Marco Teorico

5/11/2018 Marco Teorico - slidepdf.com

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Dise ˜ no de metodologıa para caracterizar

texturas presentes en imagenes de proyectiles

disparados por armas de fuego, con el fin de

realizar cotejo automatico

Jeison Mendez Garcıa

Facultad de Ingenierıas Electrica, Electronica,

Fısica y Ciencias de la Computacion

Pereira, Colombia

2010



Dise ˜ no de metodologıa para caracterizar

texturas presentes en imagenes de proyectiles

disparados por armas de fuego, con el fin de

realizar cotejo automatico

Jeison Mendez Garcıa

Tesis para optar por el tıtulo de

Ingeniero Fısico

Director

M.Sc. Jorge Hernando Rivera Piedrahita.

Universidad Tecnologica de Pereira

Facultad de Ingenierıas Electrica, Electronica,

Fısica y Ciencias de la Computacion

Pereira, Colombia

2010



A mi maravillosa madre, el pilar de soporte para mi vida. A mis hermanos

y sobrinos. A toda mi familia, y tantos que de una u otra forma fueron c´ omplices de

este logro.





Indice general

´Indice general

Indice de figuras

Indice de tablas

1 Marco teorico y estado del arte 3

1.1. Procesamiento digital de Imagenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1. Adquisicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2. Mejora de imagenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3. Representacion y descripcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2. Textura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2. Descripcion de texturas, enfoque estadıstico . . . . . . . . . . . 10

1.2.3. Descripcion de texturas, enfoque espectral . . . . . . . . . . . . 12

1.2.4. Descripcion de textura, enfoque estructural . . . . . . . . . . . 15

1.3. Significacion estadıstica y potencia estadıstica . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4. Comparacion de medias: El contraste t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5. Analisis de varianza: ANOVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5.1. Contraste de Shapiro-Wilk (Normalidad) . . . . . . . . . . . . 20

1.5.2. Contraste de Levene (Homocedasticidad) . . . . . . . . . . . . 21

1.6. Comparacion de dos poblaciones multivariantes . . . . . . . . . . . . . 22

1.7. Analisis multivariante de la varianza: MANOVA . . . . . . . . . . . . . 23

1.7.1. Contraste de Esfericidad de Bartlett . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.7.2. Contraste de M de Box . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.8. Analisis Discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.9. Analisis Cluster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.9.1. Medidas de similitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.9.2. Formacion de conglomerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.10. Balıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39



´ INDICE GENERAL

1.10.1. Terminologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.10.2. Anatomıa de armas de fuego y municion . . . . . . . . . . . . 41

1.10.3. Marcas basicas sobre evidencia balıstica . . . . . . . . . . . . . 44

1.10.4. Identificacion tradicional de armas de fuego . . . . . . . . . . . 441.10.5. Influencia de la manufactura de armas en la identificacion . . . 46

1.10.6. Influencia del uso de armas en la identificacion . . . . . . . . . 47

2 Dise ˜ no experimental 49

2.1. Base de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.1.1. Equipo utilizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.1.2. Imagenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.2. Preprocesamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.3. Extraccion de caracterısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.4. Analisis de varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.5. Analisis de varianza multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.6. Analisis discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.7. Analisis de conglomerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3 Analisis de Resultados y conclusiones 65

3.1. Discusion previa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2. Analisis univariado de la varianza: ANOVA . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3. Analisis multivariado de la varianza: MANOVA . . . . . . . . . . . . . 66

3.4. Analisis discriminante y analisis de conglomerados . . . . . . . . . . . 66

Bibliografıa 69

A Tablas de resultados 77

B Actualidad de la identificacion automatica de armas 89

C Manufactura e identificacion 95

D Uso e identificacion 99

E Datos tecnicos, equipos LEICA 101

F Scripts Matlab 103



Indice de figuras

1.1. Diagrama de procesamiento digital de imagenes . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Funcion de transformacion de niveles de gris . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Mejora de contraste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4. descripcion de textura enfoque de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5. Descripcion estructural de texturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6. Representacion univariante de puntuaciones Z discriminantes . . . . . . . . 31

1.7. Comparacion entre encadenamiento simple y compuesto . . . . . . . . . . 36

2.1. Arreglo para la adquisicion de las imagenes . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.2. Desenvolvimiento de la superficie del proyectil . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.3. Diagrama de flujo para obtener superficies “desenvueltas” . . . . . . . . . 51

2.4. Histograma de bajo contraste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.5. Contraste mejorado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.6. Diagrama de flujo para extraccion de caracterısticas . . . . . . . . . . . . . 53

2.7. Diagrama de flujo para analisis univariado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.8. Diagrama de flujo MANOVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.9. Analisis discriminante datos MCNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.10. Analisis discriminante datos Histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.11. Analisis discriminante datos S (r ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.12. Analisis discriminante datos S (θ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.13. Analisis de conglomerados MCNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.14. Analisis de conglomerados Histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62



A.1. Comparacion multiple de medias y Tablas de ANOVA (MCNG) . . . . . . 82

A.2. Comparacion multiple de medias y Tablas de ANOVA (Histograma) . . . . 83

A.3. Comparacion multiple de medias y Tablas de ANOVA (S (r )) . . . . . . . . 84

A.4. Comparacion multiple de medias y Tablas de ANOVA (S (θ )) . . . . . . . . 85



´ INDICE DE FIGURAS

B.1. Serie IBIS-TRAX-3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91



Indice de tablas

1.1. Poblacion univariante con k grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2. Tabla de Analisis de varianza de un factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3. Poblacion multivariante con k grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4. Tabla de Analisis de varianza multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5. Distribuciones del estadıstico Λ de Wilks . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1. Codigos de las armas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.2. Codigos de las caracterısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.3. Sumario de grupos diferentes bajo analisis univariado . . . . . . . . . . . . 54

A.1. Caracterısticas a partir del histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

A.2. Caracterısticas a partir de la MCNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

A.3. Caracterısticas a partir de S (r ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

A.4. Caracterısticas a partir de S (θ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

A.5. Test de normalidad de Shapiro-Wilk (Histograma) . . . . . . . . . . . . . . 80

A.6. Test de normalidad de Shapiro-Wilk (MCNG) . . . . . . . . . . . . . . . . 80

A.7. Test de normalidad de Shapiro-Wilk (S (r )) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

A.8. Test de normalidad de Shapiro-Wilk (S (θ )) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

A.9. Test de Homogeneidad de las varianzas (Histograma) . . . . . . . . . . . . 81

A.10.Test de Homogeneidad de las varianzas (MCNG) . . . . . . . . . . . . . . 81

A.11.Test de Homogeneidad de las varianzas (S (r )) . . . . . . . . . . . . . . . . 81

A.12.Test de Homogeneidad de las varianzas (S (θ )) . . . . . . . . . . . . . . . . 81A.13.Pruebas de esfericidad de Bartlett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

A.14.MANOVA para caracterısticas de la MCNG . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

A.15.MANOVA para caracterısticas del histograma . . . . . . . . . . . . . . . . 87

A.16.MANOVA para caracterısticas de S (r ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

A.17. MANOVA para caracterısticas de S (θ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

C.1. Manufactura de canones e identificacion de armas . . . . . . . . . . . . . . 98

D.1. Uso e identificacion de armas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99





Introduccion

La comparacion entre imagenes de proyectiles, disparados por armas de fuego, llevada

a cabo por los tecnicos en balıstica es una tarea que lleva mucho tiempo realizar, debido

a que esta es llevada a cabo usando solo la memoria visual y la experiencia del tecnico

para comparar texturas presentes en la imagen del proyectil objeto de prueba y la imagen

del proyectil incriminado, lo anterior representa una enorme limitacion a la hora de usar

este tipo de evidencia en una corte o juzgado.

Ahora bien, hace ya varios anos en diferentes paıses del mundo, tales como Estados

unidos, Canada, y Australia entre otros, los entes encargados de hacer cumplir la ley

han llevado acabo investigaciones para desarrollar dispositivos que puedan capturar las

imagenes de proyectiles y vainillas relacionados con investigaciones judiciales, luego

usando procesamiento digital de imagenes dotar de caracterısticas cuantitativas a los

patrones presentes en proyectiles y vainillas disparadas, para facilitar y agilizar la tarea

de identificacion de armas de fuego.

En este tipo de desarrollo se parte de la premisa que marcas caracterısticas son impresas

sobre el proyectil y la vainilla cuando un arma de fuego es disparada. Ademas, la

hipotesis asume una combinacion unica de marcas tal que la probabilidad de encontrar

dos conjuntos identicos de marcas es practicamente nula [1]. Al rededor de treinta

caracterısticas de estas marcas pueden ser distinguidas, las cuales siendo combinadas

pueden producir una “huella digital” del arma de fuego. Analizando las caracterısticas

de un conjunto de huellas digitales de armas, sera posible identificar no solo el tipo y

modelo del arma de fuego, sino que tambien cada arma en particular de manera tan

efectiva como la huella digital humana identifica cada individuo [2].

El desarrollo de la metodologıa consta del estudio, analisis y aplicacion de las tecnicas

usadas en cada una de las etapas que consta el procesamiento de imagenes digitales,

tales como adquisicion, preprocesamiento, segmentacion, representacion y descripcion,

clasificacion y reconocimiento.

En la etapa de descripcion donde se lleva cabo la extraccion de caracterısticas, se propone

el uso de informacion espectral y estadıstica de las texturas presentes en la imagen.

1



2 ´ INDICE DE TABLAS

La investigacion es importante en la medida que es un avance en el desarrollo de una

herramienta que facilite el cotejo de material probatorio. Actualmente el numero de casos

relacionados con proyectiles disparados por armas de fuego en la region se acerca a los3000 casos anuales, esto sumado a que la tarea de comparacion tradicional consume una

gran cantidad de tiempo, justifica el creciente ındice de impunidad en casos relacionados

con armas de fuego.



Capıtulo 1

Marco teorico y estado del arte

1.1. Procesamiento digital de Imagenes

Una imagen es una funcion f bidimensional de las coordenadas espaciales x e y, en

cada punto ( x, y) la magnitud de f se denomina Intensidad o Nivel de gris de la imagen.

Cuando los valores de las coordenadas espaciales y de los niveles de gris de la imagen

son todos valores discretos, decimos que la imagen es digital. El campo de accion del

procesamiento digital de imagenes se refiere al tratamiento de las imagenes digitales

usando computadores [3].

Aunque la vision es uno de los mas complejos sentidos de los humanos, solo nos permite

relacionar con imagenes, los efectos sobre la materia de la parte visible del espectro

electromagnetico (400nm-700nm), de allı surge la importancia de las imagenes digitales,

pues con el dispositivo transductor adecuado podemos obtener imagenes no solo de casi

todo el espectro electromagnetico, desde gamma hasta ondas de radio, sino tambien de

otro tipo de ondas como las sonoras. Debido a lo anterior, el procesamiento digital de

imagenes es ampliamente estudiado en diferentes campos del conocimiento.

Se muestra en la figura 1.1, el esquema que representa las etapas del procesamiento de

imagenes digitales.

La etapa de adquisicion es una etapa en la cual con un dispositivo f ısico sensible a una

determinada banda del espectro electromagnetico, el cual produce una senal electrica a

la salida, y un digitalizador el cual convierte la salida del dispositivo a una forma digital;

se pueden adquirir las imagenes para luego almacenarlas.

Luego de la adquisicion viene una etapa de almacenamiento en la cual se agregan

imagenes a una base de datos la cual sirve como base de conocimiento durante el

analisis de los resultados.

En la etapa de preprocesamiento el objetivo es resaltar las componentes de la imagen

3



4 CAP ITULO 1. MARCO TE ´ ORICO Y ESTADO DEL ARTE

Figura 1.1: Etapas del procesamiento digital de imagenes

que son de interes y reducir o eliminar las que no son de interes. Se espera que el

resultado del preprocesamiento sea una imagen lo mas apta posible para las etapas

posteriores del procesamiento.

Durante la segmentacion se aislan los objetos constituyentes de la imagen que son de

interes para el analisis. El grado de segmentacion es funcion del problema a resolver, es

decir, la segmentacion debe detenerse cuando los objetos de interes han sido aislados.

Cabe mencionar que no en todas las aplicaciones es importante segmentar las imagenes

pues el interes esta en las caracterısticas que puede proporcionar toda la imagen y no

solo una porcion de ella.

La etapa de extraccion de caracterısticas consiste en extraer informacion cuantitativa

de los elementos constitutivos de interes de la imagen con el fin de estar en capacidad

de diferenciar entre clases. Los elementos de interes pueden ser externos o internos;

externos (de contorno) cuando el objetivo principal se centra en las caracterısticas

de forma, e internos (los pixeles que comprenden una region) cuando el objetivo se

centra en las propiedades de reflectividad, tales como color, niveles de gris y textura.

Luego durante la seleccion de caracterısticas, se usan tecnicas que permitan separar

caracterısticas relevantes (las que permiten determinar un factor discriminante entre

clases) de caracterısticas redundantes o innecesarias.

Finalmente, llega la etapa de asignacion de etiquetas a objetos y mas alla, la asignacion

de significados a conjuntos de objetos. Esta etapa es conocida como reconocimiento,

y es por ası decirlo, la etapa en la cual se trata de dotar a los sistemas digitales de

procesamiento de una capacidad de aproximacion, similar a la de los seres humanos.



1.1. PROCESAMIENTO DIGITAL DE IM ´ AGENES 5

1.1.1. Adquisicion

La digitalizacion de las imagenes es requerida debida a la necesidad de almacenamiento

para procesos posteriores de visualizacion, transmision o analisis. Debido a que enel mundo real las imagenes son continuas, es decir, entre dos puntos dados hay

una infinidad de puntos, se necesitarıa una cantidad infinita de bits para representar

ese segmento en un computador; ademas, la representacion de la intensidad tambien

demandarıa una cantidad infinita de bits para representar las variaciones a traves del

segmento. Es por esto que las imagenes se representan como un conjunto discreto de

datos organizado en una matriz 2D.

Dentro de los dispositivos usados en la tarea de digitalizar las imagenes, se encuentran

las vıdeo camaras, las camaras CCD (Dispositivo de carga acoplada) y las camaras

CMOS (Oxido de Metal Semiconductor Complementario).

El funcionamiento basico de la vıdeo camara es el dado en un tubo vidicon. Este funcionabarriendo un rayo de electrones a traves de una capa (coating) de fosforo dispuesta en

el interior del tubo de vidrio. La luz entra a la camara a traves de la superficie frontal

de vidrio y una delgada capa metalica (anodo) creando electrones libres en el fosforo.

Esto varıa la conductividad local de la capa, de esta manera la cantidad de corriente

que fluye hacia el anodo varıa a medida que el rayo se barre sobre la superficie, acorde

a la intensidad local de la luz. Esta senal electrica analoga de variacion continua, por

intervalos, es amplificada y digitalizada para ser almacenada en datos de 8 bits [4].

Las camaras a base de tubos han sido reemplazadas por camaras basadas en chips de

estado solido, entre las cuales se encuentran las camaras CCD. El chip contiene arreglos

de diodos que funcionan como ”baldes” de luz. La luz que entra al semiconductor excitalos electrones de la banda de valencia para que pasen a la banda de conduccion, de

esta manera el numero de electrones es una medida directa de la intensidad de la luz

incidente.

Cada ”balde” representa un pıxel en la camara, debido a la cantidad de receptores que se

encuentran en cada chip, resulta poco practico hacer la lectura de cada uno; en su lugar,

se usa una fila de lectura, que recibe los electrones almacenados por una fila de ”baldes”

de manera simultanea. Una senal de reloj controla el corrimiento de la carga almacenada

en una fila de lectura. Los electrones son llevados a un amplificador y de allı pueden ser

enviados en forma senal analoga a una vıdeo camara o medidos inmediatamente para

producir una salida numerica de una camara digital [4].

1.1.2. Mejora de imagenes

En el procesamiento de imagenes digitales, ası como en el analisis de senales digitales

unidimensionales, es necesaria una etapa de preprocesamiento de la senal. En esta etapa

se aplican determinadas tecnicas, las cuales hacen la senal de salida mas apropiada para

la aplicacion de las tecnicas siguientes del procesamiento.

Las tecnicas utilizadas para mejorar las imagenes digitales estan dentro de dos grandes




categorıas. Existen las tecnicas de mejora espacial, las cuales se llevan a cabo

directamente sobre la imagen, mas especıficamente sobre los valores de intensidad de

los pixeles que componen la imagen; y las tecnicas en el dominio de la frecuencia,

las cuales se basan en la manipulacion del espectro de Fourier de la imagen. Ademas,resulta tambien habitual el uso de tecnicas de mejora que combinan metodos de ambas

categorıas.

Mejora espacial

Las tecnicas de mejora espacial consisten en proporcionar a las imagenes una

distribucion de intensidades o niveles de gris diferente a la original, con el fin de resaltar

detalles “escondidos” de las imagenes originales.

La funci´ on de transformaci´ on de nivel de gris (tambien denominada correspondencia),

segun [5], es de la forma:

s = T (r ) (1.1)

Donde r y s, son variables que indican el nivel de gris de la imagen de entrada y la de

salida; relacionadas segun la funcion de transformacion T .

Por ejemplo, en la figura (1.2), se muestra una transformacion que mejora el contraste

de las imagenes, oscureciendo los niveles de gris por debajo de un valor m, e iluminando

los niveles de gris por encima del mismo valor. La funcion de transformacion se puede

deformar hasta formar una imagen binaria, es decir, a los niveles de gris de la imagen

original que esten por debajo de m se le asigna el valor de cero, mientras a los niveles

por encima de m se les asigna el valor del maximo nivel (255 en el caso de una imagende 8 bits).

Figura 1.2: Funcion de transformacion



1.1. PROCESAMIENTO DIGITAL DE IM ´ AGENES 7

Mejora en el dominio de la frecuencia

La mejora de las imagenes en el dominio de la frecuencia, consiste basicamente en

calcular el espectro de Fourier de la imagen y modificar este segun las necesidades. Se

puede por ejemplo, resaltar los bordes acentuando las componentes de alta frecuencia,

suavizar las superficies reduciendo las componentes de alta frecuencia a la vez que son

acentuadas las de baja, hasta lograr el resultado esperado por el usuario, quien es en

ultimas el juez de las bondades del procedimiento.

Histograma

El histograma de una imagen esta definido segun [5]:

p(r k ) =nk

n; k = 0, 1, 2, . . . , L (1.2)

Donde r k es el k-esimo nivel de gris o valor intensidad, nk es el numero de pixeles de la

imagen con ese valor de nivel de gris, n es el numero total de pixeles de la imagen y L

es el maximo nivel de gris, por ejemplo L = 1 para una imagen binaria, L = 255 en una

imagen de 8-bits y L = 16535 para una imagen de 16-bits.

De la definicion anterior se puede observar que p(r k ) representa la probabilidad de

aparicion del nivel de gris r k .

La forma del histograma p(r k ), da una idea de la apariencia global de la imagen,

es decir, observando la distribucion del histograma se puede inferir sı la imagen es

oscura, brillante, de bajo o alto contraste. Sin embargo,el histograma no proporcionainformacion sobre la distribucion espacial de los pixeles en la imagen.

Mejora de Contraste

El aumento de contraste consiste en incrementar el rango dinamico de los niveles de gris

presentes en la imagen que esta siendo procesada.

Algunas causas de bajo contraste en una imagen digital son: pobre iluminacion del

objetivo ocular, deficiencia en el rango dinamico del sensor, incorrecta apertura del lente

al momento de la captura de la imagen, entre otras.

Vale la pena mencionar, que el exito o fracaso de cada metodo para mejorar imagenes

incluyendo la mejora de contraste, depende de la aplicacion, por ejemplo una tecnica

puede tener buenos resultados al ser aplicada sobre una imagen de resonancia magnetica

nuclear y no serlo para mejorar una imagen de rayos-X.

Una transformacion de niveles de gris basica, es la mostrada en la figura (1.3) ,

donde la ubicacion de los puntos (r 1, s1) y (r 2, s2) controla la forma de la funcion de

transformacion. Algunas de las opciones son por ejemplo r 1 = s1 y r 2 = s2, la cual es

una transformacion lineal que no tiene efecto de variacion en el contraste; sı r 1 = 0,

s1 = L (siendo L el maximo nivel de gris permitido), r 2 = L y s2 = 0, la imagen de




salida resulta ser el negativo de la imagen de entrada, es decir, se invierte el orden de los

niveles de gris; si r 1 = r 2, s1 = 0 y s2 = L, el resultado es una imagen binaria. De forma

mas general, en una transformacion que mejore el contraste, en varios niveles, se espera

que r 1 ≤ r 2 y s1 ≤ s2, de forma que la funcion de transformacion sea de valor unico ymonotonamente creciente. Estas caracterısticas permiten una correspondencia uno a uno

en los niveles de gris y que se preserve el orden de los mismos.

Figura 1.3: Funcion de transformacion para mejora de contraste

A continuacion son presentadas dos tecnicas ampliamente utilizadas en la mejora de

contraste de imagenes digitales.

La Ecualizaci´ on del histograma o Linealizaci´ on del histograma es una tecnica usada

para obtener un histograma uniforme. La transformacion de nivel de gris para esta

tecnica viene dada por:

sk = T (r k ) =

k j=0

n j

n(1.3)

Las variables son como se mencionaron en la ecuacion (1.2), de manera adicional se

tiene que los niveles de gris r k estan normalizados, esto es, pertenecen al intervalo [0, 1],

donde 0 es el negro y 1 es el blanco.

La funcion de transformacion cumple las siguientes condiciones segun [5]:

1. T (r ) es de valor unico y monotonamente creciente en el intervalo 0 ≤ r ≤ 1

2. 0 ≤ T (r ) ≤ 1 para 0 ≤ r ≤ 1

La condicion 1 conserva el orden entre blanco y negro de la escala de grises, mientras la

condicion 2 garantiza una aplicacion que es coherente con el rango de valores de pixel



1.2. TEXTURA 9

permitidos.

La otra tecnica es conocida como Especificaci´ on del histograma, la idea basica es tener

la capacidad de poder especificar histogramas capaces de destacar determinados rangosde gris de una imagen, a diferencia del metodo anterior que produce unicamente la

aproximacion a un histograma plano.

El inconveniente de la tecnica es la necesidad de construir histogramas significativos para

determinada necesidad, aumentando el costo computacional y reduciendo la generalidad

de la aplicacion de la tecnica.

1.1.3. Representacion y descripcion

El esquema elegido para representar una imagen depende de los intereses posteriores

del analisis. Existen dos esquemas de representacion para imagenes: Externa (decontorno), cuando el interes se centra en caracterısticas de forma, tales como longitud,

perımetro, concavidad; o Interna (de region), cuando el interes se centra en el contenido

pictografico, en los pıxels que componen determinada region de la imagen, tales como

color y textura.

El enfoque de este trabajo esta en las texturas que se presentan en los proyectiles

disparados por armas de fuego, de manera tal que el esquema de representacion

seleccionado es el regional.

1.2. Textura

1.2.1. Introduccion

La textura esta definida como toda variacion de los datos a una escala mas pequena que

la escala de interes. Por ejemplo, sı se esta interesado en identificar una persona que luce

una camisa hawaiana, el patron de las figuras en la camisa es considerado como textura

[6]. Aunque no existe una definicion formal de la textura, este descriptor de las imagenes

proporciona intuitivamente medidas de propiedades tales como suavidad, rugosidad y

regularidad [5]

El analisis de las texturas presentes en imagenes ha sido y es un importante objeto

de estudio dentro del procesamiento de imagenes. El interes en las texturas aparece

principalmente en las aplicaciones presentes en sistemas automatas de vision artificial y

en el reconocimiento de objetos.

Las texturas presentan dos importantes caracterısticas que deben ser tomadas en cuenta

[6]:

Las texturas presentes en una imagen dependen de la escala, es decir, depende

directamente de la distancia a la cual la imagen es adquirida.




Las texturas dependen de la geometrıa de la figura, es decir, bajo diferentes

entornos de iluminacion las texturas obtenidas son diferentes.

