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TECHNISCHE MECHANIK 3(1982)Heft1
Manuskripteingang: 3. 9. 198-1
Die Berechnung beliebiger. physikalisch nichtlinearer Sdialen
mittels finiter Streifenelemente
D. Weber
1. Einleitung
Im folgenden Beitrag wird eine Übersicht über die physi-
kalischen Grundlagen und angewandten mathematischen
Methoden des Programmes EPSCHA (Elastisch-plastische
Berechnung beliebiger Schalen) gegeben, wobei jedoch
auf das verwendete Deformationsgesetz nicht näher ein-
gegangen wird Dieses wurde bereits in [2] ausführlich
dargestellt Unter dem Begriff „beliebige Schalen” sollen
dabei offene Schalen mit 4- Rinde bzw. geschlossene
Schalen mit 2 Rändern gemeint sein, die keine weiteren
Ausschnitte enthalten und deren Schalenmittelfläche
(SMF) sich somit durch eine nicht singuläre Vektor-
funktion
o
P’ 13(x1 , x2) m“
2,
r = 2 2. a;
auf ein viereckiges Gebiet abbilden läfit
ir'k : kartesische Koordinaten, k = l, 2, 3
x1 ‚ x2: Gaußsche Koordinaten zur Beschreibung der
SMF
Im Elementkatalog des Programms sind bisher 6 Flä-
chentypen enthalten, für die alle geometiimhen Größen
exakt berechnet werden. Dieser Katalog kann leicht
durch die Aufnahme weiterer Flächentypen ergänzt
werden.
Die Rechnung erfolgt mit normierten Gaußschen Koor-
dinaten, die Schalendicke kann sich bilinear mit den
Flächenkoordinaten ändern.
2. Die Verwendung orthogonaler Kraft- und Ver-
schiebungsgrößen
Zur Ermittlung der Schalenschnittgrößen wurde ein
orthogonales Basissystem zugrunde gelegt, obwohl die
Beschreibung der Schalengeometrie mit krummlinigen
und schiefwinkligen Flächenkoordinaten erfolgen kann.
Das hat die Vorteile, dafs das Deformationsgesetz in
orthogonalen Tensorkomponenten verwendet werden
kann und Normal- und Schubspannungen voneinander
von vornherein getrennt sind. Natürlich muß dabei in
Kauf genommen werden, da6 die Flächenkoordinaten
x1 und x2 nicht mehr gleichberechtigt behandelt wer-
den können und die bequeme Schreibweise bei der Be-
handlung der Theorie verloren geht. Da die unterschied-
liche Behandlung der Koordinatenrichtungen wegen des
angewendeten Rechenverfahrens (Ansätze in xz-Rich-
tung, Integration in xl-Richtung) sowieso unumgänglich
ist, bringt das für den Rechenablauf keine Nachteile.
In Bild 1 ist das verwendete Grundsystem dargestellt
s: 5"n
\/a11
ä
3’: a2
—+ ->
n = en x et
Bild l
—) -) . .
a1 , a2: kovanantes Basrssystem (Tangenten-
vektoren) i. a. nicht orthogonal, keine
Einheitsvektoren
5’ 1 kontravarianter Basisvektor 3’1 , ortho-
gonal zu 32 , i. a. kein Einheitsvektor
ii: Normalenvektor zur SMF (Einheits-
vektor)
3;: Einheitsvektor normal zum Schnitt
x1 = const. „
3;: Einheitsvektor in x2-Richtung
al l, 3112, a22: Metrikkoeffizienten
_ 2 11 _ 3'22
a ‘ 311322—312’ a ‘3—
Mit der Einführung der Einheitsvektoren 3;, a; ist es
möglich, den Verschiebungsvektor Vund den Verdreh-
vektorö> entsprechend Bild 2 in orthogonalen physika-
lischen Komponenten in „ko-kontravarianter” Schreib-
weise darzustellen
3 — v (1)
Z5 = we " (2)
Bild2
Benutzt man zur Diskretisierung des Schalenkontinuums
in x1 -Richtung eine Abschnittseinteilung entsprechend
dem Ubertragungsmatrizenverfahren (Linie x2 = const.)
