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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA
FACULTAD DE INGENIERA GEOLGICA MINERA Y METALRGICA
SECCIN DE POSTGRADO
APLICACIN DE MICROSCOPA EN ELPROCESAMIENTO DE MINERALES POR
FLOTACIN
TESIS
PARA OPTAR EL GRADO ACADMICO DE MAESTRO ENCIENCIAS CON MENCIN EN
INGENIERA METALRGICAPRESENTADO POR
JOSE REMIGIO MANZANEDA CABALA
LIMA-PERU2010
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RESUMEN
Desde aproximadamente 1976 la evolucin de la microscopia ptica en
luz reflejada tuvo un desarrollo importante con la creacin del sistema de
grado de Liberacin propuesto por el Dr. Cesar Cnepa, con el cual se
logr hacer estudios sobre el esquema de identificacin y cuantificacin
de especies minerales libres y mixtas en distintos puntos del proceso de
flotacin, especialmente en productos intermedios del circuito, los mismos
que terminan gobernando las cargas circulantes del proceso de flotacin.
Paralelamente, la estadstica bsica permiti estudiar la correlacinexistente entre los valores bi-variables o dos series de datos
independientes. La extensin de este concepto consiste en la aplicacin
de la regresin estadstica entre los elementos qumicos de un producto-
final o intermedio- de flotacin permitiendo determinar posibles relaciones
mineralgicas segn la significancia del estadstico t-student , el cual
constituye la antesala del estudio de caracterizacin y conteo por
microscopia ptica.
En el presente trabajo de tesis se analizan 8 casos reales de aplicacin
en procesos metalrgicos industriales por flotacin desarrollados
mediante el nuevo esquema denominado Regresin Estadstica-
Microscopia ptica, estableciendo en cada caso las ventajas de su
aplicacin y exponiendo como propuesta un nuevo formato de estudio
microscpico para mejorar el aprovechamiento de la informacin
contenida en un estudio de microscopia ptica obtenido mediante el
sistema de Grado de Liberacin.
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ABSTRACT
Since approximately 1976, the development of optical microscopy inreflected light has achieved important levels with the creation of the
liberation degrees system, proposed by Dr. Cesar Cnepa; this system
has made possible studies in an identification scheme and quantification
of mineral species, both free and combined, in different stages of the
flotation process, specially for intermediate products of the circuit, which
will finally govern the circulating loads of the flotation process. Meanwhile,
basic statistics achieved good development as well, studying the existingcorrelation between bi variable values or two series of independent data;
the extension of this concept is applying statistical regression among
chemical elements of a final or intermediate flotation product, hence
allowing determining different mineralogical relationships in accordance to
the significance of the t-student statistical parameter. This would then
become a previous step for a following characterization study and optical
microscopy count.
This thesis work analyzes 8 real application case studies for industrial
processes on this new optical microscopy statistics regression scheme,
analyzing for each one of them the advantages of its application for
industrial flotation metallurgy processes, establishing an important format
proposal of a microscopy study that will allow taking advantage of the
information contained in an optical microscopy report with the liberation
degree system.
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TABLA DE CONTENIDOS
I. Introduccin ...................................................................................... 13
II. Objetivos ........................................................................................... 14
2.1 Objetivos Generales ................................................................ 14
2.2 Objetivos Especficos .............................................................. 14
III. Generalidades del proceso de Flotacin ........................................ 15
3.1 El proceso de flotacin ............................................................ 15
3.2 Controles de los parmetros de Flotacin ............................... 17
3.3 Analizador qumico en Lnea: Courier...................................... 26
3.4 Cargas circulantes en molienda y corte de clasificacin.......... 42
3.5 Factor Metalrgico y la performance metalrgica. ................... 44
IV. Marco Terico ................................................................................ 47
4.1 Introduccin ............................................................................. 47
4.2 Regresin Estadstica .............................................................. 47
4.3 Microscopia ptica ................................................................. 72
V. Microscopia y Estadstica en procesamiento de minerales .............. 81
5.1 Caso uno: Estudio de flotacin bulk y remolienda ................... 81
5.2 Caso dos: Estudio de Concentrado de Plomo ........................ 95
5.3 Caso tres: Estudio de un Concentrado de Zinc ..................... 119
5.4 Caso cuatro: Estudio de un Mineral de cabeza ..................... 141
5.5 Caso cinco: Estudio de un Relave final ............................... 162
5.6 Caso seis: Bismuto en un concentrado de Plomo ................ 182
5.7 Caso siete: Cintica de Flotacin de cobre Mixtos .............. 187
5.8 Caso ocho: Cintica de Flotacin de cobre Supergeno ...... 215
VI. CONCLUSIONES ........................................................................ 242
6.1 Conclusiones Generales........................................................ 242
6.2 Conclusiones Especficas ...................................................... 244
VII. BIBLIOGRAFIA ............................................................................ 248
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LISTADO DE CUADROS
Cuadro N 1.- Ventana de ingreso principal al paquete Outocal ......................... 30
Cuadro N 2.- Counts de energia para las 6 primeras muestras ........................... 31Cuadro N 3.- Analisis Quimico para las 6 primeras muestras ............................ 31
Cuadro N 4.- Ventana principal de calibracin del Outocal .............................. 32
Cuadro N 5.- Cuadro de regresin exploratoria ................................................. 33
Cuadro N 6.- Grfico con banda de ajuste por regresin ................................... 33
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LISTADO DE TABLAS
Tabla N 1.- Factor metalrgico comparativo ..................................................... 45Tabla N 2.- Clculo de la Correlacin de Spearman ......................................... 51Tabla N 3.- Datos para el clculo de relacin lineal X e Y ................................ 54Tabla N 4.- Datos para regresin en Hoja de Clculo ....................................... 54Tabla N 5.- Datos para Clculo de Determinacin ............................................ 55Tabla N 6.- Coeficiente de Determinacin con Hoja de Clculo ........................ 56Tabla N 7.- Anlisis granulomtrico valorado en flotacin bulk ......................... 58Tabla N 8.- Resultado de regresin por pares de elementos qumicos ............. 60Tabla N 9.- Anlisis qumico en concentrado de plomo .................................... 62Tabla N 10.- Ejemplo de clculo manual para funcin Rosin-Rammler ............ 65Tabla N 11.- Plantilla de diseo hexagonal en variable real.............................. 66Tabla N 12.- Procedimiento de flotacin batch ................................................. 68
Tabla N 13.- Rango de variables para el diseo factorial .................................. 68Tabla N 14.- Plantilla y resultados del diseo factorial ...................................... 69Tabla N 15.-Resultados de la regresin del diseo factorial ............................. 69Tabla N 16.- Plantilla con interacciones ............................................................ 70Tabla N 17.- Resultados de la regresin con interacciones .............................. 71Tabla N 18.- Resumen del estudio microscpico por grado de liberacin ......... 80Tabla N 19.- Anlisis valorado flotacin bulk .................................................... 82Tabla N 20.- Correlacin y t-student por elementos .......................................... 83Tabla N 21.- Denominacin y propiedades de las especies minerales ............. 85Tabla N 22.- Conversin de vol% a peso% ...................................................... 86Tabla N 23.- Mixtos y libres por especies % en volumen y % relativo ............... 88Tabla N 24.- Grado de Liberacin de los amarres mixtos dobles (binarios) ...... 90
Tabla N 25.- Resultados metalrgicos comparativos 2004-2005 ...................... 93Tabla N 26.- % de especies minerales de partculas libres y/o mixtas .............. 94Tabla N 27.- Anlisis granulomtrico valorado para Concentrado de Plomo .... 95Tabla N 28.- Resultado de regresin para Concentrado de Plomo ................... 95Tabla N 29.- Especies presentes en Concentrado de Plomo ............................ 97Tabla N 30.- % en Peso equivalente para Concentrado de Plomo ................. 101Tabla N 31.- Grado de Liberacin total para Concentrado de Plomo .............. 101Tabla N 32.- % en volumen de galena Libre y en mixtos ................................ 103Tabla N 33.- Conversin de % en volumen a % en Peso ............................... 103Tabla N 34.- Porcentaje relativo de libres a mixtos ......................................... 106Tabla N 35.- Grado de liberacin en el mixto gn/py ........................................ 107Tabla N 36.- Grado de Liberacin de los mixtos ms frecuentes .................... 108Tabla N 37.- Anlisis granulomtrico valorado del concentrado de zinc ......... 119Tabla N 38.- Correlacin y t-student entre elementos qumicos ...................... 119Tabla N 39.- Especies mineralgicas en el concentrado de zinc .................... 121Tabla N 40.- Porcentaje de malla equivalente en concentrado de zinc .......... 125Tabla N 41.- Grado de Liberacin Total en el concentrado de zinc................. 126Tabla N 42.- % en volumen de esfalerita en concentrado de zinc................... 127Tabla N 43.- Conversin a % en peso de especies del concentrado de zinc .. 128Tabla N 44.- Porcentaje de Libres y mixtos en el concentrado de zinc ........... 130Tabla N 45: Grado de Liberacin del mixto GGs/ef del concentrado de zinc . 131Tabla N 46.- Grado de liberacin de los mixtos del concentrado de zinc ........ 132Tabla N 47.- Anlisis granulomtrico valorado de Mineral de Cabeza ............ 141
Tabla N 48.- Correlacin y t-student entre elementos ..................................... 142
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Tabla N 49.- Especies minerales presentes en mineral de Cabeza ................ 143Tabla N 50.- Malla equivalente en Mineral de cabeza .................................... 146Tabla N 51.- Grado de Liberacin Total mineral de Cabeza ........................... 147
