El aula de Matemticas con software libre:MaximaMiguel A. Jorquera7 de marzo de 2008Pgina 2Copyright marzo 2008, Miguel A. Jorquera. Versin 0.6Este documento es libre. Se otorga permiso para copiarlo, distribuirloy/omodicarloenlos trminos de laLicenciade DocumentacinLibreGNU, versin1.2oposteriorpublicadaporlaFundacindeSoftware Libre,http://es.gnu.org/licencias/fdles.html.Estemanual seencuentraenfasededesarrollo, revisindediseogrco, ortografa y otros aspectos que posiblemente cambiarn en lassiguienes versiones al tiempo que se irn aadiendo nuevos captulos.Si ustedencuentraalgnerrory/oquierehaceralgunaaportacin,su ayuda ser bienvenida. e-mail: jorquera11@hotmail.comMiguel A. Jorquerandice general1. Software Libre y Matemticas 51.1. Educacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Software matemtico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52. wxMaxima 92.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.1. Instalacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.2. Cuestiones bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.3. Cuestiones Pedaggicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113. Matrices y Determinantes 133.1. Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2. Clculo de determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3. Unidad Didctica: Matrices y Determinantes . . . . . . . . . . . 173.3.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3.3. Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3.4. Soluciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194. Sistemas de ecuaciones lineales 254.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2. Clases de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2.1. Sistema incompatible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2.2. Sistema compatible determinado . . . . . . . . . . . . . . 274.2.3. Sistema compatible indeterminado . . . . . . . . . . . . . 274.3. Sistemas dependientes de parmetros . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3.1. Sistemas de igual n de ecuaciones que de incgnitas . . . 284.3.2. Sistemas de distinto n de ecuaciones que de incgnitas . 305. Vectores 335.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.2. Operaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.3. Dependencia e independencia de vectores . . . . . . . . . . . . . 355.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363Pgina 4 NDICE GENERAL6. Geometra Afn y Eucldea 396.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.2. Ecuaciones de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.3. Ecuaciones del plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.4. Posiciones relativas entre planos y rectas. . . . . . . . . . . . . . 406.5. ngulo entre elementos del espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.5.1. ngulo entre dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.5.2. ngulo entre dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.5.3. ngulo entre dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.5.4. ngulo entre recta y plano . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.6. Proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.6.1. Proyeccin de un punto sobre un plano . . . . . . . . . . 466.6.2. Proyeccin de un punto sobre una recta . . . . . . . . . . 476.6.3. Proyeccin de una recta sobre un plano . . . . . . . . . . 476.7. Distancias en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.7.1. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.7.2. Distancia entre un punto y un plano . . . . . . . . . . . . 506.7.3. Distancia entre un punto y una recta . . . . . . . . . . . . 516.7.4. Distancia entre dos rectas que se cruzan. . . . . . . . . . 526.8. Perpendicular comn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537. Lmites y continuidad 577.1. Clculo de lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.2. Asntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607.2.1. Asntotas Verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607.2.2. Asntotas Horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607.2.3. Asntotas Oblcuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Miguel A. JorqueraCaptulo 1Software Libre y Matemticas1.1. EducacinElusodelordenadorenelaulayenconcretoenlasasignaturasdemate-mticas crea nuevas posibilidades de aprendizaje antes inalcanzables. Nuestrosalumnos y alumnas estn habituados a utilizar estas nuevas tecnologas y seraun error no tenerlos en cuenta. Se trata de un medio ms, junto con la pizarra,los libros, la calculadora, etc para conseguir que aprendan.Existen muchas alternativas a la hora de elegir un determinado software parausarlo en el aula, pero deberamos de guiarnos por una serie de consideracionespara intentar hacer una buena eleccin.1.2. Software matemticoEnestaseccinvamosadarunlistadoporbloques,sinentrarendetallesysinanimodeserexhaustivos, deaplicacionesparael auladematemticasquesonsoftwarelibreyquelamayoraestndisponiblestantoparaWindowcomo para Linux. Se pueden encontrar en http://www.cdlibre.org, en http://www.sourceforge.net en sus pginas ociales.GeometraGeogebraKigC.A.R.CarMetalKsegDr GeoKigEukleidesGeomview5Pgina 6 1.2. SOFTWARE MATEMTICOPyGeoXaosAritmticaCalculadoraXabacus y XamabacusKpercentageGcomprisKcalculRepresentacin GrcaKmplotGegGNUplotOctaveAplicaciones JClicAplicaciones on-lineSupercieJuegosTuxMathMathwarEstadsticaRHoja de clculo. CalcClculo simblico y numricoMaxima y wxMaximaOctaveYacasAxiomPARI/GPTextos cientcosLatexMiguel A. JorqueraCAPTULO 1. SOFTWARE LIBRE Y MATEMTICAS Pgina 7KileLyxLatex-BeamerOtrosWimsOn-linehttp://www.ciencialab.comhttp://www.juntadeandalucia.es/averroes/wiris/es/index.htmlMiguel A. JorqueraPgina 8 1.2. SOFTWARE MATEMTICOMiguel A. JorqueraCaptulo 2wxMaxima2.1. IntroduccinMaxima es un programa de calculo simblico similar a los programas comer-ciales Maple y Mathematica.Est publicado bajo licencia libre GNU/GPL y funciona en diferentes pla-taformas (Linux, Window, Mac, etc.).Es software libre, por lo que su cdigo fuente est disponible par que todoel que quiera adapte el programa a sus necesidades.Es gratuito, por lo que se puede distribuir a los alumnos libremente.Mxima puede realizar diferentes clculos numricos y simblicos con poli-nomios, sistemas de ecuaciones, matrices, funciones, derivadas, integrales,lmites, series de Taylor, etc.Puede representar funciones en 2D y 3D ayudndose de GNUplot.Adems funciona como lenguaje de programacin por lo que las posibili-dades son enormes.La web ocial de Mxima es http://maxima.sourceforge.net/ o si la preereen castellano http://maxima.sourceforge.net/es/Maxima funciona en modo texto en consola, pero afortunadamente existenvarios entornos grcos que hacen ms agradable su manejo. Los principales sonxmaxima y wxmaxima.En este manual, trabajaremos con wxmaxima.2.1.1. InstalacinComo hemos comentado antes, podemos instalar Maxima y wxMaxima endistintas plataformas.La instalacin en Window consiste en la ejecucin de un archivo ejecu-table.exequepodemosdescargardirectamentedesourceforge.Unavezinstalada esta aplicacin podemos proceder a instalar wxMaxima que seencuentra en http://wxmaxima.sourceforge.net.9Pgina 10 2.1. INTRODUCCINFigura 2.1: Pantalla inicial de wxMaximaLamayorpartedelasdistribucionesLinuxtienencherosprecompila-dosconlasextensionesrpmodeb,segnelcaso.Lainstalacinenunadistribucin linux basada en Debian es