Las texturas en una imagen pueden ser el resultado de cualquiera, variaciones en los

tonos o colores que esta presenta, o variaciones en la forma de la superficie representada

por la imagen, es decir, aunque la imagen este uniformemente coloreada la textura

aparecera en forma de sombras y regiones mejor iluminadas. Lo anterior aplica en

imagenes, denominadas imagenes opticas. Sin embargo, las texturas pueden aparecer

en imagenes no-opticas, como lo son por ejemplo las provenientes de tecnicas como

resonancia magnetica, ultrasonido y termograf ıa entre otras.

El significado de la aparicion de texturas en imagenes de este tipo da idea de la variacion

de cierto parametro f ısico a escala mas pequena que la escala de interes. Por ejemplo, en

imagenes de resonancia magnetica (MRI), las texturas indican la variacion de la densidad

de protones entre una zona y la siguiente.

Desde el punto de vista del analisis de texturas, imagenes opticas y no-opticas son

tratadas de la misma forma [6].

Existen tres metodos ampliamente utilizados en la descripcion de la textura que presenta

determinada imagen. Estos son los estadısticos, estructurales y espectrales.

1.2.2. Descripcion de texturas, enfoque estadıstico

Habiendo seleccionado ya el esquema de representacion interno, en el cual el interes

esta en los pixeles que forman la imagen. Pueden ser obtenidas caracterısticas de tipo

estadıstico a partir de la imagen, recordando que esta se puede entender como un

conjunto discreto de datos, donde cada uno representa la intensidad de un cierto pıxel.

El n-esimo momento alrededor de la media de un conjunto discreto de datos segun [3]

esta dado por:

µn =

Li=0

( zi − m)n p( zi) (1.4)

Donde zi representa una variable aleatoria discreta, p( z) es el histograma de la imagen,

L es el maximo nivel de gris que puede tomar la imagen (depende s ı esta es de 8-bits,

16-bits, etc) y m es la media o intensidad promedio de la imagen.

Se presentan a continuacion un conjunto de descriptores utiles en la representacion

estadıstica de caracterısticas de las imagenes digitales [3, 5].



1.2. TEXTURA 11

m =

Li=0

zi p( zi) Intensidad promedio. (1.5)

σ =

µ2( z) Contraste promedio (1.6)

R = 1 − 1

1 + σ2Medida de la suavidad relativa (1.7)

µ3 =

Li=0

( zi − m)3 p( zi) Medida de la asimetrıa del histograma (1.8)

U =

Li=0

p( zi)2 Uniformidad de niveles de gris (1.9)

e = − Li=0

p( zi) log p( zi) Entropıa (1.10)

Sin embargo, existe otra forma de extraer caracterısticas estadısticas de la imagen,

teniendo en cuenta ahora no solamente la distribucion de niveles de gris, sino tambien la

posicion relativa de pixeles que tienen iguales, o casi iguales niveles de intensidad. Esta

forma de describir la textura posibilita la identificacion de patrones en la textura.

Teorema 1. Sea P un operador de posici´ on y A una matriz k x k (k depende del n´ umero

de niveles de gris diferentes). El elemento ai j es el n´ umero de veces que aparecen los

puntos con el nivel de gris zi (en la posici´ on especificada por P) en relaci´ on con los

puntos con el nivel de gris z j , con i ≥ 1 y j ≤ k [5].

Ahora bien, sea n el numero total de pares de puntos de la imagen que satisfacen el

operador de posicion P, esto es n =

ai j. Entonces se puede construir la matriz de

co-ocurrencia de niveles de gris de la imagen, ası:

C =

1

n A (1.11)

Entonces ci j es una estimacion de la probabilidad conjunta que par de puntos que

satisfacen P, tengan valores ( zi, z j). Luego, como C depende del operador de posicion

P, se puede detectar la presencia de un patron dado de textura eligiendo P de forma

adecuada.

De forma mas general, el problema consiste en analizar una matriz C dada, con el fin de

establecer la categorıa de la textura de la region sobre la cual se calcula C. Un conjunto

de descriptores utiles para este fin, incluye:




i

j

|i − j|2 ci j Contraste (1.12)

i

j

(i − µi) ( j − µ j) ci j

σi σ j

Correlacion (1.13)

i

j

c2i j Energıa o Uniformidad (1.14)

i

j

ci j

1 + |i − j| Homogeneidad (1.15)

−

i

j

ci j log(ci j) Entropıa (1.16)

max(ci j) Maxima probabilidad (1.17)

1.2.3. Descripcion de texturas, enfoque espectral

El espectro de Fourier de una imagen es ampliamente usado porque permite detectar

f acilmente la presencia de patrones periodicos o cuasi-periodicos globales en las

imagenes. Tales patrones, aunque son f acilmente distinguibles como concentraciones

de alta energıa en el espectro, generalmente son bastante dif ıciles de detectar usando

metodos de dominio espacial por la naturaleza local de esas tecnicas [2].

La transformada de Fourier de una funcion continua de dos variables, f ( x, y),

esta definida por la siguiente ecuacion:

F (u, ν) =

∞−∞

f ( x, y)e− j2π(ux+ν y)dxdy (1.18)

donde j =√ −1

La Transformada de Fourier de una funcion discreta de dos variables (imagen

digitalizada) f ( x, y), de tamano M x N , esta dada por la ecuacion:

F (u, ν) =1

MN

M −1 x=0

N −1 y=0

f ( x, y)e− j2π(ux/ M +ν y/ N ) (1.19)

donde u = 0, 1, 2, 3, . . . , M

−1 ; ν = 0, 1, 2, 3, . . . , N

−1.

Se define el espectro de Fourier por la ecuacion

|F (u, ν)| = [ R2( x, y) + I 2( x, y)]12 (1.20)

Donde R( x, y) e I ( x, y) son la parte real e imaginaria del espectro.

Son consideradas tres caracterısticas del espectro de Fourier que son utiles para la

descripcion de la textura [5]:

1. Picos prominentes del espectro que dan la direccion principal de los patrones de

textura.



1.2. TEXTURA 13

2. La localizacion de los picos en el plano de la frecuencia da el perıodo espacial

fundamental de los patrones.

3. La eliminacion de componentes periodicos mediante el filtrado deja elementosno periodicos de la imagen, que se pueden describir por medio de tecnicas

estadısticas.

La deteccion e interpretacion de las caracterısticas es simplificado expresando el espectro

en coordenadas polares, para producir una funcion S (r , θ ), siendo S la funcion del

espectro y r y θ las variables de este sistema de coordenadas. Para cada direccion θ

se puede considerar S (r , θ ) como una funcion unidimensional S θ (r ), de forma similar

para cada frecuencia r , se puede S (r , θ ) se puede considerar como unidimensional S r (θ ).

Analizando S θ (r ) para un valor fijo de θ se obtiene el comportamiento del espectro (tal

como la presencia de picos) a lo largo de una direccion radial desde el origen, mientrasque analizando S r (θ ) para un valor fijo de r, se obtiene el comportamiento a lo largo de

un semicırculo de radio r centrado en el origen. Luego, una descripcion mas global se

obtiene integrando (sumando variables discretas), ası:

S (r ) =

πθ =0

S θ (r ) (1.21)

S (θ ) =

Rr =1

S r (θ ) (1.22)

Para un espectro N x N , se escoge R = N /2; en general para un espectro M x N , se

determina sı M > N o viceversa, entonces R=(mayor )/2.

Los resultados de las ecuaciones (1.21) y (1.22) constituyen un par de valores

[S (r ), S (θ )] para cada par de coordenadas (r , θ ). Variando estas coordenadas se pueden

obtener dos funciones unidimensionales, S (r ) y S (θ ), que constituyen una descripcion

de la energıa espectral de la textura para una region o para una imagen completa. Mas

aun, los mismos descriptores de estas funciones se pueden calcular para caracterizar su

comportamiento cuantitativamente. Los descriptores que normalmente se utilizan para

este fin son la localizacion del valor maximo, la media, la varianza de la amplitud y de

las variaciones axiales, ademas de la distancia entre los valores maximo y medio de la

funcion [5].

A manera de ilustracion, se muestra en la figura 1.4, la comparacion de dos imagenes

diferentes a traves de las componentes radial (S (r )) y angular (S (θ )) de sus espectros.

Se puede observar de las imagenes, que las diferencia la cantidad de ruido incluido en

cada una, la orientacion de las franjas, las cuales tienen un patron cuasiperiodico, y

ademas, se puede observar que una es la reflexion de la otra. Esta relacion existente

entre las imagenes, hace que sus espectros radiales sean identicos a excepcion de las

frecuencias mas bajas.




(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Figura 1.4: (a,b) imagenes. (c,d) graficos componente radial de S . (e,f) graficos

componente angular de S .



1.3. SIGNIFICACI ´ ON ESTAD ISTICA Y POTENCIA ESTAD ISTICA 15

1.2.4. Descripcion de textura, enfoque estructural

Supongase que tenemos una regla de la forma S → aS , que indica que el sımbolo S

se puede escribir como aS (por ejemplo, tres aplicaciones de esta regla produciran la

cadena aaaS ). Sı a representa un cırculo (figura (1.5-a)) y se asigna el significado de

((cırculos a la derecha)) a una cadena de la forma aaa . . . , la regla S → aS permite

generar el patron de textura que se muestra en la figura (1.5-b).

Supongase a continuacion que se anaden algunas nuevas reglas a este esquema: S → bA,

A → cA, A → c, A → bS , S → a, donde la presencia de una b significa ((cırculo

abajo)) y la presencia de una c significa ((cırculo a la izquierda)). Se puede generar una

cadena de la forma aaabccbaa que corresponde a una matriz de cırculos 3x3. De igual

forma se pueden generar facilmente patrones de textura mayores como el mostrado en la

figura (1.5-c). (Tengase en cuenta, sin embargo, que estas reglas pueden generar tambien

estructuras que no son rectangulares).La idea basica de lo anterior es que una simple ((textura primitiva))se puede utilizar para

formar patrones de estructuras mas complejas por medio de algunas reglas que limitan

el numero de posibles composiciones de la(s) primitiva(s). Estos conceptos descansan

en el nucleo de una materia denominada descripciones relacionales [5].

Figura 1.5: (a)Textura primitiva, (b) patron generado usando una regla,

(c) patron generado usando varias reglas

1.3. Significacion estadıstica y potencia estadıstica

Cualquier decision derivada de una prueba de hipotesis tiene cierto grado de

incertidumbre, debido a que estas son realizadas a una muestra poblacional, y no a toda

la poblacion. Por esta razon el investigador esta obligado a deducir inferencias de una

muestra [7, 8].

Para poder interpretar las inferencias estadısticas, se deben especificar los niveles

aceptables de error estadıstico. el error de Tipo I (nivel de significacion α), se define

como la probabilidad de rechazar la hipotesis nula cuando esta es cierta. Por otra parte,




se define el error tipo II ( β), como la probabilidad de aceptar la hipotesis nula cuando

es falsa. A partir de esta ultima, se define el valor 1 − β, el cual representa la potencia

de la inferencia estadıstica. La potencia es la probabilidad de rechazar la hipotesis nula

dado que una alternativa especıfica es verdadera [8].Los errores de Tipo I y Tipo II, presentan entre otras, las siguientes propiedades:

α y β estan relacionados de manera tal, que el aumento de uno tiende por lo general

a generar el aumento del otro.

El aumento del espacio muestral reduce simultaneamente α y β.

En las inferencias estadısticas no solo hay que tener en cuenta el equilibrio entre el nivel

α y la potencia resultante, debido a que esta ultima depende tambien de otros factores

como el efecto tamano y el tamano de la muestra.

La probabilidad de conseguir significacion estadıstica se basa no solo en consideraciones

estadısticas, sino tambien en la magnitud real del efecto que nos interesa en la poblacion,

denominado efecto tamano. Por tal razon, para evaluar la potencia de la prueba

estadıstica es necesario entender primero el efecto examinado, por ejemplo, un efecto

grande es mas probable de encontrar que un efecto pequeno y por tanto se ve afectada la

potencia de la prueba [9].

Por otra parte, para cualquier nivel de α dado, el aumento del tamano de la muestra

siempre produce mayor potencia de la prueba estadıstica, y este efecto puede ser

indeseable, cuando la significacion de efectos cada vez mas pequenos se presente, hasta

que para muestras muy grandes casi cualquier efecto es significativo [9].

Las relaciones entre α, el tamano de la muestra, el efecto tamano y la potencia son

bastante complicados, pero se pueden encontrar ciertos puntos de partida. En [10], son

sugeridos como parametros de diseno para los experimentos, niveles de α de al menos

0.05 con niveles de potencia del 80 %.

1.4. Comparacion de medias: El contraste t

El contraste t valora la significacion estadıstica de las diferencias ente dos medias

muestrales independientes. Para determinar si existen diferencias entre dos factores ogrupos independientes de una misma variable dependiente, se calcula un estad ıstico t . El

estadıstico t es la relacion de las diferencias de las medias muestrales ( X 1 − X 2 ) y su

error estandar. El error estandar es una estimacion de la diferencia entre las medias que

se espera debido al error muestral, mas que debido a diferencias reales entre las medias.

El calculo del estadıstico t , para grupos con iguales desviaciones estandar, σ1 = σ2, se

hace a traves de:

estadıstico t =µ1 − µ2

S comb

1

n1+ 1

n2

(1.23)



1.5. AN ´ ALISIS DE VARIANZA: ANOVA 17

donde n1 y n2 son el tamano de los grupos, y S 2comb

es la varianza combinada, la cual

contiene las varianzas poblacionales (S 21

y S 22

):

S 2comb = (n1 − 1)S

2

1 + (n2 − 1)S2

2

n1 + n2 − 2(1.24)

S 21 =

n1i=1

( xi − x1)2

n1

; S 22 =

n2i=1

( xi − x2)2

n2

Si el valor de t es grande, se puede inferir, estadısticamente hablando, que la diferencia

no se debe a la variabilidad del muestreo, sino que representa una diferencia real entre

los grupos. Para rechazar o aceptar la hipotesis nula de ambas medias muestrales son

iguales ( H 0 : µ1 = µ2), se lleva a cabo el siguiente procedimiento:

Calcular el estadıstico t .

Especificar un nivel de error de Tipo I.

Determinar el valor crıtico (t crit ) de la distribucion t con n1 + n2 − 2 grados de

libertad y con el α especificado.

Si el valor absoluto del estadıstico t calculado supera el t crit , se puede rechazar la

hipotesis nula ( µ1 = µ2).

1.5. Analisis de varianza: ANOVAPara el caso en que se comparan mas de dos grupos, no es recomendable hacer multiples

contrastes t de parejas de grupos, debido a que el error Tipo I aumenta segun [8]:

1 − (1 − α)r

donde r representa el numero de comparaciones posibles entre k medias, y esta dado por:

r = k (k − 1)/2

El anova evita el aumento del error tipo I al comparar un conjunto de grupos de

tratamiento, determinando si el conjunto completo de medidas muestrales fueron

tomadas de la misma poblacion general. Es decir, ANOVA, es empleado para determinar

la probabilidad de que las diferencias en las medias entre varios grupos se deban

meramente al error muestral.

Si se cuenta con un conjunto de datos medidos de la variable X , dividido en k grupos

o niveles de tratamiento; ANOVA permite determinar si la media de los grupos difiere

significativamente para esa variable, dentro de un intervalo de confianza seleccionado,

generalmente del 95 %.




Si tenemos k grupos o niveles, el procedimiento de ANOVA de un factor prueba si la

hipotesis nula es cierta

H 0 : µ1 = µ2 = . . . = µk (1.25)

o si por el contrario, se acepta la hipotesis alternativa que al menos dos de las medias

son diferentes.

Los datos de las observaciones se organizan en una tabla como la que se muestra a

continuacion:

Grupo 1 2 . . . i . . . k

x11 x21 . . . xi1 . . . xk 1

x12 x22 . . . xi2 . . . xk 2

......

.... . .

...

x1n x2n . . . xin xkn

Media x1 x2 . . . xi . . . xk

Tabla 1.1: Poblacion univariante con k grupos

Para que los procedimientos de los contrastes univariantes del ANOVA sean v alidos se

deben cumplir los siguientes supuestos:

Normalidad: Los datos de medidas en cada grupo provienen de una poblacionnormalmente distribuida.

Homocedasticidad: La varianza de los datos no difiere considerablemente entre

grupos, es decir, puede ser considerada homogenea.

Independencia: Las observaciones de cada grupo corresponden a individuos

extraıdos independientemente de la poblacion considerada. Las observaciones

correspondientes a los distintos grupos o niveles de tratamiento son tambien

independientes.

La verificacion de las anteriores condiciones pueden ser llevadas a cabo usando los

contrastes de hipotesis de Shapiro-Wilk y Levene, descritas respectivamente en las

secciones 1.5.1 y 1.5.2. De esta manera cobra significado que la fuente de variabilidad

entre los grupos proviene en su mayorıa de la diferencia entre sus medias.

La suma de las desviaciones al cuadrado, de los datos xi j con respecto a la media global

x, esta dada por S C total (suma total de los cuadrados):

S C total =

k i=1

n j=1

( xi j − x)2 (1.26)




La anterior expresion puede ser dividida en dos componentes, sumando y restando x de

las desviaciones, xi j − x :

Teorema 2. Identidad de la suma de los cuadrados

S C total =

k i=1

n j=1

( xi j − xi)2 + n

k i=1

( xi − x)2

Demostraci´ on.

k i=1

n j=1

( xi j − x)2 =

k i=1

n j=1

[ ( xi j − xi) + ( xi − x) ]2

=

k

i=1

n

j=1

[ ( xi j

−xi)

2+ 2 ( xi j

−xi)( xi

−x) + ( xi

−x)2 ]

=

k i=1

n j=1

( xi j − xi)2 + 2

k i=1

n j=1

( xi j − xi)( xi − x) + n

k i=1

( xi − x)2

El termino del medio es cero, como se muestra

n j=1

( xi j − xi) =

n j=1

xi j − n xi =

n j=1

xi j − n

n j=1

xi j

n

El segundo termino de la identidad de la suma de los cuadrados (teorema 2) es llamado

suma de cuadrados del factor (S C factor ), representa la varianza total de la desviacion

de las medias los grupos con respecto a la media global, es decir, es una medida de la

variabilidad entre grupos.

La primera expresion es conocida como suma de cuadrados residual (S C resid ) o suma

de cuadrados del error (S C error ) y es una medida de la variabilidad que no se debe a

los grupos, representa la variabilidad interna de cada grupo. La ecuacion del teorema 2

puede ser escrita ası:

S C total = S C factor + S C error (1.27)

El comportamiento estocastico de las medias de los grupos alrededor de la media global,

esta representada por la varianza entre grupos, S entre. Esta puede ser interpretada como

el cuadrado medio del factor (C M factor )

C M factor = S entre =S C factor

k − 1(1.28)

donde k − 1 es el numero terminos independientes (grados de libertad-gl.) en S C factor .




La varianza al interior de los grupos, S intra, representa el cuadrado medio del error

(C M error ), y da idea del comportamiento estocastico de los datos al rededor de la media

del grupo al que pertenece.

C M error = S intra =S C error

k (n − 1)(1.29)

donde k (n − 1) son los grados de libertad (gl.) de S C error .

Los resultados de aplicar ANOVA, generalmente se organizan como se muestra en la

tabla 1.2

Fuente SC gl CM F sig.

Grupos S C factor k − 1 C M factor C M factor

C M error p-valor

Error S C error k (n − 1) C M error

Total S S T kn − 1

Tabla 1.2: Tabla de Analisis de varianza de un factor

La relacion

F =C M factor

C M error

es una medida de la cantidad de varianza que puede ser atribuida a los diferentes

grupos o niveles de tratamiento frente a la varianza que se debe al muestreo aleatorio

de cada tratamiento. Dado que las diferencias entre grupos tiende a aumentar el valor

de C M factor , valores grandes de F permiten rechazar la hipotesis nula de que no existen

diferencias entre las medias de los grupos.

Para determinar si el estadıstico F es suficientemente grande como para respaldar el

rechazo de la hipotesis nula, se sigue un proceso similar al del contraste t . Primero, se

determina el valor crıtico para el estadıstico F (F critico) atendiendo a la distribucion F

con (k −1) y k (n−1) grados de libertad para el nivel de significacion dado, normalmente

es 0.05. Si el valor del estadıstico F es mayor que el valor F critico calculado, se puede

concluir que las medias de los grupos no son iguales.

Por otra parte, el p-valor, permite determinar si el resultado de la prueba se encuentra

justo en la frontera de la region de rechazo (p-valor ≈ 0.05), o si se encuentra bien

ubicado dentro de ella (p-valor 0.05).

1.5.1. Contraste de Shapiro-Wilk (Normalidad)

Este permite contrastar la hipotesis nula de que las muestras obtenidas de la variable

dependiente se distribuyen de manera normal en los diferentes grupos o niveles de

tratamiento, cuando se tiene un espacio muestral menor a 50. Dicha hipotesis es




rechazada en el caso que su respectivo nivel de significacion sea menor a 0.05.

w =1

ns

h

j=1

a j,n ( xn−

j+1

−x j)

2

(1.30)

donde ns =

( xi − x)2 ; h = n/2 si n es par y h = (n − 1)/2 si n es impar [11].

1.5.2. Contraste de Levene (Homocedasticidad)

Es una prueba de homogeneidad de varianzas, permite contrastar la hipotesis de que los

grupos muestrales de la variable dependiente provienen de poblaciones con la misma

varianza. La hipotesis nula es rechazada en el caso que el nivel de significacion del

estadıstico de Levene, sea menor a 0.05.

Siguiendo un procedimiento equivalente al realizado con ANOVA, la prueba de

homogeneidad de varianzas se puede llevar a cabo ası:

Se define el valor D, como el valor absoluto de la diferencia entre cada valor y la media

del grupo al que pertenece

Di j = xi j − x j

La media de las diferencias de cada grupo D j y la media total de las diferencias DT , se

definen como

Di =

n

j=1

Di j

n; DT =

k

i=1

n

j=1

Di j

kn

De manera analoga a lo hecho en ANOVA, se definen las Sumas de cuadrados error

(S C error ) y Sumas de cuadrados factor (S C factor )

S C error =

k i=1

n j=1

( Di j − Di)2 ; S C factor = n

k i=1

( Di − DT )2

Los Cuadrados medios

C M error =S error

k (n − 1); C M factor =

S f actor

k − 1

k (n − 1) y k − 1 representan los grados de libertad

Finalmente, la relacion

F =C M factor

C M Error

permite, probar la hipotesis nula de homogeneidad de las varianzas al nivel de

significacion dado.




1.6. Comparacion de dos poblaciones multivariantes:

Contraste T 2 de Hotelling

Este contraste evalua la diferencia entre los vectores de medias entre dos poblaciones

multivariantes, µ1 − µ2. La idea tras el contraste es determinar si los vectores de medias

son iguales ( µ1 − µ2 = 0). Ademas en el caso de µ1 µ2, que componentes de las

medias son diferentes. Se consideran dos muestras aleatorias de las poblaciones 1 y 2,

de tamano n1 y n2 respectivamente. Los vectores x (media) y S (varianza) se obtienen

como se muestra a continuacion

Muestra Estadısticas

Poblacion 1

x11, x12, . . . , x1n1

x1 =1

n1

n1 j=1

x1 j S1 =1

n1 − 1

n1 j=1

(x1 j − x1)(x1 j − x1)T

Poblacion 2

x21, x22, . . . , x2n2

x2 =1

n2

n2 j=1

x2 j S2 =1

n2 − 1

n2 j=1

(x2 j − x2)(x2 j − x2)T

donde

x1 j: representa el vector p dimensional ( p variables independientes o caracterısticas),

para el objeto j de la poblacion 1.

x2 j: representa el vector p dimensional, para el objeto j de la poblacion 2.

El sımbolo T, representa la traspuesta de la matriz.

Al igual que todos los procedimientos donde se hace inferencia estadıstica a partir de un

conjuntos de datos numericos, se asumen algunas caracterısticas de la estructura de los

datos [12]:

1. La muestra [x11, x12, . . . , x1n1], es una muestra aleatoria de tamano n1 de una

poblacion de p variables independientes, con vector de medias µ1 y matriz decovarianza Σ1

2. La muestra [x21, x22, . . . , x2n2], es una muestra aleatoria de tamano n2 de una

poblacion de p variables independientes, con vector de medias µ2 y matriz de

covarianza Σ2

3. Ambas muestras son independientes entre si.

4. Las poblaciones de donde provienen las muestras poseen una distribucion normal

multivariante.