Tabla N 52.- % en volumen de Libres y Mixtos de esfalerita........................... 148Tabla N 53.- Conversin a % en Peso de especies de mineral de cabeza ..... 149Tabla N 54.- % Relativo de libres y mixtos de especies mineralgicas ........... 151Tabla N 55.- Grado de Liberacin en el mixto GGs/ef .................................... 152Tabla N 56.- Grado de liberacin de esfalerita en los mixtos ms frecuentes . 152Tabla N 57.- Anlisis granulomtrico valorado de Relave final ....................... 162Tabla N 58.- Resultados de regresin entre elementos del Relave ................ 163Tabla N 59.- Especies mineralgicas presentes en Relave Final ................... 164Tabla N 60.- Porcentaje en peso equivalente en el Relave Final .................... 167Tabla N 61.- Grado de Liberacin Total por especies en Relave final ........... 168Tabla N 62.- % Volumen de Esfalerita para la muestra total ........................... 169Tabla N 63.- Conversin de % volumtrico a % en peso ................................ 169
Tabla N 64.- Libres y Mixtos en Relave final .................................................. 171Tabla N 65.- % Vol. y Grado de Liberacin mixto GGs/ef del relave final ....... 173Tabla N 66.- Mixtos frecuentes y grados de liberacin en Relave final ........... 173Tabla N 67.- Cuatro pruebas de flotacin batch.............................................. 182Tabla N 68.- Regresin entre elementos qumicos para cuatro pruebas ........ 183Tabla N 69.- Primera prueba de f lotacin batch mineral de bismuto ............... 183Tabla N 71.- Prueba de flotacin Batch No. 4 ................................................. 184Tabla N 70.- Correlacin y t de la primera prueba de flotacin batch ............. 184Tabla N 72: Resultado de correlacin y t para la cuarta prueba batch ............ 185Tabla N 73.- Anlisis qumico de la cabeza de mineral mixto ......................... 188Tabla N 74.- Anlisis qumico de las cuatro etapas de flotacin ..................... 188Tabla N 75.- Resultado de regresin entre elementos qumicos ..................... 189
Tabla N 76.- Especies presentes: Espumas de flotacin mixto ....................... 191Tabla N 77.- Peso equivalente de cuatro periodos de tiempo de flotacin ...... 195Tabla N 78.- Grado de Liberacin ponderado por especie mineralgica......... 196Tabla N 79.- Grado de Liberacin por especie :-etapa rougher ...................... 197Tabla N 80.- Grado de Liberacin por especie : etapa scavenger .................. 198Tabla N 81.- Porcentaje volumtrico Total para la especie calcopirita ............ 198Tabla N 82.- % Vol. y conversin a % en Peso para todas las especies......... 199Tabla N 83.- Porcentaje relativo de libres y mixtos por especies .................... 200Tabla N 84.- Grado de Liberacin de CuSEC con py y GGs: etapa rougher ... 202Tabla N 85.- Grado de Liberacin de CuSEC en mixtos con py y GGs .......... 203Tabla N 86.- Porcentaje en peso de cada especie y por periodo .................... 204Tabla N 87.- Peso en gramos de cada especie por periodo de tiempo ........... 204Tabla N 88.- Recuperacin relativo de cada especie por periodo de tiempo .. 205Tabla N 89.- Anlisis qumico de la cabeza de mineral Supergeno ................ 216Tabla N 90.- Anlisis qumico de las cuatro etapas de flotacin ..................... 216Tabla N 91.- Resultado de regresin entre elementos qumicos ..................... 217Tabla N 92.- Especies observadas: Espumas de flotacin Supergeno ........... 219Tabla N 93.- Peso equivalente de cuatro periodos de tiempo de flotacin ...... 222Tabla N 94.- Grado de Liberacin ponderado por especie mineralgica......... 223Tabla N 95.- Grado de Liberacin para la etapa rougher ................................ 224Tabla N 96.- Grado de Liberacin para la etapa scavenger ............................ 225Tabla N 97.- Porcentaje volumtrico total para la especie cpPS ..................... 225Tabla N 98.- Porcentaje volumtrico y conversin a % en Peso por especies 226
Tabla N 99.- Porcentaje relativo de libres y mixtos por especies .................... 227
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Tabla N 100.- Grado de Liberacin de CuSEC con py y GGs: etapa rougher . 229Tabla N 101.- Grado de Liberacin de CuSEC en mixtos con py y GGs......... 230Tabla N 102.- Porcentaje en peso de cada especie y por periodo .................. 231
Tabla N 103.- Peso en gramos de cada especie por periodo de tiempo ......... 231Tabla N 104.- Recuperacin relativo de cada especie por periodo de tiempo 232
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LISTADO DE FIGURAS
Figura N 1.- Esquema de un proceso ideal de flotacin ..................................... 16Figura N 2.- Esquema de instalacin del analizador Courier ............................. 27
Figura N 3.- Relacin de Carga Circulante y corte de clasificacin D50 ........... 42
Figura N 4.- Diagrama de Flotacin Flash-Bulk Pb-Cu de Atacocha ................. 81
Figura N 5.- Esquema de remolienda indirecta - modelo Atacocha ................... 93
Figura N 6.- Fotografa y espectrograma del mineral de pb-Bi-Ag .................. 186
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LISTADO DE FOTOGRAFAS
Fotografa N 1.- Calcopirita y esfalerita, un ensamble frecuente ....................... 36Fotografa N 2.- Variedades de sulfuros de cobre ............................................ 37Fotografa N 3.- Cobre gris portador de arsnico y antimonio ........................... 38Fotografa N 4.- Sulfuros de hierro: pirita y pirrotita .......................................... 39Fotografa N 5.- Galena liberada desde molienda primaria ............................... 40Fotografa N 6.- Mixtos de esfalerita y galena .................................................. 40Fotografa N 7.- Bournonita mena de cobre con alto plomo inherente .............. 41Fotografa N 8.- Concentrado de Plomo: calcopirita y covelita cp2 ................... 97Fotografa N 9.- Concentrado de Plomo: esfalerita tipo 4 ................................. 98Fotografa N 10.- Concentrado de plomo: esfalerita tipo 4 ................................ 98Fotografa N 11.- Concentrado de Plomo - Calcopirita invadida por covelita .... 99Fotografa N 12.- Concentrado de plomo: Esfalerita tipo 2 ............................... 99
Fotografa N 13.-Concentrado de Plomo: sulfuro secundario de cobre .......... 100Fotografa N 14.- Concentrado de Plomo: esfalerita/galena ........................... 109Fotografa N 15.- Concentrado de Plomo: pirita/galena .................................. 109Fotografa N 16.- Concentrado de Plomo: Mixto de galena con pirrotita ......... 110Fotografa N 17.- Concentrado de Zinc: Mixto de ef-py-po-cp ........................ 122Fotografa N 18.- Concentrado de Zinc: Esfalerita del tipo 3........................... 122Fotografa N 19.- Concentrado de Zinc: Pirita y pirrotita ................................. 123Fotografa N 20.- Concentrado de Zinc: galena libre ...................................... 123Fotografa N 21.- Concentrado de Zinc: Calcopirita y esfalerita tipo 2 ............ 124Fotografa N 22.- Concentrado de Zinc: mixto de galena con esfalerita .......... 124Fotografa N 23.-Concentrado de Zinc: pirita y pirrotita con esfalerita ........... 132Fotografa N 24.- Concentrado de Zinc: mixto de pirita con esfalerita ............. 133
Fotografa N 25.- Concentrado de Zinc: mixto de gangas con esfalerita ......... 133Fotografa N 26.- Mineral de cabeza: Especies varias ef-py-po-Ggs .............. 144Fotografa N 27.- Mineral de cabeza: esfalerita del tipo 2 ............................... 144Fotografa N 28.- Mineral de cabeza: mixto esfalerita/pirrotita/esfalerita ......... 145Fotografa N 29.- Mineral de cabeza: mixto pirrotita/galena ............................ 145Fotografa N 30.- Mineral de cabeza: mixto esfalerita/gangas ........................ 153Fotografa N 31.- Mineral de cabeza: mixto esfalerita/gangas ........................ 154Fotografa N 32.- Mineral de cabeza: mixto esfalerita con pirita y ganga ........ 154Fotografa N 33.- Relave final: esfalerita en mixto con gangas ....................... 165Fotografa N 34.- Relave final: esfalerita en mixto con gangas ....................... 166Fotografa N 35.- Relave final: pirrotita con galena ......................................... 166Fotografa N 36.-Mineral mixto de cobre: calcopirita cpPS ............................ 192Fotografa N 37.- Mineral mixto de cobre: cobres secundarios ....................... 193Fotografa N 38.- Mineral mixto de cobre: pirita tipo pySEC ........................... 193Fotografa N 39.- Mineral mixto de cobre: Oro con cpPS ................................ 194Fotografa N 40.- Mineral mixto de cobre: Oro con calcopirita (CuFeS2) ......... 194Fotografa N 41.- Mineral Supergeno de cobre: calcopirita como cpCS .......... 220Fotografa N 42.- Mineral Supergeno de cobre: cobres secundarios .............. 220Fotografa N 43.- Mineral Supergeno de cobre: pirita encapsulada pySEC .... 221Fotografa N 44.- Mineral Supergeno de cobre: pirita como pySEC................ 221Fotografa N 45.-Mineral Supergeno de cobre: pirita encapsulada pySEC .... 222
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LISTADO DE GRFICOS
Grfico N 1.- Correlacin perfecta positiva ....................................................... 50Grfico N 2.- Correlacin perfecta negativa ...................................................... 50Grfico N 3.- Ninguna correlacin X e Y ........................................................... 50Grfico N 4.- Correlacin alta y positiva............................................................ 50Grfico N 5.- Correlacin baja y negativa ......................................................... 50Grfico N 6.- Tendencia lineal entre X e Y........................................................ 53Grfico N 7.- Distribucin de plomo por mallas ................................................. 92Grfico N 8.- Cintica de flotacin Mixto por especies .................................... 206Grfico N 9.- Cintica de flotacin Supergeno por especies ........................... 233
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NOMENCLATURA DE ESPECIES MINERLOGICAS
Nombre Abreviatura Formula Quimica Peso Especifico
Arsenopirita apy FeAsS 6.0
Calcopirita cp CuFeS2 4.2
Calcopirita Tipo 2 cpPS CuFeS2-CuS 4.6
Cobre Secundario Cu Sec CuSn 5.7
Cobres-Grises CuGRs CuSbAs,S,Ag 4.8
Covelita cv CuS 4.8
Digenita dg Cu2S 4.8
Esfalerita ef ZnS 4.2
Esfalerita tipo 2 ef 2 ZnS-CuFeS2 4.2
Esfalerita tipo 3 ef 3 ZnS-FeSx 4.2Esfalerita tipo 4 ef 4 ZnS-CuGrs 4.5
Galena gn PbS 7.2
Gangas GGs variado 2.7
Hematita he Fe3O4 4.0
Magnetita mt Fe2O3 4.0
Pirita py FeS2 5.0
Pirita tipo 2 pySEC FeS2-CuS n 4.8
Pirrotita po FeSx 5.0
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MICROSCOPIA APLICADA AL PROCESAMIENTO DEMINERALES
I. Introduccin
El presente trabajo de tesis es un resumen de investigaciones realizadas
sobre la aplicacin de herramientas estadsticas de regresin y el uso de
microscopia de opacos en operaciones metalrgicas relevantes como
flotacin por espumas.
En la parte inicial del trabajo se desarrollan criterios bsicos respecto a
los principios del proceso de flotacin; as como, sobre los conceptos
fundamentales de estadstica de regresin, filosofa de aplicacin de un
analizador en lnea Courier y la introduccin de un nuevo criterio de
evaluacin metalrgica denominado Factor Metalrgico.
