Marijana Rasonja - Odjel Za Matematikumdjumic/uploads/diplomski/RAS06.pdf · 2017-10-09 · todu koristio je i Kinez Liu Hui u 3. stolje cu, da bi izra cunao povr sinu kruga. Zenon

Sveuciliste J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike

Marijana Rasonja

Povijesni razvoj diferencijalnog i integralnog racuna

Diplomski rad

Osijek, 2012.

Sveuciliste J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike

Marijana Rasonja

Povijesni razvoj diferencijalnog i integralnog racuna

Diplomski rad

Mentor: doc. dr. sc. Ivan MaticKomentor: dr. sc. Ljerka Jukic Matic

Osijek, 2012.

Sadrzaj

Uvod 4

1 Razvoj matematicke analize 51 Prethodnici infinitezimalnog racuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Newtonove “Zlatne godine“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1 Razvoj Newtonove metode fluksija . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Gottfried Leibniz: Rasprava o infinitezimalnom racunu . . . . . . . . . 22

3.1 Leibnizovo stvaranje infinitezimalnog racuna . . . . . . . . . . . 244 Formalizacija infinitezimalnog racuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Diferencijalni i integralni racun danas 311 Gradivo u srednjoj skoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.1 Primjena i veza s drzavnom maturom . . . . . . . . . . . . . . . 332 Nadogradnja gradiva na studiju matematike . . . . . . . . . . . . . . . 363 Diferencijalni racun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1 Derivacija funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Pravila deriviranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3 Osnovni teoremi diferencijalnog racuna . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Integralni racun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.1 Odredeni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2 Svojstva odredenog integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3 Odredeni integral i primitivna funkcija . . . . . . . . . . . . . . 444.4 Neodredeni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.5 Svojstva neodredenog integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.6 Pravila integriranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 Primjena u drugim strukama 481 Primjene u kemiji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502 Primjene u fizici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Literatura 57

3

Uvod

Matematicka analiza (starogrcki αναλυσις, analysis, rjesenje) je grana matematikekoja koristi ideju granicne vrijednosti. Matematicka analiza se spominje i pod ime-nima visa matematika, infinitezimalni racun, a u engleskoj literaturi kao calculus. Toje veoma siroka grana matematike i predmet je visegodisnjih studija na fakultetima.U principu, dijeli se na dva djela: diferencijalni i integralni racun. Proucavanje be-skonacnih redova i analitickih funkcija takoder ulazi u domenu analiticke matema-tike. Uvodenje analiticke metode dalo je snazan poticaj razvoju metode grafickogpredocavanja, razvoju pojma funkcije te je posluzilo kao osnova za izgradnju diferenci-jalnog i integralnog racuna. Stoga se u prvom poglavlju prati razvoj infinitezimalnogracuna kroz povijest pa sve do danas. Racun su utemeljili neovisno jedan od drugogaIsaac Newton (1643.-1727.) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646.-1716.), ali na razlicitimidejama. Njihovim radovima prethodili su radovi drugih matematicara (Cavalieri, Ro-berval, Fermat, Wallis, Barrow). Infinitezimalne metode matematicari su primjenjivalijos u antici (Eudoks, Arhimed, metoda ekshaustije). Newton je promatrao matema-tiku samo kao nacin za fizikalna istrazivanja. Takva veza jasno je dosla do izrazaja unjegovoj metodi fluksija. Osnovne ideje te metode temeljene na fizikalnim razmatra-njima (problem brzine) za potrebe mehanike razradio je izmedu 1665. i 1666. godine.Derivaciju je nazvao fluksija, a uvodi i termin limes. Otkrio je obratni karakter ope-racija diferenciranja i integriranja, dao je i niz otkrica u teoriji beskonacnih redova,a razradio je i posebnu metodu istrazivanja funkcija primjenom beskonacnih redova.Leibniz do otkrica dolazi preko geometrijskih razmatranja (problem tangente) izmedu1673. i 1676. godine. Njegov pristup je apstraktan. Uveo je pojam karakteristicnogtrokuta i derivaciju definirao pomocu novog pojma diferencijala. Formulirao je niz pra-vila, pored ostalog i pravila za diferenciranje produkta i potencije. Osim diferencijalauveo je i mnoge druge matematicke termine kao sto su funkcija, varijabla, konstanta,diferencijalni racun, diferencijalna jednadzba, algoritam, apscisa, ordinata, koordinata ioznake. Newton je ocito prvi utemeljio infinitezimalni racun, ali je Leibnizova zaslugau tome sto su njegov pristup i simbolika suvremeniji. Rezultate svojih otkrica obaosnivaca objelodanili su nekoliko godina kasnije. U drugom poglavlju dan je prikazgradiva koje se izucava u srednjoskolskom obrazovanju, te koje se cjeline diferencijal-nog i integralnog racuna obraduju u srednjoj skoli i kasnije na studiju i sto se od togatrazi na drzavnoj maturi. Infinitezimalni racun se koristi u mnogim strukama te su uposljednjem poglavlju navedena neka podrucja i primjeri u kojima se koriste derivacijei integrali.

4

Poglavlje 1

Razvoj matematicke analize

Renesansna matematika je malo uzela geometrije od starih Grka, ali 1600. godine jeuvela neocekivani preporod u ovoj temi. Godine 1637. francuska matematicka zajed-nica svjedocila je jednoj od onih cudnih slucajnosti, za koju se mislilo da je rijetka, ali jepovijest znanosti pokazala da je cesta. Dva covjeka, Pierre de Fermat i Rene Descartesistovremeno su vezali algebru za geometriju, da bi stvorili osobitu inovaciju - analitickugeometriju. U isto vrijeme kada su Fermat i Descartes postavljali temelje koordinatnegeometrije, dva prijatelja jednako orignalna matematicara, Pascal i Desargues su doni-jeli slicne zasluge u podrucju sinteticke projektivne geometrije. Ali nije samo na racundalekoseznih razvoja u geometriji 17. stoljece postalo slavno u povijesti matematike,jer su se aktivnosti matematicara tog perioda protezale na puno polja, novih i starih.Mistika brojeva otvorila je put teoriji brojeva, najvise u Fermatovom razmisljanju o di-ofantskoj analizi. Matematicka teorija vjerojatnosti, tema kojoj je Cardano pridonio usvojoj knjizi Liber de Ludo Aleae, je svoje prve pune korake “uzela“ u razmjeni pisamaizmedu Pascala i Fermata o racunanju vjerojatnosti. Leibnizov pokusaj da reduciralogicku raspravu u sistematsku formu bila je preteca moderne simbolicke logike; ali jebio toliko napredan za svoje vrijeme da se ideja realizirala tek 200 godina kasnije krozdjela engleskog matematicara George Boolea. Nimalo manje vazna bila su izucavanjaGalileja, Descartesa, Torricellija i Newtona koja su okrenula mehaniku u egzaktnu zna-nost tijekom dva stoljeca.Iznad svega, za matematiku 17. stoljece bilo je stoljece uspona infinitezimalnog racuna.Iako se izum infinitezimalnog racuna pripisuje dvojici brilijantnih suvremenika IsaacuNewtonu (1642.-1727.) i Gottfriedu Leibnizu (1646.-1716.), veliki napredak u matema-tici je rijetko rad pojedinca. Cavalieri, Torricelli, Barrow, Descartes, Fermat i Wallis susvi poplocali put prema pocetku, ali su oklijevali kada bi doslo do realizacije racuna. Udrugoj polovici 17. stoljeca, sirovi materijali iz kojih je proizisao infinitezimalni racunbili su na dohvat ruke. Sve sto je preostalo bilo je da Leibniz ili Newton spoje te idejeu ogromnu sintezu. Newtonova dobro poznata izjava Hooku, “Ako sam vidio dalje oddrugih, to je zato sto sam stajao na ramenima divova.“, pokazuje njegovu zahvalnostovog cjeloukupnog i progresivnog rasta matematike.Za vrijeme srednjih godina renesanse, trigonometrija je postala sustavna grana mate-matike sama za sebe, a ne kao sluskinja astronomiji. Cilj olaksavanja posla s komplici-ranim trigonometrijskim tablicama je bilo odgovorno za jedno od najvecih racunalnih