und in x2-Richtung Ansatzfunktionen für vn, Vt, w, (P,
71
so ergibt sich als Teilelement ein finites Streifenelement
mit den Abmessungen x1 % x1 + Axl, x2 = O {— x2 = 1,
wie es im Bild 3 gezeigt wird
Bild 3
An d‘en Rändern x2 = const. werden auch entsprechen-
de orthogonale Verschiebungsgrößen definiert, die sich
durch folgende Lineartransformationen
812 + a
= — ————— v 1/ vn F—"‘ n t
1'11 a22 . a11 “22
t vn + vt
8|11 a22 w‘11 a22
<)
d)
ll
_i ¢+ a
“11322
S) l
v“11 “22 w
ergeben, so dafi die Randbedinglmgen einfach zu formu-
lieren sind.
3. Ableitung der Kanonischen Differential-
gleichungen aus dem Prinzip vom Minimum
der potentiellen Energie
3.1. Physikalüche Grundlagen
Ausgehend von dem im 2. Abschnitt dargestellten
Grundsystem und den Gleichungen (l) und (2) kann
der Verschiebungsvektor für den Schalenraum wie folgt
geschrieben werden:
l? = (vn—zw)e;+(vt—zill)?t+wfi (3)
mit
z = x3
Nimmt man an, da5 alle Punkte einer Normalen zur
Schalenmittelfläche der undeformierten Schale auch
nach der Verformung auf einer Normalen zur Schalen-
mittelfläche liegen (analog zur Kirchhoffschen Hypo-
these bei Platten) ergibt sich fiir (p und 11/
l
bll b_ 2
W " —V +-———v +Va11w +all n [I t ’1
all 322
a12 r (4)
+ W,
81.1 2
72
1
w,
V"‘22 2
_ 2 22|1] — Vn + a vt +
\/all a22 22
(5)
Dabei sind bll, bi, b22 Komponenten des Krümmungsf
tensors und a12 ist wiederum ein Metrikkoeffizient (es
gilt a12 = 0, wenn x1, x2 orthogonal).
Desweiteren Soll
Desweiteren soll ",a" die partielle Ableitung der ent-
sprechenden Größe nach xa bedeuten.
Gl. (4) wird dabei später als Zwangsbedingung benutzt,
da in ihr die Ableitung w,1 vorkommt. GI. (5) dient als
Eliminationsgleichung für ll! im Verlauf der weiteren
Rechnung.
Da die Schalenberechnung nur für kleine Verformungen
erfolgen soll, wird der Green’sche Verzerrungstensor der
Form
1 -> —-> —) a
eaß = gewann.) «5:12 <6>verwendet.
Dabei sind a], g; kovariante Basisvektoren des Schalen-
raumes. Mit Hilfe der Einheitsvektoren e,“ und?t gelingt
es, die physikalischen Komponenten des Verzerrungs-
tensors in n- bzw. t-Richtung zu bestimmen.
Man erhält
= mung; aß
en = (5:353:216: 35% (7)
e... =äl<ääa>ga<äzäß>sß+
+<ääsauääßäß1
Die Vektoren g)“, Ea erhält man aus Ex, a3 durch Herauf-
ziehen der Indizes mit Hilfe der Metrikkoeffizienten.