El nuevo sistema de investigacin y aplicacin metalrgica se desarrolla
mediante la presentacin de ocho casos reales explicados en secuencia
lgica, paso a paso, demostrando que su aplicabilidad pueda convertirse
en una herramienta de enlace entre la geologa y metalurgia apoyando el
nuevo concepto de Geometalurgia.
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II. Objetivos
2.1 Objetivos Generales
Mostrar la aplicacin de la microscopia ptica con el criterio Grado de
Liberacin como una herramienta importante para la toma de
decisiones en las diversas etapas del procesamiento de minerales por
flotacin.
Renovar conceptos alrededor del proceso de flotacin industrial y suaplicacin prctica en el control de operaciones.
Generar nuevas alternativas de investigacin en la metalurgia del
procesamiento de minerales.
2.2 Objetivos Especficos
Mostrar el uso de regresin estadstica para correlacionar resultados
de anlisis qumico como etapa previa a la aplicacin de la
microscopia ptica, a fin de orientar mejor el estudio de las especies
mineralgicas y sus relaciones entre ellas.
Presentar diversos ejemplos de aplicacin prctica en casos reales y
desarrollar un esquema de estudio de microscopia ptica que sea
aplicado con mejor ventaja en la optimizacin del proceso de flotacin
industrial.
Desarrollar un esquema de estudio bajo el microscopio ptico que sea
considerado til en el nuevo concepto moderno de geometalurgia.
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III. Generalidades del proceso de Flotacin
3.1 El proceso de flotacin
La flotacin hace posible la recuperacin econmica de recursos
minerales de baja ley, siendo, posiblemente, la tecnologa ms importante
desarrollada para el tratamiento de los minerales.
Siempre se pens que era un arte lograr que una partcula mineralizada
se vuelva hidrofbica, se junte a una burbuja de aire y, formando un
conjunto de menor densidad que el agua, flote hacia la superficie. La
selectividad y el desarrollo logrado finalmente en la flotacin hasta
nuestros das (indistintamente del tipo de celdas), hacen que estos
conceptos se expliquen cada vez mejor.
Ahora, en el tercer milenio, podramos afirmar que flotar no es un arte
porque para tener xito en flotacin es necesario controlar desde la
calidad del mineral en mina, el producto chancado a molienda, la
liberacin de los valiosos y posible aplicacin de flotacin flash,
densidades de pulpa en las etapas de flotacin, calidad y dosificacin
automtica de reactivos, control de cargas circulantes y remolienda de
medios de flotacin, automatizacin de equipos en control de nivel de
pulpa, control automtico de pH, uso de analizador qumico en lnea comoapoyo importante a las decisiones de flotacin y, adems, estar
preparados para el esquema de futuro para plantas concentradoras por
flotacin como se ve en el diagrama siguiente:
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ejemplo, una ley qumica de cobre en un mineral de cabeza - entregada
por el analizador qumico en lnea- difcilmente podr explicar si se trata
de calcopirita, cobres secundarios(covelita, calcosita, bornita, digenita) ocobres grises (tetrahedrita tpico portador de plata). Por eso, es que el
desarrollo de la microscopia y la aplicacin de diseo experimental se
tornan importantes para la investigacin metalrgica por lo que el
progreso que se logre en estas investigaciones justifica la permanente
participacin del factor humano como elemento decisivo en la conduccin
del proceso de flotacin.
La flotacin difcilmente ser reemplazada en los prximos aos, su
relevancia en el procesamiento de los minerales an no ha sido medida
en su verdadera magnitud. Este proceso tiene gran influencia en la
metalurgia extractiva ya que sin l difcilmente hubiera podido
desarrollarse sistemas posteriores, como los de tostacin, conversin,
fusin y refinacin para obtener metales de consumo; y, en general, la
minera no mostrara los niveles actuales de desarrollo, que permiten
elevar el volumen de reservas minerales abriendo la posibilidad de flotar
minerales de contenido qumico valioso ms bajo.
3.2 Controles de los parmetros de Flotacin
Para operar eficientemente un proceso de flotacin se requiere considerar
los siguientes aspectos bsicos:
a. Los reactivos (colectores, espumantes, modificadores) deben ser de
calidad y pureza reconocida controlados en cantidad con un
adecuado sistema dosificador. Asimismo, las concentraciones de
preparacin deben ser verificadas con densmetros de vidrio.
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b. En lo posible, no se deber agregar depresores y colectores en un
mismo punto; menos, si son depresores incompatibles como el
Cianuro de sodio y Bisulfito de sodio.
c. Los relaves de la etapa de limpieza requieren generalmente,
remolienda; y, para estabilizar circuitos este remolido deber ser
recirculado a la cabeza CERRANDO CIRCUITO. No hay peor evento
que el recircular productos intermedios sin generar otro tipo de
superficies, como ocurre en remolienda; y, ser mejor acondicionar
previamente.
d. Si existe circuito ABIERTO se deber cuidar ese remolido ya que
generalmente es de alta ley que puede desestabilizar el relave final;
salvo, se instale un nuevo circuito de agotamiento previo. En
trminos simples, no se debe abrir un circuito si no hay
disponibilidad de un banco de flotacin que agote este nuevo flujo
remolido antes de hacer un descarte a relaves finales.
e. De ser posible, se deber elegir un solo colector principal. Hay que
considerar que el 80% de la flotacin mundial usa xantato
isopropilico o Z11, tpico para su operacin: A31 para
Uchucchaccua; Z11 para Brocal; A125 para Milpo; A238 para
Condestable; Z11 para Raura y Atacocha. Se recomienda no usar
productos que tengan como base el cido creslico por ser un
producto daino para la salud y, porque adems, tiene
comportamiento inestable en flotacin. Se conoce que el cido
creslico no siempre tiene el mismo contenido de cresoles, fenoles y
xilenoles. Es amorfo y su composicin es indefinida.
f. Investigar y probar a nivel industrial mezclas de reactivos auxiliares.
Ejemplos: en Huarn es 208/A31, en Huanzal es MIBC/A208; en
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SIMSA es A1404/Z11, en Atacocha es MIBC/tionocarbamato. En
Condestable A238 con Aerophine 3418
g. Considerar que el mineral abastecido es fundamental. Si hay xidos,los relaves sern altos. Si en flotacin polimetlica hay sales
solubles de cobre, los desplazamientos de zinc al concentrado de
plomo sern mayores a lo normal. Ser importante conocer la
mineralizacin de valiosos y ganga que se procesarn por flotacin,
en el da a da, mes a mes y la proyeccin por lo menos del ao.
h. El reactivo apropiado para neutralizar las sales solubles de cobre esla Cal; pero, el ms enrgico y, posiblemente el ms efectivo es la
soda custica. Pero, s, como es comn, no se puede controlar la
accin de las sales solubles de cobre, ser necesario preparar una
mezcla adecuada o blending de tipos de minerales a fin de atenuar
el problema.
i. Definir adecuadamente granulometra de molienda a la cual ya estn
liberados los valores de las gangas. Este ltimo, por Microscopa de
Opacos en la descarga de molienda primaria. Estas cargas
circulantes y corte de clasificacin debern proveer a la flotacin
partculas minerales valiosas suficientemente liberadas.
j. Definir tambin necesidades de remolienda; y si es de espuma
scavenger, remoler relaves de limpieza o una mezcla de ambos, las
cuales se denominan mixtos de flotacin. Tambin puede ser
importante remoler espumas de la primera etapa de flotacin. En
general, el remolido de espumas de flotacin rougher se aplica en la
gran minera del cobre.
k. Definir el pH en las etapas de flotacin. En lo posible regular con
lechada de cal en circuito cerrado y control automtico. Por razones
de seguridad y cuidado de la salud la cal slida deber ser hidratada
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y no debe manipularse cal viva. Cuando la cal no es de calidad
reconocida presenta residuos de carbn que consumirn Xantato
desestabilizando frecuentemente los consumos de este colector. ElpH de la cal tiene un lmite mximo. Considerar que la adicin de
soda caustica en una relacin en peso de 20:1 cuando se prepara
lechada de cal permite obtener un producto que maneja mejor el
control y el resultado de los concentrados a un menor consumo
relativo de cal
l. Recuperar el agua de concentrados y relaves buscando el puntoms adecuado para recircularlas por su contenido de iones y su pH.
La relacin de uso de agua en los procesos de flotacin es muy alta
(4TM de agua por 1TM de mineral). No siempre hay disponibilidad
de agua fresca por lo que la re-utilizacin de aguas industriales se
torna en una necesidad cada vez ms importante en minera. La
separacin del agua y el mineral depende de un floculante adecuado
que sedimente slidos hasta que las aguas recuperadas tengan no
ms de 20 ppm de slidos. Este concepto constituye una forma
prctica de evitar excesos en el uso de reactivos de flotacin y
recuperar la mayor cantidad de agua para volverla a usar en el
proceso.
m. Si el circuito de flotacin de desbaste (rougher) recibe ms carga de
lo establecido segn determinado tiempo de flotacin, las etapas de
limpieza tambin deben crecer en volumen para incrementar el
tiempo de retencin efectiva por celda y evitar que las cargas
circulantes se hagan incontrolables.
n. Para disminuir el contenido de insoluble en concentrados es
necesario instalar celdas columna como limpiadoras. Los chisguetes
de agua bien suministrados sobre una etapa de limpieza de celdas
comunes tambin pueden resultar efectivos como parte inicial de
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una prueba industrial o aplicar reactivos orgnicos (CMC,Dextrina)
solas o en mezcla con silicato de sodio.. Las celdas columna se
usan en limpieza de flotacin de minerales de cobre para disminuir elcontenido de insolubles. Para limpiar sulfuros de hierro (pirita-
pirrotita) en concentrados polimetlicos normalmente se prefiere
utilizar celdas tradicionales con rotor-impulsor y aire externo.
3.2.1 Filoso fa de la Flotacin Bulk y Separacin de Plomo-Cobrepor flotacin
a. Siempre ser mejor el resultado de dos concentrados adecuadamente
separados que una flotacin bulk Pb-Cu, porque el cobre no se paga
en un concentrado de plomo. Adems, el concentrado de cobre
normalmente tiene altas leyes de plata-oro que son mejor pagadas en
un concentrado de cobre que en un bulk Pb-Cu.
b. El nico modo posible de equilibrar una operacin de separacin de
Pb-Cu por flotacin es descabezando al mximo el plomo antes de
lograr un concentrado bulk que ir a separacin. S esto no se hace,
la activacin de plomo ser incontrolable afectando los grados de Cu-
Ag en el concentrado de cobre.
c. Si la ley de Plomo es originalmente baja en el mineral de cabeza
posiblemente no sea necesario descabezar con flotacin flash desde
molienda
d. La mejor extraccin de plomo se logra en los valores gruesos de
molienda evitando as que una gran parte de la galena sea
sobremolida porque el plomo fino se perder en concentrado de zinc y
tambin en relaves finales.
