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Aula 2: Funções .
Margarete Oliveira Domingues
PGMET/INPE
Aula 2 – p.1/57
Definição e representação
Aula 2 – p.2/57
Função
Definição:
Uma função
�
de um conjunto�
em um conjunto
�
,��� � � �
é uma correspondência que associa a cadaelemento � � �
um único elemento � � �
.
O elemento � é chamado imagem de � por
�
, e denota-se� � � � .
Aula 2 – p.3/57
Função
Aula 2 – p.4/57
Conj. Imagem
Aula 2 – p.5/57
Função Injetora
��� � ��� , então� � � � � � ��� �
Aula 2 – p.6/57
Função Sobrejetora
Imagem é o próprio contradomínio
Aula 2 – p.7/57
Função Bijetora
Injetora e sobrejetora
Aula 2 – p.8/57
Exemplos
� � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � ����
� � � � � � ���
� �
� � � � � � � � ��
� � � � � ��
�
� � � �� � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � ���� � �
� � �
�
� � � �
� � �
� � � �
� � � � �
Aula 2 – p.9/57
Esboço de algumas funções
Aula 2 – p.10/57
Esboço de algumas funções
Aula 2 – p.11/57
Limitantes
Se M é um limitante superior � � � ��� � � � �
Se m é um limitante inferior � � � � � � � � � �
� � � é limitada � �� � � ��� em um intervalo.
Aula 2 – p.12/57
Seqüências
Seqüências são um conjunto de muitos númerosarranjados podendo ou não exibir determinadospadrões.
Uma seqüência de números reais é uma função��� � � �
. Ou seja, uma seqüência pode serdenotada por
� � ��
� ��
� � �� � � ou
��� �
.
Exemplo
A seqüência de números
��
��
�� �
�� é representada com
a notação
��
�� �
.
Aula 2 – p.13/57
Funções Contínuas
Seja
� � ��� � � � � � e/ou
� �.
Definição:��� � � �
e � � �
, diz–se que
�é contínua em � � para
qualquer � � � dado, existir um� � � ;
� � ��
� � � � � � � � � � � �
��� � � �
é contínua em um ponto � � �
se, e somente se,para toda sucessão
� � �em
�
� � � � � � � � para toda seqüência � � � �
em que � � � �
Aula 2 – p.14/57
Funções Contínuas
Se � �
e
�
é contínua em
�
,
�
é dita contínua àdireita.
Se � � e
�
é contínua em �,�
é dita contínua àesquerda.
�
não é contínua à esquerda em � �
.
��� ��� � � ��
� � �
�� se � �
�� se � � �
�
é contínua à esquerda em � �
.� � � � ��
� � � �� se � � �
� �
� se � � �
Aula 2 – p.15/57
Funções contínuas(Operações)
Sejam
�� �� � � �
função contínuas em um ponto � � �
.Então:
� � � é contínua em �;
�� � é contínua em �;
Se
� � � � � � � � �
,então a função
� � � � � é contínuaem �;
Aula 2 – p.16/57
Máximo e Mínimo
Se ��� é um ponto de un intervalo tal que
máximo absoluto � � � �� � � � � � � � �
mínimo absoluto � � � � � � � � � � � � �
Se isso é válido apenas em uma vizinhança
� � � � � �
� � � é dito ter um máximo relativo
� � � é dito ter um mínimo relativo
Aula 2 – p.17/57
Máximo e Mínimo
Seja
�� � ��
� � � �
uma função real contínua definidaem um intervalo fechado
� ��
� �
. Então,�
assume ummáximo e um mínimo em [a,b].
Seja
�� � ��
� � � �
uma função contínua em umintervalo fechado
� ��
� �
. Então,
�
é limitada.
Aula 2 – p.18/57
Funções monótonas
Seja
��� � � �
, para � � � ��� tem–se que
�
é dita monótona crescente se� � � � � � ��� �
�
é dita monótona decrescente se
� � � � � � ��� �
�
é dita monótona não–decrescente se
� � � ��� � ��� �
�
é dita monótona não–crescente se
� � � � � � �� �
Aula 2 – p.19/57
Funções monótonas
Ex: Funçõesmonótona crescentemonótona não–decrescente
ba
f(x)
x
Aula 2 – p.19/57
Funções inversas
Definição:Se � é uma função de �, denotada por
� � � , então, � éuma função de � denotada por � � �
� � �
Troca-se o � por � pode–se considerar � � �� � �
Aula 2 – p.20/57
Funções inversas
Ramo Principal:Se
� � � é uma função de valor simples,� �� � � pode ser
uma função de valores múltiplos. Cada coleção dessesvalores múltiplos é chamada de ramo. Ex:
� � � � � � � � � �� �, que é uma função de
múltiplos valores, desde que para cada � em �� �� �
existem muitos valores de �.
� � � �� � �
�
� �� �
� � � � �� �
� �� .
