Marco Teorico

5/16/2018 Marco Teorico - slidepdf.com

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INTRODUCCIÓN

MARCO TEORICO PROGRAMA DERIVE 5.

El siguiente trabajo es una recopilación de distintas fuentes de información en

las que se incluyen manuales y libros dedicados al estudio de el programa

DERIVE, a continuación presentamos el correspondiente Marco Teórico

dividido en dos apartados:

MARCO REFERENCIAL: En el que describiremos las versiones de este

programa de cálculo y otras cualidades de este.

TEMATICA DE DESARROLLO: En esta estudiamos y ejemplificamos

algunos de los cálculos que se pueden realizar con el programa así

como mostramos la forma en que se debe de ingresar los datos en el

programa a fin de poder demostrar la importancia de este programa

como herramienta en la que se podrán apoyar los estudiantes de

ingeniería.

MARCO REFERENCIAL.

Derive es uno de los llamados "Programas de Cálculo Simbólico", que

podemos definir como programas para ordenadores personales (PC) que

sirven para trabajar con matemáticas usando las notaciones propias

(simbólicas) de esta ciencia. Así, en un programa de cálculo simbólico el

número „pi' se trata como tal, a diferencia de muchas calculadoras que

consideran sólo una aproximación (3'1415...).

Los programas de cálculo simbólico son capaces de hacer derivadas,

integrales, límites, y muchas otras operaciones matemáticas. Suelen tener

capacidades gráficas (representación de curvas y funciones) y, por supuesto,



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capacidades numéricas que suplen sobradamente a la mejor de las

calculadoras.

Naturalmente, los segundos miembros de las igualdades del gráfico anterior,

tomado de una pantalla de Derive, han sido calculados directamente por el

programa y, además, en unas décimas de segundo.

Derive es uno de esos programas de cálculo simbólico, quizá el más difundido

y popular porque en su modalidad más sencilla (Derive para DOS) funcionaba

en cualquier PC, sin necesidad de que tuviera disco duro y ocupaba sólo un

diskette. Hoy, Derive sigue siendo un "pequeño" programa, que ocupa poco

más de 3 Mb., y que sigue siendo muy accesible e intuitivo.

Siempre ha sorprendido que siendo tan sencillo tenga una gran potencia y

versatilidad, por lo que es idóneo para iniciarse con este tipo de

programas. Derive es el asistente matemático preferido en el ámbito docente,

en la enseñanza secundaria y en los primeros años de Universidad, porque es

muy fácil de utilizar, de modo que la „informática' se supera muy pronto y, por

tanto, es casi inmediato empezar a trabajar con „matemáticas'.

Capacidades



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¿Qué se puede hacer con Derive?. Aquí sólo señalaremos algunas de esas

posibilidades: Operaciones con vectores, matrices y determinantes. Resolución

de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones.



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Derivadas, integrales (definidas e indefinidas), series, límites, polinomios de

Taylor.

Representación gráfica de funciones en forma explícita, implícita, paramétrica y

en coordenadas polares.



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Representación gráfica de funciones de dos variables.

Operaciones con polinomios y fracciones algebraicas

Pero, además es posible programar funciones que usen las distintas

capacidades del programa, de modo que aumenta así sensiblemente el



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espectro de sus aplicaciones. Derive se suministra con varios ficheros de

funciones para propósitos diversos como resolver ecuaciones diferenciales,

trabajar en Álgebra Lineal, etc.

Versiones de Derive

Derive ha tenido varias versiones desde que empezó hasta ahora, como todos

los programas.

Hacia 1990 empezó a distribuirse la versión 1, en inglés, naturalmente. Las

pequeñas mejoras se distinguían por los "decimales" de la versión. Por

ejemplo, la v. 1.61 representaba alguna mejora respecto de la 1.60.

Con manual diferente, siguieron la versión 2., la 2.5x y la versión 3 (a la que

corresponde el último manual publicado de esta modalidad para MS-DOS). A

partir de la versión 3 ya fue posible personalizar el menú de órdenes. Con la

versión 3.14 se distribuyó comercialmente la primera versión en español:

Las versiones 4.xx para MS-DOS fueron coexistentes con las correspondientes

para Windows. El primer Derive para Windows se correspondía con la versión 4

del programa.