1.7. AN ´ ALISIS MULTIVARIANTE DE LA VARIANZA: MANOVA 23

5. Las muestras poseen la misma matriz de covarianza, Σ1 = Σ2.

De la ultima condicion, si Σ1 = Σ2 = Σ,

n1

j=1

(x1 j

−x1)(x1 j

−x1)T es un estimador

de (n1 − 1)Σ y

n2 j=1

(x2 j − x2)(x2 j − x2)T es un estimador de (n2 − 1)Σ.

De manera consecuente define la varianza combinada (Scomb), la cual es un estimador de

Σ, como:

Scomb =(n1 − 1) S1 + (n2 − 1) S2

n1 + n2 − 2(1.31)

Luego, teniendo en cuenta la independencia de las muestras, x1 y x2, lo cual implica que

sus vectores de medias x1 y x2 tambien sean independientes, se encuentra que

1n1

+1

n1

Scomb

es un estimador de la covarianza de la diferencia de medias Cov(x1−x2). De esta manera,

haciendo un sımil con la expresion de t 2 obtenida de la ecuacion (1.23), se encuentra la

expresion para el contraste T 2 de Hotelling

T 2 = ( µ1 − µ2)T

(

1

n1

+1

n1

)Scomb

−1

( µ1 − µ2) (1.32)

Al igual que el estadıstico t sigue una distribucion conocida bajo la hipotesis nula

de que no existen diferencias entre grupos para una unica variable dependiente, laT 2 de Hotelling sigue una distribucion conocida bajo la hipotesis de que no existen

diferencias entre los grupos sobre los vectores de medias para el conjunto de p variables

dependientes. La T 2 de Hotelling sigue la distribucion F de Fisher con p y n1 + n2−2−1

grados de libertad. Para obtener el valor crıtico de la T 2 de Hotelling, se encuentra el

valor tabulado para F crit a un nivel de significacion α dado y se calcula T 2crit

como sigue

[8]:

T 2crit =p(n1 + n2 − 2)

n1 + n2 − p − 1F crit

1.7. Analisis multivariante de la varianza: MANOVA

Este analisis es una extension del analisis de varianza (ANOVA) en donde se tiene

en cuenta mas de una variable de criterio. Es una tecnica de dependencia que mide

las diferencias de dos o mas variables metricas dependientes basadas en un conjunto

de variables independientes categoricas (no metricas) para efectos de prediccion. El

MANOVA se denomina como proceso multivariado debido a que se usa para valorar

la diferencia entre grupos a traves de multiples variables de manera simultanea [9].

En el MANOVA, la hipotesis nula contrastada es la igualdad de vectores de medias de

variables dependientes multiples entre los grupos, como se muestra:




H 0 :

µ11

µ21

...

µ p1

=

µ12

µ22

...

µ p2

= . . . =

µ1k

µ2k

...

µ pk

(1.33)

p : numero de variables dependientes, k : numero de grupos

En el caso multivariado del analisis de la varianza, se asume que k grupos

independientes tomados de manera aleatoria de una poblacion, cada uno de ellos de

tamano n, son obtenidos de poblaciones p-variadas normales con iguales matrices de

varianzas-covarianzas (Σ) [13]. Los datos se organizan en una tabla como la que se

muestra a continuacion.

Grupo 1 Grupo 2 . . . Grupo k

x11 x21 . . . xk 1

x12 x22 . . . xk 2

......

...

x1n x2n . . . xkn

Media x1 x2 . . . xk

Tabla 1.3: Poblacion multivariante con k grupos, donde cada xi j es un vector de

dimension p

Para que los procedimientos de los contrastes multivariantes del MANOVA sean validos

se deben cumplir los siguientes supuestos:

Independencia

Normalidad multivariada

Correlacion de las variables independientes

Homogeneidad de las matrices de varianzas-covarianzas




La suma de cuadrados y productos cruzados (SCPC ) total, se puede descomponer en

dos factores como en el caso de la suma de cuadrados del experimento univariado.

SCPC total = SCPC factor + SCPC error (1.34)

k i=1

n j=1

(xi j − x)(xi j − x)T = kn

k i=1

(xi − x)(xi − x)T +

k i=1

n j=1

(xi j − xi)(xi j − xi)T

(1.35)

donde

xi j: vector que contiene p observaciones, una para cada variable dependiente.

xi: vector p dimensional que contiene el valor las medias del i-esimo grupo, una para

cada variable.

x: vector p dimensional, que contiene la media global para cada una de las variables.

Los resultados de MANOVA, se organizan en una tabla como la que se muestra

Fuente SCPC gl.

Grupos SCPC factor ≡ B k − 1

Error SCPC error ≡ W k (n − 1)

Total SCPC total ≡ T kn − 1

Tabla 1.4: Tabla de Analisis de varianza multiple.

gl. : grados de libertad

Uno de los estadısticos para contrastar la hipotesis de igualdad de todos los vectores de

medias, es el Lambda de Wilks

Λ =|W|

|W + B

|=

k

i=1

n j=1

(xi j − xi)(xi j − xi)T

k

i=1

n j=1

(xi j − x)(xi j − x)T

(1.36)

Este estadıstico, representa la porcion de variabilidad total que no se debe a las

diferencias entre los grupos. Es decir, un valor pequeno de Λ indica que las diferencias

entre medias multivariantes de los grupos (centroides), en el caso de existir, provienen

de las diferencias entre grupos.

El estadıstico Λ de Wilks, sigue distribuciones conocidas en los casos mencionados

en la tabla 1.5. Para otros casos no mencionados y tamanos muestrales grandes, una




aproximacion hecha por Bartlett en [14], puede ser usada para contrastar la hipotesis

nula.

− n − 1−

p + k

2 ln Λ =

− n − 1−

p + k

2 ln |W|

|W + B| (1.37)

La anterior expresion tiene aproximadamente una distribucion chi-cuadrada con p(k −1)

grados de libertad. De esta manera, se puede rechazar la hipotesis nula bajo el nivel de

significacion α dado si

−

n − 1 − p + k

2

ln

|W||W + B|

> χ2 p(k −1)(α) (1.38)

donde χ2 p(k −1)

(α) es el mayor percentil de una distribucion chi-cuadrada con p(k − 1)

grados de libertad [12, 13].

El valor del estadıstico Λ de Wilk, tambien puede ser calculado a partir de los valores

propios λ1, λ2, . . . , λs de W−1B

Λ =

si=1

1

1 + λi

(1.39)

donde s = min( p, k − 1).

Ademas del estadıstico Λ de Wilk, existen otros estadısticos que tambien son usados

para contrastar la igualdad de vectores multivariados de medias. Estos estadısticos deigual manera pueden ser expresados como funciones de los autovalores de W−1B [12].

Traza de Pillai-Bartlett ≡ V = tr

B(B + W)−1 (1.40)

Traza de Lawley-Hotelling ≡ U = tr W−1B

(1.41)

Raiz mas grande de Roy ≡ R = maximo valor propio de W−1B (1.42)

Traza de Pillai-Bartlett

Este estadıstico permite rechazar la hipotesis de igualdad de medias multivariadas dado

un nivel de confidencia α, usando una aproximacion de la distribucion F [13]:

2 N + s + 1

2m + s + 1

V

s − V > F s(2m+s+1),s(2 N +s+1)(α) (1.43)

donde

s = ( p, k − 1), m =1

2

p − (k − 1) − 1, N =

1

2

k (n − 1) − p − 1

(1.44)




# variables # grupos Funcion de distribucion seguida por Λ

p = 1 k ≥ 2 k (n − 1)

k − 1

1 − Λ

Λ

∼ F k −1,k (n−1)

p = 2 k ≥ 2 k (n − 1) − 1

k − 1

1 −

√ Λ√

Λ

∼ F 2(k −1),2(kn−k −1)

p ≥ 1 k = 2 kn − p − 1

p

1 − Λ

Λ

∼ F p,kn− p−1

p≥

1 k = 3 kn − p − 2

p

1 − √ Λ√

Λ

∼ F 2 p,2(kn− p−2)

Tabla 1.5: Distribuciones del estadıstico Λ de Wilks

Traza de Lawley-Hotelling



2(sN + 1)U

s2(2m + s + 1)> F s(2m+s+1),2(sN +1)(α) (1.45)

Raiz caracterıstica mas grande de Roy



k (n − 1) − max( p, k − 1) − 1

max( p, k − 1)R > F max( p,k −1) , k (n−1)−max( p,k −1)−1(α) (1.46)

Comparacion entre los cuatro estadısticos

Cuando H 0 : µ1 = µ2 = . . . = µk es cierta, todos los centroides estan en el mismo

punto, de esta manera todos los cuatro estadısticos descritos presentan el mismo error

Tipo I (α). Sin embargo cuando H 0 es falsa, los cuatro estadısticos tienen diferentes

probabilidades de rechazo [13].

Historicamente, el estadıstico Λ de Wilks ha desempenado un rol dominante en cuanto a

pruebas de significado estadıstico en MANOVA por haber sido el primero en ser usado

y tener unas aproximaciones de distribuciones χ2 y F bien conocidas. Sin embargo, no

siempre este estadıstico es el mas poderoso de los cuatro [13].




La potencia estadıstica relativa de los cuatro estadısticos depende de la configuracion de

los vectores de medias en el espacio s-dimensional < s = min( p, k − 1) >, es decir, un

estadıstico puede tener mayor potencia para una configuracion de los vectores de medias

que para otra. Una indicacion del patron que poseen los vectores de medias esta dadopor los valores propios de W−1B. Si hay un valor propio grande en comparacion

con los otros, los vectores de medias tienen la tendencia a ser colineales. Si hay dos

valores propios grandes, los vectores de medias yacen en su mayorıa en un plano, y

ası sucesivamente [13].

Debido a que el estadıstico de Roy usa el autovalor mas grande de W−1B, tiene mayor

potencia estadıstica que los otros, si los vectores de medias son colineales. Mientras

los otros tres estadısticos tienen mayor potencia cuando se trata de vectores de medias

dispersos en varias dimensiones [13].

En conclusion, el estadıstico de Roy es recomendado solo cuando los vectores de medias

son colineales, en los otros casos los otros tres tienen el mejor desempeno, siendo

V el mas recomendado incluso cuando se presenta heterogeneidad de las matrices de

varianzas-covarianzas y no-normalidad en la distribucion de los datos al interior de las

muestras [13].

En la practica, cuando se calculan los cuatro estadısticos al realizar analisis multivariado

de la varianza, todos los estadısticos permiten concluir lo mismo. En el caso que difieran

en aceptar o rechazar H 0, se pueden examinar los autovalores de W−1B y las matrices

de varianzas covarianzas para decidir cual puede o no ser un resultado confiable.

1.7.1. Contraste de Esfericidad de Bartlett

Esta prueba se utiliza para contrastar la hipotesis nula de que las variables no estan

correlacionadas en la poblacion, es decir, comprueba si la matriz de correlaciones es

proporcional a una matriz de identidad. Se puede dar como validos aquellos resultados

que nos presenten un valor elevado del test y cuyo nivel de significacion sea menor a

0.05. En este caso se rechaza la Hipotesis nula y se continua con el analisis [12, 15].

La matriz de correlaci´ on de la muestra (R) es una matriz de tamano p x p.

R =

s11√ s11

√ s11

s12√ s11

√ s22

. . .s1 p√

s11√

s pp

s21

√ s22 √ s11

s22

√ s22 √ s22

. . .s2 p

√ s22 √ s pp...

.... . .

...s p1√

s pp√

s11

s p2√ s pp

√ s22

. . .s pp√

s pp√

s pp

(1.47)

Por otra parte, si definimos la matriz de desviaciones est ´ andar de la muestra

D1/2 =

√ s11 0 . . . 0

0√

s22 . . . 0...

.... . .

...

0 0 . . .√

s pp

(1.48)



1.8. AN ´ ALISIS DISCRIMINANTE 29

y su inversa

D−1/2

=

1√ s11

0 . . . 0

0 1√ s22

. . . 0

......

. . . ...

0 0 . . . 1√ s pp

La matriz de correlacion R, puede ser calculada, segun [12], a traves de

R = D1/2 S D−1/2 (1.49)

donde S es la matriz de varianza-covarianza total de la muestra.

La prueba se aproxima a traves de la distribucion χ2 , para p variables, n el tamano del

espacio muestral y p/2( p − 1) grados de libertad. [15].

−

n − 1 − 2 p + 5

6

lnR > χ

2 p/2( p−1)(α) (1.50)

1.7.2. Contraste de M de Box

Contrasta la hipotesis nula de igualdad de las matrices de varianzas-covarianzas

poblacionales. El estadıstico M de Box tiene la forma [15]

M =

k i=1

Si

(ni−1)/2

Sk (n−1)/2

(1.51)

donde S es una estimacion de la matriz de varianzas-covarianzas combinada, Si es una

estimacion de la matriz de varianzas-covarianzas del i-esimo grupo, kn es el numero de

casos totales, n es el numero de casos del i-esimo grupo y k es el numero de grupos.

El estadıstico M carece de distribucion muestral conocida, sin embargo puede ser

transformada en un estadıstico F y ser interpretada como tal.

Muchos analistas critican el uso de este estadıstico por ser demasiado sensible a

variaciones en la normalidad multivariante y a tamanos muestrales grandes [15].

Cuando el numerador del estadıstico M , sea muy superior al denominador,

sera indicativo de que existe heteroscedasticidad, es decir que no existe homogeneidad

entre las matrices de varianzas-covarianzas de cada grupo.El resultado del contraste permite rechazar la hipotesis de igualdad de matrices

de varianzas-covarianzas, cuando el nivel de significacion de la prueba (p-value≡Sig.<0.05) [15].

1.8. Analisis Discriminante

Cuando se tiene un conjunto de objetos dividido en dos o mas grupos y para cada uno

de ellos han sido observadas p variables, el objetivo del an´ alisis discriminante es: dado




un nuevo objeto encontrar una funcion que determine a que grupo o clase existente se

ajusta mas dicho objeto con base en un criterio especıfico.

El analisis discriminante implica obtener un valor teorico, es decir una combinacion

lineal de las p variables independientes, que discrimine mejor entre los grupos definidosa priori.

La discriminacion se lleva a cabo estableciendo las ponderaciones del valor teorico para

cada variable del tal forma que maximicen la varianza entre-grupos frente a la varianza

intra-grupos.

La combinacion lineal para el analisis discriminante es conocida como funci´ on

discriminante, y esta representada por la siguiente ecuacion, para el caso de dos variables

categoricas (grupos):

Dk = u1 X 1k + u2 X 2k + · · · + u p X pk (1.52)

donde

Dk : Puntuacion discriminante para el k-esimo objeto.

ui: Ponderacion discriminante para la variable independiente i.

Xik : Valor de la variable independiente i en el objeto k .

El resultado de la expresion 1.52, es una unica puntuaci´ on D discriminante compuesta,

para cada individuo incluido en el analisis. El centroide de cada grupo es obtenido

promediando las puntuaciones D de los distintos objetos que conforman el grupo. Los

centroides, indican la situacion mas comun dentro del grupo para determinado conjunto

de variables independientes, y una comparacion de los mismos muestra lo separados que

estan los grupos a lo largo de la dimension que se esta contrastando.

El contraste para la significacion estadıstica de la funcion discriminante es una medida

generalizada de la distancia entre los centroides de los grupos y se calcula comparando

las distribuciones de las puntuaciones discriminantes. Si el solapamiento o superposicion

en la distribucion es grande, significa que la funcion discriminante construida no separa

correctamente los grupos, mientras si el solapamiento es pequeno o inexistente la

funcion discriminante separa bien los grupos como lo ilustra la figura 1.6. El analisis

discriminante es sensible a la relacion que se presenta entre el tamano muestral y el

numero de variables independientes predictoras. Muchos estudios sugieren una relacion

de 20 observaciones por cada variable. Aunque esta relacion sea dif ıcil de conseguir en

la practica, se debe tener en cuenta que los resultados podrıan llegar a ser inestables a

medida que el tamano muestral disminuye en relacion con el numero de variables. El

tamano mınimo recomendado es de cinco observaciones por variable independiente.

Ademas del tamano muestral total, se debe tener en cuenta el tamano muestral de cada

grupo. Como mınimo el tamano del grupo mas pequeno debe ser mayor que el numero

de variables independientes [9].




(a)

(b)

Figura 1.6: Representacion univariante de puntuaciones Z discriminantes

Analisis discriminante: Enfoque de Fisher

Para llevar a cabo la discriminacion entre grupos, Fisher utilizo el criterio de maximizar

la variabilidad entre grupos frente a la variabilidad al interior de los grupos.

La ecuacion (1.52), se puede escribir:

D1

D2

...

Dn

=

X 11 X 21 . . . X p1

X 12 X 22 . . . X p2

......

......

X 1n X 2n . . . X pn

u1

u2

...

u p

de manera analoga

D = [X] u (1.53)

La variabilidad de D se expresa, con las variables en terminos desviaciones respecto a

la media, como.

DT D = uT [X]T [X] u (1.54)

Debido a que la suma de cuadrados total T, se puede descomponer en dos elementos

(ver teorema 2) y a su vez [X]T [X] = T. La ecuacion (1.54) se puede reescribir

DT D = uT T u = uT F u + uT W u (1.55)

donde T = F + W. (F y W, son las sumas de los cuadrados entre-grupos e intra-grupos,

respectivamente).

En este orden, los terminos del lado derecho de la ecuacion (1.55), representan




respectivamente la variabilidad entre-grupos y la variabilidad intra-grupos.

Se define el parametro a maximizar λ, como la relacion entre la variabilidad entre-grupos

y la variabilidad intra-grupos.

El calculo del eje discriminante se realiza a traves de la ecuacion de valores propios.

W−1 F u = λ u (1.56)W−1 F − λ I

u = 0 (1.57)W−1 F − λ I = 0 (1.58)

suponiendo que W es no singular.

Debido a que los centroides indican la situacion mas comun al interior de cada grupo,

estos se usan para definir la puntuacion media de la funcion discriminante para cada

grupo y estas a su vez permiten definir el punto de corte discriminante C , el cual esusado como criterio de pertenencia o no a determinado grupo.

Los centroides para dos grupos

X1 =

X 11

X 21

...

X p1

X2 =

X 12

X 22

...

X p2

A partir de los centroides se pueden obtener las puntuaciones discriminantes medias.

D1 = u1 X 11 + u2 X 21 +

· · ·+ u p X p1 (1.59)

D2 = u1 X 12 + u2 X 22 + · · · + u p X p2 (1.60)

Luego, el punto de corte discriminante

C =D1 + D2

2(1.61)

permite clasificar un objeto segun

Sı Dk < C , el objeto se incluye en el grupo 1.

Sı Dk > C , el objeto se incluye en el grupo 2.

Ahora bien, en el caso de varios grupos, el modelo tiene la forma

D ji = u1i X j1 + u2i X j2 + · · · + u pi X jp (1.62)

donde

j = 1, 2, . . . , n, para n objetos.

para p variables explicativas y k grupos. i =

1, 2, . . . , k − 1 sı p ≥ k − 1

1, 2, . . . , p sı p < k − 1

Cada uno de los ejes discriminantes, se calcula a partir de la ecuacion de valores propios

(ecuacion (1.56))



1.9. AN ´ ALISIS CLUSTER 33

1.9. Analisis Cluster

El analisis Cluster agrupa los objetos y los individuos en conglomerados, de manera que

los objetos del mismo conglomerado son mas parecidos entre sı que a los objetos deotros conglomerados, en otras palabras, lo que se intenta con el analisis cluster, a traves

de el uso de un grupo de tecnicas multivariadas, es maximizar la homogeneidad de las

caracterısticas que presentan los objetos al interior de cada conglomerado a la vez que se

maximiza la heterogeneidad de las mismas para los objetos de diferentes conglomerados.

Las cuestiones basicas a tener en cuenta en el analisis cluster, segun [9], son:

1. Medida de similitud

2. Formacion de conglomerados

3. Numero de grupos a formar

1.9.1. Medidas de similitud

Medidas de correlacion

Las medidas de correlacion representan la similitud entre cada par de objetos, mediante

la correspondencia de patrones en los valores de las variables independientes. Se calcula

el coeficiente de correlacion entre cada par de objetos y se le asigna un significado:

elevadas correlaciones indican similitud, mientras bajas correlaciones significan carencia

de ella.

Las medidas de correlacion, sin embargo, son rara vez utilizadas debido a que el interes

con la aplicacion del analisis cluster esta en las magnitudes de los objetos y no en los

patrones de sus valores.

Medidas de distancia

Representan como medida de similitud la distancia entre observaciones medidas para

las variables incluidas en el analisis. Las medidas de distancia, son realmente medidas

de diferencia, donde los valores elevados indican menor similitud entre objetos. Se

presentan varios tipos de medidas de distancia, entre ellos la distancia euclıdea simple,

la distancia euclıdea cuadrada, la distancia absoluta y la distancia de Mahalanobis.

La mas utilizada de las medidas de distancia es la distancia euclıdea simple,

la cual calcula la distancia entre dos puntos k dimensionales ( X i1, X i2, . . . , X ik ,) y

( X j1, X j2, . . . , X jk ,) (ecuacion (1.63)).

d i j =

( X i1 − X j1)2 + ( X i2 − X j2)2 + · · · + ( X ik − X jk )2 (1.63)

Sin embargo, para efectos de reducir los calculos se usa la medida de la distancia

euclıdea cuadrada

d 2i j = ( X i1 − X j1)2 + ( X i2 − X j2)2 + · · · + ( X ik − X jk )2 (1.64)




esta ultima es recomendada para los metodos de analisis cluster del centroide y Ward.

La distancia absoluta, es la suma del valor absoluto de las diferencias. Este enfoque

puede resultar adecuado bajo ciertas circunstancias, sin embargo puede provocar variosproblemas. Uno de ellos es que el enfoque se puede aplicar bajo el supuesto de que las

variables no estan correlacionadas, pues si lo estan los conglomerados no son validos

[16].

En la distancia estandarizada las diferencias se dividen por la varianza, de esta manera

las diferencias se hacen adimensionales. La distancia se obtiene a traves de

D2S (x1, x2) = (x1 − x2)T D−1 (x1 − x2) (1.65)

donde D es una matriz diagonal que contiene las varianzas.

La medicion de la distancia de Mahalanobis ( D2 M

) incorpora directamente un

proceso de estandarizacion de las observaciones. Este enfoque no solo incluye el

proceso de estandarizacion de los datos a escala en terminos de las desviaciones

estandar, sino que tambien evalua la varianza-covarianza unidas dentro del grupo,

ajustando las intercorrelaciones entre las variables. Conjuntos de variables altamente

intercorrelacionadas en el analisis cluster pueden ponderar implıcitamente un conjunto

de variables en los procedimientos de aglomeracion.

Para un par de variables aleatoria multivariadas x1 y x2, la distancia de Mahalanobis se

calcula a traves de [12]:

D2 M (x1, x2) = (x1 − x2)T Σ−1 (x1 − x2) (1.66)

donde Σ es la matriz de varianzas covarianzas.

Las distancias estandarizada y euclıdea absoluta son casos particulares de la distancia de

Mahalanobis, con Σ = D y Σ = I; (I: matriz identidad).

Medidas de asociacion

Las medidas de asociacion de similitud, son utilizadas para comparar objetos cuyas

caracterısticas son parametros no metricos.

1.9.2. Formacion de conglomerados

Procedimientos jerarquicos

Estos procedimientos consisten en la construccion de una estructura en forma de arbol.

En cada etapa del proceso de formacion de la estructura los dos objetos o conglomerados

mas cercanos se unen para formar nuevos conglomerados, hasta que eventualmente

todos los objetos quedan dentro de un mismo conglomerado. La representacion de la




formacion de conglomerados se denomina dendrograma o grafico en forma de arbol.

Los metodos mas utilizados en la obtencion de conglomerados son [9]:

1. Metodo de encadenamiento simple.

2. Metodo de encadenamiento completo.

3. Metodo de encadenamiento medio.

4. Metodo de Ward.

5. Metodo del centroide.

Todos ellos se diferencian en la forma de calcular las distancias entre conglomerados.