Macht man für in: einen Ansatz in orthogonalen Kom-
ponenten der Form
—> _ —> -> —>
u,ß — dnßen + dtßet + dßn, (8)
so ergibt sich nach dessen Einsetzen in die Formeln (7)
enn — (Eh dnß
«stt (5:35) dt <9)
1 —>—> —>
ent : §[(etgfi)dnfl+(en§6)
Die Größen dnß, dtß, dB ergeben sich aus Differentiation
von (3) und Koeffizientenvergleich zu
1 1
d _ F2:3 bßnß — Vnß—zwßi' (vt—zlß)— ‚ w
’ a11322 all
1F b2B ‚B2
dtß = Vt‚ß‘z"’‚ß‘T—*(Vn M— ——— Wa 322
b1 bß 52
d — w + __ (v z:.p)+ (v —le/)ß ß
Jan n ‘/"=‘22 t
Die ersten beiden Gleichungen von (10) kann man in
von z unabhängige bzw. von z linear abhängige Glieder
zerlegen
dnß z dnßo + Z dnßl
(11)dtß = dtßo + Z dtßl
Die letzte Gleichung von (10) wird für die weitere Be-
rechnung nicht benötigt.
Für ß = 1,2 ergibt sich für dnßo, dnm, dtßo und dtßl
folgender ausgeschriebener Formelapparat, wobei schon
III mittels (5) eliminiert wurde:
1 1l"
dlo‘v1+—21v— ___bl w 7
n n’ E t \/a11
1 1I‘ b
d * v +——-—22 v — 2 wn20 n,2 3 t
1
duo _ 1 ‘r‘é‘l' V but, - n —
\/322
1P b
dtzo ' Vt,2‘:2£"n‘ 22 W
a \/ a22
1 1
I‘ b 1
dnll ——lp’1 — 21< 2 n+£vt + — w’2)
a 3 a22 a22
d ——so —n21 ’2 n Vt “’12)
a a 8.22 l 822
1b b 1
dtll ' ‘33an ‘322 Vt,1 “ — “,12
22 x/322
1b 12 22
~ (r) vn <—) vt—< —) w‚2,1 2 ,1 \/a22 ,1
+ -—_21 va
1b b 1
d ‘ ——_2_ v _i2.v —
t21 — n,2 h2 — w’22a 322
<10) 1
1b b l
—' vn _ Vt _(r W92
a ,2 a22 ‚2 x/a22 ,2
1
+ .1112. so
'5 (12)
Dabei wurde aTals Abkürzung für \/a1 l 322 benutzt. Die
Christoffelsymbole I"; und Fäg sind geometrische
Größen und werden ebenso wie die Krümmungen vom
Programm exakt berechnet.
Die in (7) vorkommenden Produkte aus den Basisvekto-
ren der SMF mit denen des Schalem-aumes—g)‘3 der Form
5’135 = 515 und Z2 g’ß = 55
ergeben die zugehörigen Komponenten des Schalenten-
sors. Sie stellen die Verbindung zwischen den Größen
der SMF und des Schalenraumes her. Sie berechnen sich
aus
s1 ß : V3 [am — 411151); 415)]
g
(13)
s: 162 1—111mit
fl: 1_zbg+22(b}bä—bäbä) (14)
In den obigen Gleichungen ist 83 ein Kroneckersymbol,
b2 die doppelte mittlere Krümmung und der Klammer-
inhalt in (14) die Gaußsche Krümmung.
Für ß = 1,2 ergeben sich demnach 4 Schalentensorkom-
ponenten und in Verbindung mit V a1 1 und \/a22 die
4 Ausdrücke
511 SI 812
F = F = 2 F = _1 v 2 1 3 1
a11 G22 Jan
2 (15)
F = S2
a22
Die Abhängigkeit der Verzerrungen von der Schalen-
raumkoordinate z ist demzufolge nur in den Ausdrücken
(15) und durch das lineare Glied in (ll) vorhanden. Bei
der Berechnung der spezifischen inneren Energie (pro
Einheit der Koordinate x1) der Schale, die durch den
allgemeinen Ausdruck
1 _‚
Wi=—/(/6TE?Vde3)\/;dx2 (16)2x2 x3 3
73
mit E als Koeffizientenmatrix des Deformationsgesetzes
und 2’: (enn, em, Guilt gehildet wird, ergeben sich bei
elastischem Materialverhalten für die Integration über
die Schalendicke h und somit zur Ermittlung der örtli«
chen Steifigkeit für einen Punkt der SMF 3 verschiedene
Integrale, die in der Form
h
n 2 g
Kn: Hf Fisz“ ;dz n=O‚I,2
„2. ij = 1,2,3,4
dargestellt werden können.