5

Razvoj matematicke analize 6

poboljsanja u aritmetici, izum logaritama John Napiera (1550.-1617.). Napier je radionajmanje 20 godina na teoriji koju je objasnio u svojoj knjizi Mirifici LogarithmorumCanonis Descriptio (Opis izvrsne tablice logaritama, 1614.). Rijetko je novo otkricedobilo tako univerzalno priznanje. Sa logaritmima, operacija mnozenja i dijeljenja semoze reducirati na zbrajanje i oduzimanje, i tako sacuvati ogromnu kolicinu racunanja,pogotovo kada su ukljuceni veliki brojevi. Astronomija je bila zloglasna zbog vremenaracunanja koje je nametala. Francuski matematicar Pierre de Laplace je kasnije tvrdio“Izum logaritama skracujuci rad, udvostrucio je zivot astronoma.“

1 Prethodnici infinitezimalnog racuna

Poceci infinitezimalnog racuna mogu se naci jos u antickom razdoblju. Egipcani suracunali volumen piramide bez vrha. Grci, Eudoks i Arhimed, koristili su metoduekshaustije, koja je metoda izracunavanja povrsine nekog oblika tako sto se u njegaubacuje niz poligona, cije povrsine konvergiraju prema povrsini cijelog oblika. Tu me-todu koristio je i Kinez Liu Hui u 3. stoljecu, da bi izracunao povrsinu kruga. Zenoniz Eleje je svojim paradoksima u 5. st. pr. Kr. prvi razmatrao pitanja beskonacnomalih velicina. U 5. stoljecu Cu Cungdzi koristio je metodu, koja ce se kasnije nazvatiCavalierijev princip za volumen sfere. Godine 499. indijski matematicar Aryabhata I.je racunao infinitezimalnim racunom i zapisao astronomski problem u obliku diferen-cijalne jednadzbe. Na temelju te jednadzbe, u 12. stoljecu Bhaskara je razvio nekuvrstu derivacije. Oko 1000. godine Ibn al-Haitam(al Basri) osmislio je formulu za svevrste cetvrtih potencija i time priredio put za integralni racun. U 12. stoljecu perzijskimatematicar Saraf al-Din al-Tusi otkrio je pravilo za odvajanje kubicnoga polinoma.U 17. stoljecu japanski matematicar Sinsuke Seki Kova dosao je do osnovnih spoznajainfinitezimalnoga racuna. Arhimed, oko 225. g. pr. Kr., dao je jedan od najznacajnijihgrckih doprinosa. Pokazao je da je povrsina koju zatvaraju parabola i pravac iznosi 4/3povrsine trokuta s istom bazom i vrhom, te 2/3 povrsine opisanog paralelograma. Ar-himed je konstruirao beskonacan niz trokuta pocevsi s jednim, a zatim stalno dodajucidalje trokute izmedu postojecih i parabole, te je dobio niz povrsina:

A,A+A

4, A+

A

4+A

16, A+

A

4+A

16+A

64, ...

Povrsina tog dijela izmedu parabole i pravca iznosi:

A(

1 +1

4+

1

42+

1

43+ ...

)=

4

3A


Slika 1. Arhimedov dijagram

Ovo je prvi poznati primjer konvergentnog reda.Arhimed je metodom ekshaustije pokusao pronaci pribliznu povrsinu kruga. To je biorani primjer “integracije“ koja je dovela do priblizne vrijednosti π. Medu ostalim inte-gracijama od Arhimeda su volumen i oplosje sfere, volumen i oplosje stosca, povrsinaelipse, volumen bilo kojeg segmenta paraboloida revolucije i segment hiperboloid revo-lucije.

Do 17. stoljeca u ovom podrucju nije ostvaren daljnji napredak. U to doba su pro-blemi iz mehanike potakli matematicare na rjesavanje problema kao sto je odredivanjetezista tijela. Luca Valerio (1552.-1618.) objavio je De quadratura parabolae u Rimu(1606.), gdje je nastavio koristiti grcke metode za racunanje povrsine segmenta pa-rabole. Johannes Kepler (1571.-1630.), u svom radu o gibanju planeta, morao jepronaci povrsinu odsjecka elipse. Njegova metoda sastojala se u promatranju danihpovrsina kao suma tankih linija (duzina) sto je drugi sirovi oblik integracije. Ta me-toda je bila bitno nepreciznija od grckih. Do godine 1615. Kepler je svojom metodomizracunao volumene i oplosja niza razlicitih rotacijskih tijela.

Tri matematicara, rodena u razmaku od tri godine, su napravili veliki doprinos. Tosu bili Fermat, Roberval i Cavalieri. Prvi stvarni doprinos integriranju dao je isusovacBonaventura Francesco Cavalieri (1598.-1647.) koji je na temelju Keplerove me-tode integriranja dosao do svoje metode nedjeljivih velicina (indivisibilibus), objavljeneu djelu Geometria indivisibilibus continuorum nova guadam ratione promot (1635.). Ninjegova metoda nije bila precizna i kasnije ju je kritizirao Huygens, tvrdeci da bi me-toda trebala biti takva da bar uvjerava da se dokaz da izvesti. Cavalierijeva ideja sesastojala od toga da duzina sadrzi beskonacno mnogo tocaka (svaka bez duljine), a ge-ometrijski lik od beskonacno mnogo linija (svaka bez sirine i povrsine). Na primjer, akotreba naci povrsinu pravokutnog trokuta, neka mu se jedna kateta sastoji od n tocaka(indivisibiles), a druga od njih na. Tada svakoj od tocaka na prvoj kateti vertikalnoodgovara po jedna tocka hipotenuze i te visine (“ordinate“) redom su a, 2a, . . . , na.

Stoga, cijela povrsina sadrzi a + 2a + ... + na = an(n+1)2

tocaka. Kako je n jako velik,

mozemo zanemariti 1 u brojniku te je povrsina an2

2, tj. pola produkta duljina kateta.