Por ejemplo, la versión 4.04 unificó los anteriores Derive "Classic" y DERIVE-

XM. Éste último fue la primera modalidad del programa que era capaz de usar

la memoria extendida del ordenador (más allá de las primeras 640 kb. de

RAM). A partir de esa versión, al ejecutar DERIVE.EXE se examina el tipo de

ordenador y, en función de su capacidad de procesador, ejecuta DERIVE 16-

bits ("Clásica") o DERIVE 32-bits ("XM" o profesional).



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Las últimas versiones de Derive 4 que se distribuyeron fueron las 4.11, tanto

para MS-DOS como para Windows.

Derive 4 para MS-DOS no era más que la anterior versión 3 con algunas

pequeñas mejoras. Conservaba la posibilidad de correr en cualquier ordenador

compatible con no menos de 512 Kb. de RAM y sin necesidad de disponer de

disco duro.

Derive 4 para Windows se tradujo al español de una forma muy completa y

oficial: El "manual", el programa, etc. Era capaz de correr bajo Windows 3.x,

aunque era un programa de 32 bits. Es el precedente inmediato del programa

que investigaremos.

TEMATICA DE DESARROLLO

La versión del programa que estudiaremos ha sido Derive 5.

Este representa la consolidación de la modalidad de Windows. Las ventajas

más sobresalientes respecto de su predecesor Derive para Windows son, en

resumen, las siguientes:



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Hoja de trabajo

Comparado a versiones anteriores a la versión 5 la ventana de Álgebra lleva

incorporado una especie de procesador de texto, de modo que se pueden

insertar "objetos de texto" con el formato que se desee. Además, se pueden

insertar objetos OLE (procedentes de otras aplicaciones de Windows) o,

incluso, gráficas hechas por el propio Derive. En ese caso, quedan como

congeladas de manera que haciendo doble clic se abre la ventana gráfica

correspondiente tal como se generó la gráfica. Para mayor calidad, se

puede pegar la gráfica. Ej:



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Gráficas 3d

Las gráficas 3d han mejorado. Ahora se pueden representar varias

superpuestas; se giran en tiempo real; es posible "trazarlas", es decir, ir

obteniendo puntos; es posible representar puntos y poligonales, además de

que se pueden representar curvas y superficies en forma paramétrica y en

coordenadas polares y en cilíndricas...



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Varios

La mejora en las funciones de programación es tan notable... que sólo aparece

documentada en la ayuda. Se ha añadido la capacidad para sombrear

desigualdades en 2D (por ejemplo, si se representa la expresión x^2+y^2<=4

se obtiene un círculo sombreado). Se ha mejorado la capacidad de resolución



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de ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ambos. En particular, Derive. es

capaz de resolver sistemas de ecuaciones polinómicas (no sólo lineales).

Derive 6

Desde Enero de 2004 está disponible la versión en español de Derive 6,

siendo esta de pago (POR LO QUE NO SERÁ NUESTRO OBJETO DE

ESTUDIO) pero que describiremos brevemente para hacer mención de ella

y al mismo tiempo poder compararla con la versión 5 que es nuestro

objeto de estudio.

La versión 6.1 funciona también bajo Windows 98 (pues inicialmente esta

versión sólo corría con Windows XP o Windows 2000). Esta versión tiene

varias novedades notables:



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1. Puede mostrar las simplificaciones paso a paso

2. Puede mostrar las reglas en las que se basan las simplificaciones

Estas dos características tienen muchas implicaciones didácticas, pero aún no

aparecen en todos los puntos del programa. Sin embargo, el compromiso es

que se vayan extendiendo cada vez más. Es curioso ver, por ejemplo, las

"fórmulas" que maneja el programa para realizar determinados cálculos.

Incorpora una nueva fuente UNICODE totalmente escalable en todos los

puntos, también en línea de edición.

Unificación de las posibilidades de la ventana 2D y 3D, es decir, se ha

mejorado notablemente la ventana 3D.