Da in den Integranden nur rationale Funktionen von z
auftreten, können diese Integrale auch analytisch gelöst
und als fertige Formeln programmiert werden, so dafi
bei elastischem Materialverhalten die numerische Inte-
gration über die Schalendicke entfallen kann.
3.2. Die verwendeten Ansatzfunktionen
Zur Reduzierung des Problems bezüglich seiner Abhän-
gigkeit von mehreren Variablen werden für die Verschie-
bungskomponenten an den Schnitten x1 = const. An-
satzfunktionen der Form
IN 1 2 KZ ‘Vn: E vnk(x )fnk(x )+ Z er [Vnr(xl,x2)
- r=1
IN - 1 2
_k:21 mk(X )nt((x
IT 1 2 KZvt = E vtk(x )ftk(x )+ XI: er Vtr(xl,x2)
: r:
M:
‚F, Ergüsse]
Iw KZ
w = wk<x1>fwk<x2>+ c.[W.<x1.x2>
IW .—
_ k; w‘k(x1)fwk(x2)]
IW KZ
so = E wk<x1>fwk<x2>+ Eo. [5.<x1‚x2>k=l r=l
Iw — l 2
x; some: who: )] J
verwendet.
74
17H)
Dabei bedeuten
IN, IT, IW: jeweilige Anzahl der Ansatzfunk-
tionen
cr: Komponenten des Starrkörperver-
schiebungsvektors
vm, V", er, 6r: Starrkörperverschiebungsfunktio-
nen
Die Unabhängigkeit von IN und IT gewährleistet eine
bessere Anpaßmöglichkeit an das jeweilige Problem als
eine für beide Verschiebungen gleiche Funktionsanzahl.
Für w und «p ist eine solche Variabilität nicht möglich,
da beide Verformungen gemäß (4) über eine Zwangsbe-
dingung gekoppelt sind.
Es existieren die Spezialfälle
Scheibenproblem: IW = 0
Plattenproblem: IN = IT : 0,
wobei nur für die auftretenden Verformungsgrößen
Rechenzeit und Speicherplatz benötigt wird.
Die geforderten Eigenschaften der Ansatzfunktionen
sind
fk(x2) = 2
0 für x —xj
wobei mit x2.i alle anderen diskreten Ansatzstützstellen
gemeint sein sollen. Diese Bedingungen können mit
Polynomen (z. B. Lagrangesche oder Hermitesche) oder
mit Fourierreihen erfüllt werden.
Die Ansätze nach (I7) erlauben es, zu einer möglichen
Erhöhung der Rechengenauigkeit die in den Ansatzfunk-
tionen nicht enthaltenen Starrkörperverschiebungsfunk-
tionen (KZmax = 6) durch die in jeder Gleichung auf-
KZ
tretende zweite Summe ( E cr [ . . . ]) hinzuzufügen.
r=1
Dabei ist in dieser Darstellung schon die Bedingung ein—
gearbeitet, daß die Komponenten vn (x1), vt(x1), w(x1)
und ¢(x1) an den Ansatzstützstellen physikalisch blei-
ben sollen. Deshalb werden innerhalb der Starrkörper-
ausdrücke die Starrkörperverschiebungsanteile an den
Ansatzstützstellen wieder abgezogen. Hierbei gilt
_ l _. "’ 1 2vmk(x ) — vmk(x ,xk) usw. ,
so dal5 jeweils für x2 = x: die genannten Starrkörper-
ausdrücke entfallen. Das gilt nicht für alle übrigen
Werte von x2 z. B. für die Integrationsstützstellen,
sofern sie nicht mit den Ansatzstützstellen identisch
sind. I
Im Folgenden seien zum Vergleich einige Ansatzfunk-
tionsarten grafisch über der normierten Koordinate x2
dargestellt. In den zugehörigen Formeln bedeuten
p: Anzahl der Abschnitte zwischen den Ansatzstütz-
stellen, in die eine Linie x1 = const. eingeteilt wird.