Iako je zakljucak tocan, ocigledna je neegzaktnost pristupa. Tom je metodom Cavalieri


izracunao povrsinu ispod krivulje y = xn od x = 0 do x = 1 (tj. odredeni integral1∫ 1

0xndx) za vise razlicitih n ∈ N i dobio tocan rezultat da ta povrsina iznosi 1

n+1.

Gilles Personne de Roberval (1602.-1675.) se takoder bavio slicnim problemima alije bio mnogo precizniji od Cavalierija. On je povrsinu promatrao kao zbroj povrsinabeskonacno tankih pravokutnika, sto je primjenio na povrsinu ispod krivulje y = xn od0 do 1 i dobio

0n + 1n + 2n + · · ·+ (k + 1)n

kn−1

Utvrdio je da se ta vrijednost za jako velike k priblizava prema 1n+1

i tako preciznijommetodom dobio isti rezultat kao Cavalieri.

Pierre de Fermat (1601.-1665.) jedan je od najvaznijih neposrednih prethodnikastvaranja infinitezimalnog racuna. Fermat je generalizirao parabolu

y

a=(xb

)2

na (ya

)m=(xb

)nte hiperbolu

y

a=b

xna (y

a

)m=( bx

)ni racunao odgovarajuce povrsine. Generalizirao je Cavalierijeve metode racunanjapovrsine ispod krivulja y = xn na n ∈ N, n 6= −1 (za n 6= −1 u to je doba opcenito bilopoznato da je povrsina ispod krivulje odgovarala prirodnom logaritmu). S druge strane,Fermat se bavio i problemima minimuma i maksimuma funkcija, te odredivanja tan-gente na krivulju te je zbog svojih otkrica dosao u sukob s Descartesom, koji je takoderrazvio jednu metodu odredivanja normala i tangenti. Fermatova metoda odredivanjatangente u biti se svodi na danasnju, ali bez deriviranja. Zbog tih je rezultata La-grange smatrao Fermata ocem diferencijalnog racuna. Fermatova metoda odredivanjamaksimuma svodi se na zamjenu varijable x malo vecom x+ e, izjednacavanje polaznei nove ovisnosti, te kracenje clanova s e.

Tu metodu mozemo opisati i na primjeru: na duzini duljine a trazimo tocku takvuda je umnozak njenih udaljenosti od oba kraja duzine maksimalan. Oznacimo li sa xudaljenost trazene tocke do jednog kraja, udaljenost do drugog je a− x. Funkcija cijise maksimum trazi odredena je formulom f(x) = x(a−x). Fermatova metoda je tada:

x(a− x) = (x+ e)(a− (x+ e))

1Integral je dobio taj naziv jer zbrajanjem beskonacnog broja malih dijelova dobivamo neku cjelinu.Naziv odredeni integral dao je Laplace, a naziv neodredeni integral potjece od S.-F. Lacroixa (1765.-1843.) dok je oznaku za integral uveo Leibniz po pocetnom slovu lat. rijeci summa. Formalno, boljebi bilo govoriti samo o integralu, pod cime mislimo na odredeni integral.


e2 + 2ex = ae

iz cega dijeljenjem s e dobijemoe+ 2x = a

Kako je e ≈ 0, Fermat zakljucuje da je rjesenje problema x = a2, tj. da je trazena

tocka poloviste duzine. Moze se primijetiti da se ovdje radi o eksplicitnom odredivanjustacionarne tocke funkcije, tj. o trazenju x takvog da je

lime→0

f(x+ e)− f(x)

e= 0.

Iako Fermat nije nikad potpuno precizirao ni formalizirao svoju metodu, ona je ubiti danasnja definicija derivacije: gornji postupak odredio je x takav da je za njegaderivacija funkcije f(x) = x(a− x) jednaka nuli, tj. da je za taj x tangenta na graf tefunkcije paralelna s x-osi. Pomocu svog malog prirasta e, koji je kad dijelimo s njim,razlicit od 0, ali kad ostane “sam“, zanemariv je, tj. izjednacen s 0, Fermat je izveo imetodu za odredivanje tangente. Da bi odredio tangentu u tocki krivulje s apscisom x,on gleda i tocku s apscisom x+e (dakle, sasvim malo desno od prve tocke), kao na slicidolje (Slika 2.). Tada su trokuti ABD i ACE slicni pa ako se sa s oznaci udaljenostod A do B, dobije se:

s

s+ e=

f(x)

f(x+ e)

Iz toga se izracuna da je:

s =ef(x)

f(x+ e)− f(x).

Slika 2. Metoda za odredivanje tangente

Kad se uvrsti konkretna jednadzba krivulje, pokrati e, te preostali e izjednaci s 0,dobije se priblizna vrijednost od s, tj. pozicija tocke A u odnosu na B ako zelimotangentu u D. Konkretno, za krivulju f(x) = x3 dobije se:

s =ex3

(x+ e)3 − x3=

ex3

3ex2 + 3xe2 + e3=

x3

3x2 + 3xe+ e2=

x3

3x2=x

3

Fermat svoje radove nije objavljivao, ali su mnogi matematicari bili upoznati s njimajer je on bio jedan od mnogih koji su komunicirali s opatom Marinom Mersenneom,


koji je poznatiji po svojim zaslugama za razvoj teorije brojeva.

U prvoj polovici 17. stoljeca niz matematicara je razvio vlastite metode odredivanjatangente kao sto su de Beaunne, Hudde i dr. Pascal se bavio odredivanjem povrsinavezanih za cikloidu2 i pri tom koristio pravilo parcijalne integracije.Evangelista Torricelli (1608.-1647.) odredio je povrsinu ispod cikloide i polozajtezista te povrsine. Pomocu svoje varijante infinitezimalnih metoda rijesio je problemkojeg je postavio Fermat poznatiji kao “Fermatov problem“. Trebalo je naci tocku utrokutu ciji je zbroj udaljenosti do vrhova minimalan. Danas se ta tocka zove Ferma-tova ili Torricellijeva tocka trokuta. Torricelli je dokazao da rotacija hiperbole y = 1

x

desno od x = 1 oko y-osi odreduje tijelo, tzv. Torricellijevu trubu, konacnog volu-mena i beskonacnog oplosja. Drugim rijecima, pokazao je da nepravi integral

∫∞1

1x2dx

konvergira. Takoder se bavio i problemima kretanja promjenjivom brzinom i vezombrzine i puta, kao i Isaac Barrow (1630.-1667.). Obojica su uocili da se brzina mozeodrediti iz puta i obrnuto. Tako se pocela razvijati svijest o medusobnoj inverznostideriviranja i integriranja.