Se procede a continuacion a describir cada uno de los metodos enumerados.

Encadenamiento simple o enfoque del vecino m´ as cercano: Identifica los objetos

separados por la distancia mas corta, y los coloca en un conglomerado. A continuacion

puede ocurrir que una otro individuo al conglomerado existente o inicie otro

conglomerado por la union de otros dos objetos.

La medida de la distancia entre conglomerados, se hace entre cualquier par de puntos,

cada uno perteneciente a un conglomerado distinto. Sin embargo, el procedimiento

genera problemas cuando los conglomerados estan mal definidos. En tales casos , los

procedimientos de encadenamiento simple pueden generar largas y sinuosas cadenas, y

eventualmente todos los individuos pueden situarse en una cadena aunque los individuos

en el extremo de una cadena puedan ser muy diferentes.

Encadenamiento completo: Es parecido al de encadenamiento simple excepto en que

el criterio de aglomeracion se basa en la distancia maxima. El procedimiento tambien es

conocido como aproximaci´ on del vecino m´ as lejano, m´ etodo del di´ ametro. La maxima

entre dos individuos de diferentes conglomerados representa la esfera de diametro

mınimo que puede contener todos los objetos de ambos conglomerados.

El metodo es denominado encadenamiento completo porque todos los objetos de un

conglomerado son vinculados con el resto por la mınima similitud, se puede decir que

la similitud dentro de cada grupo es igual al diametro del grupo. De esta manera un

objeto se une a un conglomerado solo cuando ha sido encadenado a todos los objetos del

conglomerado. De la misma manera, el encadenamiento de cada par de conglomerados

se hace solo cuando todos los objetos del primero han sido encadenados a todos los

objetos del segundo.

El uso de la distancia mas corta puede ser visto como reflejo de la similitud de los

objetos mas parecidos, mientras la distancia mas larga refleja la similitud del par de

objetos menos parecidos (ver figura 1.7).




Encadenamiento medio: Para este metodo el criterio de aglomeracion es la distancia

media de todos los individuos de un conglomerado con todos los individuos del otro.

Este enfoque tiende a combinar los conglomerados con variaciones reducidas en su

interior. Tambien tiende a estar sesgado hacia la produccion de conglomerados conaproximadamente la misma varianza.

(a) (b)

Figura 1.7: Comparacion entre encadenamiento simple y compuesto

Metodo de Ward o m´ etodo de la varianza mınima: La distancia entre los conglomerados

es la suma de los cuadrados entre dos conglomerados sumados para todas las variables.

En cada paso del procedimiento de aglomeracion, se minimiza la suma de los cuadrados

dentro de cada conglomerado del conjunto completo de conglomerados separados.

Metodo del centroide: La distancia entre dos conglomerados es la distancia,

generalmente la euclıdea simple o cuadrada, entre sus centroides. Los centroides de los

grupos son los valores medios de las observaciones de las variables en el valor te orico

del conglomerado. En este metodo cada vez que los individuos o los conglomerados son

agrupados, se calcula un nuevo centroide. La ventaja de este metodo es que se ve menos

afectado por la existencia de datos atıpicos que los otros metodos jerarquicos descritos.

Procedimientos no jerarquicos

Estos procedimientos no implican los procesos de construccion de arboles [17].

Existen basicamente tres tecnicas: partici´ on, mezclas de distribuciones y estimaci´ on de

la densidad . De estos tres metodos, el metodo de partici´ on es el mas usado [13].




Particion

El proceso parte desde la seleccion de una semilla como centro de cada conglomerado,

posteriormente los objetos son asignados a cada conglomerado de acuerdo un umbralestablecido, el cual depende de cada semilla. Los procedimientos no jer arquicos de

aglomeracion son tambien conocidos como aglomeracion de K-medias, y normalmente

utiliza uno de los siguientes enfoques para asignar los objetos a cada conglomerado [ 17].

Umbral secuencial: El metodo empieza seleccionando una semilla de conglomerado

e incluye todos los objetos que caen dentro de una distancia previamente especificada.

Una vez realizado este procedimiento, una segunda semilla es seleccionada y se realiza

el mismo procedimiento. El proceso continua mientras sean asignadas nuevas semillas.

Sin embargo, cuando un objeto es incluido en un conglomerado, no se consideran efectos

de ulteriores semillas.

Umbral paralelo: En contraste con el metodo anterior, en este son seleccionadas

inicialmente varias semillas de conglomerado y los objetos son asignados dentro de la

distancia umbral hacia el conglomerado con la semilla mas cercana. A medida que el

proceso avanza, se puede realizar un ajuste de la distancia umbral para incluir mas o

menos objetos en los conglomerados.

Procedimiento de optimizacion: este procedimiento agrega una herramienta de

reubicacion de los objetos. Es decir, si en el curso de asignacion de los objetos, un objeto

se acerca mas a otro conglomerado diferente al cual esta asignado en ese momento,

entonces un procedimiento de optimizacion cambia el objeto al conglomerado mas

parecido.

Los procedimientos no jerarquicos tienen ventajas sobre los procedimientos jerarquicos,

debido a que son menos susceptibles a los datos atıpicos, a la medida de distancia

utilizada y a la inclusion en el analisis de variables irrelevantes o inapropiadas. Sin

embargo estos beneficios, estos beneficios pueden ser obtenidos con la seleccion no

aleatoria de semillas de conglomerados, es decir, se necesita un conocimiento a priori o

una estimacion acertada del valor de las variables en cada conglomerado. La utilizacion

de metodos no jerarquicos con seleccion aleatoria de semillas, arroja como resultados

notablemente inferiores en comparacion con los obtenidos con tecnicas jerarquicas.

Por otra parte, otro enfoque el el uso de ambos metodos (jerarquico y no jerarquico), para

obtener los beneficios de ambos [18]. En primer lugar, una tecnica jerarquica permitirıa

establecer el numero de conglomerados, los perfiles de los centros de los conglomerados

y la identificacion de cualquier dato atıpico obvio. Posteriormente, habiendo eliminado

del analisis los datos atıpicos (en caso de ser necesario), los objetos pueden ser

aglomerados con tecnicas no jerarquicas usando como semillas de conglomerado los




centros de conglomerados observados con el metodo jerarquico.

Otros criterios de particion

Existen basicamente tres, estos no se basan en las distancias entre los centroides, sino

en las matrices SCPC (sumas de cuadrados y productos cruzados) entre − grupos B

e intra − grupos W. Para conglomerados bien definidos, serıa optimo que W fuera

pequeno y B fuera grande [13].

Los tres criterios son:

Minimizar tr (W)

Minimizar |W|

Maximizar tr (W−1B)

Mezclas de distribuciones

Se define la densidad de una mezcla de k distribuciones como el promedio ponderado

h(x) =

k i=1

αi f (x, µi, Σi) (1.67)

donde 0 ≤ αi ≤ 1,

k i=1

αi = 1, y f (x, µi, Σi) es la distribucion normal multivariada

[13].

Los conglomerados se pueden formar de dos maneras. La primera es asignar un elemento

que contiene el vector de observaciones x al conglomerado C i con el valor mas grande

de la probabilidad posterior definida por la ecuacion 1.68. El segundo consiste en asignar

el elemento al conglomerado con el valor mas grande de 1.69.

P(C i|x) =αi f (x, ˆ µi, Σi)

h(x)(1.68)

lnαi −1

2lnΣi

− 1

2(x − ˆ µi)

t Σ−1i (x − ˆ µi) (1.69)

donde ˆ µi, αi y Σi representan los estimados de maxima probabilidad de h(x) de la



1.10. BAL ISTICA 39

ecuacion 1.67 y estan dados por [13]:

αi =1

n

n

j=1

P(C i

|x j), i = 1, 2, . . . , k

−1

ˆ µi =1

nαi

n j=1

x jP(C i|x j), i = 1, 2, . . . , k

Σi =1

nαi

n j=1

(x j − ˆ µ)(x j − ˆ µ)TP(C i|x j), i = 1, 2, . . . , k

Estimacion de la densidad

En este metodo, conocido tambien como b ´ usqueda de densidad , se buscan regionesde alta densidad llamadas modos, basicamente se intenta separar regiones con una alta

concentracion de puntos de regiones que no la tienen [13].

1.10. Balıstica

1.10.1. Terminologıa

Balıstica, en forma literal, es el estudio de la dinamica de los proyectiles en vuelo. Es

diferente a “identificacion de armas de fuego”, aunque en comun acuerdo, el significado

de la palabra balıstica se ha tomado en ese sentido. Calvin Goddard, considerado el padre

de la identificacion de armas moderna, desempeno un importante papel en el desarrollo

del uso de este lenguaje. Goddard, en 1925, publico un artıculo titulado “Forensics

Ballistics” (“Balıstica forense”). Acerca del artıculo Goddard dijo en [19]:

Forense fue lo suficientemente bueno, ya que significa lo cual tiene

que ver con una disputa p´ ublica, y fue lo que quise decir. “Balıstica”,

estuvo mal, muy mal, ya que balıstica en su uso estricto aplica solamente a

proyectiles en movimiento, y las fuerzas que influencian ese movimiento.

Hasta ahora, nunca he hecho un intento de identificar un proyectil en

movimiento, y si tengo que, ser´ a muy pronto, hasta entonces en lo que

a mi concierne. Sin embargo el hombre de la calle encontr´ o interesantela palabra balıstica, y aprovech´ andose ´ avidamente, al mismo tiempo

descartando la palabra “forense” la cual, cuando se usa junto con

balıstica, en parte toma la maldici ´ on de la segunda.

Los cientıficos forenses distinguen entre cuatro tipos de “balıstica”:

Balıstica interna: la cual se refiere a las fuerzas (presion, ignicion, y

ası sucesivamente) que actuan sobre la bala mientras esta continua en el interior

del arma.




Balıstica externa: Esta es mas cercana a la definicion literal de balıstica, describe

la trayectoria de la bala entre la boca del canon del arma de fuego y su impacto en

el objetivo.

Balıstica terminal: Describe los mecanismos de impacto sobre ambos, el

proyectil y el objetivo.

Balıstica forense: En el sentido presentado por Goddard, es el analisis del

proyectil y la vainilla de evidencia y el uso de esa evidencia para enlazar

especımenes y armas particulares.

Se presentan a continuacion, algunas definiciones incluidas en el protocolo para hacer

estudios comparativos de proyectiles y vainillas, de la fiscalıa general de la nacion [20].

Proyectil: Termino usado para describir el elemento que hace parte del cartucho yes expulsado fuera del canon cuando se produce el disparo. Hay proyectiles de muchas

formas, constituciones y calibres.

Vainilla: Termino usado para describir el elemento componente del cartucho, el cual

contiene la polvora y el fulminante; las hay de diferentes tamanos, formas y calibres.

Macroscopio de comparacion: Instrumento optico que permite al observador,

apreciar dos objetos simultaneamente con el mismo grado de aumento.

Microscopio estereoscopico: Un instrumento optico, que proporciona una vista

tridimensional de un objeto, a traves de objetos pares y oculares.

Caracterısticas generales del estriado (GRC): Corresponden al numero, ancho y

sentido de giro que presentan las estrıas y mazisos en el canon de un arma de fuego de

un calibre dado.

Caracterısticas de clase: Caracterısticas mensurables de una muestra, las cuales

indican una fuente de grupo restrictivo. Ellas resultan de factores de diseno y por lo

tanto estan determinadas antes de la fabricacion.

Caracterısticas Individuales: Imperfecciones o irregularidades producidas de forma

accidental durante el proceso de fabricacion o causadas por uso, abuso, corrosion,

oxidacion o dano con un objeto. Ellas son unicas del elemento y lo distinguen de los

otros y por lo tanto son las que definen la identidad.

Caracterısticas de subclase: Son caracterısticas apreciables superficialmente,

distinguibles en un objeto, las cuales son mas restrictivas que las caracterısticas de clase

y se caracterizan por:



1.10. BAL ISTICA 41

1. Ser adquiridas en el proceso de fabricacion.

2. Ser significativas y estar relacionadas con un pequeno grupo fuente (son subgrupo

de las clases de las cuales ellas proceden).

3. Provenir de una fuente que puede variar con el tiempo.

1.10.2. Anatomıa de armas de fuego y municion

Armas de fuego

Las armas de fuego son dispositivos destinados expulsar uno o varios proyectiles, para

disparos a larga y corta distancia. Los proyectiles son expulsados a altas velocidades

debido al aumento de presion en el interior de la vainilla causado por la ignicion de la

polvora.

Ca ˜ non

Los canones de las armas de fuego son elaborados de piezas de acero solido cuya

composicion es cuidadosamente seleccionada para obtener las propiedades quımicas y

metalurgicas necesarias. Un primer paso del proceso, la perforacion, da como resultado

un agujero relativamente rugoso de diametro uniforme que se extiende a lo largo del

canon. Luego es perforado con una fresadora, disenada para producir una superficie tan

suave como es posible al interior del canon. Sin embargo la superficie interior conserva

numerosas cicatrices y aranazos de el proceso de perforacion; son estas imperfecciones

aleatorias las que dan las caracterısticas individuales a los proyectiles cuando estos son

disparados.

Los canones son de manera adicional son sometidos a un proceso de estriado en cual

se crea un patron de franjas o ranuras. Este proceso es principalmente para mejorar

la exactitud del arma; cuando el proyectil es expulsado, el contacto con este estriado

le proporciona una rotacion, la cual hace que el vuelo del proyectil sea mas dirigido

(movimiento comparable con la rotacion que se le proporciona a un balon de f utbol

americano). Algunas armas, tıpicamente los shotguns, no tienen el interior estriado, en

cambio la mayorıa de armas y rifles lo tienen para mejorar la precision en los disparos.

El estriado en el interior de los canones puede ser obtenido forzando un boton de

carbono a traves del canon perforado, se dice que esto proporciona la variabilidad

microscopica individual a las marcas en el canon (junto con las imperfecciones de la

primera perforacion). Algunos pasos adicionales en la elaboracion de canones incluyen

tratamiento termico para limpiar y proporcionar dureza.

A lo largo de los fabricantes, los interiores de los canones pueden variar en dos

caracterısticas fundamentales, cada una ellas es una caracterıstica de clase basica. La

primera es la orientacion de las estrıas al interior del canon, si es a la derecha o a la

izquierda. La mayorıa de las casas fabricantes en los Estados Unidos usan la orientacion

de giro a la derecha, aunque los revolver Colt son conocidos por su orientacion a la




izquierda. La segunda, es el numero de estrıas dentro del canon (normalmente a una

profundidad de 0.004-0.006 in) y el de macizos entre las estrıas. Historicamente, no se

estandarizo este numero, los fabricantes usaron, seis, siete u ocho estrıas; lo cual sigue

siendo el rango actual, aunque algunas tienen tan pocas como 2 y tantas como 24 ([21],pp 130-131).

Los canones tambien varıan en el angulo de orientacion de las estrıas, lo cual afecta que

tanto gira el proyectil al salir del canon [22].

Camara, pared de la recamara, percutor

La parte trasera, lejos de la boca del canon, es conocida como camara, es disenada con

el tamano adecuado segun el calibre del cartucho. La parte del arma contra la cual el

cartucho se apoya cuando es colocado en la camara es la recamara.

La superficie especıfica que esta en contacto con la base del cartucho es la pared de

la recamara. Los pasos exactos para elaborar la recamara puede variar entre casas

fabricantes. Mientras en unas el proceso de elaboracion deja estrıas gruesas en otras

se presentan patrones de cırculos concentricos. De manera similar al canon del arma, la

pared de la recamara imprime marcas caracterısticas sobre la base del cartucho cuando

este es percutido.

Un agujero en perforado en la recamara da hacia donde esta guardado el percutor; una

vara de acero duro que puede ser forzada a golpear la base del cartucho que esta situado

en la recamara para producir la ignicion del fulminante y posteriormente la polvora.

Mientras muchos de los percutores tienen una forma redondeada en su punta, algunos

tienen formas mas distintivas; en particular las armas de fuego Glock son reconocidas porsu percutor con forma rectangular. De la misma manera que la recamara y partes del arma

que estan en contacto con el proyectil o la vainilla, el percutor durante su elaboracion

puede presentar imperfecciones que lo hagan diferentes de otros de su misma clase [22].

Revolver y pistola

Las armas de fuego se dividen basicamente en dos categorıas: revolver y pistola, y se

diferencian segun la municion es cargada y segun el ciclo para volver a ser cargada.

En un revolver la municion es colocada en un cilindro, donde cada cartucho tiene su

propia camara. Un mecanismo de trinquete es usado para hacer girar el cilindro a la

siguiente posicion despues de cada disparo.

A diferencia del revolver, la pistola se auto-alimenta, haciendo uso de la municion

contenida en una camara desmontable que contiene un resorte que impulsa un cartucho

tras otro a la camara. Este dispositivo se almacena en el agarre o empunadura, y es

conocido como cargador o ((provedor)). La pistola tiene una sola camara para cada

municion y despues que esta es usada, la parte restante que permanece en la camara

(vainilla), es expulsada por una abertura ubicada a un lado o en la parte superior de la

camara. Despues de esto, otro cartucho del cargador es deslizado hacia la camara.

Las pistolas se subdividen en automaticas y semiautomaticas. Las ultimas necesitan que



1.10. BAL ISTICA 43

el gatillo del arma sea oprimido en varias ocasiones para lograr disparos multiples,

mientras las primeras hacen disparos en serie mientras no sea removida la fuerza que

oprime el gatillo o el cargador este vacıo.

Para la recuperacion de evidencia y su posterior analisis, la distincion entre pistola yrevolver es fundamental, pues mientras la pistola desecha las vainillas despues de cada

disparo, el revolver no lo hace a menos que la persona quien la usa se vea obligada a

recargar el arma [22].

Extractor y eyector

Como su nombre lo indica, el extractor sirve para sacar un cartucho usado de la

camara para que uno nuevo pueda tomar su lugar. En un revolver, el extractor o

barra de extraccion puede expulsar todas las vainillas a la vez. En la pistola, sin

embargo, el extractor remueve el cartucho usado y este entra en contacto con el eyector(protuberancia fija que golpea el borde del cartucho). Debido a que el proceso descrito

ocurre con cierta velocidad y fuerza, ambos ((extractor y eyector)) pueden dejar marcas

en la vainilla.

Municion

La municion o cartucho es una unidad que contiene tres elementos claves:

Bala o proyectil, el cual es expulsado por el canon del arma.

El agente impulsor(polvora), el cual proporciona la fuerza y la presion que el

proyectil necesita para ser expulsado.

Fulminante,es una mezcla quımica volatil y sensible a la presion, encargada de

encender el agente impulsor.

A continuacion se presenta una descripcion mas detallada de cada elemento.

Proyectiles

Los proyectiles o balas en municion moderna puede estar formada de una gran variedad

de metales. Hay balas elaboradas enteramente de aluminio, acero, y en ocasiones de laton

(aleacion de Cobre y Zinc); aunque sustancias no metalicas han sido usadas tambien para

construir balas. Sin embargo para mejorar las necesidades de peso de la bala, con el fin de

mejorar su exactitud y desempeno, la mayorıa de las balas contienen una cierta cantidad

de plomo.

Para evitar la deformacion de las balas antes de ser usadas, lo cual puede causar

problemas al cargar, se le adicionan sustancias como antimonio y estano para

proporcionar dureza. Mayor alcance, penetracion y exactitud de los proyectiles pueden

ser logradas usando una cobertura o “chaqueta” de cobre, de forma parcial o total; la

cobertura total puede hacer que la bala alcance grandes velocidades mientras la cobertura




parcial hace que la velocidad sea menor pero proporciona un dano adicional debido a

la expansion al penetrar el objetivo. Existen balas de punta expansiva las cuales estan

disenadas para penetrar el objetivo, transferir la mayor cantidad de energıa cuando la

punta del proyectil toma forma de hongo, lo cual se traduce en mayor dano, y finalmentepermanecer en el objetivo.

1.10.3. Marcas basicas sobre evidencia balıstica

Marcas sobre proyectiles

El proceso de estriado del interior del canon (rifling process) deja cavidades o ranuras

(groove marks) y entre dos ranuras consecutivas un area elevada conocida como macizo

(land mark).

El patron de estrıas y macizos (denominadas tambien valles y crestas) que se

presenta sobre la superficie de los proyectiles recuperados, puede ser usado para

determinar informacion basica acerca del tipo de estriado que presenta el canon del

arma; de esta manera se puede identificar el tipo de arma de la cual proviene el

proyectil. Especıficamente, el numero de estrıas y la direccion de estas son importantes

caracterısticas de clase [22].

Por otra parte, en una publicacion pionera sobre identificacion de armas de fuego

[23], son referidas “las ranuras finas sobre la superficie del proyectil, paralelas a las

estrıas” como “las caracterısticas individuales mas importantes que son usadas”. Estas

marcas, conocidas como estriaciones o estrıas “son causadas por su paso a traves de

las irregularidades de la superficie del interior del canon las cuales se obtienen durante

los procesos de escariado y estriado (reaming and rifling processes). Cualquier proceso

de suavizado que se haga al interior del canon dejara siempre irregularidades (puntos o

rugosidades) y estas dejaran marcas sobre el proyectil a su paso por estas”.

1.10.4. Identificacion tradicional de armas de fuego

En [24] fue presentado un sumario de las tareas basicas que un examinador realiza

cuando lleva a cabo una identificacion de armas usando evidencia.

Antes de iniciar una comparaci´ on a nivel microsc´ opico, un fundamento

es construido midiendo y comparando las caracterısticas de clase

disponibles, como las caracterısticas generales del estriado. Este criterio

es usado para reducir el n´ umero de candidatos y ası luego encontrar una

fuente com´ un. Una vez se halla establecido el fundamento, la fuente en

com´ un puede ser determinada evaluando las caracterısticas individuales

a nivel microsc´ opico usando reconocimiento de patrones.

Los peritos en balıstica comparan los proyectiles usando un microscopio de

comparacion, esta herramienta le permite observar simultaneamente las marcas que

presentan ambos. Como las regiones de interes se encuentran en los macizos, donde es



1.10. BAL ISTICA 45

impreso el estriado fino particular de cada arma, en un proceso tıpico de identificacion, el

experto selecciona un macizo de cualquier proyectil, ya sea el patron o el implicado, para

mantenerlo constante como el punto de inicio. Asumiendo que se tienen por ejemplo dos

especımenes con nueve macizos, el experto rota los dos proyectiles buscando similitudentre macizos. Primero se hacen las comparaciones 1-1, 2-2, 3-3, hasta 9-9; si no se

encuentran similitudes se hacen las comparaciones 1-2, 2-3, 3-4 hasta 9-1; de esta forma

se pueden llegar a hacer hasta 81 comparaciones entre macizos [25].

En la identificacion de armas tradicional ((parte ciencia y parte forma de arte, se sigue

llevando a cabo con las mismas herramientas basicas que permitieron el avance del

campo en decadas pasadas)) el examinador enfrenta la tarea de formarse un patron mental

de marcas y caracterısticas presentadas por estas en evidencia balıstica [22]. Los metodos

tradicionales para llevar a cabo la comparacion de marcas en los proyectiles estan

basados en microscopıa de luz incidente, donde la imagen formada por la iluminacion

oblicua de las marcas proporciona una representacion del especimen en la region de las

marcas [26, 27]. Esta representacion es crıticamente dependiente de dos factores, del

material de la superficie donde las marcas fueron hechas, y la geometrıa e intensidad del

sistema de iluminacion. Lo anterior debido a que las texturas en las imagenes cambian

con debido a estos factores. El juicio de similitud o no entre marcas presentadas por

los proyectiles implicados y los de prueba, esta basado en el experticio y la experiencia

del tecnico que lleva a cabo la comparacion. De esta forma, el metodo tradicional de

comparacion de marcas tiene dificultades inherentes y lleva consigo un elemento de

subjetividad [28].

Caracterısticas de clase, subclase e individuales

La clasificacion original hecha por Churchman para los tipos de caracterısticas dejadas

en proyectiles y cartuchos disparados fue reportada por Nichols [29], allı fueron

propuestas tres grandes categorıas de caracterısticas para ser examinadas [27, 30]:

Caracterısticas tipo “C” fueron definidas como caracterısticas de clase.