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e. Hay dos caminos para extraer plomo grueso desde molienda, ambas
opciones en la descarga de los molinos primarios. El ms antiguo es
aplicando celdas unitarias DENVER sub-A. El ms moderno esaplicando celdas flash. La diferencia est en que las celdas DENVER
no tienen automatizadas la descarga, mientras que la celda flash tiene
el control de nivel enlazado a una vlvula actuadora en la descarga de
la celda.
f. La aplicacin de las celdas unitarias de flotacin para extraer valores
de plomo grueso tiene su historia en las discusiones entre DENVER yOUTOTEC, cada uno con sus razones. DENVER sustentaba su teora
aplicando celdas unitarias en la descarga del molino; en tanto que
OUTOTEC propona la extraccin desde los gruesos de los ciclones.
Se demostr que la teora de DENVER era razonable y la de
OUTOTEC era errada porque en las arenas de los ciclones se tienen
elevadas densidades de pulpa que no pueden cumplir con el requisito
de que la mejor flotacin unitaria ocurre entre densidades de pulpa
1750 a 1850 gr/lt.
g. El reactivo para deprimir plomo en una flotacin bulk Pb-Cu es una
mezcla de Bicromato, CMC y Fosfato monosdico en la proporcin
60:20:20. Previamente, se deber eliminar los reactivos colectores y
espumantes mediante un acondicionamiento de carbn activado en
cantidades aproximadas de 500 a 800 gramos/tonelada de bulk Pb-
Cu El arranque de flotacin de cobre ser con pequeas dosis deespumante MIBC y colector Tionocarbamato AP 3894 o AP 5100
h. En el caso inverso, para deprimir cobre y flotar plomo ser necesario
acondicionar previamente el ajuste del pH, entre 10 y 10.5. Luego del
cual recin se aplicar una solucin de Cianuro de Sodio o una
mezcla de Oxido de Zinc con Cianuro (2:1) denominada MIXC. El
arranque de la flotacin de plomo ser con cantidades pequeas de
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xantato Z11 y espumante MIBC. Considerando que el xantato Z11 es
el nico reactivo que flota galena por reaccin superficial, en esta
separacin no debe agregarse carbn activado, ya que este reactivodestruye fcilmente la accin favorable del xantato sobre la galena.
i. Los reactivos se agregan con sistemas de dosificacin para controlar
las cantidades necesarias; por ello, ser importante contar con
bombas dosificadoras o con electrovlvulas de doble tanque (Primario
de preparacin y secundario de dosificacin a un nivel constante). Se
debe descartar el procedimiento manual porque no hay forma decontrolar las variaciones.
j. Si se hace flotacin bulk Pb-Cu para deprimir cobre; se deber
considerar el pH, es generalmente cercano a 8 , y en la etapa de
separacin 10 a 10.5. En este caso, la dosificacin de cal deber ser
de manera automtica con un sistema en loop y controladores de pH
con vlvulas automticas. No ser adecuado la alimentacin manual
de cal Tambin se deber considerar que la mejor cal a utilizar es la
hidratada por razones de seguridad del personal en contacto con este
reactivo..
k. Los reactivos deben ser de marca y calidad reconocida. El xantato de
preferencia deber ser fresco y fabricacin local; mientras que los
otros reactivos lquidos debern ser de constituyentes reconocidos,
evitando aquellos que tienen acido creslico en su composicin (A25-
A31-A242, etc.).
l. El nico reactivo que es indiscutible en flotacin polimetlica es el
Aerophine 3418 A de CYTEC. A pesar de su alto costo es un reactivo
muy selectivo a la flotacin de zinc en un bulk Pb-Cu. Para alcanzar
efectividad se debe usar en solucin de agua. Es un gran colector de
valores de plata en cobres grises o tetraedrita. A pesar de importantes
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esfuerzos de otras marcas an no se ha logrado encontrar un
equivalente que cumpla con su descripcin tiene la fuerza de un
xantato y la selectividad de un aerofloat o ditiofosfato.
m. Para activar galena se deber usar Cianuro de Sodio. La mejor
calidad es la marca DUPONT comercializada por Mercantil. Para
deprimir el zinc se deber usar Sulfato de Zinc, el cual deber ser de
calidad mayor a 98% como sulfato y con pH mayor a 4 en solucin al
10% en peso. En este caso, el mejor Sulfato de Zinc en el Per es el
producido por la fbrica IC-Industrial. Ambos reactivos debern serusados desde la molienda primaria para lograr el mejor efecto
combinado. Se recuerda que el cianuro debe ser considerado como
activador de galena y no slo como depresor de zinc y hierro.
n. S la activacin del zinc es excesiva en las limpiezas de flotacin bulk
ser infructuoso corregir con sulfato de zinc en esta etapa. Este
depresor deber ser agregado preferentemente, y en mayor cantidad
en molienda primaria, al ingreso de la carga fresca.
3.2.2 Filosofa de la flotacin Flash
a. La flotacin en celda flash se aplica para extraer concentrados
gruesos y limpios de plomo desde el circuito de molienda. S en dicha
celda se obtiene una espuma bulk de Pb-Cu-Zn no ser efectiva suaplicacin.
b. S la cabeza fresca tiene 2% a 3%Pb ser una condicin ptima para
una aplicacin de celda flash. S la cabeza disminuye hasta menos de
1%Pb tambin ser posible seguir extrayendo plomo grueso, pero,
con mayores adiciones de cianuro de sodio. Por lo anterior se deduce
que las dosis de cianuro son inversamente proporcionales a la ley de
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cabeza en plomo. Mientras ms altas son las leyes de plomo en
cabeza mejor ser la aplicacin de la celda flash.
c. La mejor aplicacin de las celdas flash se encuentra en las pulpas de
descarga del molino primario, junto a las recirculaciones de la
molienda secundaria que remoli las arenas de los ciclones. El relave
de la celda flash ser la alimentacin a clasificacin en ciclones,
quedando cerrado el circuito de molienda -clasificacin.
d. Los reactivos depresores que se agregan al molino antes de haceruna flotacin flash son Cianuro de Sodio y Sulfato de Zinc, estos
controlarn la flotacin de Fe-Zn-Cu posibilitando una buena flotacin
de galena gruesa.
e. S se usa exceso de cianuro para flotar galena en la celda flash, este,
como es normal, deprimir fuertemente los valores de cobre. Dicha
accin se revierte con adiciones de bisulfito de sodio en la etapa de
acondicionamiento de flotacin bulk para neutralizar el exceso de
cianuro citado y recuperar la activacin de valores de cobre.
f. El colector adecuado para flotar galena gruesa en la flotacin flash es
el xantato isoproplico de sodio Z-11 y el espumante ideal es MIBC.
En el mercado hay muchas calidades de este espumante siendo el
mejor el de marca Unin Carbide comercializado actualmente por
Molycop. La adicin de estos reactivos se realizar justo al ingreso de
la pulpa alimentada en la celda flash.
g. La celda flash debe tener descarga automtica mediante una vlvula
actuadora relacionada a un sensor de nivel de pulpa, de manera que
la celda recibe un flujo de pulpa constante.
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h. Una celda SK240 tiene capacidad de tratamiento de 240
toneladas/hora de mineral, en un flujo concordante a densidades de
pulpa de 1750 a 1850 gr/lt. Esta capacidad incluye el tonelaje fresco yla carga circulante de los molinos secundarios. S slo procesa carga
fresca quedar muy grande y fuera de diseo.
i. La celda flash deber tener un cajn de alimentacin que permita
estabilizar el flujo de pulpa que alimenta a la celda. El cajn de
preferencia deber ser cilndrico con un volumen suficiente que
permita tener un nivel de pulpa por encima del labio de la celda. Deesta forma se lograr una operacin regular y sin fluctuaciones en la
celda flash porque tendra volumen suficiente para atenuar la
variacin en las cargas circulantes.
j. Como la densidad de pulpa es un parmetro importante en la flotacin
flash, la molienda primaria deber tener balanza de peso de mineral
fresco enlazada con una vlvula de control de agua para mantener
constante la densidad de pulpa en molienda.
3.3 Analizador qumico en Lnea: Courier
La herramienta ms importante para la toma de decisiones en
operaciones de flotacin en plantas metalrgicas lo constituye el
analizador qumico COURIER de fabricacin Outotec.
El equipo deber ser calibrado con criterio estadstico-metalrgico, en el
cual interviene principalmente el valor estadstico t-student.
Los aspectos generales de operacin del equipo Courier son:
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(1) La toma de muestras se deber realizar con cortadores de flujo, los
cuales son de diversos tipos. El diseo elegido ser importante porque
marcar un flujo adecuado que recircular permanentemente entre elequipo Courier con el punto donde se tom la muestra, como se
aprecia en la Figura N 2.
(2) El punto donde llegan las muestras se llama Multiplexor, en el cual se
hace cortes de muestreo, tanto para el analizador, como para
recolectar muestra para el laboratorio qumico.
(3) Cuando corresponda analizar un flujo determinado, la muestra de
pulpa deber ser enviada hacia el punto de fuente de rayos X.
Terminada la medicin se descargar automticamente la pulpa,
retornando a su punto de origen.
Figura N 2.- Esquema de instalacin del analizador Courier
PSA
sampler
LSA sampler
Courier 6
Multiplexer
Compositesampling
Probe ControlSet
AnalyzerProbe
De-multiplexer
1900
3050
1750
900
5000
Process flowby pressure
Process flowby gravity
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(4) Terminada la medicin de niveles de energa, los datos son
transmitidos al PCS donde se realiza la conversin a leyes % deacuerdo a ecuaciones de calibracin que estn en la memoria del
equipo.
3.3.1 Calibracin del analizador en lnea Courier
La calibracin conlleva los siguientes pasos:
Toma de datos para la Calibracin
La sonda analizadora est equipada con una fuente de rayos X, el cual
usa voltajes de 50KV que permite emitir una luz para dirigirla hacia la
briqueta y al flujo que se desea analizar en forma de energa
expresada en CUANTOS. La medicin de energa tiene equivalente en
leyes o ensaye qumico por lo que el ajuste por regresin a muchas
mediciones, cada una de ellas relacionada con un ensaye de
laboratorio qumico, tiene como resultado una formula denominadaECUACIN DE CALIBRACIN.