Identificación de las funciones cuyas gráficas se representan

Barras de animación para las gráficas

Menús, órdenes, botones, etc., totalmente personalizables, de modo que

se pueden "ocultar" determinadas órdenes o atajos, etc.

Conectividad total con las calculadoras TI-92+ y Voyager 200

Y más ventajas, el aspecto externo no difiere mucho de su predecesor, de

modo que los usuarios de Derive 5 no tienen ningún problema de adaptación.

DERIVE EN ESPAÑOL

Desde hace tiempo, Derive se distribuye en Español. La traducción del

programa incluye la ayuda, las órdenes y los mensajes, así como el "manual"

(que en realidad es un libro de ejercicios, que va recorriendo las distintas

posibilidades del programa). Algunas cosas son intraducibles, como, por



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ejemplo, los nombres de las funciones (seno sigue siendo SIN) y las "variables

del sistema" (que controlan el funcionamiento del programa).

Diferencias entre versiones

Derive está en constante evolución. Además de los "grandes cambios" que

indicábamos antes, frecuentemente van saliendo pequeñas actualizaciones, de

modo que ahora hablamos de la versión 6.10, a la que precedieron la 6.01,

6.00, 5.06, etc.

La mayoría de las veces, los cambios entre unas y otras son insignificantes. En

todo caso:

Están documentados (en la ayuda del programa).

Es posible "bajarse" por Internet las mejoras (si se es usuario

autorizado.

PLANTEAMIENTO DEL TEMA DE ESTUDIO

• ¿Qué es DERIVE?

DERIVE es un programa de computación matemática, el cual permite el

procesamiento de variables Algebraicas, expresiones, ecuaciones, funciones,

vectores y matrices. DERIVE puede trabajar en forma numérica y en forma

simbólica. Puede realizar factorizaciones, límites, derivadas, sumatorias,



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integrales, etc. DERIVE cuenta con la posibilidad de efectuar infinidad de

gráficos en 2 y 3 dimensiones.

DERIVE es el software asistente de matemáticas en el cual se apoyan

estudiantes, educadores, ingenieros y científicos alrededor del mundo. Los

usuarios y evaluadores lo califican como el sistema simbólico de matemáticas

mas fácil de usar.

¿Existen otros programas como DERIVE?

Sí, es muy común encontrar Software como DERIVE que realice funciones

similares (y hasta más), algunos de estos son:

MATLAB, MATHEMATICA, MAPLE, SCILAB.

¿Por qué DERIVE en el curso de Matemática I?

En problemas de Ingeniería, de Física, y en muchas otras ramas de la ciencia

surgen gran cantidad de problemas matemáticos muy difíciles, prácticamente

imposibles de realizar sino se cuenta con una herramienta computacional o

tecnológica, como muchos suelen llamarla.

¿Para qué un curso de Matemáticas si tenemos programas como

DERIVE?

Es prácticamente imposible hacer que un computador piense y razone como lo

hace el ser humano, existen muchos errores que cometen los programas que a

simple vista no es posible observar, errores que aparentemente no existen y



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que una persona con escaso conocimiento de las matemáticas no podría

detectar. Son estos casos en los cuales debemos tener más cuidado y

"Siempre desconfiar" de los resultados que arrojan programas como estos.

¿Por qué DERIVE y no uno de los otros programas?

Primordialmente se ha elegido trabajar con DERIVE por la sencillez de este

programa, pues aunque no es el más "Poderoso" de los programas para el

trabajo con matemáticas, es uno de los más "amigables" para estudiantes de

primeros niveles de universidad y para estudiantes de últimos niveles de

bachillerato. También se ha elegido esta versión por ser una versión freeware

(de no pago).

ENTORNO DE TRABAJO DE DERIVE



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Figura 1: Ventana de inicio de Derive 5.

¿Cómo ingresar una expresión en Derive?

Las expresiones se ingresan, haciendo “click” con el mouse en la LÍNEA DE

ENTRADA DE EXPRESIONES y escribiendo allí la expresión deseada. Luego

se puede hacer algunas de las combinaciones siguientes, según lo que desee:

1. ó ENTER: Introduce la expresión escrita.

