−

−−−=

)42)(12).(02(

)4).(1).(0(

−−−

−−−=

X X X

X X X X L −+−=

23

2 .25,1.25,0)(

)(.)(.)(.)(.)( 3322110 X LY X LY X LY X LY X L o +++=

)(.44)(.20)(.11)(.4)( 3210 X L X L X L X L X L +++=

49989,5.001,0)( 23+++= X X X X L



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16.2 Interpolação pelo Método de Newton (Diferenças Divididas)

Seja o conjunto de pontos (Xi, Yi ) de uma função Y = F(X).

Define-se Operador Diferença Dividida de Primeira Ordem sobre os pontos (Xi, Yi ) e(Xi+1,Yi+1 ) como:

Note-se que Dyi é na verdade uma aproximação da primeira derivada da função nesseponto.

As Diferenças Divididas das ordens superiores também são aproximações das derivadasdessa ordem.

Define-se Operador Diferença Dividida de Segunda Ordem sobre os pontos (Xi, Yi ),(Xi+1, Yi+1 ) e (Xi+2, Yi+2 ) como:

Define-se Operador Diferença Dividida de Terceira Ordem sobre os pontos (Xi, Yi ),(Xi+1, Yi+1 ) e (Xi+2, Yi+2 ) e (Xi+3, Yi+3 ) como:

Define-se Operador Diferença Dividida de Ordem r sobre os pontos (Xi, Yi ), (Xi+1, Yi+1 ) e (Xi+2, Yi+2 ), ......, (Xi+r, Yi+r ) como:

Define-se Operador Diferença Dividida de Ordem Zero sobre os pontos (Xi, Yi ), (Xi+1,Yi+1 ) e (Xi+2, Yi+2 ), ......, (Xi+r, Yi+r ) como:

1,.....,2,1,0,)()(

1

1

1

1 −=−

−=

−

−=

+

+

+

+ ni x x

y y

x x

xF xF Dy

ii

ii

ii

iii

2,...,2,1,0,2

12−=

−

−=

+

+ ni x x

Dy Dy y D

ii

iii

3,....,2,1,0,3

2

1

23

−=−

−=

+

+ ni x x

y D y D y D

ii

iii

ni ,....,2,1,0=

r nr −= ,....,2,1,0ir i

i

r

i

r

i

r

x x

y D y D y D

−

−=

+

−

+

− 1

1

1

ni y y D ii ,....,2,1,0,0

==



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O Polinômio Interpolador com Diferenças Divididas é um polinômio da forma:

Seja o conjunto de pontos abaixo:

i 0 1 2 3

xi 1 2 4 8

y i 120 94 75 62

Os valores das diferenças divididas são:

i xi y i Dy i D2 y i D3 y i

0 1 120 (94-120)/(2-1)= -26 (-9,5+26)/(4-1)= 5,5 (1,04-5,5)/(8-1)= 0,64

1 2 94 (75-94)/(4-2)= -9,5 (-3,25+9.5)/(8-2)= 1,04

2 4 75 (62-75)/(8-4) = -3,25

3 8 62

P(X)=120+(X-1).DY0+(X-1).(X-2) D2Y0 +(X-1).(X-2).(X-4) D3Y0

P(X)=120+(X-1).(-26)+(X-1).(X-2) (5,5) +(X-1).(X-2).(X-4) (0,64)

01100

2

10000 ).).......().(().).(().()( y D x x x x x x y D x x x x Dy x x y xPn

n−−−−+−−+−+=

135.3364,0)(23

+−+= X X X xP



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16.3 Ajuste de Curvas pelo Método dos Mínimos Quadrados

O Teorema dos Mínimos Quadrados estabelece que, se um número de

medidas é realizado de um mesmo evento físico, onde existe probabilidade

de erro, então o valor mais provável do valor da medida é aquele que torna a soma dos quadrados dos erros um mínimo.

16.3.1 Ajuste Linear

Este teorema pode ser aplicado ao caso em que se deseja passar uma linha reta por umconjunto de pontos.

Considere o conjunto de pontos abaixo:

X X0 X1 X2 X3 .......... XN Y Y0 Y1 Y2 Y3 .......... YN

Existe, então, uma reta, da forma abaixo, que representa o valor mais provável paraesses pontos com um valor de erro mínimo.

O quadrado dos somatório dos erros é dado por:

Para determinar os valores de a e b que tornam o erro mínimo, calcula-se a derivada eiguala-se a zero.

Evidenciando e e dividindo por 2n a expressão 1, temos:

xba y .+=

2

1 1

2 )).( i

n n

ii xba y∑ ∑ −−=ε

∑∑∂

−−∂=

∂

∂ niii

a

xba y

a 1

22].[ε

∑ =−−−=n

ii bxa y1

0][2

∑∑ ∂−−∂=

∂∂

niii

b xba y

b 1

22

].[ε

∑ =−−−=n

iii bxa y x1

0][2

1

2

nn

bx

n

a

n

yn

i

nn

i

2

0

2

2

2

2

2

2111 =++

− ∑∑∑

0111 =++

−

∑∑∑n

bx

n

a

n

yn

i

nn

i



MathCad 13 Jan/2012


Levando este valor para expressão 2, temos:

O Coeficiente de Determinação R2 determina o quanto a reta está próxima dospontos dados. Este coeficiente varia entre 0 e 1 e, quanto mais próximo de 1, melhor é oajuste.