In den Beispielen wird von äquidistanten Stützstellen
ausgegangen und mit einer Ausnahme p = 4 gewählt.
k: Nummer der Ansatzfunktionen. In den Beispielen er-
folgt die Darstellung immer für k = l.
Lagrangesche Polynome
2 l
2 P, (X _I—;)
1w > = H ——
k P
p:4, k l
1
311.14 ‚ ‚/\‚ 2
1 X
Hermitesche Polynome
2 2
2 _ X (X - 1)
Hk‘x) ‘ T;— W2)’1 (a - 1)
l p=4 k 1
1
Bild 5
‚x‘
o v 1 x2
Mit den Hermiteschen Polynomen der obigen Form wird
erreicht, daß für alle k i 0, p gilt
Hme;2 =0) = 0, Hk’2(x2 =1) = 0
Fourierreihen
Die nachfolgend aufgeführten Formeln und Bilder gelten
nur für geschlossene Probleme, bei denen gilt: Zustand
(x2 = 0) entspricht Zustand (x2 = 1),
beliebiges periodisches System, p ungerade
_ (—1)k sinp1rx2
2
Fk(x) ‘— “2—?
sin1r x ~—( P)
„3) k—‘I
Bild6 ‘
beliebiges periodisches System, p gerade
(_1)k sin p 11 x2
Fk (x2) cos1r(x2 —
~ 2311177 X — —
( P)
Bild 7
bei x2 = 0 und x2 = l symmetrisches Probleiläl
_lk simr—
Fgg,k(x2) : q (P) sinp1rx2
cos1r——eos7r x
0 <k<p p
k=0,p: (120,5
ksonst: q=1,0
Bild8 1
x2
11:4, kt]
\ ‚x‘
v 1
bei x2 2 O und x2 = 1 antimetrisches Problem
simrkk _
(-1) .Fuu,k(x2) = smpflx2 k 2
cos‘n———cos1rx
P
l<k<p—l
ptl. k I
1
Bild9 A Ä
a v 1 x?
bei x2 = 0 symmetrisches, bei x2 = 1 antimetrisches Pro-
blem
. 1r 2k am ——x
(—1) ~ 2 2 1r kFgu’k(x2) : 81“ p1rx k 0082,;
P x2cosnE—cosn’
‘ "”'“‘ 0<k<p—1
\ k= 0: q = 0,5
A ksonst: q=1‚0
o V 1 X’
Bildlo
bei x2 = 0 antimetrisches, bei x2 = l symmetrisches Pro-
blem
k cos fl x2
(—1) . ä . 1r k
Fug,k(x2> = 2‘1— ““Pnz - “ä;p cos1r——cos1rx2
P
‚ p=4. k=x
1 l<k<p
k=pz q=O‚5
o v a, :2 ksonst: q = 1,0
Bild ll
75
Mit den aufgeführten 5 verschiedenen Arten von
Fourierreihen sind alle geometrischen Randbedingungen
für die Verformungen erfüllbar. Benutzt man bei „of-
fenen” Problemen Lagrangesche und Hermitesche Poly-
nome, sind dafür 12 verschiedene Kombinationen nötig.
Zur Berechnung des elastischen Potentials werden die
Gln. (l7) durch Vertauschung der 2. und 3. Summe in
die folgende Form (hier als Beispiel fiir vn) gebracht:
IN KZ
v. = E <v„k<x1>f.k<x2>— Z7 cfimk<xl>>fnk<x2>k=1 r=l
KZ
— 1 2
+ Evm<x7x>r,
IN KZ
vn z E v* (x1)fnk(X2) + ZVMOCIJZ) (18)
k:1 nk r=1
mit
KZ _
vZk (X1) I vnk (x1) — Z: cr vmk(x1) (19)
r=1
Dadurch sind die Verschiebungskomponenten, die nur
noch von x1 abhängen, zusammengefaßt, allerdings ist
dann z. B. v*k keine physikalische Größe mehr. Für die
n
Berechnung der inneren Energie der Schale werden die
Starrkörperverschiebungsfunktionen weggelassen, da sie
keinen Einfluß auf die Verzerrungen und Spannungen
haben.