Aula 2 – p.21/57
Funções Compostas
Se
�
é uma função
�
em
�
e � é uma função de
�
em
�
,então a função composta �� �
é uma função de
�
em
�
,definida por
�� � � � � � � � � �� � � � ��
Aula 2 – p.22/57
Tipos de Funções
Aula 2 – p.23/57
Funções Polinomiais
Funções polinomiais tem a forma
� � � �� � � � �� � � �� ��� � � � � � �
� � � � �
em que ��� � � � � � � são constantes e � é um inteiro positivochamado de grau do polinômio se � � � �
.
O Teorema fundamental da álgebraToda a equação polinomial
� � � �
possui pelo menosuma raiz.Se o grau de um equação é � � raízes
(contando as raízes repetidas de mutiplicidade � como �
raízes)
Aula 2 – p.24/57
Funções Lineares
��� � � �
definidas por
� � � � � � ��
para todo �� ��
� � �
.
Dada uma reta
�
em um plano coordenado
�� � � , ela é o
gráfico de uma função linear se não for paralela ao eixo �;caso contrário, a equação de retas paralelas ao eixo � seria
da forma � �.
Aula 2 – p.25/57
Funções algébricas
Funções algébricas � � � � satisfazem equações daforma
�� � � � � � �� � � � � �� �� � � � � � �
� � � � � � � � � �
em que �� � �� � � � � � � � � são polinômios em �.função racional algébrica
� � � �� � �
função irracional algébrica
Em analogia com números reais:
polinômios correspondem aos números inteiros
funções racionais aos números racionais
Aula 2 – p.26/57
Funções Transcendentais
Definição:Funções que não são algébricas
Função exponencial:
� � � � �� � � ���
�
.
Função logarítmica:
� � � � � ���
�� � � ��
�
Funções trigonométricas
Funções trigonométricas inversas
Funções hiperbólicas definidas em termos deexponenciais
Funções hiperbólicas inversas e seus valoresprincipais
Aula 2 – p.27/57
Características de funções
Aula 2 – p.28/57
Esboço de algumas funções
Aula 2 – p.29/57
Limite
Aula 2 – p.30/57
Limite
Seja uma função
��� � � �
,
� � �
, e um ponto � nãonecessariamente pertencente a
�
. Supõem–se que existaum número
� � �
tal que
� � � se aproxima de
�
, quando �
se aproximar de �, com � � �. Quando isto acontecerdiz–se que
�
é o limite de
�
, em �, e escreve–se:
�� �
� ��
� � � �
ou� � � � �� com � � ��
Aula 2 – p.31/57
Limite (Definição)
Dados uma função
��� � � �
e um ponto de acumulação
� de
�
, diz-se que um número
�
é limite de
�em �, e
escreve–se:
�� �
� ��
� � � �
ou
� � � � �� com � � ��
quando vale a seguinte condição:Para todo � � � , existe
� � � � � � tal que:
� � ��
� � � � � � � � � � � ��
Não importa quão pequeno seja o número � � � dado; se
�� � � ��
� � � �
, é sempre possível encontrar
� � � � � �
de modo que essa relação seja válida. Aula 2 – p.32/57
� � � �� ��
� �� � � � �
� � � � � � ��
�� � � ��
� � � �
.
�� �
� ��
�� ��
� �� � � � �
�
Aula 2 – p.33/57
Propriedades
Sejam
�� � � ��
� � � �
e
�� � � �� � � � �
�� � � �� � � � � � � � � �
�� � � ��
� � �� � �
�� � � �
Se uma função não é localmente limitada no ponto �, então
não existe
�� � � ��
� � � . Por outro lado, sendo
� � � local-
mente limitada em �, não se pode dizer que o limite em �
exista.
Aula 2 – p.34/57
Continuidade
Aula 2 – p.35/57
Definição
Uma função
�
é contínua em um ponto � significa que
� � �
existe e que
�
leva pontos próximos de� � � .
Uma função
� � � � �
é contínua em um ponto � � �
se,dado um � � � , existe um
� � � tal que
� � ��
� � � � � � � � � � � ��
Aula 2 – p.36/57
Condições de continuidade
Se o domínio de
�
for um intervalo,
� �� � � , � � �
� � �
existe
�� � � ��
� � �
�� � � ��
� � � � � �
Aula 2 – p.37/57
Ex.
� � � � � e � � � � � são contínuas em qualquer ponto
� � �
.
� � � � �� são contínuas em
�� � � , para �� � � �
.
Aula 2 – p.38/57
Derivada
Aula 2 – p.39/57
Derivada
De um ponto de vista geométrico o conceito de derivadaestá relacionado com o de tangência.
Aula 2 – p.40/57
Ponto de vista da Dinâmica
Derivada como taxa de variação
A velocidade escalar (instantânea) é uma derivada.