Manteniendo la Calibracin
Una vez encontrada la ecuacin de calibracin, usando un nmero
suficiente de muestras, se procede con el mantenimiento de la formula
o ecuacin. En general, en este punto, la forma de la ecuacin no
cambia, slo se modifica el trmino constante.
Muestras de turno
Frecuentemente se reduce en forma drstica la toma de muestras de
calibracin, para disminuir el nmero de determinaciones de
laboratorio, utilizando en su lugar las muestras de turno para sintonizar
la calibracin. Es decir, el promedio del ensaye que reporta el equipo
deber ser contrastado diariamente con las leyes por guardia que
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reporta el laboratorio qumico. Si hay mucha diferencia deber ser
ajustada la ecuacin con pequeas variaciones proporcionales en los
coeficientes.
Corrimientos de nivel
Si varias muestras consecutivas de turno indican un sesgo comparado
con el promedio de los turnos de las leyes del analizador se deber
cambiar la constante de la ecuacin de calibracin para remover el
sesgo. Este procedimiento no cambia las tendencias detectadas por el
analizador.
Cambiar los coeficientes de intensidad
Generalmente no se recomienda cambiar los coeficientes de las
intensidades en la frmula de calibracin es mejor cambiar el termino
constante y ajustar la ecuacin en base a las leyes de muestras
especiales.
Muestras de calibracin
Se recomienda continuar ocasionalmente con la toma de muestra de
calibracin para analizarlas en el laboratorio. Se puede analizar la
ecuacin de calibracin de dos maneras. La primera, se aplica en un
cambio lento y paulatino de las caractersticas del flujo; y, la segunda,
basada en los anlisis de errores de los datos recientes que muestran
los cambios ms bruscos.
Recalibracin despus de un cambio importante en el equipo
Cuando se cambia en el analizador un tubo de rayos X,
espectrmetro, detector, etc., se efecta una nueva normalizacin del
analizador de la manera sealada en su manual. Despus, deber
aplicrseles antiguas ecuaciones de calibracin. Sin embargo, si a
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pesar de las piezas cambiadas, persiste las desviaciones, entonces de
deber hacer una nueva la calibracin.
Pantallas princ ipales de calibracin del analizador Courier 6SL
La pantalla mostrada a continuacin es la ventana de ingreso principal
al sistema de calibracin del paquete estadstico OUTOCAL. En el
ejemplo se aprecia 26 muestras de un concentrado de Plomo Estndar
las que se encuentran disponibles para calibrar:
Cuando en el men principal de esta ventana se activa el botn ,
aparece una nueva ventana en la que se leern datos de los counts de
energa registrados por el equipo para cada una de las 26 muestras
identificando la fecha y hora de medicin de cada una de las muestras
Cuadro N 1.- Ventana de ingreso principal al paquete Outocal
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S en el men de la ventana anterior se marca Assay, en lugar de
Counts, aparecen los elementos analizados en el Laboratorio
Qumico para cada una de las mismas 26 muestras, como se muestra
en el Cuadro N 3.
Cuadro N3.- Anlisis qumico para las 6 primeras muestras
Cuadro N 2.- Counts de energa para las 6 primeras muestras
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La ecuacin de calibracin resultar de hacer correlaciones por
regresin de los valores de energa counts medidos por el equipo de
rayos X con los resultados de los correspondientes ensayes qumicosAssay para el conjunto de las 26 muestras.
Criterios de calibracin de courier
A la derecha del botn del men se encuentra el botn para
calibracin que al activarlo aparecer la ventana principal de
calibracin, como se muestra en el Cuadro N 4.
Cuadro N 4 Ventana principal de calibracin del Outocal
Antes de la seleccin de variables, cuyos coeficientes deben ser
determinados, se deber aplicar la funcin correlation en la ventana
principal. Al activar la funcin Compute se hace una regresin
exploratoria donde aparecen unos coeficientes para cada una de las
variables, cuya significancia es provisional. En esta etapa se escogen los
coeficientes ms altos, en valor absoluto, las cuales sern las variables de
inicio para comenzar el trabajo de calibracin.
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Cuadro N 5.- Cuadro de regresin exploratoria
Pantalla Principal del Outocal y grfica de banda de ajuste
Al activar la tecla plots de la pantalla principal de calibracin, aparece
una grafica de banda de ajuste que representa la estadstica de la
regresin como se muestra en el Cuadro N 6.
En esta grfica se pueden eliminar directamente con el cursor los
puntos que estn fuera de la banda de ajuste. El control se ver
reflejado luego de hacer una nueva regresin (Botn Reg. de la
Cuadro N 6.- Grfico con banda de ajuste por regresin
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pantalla principal de calibracin). Los resultados estadsticos,
encerrados en el crculo rojo del Cuadro N 4, aparecer nuevos datos
como valores estadsticos New que se compararn con los datosestadsticos anteriores Old. En la pantalla principal muestra los datos
estadsticos que se comparan en base a la correlacin que cada vez
debera ser ms alta y cerca al 98%. Por ejemplo, en el mismo cuadro
se aprecia que la correlacin anterior es 0.9664, eliminando un punto
la nueva regresin cambia a 0.9797. Este progreso en la correlacin
de regresin debe estar justificado con el incremento del valor
estadstico F. En el mismo cuadro, el valor F anterior es 56.454 y elnuevo es 68.607, pero esto no es suficiente. A la izquierda aparecen
una serie de coeficientes para las variables en regresin que es
necesario comprobar s, en valor absoluto, tienen valor estadstico t-
student mayor a 2, para todos los coeficientes incluido el trmino
independiente de la ecuacin. En el recuadro central del Cuadro N 4
se aprecia que todos los valores de t-student cumplen con este
requisito, siendo la ecuacin de calibracin la siguiente:
%Pb = 52 0.204(ZnKa) + 2.665E-2 (PbLb) 3.539 E-2(WDAg)+ 3.106E-3 (WDMoCnK)
Donde:
ZnKa = niveles de energa para zinc;
PbLb = niveles de energa para plomo;
WDAg,= espectrometra de plata; y,
WDMoCnK = porcentaje de slidos de la muestra de pulpa analizada.
Es importante anotar que en toda ecuacin de calibracin del Courier,
el trmino que no debe faltar es justamente el % de slidos.
Estadsticamente se pueden encontrar diversas ecuaciones de
calibracin, donde el criterio mineralgico con el de operacin
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metalrgica se explica en el signo de los coeficientes. Por ejemplo, s
en el anlisis de Cu del concentrado de Cobre se encuentra presencia
significativa de Plata con signo negativo, ser descartada la ecuacins el cobre, segn mineraloga, es del tipo Cobres-Grises
(CuSbAsAgS). En este caso, se deber seguir buscando una ecuacin
en donde el signo de la Plata sea positiva y mayor de 2; y, as
sucesivamente se deber imponer el criterio metalrgico de los signos,
en lugar de aceptar framente los resultados de la regresin estadstica
pura. Tambin para la ecuacin de nuestro ejemplo, el anlisis de
Plomo en un concentrado de Plomo es obvio, el cual disminuyecuando el desplazamiento de zinc es mayor, por ello, el signo negativo
del coeficiente ZnKa es vlido por el criterio metalrgico.
En resumen, la experiencia operacional y la mineraloga establecen
criterios que permiten encontrar una ecuacin de calibracin que
justifique la operacin del analizador en lnea. En este proceso, el
paquete OUTOCAL permite crear muchas ecuaciones con los mismos
datos, en forma veloz y eficaz. La ecuacin ms prxima a la realidad
operativa y mineralgica ser la elegida como ecuacin de
calibracin, la cual se incorporar a la memoria del equipo a fin de
iniciar el proceso del analizador Courier.
3.3.2 Criterio de relaciones mineralg icas
En metalurgia se ha establecido el siguiente concepto que tiene verdad
absoluta: El procesamiento de minerales es sobre especies
mineralgicas y no sobre elementos qumicos. Sin embargo, a
continuacin se esbozan siete casos comunes que se presentan en el
procesamiento de minerales por flotacin que pueden mejorar el
criterio en la seleccin de variables y signo adecuado de los
coeficientes de las ecuaciones de calibracin Courier.
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Caso 1: Desplazamiento de cobre al concentrado de zinc
El desplazamiento indebido de calcopirita al concentrado de zinc es
distinto si hay cp libre o inclusiones de esta especie en la esfalerita
conocido como ef2. La ley de cobre no ayuda a tomar decisiones en
concentrado de zinc, en tanto que la microscopia s. Por ejemplo, si seobserva muchas cp libres debera mejorar las condiciones de la previa
flotacin bulk. Por el contrario, si hay ef2 difcilmente podr evitarse
una alta ley de Cu en concentrado de zinc. Adems, si la especie de
cobre presente es calcopirita no habr mucha Plata desplazada en el
concentrado de zinc.
Si en un concentrado de zinc se observa cobre gris es posible que laley de Plata sea alta. Esta observacin orientara mejor los esfuerzos
del metalurgista para colectar cobre-plata, en la etapa anterior a la
flotacin de zinc
Fotografa N 1.-Calcopirita y esfalerita, un ensamble frecuente
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Caso 2: Tipos de cobre en un concentrado de Cu
El anlisis de %Cu en microscopia tiene varios significados. Por
ejemplo, la presencia de covelita (cv) indicar que la presencia de
cobres secundarios provienen de zonas alteradas a partir de los
cobres primarios (cp). Ambos, no tendran contenidos importantes de
plata ni de arsnico-antimonio como es el caso de los cobres Grises(tetrahedrita-tennantita). Pero, los cobres secundarios pueden seguir
oxidndose hasta llegar a sulfato de cobre natural o Calcantita.
Se afirma que la calcopirita se oxida a bornita y est, en solo 15 das
de almacenamiento en una cancha de minerales, se transforma en
calcantita o sulfato de cobre natural, por lo que su presencia significar
elevados consumos de sulfato de zinc para evitar activacionesindebidas de zinc en la flotacin Bulk Pb-Cu. Por ello, el analista
qumico de la ley de cobre no ser suficiente, se requiere caracterizar
las especies mineralgicas para un mejor criterio metalrgico.
Fotografa N 2.- Variedades de sulfuros de cobre
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Caso 3: Arsnico-antimonio en Concentrado Cu
La Contaminacin de arsnico y antimonio en concentrados de cobre,
que tuvieran cobres grises, normalmente viene acompaada de un alto
contenido de plata. Generalmente, eliminar las contaminaciones de As-
Sb por lixiviacin conlleva prdidas de elementos valiosos. En cambio,
si en el As hay presencia de Arsenopirita, los contaminantes se
pueden eliminar por tostacin.