muy sencilla ya que wxmaxima seencuentra en los repositorios. Basta con hacer $sudo apt-get install wxma-ximamaxima-share para que se instale Maxima y wxMaxima junto contodas sus dependencias.Tambin, si se utiliza el escritorio gnome, se puede instalar mediante la aplica-cin Synaptic que se encontrar en el men Sistema ->Administracin ->Gestorde paquetes SynapticEnLinux, unavezinstalado, podemoslanzarlaaplicacindesdeel menAplicaciones ->Otras ->wxMaxima escribiendo en una consola wxmaxima.EnWindowlaaplicacinselanzaracomocualquierotra; haciendodobleclic en el icono correspondiente en Inicio ->Programas ->wxMaximaEn la gura 2.1 se muestra la pantalla inicial de wxMaxima.Podemos poner la aplicacin en espaol desde el men Edit ->Congure2.1.2. Cuestiones bsicasAntesdeempezarautilizarwxMaximaesimportantetenerencuentaal-gunas consideraciones que nos ayudarn a ir ms rpido y entender lo que vaapareciendo en la pantalla.Cada lnea aparece numerada, por ejemplo, la primera es ( %i1). Si es unaentrada aparece i (input-entrada) y si es una salida aparece o (output-salida) y a continuacin el nmero de lnea. As podemos referirnos a unaexpresinanteriormediantesuidentidad( %ox, %ix)paranotenerqueMiguel A. JorqueraCAPTULO 2. WXMAXIMA Pgina 11Figura 2.2: Ejemplos bsicosteclearla otra vez. Si ponemos slo % mxima entiende que se trata de laltima expresin.Todas las rdenes terminan con ;.Si no queremos que el resultado de una orden aparezca terminaremos con$.Podemos escribir comentarios ponindolos entre /* y */.Asignamos valor a una variable utilizando :, por ejemplo, a:3.Podemos denir una funcin usando :=, por ejemplo, f(x):=x^2+3*x+1En la gura 2.2 se pueden ver algunos ejemplos bsicos.2.1.3. Cuestiones PedaggicasActualmenteesevidentelaimportanciadelastecnologasinformticasentodos los niveles de enseanza. En este texto se trata una aplicacin de clculosimblico de la que a continuacin se enumeran algunas de las ventajas peda-ggicas que tiene su uso con los alumnos.Permite realizar clculos reales, de mayor dicultad matemtica evitandoperdertiempoenel clculorutinario, conloquesepuedededicarmstiempo a la explicacin de los conceptos que ha las habilidades de clculo.Tanto el profesor como los alumnos puede aprender a usar wxMaxima enmuy pocas sesiones.Miguel A. JorqueraPgina 12 2.1. INTRODUCCINEl profesor puede mostrar el funcionamiento de la aplicacin con un pro-yector conectado a un ordenador y luego los alumnos podrn realizar losejercicios ms rpido.Lautilizacindegrcasenelordenadorayudaaquelosalumnosten-gas una visin ms real de la geometra que se est estudiando evitandoaproximaciones realizadas en la pizarra o en el cuaderno.Maxima ser til en algunos casos, e intil en otros. No hay que forzar suuso en todas las ocasiones ya que esto sera un error, pero hay contextosen los cuales el error sera no usarlo.Se fomenta ms el trabajo creativo en detrimento del rutinario.Se les puede repartir a los alumnos una copia de wxMaxima para que selallevenasuscasasypuedanpracticarindependientementedequelosalumnos tengan Window en sus casas y trabajen con Window o Linux enel Instituto.Miguel A. JorqueraCaptulo 3Matrices y Determinantes3.1. Operaciones con matricesUnamatrizenMximaesunalistadelistasdondecadaelementoesunala. Paradenir unamatrizseutilizalapalabramatrix yentreparntesisencerramos las las de la misma que a su vez estn encerradas por corchetes ycadaelementoseparadoporcomas.PorejemplounamatrizAsedeniraenmxima as: A:matrix([1,2],[3,4])Esto se puede simplicar utilizando el men lgebra ->Introducir matrizProducto de matrices se utiliza el operador .Para el producto de un nmero por una matriz se utiliza el operador*Para la suma de matrices se utiliza el operador +Para calcular la inversa de una matriz cuadrada usaremos el operador^^-1o la funcin invertSi queremos que al calcular la inversa tengamos el determinante fueradebemosindicrseloawxMaximacontresvariables: detout: true$doallmxops: false$doscmxops:false$invert(A); Condetout: trueledecimosqueel determinantelosaquefuerayponerlasotrasdosvariablesafalseesparaquehagalasoperacionessincontarconeldeterminante, que lo pondr fuera.El rango de una matriz se calcula con la funcin rankLa transpuesta de una matriz se calcula con la funcin transposeDada una matriz tambin podemos obtenerlamatriztriangular queresultaradeaplicartransformacioneselementalesporlassiguiendoelmtododeGauss. Estoes posiblealafuncintriangularize quetieneMaxima.Existeotrafuncinllamadaechelonconlaqueseobtieneunamatriztriangularigual queconlafuncintriangularize, perotodosloselementos de la diagonal principal son todos 1.13Pgina 14 3.1. OPERACIONES CON MATRICES(a) (b)Figura 3.1: Introducir matrizFigura 3.2: Operaciones MatricesVeamos algunos ejemplos donde se utilizan estos operadores.1. En primer lugar denimos dos matrices A y B en mxima, para ello po-demosescribirdirctamenteA:matrix([1,2],[3,4])$B:matrix([5,6],[7,8])$escribimos A: y nos vamos al men lgebra->Introducir matriz, elegimos2 las y 2 columnas (ver gura 3.1 (a)), pulsamos en Aceptar y luego in-troducimos los valores 1,2,3,4 y pulamos otra vez Aceptar (ver gura 3.1(b)). De esta forma tenemos introducida la matriz A. De la misma maneraintroducimos la matriz B tambin 2x2 cuyos elementos sern 5,6,7,8.2. Ahora ya podemos realizar operaciones con ellas simplemente poniendo laoperacin, por ejemplo, A+B. En concreto poniendo A+B;A-B;3*A;A.B;obtendremos la salida de la suma, diferencia, producto del escalar 3 por Ay producto de las matrices A y B. Esto lo podemos observar en la gura3.2.Miguel A. JorqueraCAPTULO 3. MATRICES Y DETERMINANTES Pgina 15Figura 3.3: Rango e Inversa3. Para calcular el rango de A y de B simplemente escribimos rank(A);rank(B);(ver gura 3.3)4. LasinversasdeAyBsecalculanescribiendoinvert(A);invert(B); (vergura 3.3)5. Tambin con el men lgebra->Invertir matriz podemos obtener la inversade la matriz que est guardada en la ltima expresin ( %). Si en la ltimaexpresin no hay ninguna matriz dar error.6. Podemos calcular las matrices transpuestas de A y B con transpose(A);transpose(B); con el men lgebra ->Transponer matriz, que como en el caso anteriorcalculara la matriz transpuesta de la ltima expresin ( %) y si no es unamatriz dara error. Podemos ver esto en la gura 3.4.7. Vamos ahora a obtener las matrices triangulares de A y B con la funcintriangularize y con la funcin echelon. Escribimostriangularize(A);triangularize(B);echelon(A);echelon(B); (ver gura 3.5)3.2. Clculo de determinantesCon wxMaxima podemos calcular el determinante de una matriz conla funcin determinant, es decir, dada una matriz A, obtendramos su de-terminante con determinant(A); desde el men lgebra ->Determinante.Siguiendo con el ejemplo de la seccin anterior pondramos determinant(A);determinant(B);y obtendramos los resultados -2 y 3 como se muestra en la gura 3.6.Hay que tener en cuenta que si se intenta calcular el determinante de unamatrizquenoescuadradadaraerror, puestoqueel determinanteparatalmatriz no est denido.Miguel A. JorqueraPgina 16 3.2. CLCULO DE DETERMINANTESFigura 3.4: Matriz transpuestaFigura 3.5: Matriz TriangularFigura 3.6: DeterminanteMiguel A. JorqueraCAPTULO 3. MATRICES Y DETERMINANTES Pgina 17Figura 3.7: Matriz adjuntaLa matriz adjunta tambin la podemos obtener con maxima utilizando lafuncin adjoint. Por ejemplo para la matriz A del ejemplo, tendramos queescribir adjoint(A); ir al men lgebra ->Matriz Adjunta. El resultadose muestra en