Caracterısticas tipo “A” fueron definidas como caracterısticas accidentales.

Estas caracterısticas son consideradas propias de cada arma (caracterısticas

individuales).

Caracterısticas tipo “B” fueron definidas como caracterısticas de sub-clase, que

pueden ser detectadas en los bordes de los macizos.

El reconocimiento de las marcas del tipo “C”, tales como calibre, forma de la marca del

percutor, direccion de giro del proyectil y numero de estrıas y macizos sobre la superficie

del proyectil, reducira el numero de armas sospechosas; mientras la deteccion de las

caracterısticas individuales (Tipo A), tiene el potencial de identificar particularmente el

arma que hizo dichas marcas sobre el cartucho y el proyectil. Las caracterısticas de tipo

A incluyen:




Pequenas estrıas (micro rayado) presentes en las estrıas y macizos. Estas son

adquiridas durante el proceso de manufactura del canon del arma, especıficamente

durante el estriado de su interior.

Caracterısticas individuales de la marca dejada por el percutor, estas provienen de

imperfecciones detalladas del percutor o de su propio funcionamiento en sı.

1.10.5. Influencia de la manufactura de armas en la identificacion

En [1] fue reportada una revision de trabajos relacionados con la influencia de los

procesos de manufactura en las marcas que son impresas en evidencia balıstica

(proyectiles y vainillas).

Los resultados citados en este artıculo fueron la mayorıa obtenidos de armas fabricadas

consecutivamente o de armas con numeros seriales consecuentes. Aunque, debe sersubrayado que la ultima condicion no implica la primera, pues el estampado de los

numeros seriales puede no seguir el mismo orden de los procesos de manufactura

[31]. Incluso las partes que constituyen armas consecutivamente manufacturadas no

necesariamente son fabricadas en el mismo orden. Para la evaluacion de la influencia

de la manufactura sobre las marcas que presentan las superficies de los proyectiles luego

de ser disparados, muchas de las pruebas estuvieron basadas en canones obtenidos de

una sola pieza de tubo estriado[31, 32, 33].

Las estrıas en el canon son causadas durante los procesos de perforado, escariado,

rayado y finalizacion [34, 35, 36, 37]; las rebabas por su parte son debidas al corte y

coronamiento en la boca del arma y de la garganta de la camara [32, 37, 38, 39, 40].

Pueden ser definidos dos grupos de tecnicas de rayado (estriado) del canon, dependiendo

si es removido o no material del interior canon. Las estrıas son obtenidas cortando

material en el caso de las tecnicas conocidas como Hook cutting, Scrape cutting, y

Broaching. Mientras, entre las tecnicas conocidas que usan desplazamiento de material

estan Mandrel rifling, Button rifling, y Hammering [41].

Los metodos de rayado basados en la remocion de material del canon dejan marcas

longitudinales caracterısticas de la herramienta usada para dar el estriado. Las llamadas

caracterısticas de subclase pueden ser encontradas en las estrıas y cerca de los bordes de

los macizos del canon [42, 43, 44, 45]. Las partes centrales de los macizos permanecen

intactas durante el proceso de estriado, entonces solo imperfecciones causadas durante

la perforacion y el escariado son transferidas como estriado fino en la superficie de los

proyectiles[34, 37, 46].

Las caracterısticas de subclase no pueden ser encontradas, cuando el proceso usado para

la fabricacion del canon no esta basado en la remocion de material del canon, sino



1.10. BAL ISTICA 47

en el desplazamiento de este debido a la aplicacion de grandes presiones. El interior

de los canones es extremadamente liso y muestra principalmente marcas concentricas

[34]. Como estas marcas corren perpendicularmente al estriado, son transferidas como

marcas individuales a la superficie del proyectil durante el disparo. A parte de estasmarcas, estrıas axiales menos prominentes resultan del boton o del mandrel cuando este

es empujado a traves de la vara [32]. Hammering produce even-mirror like surfaces.

Un aspecto importante es el numero de canones elaborados con una sola herramienta

sin modificaciones externas, tales como resharpening. Una diferencia considerable entre

las dos categorıas puede ser notada. Un Hook cutter puede ser usado para entre 5 y

50 canones, un broach para cientos de canones, y un boton para miles de canones

[34, 37, 38, 40].

Luego del estriado, el proceso final de suavizado puede tambien proporcionar algunas

estrıas finas extra a las estrıas y macizos [34, 42, 47, 48].

Todos los resultados citados en [1] corresponden a armas que han sido disparadas un

numero suficiente de veces, de forma tal que los canones ya hubiesen transferido su

firma al proyectil. En algunos estudios experimentales se ha encontrado que esto ocurre

despues de entre cinco y nueve disparos [33, 36, 38]. Para detalles de los estudios

obtenidos sobre proyectiles disparados a traves de canones consecutivamente rayados

o con numeros seriales cercanos, leer apendice C.

1.10.6. Influencia del uso de armas en la identificacion

Despues que un crimen ha sido cometido con un arma de fuego, en el tiempo que

transcurre entre este y la incautacion del arma, el arma puede haber sido disparada en

repetidas ocasiones. La pregunta que impulso la revision de trabajos hecha en [49], fue

que tan rapido cambian las caracterısticas de las marcas impresas sobre la evidencia

debido a el uso repetido de las armas. Por uso debe entenderse no solo la accion del

disparo en sı, sino tambien la limpieza, manipulacion, desmantelamiento y la influencia

de la humedad del ambiente sobre elementos de variada naturaleza que pueden ser

encontrados usualmente en el arma (polvo y residuos de disparos, entre otros). Se

encontro, que el interior del canon esta sujeto a tres procesos que influyen en las

caracterısticas que son impresas en la superficie de los proyectiles disparados. Tales

procesos son: erosion, corrosion y deposicion de diferentes tipos de partıculas. Para mas

detalles sobre la revision de trabajos acerca del tema, leer apendice D.

Erosion: La superficie del canon experimenta desgaste mecanico el cual se debe en

gran medida a la liberacion de gases durante el disparo el cual suaviza (quita filo -

blunt ) las estrıas y los macizos [50, 51]. La limpieza con diferentes tipos de cepillos

tambien conduce a un proceso de erosion tanto como el paso del proyectil a traves del

canon [37, 52, 53]. La erosion puede ser acentuada por la presencia de residuos del




disparo y partıculas metalicas que se desprenden del proyectil para incrustarse en el

canon [42, 53, 54, 55]. Un estudio extraordinario fue hecho por Naatanen [56] quien

revelo el fuerte desgaste en el interior del canon despues de hasta 13500 disparos.

Corrosion: Es una reaccion quımica entre el metal del arma y su ambiente y es en

gran parte debido a la presencia de materiales reactivo al momento de la ignicion

del fulminante ( primer ) y la subsecuente activacion de la polvora [48, 53, 55]. La

corrosion puede ser acelerada por la humedad y su efecto puede ser visto en la falta

de correspondencia entre proyectiles disparados consecutivamente a traves de un canon

altamente corroıdo. De hecho, la superficie interna del canon cambia continuamente

debido a que cada proyectil remueve parte del oxido [42, 47, 48, 53, 57, 58, 59].

Deposicion de partıculas metalicas: Grandes aglomerados de aceite, polvo y suciedad

de los alrededores pueden tener un efecto temporal o permanente sobre las caracterısticas

individuales de un arma [42, 47, 50, 58]. Varios autores reportan efectos de la

acumulacion de plomo en el canon; efecto actualmente denominado “emplomamiento”

[60, 61].



Capıtulo 2

Dise ˜ no experimental

2.1. Base de datos

La base de datos consta de un conjunto de imagenes digitales de la superficie de los

proyectiles 9 mm disparados por diferentes tipos de armas. Para la realizacion de este

trabajo fueron usados los proyectiles disparados por: 1 sub-ametralladora UZI calibre

9mm, 2 sub-ametralladoras MP5, y una Glock modelo 17 (Ver tabla 2.1).

De los proyectiles disparados por cada arma, fueron extraıdos 4 para formar parte de

la base de datos. Las imagenes representan la superficie “desenvuelta” de la zona de

interes, la cual contiene las marcas debidas al contacto con el interior del canon durante

el disparo; la forma de obtener estas imagenes es descrita en la seccion 2.1.2

Codigo Arma

A Sub-ametralladora MP5, N°88154

B Sub-ametralladora MP5, N°88206

C Sub-ametralladora UZI, cal. 9mm

D Glock Mod.17, cal. 9mm

Tabla 2.1: Codigos de las armas

2.1.1. Equipo utilizado

El equipo consta de un microscopio estereoscopico Leica MZ6, una camara para

fotomicrograf ıa de alta resolucion Leica DFC490, software LAS (Leica Application

Suite) para cambiar la configuracion de los dispositivos, visualizar y adquirir las

imagenes. Detalles tecnicos de los equipos en el apendice E.

El arreglo de los equipos para la adquisicion de las imagenes es como se muestra en la

figura 2.1.

La parte del soporte que sostiene el proyectil, permite hacer rotaciones del proyectil

49



50 CAP ITULO 2. DISE ˜ NO EXPERIMENTAL

Figura 2.1: Arreglo para la adquisicion de las imagenes

cada 6 grados con cierta precision. Sin embargo, debido al error inherente que implica

la rotacion del proyectil hecha manualmente, queda como perspectiva la automatizacion

de este proceso, y mas alla, la de la totalidad del proceso de adquisicion de las imagenes.

2.1.2. Imagenes

El procedimiento para obtener imagenes “desenvueltas” consta de las siguientes etapas:

1. Adquisicion de la imagen del proyectil en la posicion angular actual.

2. Extraccion del segmento de interes, esta parte de la superficie es aquella que se

encuentra en el tope de la seccion cilındrica (figura 2.2a).

3. Rotacion de 12° del proyectil.

4. Repeticion de los pasos 1 a 3 hasta haber cubierto la totalidad de la superficie.

5. Una vez almacenados todos los segmentos de interes, estos son unidos para formar

una imagen “desenvuelta” del proyectil, como se muestra en la figura 2.2b.

La razon para considerar que las rotaciones de 12° son suficientes para tomar como

constante la cantidad de luz en cada segmento, es que la diferencia de alturas entre

alguno de los extremos y la parte central, que se encuentran sobre la superficie curva, es

de 0,3 mm.

En la figura 2.3 se muestra el diagrama de flujo de la rutina elaborada en Matlab para

obtener superficies “desenvueltas”. Las funciones imreadGray.m y segmento.m se

incluyen en el apendice F.



2.2. PREPROCESAMIENTO 51

(a) (b)

Figura 2.2: Segmento extraıdo de la superficie del proyectil (a). Ejemplo superficie

“desenvuelta” de un proyectil (b)

Figura 2.3: Diagrama de flujo para obtener superficies “desenvueltas”

2.2. Preprocesamiento

Debido a la fuerte reflexion que presentan los metales, y que las texturas a

caracterizar son crıticamente dependientes del entorno de iluminacion; una etapa de

preprocesamiento se hace necesaria para tener imagenes con el mayor contraste posible.

En la figura 2.4 se muestra una imagen obtenida usando el procedimiento descrito en laseccion 2.1.2 y su respectivo histograma.

En el histograma, la alta concentracion de niveles de gris en la parte central denota bajo

contraste, sin embargo, como es necesario tener una imagen de alto contraste para la

caracterizacion, se realizo una transformacion de los niveles de gris, usando el metodo

de ecualizaci´ on del histograma descrito en la seccion 1.1.2.

El resultado se muestra en la figura 2.5.




(a) (b)

Figura 2.4: Imagen de proyectil (a) con su respectivo histograma de niveles de gris (b)

(a) (b)

Figura 2.5: Imagen con contraste mejorado (a) y su respectivo histograma (b)

2.3. Extraccion de caracterısticas

La elaboracion de las matrices caracterısticas se llevo a cabo usando scripts del Toolbox

de procesamiento de imagenes de Matlab y otros construidos en este mismo entorno para

el presente trabajo. Para cada uno de los enfoques se obtuvo una matriz, cuyo numero de

columnas depende de la cantidad de caracterısticas a extraer y las 16 filas corresponden

al tamano del espacio muestral (tablas A.1 a A.4).

El diagrama de flujo del proceso para extraer las caracterısticas se muestra en la

figura 2.6.

Por otra parte en la tabla 2.2, se especifican los codigos que representan las diferentes

caracterısticas extraıdas de las texturas.



2.3. EXTRACCI ´ ON DE CARACTER´ ISTICAS 53

Figura 2.6: Diagrama de flujo para extraccion de caracterısticas

codigo descriptor codigo descriptor

1 Intensidad promedio R1 Maximo S (r )

2 Contraste promedio R2 Media S (r )

3 Suavidad relativa R3 Desviacion estandar S (r )

4 Skewness R4 Maximo-Media S (r )

5 Uniformidad A1 Maximo S (θ )

6 Entropıa A2 Media S (θ )

7 Contraste A3 Desviacion estandar S (θ )

8 Correlacion A4 Maximo-Media S (θ )

9 Energıa (uniformidad) A5 Angulo del maximo

10 Homogeneidad

Tabla 2.2: Codigos de las caracterısticas




2.4. Analisis de varianza

Para llevar a cabo el analisis de varianza en el caso univariado, donde se contrasta la

hipotesis nula de que las medias de los diferentes grupos no difieren significativamenteen la variable dada, se realizaron multiples analisis con la funcion anova1 del Toolbox

estadıstico de Matlab, uno para cada una de las caracterısticas. Posteriormente se

realizaron multiples comparaciones de las medias grupales de cada variable, para

determinar en el caso que la hipotesis nula fuera rechazada, cuales eran los grupos

diferentes. Los resultados se muestran en las figuras A.1 a A.4 (ver apendice A).

Antes de realizar el analisis de varianza de un factor, se contrastaron las hipotesis

de normalidad y homocedasticidad , con las pruebas de Shapiro-Wilk y Levene,

respectivamente. Los resultados de las pruebas de normalidad se muestran en las

tablas A.5 a A.8 y los de homogeneidad de la varianza en las tablas A.9 a A.12 (ver

apendice A).

Sumario resultados obtenidos usando analisis univariado

En el caso de las multiples comparaciones de las medias grupales de cada variable, se

presenta un sumario de los resultados obtenidos.

Naturaleza de las caracterısticas CaracterısticaGrupos

diferentes

Matriz de co-ocurrencia de niveles de gris Contraste

A B

B C

B D

CorrelacionB C

B D

Energıa

A B

B C

B D

Homogeneidad

A B

A D

B C

B D

Histograma de la imagen Uniformidad B CB D

Entropıa B D

Espectro de la imagen Desvest (S (r ))A C

B C

Posicion de maximo (S (θ ))

A B

B C

B D

Tabla 2.3: Sumario de grupos diferentes bajo analisis univariado



2.5. AN ´ ALISIS DE VARIANZA M ´ ULTIPLE 55

Figura 2.7: Diagrama de flujo para analisis univariado

De la anterior tabla, se observa que para las caracterısticas extraıdas, el grupo que mas

se diferencia de los otros es el grupo B. Una observacion detallada de la tabla 2.3, revela

que los unicos grupos para los cuales no se encontro una diferencia significativa, para

ninguna de las variables, son los grupos C y D.

2.5. Analisis de varianza multiple

Para realizar el analisis de varianza en el caso multivariado, donde se contrasta la

hipotesis nula de que los vectores multivariados de medias no difieren significativamente

entre grupos, se hizo uso de la funcion manova1 del Tool-box estadıstico de Matlab, y

la funcion maov1 [62].

Con el fin de no cometer errores en la inferencia estadıstica a realizar, se contrastaron




los supuestos de correlaci´ on de las variables y de homogeneidad de las matrices

de varianzas-covarianzas, usando las pruebas de Esfericidad de Bartlett y M de Box

respectivamente.

Es importante senalar que para llevar a cabo el analisis multivariado de la varianza, de las

matrices de caracterısticas extraıdas del espectro (tablas A.3 y A.4), fueron descartadas

de cada una de las matrices, una variable que resultaba redundante porque se encontraba

perfectamente contenida en otras variables de la misma matriz. De esta manera se redujo

a 3 y 4 el numero de variables en las matrices caracterısticas de las componentes radial

y angular del espectro respectivamente.

Figura 2.8: Diagrama de flujo MANOVA

Pruebas de esfericidad de Bartlett

La prueba de esfericidad de Bartlett, la cual se realiza con el fin de contrastar la hip otesis

nula que la matriz de correlaciones de las variables dependientes se asemeja a una matriz



2.5. AN ´ ALISIS DE VARIANZA M ´ ULTIPLE 57

identidad, se realizo con el script sphertest.m [63]. Los resultados se muestran en las

tabla A.13.

En ella se observa, que el nivel de significacion de cada prueba es menor al 5 %, lo

cual es evidencia necesaria y suficiente para rechazar la hipotesis nula, es decir que lasvariables a ser analizadas es el modelo general multivariante si est an correlacionadas.

Pruebas de Homogeneidad de las matrices de varianzas-covarianzas

Estas pruebas no pudieron ser llevadas a cabo de manera exitosa, excepto para el caso de

la matriz que contiene las caracterısticas extraıdas de la componente radial del espectro,

luego de ser modificada. Lo anterior se debio al tamano de las muestras, pues por cada

grupo se incluyeron 4 elementos, cuando lo recomendado para los experimentos es que,

como mınimo el tamano muestral del grupo mas pequeno debe ser mayor que el numero

de variables independientes [9].Sin embargo, frente al eminente problema que representa llevar a cabo experimentos

de este tipo sin probar todos los supuestos sobre las matrices de datos. En el

caso balanceado, donde todos los grupos tienen un tamano muestral igual, los

cuatro estadısticos usados para probar la hipotesis nula de igualdad de los vectores

multivariados de medias ( Lambda de Wilks, Traza de Lawley-Hotelling, Traza de Pillai-

Bartlett y Raiz m´ as grande de Roy), son lo suficiente robustos para manejar, en el caso

que se presente, los conjuntos de datos que presenten heterogeneidad en sus matrices de

varianzas-covarianzas [13].

Los resultados del analisis multivariado de la varianza de un factor, se muestran desde latabla A.14 hasta A.17. Los cuatro estadısticos usados para el contraste de la hipotesis

nula, revelan para cada conjunto de datos, que existe diferencia estadısticamente

significativa entre los vectores de medias de cada grupo, y que esta diferencia se debe

mas a la variabilidad entre grupos (clases de armas) que a la variabilidad al interior de

los grupos.




2.6. Analisis discriminante

En analisis discriminante se usaron las variables canonicas obtenidas de la funcion

manova1.m.Dichas variables son calculadas como:

x1

x2

...

x N

−

m

...

m

Nxp

∗ V pxp = C Nxp

donde cada xi representa un vector de dimension p que contiene las observaciones

para cada elemento de los kn = N (k grupos y n el tamano muestral de cada uno),

m es un vector p-dimensional que contiene en cada elemento el valor medio de las N

observaciones para cada variable y V es la matriz que contiene los p vectores propios de

W−1B re-escalados de forma tal, que la varianza intra-grupos de las variables canonicas

contenidas en C sea igual a la matriz identidad I. Adicionalmente, se usaron las variables

canonicas correspondientes a la primera y segunda columna de C.

Los resultados del analisis discriminante lineal de Fisher, se muestran en las figuras 2.9

a 2.12. En cada una de ellas, se muestran las regiones a las que serıan asignados nuevos

proyectiles disparados por alguna de las armas en estudio.

Figura 2.9: Analisis discriminante datos MCNG




Figura 2.10: Analisis discriminante datos Histograma

Figura 2.11: Analisis discriminante datos S (r )




Figura 2.12: Analisis discriminante datos S (θ )



2.7. AN ´ ALISIS DE CONGLOMERADOS 61

2.7. Analisis de conglomerados

El objeto de este analisis es mostrar como son distribuidos los elementos en los grupos

o clases existentes, usando formacion no jerarquica de conglomerados. En este procesofue usado el criterio de la distancia euclıdea absoluta o cuadrada entre objetos.

(a)

(b)

Figura 2.13: Analisis de conglomerados para las caracterısticas de MCNG, metodo de

k-medias: Distribucion original de variables canonicas (a). Pertenencia predicha por el

analisis de k-medias (b)




(a)

(b)

Figura 2.14: Analisis de conglomerados para las caracterısticas del histograma, metodo

de k-medias: Distribucion original de variables canonicas (a). Pertenencia predicha por

el analisis de k-medias (b)



2.7. AN ´ ALISIS DE CONGLOMERADOS 63

(a)

(b)

Figura 2.15: Analisis de conglomerados para las caracterısticas de S (r ), metodo de k-

medias: Distribucion original de variables canonicas (a). Pertenencia predicha por el





(a)

(b)

Figura 2.16: Analisis de conglomerados para las caracterısticas de S (θ ), metodo de k-

medias: Distribucion original de variables canonicas (a). Pertenencia predicha por el




Capıtulo 3

Analisis de Resultados y

conclusiones

3.1. Discusion previa

Una mirada a las matrices de caracterısticas extraıdas de la componente angular del

espectro (tabla A.4), permite detectar un aparente inconveniente con la deteccion de la

orientacion de las estrıas en las imagenes de los proyectiles.

El tamano de las imagenes usadas en la caracterizacion de la textura en la superficie de

los proyectiles (1138x3962 pixeles) sumado a la naturaleza global del analisis, puede

ser una razon para el aparente problema. El espectro se calculo para toda la imagen y no

solo a las regiones donde se presentan las estrıas, de esta manera, debido a la cantidad de

variaciones que aparecen en la imagen la orientacion total de estas es en promedio 90°.

Otro factor que pudo influir, fue la tecnica misma de “desenvolvimiento” de las imagenes

de la superficie de los proyectiles, debido a que se tomo una cantidad de fotos por

proyectil, que si bien es aceptable, no es suficiente para capturar en detalle la superficie,

porque se presentan variaciones de iluminacion en las uniones de los segmentos que

forman la superficie completa.

En el caso del analisis multivariado de la varianza para los diferentes conjuntos de

datos, se encontro que las matrices de caracterısticas extraıdas de la componente radial y

angular espectro, no eran matrices definidas positivas, lo cual implicaba una singularidad

y por tanto un problema durante el procedimiento. Posteriormente, se encontro que una

de las variables, era una combinacion lineal de otras dos del mismo conjunto, lo cual

es una causa para que una matriz no sea definida positiva. Una vez excluida la variable

redundante de cada conjunto de datos, se pudo realizar el analisis multivariado.

65



66 CAP ITULO 3. AN ´ ALISIS DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES

3.2. Analisis univariado de la varianza: ANOVA

Cuando se analizaron los datos usando el modelo lineal general univariante, donde se

contrasta la hipotesis nula de igualdad de medias para observaciones hechas sobre una

variable, se encontro que todas las matrices caracterısticas contienen datos que son

significativamente diferentes entre grupos, para muchas de las variables observadas.

En el caso de comparaciones multiples, las cuales permiten determinar que grupos se

diferencian en determinada caracterıstica medida, se encontro que las extraıdas de la

matriz de co-ocurrencia de niveles de gris, son altamente discriminantes entre clases.

La matriz de co-ocurrencia de niveles de gris permite describir la textura que presenta

una imagen, usando la probabilidad conjunta de aparicion de cada par de pixeles

relacionados por el operador de posicion relativa P (ver teorema 1, pagina 11). En este

sentido, las caracterısticas que se puedan extraer de la matriz, resultan recomendables

para describir los patrones que presentan las estrıas sobre la superficie de los proyectiles

del experimento. El operador de posicion relativa entre pixeles (P) utilizado fue: primer

vecino a la derecha.

3.3. Analisis multivariado de la varianza: MANOVA

Al analizar los distintos conjuntos de caracterısticas usando el modelo lineal general

multivariante de un factor, donde se contrasta la hipotesis nula de igualdad de vectores

de medias entre grupos, teniendo en cuenta en este caso todas las caracterısticas para

cada estudio, se encontro que todos los estadısticos rechazan la hipotesis nula, lo cual

es un indicador de que existen por lo menos dos grupos cuyos vectores de medias son

significativamente diferentes.

3.4. Analisis discriminante y analisis de conglomerados

El analisis discriminante utilizado es el mas elemental de todos, sin embargo, se observa

que los elementos fueron clasificados de manera correcta. La etapa de clasificacion se

fortalecera cuando se tenga una poblacion mas amplia.