Der Verschiebungsvektor für einen Schnitt x1 I const.
hat damit die Komponenten
‘9 l _ * * ‚ -x- -x- _v(x )— {vnl,...,vnIN‚ vtl,...,vtIT‚
was w-x- _ * was T
Iw’ “01"" 1W}
oder anders ausgedrückt
" 1 = * * T 21v(x) {V1,...,VIZ} ( )
3.3. Darstellung des elastischen Potentials
Die kanonischen Differentialgleichungen werden aus
dem Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie her-
geleitet. Das elastische Potentialn errechnet sich be—
kanntlich aus
H = f1 U(x1)dx1= [(Wi—Wäu)dxl (22)
l I
gle)
Wäu: Spezifische Arbeit der äußeren Belastung und
Volumenkräfte
Ersetzt man in (16) den Verzerrungstensor durch die
Verformungen sowie zugehörigen Ableitungen nach den
76
W.: Spezifische innere Energie (Formänderungsener-
Schalenkoordinaten mit den Gleichungen (9) — (l4),
verwendet fiir die Verformungsseparation Ansatzfunk-
tionen gemäß 3.2., ordnet die Verformungsgrößen unter
Berücksichtigung des Auftretens ihrer l. Ableitungen
und ersetzt v* (x1) nach (19), so erhält man für I1 einen
hier in Komponenten geschriebenen Ausdruck der
Form
1 „ T ‚ ‚ D1'1: [{EAvivijAimvikmeAijvivj
1 11 M 10x
I ‚ 1
+Aievice+Aivi+Q-AviijrAmjvjÄm
It: 1 00 N)
1
+ Aievice+Aivi+fiAkeckce+ i0c 0 cc (23)
+ AmckmcchAmkm+Akck dx1 J
N: Ä c
— chk—->Min. g
Ö()wobei zur Abkürzung ( )' gleich ä—l sein soll.
x
Alle Terme mit dem Index Ä gehören zu den mit dem
Lagrangeschen Faktor km als Nebenbedingung hinzuge-
fügten Zwangs- und Randbedingungen. Die Randbedin-
gungen für die Ränder x2 = const. sind hier deshalb mi;
eingearbeitet worden, damit sie auch erfüllt werd‘s
können, falls die gewählten Ansatzfunktionen das nici‘l
von selbst tun, was nur bei Verwendung orthogmml r
Koordinaten erreicht werden kann. Das bedeutet zmr
einen höheren numerischen Aufwand, man hat aber
dadurch größere Freiheit bei der Wahl der Ansatzfunk-
tionen und Schalenkoordinaten.
Die Elemente der Matrizen AI, A0 und (AU sind Integrale
über die Schalendicke und die Streifenbreite von x2 = 0
bis x2 = l. Hier gehen das Deformationsgesetz und
geometrische Größen der SMF und des Schalenraumes
ein. Für ein Streifenelement der Länge Axl beschreiben
sie zusammen dessen Steifigkeit.
In A und IOX sind die Belastungsgrößen enthalten — "
sowohl die äußeren als auch die thermischen, wobei die
letzteren dem verwendeten Deformationsgesetz mit
Temperaturgliedern entsprechen. Alle Terme mit Index c
gehören zu den Starrkörperverschiebungsgliedem, die in
den Komponenten v:(x1) gemäß (l9) enthalten sind.
Diese lassen sich aus ä, 1A0, (Ad A, [3, X}, )e) und den
Starrkörperverschiebungsfunktionen an den Ansatzstütz-
stellen berechnen. Der Ausdruck Fk ck in (23) steht für
die Arbeit der Resultierenden der äußeren Belastung in
Verbindung mit den Starrkörperverschiebungen.