A título de exercício, vamos ajustar o conjunto de pontos abaixo por uma reta.

0__

=++− xba y

__

xb ya−=

∑ =−+−−n

iii bx xb y y x1

__

0)(2

∑ =−+−−n

iiii x xb x y y x1

__

0)]()([2

∑ ∑ =−+−

n n

iiii x x xb y y x1 1

__

0)()(

∑

∑

=

=

−

−

=n

i

ii

n

i

ii

x x x

y y x

b

1

_

1

_

)(

)(

∑

∑

=

=−=n

i

i

n

i

i

x

R

1

1

2

2 1

ε



MathCad 13 Jan/2012


4954,06,671.15

4,764.7==b

69,522,108.4954,03,106 =−=a

69,524954,0 += x y

98,00,955.118

7,525.11

2=−= R



MathCad 13 Jan/2012


17. Integração Numérica

Neste capítulo vamos calcular, empregando métodos numéricos, os valores,aproximados, de integrais definidas, do tipo abaixo:

Lança-se mão deste método quando não se consegue calcular analiticamente o valordas integrais, como a do tipo abaixo, que não tem solução analítica exata:

17.1 Método dos Trapézios O Método dos Trapézios consiste em

dividir o intervalo de integração (a, b) emn intervalos iguais de amplitude h,conforme gráfico ao lado.

Desta forma, obtem-se n intervalos deamplitude como abaixo:

A área de cada intervalo é dada por:

A soma da área de todos os trapézios nos dará, aproximadamente, a área entre a curvae o eixo das abscissas. Quanto maior for o números de trapézios, mais nos aproximaremosdo valor da integral.

A área total é dada por:

Á título de exercício, calculemos a integral abaixo pelo Métpdo dos Trapézios.

∫=b

adX X F I )(

∫−

=1

0

2dxe I

n

abh

−=

2. 1++

= ii

i

y yh A

2.......

22

1211 nno y yh

y yh

y yh A

+++

++

+= −

)22

(1

1

1∑−

=

++=n

n

no y y y

h A

∫=

1

0

dxe I X



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Vamos dividir o intervalo de integração em duas partes e construir a tabela abaixo:

x 0,0 0,5 1,0

ex 1,000 1,649 2,718

17.2 Método de Simpson O Método Simpson consiste em dividir o intervalo de integração (a, b) em n intervalos

iguais de amplitude h, sendo n par.

Desta forma, obtem-se n intervalos de amplitude h, como abaixo:

A seguir, construímos a tabela com os n+1 pontos (Xi, Yi):

X X0 =a X1 X2 . . . . . Xn-1 Xn=b

Y Y0 Y1 Y2 . . . . . Yn-1 Yn

O passo seguinte é: Passar por cada dois intervalos consecutivos (a cada 3 pontos) uma equação do

segundo grau (haverá então n/2 equações). Acha-se a integral de cada equação. Somam-se todas as n/2 integrais e têm-se a integral total.

Trabalhando com os dois primeiros intervalos da tabela, (X0 , Y0 ) e (X1 , Y1 ):

X X0 =a X1 X2

Y Y0 Y1 Y2

Mudando-se o eixo Y para x=x1, fica:

X -h 0 h

Y Y0 Y1 Y2

Seja a equação que passa pelos 3 pontos:

5,02

01=

−=h

754,1)2

718,2649,1

2

000,1(5,0 =++= A

n

abh

−=



MathCad 13 Jan/2012


A fórmula acima calcula a integral da equação de segundo grau

que passa pelos três pontos y0, y1 e y2.

Seja calcular a integral abaixo pelo Método de Simpson:

Vamos definir n=4. h=(1-0)/4=0,25

X 0,000 0,250 0,500 0,750 1,000

Y 1,000 1,284 1,649 2,117 2,718

C BX AX Y ++=2

C Bh Ahch Bh A yo +−=+−+−=22 )()(

C B A y ++= )0()0(2

1

C Bh Ahch Bh A y ++=++=22

2 )()(

C y =1

∫− ++=h

hdxC BX AX I )( 2

1

h

hCX BX AX

I −++= ]

23

[23

1

3

)422(2

32

23

1

hC C AhCh

h A I

++=+=

C Ah y y 22 2

20 +=+

3

)4( 1201

h y y y I

++=

)4(3

2101 y y yh

I ++=

∫=

1

0

dxe I x



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Tomemos o intervalo 0,500 – 1,000

Tomemos o intervalo 0 – 0,500

)649,1284,14000,1(3

250,01 +×+= I

)718,2117,24649,1(3

250,02 +×+= I

718,121 =+= I I I

Documents

Manual Mathcad - 2000 ou 13