la gura .El menor complementariodel elemento(i,j)de lamatriz Asepuede obtener mediante minor(A,i,j)3.3. UnidadDidctica: MatricesyDeterminan-tes3.3.1. IntroduccinEntrelasherramientasdel lgebralineal seencuentranlasmatricesylosdeterminantes. El concepto de matriz fue introducido por James Sylvester (1814-1897) hacia 1850.En la vida cotidiana aparecen matrices cuando tenemos una gran cantidadde datos ordenados por bloques ya que la notacin matricial nos ayuda a teneruna mejor visualizacin de los datos. Por ello, las matrices se utilizan en mbitosmuy diversos como el comercio, economa, sociologa, informtica fsica, etc.El concepto de determinante es anterior al de matriz, aunque en la actualidadse ensea al revs. Gauss (1777-1855) fue el primero en utilizar el concepto dedeterminante.La utilidad de estos dos conceptos se pone de maniesto en buena parte delcurrculo de Matemticas II y Matemticas Aplicadas a las CCSS II de 2 debachillerato. Por ello esta unidad tratar estos conceptos desde el punto de vistadel clculo simblico, usando la aplicacin wxMaxima.3.3.2. Objetivos1. Aprender a realizar operaciones con matrices y determinantes rpidamenteusando wxMaxima.Miguel A. JorqueraPgina 18 3.3. UNIDAD DIDCTICA: MATRICES Y DETERMINANTES2. Resolver problemas sobre matrices y determinantes usando wxMaxima.3. Interpretar los resultados y obtener conclusiones.3.3.3. ActividadesA continuacin se muestran una serie de actividades que los alumnos tendrnqueresolverutilizandoloaprendidoenlasseccionesanterioresdeestetema.Enlasiguienteseccinsemostrarnlassolucionesquepuedenserdeayudaalprofesorytambinalosalumnosunavezquehayanintentadoresolverlosejercicios por ellos mismos.1. Dadas las matrices A =_1 10 3_, B =_4 01 2_y C =_ 1 22 3_,calcula:a) A+Bb) A-B-Cc) 3A+5B-6Cd) AB-BCe) 2AB+3AC-5BC2. Determina el valor de a par que la matrizA =__1 2 30 1 2a 0 1__no tengainversa. CalculaA1para los restantes valores de a.3. ResuelvelaecuacinmatricialenX: XA 2B + 3C=D,siendo: A=_2 31 1_, B =_2 01 4_,C =_0 32 0_yD =_5 43 6_4. Demuestra queyz x 3/xxz y 3/yxy z 3/z= 05. Calcual el determinante de Vandermonde de orden 3,1 1 1x y zx2y2z2.6. Dada la matrizA =__1 0 04 1 03 1 1__, calcularA1y comprobar queA1=1|A|[Adj(A)]t7. Calculael rangodelamatriz A=__1 2 3 42 4 6 93 6 9 1__mediantelafuncin rank y despus utilizando transformaciones elementales por lascon la funcin triangularize.Miguel A. JorqueraCAPTULO 3. MATRICES Y DETERMINANTES Pgina 19Figura 3.8: Solucin Matrices y Determinantes. Ejercicio 18. Calcula los menores complementarios de todos los elementos de la matrizA =__1 2 30 5 63 2 4__.3.3.4. Soluciones1. Enestaactividadbastaconintroducircadaunadelas3matriceseirpidiendo a wxMaxima que haga cada una de las operaciones. Slo hay quetener en cuenta que cuando pone AB tendremos que escribir A.B y cuandopone 3A pondremos 3*A. Se puede ver la solucin en (3.8).2. En la resolucin de esta actividad podemos observar la potencia del clcu-lo simblico de wxMaxima al trabajar con el parmetro a. La aplicacinnoscalculael valordel determinanteenfuncindeayluegopodemosobtenerlainversa, queexistirparacualquiervalordeaquenoanuleel determinante. Aunqueestonoentreenestetema, usandolafuncinsolve([7*a-1],a); para saber la solucin de la ecuacin que anula el deter-minante. Ver (3.9).3. Aqu lo nico que tendra que hacer un alumno es despejar X como (D +2B 3C)A1ydespusdecirleaMaximaquehagalasoperaciones.Ver(3.10).Miguel A. JorqueraPgina 20 3.3. UNIDAD DIDCTICA: MATRICES Y DETERMINANTESFigura 3.9: Solucin Matrices y Determinantes. Ejercicio 2Figura 3.10: Solucin Matrices y Determinantes. Ejercicio 3Miguel A. JorqueraCAPTULO 3. MATRICES Y DETERMINANTES Pgina 21Figura 3.11: Solucin Matrices y Determinantes. Ejercicio 44. Esta actividad es otra prueba de que Maxima puede trabajar con parme-tros. Una vez que tenemos la expresin del determinante usamos la funcinratsimp (pulsando el botn con la etiqueta Simplicar) para simplicarla,observando que el resultado, efectivamente es 0. Ver (3.11).5. Igual que en la actividad anterior calculamos este conocido determinanteyluegofactorizamoslaexpresinconlafuncinfactor( %), pulsandoelbotn con la etiqueta Factorizar. Ver (3.12).6. Con esta actividad se muestra un ejemplo donde se se calcula la inversa deuna matriz de dos formas diferentes; la primera simplemente indicndolea Maxima que calcule la inversa de A y la segunda calculando las matricesnecesarias para aplicar la frmula correspondiente. Vemos que en amboscasos el resultado es el mismo. Ver (3.13).7. Teniendo en cuenta que la denicin de rango es el nmero de las o decolumnaslinealmenteindependientes, unodelosmtodosparacalcularel rango de una matriz es utilizando transformaciones elementales por -lasmedianteel mtododeGauss, quedejainvarianteel rangodeunamatriz. Por ello en esta actividad calculamos el rango directamente y des-pustriangularizamoslamismaparacomprobarqueel nmerodelaslinealmente independientes coincide con el rango anterior. Ver (3.14).8. En la ltima actividad podemos calcular los menores complementarios acada uno de los elementos, mostrndose en la imagen slo los de la primerala. Ver (3.15).Miguel A. JorqueraPgina 22 3.3. UNIDAD DIDCTICA: MATRICES Y DETERMINANTESFigura 3.12: Solucin Matrices y Determinantes. Ejercicio 5Figura 3.13: Solucin Matrices y Determinantes. Ejercicio 6Miguel A. JorqueraCAPTULO 3. MATRICES Y DETERMINANTES Pgina 23Figura 3.14: Solucin Matrices y Determinantes. Ejercicio 7Figura 3.15: Solucin Matrices y Determinantes. Ejercicio 8Miguel A. JorqueraPgina 24 3.3. UNIDAD DIDCTICA: MATRICES Y DETERMINANTESMiguel A. JorqueraCaptulo 4Sistemas de ecuacioneslineales4.1. IntroduccinEmpezamos esta seccin viendo cmo podemos introducir grcamente unsistema de ecuaciones lineales en wxMaxima.Vamos al men Ecuaciones ->Resolver sistema lineal ... y se mostrar unaventanadondetendremosqueindicarel nmerodeecuacionesdel sistemaytraspulsarAceptar, introduciremoslasecuaciones. Loniconuevoaqu esindicarle a wxMaxima que las incgnitas de las ecuaciones son {x,y,z} y esto sehace en la ltima linea de la ventana. Ver gura (4.1).En el ejemplo hemos introducido un sistema de 3 ecuaciones lineales con lasincgnitas{x,y,z}. Pararesolverlobastarconpulsarel botnAceptar. Vergura (4.5).La funcin utilizada es linsolvecuya sintaxis es la siguiente:linsolve ([ecuaciones separadas por comas],[incgnitas separadas por comas]);Para resolver el sistemax y + 5z = 133x 2y + z = 12x + y + 2z = 9___, bastara con po-ner en la linea de entradalinsolve([x-y+5*z=13, 3*x-2*y+z=12, x+y+2*z=9],[x,y,z]);Figura 4.1: Introducir Ecuaciones.25Pgina 26 4.2. CLASES DE SISTEMASFigura 4.2: Resolver S.C.D.4.2. Clases de sistemasSegn su solucin, los sistemas pueden ser:Incompatibles, si no tienen solucin.CompatiblesDeterminados, cuando la solucin es nica.CompatiblesIndeterminados, cuando poseen innitas soluciones.wxMaximanosayudaraestudiaryresolvercuandoseaposibleestetipodesistemas.En la introduccin hemos visto cmo se puede resolver un sistema de ecua-ciones lineales que es compatible determinado. Para intentar resolver cualquiersistema de ecuaciones lineales vamos a seguir siempre el mismo procedimientovistoenlaseccinanterior. Podemoshacerlousandoel mencorrespondien-teoescribiendoenlalineadeentradalafuncinlinsolveconlosparmetrosadecuados.A continuacin veremos un ejemplo de cada una de las clases.4.2.1. Sistema incompatibleDado el siguiente sistema de 2 ecuaciones lineales