Iznad svega, za matematicare sedamnaesto stoljece je bilo stoljece uspona za infini-tezimalni racun. Iako se izum racuna pripisuje dvojici briljantnih suvremenika, IsaacNewtonu (1642.-1727.) i Gottfried Leibnizu (1646.-1716.), veliki napredak u matema-tici su rijetko djelo jednog pojedinca. Cavalieri, Torricelli, Barrow, Descartes, Fermati Wallis su se takoder bavili ovim problemom. Isaac Barrow je primljen na TrinityCollege 1644. godine, gdje je diplomirao 1648. godine, te kasnije ostao raditi kaosuradnik na fakultetu. Buduci je bio izvrstan u grckom jeziku, teologiji, fizici i u astro-nomiji, Barrow je uredivao djela od Euklida, Arhimeda i Apolonija. Bio je nominiranod strane bivseg ucitelja za predavaca grckog jezika na Cambridgeu, ali je odbio tupoziciju. Protjeran iz Cambridgea 1655. godine, prodao je svoju knjiznicu i uputiose na cetverogodisnju turneju po istocnoj Europi, gdje je bio ukljucen u borbu protivgusara tijekom putovanja morem iz Italije do Turske. Dok je zivio u Carigradu razvioje interes prema spisima ranih crkvenih otaca. Po povratku u Englesku 1660. godine,primio je Sveti Red te je bio nagraden za profesorsko mjesto koje mu je prethodnoodbijeno. Placa za taj posao je bila mala, ali dvije godine kasnije njegovo zvanje jeprosireno te je prihvatio imenovanje u profesora geometrije na Gresham Collegeu uLondonu. Na tom polozaju je ostao kratko te su ga prebacili na Lucasian Chair naCambridgeu. Kako je sam objasnio: “Ima mnogo znanstvenika koji bi dostojno preuzeliduznosti profesora grckog jezika, pa ne vidim razlog zasto ja ne bi trebao slijediti svojesklonosti ka necemu.“ Isaac Barrow 1663. godine se cini kako je inspiriran Newtonovimrazvojem matematickih snaga koje su ga dovele da razvije svoju akademsku karijeru.Barrow, sa samo 33 godine je smatran jednim od najistaknutijih matematicara tog raz-doblja. Njegova istrazivanja na izradi tangente na krivulji i na utvrdivanju podrucjaomedenog krivuljama skoro ga je dovelo do izuma racuna. Barrow, je pokrenuo re-dovne nizove opcih uvodnih predavanja tijekom njegova mandata kao profesora. Jedanod njegovih studenata bio je Isaac Newton, student predodreden da postane najvecimatematicar kojeg je Engleska ikada “proizvela“. Barrowova predavanja iz godine1664.-1666. objavljena su posthumno 1683. kao Lectiones Mathematicae. Medutim,

2Cikloida je krivulja odredena kao putanja tocke na rubu kruznog kotaca koji se kotrlja po pravcu.


njegov Lectiones Opticae (1669.) i Lectiones Geometricae (1670.) bili su tiskani gotovoodmah, gdje Newton pomaze u pripremi. Njegov Lectiones Geometricae predstavljenje u 13 predavanja, kao zbirka teorema koja se bavi crtanjem tangente na krivuljui pronalazenjem duljine krivulje i povrsina omedenih po njima. Njegova metoda zaodredivanje tangente do tocke P na krivulji daje polinomijalnu jednadzbu f(x, y) = 0koja se koristi u danasnjem infinitezimalnom racunu.

On je primijetio da se tangenta moze dobiti ako su neke druge tocke poznate, naprimjer tocka T zeljene tangente bi trebala sjeci x-os. Barrow je uzeo tocku Q na kri-vulji, u neposrednoj blizini prve tocke P , a crtanjem paralele koordinatnih osi izgradenje mali pravokutni trokut PQR (koji je nazvao diferencijalni trokut). Primijetio jeslicnost u trokutima PQR i PTM pa dobio:

TM

MP=QR

RP

Zamjenjujuci QR = e i RP = a, slijedi da je (x, y) koordinata tocke P te tada tockaQ ima koordinate (x− e, y − a). Konacno, T se moze odrediti pomocu duzine TM :

OT = OM − TM = OM −MP(QRRP

)= x− y

(ea

)

Slika 3. Barrowov diferencijalni trokut

Lectiones Geometricae je bila na kulminaciji 17. st. istrazivanjem infinitezimalnogracuna. Barrowova metoda tangente sve je vise slicila procesu deriviranja, ali on nijevidio neki dublji znacaj.John Wallis (1616.-1703.) je bio najutjecajniji engleski matematicar prije Newtona.On je bio profesor geometrije na Oxfordu, a takoder se bavio kriptografijom i povijescumatematike. Iz grupe znanstvenika s kojima se redovno sastajao ubrzo je nastalodrustvo Royal Society, a sudjelovao je i u razvitku metode za gluhonijeme osobe. Osimsto se bavio matematikom, takoder se bavio i filozofijom, teologijom, logikom te engle-skom gramatikom. Proucavao je Cavalierijeve, Keplerove, Robervalove, Torricellijeve iDescartesove metode te je na osnovu njih razvio preciznije metode koje su neposredniprethodnici modernog integralnog racuna. U svom glavnom matematickom djelu Arit-hmetica infinitorum (1656.) izracunao je

∫ 1

0(1 − x2)ndx za n ∈ N na temelju Cavali-

erijeve metode. Pokusavajuci tu povrsinu izracunati za n = 12

razvio je jednu metodu


interpolacije (upravo je on prvi koristio taj pojam), koju ce kasnije Newton iskoristitiza svoj opci binomni teorem. U spomenutom se djelu nalazi i nedokazana formula:

π

2=

2

1· 2

3· 4

3· 4

5· 6

5· 6

7· 8

7· 8

9· ... =

22 · 42 · 62 · ...32 · 52 · 72 · ...

=+∞∏i=1

( 2i

2i+ 1

)2

Wallis je uveo znak ∞ u djelu De setionibus conicis (1655.). Tako je do sezdesetihgodina 17. st. stvoren niz radova o problemu tangenti, mjerenju duljine krivulja,izracunavanju povrsina i volumena koji stvaraju “kriticnu masu“ iz koje ce Newton iLeibniz stvoriti infinitezimalni racun, tj. analizu beskonacno malih velicina.

2 Newtonove “Zlatne godine“

Dok je Newton bio prisiljen zivjeti u osami kod kuce, poceo je postavljati temelje zasvoja buduca postignuca u podrucjima s kojima je njegovo ime povezano, a to su cistamatematika, optika i astronomija. Tijekom dvije “zlatne godine“ na Woolsthorpeu,Newton je imao tri otkrica, od kojih je svaka sama po sebi bila izvanredna “figura“u povijesti moderne znanosti. Prvi izum je bila matematicka metoda koju je nazvaofluksija, koja je danas poznata kao diferencijalni racun. Drugi izum je bila analiza bijelesvjetlosti (sunca) u svjetlu razlicitih boja. Trece otkrice je bila koncepcija zakonauniverzalne gravitacije. Ova tri otkrica su nastala prije nego je napunio 25 godina.Pozivajuci se na to razdoblje slobodnog vremena i tisine, Newton je kasnije napisao,“Sve to je bilo u dvije godine, 1665. i 1666., kad je bila i kuga, jer u to vrijeme sambio u najboljim godinama svojih godina za izum i istomisljenika matematike i filozofije(fizike) vise nego u bilo kojem vremenu.“

