Upload
ciprian-catalin-cojocariu
View
168
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
Dr. ing. PANŢURU DUMITRU
MAREA TEOREMĂA LUI
FERMAT- demonstraţie elementară -
EDITURA
Dr. ing. PANŢURU DUMITRU
MAREA TEOREMĂA LUI
FERMAT- demonstraţie elementară -
(română – engleză)
EDITURA2005
2
Coperta: …………………………
Ilustraţia copertei: ………………………
Redactor: ……………………………….
Copyright © 2005
Toate drepturile asupra versiunii în limba română – engleză aparţin autorului.
Reproducerea integrală sau parţială a textului din această carte este posibilă numai cu
acordul prealabil al autorului.
Editura: ………………………………
Adresa: ……………………………….
România
Tel.: ………………………………..
Fax: ………………………………...
E – mail: …………………………….
ISBN
3
INTRODUCERE
Marele matematician francez Pierre Fermat (1601 – 1665) a enunţat în anul 1637 aşa
numita „ultima teoremă sau marea teoremă a lui Fermat”, având următorul conţinut:
Ecuaţia x n + y n = z n, în care n este un întreg oarecare, mai mare ca 2, nu are soluţii
în x, y, z, altele decât acelea în care o necunoscută are valoarea 0.
În decurs a trei secole, matematicieni ca Legendre, Euler, Lamé, Cauchy, Kummer,
Mirimanoff şi alţii au depus eforturi susţinute pentru confirmarea teoremei, totuşi ea nu a
putut fi demonstrată decât pentru exponenţi particulari.
În anul 1995, matematicianul englez Andrew Wiles, demonstrează Marea Teoremă a
lui Fermat pe baza verificării unei conjecturi datând din anul 1950 folosind tehnici matematice
dezvoltate în ultimul deceniu, dintre care unele au fost inventate de autor însuşi.
Demonstraţia lui A. Wiles a Marii teoreme nu este aceeaşi cu demonstraţia lui Fermat.
Demonstraţia trebuie să se poată face cu mijloacele pe care le avea la aceea vreme şi
nicidecum cu un aparat matematic superior.
Din acest motiv sper să nu mire pe nimeni demonstraţia elementară care urmează
căci ea nu poate fi alta decât cea pe care a gândit - o Fermat.
Oricine care parcurge demonstraţia ce urmează (aşa cum a fost gândită de autor) va
recunoaşte marele adevăr consemnat de Fermat pe marginea „Aritmeticii” lui Diofante: „Am
descoperit o demonstraţie cu adevărat remarcabilă a acestei propoziţii, dar această margine
este prea mică pentru a o cuprinde.”
Dr. ing. DUMITRU PANŢURU
4
I. SECTIUNEA DE AUR ŞI TEOREMA LUI PITAGORA
I.1. Secţiunea de aur şi teorema lui Van der Eycke
Fie date graficele de variaţie, în cadranul I, ale funcţiilor trigonometrice şi
(figura 1).
Să se determine coordonatele
punctului M, de intersecţie (adică valorile
lui a şi a unghiului α, în grade).
Pentru calculul coordonatelor
punctului M, trebuie soluţionată ecuaţia:
Fig. 1.
Rezolvarea acestei ecuaţii coincide cu teorema lui Van der Eycke, ce are următorul
conţinut.
Dacă din extremitatea B a diametrului AB se duce o tangentă BD şi din cealaltă
extremitate A se duce o linie dreaptă AD care taie cercul şi tangenta în aşa fel ca
partea BD tăiată pe tangentă să fie egală cu AC (figura 2), va fi egală cu a patra parte a
cercului.
(Teorema redă valoare aproximativă.)
Dacă AC = BD se poate scrie:
şi
deci, .
5
Fig.2.
ecuaţia care se poate scrie, după unele mici transformări:
sau
Se notează , iar ecuaţia devine:
care are soluţiile: .
Se va lucra în continuare numai cu soluţia pozitivă,
de unde,
Se va nota în continuare:
şi .
Varianta I
deci
sau
Varianta II
deci
sau
6
I.2. Observaţii
Din secţiunea de aur pot fi obţinute şi alte rezultate interesante având următoarele
notaţii:
deci şi
Dacă se alege un element unitate, segmentele corespunzătoare secţiunilor de aur
pot fi trasate cu ajutorul unei rigle negradate şi compasul.
I.3. Fie dat triunghiul dreptunghic ABC (figura 2), unde:
AB = 1 (o unitate oarecare)
(construit cu rigla şi compasul)
(rezultat din teorema lui Pitagora)
Triunghiul ABD (figura 2) exprimă ideea lui Van der Eycke, unde .
a) Presupunând că latura AB a triunghiului ABC, cu unghiul ia
succesiv valorile 1; ; ; ; ; ; …
Rezultă valorile celorlaltor două laturi AC şi BC conform tabelului 1, cu titlul
„Alfabetul geometriei numerelor iraţionale – pornind de la secţiunea de aur şi teorema lui Van
der Eycke”.