con dos incgnitasx + y = 0x + y = 3_,vamos a intentar resolverlo con wxMaxima. Para ello seguiremos los mismos pa-sos descritos en el ejemplo de la introduccin, o bien, escribiremos en la lineade entrada linsolve([x+y=0, x+y=3],[x,y]);En este caso el mensaje que obtendremos ser:Inconsistentequations:(2)anerror.Quitting.Todebugthistrydebug-mode(true);Miguel A. JorqueraCAPTULO 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Pgina 27Figura 4.3: Resolucin de sistemas.quenosindicaqueel sistemaesincompatibleyque, portanto, notienesolucin. Ver gura (4.3).4.2.2. Sistema compatible determinadoDado el sistema de 3 ecuaciones linealesx + y + z = 112x y + z = 53x + 2y + z = 24___, ledecimosawxMaximaquelointenteresolverponiendoenlalineadeentradalinsolve([x+y+z=11, 2*x-y+z=5, 3*x+2*y+z=24],[x,y,z]);El resultado es [x=4,y=5,z=2]que nos indica que el sistema es compatibledeterminado, es decir, que la nica solucin es la que se muestra en la salida.Ver gura (4.3).4.2.3. Sistema compatible indeterminadoLos sistemas compatibles indeterminados tienen innitas soluciones que seexpresarn en funcin de uno o ms parmetros. Veamos un ejemplo de cmowxMaxima trata este tipo de sistemas.Partimos del sistema de 3 ecuaciones lineales siguiente2x 4y + 6z = 2y + 2z = 3x 3y + z = 4___ypidmosleawxMaximaqueintenteresolverloponiendoenlalineadeentrada linsolve([2*x-4*y+6*z=2, y+2*z=-3, x-3*y+z=4],[x,y,z]);Obtenemos el siguiente mensaje:Dependent equations eliminated:(3)(%o4) [x=-7*%r1-5,y=-2*%r1-3,z=%r1]Nosestdiciendoqueelsistemaescompatibleindeterminadoyquetieneinnitas soluciones dependientes de 1 parmetro que llama %r1. Es decir, si parasimplicar, nosotros escribimos t en vez de %r1, la solucin sera:___x = 7t 5y = 2t 3z = t. Ver gura (4.3).Miguel A. JorqueraPgina 28 4.3. SISTEMAS DEPENDIENTES DE PARMETROS4.3. Sistemas dependientes de parmetrosEn esta seccin se muestra cmo utilizar wxMaxima para ayudarnos a estu-diar sistemas de ecuaciones lineales dependientes de algn parmetro. Para ello,distinguiremos dos casos. En el primero el nmero de ecuaciones coincide con elnmero de incgnitas y en el segundo no.4.3.1. Sistemas de igual n de ecuaciones que de incgnitasTomemos deejemploel siguientesistemade3ecuaciones lineales con3incgnitas dependientes del parmetro a:___ax + y + z = 0(a + 1)x + y az = 0x + (a + 1)y = 0Enprimerlugarhallamoslasracesdeldeterminantedelamatrizprin-cipal, esdecir, resolvemoslaecuacindeterminante(A)=0. Paraelloin-troducimos la matriz de coecientes A, luego calculamos su determinanteysimplicamosel resultadopulsandoel botnSimplicar. Porltimoigualamos el resultado obtenido a cero y resolvemos la ecuacin. Este lti-mo paso se puede hacer pulsando el botn Resolvery en la ventana queapareceponerenelprimercuadro %=0yenelsegundoa,paraindicarquelaincgnitaesa. Obteniendoal nal, quelasracesson-1y0.Todo el proceso se muestra en la gura (4.4). Si lo preeren, pueden usarcomandos de texto para llegar a la misma conclusin.matrix( [a,1,1], [a+1,1,-a], [1,a+1,0] ); /* para introducir la matriz A*/determinant( %); /*paracalcularel determinantedelaltimaex-presin que es la matriz */ratsimp( %); /* para simplicar la ltima expresin */solve([ %=0], [a]); /* para resolver la ecuacin resultante de igualara 0 la ltima expresin, siendo la incgnita a*/En segundo lugar ya podemos decir que si a = 1y a = 0 entonces se tratade un S.C.D. cuya solucin podemos obtener poniendo en la lnea de en-trada linsolve([a*x+y+z=0, (a+1)*x+y-a*z=0, x+(a+1)*y=0], [x,y,z]);La solucin, evidentemente es la trivial: x=0, y=0, z=0 ya que el sistema,en este caso, es homogneo. Ver gura(4.5).Paraa = 1 y paraa = 0 calculamos el rango de A y de A* y discutimosmediante el teorema de Rouch-Frobenius. a = 1 =Rango(A)=2=Rango(A*) Aplicar a listaTambin podemos denirnos una funcin llamada modulo para quecalculeel mdulodeunvectorpasadocomoparmetro. Paraello33Pgina 34 5.2. OPERACIONESFigura 5.1: Operaciones con vectoresFigura 5.2: Mdulo de un vectorbasta con escribir en la entrada modulo(v):=sqrt(apply("+",v^2)); yahora si queremos calcular el mdulo del vector w, slo pondramosmodulo(w); y ya est. Ver gura (5.2).El vectorunitarioydelmismosentidoqueunvectordado v =(a, b, c) podemos calcularlo con la funcin unitvector del paquete eigen. Loprimero que tenemos que hacer es cargar el paquete eigen escribiendo en laentrada load(eigen) en el men Archivo ->Cargar paquete y buscarlo enel directorio correspondiente. Despus introducimos el vector con v:[a,b,c];y por ltimo unitvector(v);Ver gura (5.3).El productovectorial de dos vectores puede ser calculado en Maximagracias al paquete vect que hay que cargar previamente para poderlo usar.El operador que utiliza para designar al producto vectorial es ~.Cargamosel paqueteescribiendoload(vect)enel menArchivoMiguel A. JorqueraCAPTULO 5. VECTORES Pgina 35Figura 5.3: Vector unitario->Cargar paquete y buscando en el directorio donde est (Ejemplo:/usr/share/maxima/5.10.0/share/vector/vect.mac).Introducimos los vectores u= (1, 2, 3) y v = (4, 5, 6) con u:[1,2,3];v:[4,5,6];Le indicamos que calcule el producto vectorial con u~v;YporltimoledecimosawxMaximaquenosexpreseelresultadocon express( %);obteniendo como resultado [-3,6,-3] que es el vectorbuscado. Ver gura (5.4).5.3. Dependencia e independencia de vectoresDos vectores u= (a, b, c) y v = (d, e, f) son linealmente dependientes sirango_a b cd e f_= 1Por ejemplo calculamos elrango_1 2 33 6 9_= 1 y por tanto podemos decirque los vectores u= (1, 2, 3) y v = (3, 6, 9) son linealmente dependientes. Vergura (5.5).Dos vectores u= (a, b, c) y v = (d, e, f) son linealmente independientessirango_a b cd e f_= 2Por ejemplo calculamos elrango_1 2 34 5 6_= 2 y por tanto podemos decirquelosvectores u =(1, 2, 3)y v =(4, 5, 6)sonlinealmenteindependientes.Ver gura (5.5).Miguel A. JorqueraPgina 36 5.4. EJERCICIOSFigura 5.4: Producto VectorialTres vectores u= (a, b, c), v = (d, e, f) y w= (g, h, i) son linealmentedependientes sirango__a b cd e fg h i__= 1 2Por ejemplo los vectores u= (1, 2, 3), v = (4, 5, 6) y w= (5, 7, 9) son lineal-mente dependientes ya que al calcular el rango de la matriz formado por ellosvemos que resulta 2. Ver gura (5.5).Tres vectores u= (a, b, c), v = (d, e, f) y w= (g, h, i) son linealmenteindependientes sirango__a b cd e fg h i__= 3Por ejemplo los vectores u= (1, 2, 3), v = (4, 5, 6) y w= (1, 0, 0) son lineal-mente independientes ya que al calcular el rango de la matriz formado por ellosvemos que resulta 3. Ver gura (5.5).Para un nmero mayor de vectores podemos actuar de forma similar cal-culando el rango con wxMaxima.Otra forma sera triangularizar la matriz formada por todos los vectores ycomprobar si resulta alguna la de ceros, que indicara que los vectores sonlinealmente dependientes. Por ejemplo, en la gura (5.6), podemos ver quelos vectores { u= (2, 1, 3), v = (1, 2, 1) y w= (3, 3, 2)}son linealmentedependientes puesto que al triagularizar la matriz que forman resulta quela ltima la es el vector cero.5.4. Ejercicios1. Sean los vectores u= (x, 3, 6) y v = (3, y, 4). Calcula x e y de maneraque ambos sean perpendiculares y | v | = 13.Para resolver este ejercicio con ayuda de wxMaxima, lo primero que ha-cemos es introducir los dos vectores. Despus como necesitamos calcularMiguel A. JorqueraCAPTULO 5. VECTORES Pgina 37Figura 5.5: Vectores l.d. y l.iFigura 5.6: Vectores l.d.Miguel A. JorqueraPgina 38 5.4. EJERCICIOSFigura 5.7: Ejercicio1el mdulo de