Nakon sto nije imao ni vremena ni zelje da se ukljuci u kontroverzu, Newton sepovlaci iz javnog svijeta znanosti. Tek nakon smrti Hookea 1703. godine odlucio jene objavljivati opce racune njegove optike. Tijekom sljedecih nekoliko godina Newtonje posvetio najveci dio svog vremena optici i matematici. Proucavajuci Wallisovovodjelo Arithmetica Infinitorum (1664.-1665.), on je otkrio opci binomni teorem, odnosnoprosirenje (a + b)n, gdje n moze biti djelomicni ili negativni eksponent. (Osim kad jen pozitivni cijeli broj, sto je rezultiralo prosirenjem beskonacnih nizova.) On je prviizrazio formulu i dao ideju koja ga je dovela do toga. To je objavio 12 godina kasnije(1676.) u pismima koja je slao tajniku Royal Societya, Henryu Oldenburgu. Ta supisma prevedena na latinski te proslijedena Leibnizu, koji je bio u svojoj ranoj borbisa svojom verzijom infinitezimalnog racuna te pitao za informacije o Newtonovom raduna beskonacnim nizovima.

U prvom pismu Oldenburgu (Epistola Prior, lipanj 1676.), formula, odnosno pravilo,kako ga je Newton nazvao, bio je napisan u obliku

(P + PQ)mn = P

mn +

m

nAQ+

m− n2n

BQ+m− 2n

3nCQ+

m− 3n

4nDQ+ ...

u kojem svaki od A, B, C i D oznacava pojam koji neposredno prethodi, to jest, Apredstavlja P

mn , B predstavlja m

nAQ, i tako dalje. Newtonovo pismo, i njegovi izracuni


opcenito su upotrijebljavali negativne i djelomicne eksponente, koji su nakon tog vre-mena postali opce priznata praksa. On je napisao: “Kao sto su analiticari, umjestoaa,aaa itd navikli na pisanje a2, a3,itd, pa umjesto

√a,√a3 ,√a5,itd, ja pisem a

12 , a

32 ,

a52 , te umjesto 1

a, 1a2

, 1a3

, ja pisem a−1, a−2, a−3, itd.“

Wallis je ranije napravio tablice onoga sto bi danas pisali kao∫ 1

0(1−x2)ndx za odredeni

pozitivni cijeli broj n, ali mu je procjena od∫ 1

0(1 − x2)

12dx izmakla. Ipak, za izrazito

razradenu i tesku analizu, dosao je izvanredni izraz za 4π

u obliku beskonacnog pro-izvoda:

π

4=

∫ 1

0(1− x2)

12dx

1=

2 · 4 · 4 · 6 · 6 · 8 · · ·3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · · ·

Newton je uvidio da promjenom Wallisove gornje granice u integralu za varijablu x(on nije imao znak za integral, ali je definirao integral kao granicu niza suma), a zatimtrazio opci uzorak. Obzirom na prosirenje moderni ekvivalenti su:∫ x

0

(1− t2)dt = x− 1

3x3

∫ x

0

(1− t2)2dt = x− 2

3x3 +

1

5x5

∫ x

0

(1− t2)3dt = x− 3

3x3 +

3

5x5 − 1

7x7

∫ x

0

(1− t2)4dt = x− 4

3x3 +

6

5x5 − 4

7x7 +

1

9x9

Newton je primjetio da prvi clan svakog izraza je x, a taj x se povecava neparno, te dase algebarski znakovi clanova izmjenjuju, a u drugom smislu 1

3x3, 2

3x3, 3

3x3 i 4

3x3 su u

aritmetickom rastu. Analogno, on pretpostavlja da su prva dva clana od∫ x

0(1− t2)

12dt

trebala biti

x−12

3x3

Daljnji pokusaji za prepoznavanje uzorka za interpolaciju iz specificnih slucajeva dovelisu ga do: ∫ x

0

(1− t2)12dt = x−

12

3x3 −

18

5x5 −

116

7x7 −

5128

9x9 − . . .

Brojnici 12,−1

8, 1

16i − 5

128su samo

(n1

),(n2

),(n3

)i(n4

)za konkretni slucaj kad je n = 1

2u

opcoj formuli:

∫ x

0

(1− t2)ndt = x−(n

1

)1

3x3 +

(n

2

)1

5x5 −

(n

3

)1

7x7 +

(n

4

)1

9x9 − . . .


gdje je (n

k

)=n(n− 1)(n− 2) · · · (n− k + 1)

1 · 2 · 3 · · · k

Drugim rijecima, Newton je utvrdio da je binomni koeficijent tog oblika namijenjen zaneintegralne vrijednosti, te posebno on koristi koeficijent(

12

k

)=

12(−1

2)(−3

2) · · · − (k − 3

2)

1 · 2 · 3 · · · k

Iz ovoga, Newton je zakljucio da se deriviranjem dobiva izraz:

(1− x2)12 = 1− 1

2x2 − 1

8x4 − 1

16x6 − 5

128x8 − · · · ,

te provjerio ispravnost mnozenjem prethodnih nizova samim sobom, clan po clan, kakobi dobio 1− x2.

Cudno da je Newton izveo binomno prosirenje u integralnom obliku, tj.∫ x

0(1− t2)

12dt,

prije nego je shvatio da je isti oblik sacuvan u (1− x2)12 ako iz izraza za

∫ x0

(1− t2)12dt

nazivnike 1, 3, 5, 7, 9,... izostavi i svaki eksponent smanji za 1. Newton nikad nijeobjavio svoj binomni teorem niti ga je dokazao u potpunosti. Binomni teorem je pos-tao nasiroko poznat preko privatnih krugova, ali se to ne uzima u obzir sve dok se nijepojavio u tiskanom izdanju 1685. godine.

Slika 4. Isaac Newton (1642.-1727.)

Isaac Newton (1642.-1727.), britanski filozof, smatra se najoriginalnijim i najutjecaj-nijim teoreticarom u povijesti znanosti. Pored otkrica racuna beskonacnosti i noveteorije prirode svjetlosti i boja, Newton je postavljanjem tri zakon kretanja i opcimzakonom gravitacije temeljito promijenio osnovnu strukturu fizike. Kao jedan od po-kretaca znanstvene revolucije u 17. stoljecu, Newtonov rad povezao je radove mnogihslavnih fizicara poput Kopernika, Keplera, Galilea i Descartesa u novu mocnu teoriju.