Triunghiul ABC fiind dreptunghic se poate scrie succesiv teorema lui Pitagora:
7
sau în general,
sau
b) Presupunând că latura AC a triunghiului ABC, cu unghiul 2
15cos
,
(inversarea laturilor), ia succesiv valorile:
Rezultă valorile celorlaltor două laturi, AB şi BC, conform tabelului 2, cu titlul
„Alfabetul geometriei numerelor raţionale – pornind de la secţiunea de aur şi teorema lui Van
der Eycke”.
Triunghiul ABC, fiind dreptunghic, se poate scrie succesiv teorema lui Pitagora:
sau în general,
8
Alfabetul geometriei numerelor iraţionale – pornind de la secţiunea de aur şi teorema
lui Van der Eycke.
Tabelul 1.
Nr. crt.
LaturaAB AC CB
1. 1
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
. . . . . . . . . . . .
n
9
Alfabetul geometriei numerelor raţionale – pornind de la secţiunea de aur şi teorema
lui Van der Eycke. Inversarea segmentelor.
Tabelul 2.
Nr. crt.
LaturaAB AC CB
1. 1
2. 1
3.
4.
5.
6.
7.
8.
. . . . . . . . . . . .n
II. MAREA TEOREMĂ A LUI FERMAT
II.1. Expresia matematică este:
în care n – un întreg oarecare, mai mare ca 2, nu are soluţii întregi în x, y, z, altele decât
acelea în care o necunoscută are valoarea „0”.10
Expresia se mai poate scrie:
unde:
rezultă:
care exprimă teorema lui Pitagora.
II.2. Marea teoremă – variante
Varianta I
Reluăm teorema lui Pitagora sub forma generală, de la punctul 1.a.
În continuare expresia poate lua următoarea formă:
care poate fi asimilată cu teorema lui Fermat, unde:
Varianta II
Reluăm teorema lui Pitagora sub forma generală, de la punctul 1.b.
în continuare expresia poate lua următoarea formă:
care poate fi asimilată cu teorema lui Fermat unde:
11
;
II.3. Exemple
n = 3 (poziţia 4, tabelul 1)
sau
sau
n = 5 (poziţia 6, tabelul 1)
sau
sau
n = 3 (poziţia 4, tabelul 2)
sau
12
sau
n = 5 (poziţia 6, tabelul 2)
sau
sau
II.4. Teorema lui Fermat poate lua şi alte forme ţinând cont de identităţile:
şi altele.
III. CONCLUZII
Laturile triunghiului ABC, ce conduc la secţiunea de aur sunt segmente de aur, ce
reprezintă numere iraţionale.
Laturile, conform tabelelor 1 şi 2, verifică teorema lui Pitagora care apoi conduc la
marea teoremă a lui Fermat, pe care o verifică pentru n ≥ 3 (inclusiv 0, 1, 2) şi chiar numere
zecimale, pozitive sau negative.
13
Propun ca acest triunghi dreptunghic să fie numit „triunghiul de aur a lui Pierre
Fermat”.
Soluţionarea „marii teoreme” este în legătură directă cu rezolvarea ecuaţiilor în
numere întregi şi cu numerele lui Fibonacci, cărora Fermat le-a acordat o foarte mare atenţie.
Presupun, în baza celor de mai sus, că Fermat a cunoscut foarte bine soluţiile
ecuaţiilor de forma: , (care pot fi demonstrate pe o mică coală de hârtie), şi a lăsat
urmaşilor săi „gluma” matematică fără răspuns, ce durează de secole.
Apreciez că „geometria numerelor iraţionale” reprezentată prin alfabetul din tabelele
1 şi 2 şi secţiunea de aur, începe a spune multe adevăruri, încă nedemonstrate.
INTRODUCTION
The well-known French mathematician Pierre Fermat (1601-1665) formulated in 1637
the so-called „the last or the great Fermat theorem”, stating that:
The equation xn + yn = zn, in which n is any whole number, higher than 2, does not
have solution in x, y, z, others than those in which the unknown is 0.
14
Over three centuries, mathematicians like Legendre, Euler, Lame, Cauchy, Kummer,
Mirimanoff and others, tried hard to confirm the theorem, yet it could not be demonstrated
except for particular index.
In 1995, the English mathematician Andrew Wiles demonstrated Fermat’s great
theorem on the basis of checking a conjecture of 1950 and using mathematical techniques
developed in the last decade, some of them being invented by the author himself.
A. Wiles’ demonstration of the great theorem is not the same with Fermat’s
demonstration. The demonstration must be done with the means available at that time, not
using a superior instrument.
That is why the following elementary demonstration should not amaze anyone, as it is
not but the one Fermat thought of.