un vector denimos la funcin modulo(v) vista en la seccin5.2.Imponemos las dos condiciones quenos diceel problemayresultaunsistemadedosecuacionescondosincgnitasquesonlassolucionesdelejercicio. El sitema que tenemos no es lineal y para resolverlo con wxMa-xima habra que quitar la raiz de la segunda ecuacin representada en lagura por ( %o5). Esto lo hacemos con la expresin expand( %^2); con loque estamos indicando que hay que elevar al cuadrado la ltima expresin.Por ltimo ya podemos resolver el sistema de ecuaciones formado por laprimera ecuacin y por esta ltima. Vamos al men Ecuaciones ->Resolversistema algebrico, elegimos 2 ecuaciones y pulsamos Aceptar, como pri-mera ecuacin ponemos %o4, como segunda %o12 y como incgnitas po-nemos x,y. Todo el proceso junto con la solucin se muestra en la gura(5.7).2. Convierteel vector v =(3, 0, 4)enunvectorunitarioyproporcinal aldado.La solucin de este ejercicio es muy sencilla utilizando la funcin unitvec-tor(v). Se deja al lector como actividad.Miguel A. JorqueraCaptulo 6Geometra Afn y Eucldea6.1. IntroduccinPodemos usar wxMaxima para resolver algunos problemas geomtricos re-lacionados con el lgebra lineal ya que se reducen a calcular rangos de matricesy resolver sistemas de ecuaciones lineales.Enestetematrataremosel pasodeecuacionesimplcitasdeunarectaaecuaciones paramtricas, la obtencin de la ecuacin general o implcita de unplano, las posiciones relativas entre planos y rectas, el ngulo entre elementosdel espacio y las distancias en el plano, perpendicular comn, etc.6.2. Ecuaciones de la rectaUna recta queda determinada por un punto y un vector director o por dospuntos distintos. A partir de del punto y del vector director podemos obtenerdistintasecuacionesdelarectaenunsistemadereferencia.Enelcasodeunsistema de referencia tridimensional, podemos obtener la ecuacin vectorial dela recta, las ecuaciones paramtricas, las continuas y las implcitas.wxMaximanospuedeayudaral pasodelasecuacionesimplcitasapara-mtricas ya que se trata de resolver un sistema de 2 ecuaciones lineales que escompatible indeterminado.Lo vemos con un ejemplo.Tenemos la recta r _2x + y + z = 3x y 2z = 1dada en forma implcita,entonces para obtener las ecuaciones paramtricas le decimos a wxMaxima queresuelvael sistemalineal. Paraello, recordarquevamosal menEcuaciones->Resolver sistema lineal, indicamos que tiene 2 ecuaciones, las introducimos yle indicamos que las incgnitas son x,y,z y pulsamos Aceptar. Ver gura (6.1).wxMaximanoscontestacon[x=( %r1+4)/3,y=-(5* %r1-1)/3,z=%r1]cuyainterpretacin es que las ecuaciones paramtricas de r son: r ___x =43+t3y =135t3z = t, t R39Pgina 40 6.3. ECUACIONES DEL PLANOFigura 6.1: Paso de implicitas a paramtricas6.3. Ecuaciones del planoUnplanoquedadeterminadoporunpuntoydosvectoreslinealmentein-dependientes o por tres puntos distintos que no est alineados. A partir de unpunto y dos vectores l.i. podemos obtener la ecuacin vectorial del plano en unsistema de referencia, a partir de ella podemos pasar a las ecuaciones param-tricas del plano.Laecuacinimplcitaogeneral de unplanose puede calcular apartirde unpunto P =(a, b, c) ydos vectores linealmente independientes u =(u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3)mediante la expresinu1v1x au2v2y bu3v3z c= 0Veamos un ejemplo.Vamos a obtener la ecuacin implcita del plano determinado por el puntoP= (1, 2, 3) y los vectores u= (1, 1, 0) y v = (1, 0, 1). Ver gura (6.2).Para ello seguimos los siguientes pasos:1. Introducimos la matriz__1 1 x 11 0 y 20 1 z 3__2. Calculamos su determinante, resultando -z-y+x+43. Laecuacindelplanoserelresultadoanteriorigualadoa0.Portanto-z-y+x+4 = 06.4. Posiciones relativas entre planos y rectasPara el estudio de las posiciones relativas de dos o tres planos, de una rectay un plano o de dos rectas, nos basamos en el sistema de ecuaciones formadopor las ecuaciones implcitas. Apartir deesesistematenemos lamatrizdecoecientes A y la matriz ampliada A*.El estudiodelosrangosdeestasdosmatricesnoshacedecidircual eslaposicin relativa.Miguel A. JorqueraCAPTULO 6. GEOMETRA AFN Y EUCLDEA Pgina 41Figura 6.2: Ecuacin implcita del planoPor ello, conocer la posicin relativa, por ejemplo, de tres planos se reducea calcular con wxMaxima los rangos de A y A*.Veremos un par de ejemplos1. Estudia la posicin relativa de las siguientes rectas:___r1 :_x y + z = 02x + y = 3r2 :_x 2y + z = 0x 2y z = 3Se puede observar en la gura (6.3) que el las rectas se cortan en el puntode coordenadas (32, 0, 32), ya que los rangos de A y A* son iguales a 3.2. Estudia la posicin elativa de la recta y el plano siguiente:___r :_2x y = 3x z = 1 : x + y 3z = 1Se puede observar en la gura (6.4) que la recta es paralela al plano, yaque los rangos de A y A* son 2 y 3 respectivamente.6.5. ngulo entre elementos del espacioEn esta seccin veremos cmo calcular el ngulo formado por dos vectoresenelespacio,elnguloentredosrectas,entredosplanosyentreunplanoyuna recta.6.5.1. ngulo entre dos vectoresSedeneel nguloqueformandosvectoreslibrescomoel menordelosngulosqueformanlassemirrectasquecontienenadosdesusrepresentantesconcurrentes. Por tanto el ngulo siempre estar entre 0 y 80.Dados los vectores v = (a, b, c) y w= (d, e, f) podemos calcular el cosenodel ngulo formado por ellos a partir de la denicin del producto escalar y desu expresin analtica de la siguiente forma:cos( v , w) = v w| v || w|=ad+be+cfa2+b2+c2d2+e2+f2Miguel A. JorqueraPgina 42 6.5. NGULO ENTRE ELEMENTOS DEL ESPACIOFigura 6.3: Posicin relativa entre 2 rectasFigura 6.4: Posicin relativa entre una recta y un planoMiguel A. JorqueraCAPTULO 6. GEOMETRA AFN Y EUCLDEA Pgina 43Figura 6.5: ngulo entre dos vectoresApartirdeestaexpresin, utilizandolafuncinarcocosenoobtenemoselngulo buscado.En Maxima, los argumentos de las funciones trigonomtricas estn en radia-nes, por lo que si queremos calcular el seno de un ngulo en grados habr quepasarlopreviamentearadianessimplementemultiplicandopor180. Anloga-mente si querermos obtener el ngulo en grados de la inversa del coseno habrque multiplicar por180.Tambin, si vamos a utilizar mucho las funciones trigonomtricas podemosdenirnos las funciones que nos pasen de radianes a grados y viceversa.Otracosaquehayquetenerencuentaesquesi nodeindicamosnadaaMaxima noVeamos un ejemplo de cmo podemos calcular este ngulo en wxMacima.Dadoslosvectores v =(3, 0, 2)y w=(0, 1, 1)calcularemoselnguloformado por ellos siguiendo estos pasos:1. Introducir los vectores. v:[-3,0,2]; w:[0,1,-1];2. Denimos la funcin modulo vista en el tema anterior para obtener el m-dulo de un vector con ms comodidad. modulo(v):=sqrt(apply("+",v^2));3. Denimos tambin una funcin para pasar de radianes a grados, por ejem-plo pasaagrados(r):=(r*180)/ %pi. Notar que el nmero PI en Maxima serepresenta por la variable %pi.4. Utilizamos la funcin acos (arco-coseno) para calcular el ngulo en radia-nes. acos((v.w)/(modulo(v)*modulo(w))),numer;5. Y por ltimo pasamos el resultado a grados. pasaagrados( %),numer. Vergura (6.5).Miguel A. JorqueraPgina 44 6.5. NGULO ENTRE ELEMENTOS DEL ESPACIOFigura 6.6: ngulo entre dos vectores (directo)6. Podramos crearnos una funcin para que haga todos estos pasos de una so-la vez. ang2vect(v,w):=pasaagrados( acos((v.w)/(modulo(v)*modulo(w))));ypodremoscalcularelnguloentredosvectoressimplementeponiendoang2vect(v,w),numer;. Esto se puede ver en la gura (6.6).6.5.2. ngulo entre dos rectasSuponemos que las dos rectasryr