Tri stoljeca poslije, klasicna mehanika ostaje izuzetno korisna i nista manje elegantnakao i tada.Isaac Newton roden je kao nedonosce na Bozic 1642. godine u Woolsthorpeu, zase-oku u blizini Granthama u Lincolnshireu. Roden nakon smrti svog oca, nepismenogmaloposjednika (takoder imena Isaac), Isaac Newton je kao novorodence bio tolikomalen da bi stao i u omanju zdjelu. S nenavrsenih tri godine, njegova ga je majka,Hanna Ayscough, ostavila na brizi svojoj majci ne bi li se mogla ponovno udati i podicidrugu obitelj s Barnabasom Smithom, bogatim zupnikom obliznjeg North Withama.Na Newtonov je zivot uvelike utjecalo njegovo prerano rodenje, duga odvojenost odmajke kao i izrazita mrznja njegova ocuha. Cak i nakon povratka Hannae Ayscough uWoolsthorpe, 1653. godine, nakon smrti drugog supruga, Newton nije mogao zadobitimajcinu paznju i njeznost, zbog cega je vjerojatno i razvio tako kompleksan karakter.Newtonovo djetinjstvo bilo je sve samo ne lijepo. Tijekom zivota stalno je bio na rubuemocionalnog sloma. Poznati su slucajevi kada je zestoko i osvetoljubljivo napadao iprijatelje i neprijatelje. Iste godine kada mu se majka vratila u Woolsthorpe, Newtonje prestao odlaziti u skolu ne bi li ispunio svoje nasljedno pravo da postane farmer.Srecom, u tom je zanimanju bio izrazito neuspjesan pa se ubrzo vratio u kraljevskuskolu u Granthamu, gdje se pripremio za Trinity College u Cambridgeu. Postoje mnogeanegdote o tom periodu Newtonova zivota. Ipak, prekretnica u Newtonovom zivotuzbila se u lipnju 1661. godine kada je napustio Woolsthorpe i upisao sveuciliste Cam-bridge. Tada je Newton usao u novi svijet, svijet koji ce uskoro zvati svojim.Iako je Cambridge bio izuzetan centar znanja, duh znanstvene revolucije jos nije usaou staromodni i pomalo zastarjeli kurikulum. Malo se zna o Newtonovom studentskomzivotu, ali lako je pretpostaviti kako je ucio mnogo o Aristotelu kao i drugim klasicnimautorima. Nadalje, po svemu sudeci nije se pretjerano isticao od ostatka studentskogtijela. Godine 1664. Isaac Barrow, profesor matematike na sveucilistu Cambridge, ispi-tao je Newtonovo poznavanje euklidske geometrije i ocijenio ga jedva zadovoljavajucim.Danas znamo kako je tijekom studija Newton bio zaokupljen privatnim radom, na svojuruku je ovladao radovima Rene Descartesa, Pierre Gassendia, Thomasa Hobbesa i dru-gih znacajnih osoba znanstvene revolucije. Serije biljeznica dokazuju kako je Newtonpoceo savladavati Descartesovu geometriju i druge forme matematike, daleko napred-nije od Euklidovih Elemenata. Barrow, koji je i sam bio darovit matematicar, trebaoje tek prepoznati Newtonovu genijalnost.

Godine 1665. Newton je polozio ispit za prvostupnika na sveucilistu Cambridge. Diplo-mirao je s pohvalama. Buduci je sveuciliste bilo zatvoreno naredne dvije godine zbogkuge, Newton se vratio u Woolsthorpe. Nakon povratka, u samo 18 mjeseci Newtonje ostvario niz znanstvenih otkrica. U matematici, Newton je postavio svoju metodutijeka odnosno racun beskonacnosti, postavio osnove teorije prirode svjetlosti i boje,ostvario znacajan napredak u proucavanju planetarnog gibanja to ce kasnije, 1687. go-dine objaviti u svojoj najpoznatijoj knjizi Principia.

U travnju 1667. godine, Newton se vratio na Cambridge gdje je u tijesnoj utrci dobiomjesto znanstvenog novaka na Trinityu. Uspjeh je popratilo i poprilicno bogatstvo.Sljedece je godine magistrirao umjetnost, a 1669. (prije navrsenog 27. rodendana)naslijedio je Isaaca Barrowa na mjestu profesora matematike. Nova su mu zaduzenjaomogucila organizaciju njegovih prijasnjih istrazivanja optike. Godine 1672., nedugo


nakon sto je primljen u Kraljevsko drustvo (Royal Society), objavio je svoj prvi znans-tveni rad. Bio je to briljantan i kontroverzan rad o prirodi boja. U prvoj od serijezestokih rasprava, Newton se suocio s cijenjenim znanstvenikom Robertom Hookeom.Kontroverza koja je trajala sve do 1678. godine ostavila je traga na Newtonovomponasanju. Nakon pocetnog okrsaja, Newton se polako povukao. Usprkos tomu,Newton je 1675. godine izdao jos jedan clanak kojim je ponovno privukao paznjuznanstvene javnosti. Naime, zbog tog je clanka optuzen za plagiranje rada samog Ho-okea. Optuzbe su bile potpuno neosnovane. Nakon sto se opekao po drugi put, Newtonse ponovno povukao.

Godine 1678. Newton je pretrpio ozbiljan emocionalni slom, a sljedece godine muje umrla i majka. Newton se ogradio od svijeta i ljudi i posvetio istrazivanju alkemije.Iako se kasnije taj rad smatrao sramotnim, Newton je tijekom alkemicarske faze izu-zetno ozbiljno proucavao osnovne sile u prirodi. Zahvaljujuci upravo tom radu uspioje postaviti znacajna teoretska promisljanja, nesto sto nije mogao u okrilju filozofijemehanike. Dok je filozofija mehanike svodila sve fenomene u prirodi na model tijelau gibanju, filozofija alkemije je predvidala mogucnost postojanja pojava privlacenja iodbijanja na cesticnoj razini. Osnove Newtonovog kasnijeg rada na podrucju meha-nike svemira mogu se dovesti u vezu s njegovim poznavanjem alkemije. Kombinirajucipokuse i duboka matematicka promisljanja, Newton je preobrazio filozofiju mehanikedodajuci joj novu i tajanstvenu, ali zato mjerljivu velicinu: silu gravitacije.

Istovremeno, u kavanama Londona, Hooke, Edmund Halley i Christopher Wren ne-uspjesno su pokusavali rijesiti problem gibanja planeta. U kolovozu 1684. godineHalley je napokon posjetio Newtona na Cambridgeu, nadajuci se odgovoru na sljedecuzagonetku: “Kojeg je oblika putanja po kojoj se krecu planeti kada obilaze oko Sunca,ukoliko se gibaju pod djelovanjem privlacne sile koja opada s kvadratom udaljenosti? “Cim je postavio pitanje, Newton je spremno odgovorio: “Elipticna.“ Kada ga je Halleyzatrazio objasnjenje, Newton je rekao kako je to vec izracunao. Iako je Newton u pri-vatnosti vec pronasao odgovor na jednu od zagonetki svemira, a samo je on i posjedovaopotrebne matematicke vjestine za takav pothvat, matematicki je dokaz negdje zamet-nuo. Na kraju rasprave, Newton je Halleyu obecao poslati nov matematicki izvod. Kaodjelomicno ispunjenje svog obecanja, Newton je nedugo poslije, 1684. godine objaviosvoj slavni rad De Motu. Iz tog je rada kasnije nastalo njegovo najpoznatije djeloPhilosophiae Naturalis Principia Mathematica. Radi se o mozda najznacajnijem djeluu cijeloj povijesti znanosti, a treba naglasiti kako su znacajan doprinos nastanku togdjela ostvarili i Hooke i Halley. Iako je Principia u znanstvenim krugovima docekanas odobravanjem, buducnost ovog djela bila je upitna i prije tiskanja. Hooke je i ovdjeodigrao kljucnu ulogu tvrdnjama, koje i nisu bile potpuno neosnovane, kako ima pravona dio Newtonovih zasluga zbog pisama koje su razmijenili 1679. i 1680. godine. Nje-gov je trud ipak bio uzaludan. Newton je bio toliko bijesan da je prijetio povlacenjemtrece knjige Principia te da ce se odreci znanosti kao sto bi se odrekao “drske i svadljivezene“. Kada se napokon smirio, Newton je pristao na objavu. Ipak, umjesto priznanjaHookeova doprinosa, Newton je izbrisao svaki spomen Hookeova imena u djelu. Mrznjaprema Hookeu potpuno ga je obuzela zbog cega je odbio objaviti svoju Optiku i gotovose potpuno povukao iz rada Kraljevskog drustva sve do nakon Hookeove smrti 1703.godine.