Por su parte, el analisis de conglomerados permite observar que la separacion de los

grupos en el espacio caracterıstico construido es aun amplia. Lo anterior se evidencia,

con elementos asignados a grupos a los que no pertenecen en realidad; sin embargo,

en ninguno de los casos se considera una mala clasificacion, teniendo en cuenta el bajo

numero de elementos en el estudio.



3.4. AN ´ ALISIS DISCRIMINANTE Y AN ´ ALISIS DE CONGLOMERADOS 67

Conclusiones

Los proyectiles que fueron objeto de estudio en la investigacion, obtuvieron

marcas a partir de las cuales se pudo llevar a cabo una comparacion cuantitativaentre ellos, para formar grupos provenientes de la misma arma.

Se presento procedimiento para representar, de manera aceptable, la superficie

“desenvuleta” de los proyectiles disparados.

Fue propuesto un metodo, que para el conjunto de proyectiles objeto de estudio en

la investigacion, permitio de manera efectiva diferenciar los provenientes de las

diferentes armas de fuego.

Las matrices de caracterısticas extraıdas, permitieron llevar a cabo una distincion

cuantitativa de la textura presente en imagenes de proyectiles disparados pordiferentes tipos de armas.

Las caracterısticas extraıdas de la matriz de co-ocurrencia de niveles de gris

(MCNG) permite distinguir, con mayor precision que las caracterısticas de las

otras naturalezas incluidas en el trabajo, entre los proyectiles provenientes de las

diferentes armas.

Las caracterısticas extraıdas de las componentes S (r ) y S (θ ) de los espectros de

las imagenes, no resultaron ser utiles en el proceso de descripcion de las imagenes,

debido al tamano de las mismas.

Perspectivas

Probar que la naturaleza de las caracterısticas extraıdas funciona con una base de

datos mas grande y que ademas contenga diferentes tipos de estriado.

Diseno y construccion de dispositivo para escaneo lineal de proyectiles.

Estudio y aplicacion de tecnicas de compresion de imagenes que permitan reducir

el costo computacional del proceso.

Obtener caracterısticas de otra naturaleza que sirvan como descriptores decaracterısticas presentes en las imagenes y que sirvan como caracterısticas

discriminantes entre tipos de armas.

Segmentar las regiones donde, segun los estudios experimentales, se encuentran

las caracterısticas particulares de cada arma, para aplicar el metodo propuesto y

comparar los resultados, con los incluidos en el presente trabajo.





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Madison, 1962. [citado en p. 99]



Apendices

75





Apendice A

Tablas de resultados

Matrices de caracterısticas

1 2 3 4 5 6

A 131.3475 73.3543 0.0764 -0.2605 0.0165 5.9607

A 131.3861 74.0262 0.0777 -0.4458 0.0168 5.9478

A 131.0862 73.7193 0.0771 -0.1870 0.0166 5.9529

A 131.1737 73.9509 0.0776 -0.3106 0.0165 5.9559

B 129.8166 73.3171 0.0764 -0.1039 0.0164 5.9611

B 130.1544 73.1149 0.0760 -0.0499 0.0169 5.9362

B 133.4170 73.0995 0.0759 -0.3586 0.0169 5.9314

B 132.0659 73.5037 0.0767 -0.2454 0.0167 5.9395C 130.0024 73.3443 0.0764 -0.1633 0.0165 5.9596

C 130.7457 73.6239 0.0769 -0.2342 0.0164 5.9623

C 130.3400 73.3636 0.0764 -0.2926 0.0162 5.9713

C 128.0767 73.5856 0.0769 -0.0741 0.0164 5.9613

D 130.3069 73.1180 0.0760 -0.1739 0.0168 5.9464

D 129.8854 73.5216 0.0767 -0.0799 0.0166 5.9530

D 133.4258 72.8378 0.0754 -0.4818 0.0168 5.9450

D 131.1072 73.7661 0.0772 -0.2670 0.0168 5.9478

Tabla A.1: Caracterısticas a partir del histograma

77



78 AP ´ ENDICE A. TABLAS DE RESULTADOS

7 8 9 10

A 0.2500 0.9702 0.0839 0.8907A 0.2661 0.9686 0.0819 0.8853

A 0.2424 0.9715 0.0840 0.8922

A 0.2452 0.9715 0.0833 0.8913

B 0.2245 0.9733 0.0868 0.8990

B 0.2335 0.9721 0.0855 0.8948

B 0.2108 0.9747 0.0898 0.9050

B 0.2192 0.9742 0.0878 0.9012

C 0.2780 0.9669 0.0824 0.8855

C 0.2833 0.9666 0.0811 0.8829

C 0.2639 0.9686 0.0822 0.8865

C 0.2707 0.9680 0.0821 0.8874

D 0.2640 0.9685 0.0821 0.8852D 0.2555 0.9698 0.0816 0.8854

D 0.2786 0.9664 0.0808 0.8802

D 0.3036 0.9644 0.0773 0.8716

Tabla A.2: Caracterısticas a partir de la MCNG

R1 R2 R3 R4

A 10945249 219640 704926 10725608

A 9000241 220058 668327 8780183

A 9937884 225755 727701 9712129

A 9004660 203129 628766 8801531

B 9936729 205071 649927 9731658

B 8456333 212803 664155 8243530

B 7315296 224511 694504 7090785

B 10834690 222092 750900 10612598

C 10425668 219283 729984 10206385

C 11955776 233733 820806 11722043

C 11831417 232176 819068 11599241C 10223675 227781 766117 9995895

D 10830067 233866 779606 10596201

D 8207832 223764 682021 7984068

D 10301743 231338 720229 10070405

D 11827036 235438 770047 11591598

Tabla A.3: Caracterısticas a partir de S (r )



79

A1 A2 A3 A4 A5A 6189285 3119625 539030 3069660 90

A 6406866 3137101 539343 3269765 90

A 5700627 3141585 504786 2559041 90

A 5987367 3109130 538564 2878237 90

B 6126894 3064126 542007 3062767 90

B 6170620 3112428 566443 3058192 88

B 5757631 3159679 521514 2591951 88

B 6499654 3164645 614099 3335009 88

C 6939855 3133927 626672 3805927 90

C 6538839 3144068 534915 3394770 90

C 6205272 3181358 513244 3023913 90

C 6857722 3082052 568591 3775669 90D 6623973 3187818 609643 3436155 90

D 6194521 3163087 512351 3031434 90

D 6385153 3191548 526470 3193604 90

D 6369222 3169306 550682 3199916 90

Tabla A.4: Caracterısticas a partir de S (θ )




Pruebas de hipotesis antes de realizar ANOVA

Grupo 1 2 3 4 5 6

A Estadıstico 0.9104 0.9151 0.9154 0.9712 0.9930 0.9997

p-value 0.4844 0.5099 0.5116 0.8487 0.9724 0.9992

B Estadıstico 0.9104 0.8860 0.8860 0.9490 0.8955 0.8507

p-value 0.4844 0.3651 0.3649 0.7100 0.4089 0.2284

C Estadıstico 0.8517 0.8223 0.8223 0.9854 0.7924 0.8183

p-value 0.2316 0.1486 0.1487 0.9331 0.0892 0.1392

D Estadıstico 0.8796 0.9699 0.9699 0.9588 0.8262 0.9013

p-value 0.3370 0.8408 0.8410 0.7714 0.1580 0.4377

Tabla A.5: Test de normalidad de Shapiro-Wilk (Histograma)

Grupo 7 8 9 10

A Estadıstico 0.8662 0.8560 0.8363 0.8046

p-value 0.2830 0.2463 0.1848 0.1106

B Estadıstico 0.9996 0.9585 0.9872 0.9988

p-value 0.9989 0.7692 0.9430 0.9966

C Estadıstico 0.9825 0.9303 0.8280 0.9346

p-value 0.9164 0.5959 0.1626 0.6214

D Estadıstico 0.9458 0.9772 0.8400 0.8485

p-value 0.6900 0.8857 0.1954 0.2214

Tabla A.6: Test de normalidad de Shapiro-Wilk (MCNG)

Grupo R1 R2 R3 R4

A Estadıstico 0.8633 0.8552 0.9741 0.8678

p-value 0.2722 0.2433 0.8665 0.2893

B Estadıstico 0.9724 0.9290 0.9232 0.9714

p-value 0.8564 0.5886 0.5550 0.8503

C Estadıstico 0.8148 0.9015 0.8714 0.8168

p-value 0.1314 0.4385 0.3032 0.1359

D Estadıstico 0.9488 0.8874 0.9147 0.9489p-value 0.7086 0.3710 0.5077 0.7095

Tabla A.7: Test de normalidad de Shapiro-Wilk (S (r ))



81

Grupo A1 A2 A3 A4 A5

A Estadıstico 0.9939 0.9234 0.6472 0.9864 NaN

p-value 0.9766 0.5560 0.0023 0.9386 NaN

B Estadıstico 0.9664 0.8919 0.9609 0.9162 0.6298p-value 0.8193 0.3919 0.7846 0.5160 0.0012

C Estadıstico 0.9251 0.9713 0.9523 0.8862 NaN

p-value 0.5658 0.8497 0.7305 0.3659 NaN

D Estadıstico 0.9498 0.8869 0.9090 0.9359 NaN

p-value 0.7149 0.3690 0.4773 0.6295 NaN

Tabla A.8: Test de normalidad de Shapiro-Wilk (S (θ ))

1 2 3 4 5 6

Estadıstico 1.5981 2.5944 2.5862 0.8895 1.6502 1.8393Grados de

libertad

[3 12] [3 12] [3 12] [3 12] [3 12] [3 12]

p-value 0.2415 0.1009 0.1016 0.4744 0.2302 0.1938

Tabla A.9: Test de Homogeneidad de las varianzas (Histograma)

7 8 9 10

Estadıstico 2.0317 2.4982 1.4006 1.6950

Grados de

libertad

[3 12] [3 12] [3 12] [3 12]

p-value 0.1632 0.1093 0.2905 0.2209

Tabla A.10: Test de Homogeneidad de las varianzas (MCNG)

R1 R2 R3 R4

Estadıstico 1.0627 0.7583 0.0088 1.0786

Grados de

libertad

[3 12] [3 12] [3 12] [3 12]

p-value 0.4012 0.5387 0.9988 0.3950

Tabla A.11: Test de Homogeneidad de las varianzas (S (r ))

A1 A2 A3 A4 A5

Estadıstico 0.6377 2.1751 0.9469 0.8576 2.2500

Grados de

libertad

[3 12] [3 12] [3 12] [3 12] [3 12]

p-value 0.6050 0.1439 0.4487 0.4893 0.1349

Tabla A.12: Test de Homogeneidad de las varianzas (S (θ ))




Comparacion multiple de medias y tablas de ANOVA

(a)

Fuente SC gl CM F Prob>F

Grupos 0.00753 3 0.00251 13.97 0.0003

Error 0.00216 12 0.00018

Total 0.00968 15

(b)

(c)

Fuente SC gl CM∗10−5 F Prob>F

Grupos .0001 3 3.47788 14.33 0.0003

Error .00003 12 .242729

Total .00013 15

(d)

(e)

Fuente SC gl CM∗10−5 F Prob>F

Grupos .00011 3 3.60326 15.39 0.0002

Error .00003 12 .234188

Total .00014 15

(f)

(g)


Grupos .00082 3 .00027 14.84 0.0002

Error .00022 12 .00002

Total .00104 15

(h)

Figura A.1: Comparacion multiple de medias y Tablas de ANOVA (MCNG)



83

(a)


Grupos 6.5786 3 2.19288 1.3 0.3208

Error 20.3094 12 1.69245

Total 26.888 15

(b)

(c)


Grupos .618 3 .206 2.58 0.1024

Error .9594 12 .07995

Total 1.57741 15

(d)

(e)

Fuente SC∗10−6 gl CM∗10−7 F Prob>F

Grupos 2.29562 3 7.65206 2.58 0.1021

Error 3.55787 12 2.96489

Total 5.85348 15

(f)

(g)


Grupos .03436 3 .01145 .66 0.5947

Error .20961 12 .01747

Total .24397 15

(h)

(i)


Grupos 3.5327 3 1.17757 5.41 0 .0138

Error 2.6125 12 .21771

Total 6.1452 15

(j)

(k)


Grupos .00102 3 .00034 5.61 0.0122

Error .00072 12 .00006

Total .00174 15

(l)

Figura A.2: Comparacion multiple de medias y Tablas de ANOVA (Histograma)




(a)

Fuente SC∗1012 gl CM∗1012 F Prob>F

Grupos 8.49089 3 2.8303 1.75 0.2093

Error 19.3614 12 1.61345

Total 27.8523 15

(b)

(c)


Grupos 6.98591 3 23.2864 3.82 0.0392

Error 7.30892 12 6.09076

Total 14.2948 15

(d)

(e)

Fuente SC∗

1010 gl CM∗

109 F Prob>F

Grupos 2.67465 3 8.91551 4.52 0.0242

Error 2.36667 12 1.97222

Total 5.04132 15

(f)

(g)


Grupos 8.36588 3 2.78863 1.74 0.2129

Error 19.285 12 1.60708

Total 27.6509 15

(h)

Figura A.3: Comparacion multiple de medias y Tablas de ANOVA (S (r ))



85

(a)

Fuente SC

∗1011 gl CM

∗1010 F Prob>F

Grupos 7.99142 3 26.6381 3.25 0.0597

Error 9.82052 12 8.18376

Total 17.8119 15

(b)

(c)


Grupos 7.37968 3 2.45989 2.28 0.1314

Error 12.9397 12 1.07831

Total 20.3194 15

(d)

(e)


Grupos 2.4844 3 8.2813 .54 0.6658

Error 18.50630 12 15.4219

Total 20.99070 15

(f)

(g)


Grupos 7.4778 3 24.9260 2.85 0.0822

Error 10.5053 12 8.7544

Total 17.9831 15

(h)

(i)


Grupos 6.75 3 2.25 9 0.0021

Error 3 12 .25

Total 9.75 15

(j)

Figura A.4: Comparacion multiple de medias y Tablas de ANOVA (S (θ ))




Pruebas de hipotesis antes de realizar MANOVA

MCNG Histograma S (r ) S (θ )

aprox. χ2 155.0469 221.3445 161.1503 15.8012

gl. 6 15 3 6

p-valor 0.0000 0.0000 0.0000 0.0149

Tabla A.13: Pruebas de esfericidad de Bartlett

Resultados del modelo lineal general multivariante de un factor

Estadıstico Valor F gl. Hip gl. Error p-value

Traza de Pillai 1.9025 4.7669 12 33 0.0002

Lambda de Wilks 0.0218 6.5226 12 24.103 0.0001

Traza de Hotelling 10.2595 6.5547 12 23 0.0001

Raız mas grande de Roy 5.9967 16.4908 4 11 0.0001

Tabla A.14: MANOVA para caracterısticas de la MCNG



87


Traza de Pillai 1.9321 2.7138 18 27 0.0093

Lambda de Wilks 0.0374 2.4728 18 20.284 0.0258



Tabla A.15: MANOVA para caracterısticas del histograma


Traza de Pillai 1.3219 3.1511 9 36 0.0067

Lambda de Wilks 0.1193 3.7970 9 24.488 0.0041



Tabla A.16: MANOVA para caracterısticas de S (r )





Traza de Pillai 1.5979 3.1340 12 33 0.0046

Lambda de Wilks 0.0461 4.4159 12 24.103 0.0010



Tabla A.17: MANOVA para caracterısticas de S (θ )



Apendice B

Actualidad de la identificacion

automatica de armas

Actualidad de la identificacion automatica de armas

En esta seccion son descritos de forma breve los sistemas de reconocimiento automatico

de armas que funcionan al servicio de diferentes entidades, y los avances en trabajos de

investigacion al respecto.

IBIS

El Sistema Integrado de Identificacion Balıstico -IBIS- producido por la companıa

Forensic Technology con sede en Montreal Canada, es usado en alrededor de 35

paıses por las instituciones encargadas de investigar casos relacionados con armas

de fuego. La herramienta permite recabar y analizar imagenes digitales de marcas

microscopicas unicas detectadas en proyectiles y vainillas encontrados en la escena del

delito, posteriormente, es extraıda una firma electronica de cada imagen y almacenada

en una base de datos. El sistema compara automaticamente las firmas en un intento por

encontrar una coincidencia, luego clasifica las coincidencias mas probables para que

estas sean confirmadas por los expertos forenses.

La base de datos de este sistema puede estar disponible en diferentes jurisdicciones,

facilitando la relacion de delitos, armas y sospechosos.

IBIS TRAX-3D

Son innovaciones presentadas por la misma companıa fabricante de IBIS, presentadas

como respuesta a mejor caracterizacion y mayor automatizacion. IBIS TRAX-3D es

una familia de productos para el registro, almacenamiento, procesamiento y analisis de

imagenes de evidencia balıstica (ver figura B.1a).

89



90 AP ´ ENDICE B. ACTUALIDAD DE LA IDENTIFICACI ´ ON AUTOM ´ ATICA DE ARMAS

BrassTRAX-3D permite capturar imagenes de las marcas dejadas por el sistema central

de disparo sobre la base de la vainilla en 2-D y 3-D. Ofrece un entorno de iluminacion

controlado para obtener varias la mejor perspectiva. La construccion de modelos 3-D de

las marca dejadas por el percutor, permite llevar a cabo comparaciones bastante precisas(ver figura B.1b).

BulletTRAX-3D permite adquirir imagenes digitales 2D y crear modelos topograficos

3D de la superficie del proyectil; basicamente el sistema realiza automaticamente

la misma rutina de comparacion entre LEA’s (land engraved areas) realizada por

el perito en balıstica bajo el microscopio de comparacion, construyendo una matriz

de correlaciones donde cada elemento es la correlacion que presentaron las zonas

comparadas (ver figura B.1c).

La herramienta IBIS Data Concentrator, permite el almacenamiento y servicios

de realimentacion para alrededor de 2 millones de estaciones BrassTRAX-3D y

BulletTRAX. De manera adicional sirve como punto de conexion con la herramienta

MatchPoint+, la cual es usada como estacion para analisis de datos y elaboracion de

reportes (ver figuras B.1d y B.1e).

Por su parte, el IBIS Correlation Server lleva a cabo comparaciones de datos los datos

que se encuentran en el IBIS Data Concentrator. Para hacer las comparaciones usa

algoritmos especializados, que procesan las firmas digitales unicas extraıdas de las

imagenes, al igual que otros datos demograficos. La correlacion de las firmas muestra

las coincidencias de maxima probabilidad y luego son comparadas con los resultados

entregados por MatchPoint+ para su validacion.

La conexion entre las diferentes estaciones de trabajo puede ser remota o local, teniendo

en cuenta que las conexiones remotas estan ligadas a el ancho de banda de transmision

de datos [64].

FIREBALL

Es una base de datos interactiva que le permite a los usuarios almacenar imagenes de la

base de la vainillas y la superficie de los proyectiles, para extraer las orientaciones de

las caracterısticas de clase usando una interfaz grafica de usuario. “FIREBALL” es el

resultado de las investigaciones en identificacion de armas que se llevaron a cabo en la

Universidad Edith Cowan (Australia), durante los pasados siete anos. Sin embargo, la

necesidad expuesta por los servicios de policıa local, la cual influencio la orientacionde las investigaciones, tenıa como prioridad la identificacion de armas basada en el

reconocimiento de caracterısticas en las vainillas y no tanto en la superficie de los

proyectiles disparados [65].

Algunos resumenes de trabajos de investigacion sobre Identificacion de

armas

F. Puente Leon. Automated comparison of firearm bullets [66]

Es presentado un enfoque de comparacion de armas, basado en la extraccion automatica



91

(a)

(b) (c)

(d) (e)

Figura B.1: Serie IBIS-TRAX-3D

de una “firma” digital, la cual abarca las marcas relevantes de una imagen, para

identificar las caracterısticas que se presentan en la superficie de los proyectiles

disparados. Para este fin, primero se obtuvieron imagenes de alta resolucion usando

tecnicas de fusion. Posteriormente se llevo a cabo un preprocesamiento, en el cual los

niveles de intensidad de la imagen fueron filtrados a lo largo de la direccion de las estrıas.

Un filtro no lineal se encargo de la seleccion del estriado de interes. La comparacion se

llevo a acabo a traves de la correlacion cruzada de las firmas.

J. de Kinder and M. Bonfanti. Automated comparisons of bullet striations based on



92 AP ´ ENDICE B. ACTUALIDAD DE LA IDENTIFICACI ´ ON AUTOM ´ ATICA DE ARMAS

3D topography [67]:

Se presento un sistema con la capacidad de comparar las firmas digitales de imagenes de

proyectiles con el fin de llevar a cabo identificacion de armas. El sistema esta basado

en el almacenamiento de la topografıa de la superficie de los proyectiles usandoperfilometrıa laser. Los vectores caracterısticos son comparados entre sı usando tecnicas

de correlacion.

Dongguang Li. Firearm identification system based on ballistics image processing [2]:

En este trabajo es propuesto un sistema analıtico basado en la trasformada rapida de

Fourier para identificar proyectiles a partir de imagenes adquiridas con la tecnica de

escaneo lineal (line-scan imaging).

El estudio demuestra que diferentes tipos de estrıas y macizos generadas por diferentes

armas tiene texturas superficiales distintivas, y esas texturas pueden ser medidas e

identificadas de manera efectiva usando analisis espectral.

C. L. Smith y J. M. Cross.Optical imaging techniques for ballistics specimens to

identify firearms [68]:

El artıculo describe la investigacion tras el desarrollo de un sistema el cual puede

almacenar, analizar, recuperar, y comparar imagenes de alta resolucion de cartuchos

relacionados con casos de armas de fuego. La base de datos interactiva de balıstica

forense “FIREBALL” incorpora una Interface Grafica de Usuario (GUI) para obtener

medidas precisas de las caracterısticas de clase de los cartuchos.

En el trabajo son examinados metodos y tecnicas para producir un sistema eficiente de

analisis automatico de evidencia balıstica.

C. L. Smith y Dongguang Li. Intelligent Imaging of Forensic Ballistics Specimens for

ID [27]:

El artıculo describe algunas de las tecnologıas mas importantes en la identificacion de

armas de fuego usando especımenes balısticos (Cartuchos y proyectiles). Se propone el

mapeo de microsuperficies sobre las regiones de los especımenes en comparacion para

establecer la identificacion acorde con la precision de las medidas de las caracterısticas.

Proponen las de Line-Scanning (Escaneo lineal), Laser Depth Proofing (Prueba de

profundiad usando laser), y topografıa fotonica 3D, como herramientas de importancia

para los balısticos forenses, en la identificacion de cartuchos y proyectiles.

P. Thumwarin,C. Prasit y T. Matsuura. Firearm identification based on rotation

invariant feature of cartridge case [69]:

Es propuesto un metodo de identificacion de armas basado en caracterısticas invariantes

bajo rotacion a partir de imagenes de cartuchos. Se propone como caracterıstica

invariante bajo rotacion el valor absoluto de los coeficientes de Fourier calculados a

partir de una imagen. Finalmente, el arma puede ser identificada comparando los valores



93

calculados de otras muestras. Los experimentos muestran la efectividad del metodo

propuesto.

C. L. Smith. Line-scan imaging for the positive identification of ballistics specimes [26]:Describe el desarrollo de una tecnica para el registro de imagenes de proyectiles

en la identificacion automatica de armas. Los resultados se compararon con los

obtenidos usando la tecnica de perfilometrıa superficial, encontrando que las tecnicas

se complementan y ambas permiten validar el analisis de las caracterısticas de clase y

las individuales.

J. Kong, D. Li y A. C. Watson. A firearm identification system based on neural network

[70]:

Se propone un sistema de identificacion de armas basado en una Red neuronal para un

mapa de caracterısticas auto-asociativo (SOFM neural network). El trabajo se enfoca

en la identificacion de vainillas a traves de las marcas dejadas por el sistema central de

disparo, fundamentalmente la marca dejada por el percutor. Los experimentos mostraron

que el modelo propuesto es robusto y de un alto desempeno para integrar la red (SOFM

neural network) y la estrategia de toma de decisiones.