2. ó Ctrl + ENTER: Introduce y simplifica la expresión escrita.

3. ó Shift + ENTER: Introduce y aproxima la expresión escrita.

Ejercicios:

A continuación les mostraremos algunos ejemlos:



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1. Introduzca 3/7 en la línea de entrada de expresiones, a continuación

utilice las tres combinaciones. Observe la diferencia en los resultados.

Haga lo mismo con las expresiones:

a). Ln(2/3)

b). 2^3

c). sin(1.5)

d). x^2 - 9

¿Cómo seleccionar, editar, eliminar una expresión?

1. Se seleccionar una expresión o parte de ésta haciendo “click” sobre la

expresión.

2. Para editar una expresión, seleccione la expresión a editar y haga “click”

derecho sobre la misma, luego elija la opción editar y cuando termine

presione ENTER. Otra forma de entrar a editar la expresión es haciendo

doble “click” en frente de la expresión.[1]

3. Para eliminar una expresión, selecciónela y luego presiones el botón

de la barra de herramientas o la tecla Delete (o Suprimir) del teclado.

4. Si desea bajar una expresión de la ventana de Álgebra a la línea de

entrada de expresiones, seleccione la expresión deseada y presione F3.

Ejemplos de cómo ingresar algunas expresiones en Derive:



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Expresión a ingresar Forma de ingresarlo a Derive

(x^2+3*y)/5

(10*x*(x-1)^4)/((x-2)^(3*x^2)*(x+1)^2)

sin(x)+cos(x)-tan(x)+3

asin(x)

acos(x)

abs(x+1)+ln(x)+500

( (2/5*x+3)+exp(2*x))/(exp(-2*a+b))

log(x+1,2)+sin(100*pi*x)

((1+x)^(1/7))^(-inf)

¿Qué hacer si se olvida cómo introducir alguna expresión?

En el menú de opciones aparece el botón “Ayuda” o “Help”. Con éste, en

Contenido o en Índice es posible encontrar cómo se escribe la expresión

olvidada. Allí también se encuentran respuestas a las preguntas más

frecuentes

¿Qué diferencia hay entre = y entre := ?

x = k significa : x es una constante de valor k.

Ejemplo:



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#1: x = 36

#2: x+1

#3: x+1

x := k define x como una variable y le asigna el valor k, desde ese momento en

adelante, el computador piensa que x es siempre k

Ejemplo:

#1: x := 36

#2: x+1

F(x, y,...):= u define a F como una función de x, y,... como u(x, y,...). Permite

evaluar la función F para cualquier valor que se les a x, y,...

El estudiante suele dar doble “click” sin darse cuenta, deshabilitando con esto

los botones de la barra de tareas. Lo anterior se soluciona haciendo “click”

sobre la línea de entrada de expresiones y presionando la tecla Esc.

¿Cómo ingresar vectores en Derive?

Un vector es un arreglo de la forma [a1, a2, a3, ..., an].

Ejemplo 1: Ingresar en Derive el vector [1, 5, 25, 12]

Solución: ingresamos [1, 5, 25,12] y presionamos ENTER

Ejemplo 2: Construir la familia de curvas de la forma y = a*x3+1, para los

valores de a: -5, -4, -3,...,100.



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Solución: Dada la magnitud del vector, sería demasiado largo emplear el

método anterior para los diferentes valores de a. Para esto emplearemos el

comando vector.

Ingresamos en la línea de entrada de expresiones: vector(y=a*x3+1,a,-5,100,1)

Luego presionamos Ctrl + ENTER. Con lo cual resulta la familia, que

estábamos buscando, en forma de vector así:

[y = -5*x3+1,y = -4*x3+1,y = -3*x3+1, y=-2*x3+1, y=-x3+1, y=1, y=x3+1, ..., y

=100*x3+1]

Hemos empleado el comando vector en la forma:

Ejemplo 3: Construya la familia de curvas de la forma y = a*x3+1, para los

valores de a: -10, -4, -3, 2, 7, 25,100.