Nakon objave Principia, Newton se poceo vise baviti javnim poslovima. Godine 1689.izabran je za predstavnika Cambridgea u Parlamentu. Tijekom svog boravka u Lon-donu upoznao je slavnog filozofa Johna Lockea i Nicolasa Fatio de Duilliera, briljantnogmladog matematicara koji mu je postao bliski prijatelj. Godine 1693. Newton je pre-trpio jos jedan zivcani slom, ali nimalo slican onomu iz 1677. i 1678. godine. Uzrokovog zivcanog sloma podlozan je razlicitim interpretacijama: previse rada, stres zbogkontroverzi s Hookeom, neobjasnjen prekid prijateljstva s Fatiom, mozda kronicno tro-vanje zivom zbog trogodisnjeg bavljenja alkemijom. Vjerojatno je svaki faktor imaosvoj utjecaj. Sve sto zapravo znamo jest da su Locke i Samuel Pepys primili cudna i uz-nemirujuca pisma zbog kojih su se zabrinuli za “uravnotezenost Newtonova uma“. Bezobzira na uzrok, ubrzo nakon oporavka Newton je potrazio novo namjestenje u Lon-donu. Godine 1696., uz pomoc Charlesa Montaguea, kolege s Trinitya i kasnijeg grofaod Halifaxa, Newton je imenovan Upraviteljem riznice. Novo mu se namjestenje tolikosvidjelo da je bez zadrske napustio Cambridge i preselio u London. Tijekom boravkau Londonu Newton je uzivao u moci i priznanju drustva. Njegovo mu je zaposlenjeosiguralo lagodan zivot i drustveni status i to ne bez pokrica jer se naime pokazao kaoizuzetno aktivan i sposoban upravitelj. Nakon Hookeove smrti 1703. godine, Newton jeizabran za predsjednika Kraljevskog drustva. Na tu su ga funkciju opetovano izabiralisvake godine sve do njegove smrti.

Godine 1704. objavio je svoje drugo veliko djelo, Optiku, zasnovano uglavnom naradu starom i nekoliko desetljeca. Godine 1705. dodijeljen mu je status viteza. Iako sunjegove kreativne godine prosle, Newton je i dalje imao velik utjecaj na razvoj znanosti.Kraljevsko je drustvo bilo njegov instrument, a koristio ga je i za vlastiti napredak.Vrijeme kada je Newton bio predsjednik Kraljevskog drustva opisuje se kao vrijeme ti-ranije i autokracije. Njegova kontrola nad zivotima i karijerama mladih ucenika bila jeneupitna i potpuna. Newton nije podnosio prigovore i kontroverzu, sto se jasno vidi i iznjegova sukoba s Hookeom. U kasnijim raspravama, u vrijeme kada je bio predsjednikKraljevskog drustva, uzivao je neospornu kontrolu nad drustvom pa je tako na primjerobjavio Flamsteedova astronomska opazanja, njegovo zivotno djelo, bez dopustenja sa-mog Flamsteeda. Isto je ucinio i sa svojom raspravom o aritmetici, koju je vodio saznamenitim Leibnizom. Newton je za izravan rat rijecima koristio mlade kolege, dok jeon u pozadini planirao napad i obranu. Rad Kraljevskog drustva se na kraju pretvoriou provodenje Newtonove volje. Sve do svoje smrti, Newton je neosporno dominiraoznanstvenom scenom toga vremena. Umro je u Londonu, 20. ozujka 1727. godine(neki izvori navode 31. ozujka kao tocniji datum).


2.1 Razvoj Newtonove metode fluksija

Leibniz je sumnjao je ali nije mogao biti siguran da je Newtonov ekvivalentan pris-tup jedan daleko vise geometrijski orijentiran. Taj razvoj se pojavio 1665.-1666., kadje Newton bio u svojim dvadesetima, u istom razdoblju u kojem je otkrio binomniteorem. Vecina Newtonova ranijeg rada vezana za infinitezimalni racun je sazeta umalu raspravu od nekih 30-ak stranica koje pokrivaju stvari kao sto su tangencijalnost,zakrivljenosti, sredista gravitacije te prostor. Djelo, kojemu Newton nikada nije daoodreden naslov, a poznat je u literaturi kao Trakt, nastao je u listopadu 1666. go-dine. Trazeci uzorak tablicnih vrijednosti od

∫ x0

(1 + t)−1dt, on je pokazao da povrsinapravokutne hiperbole (x+ 1)y = 1 iznosi

z = x− x2

2+x3

3− x4

4+x5

5− . . . ,

sto je razvoj u red za prirodni logaritam od 1 + x. Uz djecacki zanos, Newton je poka-zao svoju novostecenu numericku sposobnost za izracunavanje tog izraza, za odredenevrijednosti x, za poprilicno veliki broj decimalnih mjesta (cak 68 decimalnih mjesta,koristeci niz kroz uvjete koji ukljucuju x25). Sredinom 1669., Newton je naisao na djeloN.Mercatora Logarithmotechnia (1668.). Prva dva dijela knjige su posveceni tablici za-jednickih logaritama, treci dio sadrzi razne formule za aproksimaciju logaritama, odkojih je jedan Newtonov za redukciju log(1 + x) na beskonacni red

log(1 + x) = x− x2

2+x3

3− x4

4+x5

5− . . .

Osjecajuci potistenost da ga je Mercator pretekao u publiciranju, Newton, potaknutzeljom da zastiti svoj prioritet u pojedinim temama, uzurbano radi na pisanju svojihranijih istrazivanja o prosirenim nizovima. Dobiveni sazetak je predan Isaac Barrowu.Do ljeta iste godine, Barrow je prenio odusevljenje matematicaru John Collinsu, “Mojprijatelj je izvrstan genije za te stvari, neki dan mi je donio neke svoje radove, gdje jepostavio metodu izracunavanja dimenzija za velicine poput one od gospodina Mercatorakoje se odnose na hiperbolu, ali opcenitije.“ Ovi radovi postali su dio De Analysi perAequationes Numero Terminorum Infinitas (Analiza jednadzbi neogranicena na brojnjihovih uvjeta). Ovaj rad je trebao uvjerit Barrowa da preporuci Newtona kao nje-gova nasljednika na profesorsko mjesto.