No es raro que en los concentrados de cobre muchos cobres primarios
(calcopirita) o secundarios (bornita, calcosita, covelita) se encuentre
poco contenido de plata y a la vez se encuentre arsnico
ocasionalmente por presencia de arsenopirita. En este caso, para que
las plantas sean econmicamente rentables deben ser de gran
volumen de tratamiento. En las minas pequeas ser rentable s el
cobre presente es Cobre-Gris, an con altos contenidos de As y Sb,
por la plata presente se lograr concentrado de cobre de alto valor.
Fotografa N 3.- Cobre gris portador de arsnico y antimonio
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Caso 4: Presencia de Hierro
El anlisis qumico de %Fe por s slo no constituye informacin
suficiente en metalurgia. S es pirrotita (FeSx) ser un gran problema
ya que consumir demasiado oxgeno de las pulpas, bloqueando la
accin del xantato. En ese sentido, a pesar que la pirrotita es un
sulfuro de hierro similar a la pirita (FeS2) su comportamiento
metalrgico en flotacin es distinto. Tambin el hierro analizado puede
ser parte de la calcopirita (CuFeS2), la cual es una mena de cobre y no
un estril como son los sulfuros de hierro citados. Por ejemplo, si en un
concentrado de zinc se incrementa indebidamente la ley de hierro no
slo podra ser por el descontrol en el pH o en la alcalinidad, podra
tratarse de un defecto en la flotacin bulk con desplazamiento excesivo
de calcopirita a la flotacin de zinc. Por ello, un simple anlisis qumico
de %Fe no es determinante para la correccin de problemas
metalrgicos. En cambio, la microscopia s provee de informacin ms
especfica y precisa.
po
po
po
po
po
pirita
ef
po
po
po
po
po
pirita
ef
Fotografa N 4.- Sulfuros de hierro: pirita y pirrotita
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Caso 5: Liberacin de Galena para celda Flash
(partculas blancas con manchas negras)
El impacto de la flotacin Flash que recupera galena (PbS) gruesa en
el circuito de molienda ser muy bien apoyado por la microscopia. Esta
herramienta define si existe liberacin de galena (PbS) en la descarga
del molino, en tamaos relativamente grandes (>200 micras). En otro
caso, podra ser que la galena se presente en inclusiones muy finas en
la ganga, lo que explicara que la situacin no sera tan favorable parauna flotacin en celda flash.
Caso 6: Mixtos para remolienda Bulk
Fotografa N 5.- Galena liberada desde molienda primaria
Fotografa N 6.- Mixtos de esfalerita y galena
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En los medios de bulk Pb-Cu (relaves de limpieza +espumas
scavenger) no siempre se encuentran valores completamente libres, a
veces se encuentran mixtos tipo ef/gn, cp/gn, ef/py. En este escenario,la microscopia define si estas asociaciones sern posibles de remoler
o si son inclusiones como es el caso de la ef2. Con microscopa
tambin se puede determinar el tamao del grano y definir si los
recirculantes tienen cintica lenta de flotacin debido al mayor tamao,
ms que por tratarse de amarres con otras especies.
Caso 7: Bournonita alto p lomo en Concentrado de Cobre
La BOURNONITA (PbCuSbS3) Ver fotografa N 7- es una especie
mineral compleja de cobre-plomo. Su presencia, como parte de la
mena de cobre, hace siempre difcil la separacin tpica por flotacin a
partir de un Bulk Pb-Cu, sea por cianuro, hundiendo el cobre, o a lainversa, por la mezcla de Bicromato+CMC+Fosfato Monosdico que
hunde el plomo. Cuando hay bournonita, los concentrados de cobre no
bajarn de 10% de Pb. En este caso, las mejores separaciones de Pb-
Cu funcionarn cuando el cobre presente sea mayormente calcopirita
(cobre primario).
Fotografa N 7.- Bournonita mena de cobre con altoplomo inherente
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3.4 Cargas circulantes en molienda y corte de clasificacin
Las cargas circulantes en molienda y la conveniencia de expresar susfrmulas en funcin de las densidades de pulpa cuando se hace el
balance por lquidos son dos temas importantes.
El corte de clasificacin D50 es un parmetro de suma utilidad, pero es
poco ventajoso por ser una determinacin posterior al transcurso de la
operacin, Por ello, corregir el D50 no tiene sentido prctico debido a que
no hay separacin perfecta de gruesos y finos.
La alternativa tcnica para el control de los circuitos de molienda-
clasificacin en el procesamiento de minerales est constituida por las
funciones de distribucin granulomtrica con ecuaciones que
correlacionan el tamao y % retenido de los minerales sometidos a
reduccin mecnica.
D50
.M 35,48,65,100,140,200,325
W
100-W
S
O
CC = S = WO 100-W
D50
.M 35,48,65,100,140,200,325
W
100-W
S
O
CC = S = WO 100-W
Figura N 3.- Relacin de Carga Circulante y corte de clasificacin D50
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La estrecha relacin que existe entre la carga circulante y el corte de
clasificacin D50 utiliza una deduccin simple y lgica que se aprecia en
el diagrama de la Figura N 3.
La descarga del molino (alimento al clasificador) es una pulpa mineral que
en la parte slido est conformada por partculas minerales de diversos
tamaos. Como es un producto de molienda por golpe y atricin, es
posible que la distribucin de tamaos generada tenga una relacin
expresada como funcin de distribucin granulomtrica.
Si en la relacin Rosin-Rammler se coloca como apertura de malla el
tamao de corte D50 en micrones, el resultado W despejado ser
proporcional a la cantidad de arenas de retorno (S); y lgicamente el
trmino 100-W ser proporcional al peso en el rebose o finos de
clasificacin (O). Luego se estimar la carga circulante del siguiente
modo:
CC=S/O = W/(100-W)
Usando la funcin Gaudin-Shumann, como apertura de malla relacionada
al material pasante (%AC-), la carga circulante ser estimada de la
siguiente forma:
CC=S/O = (100-Y)/Y
La citada situacin proporcionar resultados similares de carga circulante
si la correlacin de las funciones de distribucin granulomtrica es
aceptable (entre 99% a 100%).
De esta manera estamos ante un TERCER METODO de estimar cargas
circulantes en circuitos de molienda-clasificacin. Los dos mtodos de
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clculos tpicos son: (1) anlisis granulomtrico (Balance de slidos), y (2)
densidades de pulpa (Balance de Lquido).
Con esta tercera forma de determinar la carga circulante, la aplicacin en
el control de molienda se dara haciendo un estudio microscpico en la
distribucin mineral por tamaos del alimento a clasificacin. Se
determina en que tamao conviene hacer el corte de clasificacin D50, el
cual determinara la W de la funcin Rosin-Rammler, estableciendo la
mejor carga circulante de operacin del circuito. La carga circulante
representa densidades de pulpa en alimento, grueso y finos enclasificacin. Como el circuito de moliendaclasificacin es un equilibrio
slido-lquido, entonces ser posible afirmar que el circuito de molienda-
clasificacin estar controlado y referido a un corte de clasificacin D50,
determinado segn la mineraloga y con densidades de pulpa pre-
establecidas.
3.5 Factor Metalrgico y la performance metalrgica.
Cuando se trabaja en flotacin a nivel laboratorio analizando funciones
respuestas frecuentemente se hace la evaluacin de las recuperaciones,
o independientemente la evaluacin del grado de concentrado. Este
criterio es errado porque es conocido que se pueden lograr altas
recuperaciones con un grado de concentrado muy bajo. En metalurgia, loptimo es lograr las mejores recuperaciones con el mejor grado de
concentrado. Por otro lado, las operaciones de flotacin generalmente
logran altos grados de concentrado y recuperaciones cuando la ley de
cabeza es alta. La mejor operacin es aquella donde se obtienen altas
recuperaciones y buenos grados de concentrados con leyes de cabeza
relativamente bajas.
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El FACTOR METALURGICO (FM) es un nmero adimensional que se
obtiene multiplicando el Grado de Concentrado por Recuperacin y
dividido el producto anterior entre la ley de Cabeza. A mayor FM, mejorser la flotacin. Este nuevo concepto recompensa las operaciones de
baja ley de cabeza y que demandan un mayor esfuerzo en las plantas
concentradoras por flotacin.
A continuacin se presentan dos ejemplos simples y prcticos que
demuestran que el Factor Metalrgico es el mejor criterio de evaluacin
de la performance metalrgica. Se trata de dos casos de operacionesmetalrgicas, uno para produccin de Cobre y el otro para produccin de
zinc. En la tabla siguiente se muestran los datos sobre grados de
concentrado y recuperacin, y ley de cabeza para ambos casos:
Tabla N 1.- Factor metalrgico comparativo
En el mineral de cobre, aparentemente la Mina A es superior porque tiene
mejores grados de concentrado y recuperacin, siendo el FM de
29x90/1.1 = 2373, mientras que, en el caso de la Mina B, el FM es
superior, 3960, porque la menor ley de cabeza con grados menores de
concentrado (27%) y recuperacin (88%) hacen mejor metalurgia que A.
Si se diera el caso de que los FM de dos minas son iguales, se tendra
COBREMina A Mina B
%Cu concentrado 29 27
%Cu Cabeza 1.1 0.6% Recuperacion Cu 90 88
Factor Metalurgico 2373 3960
ZINCMina A Mina B
%Zn concentrado 54 56%Zn Cabeza 8 5.5% Recuperacion Zn 92 89
Factor Metalurgico 621 906
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que dividir entre el costo de operacin, eligiendo el que tenga menor
costo.
En el mineral de zinc, la Mina A tiene un FM igual a 621 (54x92/8), pero la
Mina B obtiene un FM igual a 906 (56x89/5.5) porque logra concentrados
con mayor grado de concentrado y a menor ley de cabeza. La relacin
entre ambos resultados, 906/621 =1.46, el cual significa que la Mina B es
46% ms eficiente que la Mina A.
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IV. Marco Terico
4.1 Introduccin
El anlisis qumico de una o varias muestras realizado en forma aislada
no es de gran ayuda para el estudio microscpico- Pero, s se tiene una
gama de anlisis qumicos de muestras ser posible correlacionar
elementos usando regresin lineal; y, de esta manera, establecer algunas
consideraciones referenciales e importantes para el inicio de un estudio
microscpico. En el presente estudio se brinda ejemplos en los cuales la
regresin estadstica entre elementos proporciona pautas que corroboran,
por microscopia ptica o de Barrido, la relacin entre elementos qumicos
que conformaban la presencia de una nueva especie mineral o una
asociacin de dos especies mineralgicas, cuyo conocimiento ser
importante para la toma de decisiones en el tratamiento metalrgico por
flotacin.