One who would read through the following demonstration (as it was thought by its
author) would recognize the big truth caught by Fermat on the basis of Diofante’s
„Arithmetic”: „I discovered a demonstration truly remarcable of this statement, but this verge
is too small to cover”.
Ph. Eng. DUMITRU PANTURU
I. THE GOLDEN SECTION AND PITAGORA’S THEOREM
1.1. The golden section and Van der Eycke’s theorem
Being given the variation graphs, in
quadrant I, of the trigonometric function
and (figure 1).
15
Identify the coordinates of point M, of intersection (namely, values of a and of angle
α, in degrees).
In order to calculate the coordinates of point M, the following equation must be
solved: .
Fig. 1.
The solution for this equation concurs with the theorem of Van der Eycke, with the
following content:
If from the B extremity of the AB diameter we draw a tangent BD and from the
other extremity A we draw a straight line AD that crosses the circle and the tangent so
as side BD that crosses the tangent to be equal with AC (figure 2), it will value the
fourth part of the circle.
(The theorem shows the approximate value)
If AC = BD then:
and
so,
Fig. 2.
After little modifications, the equation becomes:
or
We note , and the equation becomes:
That gets the values: .
Further on, only the positive solution will be considered,
for,
16
We note:
and .
Solution I
so
or
Solution II
So
Or
I.2. Observations
Out of the golden section one can get other interesting results with the following
solutions:
17
so
and
If considered a unit element, the segments corresponding to the golden sections can
be drawn using a plain ruler and a pair of compasses.
I.3. Being given the triangle ABC (figure 2), where:
AB = 1 (a random unit)
(drawn with the ruler and the compasses)
(resulted from the theorem of Pitagora)
Triangle ABD (figure 2) shows Van der Eycke’s idea, where .
a) Considering side AB of triangle ABC, with the angle it successively gets
the values 1; ; ; ; ; ; …
It results the values of the other two sides AC and BC, according to table 1, titled
“The alphabet of the geometry of the irrational numbers – starting from the golden section
and Van der Eycke’s theorem”.
Triangle ABC being rectangular, Pitagora’s theorem becomes:
18
or in general,
or
b) Considering side AC of triangle ABC, with angle 2
15cos
, (the
reversal of the sides), gets successively the values:
It results the values of the other two sides, AB and BC, according to table 2, titled
„The alphabet of the geometry of the rational numbers – starting from the golden section and
Van der Eycke’s theorem”.
Triangle ABC being rectangular, Pitagora’s theorem becomes:
or in general,
The alphabet – The Geometry of the Irrational Numbers – starting from the golden
section and from Van der Eycke’s theorem.19
Table 1.
Nr. crt.
SideAB AC CB
1. 1
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
. . . . . . . . . . . .
n
The alphabet – The Geometry of the Rational Numbers – starting from the golden
section and from Van der Eycke’s theorem.
Table 2.
Nr. crt.
SideAB AC CB
1. 1
2. 1
20
3.
4.
5.
6.
7.
8.
. . . . . . . . . . . .n
II. FERMAT’S BIG THEOREM
2.1. The mathematical expression is:
where n – a random integer, bigger than 2, does not have any integer solutions in x, y, z,
others than those in which the unknown has the value „0”.
Expression can also be written:
with the modifications:
results:
that shows Pitagora’s theorem.
21
2.2. The big theorem – solutions
Solution I
We take again Pitagora’s theorem from the general format, as described at point 1.a.
Expression can become:
that can be compared with Fermat’s theorem, where:
Solution II
We take again Pitagora’s theorem in the general format, from point 1 b.
expression can become:
that can be compared with Fermat’s theorem, where:
;
2.3. Examples
n = 3 (line 4, table 1)
22
or
or
n = 5 (line 6, table 1)
or
or
n = 3 (line 4, table 2)
or
or
n = 5 (line 6, table 2)
or
23
or
2.4. Fermat’s theorem can take other forms if considered the following:
and others.
III. CONCLUSIONS
The sides of triangle ABC, that lead to the golden section are golden segments that
represent irrational numbers.
The sides, according to tables 1 and 2, justify Pitagora’s theorem that lead to the big
theorem of Fermat, whome justifies for n ≥ 3 (including 0, 1, 2) and even decimal numbers,
positive or negative.
I propose this triangle be called „Pierre Fermat’s golden triangle”.
Solving „the big theorem” has a direct relationship with solving the equations with
integer numbers and with Fibonacci’s numbers, that Fermat gave special interest.
I suppose, considering the above, that Fermat knew very well the solutions of
equations such as: , (that can be demonstrated on a little sheet of paper), and left to
his fellows the mathematical „joke” without the key, that has been lasting for centuries.
I consider that the „geometry of the irrational numbers” represented by the alphabet
in tables 1 and 2, and the golden section, starts to say many truths, still not demonstrated.
24