F. Puente Leon. An automated system for the macroscopic acquisition of images of

firearms bullets [71]:

Se presentaron metodos de fusion de imagenes que permiten obtener imagenes de

proyectiles de alta calidad. El trabajo se enfoco en tres problemas basicos, los cuales

causan que los sistemas opticos fallen en la adquisicion de imagenes de suficiente

calidad: iluminacion, profundidad del foco y visibilidad.

Huai Sheng Wang y Dongguang Li. Characteristic of a bullet’s digital images under

the illumination of di ff erent wavelengths [72]:

Se busco la longitud de inda de la luz que produce mejores efectos en la adquisicion

de imagenes de proyectiles, se uso el sistema de identificacion FIREBALL bajo una

iluminacion cuya longitud de onda esta en el rango de los 400nm a los 700nm. Los

experimentos revelaron que la luz con mayor longitud de onda tiene el mejor efecto en

la calidad de las imagenes.

F. Xie, S. Xiao, et al. Automated bullet-identification system based on surface

topography techniques [73]:

Se propuso un enfoque cuantitativo 3D, en el cual la totalidad de la topografıa

de la superficie de los proyectiles es adquirida para analisis e identificacion. Las

caracterısticas de clase e individuales son extraıdas de manera efectiva, usando tecnicas

de segmentacion.





Apendice C

Manufactura e identificacion

Autores Conjunto

de prueba

Particularidad Tecnica Resultados

Gravelle, 1925 Armas Consecutivamente

manufacturadas

Los

rastros dejados por cada

canon son individuales

Springfield

Arsenal, 1926

4 canones consecutivamente

rayados con la

misma her-

ramienta

Los

rastros dejados por cada

canon son individuales

Goddard,1933[42]

6 canones cortados de 3tubos

previamente

rayados

hook cutting

Una correctaidentificacion puede ser

llevada a cabo sin ningun

problema.

Bruning, 1934 4 pistolas

Sauer &

Sohn

consecutivamente

manufactiradas

Los proyectiles pueden

ser distinguidos por el

microrayado dejado en las

estr ıas y macizos

Churchman, 1949

[43]

3 canones

de

carabinas

Cooey

consecutivamente

rayados

broaching Los proyectiles presentan

caracterısticas de subclase

las cuales son dejadas por

la herramienta usada para

el rayado, sin embargo, lascaracterısticas

individuales de

los proyectiles disparados

a traves de diferentes

canones no corresponden

continua en la siguiente hoja

95



96 AP ´ ENDICE C. MANUFACTURA E IDENTIFICACI ´ ON

Autores Conjunto de

prueba


Burrard, 1951

[42]

4 revolvers

Webley &

Scott

canones

consecutivamente

manufacturados;

sin ser pulidos

hook

cutting

Una

identificacion de armas

correcta pudo ser llevada a

cabo sin ningun problema.

Algunos cruces pueden

ser observados para las

caracterısticas

macro presentes en las

canones consecutivamente

cortados.

Michon and

Oprijan, 1956

[59, 31]

5 pistolas

de la misma

marca y

modelo

canones

provenientes

del mismo lote de

manufactura

Las marcas dejadas en las

estrıas y los macizos por

tres de las cinco pistolas

se parecen mucho. Las

diferencias encontradasson muy pequenas para

servir como base en la

identificacion de armas.

Hatcher et al,

1957 [57]

2 canones rayados con la

misma herramienta

mandrel

rifling

Las

marcas dejadas por cada

canon son individuales.

Hadersdorfer,

1958 [74]

10 pistolas

Walther PP

numeros seriales

cercanos

hammering Los proyectiles pueden ser

distinguidos

por las marcas dejadas en

las estrıas y los macizos.

Biasotti, 1959,

[75]

16

revolversSmith &

Wesson

Victory

hook

cutting

El porcentaje

promedio del microrayadocorrespondiente

sobre proyectiles de la

misma arma esta entre 36

y 38% para las balas de

plomo y entre 21 y 24 %

para las balas recubiertas

(enchaquetadas).

8 revolvers

Smith &

Wesson

broaching La

comparacion entre balas

disparadas por diferentes

armas resulta en 15 al

20 % correspondencia delas estrıas

Austin, 1970 [76] 3 carabinas

Marlin

336RC

canones

consecutivamente

rayados

buttoning

(Micro-

Groove)

No se observo repeticion

del

estriado.En consecuencia,

armas consecutivamente

manufacturadas poseen

suficientes caracterısticas

para permitir llevar a cabo

una identificacion.




97

Autores Conjunto de

prueba


Harig and

Kahlfeld, 1970[31]

10 pistolas

Makarov

canones cortados

de dos tubosconsecutivamente

rayados usando la

misma heramienta

hammering Aunque algunas balas

tienen algunas similitudesconsiderables, las

diez pistolas pueden ser

identificadas usando sus

proyectiles.

Lutz, 1970 [77,

29]

2 revolvers

Smith &

Wesson

canones

consecutivamente

rayados

broaching Las armas pueden

ser identificadas por el

microrayado presente en

los macizos.

Lomoro, 1974

[44]

2 revolvers

F.I.E

Titanic

numeros seriales

cercanos

broaching Los proyectiles de los 3

revolvers muestran gran

similitud en el

microrayado presente en

las estrıas. Sin embargo no

presenta correspondencia

alguna para los macizos.

Skolrood, 1975

[45]

3 carabinas

Cooey 39

de un solo

tiro

canones

consecutivamente

rayados

broaching A parte de alguna

correspondencia

de subclase, una correcta

identificacion puede ser

llevada a cabo en base al

estriado de los proyectiles.

Freeman, 1978

[78]

3 pistolas

Heckler &

Koch P9S

canones

consecutivamente

rayados

Hammering

(polyg-

onal

rifling)

Cada canon posee una

individualidad distinta y

singular.

Murdock, 1981

[77]

9 canones

(3 Marlin, 3

Mossberg y

3

Remington)

canones

de la misma marca

fueron

consecutivamente

rayados

buttoning No se

observo sobre las estrıas y

los macizos microrayado

propio de la familia. No

obstante, algunas de las

estrıas finas concuerdan.

Esto no es suficiente para

llevar a cabo una correcta

identificacion de armas.

Jager y

Lombacher, 1982

[59]

5 pistolas

SIG P6

(P225)

numeros seriales

consecutivos

Hammering Las estrıas sobre el

proyectil permiten

identificar el arma que losdisparo.

Hall, 1983 [36] 4 carabinas

Shilen Rifle

Inc.

canones

consecutivamente

rayados

Hammering

(polyg-

onal

rifling)

Cada canon posee una

individualidad distinta y

singular.

O’Callaghan,

1983 [79]

6 canones cortados de dos

tubos previamente

rayados

buttoning La identificacion de armas

basada en los proyectiles

no presenta problemas.




98 AP ´ ENDICE C. MANUFACTURA E IDENTIFICACI ´ ON

Autores Conjunto de

prueba


Arnold, 1984

[32]

5 canones

de pistolas

SIG P225

cortados de un tubo

previamente

rayado

hammering Cada

canon tiene una firma

unica. La identificacion

puede ser impedida por la

falta de estrıas finas o por

variaciones en el patron

entre disparo y disparo.

Una identificacion esta

mas basada en las marcas

presentes en los macizos

mas que en las presentes

en las estrıas.

Matty, 1985 [33] 3 canones

de revolver

RugerNew Model

Blackhawk

consecutivamente

cortados de un tubo

previamenterayado

buttoning Pueden ser vistos

remanentes

suficientes para separar enfases, pero no es suficiente

para una identificacion

concluyente. Los macizos

no

conservan consistencia en

el estriado que presentan.

Uchiyama, 1986

[80]

5 pistolas

FN Baby

numeros seriales

cercanos

Algunas armas pueden ser

diferenciadas

basandose en el ancho de

los macizos.

Brundage, 1994

[81, 29]

10 canones

de pistolasRuger

consecutivamente

rayados

Una correcta

identificacion no presentaningun problema.

Brown y Bryant,

1995 [81]

29

Derringers

equipadas

con

62 canones

en total

(Los

canones Derringer

son usualmente

fabricados

muy cercanamente

en la lınea de

produccion)

Se

encontro correspondencia

entre las marcas sobre

rugosas sobre las estrıas,

pero no sobre los macizos

en la superficie de los

proyectiles disparados por

los dos canones de una

pistola.

Gross, 1995 [82] 3704

pistolasWalther P5

Toda pistola transfiere un

unico patron de estriadoal proyectil disparado. La

superficie de los

proyectiles probados son

relativamente suaves.

Lardizabal, 1995

[83]

3 pistolas

Heckler &

Koch USP

numeros seriales

cercanos

Toda pistola transfiere un

unico patron de estriado al

proyectil disparado.

Collins, 1997

[35]

2 pistolas

Lorcin

L380

numeros seriales

consecutivos,

canones rayados

con la misma

herramienta.

buttoning Toda pistola transfiere un

unico patron de estriado al

proyectil disparado.

Tabla C.1: Estudios hechos sobre proyectiles disparados a traves de ca ˜ nones

consecutivamente rayados o con numeros seriales cercanos



Apendice D

Uso e identificacion

Autor(es) Arma(s) Procedimiento

experimen-

tal / minicion

usada

Elemento

de com-

paracion

Resultados

Goddard, 1920

[84]

1 ametral-

ladora no

especifica-

da

500 disparos proyectiles Los 500 proyectiles

pueden ser identificados

con el primero.

Burrard, 1951

[42]

1 revolver

no especifi-

cado

proyectiles de

plomo

proyectil Los 50 proyectiles ya no


con el primero.

Burrard, 1951

[42]

1 pistola

no especi-

ficada,

calibre 7.63

Mauser

proyectiles con

camisa de nıquel

proyectil Los 20 proyectiles ya no


con el primero.

Hatcher et al.,

1957 [57]

1 ametral-

ladora no

especifica-

da, calibre

.50

proyectiles

recubiertos

proyectil La identificacion solo es

posible si

no son disparados mas de

una docena de proyectiles.

Hatcher et al.,

1957 [57]

1 ametral-

ladora no

especifica-

da, calibre

.45

proyectil La identificacion solo es

posible si un maximo de

300-600 proyectiles han

sido disparados.

Tabla D.1: Estudios hechos sobre proyectiles disparados a traves de ca˜ nones

consecutivamente rayados o con numeros seriales cercanos

99





Apendice E

Datos tecnicos, equipos LEICA

Microscopio estereoscopico MZ6

Principio de construccion Sistema optico tratado con un recubrimiento multicapa

con trayectorias de rayos paralelas y 1 objetivo principal,

parfocal y libre de plomo

Resistencia superficial del material

antiestatico

< 1011 ohmios / cuadrado, tiempo de descarga < 2 s,

1.000V a 100V

Max. apertura numerica 0.15 con 2x objetivo acromatico / 0.075 con 1x objetivo

acromaticoResolucion 450 Lp / mm con 2x objetivo acromatico / 225 Lp / mm con

1x objetivo acromatico

Cambiador de aumentos en

posicion

zoom 6:1, 0.63x, 1x, 1.6x, 2.5x, 4x

7 posiciones enclavables en 0.8, 1, 1.25, 1.6, 2, 2.5, 3.2

Aumentos 6.3x a 40x (con objetivo 1x / oculares 10x)

Aumento total 2x a 320x

Campo del objeto 0,8mm a 105mm

Distancias de trabajo 27nm hasta 297mm

Objetivos acromaticos 1x, 1.5x, 2x, 0.8x, 0.63x, 0.5x, 0.32x, Ergo objetivo

0.4x – 0.63x con margen de desplazamiento 90mm

(distancia de trabajo 63,5 – 153,5mm)

Objetivos acromaticos planos y

apocromaticos planos

1x (Plan, Planapo), 0.5x (Plan), 0.8x (Plan), 0.63x

(Planapo), 1.6x (Planapo), 2x (Planapo), sin plomo

Dioptrıas de +5 a –5

Distancia interpupilar 52mm a 76mm

Iluminaciones Oblicua, coaxial, vertical, conductores de luz por fi bra de

vidrio y fuentes de luz frıa, disipador ESD, iluminacion

LED (Laser Emitting Diode), fluorescencia

fuente: www.leica-microsystems.com / MS5 MZ6

101



102 AP ´ ENDICE E. DATOS T ECNICOS, EQUIPOS LEICA

Camara digital Leica DFC490

Tipo de camara Camara digital para microscopıa con software de control

Sensor CCD de transferencia Interline con lectura por marcos –

ICX456

Grado / tamano sensor Grado cero / 8,81 mm x 6,61 mm (tipo 2 / 3)

Filtro de color Mosaico RGB Bayer

Filtro de color protector Hoya CM500S (corte IR 650 nm)

Control del obturador Obturador electronico global / lectura entrelazada

Numero de pıxeles 8 megapıxeles, 3264 x 2448

Superficie sensible 8,81 mm x 6,61 mm

Tamano de pıxel 2,7 µm x 2,7 µm

Profundidad de color 36 bits

Convertidor A / D 12 bits

Rango dinamico > 58 dB / 800:1

Ruido de lectura σ < 6 LSB (12 bits) tıpico

Tiempo de exposicion 1 ms a 600 s

Corriente oscura 0,22 LSB / s a 12 bits tıpicaControl de amplificacion / Control

de compensacion

10x / 0. . . 255 LSB (12 bits)

Imagen en vivo En la pantalla del ordenador

Correccion del sombreado Sı, almacenado para todos los formatos

Correccion del brillo En todos los modos de combinacion de color

Sistema de enfriamiento Elemento de enfriamiento termoelectrico activo Peltier

Temperaturas de enfriamiento ∆-20K a temperatura ambiente

Region de interes Graduable en pasos de 2 pıxeles desde 2 x 2 hasta maxima

resolucion

fuente: www.leica-microsystems.com /

DFC490



Apendice F

Scripts Matlab

function desc_spec=descriptores(srad,sang)

% DES_SPEC=DESCRIPTORES(SRAD,SANG).

% calcula los descriptores de textura de la imagen a traves de su

%espectro

desc_spec.maximo_rad= max(srad);

desc_spec.maximo_ang= max(sang);

desc_spec.media_rad= mean(srad);

desc_spec.media_ang= mean(sang) ;

desc_spec.desvest_rad= std(srad);

desc_spec.desvest_ang= std(sang);

desc_spec.RelMaxMed_rad= max(srad)-mean(srad);

desc_spec.RelMaxMed_ang= max(sang)-mean(sang);

desc_spec.PosicionAng_max= maxpos(sang);

function g= imreadGray(s)

%convierte una imagen rgb a una imagen en escala de grises

% g= conversion(’Filename.formato’). Donde g es la imagen en escala de

% grises.

f=imread(s);

g=rgb2gray(f);

function loc= maxpos(x)

103



104 AP ´ ENDICE F. SCRIPTS MATLAB

%funcion que retorna la posicion axial del maximo de una funcion

max_value= max(x);

loc=1;

while x(loc) ˜= max_valueloc=loc+1;

end

function x= segmento(y)

%Extrae de la imagen del proyectil contenida en x, el segmento de interes.

% s=subim(f, m, n, rx, cy) extrae una subimagen, s, desde una imagen dada, f.

% La subimagen es de m-por-n y las coordenadas de su extremo %izquierdo

%es(rx, cy).

s=subim(f, m, n, rx, cy)

[tam_fil,tam_col]= size(y);

k= 8.65;

tam_subfil= k/100;

m= ceil(tam_fil*tam_subfil);

k= 55;

tam_subcol= k/100;

n= ceil(tam_col*tam_subcol);

rx= ceil( 0.46* tam_fil ) - ceil( m / 2);

cy= ceil( 0.42* tam_col ) - ceil( n / 2);

x=subim(y, m, n, rx, cy);

% RUTINA ELABORADA PARA OBTENER LAS IMAGENES DESENVUELTAS DE LA SUPERFICIE

% DE LOS PROYECTILES

%% Lecura de imagenes

a= imreadGray(’ExPERIMENTO\BASE_J\glock_mod17\P_4\Py_04_1.jpg’);

b= imreadGray(’ExPERIMENTO\BASE_J\glock_mod17\P_4\Py_04_2.jpg’);

c= imreadGray(’ExPERIMENTO\BASE_J\glock_mod17\P_4\Py_04_3.jpg’);

d= imreadGray(’ExPERIMENTO\BASE_J\glock_mod17\P_4\Py_04_4.jpg’);

e= imreadGray(’ExPERIMENTO\BASE_J\glock_mod17\P_4\Py_04_5.jpg’);

f= imreadGray(’ExPERIMENTO\BASE_J\glock_mod17\P_4\Py_04_6.jpg’);g= imreadGray(’ExPERIMENTO\BASE_J\glock_mod17\P_4\Py_04_7.jpg’);

h= imreadGray(’ExPERIMENTO\BASE_J\glock_mod17\P_4\Py_04_8.jpg’);

i= imreadGray(’ExPERIMENTO\BASE_J\glock_mod17\P_4\Py_04_9.jpg’);

j= imreadGray(’ExPERIMENTO\BASE_J\glock_mod17\P_4\Py_04_10.jpg’);

k= imreadGray(’ExPERIMENTO\BASE_J\glock_mod17\P_4\Py_04_11.jpg’);

l= imreadGray(’ExPERIMENTO\BASE_J\glock_mod17\P_4\Py_04_12.jpg’);

m= imreadGray(’ExPERIMENTO\BASE_J\glock_mod17\P_4\Py_04_13.jpg’);

n= imreadGray(’ExPERIMENTO\BASE_J\glock_mod17\P_4\Py_04_14.jpg’);

o= imreadGray(’ExPERIMENTO\BASE_J\glock_mod17\P_4\Py_04_15.jpg’);



105

p= imreadGray(’ExPERIMENTO\BASE_J\glock_mod17\P_4\Py_04_16.jpg’);

q= imreadGray(’ExPERIMENTO\BASE_J\glock_mod17\P_4\Py_04_17.jpg’);

r= imreadGray(’ExPERIMENTO\BASE_J\glock_mod17\P_4\Py_04_18.jpg’);

s= imreadGray(’ExPERIMENTO\BASE_J\glock_mod17\P_4\Py_04_19.jpg’);t= imreadGray(’ExPERIMENTO\BASE_J\glock_mod17\P_4\Py_04_20.jpg’);

u= imreadGray(’ExPERIMENTO\BASE_J\glock_mod17\P_4\Py_04_21.jpg’);

v= imreadGray(’ExPERIMENTO\BASE_J\glock_mod17\P_4\Py_04_22.jpg’);

w= imreadGray(’ExPERIMENTO\BASE_J\glock_mod17\P_4\Py_04_23.jpg’);

x= imreadGray(’ExPERIMENTO\BASE_J\glock_mod17\P_4\Py_04_24.jpg’);

y= imreadGray(’ExPERIMENTO\BASE_J\glock_mod17\P_4\Py_04_25.jpg’);

z= imreadGray(’ExPERIMENTO\BASE_J\glock_mod17\P_4\Py_04_26.jpg’);

aa= imreadGray(’ExPERIMENTO\BASE_J\glock_mod17\P_4\Py_04_27.jpg’);

bb= imreadGray(’ExPERIMENTO\BASE_J\glock_mod17\P_4\Py_04_28.jpg’);

cc= imreadGray(’ExPERIMENTO\BASE_J\glock_mod17\P_4\Py_04_29.jpg’);

dd= imreadGray(’ExPERIMENTO\BASE_J\glock_mod17\P_4\Py_04_30.jpg’);

%% Extraccion del segmento de interes de cada imagen

a1= segmento(a);

b1= segmento(b);

c1= segmento(c);

d1= segmento(d);

e1= segmento(e);

f1= segmento(f);

g1= segmento(g);

h1= segmento(h);

i1= segmento(i);

j1= segmento(j);

k1= segmento(k);

l1= segmento(l);

m1= segmento(m);

n1= segmento(n);

o1= segmento(o);

p1= segmento(p);

q1= segmento(q);

r1= segmento(r);

s1= segmento(s);

t1= segmento(t);

u1= segmento(u);v1= segmento(v);

w1= segmento(w);

x1= segmento(x);

y1= segmento(y);

z1= segmento(z);

aa1= segmento(aa);

bb1= segmento(bb);

cc1= segmento(cc);

dd1= segmento(dd);




%% concatenacion

unwrap=[a1;b1;c1;d1;e1;f1;g1;h1;i1;j1;k1;l1;m1;n1;o1;p1;q1;r1;s1;...

t1;u1;v1;w1;x1;y1;z1;aa1;bb1;cc1;dd1];

unwrap=imrotate(unwrap,90);

function [srad, sang, S] = specxture(f);

%FUNCION MODIFICADA

%SPECXTURE calcula la textura espectral de una imagen.

% [SRAD, SANG, S] = SPECXTURE(F) calcula SRAD, la distribucion de energıa

% espectral como una funcion del radio desde el centro del espectro, SANG,

% la distribucion de energıa espectralcomo una funcion de el angulo, y

% S = log(1 + spectrum of f), normalizado. El maximo valor del radio es

% min(M,N), donde M y N son el numero de filas y columnas de una imagen o

%region contenida en f. De esta forma, SRAD es un vector de

% tamano = (min(M, N)/2) - 1; y SANG es un vector de tamano 180.

%FUNCION ORIGINAL

% Copyright 2002-2004 R. C. Gonzalez, R. E. Woods, & S. L. Eddins

% Digital Image Processing Using MATLAB, Prentice-Hall, 2004

% $Revision: 1.7 $ $Date: 2003/11/21 14:48:47 $

% Obtiene el espectro, S, de f. Las variables de S son

% (u, v), van de 1:M y 1:N, con el centro (frecuencia cero)

% en [M/2 + 1, N/2 + 1] .

S = fftshift(fft2(f));

S = abs(S);

[M, N] = size(S) ;

x0 = (M/2) + 1 ;

y0 = (N/2) + 1;

% Maximo radio del semicirculo centrado en (x0, y0) que no excede los

% lımites de S.

rmax = min(M, N)/2 - 1;

% Calculo de srad.srad = zeros(1, rmax);

srad(1) = S(x0, y0);

for r = 2:rmax

[xc, yc] = halfcircle(r, x0, y0);

srad(r) = sum(S(sub2ind(size(S), xc, yc)));

end

% Calculo de sang.

[xc, yc] = halfcircle(rmax, x0, y0);



107

sang = zeros(1, length(xc));

for a = 1:length(xc)

[xr, yr] = radial(x0, y0, xc(a), yc(a));

sang(a) = sum(S(sub2ind(size(S), xr, yr)));end

% La salida es el logaritmo del espectro para ver mas detalles,

%normalizado en el rango [0, 1].

S = mat2gray(log(1 + S));

%-------------------------------------------------------------------%

function [xc, yc] = halfcircle(r, x0, y0)

% Calcula las coordenadas enteras de un semicirculo de radio r

% centrado en (x0,y0) usando un grado de incremento.

%Imagenes con estriado vertical

theta=1:180;

%Imagenes con estriado horizontal

% theta=91:270;

theta = theta*pi/180;

[xc, yc] = pol2cart(theta, r);

xc = round(xc)’ + x0;

yc = round(yc)’ + y0;

%-------------------------------------------------------------------%

function [xr, yr] = radial(x0, y0, x, y);

% Calcula las coordenadas de un segmento de lınea recta que va de

% (x0, y0) hasta (x, y).

[xr, yr] = intline(x0, x, y0, y);

function s=subimpar(f)

%SUBIMAGENES FILAS Y COLUMNAS PARES

%El espectro debe tener un numero par de filas y columnas para ser descompuesto

% en las funciones unidensionales s(r) y s(theta) (funcion specxture.m)

s= size(f);

tam_fil= s(1,1);

tam_col= s(1,2);

%numero par de filas

k= 95;

tam_subfil= k/100;





while mod(m,2)

tam_subfil= k/100;


k=k-1;end

%numero par de columnas

k= 95;

tam_subcol= k/100;


while mod(n,2)

tam_subcol= k/100;


k=k-1;

end

rx= ceil( tam_fil/2 ) - ceil(tam_fil*tam_subfil/2)+1;

cy= ceil( tam_col/2 ) - ceil(tam_col*tam_subcol/2)+1;

s=subim(f, m, n, rx, cy);

function [t]=statxture(f,scale)

%FUNCION MODIFICADA

%STATXTURE calcula medidas estadısticas de la textura de una imagen.