A continuacin se presenta el desarrollo del marco terico de dos
herramientas tcnicas utilizadas para alcanzar la metalurgia por flotacin:
regresin estadstica y microscopa ptica.
4.2 Regresin Estadstica
Distribuciones bidimensionales
La estadstica descriptiva bsica estudia datos unidimensionales, o se
concreta a revisar una sola caracterstica asociada a cada observacin.
Mientras que la estadstica de datos bidimensionales revisa las
caractersticas en series de pares de valores, cmo se muestra a
continuacin.
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Distribuciones bidimensionales de datos no clasificados
Una muestra de tamao n se representa como un conjunto de pares
ordenados de la forma: { (X1, Y1), ( X2, Y2), .. (Xn, Yn)}
Dados un conjunto de pares (Xi, Yi), se calcula separadamente para el
conjunto de valores X todas las medidas descriptivas (media, moda,
mediana, varianza, etc.), igual para los valores de Yi.
Al analizar las observaciones bivariadas en conjunto, surgen otras
medidas descriptivas nuevas que relacionan X e Y, denominadas
Covarianza, Correlacin y Regresin. Si slo interesa el grado de relacin
entre las variables se trata de un asunto de CORRELACION. Si interesa
el grado de relacin y adems el tipo de relacin funcional o ecuacin
entre las variables se trata de un asunto de REGRESION
Covarianza y cor relacin l ineal
Representando las observaciones (x , y) en un plano cartesiano se
obtienen una nube de puntos que se denomina Diagrama de Dispersin,
el mismo que sugiere una tendencia en la nube de puntos. Si se necesita
cuantificar el grado de correlacin lineal entre X e Y, la medida se
denomina Coeficiente de Correlacin Lineal de Pearson denotada por r,
definida por la siguiente relacin:
r = n xi yi - xi yi
[n xi2 - (xi )2] [n yi2 - (yi )2]
r = n xi yi - xi yi
[n xi2 - (xi )2] [n yi2 - (yi )2]
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Se puede verificar que es indistinto correlacionar X con Y, o Y con X, la
correlacin ser siempre similar.
Dividiendo los trminos de la relacin anterior entre n2 el resultado es elsiguiente:
En el numerador se define la covarianza entre las variables X, e Y, y en
el denominador la varianza de X y de Y, respectivamente, quedando la
correlacin r definida como:
Y en el denominador, la raz cuadrada de una varianza es la desviacin
estndar Sxpara la variable X, Sypara la variable Y
Correlacin r
Cuando r = 1 o -1, se dice que X e Y estn perfecta y linealmente
correlacionados. En este caso todos los puntos estn contenidos en una
recta
r = 1/n xi yi - M(X) M(Y)V(X).V(Y)
r = 1/n xi yi - M(X) M(Y)V(X).V(Y)
r = 1/n (xi -M(X)) . (yi - M(y))V(X).V(Y)
r = 1/n (xi -M(X)) . (yi - M(y))V(X).V(Y)
r = cov (X,Y)
V(X)V(Y)
r = cov (X,Y)
V(X)V(Y)
r = SxySx.Sy
r = SxySx.Sy
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Grfico N 1.- Correlacin perfecta positiva Grfico N 2.- Correlacin perfecta negativa
Cuando r = 0, las variables no estn correlacionadas linealmente, comose aprecia en el grfico N 3:
Grfico N 3.- Ninguna correlacin X e Y
Cuando existe cierto grado de correlacin entre las variables X e Y
pueden haber dos casos: si es positiva se llama tendencia directa, y si es
negativa se denomina tendencia inversa. En ambos casos, ser mejor la
correlacin que, en valor absoluto, este ms prxima a 1.
Grfico N 4.- Correlacin alta y positiva Grfico N 5.- Correlacin baja y negativa
Y
X
R= 1
Y
X
R=- 1
Y
X
R= 0
Y
X
R= 0.80
Y
X
R= -0.30
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Clculo del coefic iente de correlacin de Pearson
Para calcular el coeficiente de correlacin de Pearson con los siguientes
datos X e Y : (1.54,60), (1.82,94), (1.57,65)(1.60,66), (1.75,85), 1.65,72.5),
(1.69,77), (1.62,70), (1.77,89.5), (1.70,80) se sigue el siguiente proceso:
Segn el cuadro anterior, se calcula inicialmente el promedio de los
valores X = 1.671, y el promedio de los valores Y = 75.9. Luego, se
determina la suma del cuadrado de los valores menos el promedio:
Para X corresponder el valor 0.07489, y para Y ser 1112.94, entonces
la varianza se calcula dividiendo entre el numero de datos n=10. Lavarianza de X es 0.007849 y la varianza de Y es 112.94. La desviacin
estndar es la raz cuadrada de las varianzas, por lo tanto Sx = 0.086539
y la correspondiente Sy = 10.6273.
Para el clculo de la Covarianza (X,Y) se determina por la media M(XY)
M(x).M(Y), los datos del cuadro indican que la Cov(X,Y) = 127.745
1.671x75.9 = 0.9161.
EJERCICIO ; HALLAR LA CORRELACION ENTRE X E Y
X (X-xprom) (X-xprom)2 Y (y-Yprom) (Y-Yprom)2 XY1,54 -0,13100 0,01716 60,00 -15,9000 252,8100 92,401,82 0,14900 0,02220 94,00 18,1000 327,6100 171,081,57 -0,10100 0,01020 65,00 -10,9000 118,8100 102,051,60 -0,07100 0,00504 66,00 -9,9000 98,0100 105,601,75 0,07900 0,00624 85,00 9,1000 82,8100 148,751,65 -0,02100 0,00044 72,50 -3,4000 11,5600 119,631,69 0,01900 0,00036 77,00 1,1000 1,2100 130,131,62 -0,05100 0,00260 70,00 -5,9000 34,8100 113,401,77 0,09900 0,00980 89,50 13,6000 184,9600 158,421,70 0,02900 0,00084 80,00 4,1000 16,8100 136,00
promedio 1,671 75,9 127,745SUMA 0,07489 1129,4000varianza 0,007489 112,94Desviacin estndar 0,086539009 10,6273
EJERCICIO ; HALLAR LA CORRELACION ENTRE X E Y
X (X-xprom) (X-xprom)2 Y (y-Yprom) (Y-Yprom)2 XY1,54 -0,13100 0,01716 60,00 -15,9000 252,8100 92,401,82 0,14900 0,02220 94,00 18,1000 327,6100 171,081,57 -0,10100 0,01020 65,00 -10,9000 118,8100 102,051,60 -0,07100 0,00504 66,00 -9,9000 98,0100 105,601,75 0,07900 0,00624 85,00 9,1000 82,8100 148,751,65 -0,02100 0,00044 72,50 -3,4000 11,5600 119,631,69 0,01900 0,00036 77,00 1,1000 1,2100 130,131,62 -0,05100 0,00260 70,00 -5,9000 34,8100 113,401,77 0,09900 0,00980 89,50 13,6000 184,9600 158,421,70 0,02900 0,00084 80,00 4,1000 16,8100 136,00
promedio 1,671 75,9 127,745SUMA 0,07489 1129,4000varianza 0,007489 112,94Desviacin estndar 0,086539009 10,6273
Tabla N 2.- Clculo de la Correlacin de Spearman
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Con los datos anteriores se calcula la correlacin de Spearman:
R = 0.9161 /(0.086539x10.6273) = 0.9961
El resultado permite concluir que la correlacin entre X e Y es buena porestar prxima a 1.
Clculo de Correlacin con Hoja de Clculo EXCEL
La manera ms rpida para encontrar la correlacin de Spearman se
obtiene usando regresin en Lotus 1-2-3, herramienta que viene incluida
en la Hoja Excel, cuyo procedimiento consiste en los pasos siguientes:
El resultado de la regresin en hoja de clculo para el mismo ejemplo del
caso anterior indica lo siguiente:
El cuadro anterior contiene el resultado de la regresin entre los valores
X,Y, en recuadro se indica el trmino R cuadrado que es igual 0.99223;
la raz cuadrada de este nmero es 0.996174 que es justamente el
termino correlacin r de Spearman, y coincide con el ejemplo
desarrollado anteriormente.
Resultado de la regresinConstante -128,51Error tpico de est Y 1,04707R cuadrado 0,99223 0,9961074N de observaciones 10Grados de libertad 8
Coeficientes X 122,3261Error tpico del coef 3,826156
1. De la barra de men ?
2. Ayuda de lotus 1-2-3
3. Datos
4. Valor inicial
5. Rango de X
6. Rango de Y
7. Rango de Salida
8. Actuar
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Regresin lineal
Se usa cuando hay una tendencia lineal entre los valores de X e Y, y se
desea establecer una ecuacin que relacione ambos trminos.
Constantes por Mnimos Cuadrados.
Los trminos constantes a y b de la ecuacin de recta se determinan
por las conocidas relaciones de ajuste por mnimos cuadrados:
El siguiente ejemplo es una aplicacin de mnimos cuadrados para hallar
las constantes a y b en una relacin lineal entre los valores X e Y. En
este caso, aptitud mental (X) y Acadmica (Y), se encuentran en los
siguientes datos:
X
Y
a
b = pendiente
Y = a + bX
X
Y
a
b = pendiente
Y = a + bX
b = n [ xiyi] - xi . yi
n xi2- (xi )
2
a = 1 [ yi - b xi ]n
Grfico N 6.- Tendencia lineal entre X e Y
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Regresin l ineal en Hoja de Clculo EXCEL
Aplicando los pasos de regresin ya indicados en hoja de clculo se
obtiene:
X Y
H MENTAL Academica XYXi
A1 20 28 560 400A2 48 50 2400 2304A3 16 31 496 256A4 37 46 1702 1369A5 40 49 1960 1600A6 41 33 1353 1681A7 45 53 2385 2025A8 46 50 2300 2116A9 21 30 630 441
SUMA 314 370 13786 12192
b = n [ Sxiyi] - Sxi . Syi 7894 0,709n Sxi - (Sxi ) 11132
a = 1 [ Syi - b Sxi ] 147,334172 16,370n 9
ECUACION QUE RELACIONA Aptitud mental (X) y Aptitud Academica (Y)
Y = 16.370 + 0.709 * X
X YH MENTAL Academica
A1 20 28A2 48 50
A3 16 31A4 37 46A5 40 49A6 41 33A7 45 53A8 46 50A9 21 30
SUMA 314 370
Resultado de la regresinConstante 16,37046Error tpico de est Y 5,693428R cuadrado 0,732703
N de observaciones 9Grados de libertad 7
Coeficientes X 0,7091268Error tpico del coef 0,1618857
1. De la barra de men ?
2. Ayuda de lotus 1-2-3
3. Datos
4. Valor inicial
5. Rango de X
6. Rango de Y
7. Rango de Salida
8. Actuar
ECUACION
Y = 16.37046 + 0.70912 X
ECUACION
Y = 16.37046 + 0.70912 X
Tabla N 3.- Datos para el clculo de relacin lineal X e Y
Tabla N 4.- Datos para regresin en Hoja de Clculo
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Con el procedimiento de la hoja de clculo se obtiene el resultado de la
regresin que indica una constante a = 16.37046 y un coeficiente b =
0.70912, con lo que se comprueba que aplicando regresin en hoja declculo se logra los mismos resultados que usando el mtodo de mnimos
cuadrados.