Um zu den gewünschten kanonischen Differentialglei—
chungen zu gelangen, werden zunächst nach dem For-
malismus von Hamilton-Jacobi folgende partielle Diffe-
ratnialausdrücke gebildet:
iU— = f. = A..vf+A’.r 7\ +A..v.+A. c +A,
3V; ‘ 11" J Mm" m 101J 1c16 6 1l
ca
8U _ w ‚
arm ‘ 0 " fimjvj‘*;3mjvj+giece+§m (25)
3U— : £1 = ATVC+A.T i +A„v.+A. c +A_
ÖVi l 10lj J Äolm m 001] ’ 0016 e 01
(26)
Die Größen fi sind dabei die verallgemeinerten Schnittu
kräfte
a o
f : {Zn1‚_„‚ZnIN; Zt1‚...,ZtIT7
r ‚ T
zw1,...,zwiw, z‘pl,...,zwlw}
G1. (25) stellt die verallgemeinerte Zwangsbedingung dar,
in der die Randbedingungen für Ränder x2 = const. ent-
halten sind.
Das Gleichungssystem aus (24) und (25) wird nun zu-
nächst vom Programm nach den vi und km aufgelöst. Die
Lösung findet Eingang in (26), so daß sich mit ein
Differentialgleichungssystem der Form
7 _ + ‘5‘
vi Bil. vj „die Ce + Bi.i fj + Bi
vv vc vf
anfi Bijvi+Bie Ce+B..f:i+f}‘3i
fv fc ff 1’
ergibt.
Berücksichtigt man, daß für die in den Ansatzfunktionen
nicht enthaltenen und deshalb dazu gefügten Starrkör—
perverschiebungsfunktionen bezüglich ihrer zugehörigen
Komponenten gilt
8U
öck
=0
so folgt damit aus (23) für Fk die Gleichung
_ T ‚ T T 1Fk— f (Akj vj + Akm Äm + Akj V]. + Ake ce +Ak)dx
X1 1c Kc 0c cc c
zu den Gln. (27) kommt deshalb noch die Gl.
F': .v~+ c+B-f-+B 28
kräkl’rlikeerfk“ Fk ()
dazu. Sie gehört physikalisch zur Gl. für f
Analog dazu gehört zu der Verschiebung v; eine Glei-
chung 0L z 0. Diese ist identisch erfüllt, da alle ck Kon—
stanten sind. Das gesamte kanonische Differentialglei-
chungssystem hat nun endgültig die Form
N
ä Mr
F: r—l
H II
.‚.. ‚M
I Q.)
u 2
a g ._ c: .„ cA w m > m ab.
(x o o o o
q.‘
.. o p .—.
w“ m t: m 2: m m
Tm
u o o 0q) H .‚q mu
o CG g m 3 CG [1"
:‘ o z: H>
>"‘ CO g CG g: m
_ \ M „x
‘> 6“ w" h
T»
Das dick eingerahmte Feld enthält die Elemente einer
Matrix B(x1)‚ welche?” mit?! in der Form
?'=B?+F
verknüpft.
Dieses Differentialgleichungssystem wird mit dem
Runge-Kutta-Verfahren — gekoppelt mit dem Übertra—
gungsmatrizenverfahen — numerisch gelöst. Die am An-
fangsrand maximal auftretenden lZ + KZ Unbekannten
werden durch ebensoviel Bedingungsgleichungen am
Endrand bestimmt, so dafs das zu lösende Gleichungs-
system im Gegensatz zu den üblichen FEM relativ klein
ist.
Für elastisch—plastisches Materialverhalten kann das"
elastische Potential in gezeigter Form beibehalten wer-
den, nur ist es dabei für die Verformungsinkremente
zu schreiben.
Im Verlauf der Rechnung wird ab elastischer Grenzlast
die Belastung in kleinen Schritten aufgebracht und ent-
sprechend dem vorher erreichten Zustand und des zu
erwartenden Zustandes (durch eine gewisse „Voraus-
schau") die Steifigkeit des Systems neu berechnet.