Solución: Observamos que los números no siguen ninguna secuencia. Para

resolver este ejercicio utilizamos una variación del comando vector.

Vector (y =a*x3+1, a, [-10,-4,-3, 2, 7, 25,100])

Tendremos entonces el resultado deseado presionando Ctrl + Enter.

Hemos utilizado la forma:

El comando vector que hemos empleado nos permite, también crear tablas:



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Por ejemplo deseamos tener en una tabla dos columnas: una con los números

4, 6, 8,...,20 y una segunda columna que al frente de cada uno de los números

anteriores se tenga su cuadrado.

En este caso utilizamos la siguiente forma:

De la manera siguiente: vector ([n, n2], n, 4, 20,2)

Ejercicio: Haga una tabla con dos columnas: una con los números -10, -4, -3,

2, 7, 25, 100 y una segunda columna que al frente de cada uno de los números

anteriores se tenga su cuadrado.

Ejercicios: Construya el vector según la función y los valores de la variable y

construya tablas con dos columnas, de tal manera que en la primera columna

aparezcan los distintos valores de la variable y en la segunda columna

aparezcan las distintas funciones evaluadas en los distintos valores de la

variable.

a. f(x) = a*x2-x, a = -1,0,1,…10.

b. f(x) =logc (2+x) c = -7, 15, 51, 52.2, 52. 5, 61

c. (1+1/n)n n =3, 6,9,…100

¿Cómo hacer gráficas de dos dimensiones (2D) utilizando Derive?



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Para esto, utilizamos el botón de la barra de herramientas. Lo que debemos

hacer es ingresar la expresión a graficar, seleccionarla y luego presionar con

lo cual se abre una nueva ventana (ventana para ver las graficas en 2D), para

graficar en definitiva la expresión que queremos graficar presionamos

nuevamente.

Ejemplos:

1. Graficar x2.

Solución:

Ingrese en Derive x2.

Haga “click” sobre .

Nuevamente hacemos “click” sobre .

La gráfica deseada aparecerá.

2. Hacer la grafica de 3x

4

-3x

3

+3x2

-3x+2

Solución:

Haga el procedimiento anterior y obtendrá:

Figura 2: Gráfica de ejemplo 1.

3. Hacer la grafica de la familia de curvas f(x) = a*x2-x, a = -1, 0,1,…10.



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Solución:

Ingrese en Derive: vector(a*x2-x, a,-1, 1,0,1)

Repitiendo el procedimiento del Ejemplo 1 obtendrá:

Figura 3: Gráfica de ejemplo 2.

Si se selecciona una parte de la expresión, solo se graficará la parte

seleccionada.

En esta ocasión este botón se encuentra en esta misma ventana.

¿Para qué sirven cada uno de los botones de la ventana de gráfica 2D?

Figura 4: Botones para graficas en 2D

¿Cómo encontrar gráficamente la solución a f(x)=0 en los reales?



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Para resolver x2 –5 = 0, graficamos primero la curva, como hemos

explicado anteriormente, y usando el botón que sirve para seleccionar el rango,

nos vamos acercando a la parte de la curva que corta el eje x.

1. Se hace click sobre el botón

2. Luego se hace click sostenido en un punto cerca de la región a la que

desea acercarse.

3. Arrastre el “mouse” (con click sostenido) hasta una esquina opuesta alpunto en el numeral anterior y suelte el botón del “mouse”.

4. De OK como respuesta a la ventana que le sale.

5. Repita este procedimiento, tantas veces quiera con el fin de garantizar

precisión en algunas cifras decimales. Esto se obtiene cuando las cifras

decimales son las mismas en los números que aparecen en el eje x antes y

después del punto al cual nos estamos acercando.

Si en algún momento desea regresar a la ventana original (antes de realizar los

ZOOM‟S) debe elegir RESET en lugar de OK.

¿Cómo definir una función por tramos?

Un ejemplo de una función definida por tramos se muestra a

continuación:



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Para ingresar en Derive expresiones de este estilo, podemos hacer uso de los

comandos IF y CHI.