se cortan ya que si son coincidentes oparalelas el ngulo que forman es 0.En el caso de que se corten el ngulo que forman ser el menor de los ngulosque forman sus respectivos vectores directores.Independientementedel sentidodelosvectoresdirectoresdelasrectas, elngulo entre dos rectas se puede calcular a partir de la expresin: cos(r, r

) =|cos( ur,ur )| =urur

|ur||ur |Por tanto, sabiendo calcular el ngulo entre dos vectores podemos calcularel ngulo entre dos rectas.Como ejemplo vamos a calcular el ngulo formado por las rectas de ecuacio-nes:r x21=y51=z13yr

x+21=y11=z10Empezamos introduciendo sus vectores directores (-1,1,3) y (-1,-1,0) respec-tivamente.Antes hemos denido una funcin que calculaba el ngulo entre dos vectores:ang2vect(v,w):=pasaagrados( acos((v.w)/(modulo(v)*modulo(w))));Lonicoquehayquecambiaahoraes quetenemos quetomar el valorabsoluto del coseno, y eso se hace en wxMaxima con la funcin abs(). Por tantodenimoslafuncinquecalcularel nguloentredosrectasdelasiguienteforma:ang2rectas(v,w):=pasaagrados( acos(abs((v.w)/(modulo(v)*modulo(w)))));Miguel A. JorqueraCAPTULO 6. GEOMETRA AFN Y EUCLDEA Pgina 45Figura 6.7: ngulo entre dos rectasEnlagura(6.7)semuestranlosclculosrealizadosenwxMaximaparallegaralaconclusindequelasrectassonperpendicularesyqueel nguloformado por ellas es de 90.6.5.3. ngulo entre dos planosPara el caso de dos planos y

que se cortan en una recta, podemos calcularel ngulo que forman a partir de sus vectores normales. Si = ( n , n

)entonces(,

)=180 ypodemoscalcularel nguloentrelosdosplanos, indepen-dientemente del sentido de los vectores normales, con ayuda de la expresin:cos(,

) = |cos( n , n

)| = n n

| n|| n

|queeslamismaqueenelcasodedosrectas,peroahoraconlosvectoresnormales de los planos. En wxMaxima podemos usar la funcin ang2rectas(v,w)denida antes.En la gura (6.8) se muestra cmo calcular el ngulo formado por los planos : x + y 3z = 1 y

: 2x 3y + 2z = 2.6.5.4. ngulo entre recta y planoSearlarectadevectordirector u yel planodevectornormal n . Si=( u , n )entonces(r, )=90 yportantosen(r, )=sen(90 )=cos() =cos( u , n ). Laexpresinqueutilizaremos paracalcular el nguloentre la recta y el plano, independientemente de los sentidos de los vectores, esla siguiente:sen( r, ) = |cos( u , n

)| = u n

| u || n

|Tendramos que denir una nueva funcin que calcule el arcoseno en vez delarcocoseno:Miguel A. JorqueraPgina 46 6.6. PROYECCIONESFigura 6.8: ngulo entre dos planosangrectpla(v,w):=pasaagrados( asin(abs((v.w)/(modulo(v)*modulo(w)))));6.6. Proyecciones6.6.1. Proyeccin de un punto sobre un planoLa proyeccin de un punto sobre un plano se calcula en dos pasos:1. Hallar la recta que pasa por el punto y es perpendicular al plano.2. Hallar la interseccin de la recta anterior con el plano.Vamos a calcular la proyeccin del punto P=(1,1,-2) sobre el plano : x +2y +3z = 11.En el primer paso, la recta r, perpendicular al plano que pasa por P, quedadeterminada por el punto P=(1,1,2) y su vector director vr= n= (1, 2, 3) quees el vector normal al plano.r x11=y12=z+23___x = 1 + ty = 1 + 2tz = 2 + 3tAhoraenel segundopasosetrataderesolverel sistemaformadoporlasecuaciones de la recta r y del plano.Para ello, primero introducimos las ecuaciones paramtricas de la recta as:x:1+t;y:1+2*t;z:-2+3*t;Despus introducimos la ecuacin del plano x+2*y+3*z-11=0; y pulsamosel botn Resolverpara despejar t, que, en este caso, resulta ser t=1.Por ltimo escribimos t:1;x:1+t;y:1+2*t;z:-2+3*t; para indicar que ya sabe-mos lo que vale t y queremos saber lo que valen (x,y,z) que son las coordenadasde la proyeccin buscada. Ver gura (6.9).Nota: Otra forma de calcular la proyeccin es utilizando las ecuaciones gene-ralesoimplcitasdelarectayjuntarlasconlaecuacindelplanopararesolver el sistema de ecuaciones compatible determinado que resulta.Miguel A. JorqueraCAPTULO 6. GEOMETRA AFN Y EUCLDEA Pgina 47Figura 6.9: Proyeccin de un punto sobre un plano6.6.2. Proyeccin de un punto sobre una rectaLa proyeccin de un punto sobre una recta se calcula en dos pasos:1. Hallar el plano que pasa por el punto y es perpendicular a la recta.2. Hallar la interseccin del plano anterior con la recta.Vamos a calcular la proyeccin del punto P=(2,0,-3) sobrela rectar:x12=y+11=z2.Enel primerpasohallamosel planoperpendiculararquepasaporP.: 2x + y 2z + D=0.ComoP=(2,0,-3),ledecimosawxMaximaquedespeje D de la ecuacinP n + D = 0 siendo n el vector normal del plano.Una vez que tenemos la ecuacin del plano, pasamos al segundo paso y ha-llamos la interseccin de la recta en paramtircasr ___x = 1 + 2ty = 1 + tz = 0 2tyel plano : 2x + y 2z 10 = 0 obteniendo como solucin el punto (3,0,-2).Ver gura 6.10.6.6.3. Proyeccin de una recta sobre un planoLa proyeccin de una recta sobre un plano se calcula en dos pasos:1. Hallar el plano que contiene a la recta y es perpendicular al plano dado.2. Hallar la interseccin de los dos planos.Como ejemplo vamos a calcular la ecuacin de la recta proyeccin de la rectar _2x 3y + z = 1 y + 3z = 4sobre el plano : 2x y + 3z + 5 = 0.Miguel A. JorqueraPgina 48 6.7. DISTANCIAS EN EL PLANOFigura 6.10: Proyeccin de un punto sobre una rectaComo primer paso hallamos el plano

que contiene a r y es perpendicular a considerando que todos los planos que contienen a r son los del haz de planos:t(2x3y +z 1)+s(y +3z +4) = 0) escribiendo en wxMaxima t*(2*x-3*y+z-1)+(-y+3*z+4)=0; (Notar que hemos hecho s=1 para simplicar los clculos) yluego pulsando el botn Simplicarpara obtener una expresin simplicada.Ahoracomoy

sonperpendiculares,susvectoresnormalestambinlosern.Denimosn1yn2comosusvectoresnormalesyleimponemosquesuproducto escalar es 0 para as poder despejar t de la expresin resultante.Resulta t=-1, por lo que poniendo t:-1 y la expresin del haz de planos otravez tendremos la ecuacin del plano