A aceleração
Isto é, a medida da evolução de uma grandeza quando uma
outra, da qual ela depende, varia..A velocidade, por exem-
plo, é a taxa de variação do espaço com relação ao tempo.
Aula 2 – p.41/57
Definição
Seja
��� � � �
e � um ponto acumulação de
�. A função�
é derivável em � se existir o limite
� � � � �� �
� ��
� � � � � �
� �
em que
� � � � é chamado de derivada de
�
em �. Há váriasnotações para derivadas, sendo � � � � têm–se porexemplo,
� �� � � � ��� �
� ��� �
� ��������� �
�
� �� ��
� �� �
�������� �
�
�� �
� � ��
Aula 2 – p.42/57
Funções deriváveis (Operações)
Seja
��� � � �
, �� � � �
e � um ponto no interior de
�
.
� � � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � �
� � � �� � � � � �
Se f e g são deriváveis em � e � � � � �
, então
� � � éderivável em � e
� � � � � � � � � � � � � �
� � � � � �
Aula 2 – p.43/57
Seja
��� � � �
uma função definida num intervalo
�
, a qual
é derivavél no interior de�
. Se existir um máximo local em
um ponto � � �
, então� � � � �
.
Aula 2 – p.44/57
Regra da cadeia
Sejam
�� � � �
e �� � � �
duas funções reais definidasem intervalos
��
�
, respectivamente, tais que
� � � � �
e� � � é um ponto interior de
�
e
�
seja derivável no ponto �.Então, a função composta �� ��� � � �
é deriváveis em c evale a fórmula
�� � � � � � �� � � � � � � �
Aula 2 – p.45/57
Teorema do valor médio
Seja
��� � ��
� � � �
uma função contínua definida numintervalo fechado
� ��
� �
. Supõem–se que�
seja derivávelno intervalo aberto
��
� �
. Então existe � � ��
� �
, tal que
� � � � � � � � � �
� � �
Aula 2 – p.46/57
Taylor
Aula 2 – p.47/57
Fórmula de Taylor
Seja
��� � ��
� � � �
uma função contínua definida numintervalo fechado
� ��
� �
. Supõem–se as derivadas� �� ��
� �� ��
� � � �� � � � � � � �
existam e sejam contínuas em
� ��
� �
.Seja � um ponto qualquer fixado em
� ��
� �
Então, para cada� � � ��
� �
, � � �, existe um ponto�
entre � e � tal que:
� � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �
� � � � � �� �
� � � � � � � ���
� � ��
�
� � � � �
� � � �� � � � � � � � ���
Para � �essa fórmula expressa o Teorema do valor mé-
dio.Aula 2 – p.48/57
Polinômio de Taylor
Uma idéia básica em análise numérica é a de usarfunções simples, usualmente polinômios, paraaproximar uma dada função.
O problema é achar um polinômio
�
o qual concordacom uma função
�
e algumas de suas derivadas deordem � em um ponto
�dado.
Aula 2 – p.49/57
Polinômio de Taylor
Pode ser provado que se
�
é uma função com derivada deordem � em um ponto
�
, então, existe um único polinômio�
de grau
� � o qual satisfaz as � � � relações
� � � � � ��
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
A solução dessas relações é o polinômio de Taylor,
� � � �
� �� � � �
� �
� � � ��
Aula 2 – p.49/57
Erro
O erro dessa aproximação é dado por� � � � � � � � � � . Se
�
possuir derivadas contínuas deordem � � � em algum intervalo contendo
�
, então paracada � no intervalo o erro pode ser expresso como
� � � � � � �� �� �
� � � � �
� � � � ���
em que
�� � � �.
Aula 2 – p.50/57
Método de Newton-Rapson
Aula 2 – p.51/57
Idéias
proposto Isaac Newton em 1687
sistematizado por Joseph Rapson em 1690.
Combina: linearização e iteração.
Na linearização procura–se substituir uma certavizinhança de um problema complicado por umaaproximação linear ( Taylor )
Processo iterativo, ou aproximações sucessivas,consiste na repetição sistemática de um procedimentoaté que seja atingido o grau de aproximação desejado.
Aula 2 – p.52/57
Método (idéias)
Aula 2 – p.53/57
Método
a linearização consiste em substituir a curva � � � �
por retas tangentes a essa curva.
Seja �� uma aproximação inicial da raiz, a primeiraaproximação é uma reta tangente a esse ponto. Oponto em que essa reta intercepta o eixo � é obtidoum novo valor de � � � . Repete-se o processo.
Aula 2 – p.54/57
(Cont.)
� � � � �
� �� �
�� ��� � � �� �
reorganizando os termos
��� �� � �� �
� � �� �
na próxima iteração��� ���
� ��� �� � �� ��
Aula 2 – p.55/57
Posto isto, tem–se que
� � �� � � � � ��
� � � �� � ���
��
� � � �
Aula 2 – p.56/57
Fim do TOMO II
Aula 2 – p.57/57