Si usamos el comando IF, la función f(x) se debe ingresar:

f(x):=if(x<=-1,(x2-1),if(x<= 4,(x-3*x2+4),-3x+18))

La expresión IF usa 3 argumentos, en el primer argumento va la condición que

deseamos se evalué (falso o verdadero), en el segundo argumento se coloca la

orden que Derive debe seguir en caso de que la condición resulte verdadera y

el tercer argumento corresponde a la acción que Derive debe realizar cuando la

condición resulte ser falsa.[1]

Si usamos el comando CHI, la función f(x) se debe ingresar:

f(x):=(x2-1)*CHI(-inf,x,-1)+(x-3*x2+4)*CHI(-1,x,4)+(-3x+18)*CHI(4,x,inf)

CHI(a, x, b) es la función característica de un intervalo. Si a < x < b, CHI(a, x,

b) se simplifica a 1. Si x < a ó b < x, CHI(a, x, b) se simplifica a 0.[1]

¿Cómo graficar reflexiones de la gráfica de una función f(x): =...?

Reflexiones con respecto al eje x:

Se ingresa en Derive f(x) multiplicada por –1. Y se grafica esta nueva

función.

Ejemplo: Hacer la gráfica de las funciones

y = 3x+4 y de su reflexión con respecto al eje x . y = -3x-4.



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Reflexiones con respecto al eje y:

Se evalúa f(x) en –x . y se grafica esta nueva función.


y = 3x+4 y de su reflexión con respecto al eje y, y = -3x+4.

f(x) := x^2+x+3 y de su reflexión con respecto al eje y, f(x) := x^2-x+3

Reflexiones con respecto a la recta x = y.

Se utiliza el botón SUB de la Barra de Herramientas. Y se intercambia “x por y”

e “y por x”. (Esto le permitirá encontrar la gráfica de la inversa de una función

uno a uno.)


y = 3x+4 y de su reflexión con respecto a la recta y = x, x = 3y+4.

¿Cómo graficar funciones paramétricas?

Para graficar en Derive curvas paramétricas, basta con encerrar entre [ ] y

separadas por una coma, las ecuaciones de x y de y en términos del

parámetro.

Ejemplo:

Las ecuaciones paramétricas de la circunferencia x2+y2=1 son:



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Ingresamos en Derive [cos(t), sin(t)] y graficamos. Cuando damos la orden de

graficar presionando el botón se despliega un cuadro donde se nos pregunta

el valor mínimo del parámetro y el valor máximo del parámetro, ingresamos

para nuestro ejemplo 0 y (2*pi)

Figura 5. Ventana para ingresar valor del parámetro.

¿Cómo graficar la reflexión de función paramétrica con respecto a la recta y =

x?

Para hacer esta gráfica basta con cambiar la posición dentro de [ , ] de las

coordenadas x(t) y y(t). Así, si consideramos el caso anterior, la gráfica de la

función inversa la podemos obtener fácilmente, ingresando en derive [ sin(t),

cos(t)].

El uso de otros botones:



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En Cálculo hay muchas operaciones que podremos efectuar fácilmente con

Derive, por ejemplo:

Para hallar límites, derivadas, integrales, sumatorias, o productos basta utilizar

los botones apropiados que aparecen en la Barra de Herramientas.

Ejemplo:

Realicemos diferentes cálculos para la función f(x):= x2+1.

Cálculo de límites: Luego de ingresar la expresión, presionamos sobre el botón

y se despliega un cuadro que nos pregunta cual es la variable con

respecto a la cual deseamos calcular el límite, el valor al cual deseamos

acercarnos y la dirección por la cual deseamos hacerlo (Izquierda, Derecha o

ambos lados). Por último presionamos Simplificar.



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Cálculo de derivadas: Luego de ingresar la expresión, presionamos sobre el

botón y se despliega un cuadro que nos pregunta cuál es la variable con

respecto a la cual deseamos calcular la derivada y el orden de la derivada que

deseamos calcular. Por último presionamos Simplificar.

Para encontrar la segunda derivada, seleccionamos de nuevo la expresión f(x)

y en lugar de colocar 1 en el Orden de la derivada colocamos 2, el resultado

es:

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