Coeficiente de determinacin r2:
El coeficiente de determinacin R2 es igual al cuadrado de la Correlacin
de Spearman.
Con los datos de la Tabla N 5, el coeficiente de determinacin se calcula
con el procedimiento siguiente:
1. Se calcula el promedio de los valores, Prom. = 41.11
2. Con la ecuacin que relaciona X, Y para cada valor de X se calcula
un valor de Y, el cual ser el Ypredicho. Ejemplo: para X =20 el
Ypred = 30.553.
3. Se elabora la columna (Ypred-Yprom)2, cuya suma es 621.983.
4. Se elabora una nueva columna (Y-Yprom)
2,
cuya suma es 848.889.5. Luego se divide 621.983/848.889 obteniendo el resultado de
0.732703, el cual es el coeficiente de determinacin r2
En resumen:
X Y
H M E N T A L A c a d e m ic a Y p r e d ( Y p r e d - Y p r o m ) ( Y -Y p r o m )
A 1 2 0 2 8 3 0 , 5 5 3 1 1 1 , 4 7 4 1 7 1 , 9 0 1A 2 4 8 5 0 5 0 , 4 0 8 5 5 8 6 , 4 4 2 7 9 , 0 1 2A 3 1 6 3 1 2 7 , 7 1 6 4 9 1 7 9 , 4 1 6 1 0 2 , 2 3 5A 4 3 7 4 6 4 2 , 6 0 8 1 6 2 , 2 4 1 2 3 , 9 0 1A 5 4 0 4 9 4 4 , 7 3 5 5 4 1 3 , 1 3 6 6 2 , 2 3 5A 6 4 1 3 3 4 5 , 4 4 4 6 6 1 8 , 7 8 0 6 5 , 7 9 0A 7 4 5 5 3 4 8 , 2 8 1 1 7 5 1 , 4 1 0 1 4 1 , 3 4 6A 8 4 6 5 0 4 8 , 9 9 0 3 6 2 , 0 8 2 7 9 , 0 1 2A 9 2 1 3 0 3 1 , 2 6 2 1 3 9 7 , 0 0 2 1 2 3 , 4 5 7
S U M A 3 1 4 3 7 0 3 7 0 6 2 1 , 9 8 3 8 4 8 , 8 8 9P r o m e d io 4 1 , 1 1
r =
r2 0,732703
S Y red-Y rom2
S(Y- Y prom )2
Tabla N 5.- Datos para Clculo de Determinacin
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R2con regresin de Hoja de Clculo Excel
Este mismo coeficiente de determinacin R2 tambin puede ser hallado
mediante regresin en Hoja de clculo Excel, siguiendo el siguiente
procedimiento:
Coeficiente r2: Bondad de ajuste
El coeficiente r2 debe ser siempre positivo, en tanto que el ajuste entre X eY debe tener el siguiente criterio:
Correlacin y t -student.
La relacin entre dos variables se explica con el Coeficiente de
Determinacin R2o tambin por r, correlacin de Spearman, el cual es la
raz cuadrada del Coeficiente de Determinacin. Si la regresin establece
que hay correlacin R2 (siempre positiva), la relacin directa o indirecta
estar definida por el signo del coeficiente de la variable dependiente.
Resu ltado de la regresinConstante 16,37046Error tpico de est Y 5,693428R cuadrado 0,732703N de observaciones 9G rados de libertad 7
Coeficien tes X 0,7091268Error tpico del coef 0,1618857
1 . D e la b arra d e m en ?
2 . A y ud a d e lo tu s 1 -2 -3
3. Datos
4. V alo r inicia l
5. Rango de X
6. Rango de Y
7. R an go de Salida
8. Actuar
X Y
H ME N TA L A c a de m i caA1 20 28A2 48 50A3 16 31A4 37 46A5 40 49A6 41 33
A7 45 53A8 46 50A9 21 30
Resu ltado de la regresinConstante 16,37046Error tpico de est Y 5,693428R cuadrado 0,732703N de observaciones 9G rados de libertad 7
Coeficien tes X 0,7091268Error tpico del coef 0,1618857
1 . D e la b arra d e m en ?
2 . A y ud a d e lo tu s 1 -2 -3
3. Datos
4. V alo r inicia l
5. Rango de X
6. Rango de Y
7. R an go de Salida
8. Actuar
X Y
H ME N TA L A c a de m i caA1 20 28A2 48 50A3 16 31A4 37 46A5 40 49A6 41 33
A7 45 53A8 46 50A9 21 30
r2 = 1 Ajuste perfecto0,8 < r2 < 1 Ajuste excelente0,5 < r2 < 0,8 Ajuste regular0 < r2 < 0,5 Ajuste pobre
Tabla N 6.- Coeficiente de Determinacin con Hoja de Clculo
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S el coeficiente que entrega la regresin se divide entre el error aparece
un nuevo valor estadstico denominado t o t-student que es tambin una
varianza, un nmero representativo de significancia muy utilizado en laaplicacin de estadstica en el manejo de datos. Este concepto se usa
frecuentemente en la calibracin de equipos como el Analizador en Lnea
Courier y el analizador de tamao de partcula PSI200. Generalmente,
cuando la correlacin es alta, el t-student tambin es elevado en valor
absoluto.
Existe una relacin directa entre las variables s el valor t es positivo, yuna relacin indirecta s el valor t es negativo. Pero, lo importante es
determinar si existir significancia estadstica siempre que los valores
sean mayores a 2 (positivo o negativo). Obviamente, los valores de t
tienen lmites segn el grado de confianza estadstica y pueden ser
determinados a travs de Tablas Estadsticas conocidas.
Por ejemplo, para n=9 al 95% de confianza, el valor de t es 1.82, y a
medida que aumenta el nmero de eventos se va incrementando ese
valor. La calibracin del Courier establece t mayor que 2 (en valor
absoluto) para que el coeficiente sea significativo en la ecuacin. El
estadstico t-student tambin se aplica en los anlisis de regresin para el
Diseo Experimental.
Ejemplos de aplicacin de regresin estadstica
REGRESION LINEAL SIMPLE: Relacin entre elementos qumicos
Los minerales son liberados con chancado - molienda y luego procesados
en flotacin. Generalmente, un estudio microscpico en luz reflejada
determina las especies mineralgicas tpicas y presentes. Por ejemplo,
determinar los valores de cobre en distintas especies, que pueden ser
Calcopirita (CuFeS), calcosita (CuS), cobres grises (tenantita y
tetrahedrita CuSAs, Sb, Ag).
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El hierro presente puede ser Pirita (FeS) o pirrotita (FeSx) o un xido tipo
Magnetita (Fe3O4). El ensaye qumico por elementos en el procesamiento
de minerales prcticamente no da mayor informacin para mejorar losresultados metalrgicos. Sin embargo, sin dejar de considerar la
abundante informacin que provee un estudio microscpico, pueden
aplicarse los conceptos sobre regresin estadstica para encontrar una
aproximacin a la probable presencia de especies mineralgicas,
partiendo de un anlisis qumico. Este procedimiento consiste en hacer
microscopia sin microscopio por llamarlo de algn modo.
Ejemplo: Una flotacin de un mineral polimetlico Pb-Cu-Zn-Plata,
necesita saber porque los minerales concentrados estn contaminados
con alto arsnico y antimonio, y si estos contaminantes pueden ser
eliminados en el proceso de flotacin o en un tratamiento metalrgico
efectuado posteriormente.
En un muestreo en diversos puntos del circuito de flotacin Bulk Pb-Cu,
donde se concentran mayormente los valores de As y Sb, las muestras
son separadas por fracciones de tamao en mallas 100,200, 325 y -325,
las cuales se analizaron qumicamente por Pb, Zn, Cu, Plata, Fe, As, Sb,
obteniendo los siguientes resultados en el anlisis qumico.
Tabla N 7.- Anlisis granulomtrico valorado en flotacin bulk
%Pb %Zn %Cu Oz/TCAg %Fe %As %Sb
Espuma Rougher Malla 100 64,44 3,24 2,56 68,96 1,36 1,148 1,760
Malla 200 69,08 4,46 3,04 78,73 1,48 1,260 1,788
Malla 325 73,10 3,62 2,42 72,90 1,00 0,890 1,115
Malla -325 73,32 2,84 2,42 69,40 0,80 0,982 1,128
Bulk Pb-Cu Malla 100 50,56 9,52 4,28 77,56 3,74 1,148 1,410
Malla 200 47,52 9,50 5,78 93,75 5,92 1,774 2,056
Malla 325 38,10 14,60 5,20 79,02 6,98 1,672 1,794
Malla -325 47,90 12,38 3,92 70,13 3,62 1,366 1,538
2da. Limpieza Malla 200 25,04 6,46 22,62 292,47 1,72 5,942 9,760
Malla 325 44,06 7,92 12,94 181,38 1,40 3,644 4,624
Malla -325 57,20 9,90 5,46 98,27 1,18 1,890 2,378
PRODUCTOS
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La relacin entre las leyes de los elementos se encuentra por regresin
simple porque expresa la relacin entre los pares de los elementos
qumicos. S el signo es positivo indica que los pares de los elementosqumicos estn altamente ligados, por lo que es posible que haya relacin
mineralgica. Por el contrario, s el signo es negativo significa que no hay
relacin mineralgica entre los elementos qumicos y posiblemente sea
diluido por el proceso de flotacin. Estas relaciones se denominan
estadstico t-student.
Por ejemplo, la relacin entre Arsnico y Cobre tiene la siguienteregresin aplicando el sistema de la Hoja de Clculo.
En el procedimiento se colocar en el rango X toda la columna
correspondiente al ensaye por Arsnico y para el rango Y, la columna
respectiva de ensaye por Cobre. Cabe sealar, que al invertir las
columnas para hacer la regresin el resultado no tiene ningn cambio en
lo que se refiere a la correlacin y al valor de t
Del cuadro anterior se deduce que entre Arsnico y Cobre hay una