4. Anwendung
Das auf der vorgestellten Theorie basierende EDV-Pro-
gramm ermöglicht eine elastisch-plastische Spannungs-
und Verformungsberechnung von dünnwandigen Scha-
len unter der Voraussetzung kleiner Verformung sowie
77
eben- und normalbleibender Querschnitte analog zur
Kirchhoffschen Hypothese bei Platten.
Bei elastisch-platischer Rechnung können sowohl die
kinematische als auch die isotrope Verfestigung und die
Temperaturabhängigkeit der Streckgrenze berücksich-
tigt werden.
Folgende Flächentypen, deren Geometrie exakt berech-
net wird, sind bisher im Katalog des Programmes ent—
halten:
schräg abgeschnittene Kreiszylinderfläche
Kugelfläche mit 2 Löchern
Torusfläche
Kegelfläche
exzentrisch gelochte Kreisscheibe
Regelfläche
Man kann aber auch die Geometrie der SMF durch
Randkoordinaten bzw. punktweise vorgeben.
Nachfolgend aufgeführte Belastungen sind im Programm
vorgesehen
Volumenlasten (z. B. Eigengewicht, Fliehkraft)
Flächenlasten (z. B. Druck in n—, t- und z-Richtung,
Schneelast)
Linienlasten in x1 - und x2-Richtung
Einzelkräfte
Temperaturbelastung (stationär oder instationär)
Hinsichtlich der geometrischen Möglichkeiten ist das
Programmsystem EPSCHA den Programmen auf Basis
der FEM unterlegen, da es auf Grund der angewandten
Methode an eine SMF gebunden ist, die sich auf ein
vierec'kiges Gebiet abbilden läfst. Dafür hat es jedoch
rechentechnisch einige Vorteile (es sind z. B. keine gro-
ßen Gleichungssysteme zu lösen), so daß es sich sehr gut
für Variantenrechnungen eignet.
Das eingebaute nichtlineare Deformationsgesetz erlaubt
es z. B., Best— und Eigenspannungen (Anpassungsproble—
me), Schnittgrößenumlagerungen, die Ausbreitung pla-
stischer Gebiete und plastischer Verformungslokalisie-
rungen zu berechnen bzw. zu ermitteln. Diese Möglich-
keiten sind neben der bisher üblichen Festigkeitsberech-
nung nach der Elastizitätstheorie bzw. Traglasttheorie
vor allem dort interessant, wo Lastzyklen gefahren wer-
den wie z. B. im Chemie-, Kraftwerksanlagem und
Dampferzeugerbau.
Die geringe Zahl von Eingabedaten und die vorhandenen
Regiemöglichkeiten für die Datenausgabe machen das
erarbeitete EDV-Programmsystem EPSCHA anwendet-
freundlich.
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LITERATUR
[1]Weber, D.: Numerische Berechnung elastisch—plastischer
Scheiben mit dem Programm EPESUV. Broschüre des Wei-
terbildungszentrums Festkörpermechanik Konstruktion und
rationeller Werkstoffeinsatz der TU Dresden, Heft 2/78.
[2]Weber, D.: Beitrag zur Berechnung elastisch-plastischer Schei-
ben. Broschüre des Weiterbildungszentrums Festkörperme—
chanik Konstruktion und rationeller Werkstoffeinsatz der
TU Dresden, Heft 2/77.
[3] Schmidt, R.: Traglastberechnung allgemeiner Schalen mittels
kinematischer Methode. (Dissertation), TU Dresden, 1977.
[4]Kodira‚ A.: Makroelementberechnung von beliebig gekrümm-
ten Schalen. (Dissertation), TU Dresden 1977.
Anschrift des Verfassers:
Dr.-lng. D. Weber
Akademie der Wissenschaften der DDR
Zentralinstitut für Festkörperphysik und Werk-
stofforschung
8027 Dresden, Helmholtzstr. 20