: 2x+2y +2z +5 = 0 que junto con laecuacin de : 2x y + 3z + 5 = 0 forman la ecuacin de la recta proyeccin.Podemos ver el desarrollo en la gura (6.11).6.7. Distancias en el plano6.7.1. Distancia entre dos puntosLadistanciaentreel puntoPyel puntoQvienedadaporel mdulodelvector PQ, es decir,d(P, Q) = |PQ|.Por ejemplo, la distancia entre P=(1,2,3) y Q=(4,5,6) se calcula en wxMa-xima utilizando la funcin modulosobre el vector Q-P. Ver gura (6.12).Miguel A. JorqueraCAPTULO 6. GEOMETRA AFN Y EUCLDEA Pgina 49Figura 6.11: Proyeccin de una recta sobre un planoFigura 6.12: Distancia entre dos puntosMiguel A. JorqueraPgina 50 6.7. DISTANCIAS EN EL PLANOFigura 6.13: Distancia de un punto a un plano6.7.2. Distancia entre un punto y un planoVamos a denir una funcin que utilice la frmula que calcula la ditancia deun puntoP= (p1, p2, p3) al plano : Ax + By + Cz + D = 0 que es:d(P, ) =|Ap1+Bp2+Cp3+D|A2+B2+C2Loquenecesitamossonlascoordenadasdel puntoyloscoecientesdelaecuacindelplano.Elpuntotendr3coordenadasyelvectordecoecientescuatro. Representaremosal planoporn=(A,B,C)yD. Portantopodemosdenir la funcin dist(P,plano) como sigue:dist(P, n, D) := abs(P.n + D)/modulo(n);Como se puede obserbar, se vuelve a utilizar la funcin modulo.En la gura (6.13) se muestra cmo calcular la distancia del punto P=(1,2,3)al plano: 3x + 4y 6 = 0. En este caso n=(3,4,0) y D=-6. Notar que paraintroducir la constante D=-6 lo que hacemos es poner D:-6.Ejercicio: Hallalaecuacindel planoparaleloal plano:4x+7y-4z-12=0yque diste de l 3 unidades.Los planos paralelos al dado son de la forma 4x+7y-4z+D=0Tomamos un punto deP , por ejemplo P=(3,0,0)Utilizamos la funcin dist(P,n,D) con P=(3,0,0) ,n=(4,7,-4) y D descono-cida y la igualamos a 13, obteniendo una ecuacin donde la incgnita esD.modulo(v):=sqrt(apply("+",v^2));dist(P,n,D):=abs(P.n+D)/modulo(n);P:[3,0,0];n:[4,7,-4];dist(P,n,D)=3;Resolvemos la ecuacin.solve([ %], [D]); (pulsamos el botn Resolver e indicamos que la va-riable es D)Miguel A. JorqueraCAPTULO 6. GEOMETRA AFN Y EUCLDEA Pgina 51Figura 6.14: Ejercicio distanciaswxMaxima nos da el resultado [|D+12|=27] que se trata de una ecua-cin donde aparece un valor absoluto. Esta ecuacin se descomponeenotrasdos:D+12=27y-(D+12)=27quehabraqueresolverporseparado.solve(D+12=27,D); enel menEcuaciones->Resolvereintrodu-ciendo la ecuacin y la variable D. La solucin es D=15.solve(-(D+12)=27,D) cuya solucin es D=-39.Se puede observar en la gura (6.14) que hay dos soluciones para D que signicaque ya dos planos paralelos al dado que distan 3 unidades del mismo.6.7.3. Distancia entre un punto y una rectaPara calcular la distancia de un punto P a la recta r, tenemos que usar elproducto vectorial y la frmula d(P, r) =| v xAP|| v |, siendo A un punto cualquierade r y v el vector director de r.Para usar esta frmula podemos denirnos la siguiente funcin:dist(A,P,v):=modulo(express((v~(P-A))))/modulo(v);Veamos los pasos a seguir para calcular la distancia del punto P=(1,2,3) ala rectar x+12=y1=z22.Miguel A. JorqueraPgina 52 6.7. DISTANCIAS EN EL PLANOFigura 6.15: Distancia de un punto a una rectaload(vect); Cargamosel paquetevectparapoderusarlaoperacindelproducto vectorial.modulo(v):=sqrt(apply("+",v^2)); Denimos la funcin modulo, si es queno la tenemos an.dist(A,P,v):=modulo(express((v~(P-A))))/modulo(v); Denimos la funcindist antes descrita.A:[-1,0,2];P:[1,2,3];v:[-2,1,2];Denimos el punto P, un punto A de r y elvector director de r como v.dist(A,P,v); Aplicamos la funcin dist y obtenemos que la distancia son 3unidades.Ver gura (6.15).6.7.4. Distancia entre dos rectas que se cruzanDadasdosrectasquesecruzanenel espacio, rys, podemoscalcularladistanciaalaqueseencuentranlaunadelaotraapartir desus vectoresdirectores y un punto de cada una utilizando el producto mixto. La distanciaentre ellas se puede obtener a partir de la expresin: d(r, s) =|[vr, vs,PQ]||vr vs|, siendoPun punto der,Q un punto des y vry vslos respectivos vectores directores.TenemosquedenirunafuncinenMaximaquenoscalculeladistanciaentredosrectasdadosdospuntosylosdosvectoresdirectores. Porejemplo,dist2rectas(P,Q,u,v):=abs(determinant(u,v,Q-P))/modulo(express(u~v));Como ejemplo, calcularemos la distancia entre las rectasr x+22=y17=z56ys x1=y+15=z6Miguel A. JorqueraCAPTULO 6. GEOMETRA AFN Y EUCLDEA Pgina 53Figura 6.16: Distancia entre dos rectas que se cruzanload(vect); Cargamosel paquetevectparapoderusarlaoperacindelproducto vectorial.modulo(v):=sqrt(apply("+",v^2)); Denimos la funcin modulo, si es queno la tenemos an.dist2rectas(P,Q,u,v):=abs(determinant(matrix(u,v,(Q-P))))/modulo(express(u~v));Denimos la funcin dist2rectas antes descrita.P:[-2,1,5];Q:[0,-1,0];u:[2,7,6];v:[-1,5,6]; Denimos el punto P de r, el pun-to Q de s, el vector director u de r y el vector director v de s.dist2rectas(P,Q,u,v); Aplicamos la funcin dist2rectas y obtenemos que ladistancia es25757.En la gura (6.16) se muestra la pantalla de wxMaxima.6.8. Perpendicular comnHay varias formas de obtener la recta perpendicular comn a otras dos rectasque se cruzan en el espacio. Con ayuda de wxMaxima seguiremos el siguienteprocedimiento analtico.1. Partimos de dos rectas r y s que se cruzan, siendo vry vssus respectivosvectores directores. Calculamos el vector w= vr vs que es perpendicularar ys.2. Hallamos el planor, que contiene a la rectar y al vector w.3. Hallamos el planos, que contiene a la rectas y al vector w.Miguel A. JorqueraPgina 54 6.8. PERPENDICULAR COMN4. La recta perpendicular comn buscada ser la interseccin de los planos y

, que podemos expresarla en forma implcita o general y ya la ten-dramos.Veamos ahoraunejemploconcreto, dondedeterminaremos laperpendicularcomn a las rectas:r :x12=y1=z+13ys :x2=y21=z23Loprimerodetodoseraestudiarlaposicinrelativa, paraloqueto-mamoslosvectores vr=(2, 1, 3), vs=(2, 1, 3)y PQ=(1, 2, 3),siendoP= (1, 0, 1) ryQ = (0, 2, 2) s. Se observa a partir de losvectores directores que las rectas no son coincidentes ni paralelas. Comodet( vr, vs,PQ) = 18 = 0 podemos asegurar que las rectas se cruzan. Si eldeterminante fuese 0 las rectas se cortaran en un punto. En wxMaximase hara as:vr:[-2,1,3]; vs:[2,-1,3]; P:[1,0,-1]; Q:[0,2,2];determinant(matrix[vr,vs,(Q-P)]);Calculamos w= vr vsas:load(vect);w:express(vr~vs);Hallamos el plano a partir del puntoPy dos vectores l.i. vry w.A:[x,y,z]; Denimosel puntogenricoAparapoderdeterminarlaecuacin del plano.determinant(matrix[vr,w,(A-P)])=0;La respuesta es 3*(6*y-12*(x-1))-30*(z+1)=0 y si pulsamos en Sim-plicar resulta -30*z+18*y-36*x+6=0 y si despus pulamos el botnFactorizarobtenemos -6*(5*z-3*y+6*x-1)=0.Podemos interpretar que la ecuacin del plano buscada es: 6x3y +5z 1 = 0Repetimos la misma operacin para hallar el plano