%T=STATXTURE(F,SCALE)Calcula seis medidas de la textura (region)

% de la imagen contenida en F. El parametro SCALE es un vector cuyos

% elementos multiplican los elementos de T para propositos de escalamiento.

% La escala por defecto es un vector de 1’s. La salida es una estructura

%que contiene los siguientes elementos:

(1) t.Average_Gray_Level

(2) t.Average_Contrast

(3) t.Smoothness

(4) t.ThirdMoment

(5) t.Uniformity

(6) t.Entropy

%FUNCION ORIGINAL:

% Copyright 2002-2004 R. C. Gonzalez, R. E. Woods, & S. L. Eddins

% Digital Image Processing Using MATLAB, Prentice-Hall, 2004

% $Revision: 1.5 $ $Date: 2004/11/04 22:33:43 $

if nargin==1;

scale(1:6)=1;

else .



109

scale=scale(:)’;

end

%Histograma normalizado.

p= imhist(f);p= p./numel(f);

L=length(p);

%Calculo de los 3 momento. Se necesitan los no normalizados de la funcion

% statmoments. Estos quedan contenidos en el vector mu.

[v, mu]= statmoments(p, 3);

%Calculo de las seis medidas de Textura:

%Media.

t.Average_Gray_Level = mu(1) * scale(1,1);

%Desviacion estandar.

t.Average_Contrast= (mu(2).ˆ0.5)*scale(1,2);

%Suavidad.

%La varianza es normalizada dividiendo por (L-1)ˆ2;

varn=mu(2)/(L-1)ˆ2;

t.Smoothness= (1 - 1/(1+varn))*scale(1,3);

%Skewness (normalizado por (L-1)ˆ2 tambien ).

t.ThirdMoment= (mu(3)/(L-1)ˆ2)*scale(1,4);

%Uniformidad.

t.Uniformity= (sum(p.ˆ2))*scale(1,5);

%Entropıa.

t.Entropy= (-sum(p.*(log2(p+eps))))*scale(1,6);

% RUTINA ELABORADA PARA OBTENER LAS MATRICES DE DATOS

%% LECTURA DE IMAGENES

a=imread(’MATLAB\ExPERIMENTO\py_BBP_4.jpg’);

% figure, imshow(a)

b=imread(’MATLAB\ExPERIMENTO\py_BBP_5.jpg’);

% figure, imshow(b)

c=imread(’MATLAB\ExPERIMENTO\py_BBP_8.jpg’);

% figure, imshow(c)

d=imread(’MATLAB\ExPERIMENTO\py_BBP_9.jpg’);

% figure, imshow(d)e=imread(’MATLAB\ExPERIMENTO\py_DDP_3.jpg’);

% figure, imshow(e)

f=imread(’MATLAB\ExPERIMENTO\py_DDP_8.jpg’);

% figure, imshow(f)

g=imread(’MATLAB\ExPERIMENTO\py_DDP_9.jpg’);

% figure, imshow(g)

h=imread(’MATLAB\ExPERIMENTO\py_DDP_10.jpg’);

% figure, imshow(h)

i=imread(’MATLAB\ExPERIMENTO\py_EEP_4.jpg’);




% figure, imshow(i)

j=imread(’MATLAB\ExPERIMENTO\py_EEP_6.jpg’);

% figure, imshow(j)

k=imread(’MATLAB\ExPERIMENTO\py_EEP_8.jpg’);% figure, imshow(k)

l=imread(’MATLAB\ExPERIMENTO\py_EEP_9.jpg’);

% figure, imshow(l)

m=imread(’MATLAB\ExPERIMENTO\py_glock_mod17_1.jpg’);

% figure, imshow(m)

n=imread(’MATLAB\ExPERIMENTO\py_glock_mod17_2.jpg’);

% figure, imshow(n)

o=imread(’MATLAB\ExPERIMENTO\py_glock_mod17_3.jpg’);

% figure, imshow(o)

p=imread(’MATLAB\ExPERIMENTO\py_glock_mod17_4.jpg’);

% figure, imshow(p)

%% MEJORA DE CONTRASTE (ECUALIZACION DEL HISTOGRAMA)

a=histeq(a);

% figure, imshow(a1)

b=histeq(b);

% figure, imshow(b1)

c=histeq(c);

% figure, imshow(c1)

d=histeq(d);

% figure, imshow(d1)

e=histeq(e);

% figure, imshow(e1)

f=histeq(f);

% figure, imshow(f1)

g=histeq(g);

% figure, imshow(g1)

h=histeq(h);

% figure, imshow(h1)

i=histeq(i);

% figure, imshow(i1)

j=histeq(j);

% figure, imshow(c1)

k=histeq(k);% figure, imshow(d1)

l=histeq(l);

% figure, imshow(e1)

m=histeq(m);

% figure, imshow(f1)

n=histeq(n);

% figure, imshow(g1)

o=histeq(o);

% figure, imshow(h1)



111

p=histeq(p);

% figure, imshow(i1)

%% SUBIMAGEN CON FILAS Y COLUMNAS PARa=subim_par(a);

b=subim_par(b);

c=subim_par(c);

d=subim_par(d);

e=subim_par(e);

f=subim_par(f);

g=subim_par(g);

h=subim_par(h);

i=subim_par(i);

j=subim_par(j);

k=subim_par(k);

l=subim_par(l);

m=subim_par(m);

n=subim_par(n);

o=subim_par(o);

p=subim_par(p);

%% CALCULO DE LOS ESPECTROS DE LAS IMAGENES

[srad, sang, S] = specxture(a);

[srad1, sang1, S1] = specxture(b);

[srad2, sang2, S2] = specxture(c);

[srad3, sang3, S3] = specxture(d);

[srad4, sang4, S4] = specxture(e);

[srad5, sang5, S5] = specxture(f);

c l e a r a b c d e f

[srad6, sang6, S6] = specxture(g);

[srad7, sang7, S7] = specxture(h);

[srad8, sang8, S8] = specxture(i);

[srad9, sang9, S9] = specxture(j);

[srad10, sang10, S10] = specxture(k);

c l e a r g h i j k

[srad11, sang11, S11] = specxture(l);

[srad12, sang12, S12] = specxture(m);

[srad13, sang13, S13] = specxture(n);[srad14, sang14, S14] = specxture(o);

[srad15, sang15, S15] = specxture(p);

c l e a r g h i j k

% CALCULO DE DESCRIPTORES ESPECTRALES

desc_esp_a= descriptores(srad,sang);

desc_esp_b= descriptores(srad1,sang1);

desc_esp_c= descriptores(srad2,sang2);

desc_esp_d= descriptores(srad3,sang3);




desc_esp_e= descriptores(srad4,sang4);

desc_esp_f= descriptores(srad5,sang5);

desc_esp_g= descriptores(srad6,sang6);

desc_esp_h= descriptores(srad7,sang7);desc_esp_i= descriptores(srad8,sang8);

desc_esp_j= descriptores(srad9,sang9);

desc_esp_k= descriptores(srad10,sang10);

desc_esp_l= descriptores(srad11,sang11);

desc_esp_m= descriptores(srad12,sang12);

desc_esp_n= descriptores(srad13,sang13);

desc_esp_o= descriptores(srad14,sang14);

desc_esp_p= descriptores(srad15,sang15);

%% CALCULO DE DESCRIPTORES ESTADISTICOS (STATXTURE)

stats_a= statxture(a);

stats_b= statxture(b);

stats_c= statxture(c);

stats_d= statxture(d);

stats_e= statxture(e);

stats_f= statxture(f);

stats_g= statxture(g);

stats_h= statxture(h);

stats_i= statxture(i);

stats_j= statxture(j);

stats_k= statxture(k);

stats_l= statxture(l);

stats_m= statxture(m);

stats_n= statxture(n);

stats_o= statxture(o);

stats_p= statxture(p);

%% CALCULO DE DESCRIPTORES ESTADISTICOS (MCNG)

mcng_a= graycomatrix(a );

prop_mcng_a = graycoprops(mcng_a);

mcng_b= graycomatrix(b );

prop_mcng_b = graycoprops(mcng_b);

mcng_c= graycomatrix(c );

prop_mcng_c = graycoprops(mcng_c); mcng_d= graycomatrix(d );

prop_mcng_d = graycoprops(mcng_d);

mcng_e= graycomatrix(e );

prop_mcng_e = graycoprops(mcng_e);

mcng_f= graycomatrix(f );

prop_mcng_f = graycoprops(mcng_f);

mcng_g= graycomatrix(g );

prop_mcng_g = graycoprops(mcng_g);

mcng_h= graycomatrix(h );



113

prop_mcng_h = graycoprops(mcng_h);

mcng_i= graycomatrix(i );

prop_mcng_i = graycoprops(mcng_i);

mcng_j= graycomatrix(j );prop_mcng_j = graycoprops(mcng_j);

mcng_k= graycomatrix(k );

prop_mcng_k = graycoprops(mcng_k);

mcng_l= graycomatrix(l );

prop_mcng_l = graycoprops(mcng_l);

mcng_m= graycomatrix(m );

prop_mcng_m = graycoprops(mcng_m);

mcng_n= graycomatrix(n );

prop_mcng_n = graycoprops(mcng_n);

mcng_o= graycomatrix(o );

prop_mcng_o = graycoprops(mcng_o);

mcng_p= graycomatrix(p );

prop_mcng_p = graycoprops(mcng_p);

%% MATRIZ DE CARACTERISTICAS ESPECTRALES

data(1,1)= desc_esp_a.maximo_rad;

data(2,1)= desc_esp_b.maximo_rad;

data(3,1)= desc_esp_c.maximo_rad;

data(4,1)= desc_esp_d.maximo_rad;

data(5,1)= desc_esp_e.maximo_rad;

data(6,1)= desc_esp_f.maximo_rad;

data(7,1)= desc_esp_g.maximo_rad;

data(8,1)= desc_esp_h.maximo_rad;

data(9,1)= desc_esp_i.maximo_rad;

data(10,1)= desc_esp_j.maximo_rad;

data(11,1)= desc_esp_k.maximo_rad;

data(12,1)= desc_esp_l.maximo_rad;

data(13,1)= desc_esp_m.maximo_rad;

data(14,1)= desc_esp_n.maximo_rad;

data(15,1)= desc_esp_o.maximo_rad;

data(16,1)= desc_esp_p.maximo_rad;

data(1,2)= desc_esp_a.maximo_ang;data(2,2)= desc_esp_b.maximo_ang;

data(3,2)= desc_esp_c.maximo_ang;

data(4,2)= desc_esp_d.maximo_ang;

data(5,2)= desc_esp_e.maximo_ang;

data(6,2)= desc_esp_f.maximo_ang;

data(7,2)= desc_esp_g.maximo_ang;

data(8,2)= desc_esp_h.maximo_ang;

data(9,2)= desc_esp_i.maximo_ang;

data(10,2)= desc_esp_j.maximo_ang;




data(11,2)= desc_esp_k.maximo_ang;

data(12,2)= desc_esp_l.maximo_ang;

data(13,2)= desc_esp_m.maximo_ang;

data(14,2)= desc_esp_n.maximo_ang;data(15,2)= desc_esp_o.maximo_ang;

data(16,2)= desc_esp_p.maximo_ang;

data(1,3)= desc_esp_a.media_rad;

data(2,3)= desc_esp_b.media_rad;

data(3,3)= desc_esp_c.media_rad;

data(4,3)= desc_esp_d.media_rad;

data(5,3)= desc_esp_e.media_rad;

data(6,3)= desc_esp_f.media_rad;

data(7,3)= desc_esp_g.media_rad;

data(8,3)= desc_esp_h.media_rad;

data(9,3)= desc_esp_i.media_rad;

data(10,3)= desc_esp_j.media_rad;

data(11,3)= desc_esp_k.media_rad;

data(12,3)= desc_esp_l.media_rad;

data(13,3)= desc_esp_m.media_rad;

data(14,3)= desc_esp_n.media_rad;

data(15,3)= desc_esp_o.media_rad;

data(16,3)= desc_esp_p.media_rad;

data(1,4)= desc_esp_a.media_ang;

data(2,4)= desc_esp_b.media_ang;

data(3,4)= desc_esp_c.media_ang;

data(4,4)= desc_esp_d.media_ang;

data(5,4)= desc_esp_e.media_ang;

data(6,4)= desc_esp_f.media_ang;

data(7,4)= desc_esp_g.media_ang;

data(8,4)= desc_esp_h.media_ang;

data(9,4)= desc_esp_i.media_ang;

data(10,4)= desc_esp_j.media_ang;

data(11,4)= desc_esp_k.media_ang;

data(12,4)= desc_esp_l.media_ang;

data(13,4)= desc_esp_m.media_ang;

data(14,4)= desc_esp_n.media_ang;data(15,4)= desc_esp_o.media_ang;

data(16,4)= desc_esp_p.media_ang;

data(1,5)= desc_esp_a.desvest_rad;

data(2,5)= desc_esp_b.desvest_rad;

data(3,5)= desc_esp_c.desvest_rad;

data(4,5)= desc_esp_d.desvest_rad;

data(5,5)= desc_esp_e.desvest_rad;

data(6,5)= desc_esp_f.desvest_rad;



115

data(7,5)= desc_esp_g.desvest_rad;

data(8,5)= desc_esp_h.desvest_rad;

data(9,5)= desc_esp_i.desvest_rad;

data(10,5)= desc_esp_j.desvest_rad;data(11,5)= desc_esp_k.desvest_rad;

data(12,5)= desc_esp_l.desvest_rad;

data(13,5)= desc_esp_m.desvest_rad;

data(14,5)= desc_esp_n.desvest_rad;

data(15,5)= desc_esp_o.desvest_rad;

data(16,5)= desc_esp_p.desvest_rad;

data(1,6)= desc_esp_a.desvest_ang;

data(2,6)= desc_esp_b.desvest_ang;

data(3,6)= desc_esp_c.desvest_ang;

data(4,6)= desc_esp_d.desvest_ang;

data(5,6)= desc_esp_e.desvest_ang;

data(6,6)= desc_esp_f.desvest_ang;

data(7,6)= desc_esp_g.desvest_ang;

data(8,6)= desc_esp_h.desvest_ang;

data(9,6)= desc_esp_i.desvest_ang;

data(10,6)= desc_esp_j.desvest_ang;

data(11,6)= desc_esp_k.desvest_ang;

data(12,6)= desc_esp_l.desvest_ang;

data(13,6)= desc_esp_m.desvest_ang;

data(14,6)= desc_esp_n.desvest_ang;

data(15,6)= desc_esp_o.desvest_ang;

data(16,6)= desc_esp_p.desvest_ang;

data(1,7)= desc_esp_a.RelMaxMed_rad;

data(2,7)= desc_esp_b.RelMaxMed_rad;

data(3,7)= desc_esp_c.RelMaxMed_rad;

data(4,7)= desc_esp_d.RelMaxMed_rad;

data(5,7)= desc_esp_e.RelMaxMed_rad;

data(6,7)= desc_esp_f.RelMaxMed_rad;

data(7,7)= desc_esp_g.RelMaxMed_rad;

data(8,7)= desc_esp_h.RelMaxMed_rad;

data(9,7)= desc_esp_i.RelMaxMed_rad;

data(10,7)= desc_esp_j.RelMaxMed_rad;data(11,7)= desc_esp_k.RelMaxMed_rad;

data(12,7)= desc_esp_l.RelMaxMed_rad;

data(13,7)= desc_esp_m.RelMaxMed_rad;

data(14,7)= desc_esp_n.RelMaxMed_rad;

data(15,7)= desc_esp_o.RelMaxMed_rad;

data(16,7)= desc_esp_p.RelMaxMed_rad;

data(1,8)= desc_esp_a.RelMaxMed_ang;

data(2,8)= desc_esp_b.RelMaxMed_ang;




data(3,8)= desc_esp_c.RelMaxMed_ang;

data(4,8)= desc_esp_d.RelMaxMed_ang;

data(5,8)= desc_esp_e.RelMaxMed_ang;

data(6,8)= desc_esp_f.RelMaxMed_ang;data(7,8)= desc_esp_g.RelMaxMed_ang;

data(8,8)= desc_esp_h.RelMaxMed_ang;

data(9,8)= desc_esp_i.RelMaxMed_ang;

data(10,8)= desc_esp_j.RelMaxMed_ang;

data(11,8)= desc_esp_k.RelMaxMed_ang;

data(12,8)= desc_esp_l.RelMaxMed_ang;

data(13,8)= desc_esp_m.RelMaxMed_ang;

data(14,8)= desc_esp_n.RelMaxMed_ang;

data(15,8)= desc_esp_o.RelMaxMed_ang;

data(16,8)= desc_esp_p.RelMaxMed_ang;

data(1,9)= desc_esp_a.PosicionAng_max;

data(2,9)= desc_esp_b.PosicionAng_max;

data(3,9)= desc_esp_c.PosicionAng_max;

data(4,9)= desc_esp_d.PosicionAng_max;

data(5,9)= desc_esp_e.PosicionAng_max;

data(6,9)= desc_esp_f.PosicionAng_max;

data(7,9)= desc_esp_g.PosicionAng_max;

data(8,9)= desc_esp_h.PosicionAng_max;

data(9,9)= desc_esp_i.PosicionAng_max;

data(10,9)= desc_esp_j.PosicionAng_max;

data(11,9)= desc_esp_k.PosicionAng_max;

data(12,9)= desc_esp_l.PosicionAng_max;

data(13,9)= desc_esp_m.PosicionAng_max;

data(14,9)= desc_esp_n.PosicionAng_max;

data(15,9)= desc_esp_o.PosicionAng_max;

data(16,9)= desc_esp_p.PosicionAng_max;

%% MATRIZ DE CARACTERISTICAS ESTADISTICAS (STATXTURE)

data(1,1)= stats_a.Average_Gray_Level;

data(2,1)= stats_b.Average_Gray_Level;

data(3,1)= stats_c.Average_Gray_Level;

data(4,1)= stats_d.Average_Gray_Level;data(5,1)= stats_e.Average_Gray_Level;

data(6,1)= stats_f.Average_Gray_Level;

data(7,1)= stats_g.Average_Gray_Level;

data(8,1)= stats_h.Average_Gray_Level;

data(9,1)= stats_i.Average_Gray_Level;

data(10,1)= stats_j.Average_Gray_Level;

data(11,1)= stats_k.Average_Gray_Level;

data(12,1)= stats_l.Average_Gray_Level;

data(13,1)= stats_m.Average_Gray_Level;



117

data(14,1)= stats_n.Average_Gray_Level;

data(15,1)= stats_o.Average_Gray_Level;

data(16,1)= stats_p.Average_Gray_Level;

data(1,2)= stats_a.Average_Contrast;

data(2,2)= stats_b.Average_Contrast;

data(3,2)= stats_c.Average_Contrast;

data(4,2)= stats_d.Average_Contrast;

data(5,2)= stats_e.Average_Contrast;

data(6,2)= stats_f.Average_Contrast;

data(7,2)= stats_g.Average_Contrast;

data(8,2)= stats_h.Average_Contrast;

data(9,2)= stats_i.Average_Contrast;

data(10,2)= stats_j.Average_Contrast;

data(11,2)= stats_k.Average_Contrast;

data(12,2)= stats_l.Average_Contrast;

data(13,2)= stats_m.Average_Contrast;

data(14,2)= stats_n.Average_Contrast;

data(15,2)= stats_o.Average_Contrast;

data(16,2)= stats_p.Average_Contrast;

data(1,3)= stats_a.Smoothness;

data(2,3)= stats_b.Smoothness;

data(3,3)= stats_c.Smoothness;

data(4,3)= stats_d.Smoothness;

data(5,3)= stats_e.Smoothness;

data(6,3)= stats_f.Smoothness;

data(7,3)= stats_g.Smoothness;

data(8,3)= stats_h.Smoothness;

data(9,3)= stats_i.Smoothness;

data(10,3)= stats_j.Smoothness;

data(11,3)= stats_k.Smoothness;

data(12,3)= stats_l.Smoothness;

data(13,3)= stats_m.Smoothness;

data(14,3)= stats_n.Smoothness;

data(15,3)= stats_o.Smoothness;

data(16,3)= stats_p.Smoothness;

data(1,4)= stats_a.ThirdMoment;

data(2,4)= stats_b.ThirdMoment;

data(3,4)= stats_c.ThirdMoment;

data(4,4)= stats_d.ThirdMoment;

data(5,4)= stats_e.ThirdMoment;

data(6,4)= stats_f.ThirdMoment;

data(7,4)= stats_g.ThirdMoment;

data(8,4)= stats_h.ThirdMoment;

data(9,4)= stats_i.ThirdMoment;




data(10,4)= stats_j.ThirdMoment;

data(11,4)= stats_k.ThirdMoment;

data(12,4)= stats_l.ThirdMoment;

data(13,4)= stats_m.ThirdMoment;data(14,4)= stats_n.ThirdMoment;

data(15,4)= stats_o.ThirdMoment;

data(16,4)= stats_p.ThirdMoment;

data(1,5)= stats_a.Uniformity;

data(2,5)= stats_b.Uniformity;

data(3,5)= stats_c.Uniformity;

data(4,5)= stats_d.Uniformity;

data(5,5)= stats_e.Uniformity;

data(6,5)= stats_f.Uniformity;

data(7,5)= stats_g.Uniformity;

data(8,5)= stats_h.Uniformity;

data(9,5)= stats_i.Uniformity;

data(10,5)= stats_j.Uniformity;

data(11,5)= stats_k.Uniformity;

data(12,5)= stats_l.Uniformity;

data(13,5)= stats_m.Uniformity;

data(14,5)= stats_n.Uniformity;

data(15,5)= stats_o.Uniformity;

data(16,5)= stats_p.Uniformity;

data(1,6)= stats_a.Entropy;

data(2,6)= stats_b.Entropy;

data(3,6)= stats_c.Entropy;

data(4,6)= stats_d.Entropy;

data(5,6)= stats_e.Entropy;

data(6,6)= stats_f.Entropy;

data(7,6)= stats_g.Entropy;

data(8,6)= stats_h.Entropy;

data(9,6)= stats_i.Entropy;

data(10,6)= stats_j.Entropy;

data(11,6)= stats_k.Entropy;

data(12,6)= stats_l.Entropy;

data(13,6)= stats_m.Entropy;data(14,6)= stats_n.Entropy;

data(15,6)= stats_o.Entropy;

data(16,6)= stats_p.Entropy;

%% MATRIZ DE CARACTERISTICAS ESTADISTICAS (GRAYCOPROPS)

data(1,1)= prop_mcng_a.Contrast;

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119

data(5,1)= prop_mcng_e.Contrast;

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data(10,2)= prop_mcng_j.Correlation;

data(11,2)= prop_mcng_k.Correlation;

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data(1,3)= prop_mcng_a.Energy;

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data(7,3)= prop_mcng_g.Energy;

data(8,3)= prop_mcng_h.Energy;data(9,3)= prop_mcng_i.Energy;

data(10,3)= prop_mcng_j.Energy;

data(11,3)= prop_mcng_k.Energy;

data(12,3)= prop_mcng_l.Energy;

data(13,3)= prop_mcng_m.Energy;

data(14,3)= prop_mcng_n.Energy;

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data(1,4)= prop_mcng_a.Homogeneity;

data(2,4)= prop_mcng_b.Homogeneity;

data(3,4)= prop_mcng_c.Homogeneity;

data(4,4)= prop_mcng_d.Homogeneity;data(5,4)= prop_mcng_e.Homogeneity;

data(6,4)= prop_mcng_f.Homogeneity;

data(7,4)= prop_mcng_g.Homogeneity;

data(8,4)= prop_mcng_h.Homogeneity;

data(9,4)= prop_mcng_i.Homogeneity;

data(10,4)= prop_mcng_j.Homogeneity;

data(11,4)= prop_mcng_k.Homogeneity;

data(12,4)= prop_mcng_l.Homogeneity;

data(13,4)= prop_mcng_m.Homogeneity;

data(14,4)= prop_mcng_n.Homogeneity;

data(15,4)= prop_mcng_o.Homogeneity;

data(16,4)= prop_mcng_p.Homogeneity;

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Marco Teorico