a partir del puntoQ y dos vectores l.i. vx y w.determinant(matrix[vs,w,(A-Q)])=0;La respuesta es 30*(z-2)+3*(6*(y-2)-12*x)=0 que tras simplicar re-sulta 6*(5*z+3*y-6*x-16)=0.Concluimos que la ecuacin del plano es: 6x 3y 5z + 16 = 0Por lo tanto la ecuacin de la recta perpendicular comn es:_6x 3y + 5z 1 = 06x 3y 5z + 16 = 0Ver gura (6.17).Miguel A. JorqueraCAPTULO 6. GEOMETRA AFN Y EUCLDEA Pgina 55Figura 6.17: Perpendicular comnMiguel A. JorqueraPgina 56 6.8. PERPENDICULAR COMNMiguel A. JorqueraCaptulo 7Lmites y continuidadEn este tema vamos a empezar a trabajar con funciones y wxMaxima nosayudarenel clculodelmites, conloquepodremosestudiarlasasntotashorizontales, verticales y oblicuas.7.1. Clculo de lmitesEn el men Anlisis->Calcular lmite ... tenemos la posibilidad de introdu-cirunafuncin, lavariable, yel puntoenel quequeremoscalcularel lmite.Ademspodemosindicarsiesporlaizquierdaoporladerecha.Enelbotnse puede elegir innito, menos innito, el nmero e y el nmero Pi.La funcin para calcular lmites en Maxima es: limit(funcin, variable, pun-to)Siqueremosindicarqueellmiteesporlaizquierdaoporladerechahayque aadir un parmetro ms a la funcin limit con el valor minus o plus.Es importante conocer cmo introducir a mano los valores a los que tiendela variable.Mas innito: infMenos inito: minfValor indenido: undEl nmero e: %eEl nmero Pi: %piwxMaxima nos dar el resultado del lmite independientemente de que encuentreindeterminaciones o no. Veamos algunos ejemplos.limx+3x4+2x254x47que presenta una indeterminacin del tipo.limx22x28x2+x2que presenta una indeterminacin del tipo00.limx0x2xx+42que tambin presenta una indeterminacin del tipo00.57Pgina 58 7.1. CLCULO DE LMITESFigura 7.1: Lmites de funciones 1Figura 7.2: Lmites de funciones 2El resultadodeestos3lmitesseobtienesiguiendoel mismoprocedimiento.Vamos al men Anlisis ->Calcular lmite ... y en la ventana que aparece, re-llenamos los campos con los datos de la funcin, la incgnita y el punto al quetiende la incgnita. Ver gura (7.1).La mayor dicultad est en escribir la expresin de la funcin que se puedecomplicar. En el ltimo caso, notar cmo hemos puesto sqrt(x+4) para referirnosa la raz cuadrada de x+4.Tambin podramos haber calculado estos lmites sin utilizar el entorno gr-co, escribiendo directamente la funcin limit. En la imagen (7.2) se muestra elresultado de estos clculos.Pasamos ahora a calcular otros tres lmites que presentan distintos tipos dediscontinuidades, pero que Maxima los resuelve sin problemas.En concreto las indeterminaciones son de los tipos 0 , y 1.limx3x42 (2x 3) =0que se obtiene escribiendolimit((3*(2*x-3))/(sqrt(x^4-2)), x, minf );Nos pregunta que si x es positivo o negativo,entonces escribimos n(negativo) y pulsamos INTRO.limx+[x2+ 5(x+2)] = 2 que se obtiene escribiendo limit(sqrt(x^2+5)-(x+2),x,inf );limx+_x2+3x21_2x= 1 que se obtiene escribiendo limit(((x^2+3)/(x^2-1))^(2*x),x,inf );Miguel A. JorqueraCAPTULO 7. LMITES Y CONTINUIDAD Pgina 59Figura 7.3: Lmites de funciones 3Figura 7.4: Lmites de funciones 4Slo hay que introducir correctamente la expresin de la funcin y el punto adonde tiende la variable x. Ver gura (7.3).Ahora vamos a ver cmo resolver indeterminaciones del tipo.Tomemos como ejemplo el limx3x+5x3.Si ponemos directamente limit((x+5)/(x-3),x,3); el resultado ser undquesignica que no existe el lmite, por lo que pasamos a estudiar los lmites late-rales.limit((x+5)/(x-3),x,3,minus); y limit((x+5)/(x-3),x,3,plus);y obtenemos que el lmite por la izquierda e menos innito y por la derechams innito. Ver gura (7.4).Porltimocalcularemosdoslmitescuyasindeterminacionessondel tipo00y 0respectivamente.limx0(senx)x= 0 quese calculaescribiendolimit(sin(x)^x,x,0); Nospre-gunta si x es positivo o negativo y le digamos lo que le digamos el resultadoes el mism.limx+(2x1)2x+1= 4 que se calcula escribiendo limit((2^x-1)^(2/(x+1)),x,inf );Ver gura (7.5).Miguel A. JorqueraPgina 60 7.2. ASNTOTASFigura 7.5: Lmites de funciones 57.2. Asntotas7.2.1. Asntotas Verticales7.2.2. Asntotas Horizontales7.2.3. Asntotas Oblcuas7.3. EjerciciosMiguel A. Jorquerandice de guras2.1. Pantalla inicial de wxMaxima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2. Ejemplos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.1. Introducir matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2. Operaciones Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3. Rango e Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.4. Matriz transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.5. Matriz Triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.6. Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.7. Matriz adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.8. Solucin Matrices y Determinantes. Ejercicio 1 . . . . . . . . . . 193.9. Solucin Matrices y Determinantes. Ejercicio 2 . . . . . . . . . . 203.10. Solucin Matrices y Determinantes. Ejercicio 3 . . . . . . . . . . 203.11. Solucin Matrices y Determinantes. Ejercicio 4 . . . . . . . . . . 213.12. Solucin Matrices y Determinantes. Ejercicio 5 . . . . . . . . . . 223.13. Solucin Matrices y Determinantes. Ejercicio 6 . . . . . . . . . . 223.14. Solucin Matrices y Determinantes. Ejercicio 7 . . . . . . . . . . 233.15. Solucin Matrices y Determinantes. Ejercicio 8 . . . . . . . . . . 234.1. Introducir Ecuaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2. Resolver S.C.D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.3. Resolucin de sistemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.4. Sistema con parmetros 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.5. Resolver S.C.D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.6. Resolver S.C.I con parmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.7. Resolver S.C.I. con parmetros 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.8. Distinto n de ecuaciones que de incgnitas 1 . . . . . . . . . . . 314.9. Distinto n de ecuaciones que de incgnitas 2 . . . . . . . . . . . 325.1. Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.2. Mdulo de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.3. Vector unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.4. Producto Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.5. Vectores l.d. y l.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.6. Vectores l.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.7. Ejercicio1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.1. Paso de implicitas a paramtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 4061Pgina 62 NDICE DE FIGURAS6.2. Ecuacin implcita del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.3. Posicin relativa entre 2 rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.4. Posicin relativa entre una recta y un plano . . . . . . . . . . . . 426.5. ngulo entre dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.6. ngulo entre dos vectores (directo) . . . . . . . . . . . . . . . . 446.7. ngulo entre dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.8. ngulo entre dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.9. Proyeccin de un punto sobre un plano . . . . . . . . . . . . . . . 476.10. Proyeccin de un punto sobre una recta . . . . . . . . . . . . . . 486.11. Proyeccin de una recta sobre un plano . . . . . . . . . . . . . . 496.12. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.13. Distancia de un punto a un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.14. Ejercicio distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.15. Distancia de un punto a una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.16. Distancia entre dos rectas que se cruzan . . . . . . . . . . . . . . 536.17. Perpendicular comn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.1. Lmites de funciones 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587.2. Lmites de funciones 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587.3. Lmites de funciones 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.4. Lmites de funciones 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.5. Lmites de funciones 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Miguel A. Jorquera