De Analysi pocinje pravilom, bez dokaza, za racunanje povrsine ispod krivulje y =axm/n:

“Za bazu AB neke krivulje AD, neka ordinata BD bude okomita i nekase AB zove x i BD y. Neka a, b, c, . . . budu zadane velicine i m,n cijelibrojevi. Tada imamo:

Pravilo 1. Ako axm/n = y, tada je nam+n

x(m+n)/n = povrsini ABD.


Slika 7. Pravilo 1.

Buduci je x koordinata od A nula, Newton je tocno procijenio integral∫ x

0atm/ndt.

Kasnije u De Analysi, on je razradio dokaz za Pravilo 1. Newton pretpostavlja da jeimao krivulju i da je povrsina ispod krivulje dana s

z =

(n

m+ n

)ax(m+n)/n (1.1)

Ako je o beskonacno povecanje za x, tada ce nova apscisa biti x + o, a povecanje upovrsini (podrucje omedeno krivuljom, x-osi i ordinatom na x+ o) ce biti

z + oy =

(n

m+ n

)a(x+ o)(m+n)/n (1.2)

gdje je oy povecanje po kojem se povrsina povecava. Newton je tada primijenio bi-nomno prosirenje na desnoj strani jednadzbe, oduzimajuci (1.1) od (1.2), podijelio s o,i odbacio uvjete koji jos uvijek sadrze o, te dosao do rezultata

y = axm/n.

On je to izrekao i obrnuto, ako krivulja gdje je y = axm/n, povrsina ispod nje cebiti:

z =

(n

m+ n

)ax(m+n)/n.

Iako se Newtonu cinilo da je shvatio odnos izmedu diferencijacije i integracije, nejasnoje to tvrdio. Nije bilo objasnjenja kada se potencije od o mogu zanemariti u izracunu.

Nakon mnogo uvjeravanja, Barrow je uvjerio svog “ucenika“ da dopusti Collinsu uvidu De Analysi. Collins je brzo podijelio kopije medu svojim poznanicima, uglednimmatematicarima, prije nego je original vratio Newtonu. Iako je Collinsova zelja bilaponuditi raspravu medijima sto prije, Newton je vec ranije zapoceo odvazniju shemusirenja De Analysi u sveobuhvatni racun njegova infinitezimalnog racun. Do 1671. go-dine, projekt je izrastao u De Methodis Serierum et Fluxionum. Izmedu 1671. i 1676.godine, Newton je pokusao srediti tisak ovog vaznog rada, bilo kao raspravu potpuno osebi samoj ili kao dodatak jednom od svojih predavanja, no nijedan pokusaj nije uspiojer su knjiznicari mislili da je trziste malo za ozbiljna matematicka izdanja. Prvi put sepojavilo 65 godina kasnije, tj. 1736. godine Johna Colsona pod nazivom The Methodof Fluxions and Infinite Series, a 1744. godine je ponovno prevedeno na latinski jezikpod nazivom Methodus Fluxionum et serierum Infinitarum. U meduvremenu, sustinarukopisa Methodus Fluxionum et serierum Infinitarum je otkrivena privatno zaintere-siranima, i azurirana u De Quadratura Curvarum (pripremljena u razdoblju od 1601.- 1693.) koji su oblikovali u dodatak izdanju Newtonove optike iz 1704. godine.

U osnovi, radi se o odredivanju brzine iz puta i obrnuto, a najveca Newtonova zas-luga je to sto je uocio medusobnu povezanost tih dviju operacija. Newton zamisljacesticu koja se giba po krivulji u pravokutnom koordinatnom sustavu, a njene brzine


(horizontalnu x i vertikalnu y) naziva fluksijama tekucih velicina (fluensa) x i y, pri-druzenih fluksu (toku) vremena. Ukoliko je putanja opisana krivuljom f(x, y) = 0,onda je y

xkoeficijent smjera tangente na tu putanju. Za odredivanje brzine tj. tan-

gente koristi Barrowovu ideju o tangenti kao limesu sekanti. Inverzni se problem sastojiu odredivanju ordinate y iz poznavanja veze izmedu apscise x i omjera vertikalne i ho-rizontalne brzine y

x. Taj je problem Newton takoder rijesio (koristeci razvoj funkcija u

redove potencija) i tako uz deriviranje otkrio i antideriviranje tj. neodredeni integrali njihovu medusobnu inverznost (osnovni teorem infinitezimalnog racuna). Uocio je ida se antideriviranjem mogu odrediti povrsine te da su problemi povrsine, volumenai duljine luka istovrsni. Vezu izmedu fluksija i kvadrature pokazao je u prilogu svogdjela o optici iz 1704. godine.

Slika 8. Racunanje derivacije Newtonovom metodom

Svoje oznake je dosta mijenjao, ali najcesce su x za dxdt

, x za antiderivaciju od x, o za dti xo za dx (takve oznake koristi u tekstovima iz 1692. godine). Newtonovo objasnjenjeopceg postupka za nalazenje odnosa izmedu povrsine ispod krivulje i njene ordinate(veza izmedu integrala i derivacije) mozemo opisat na primjeru. Pretpostavimo da seradi o krivulji u (x, y)-ravnini i neka je sa z oznacena povrsina ispod krivulje (koja jecijela iznad x-osi i prolazi kroz ishodiste) u nekim granicama od x = 0 do x. Neka jez2 = 4

9x3. Pomaknemo li desnu granicu za mali iznos o, povrsina se povecava i postoji

pravokutnik s bazom o = |Bb| i visinom v = |bd| cija je povrsina jednaka povecanjupovrsine (Slika 8.). Tada je

(z + ov)2 =4

9(x+ o)3

iz cega slijedi

2zv + ov2 =4

9(3x2 + 3xo+ o2).

Ako je o “beskonacno mali“, onda je v ≈ y, pa je 2zy ≈ 43x2 odnosno y ≈

√x (tj.

z =∫ x

0t1/2dt). Iz postupka je vidljivo da se radi o racunanju derivacije z po varijabli

x, a vidi se i inverznost integriranja i deriviranja. Ovakvim je nacinom Newton anali-zirao niz krivulja i tako dobio prvu tablicu integrala.

Kljucni korak u Newtonovom pristupu deriviranju i integriranju je dodavanje malogprirasta o varijabli x i pripadnog malog prirasta ov povrsini z, a zatim ponistavanje pri-rasta o te prijelaz s v na y. Ocigledna je i srodnost s Fermatovim pristupom. Newton je


ovu metodu koristio i u diskusijama ekstrema, tangenti i zakrivljenosti krivulja. U kas-nijim radovima reformulirao je svoje argumente u terminima fluenta i fluksija. Omjerefluksija (koeficijent smjera tangente na krivulju), Newton nalazi na slican nacin. Takoprimjerice za krivulju

x3 − ax2 + axy − y3 = 0

promjena x u x+ ox i y u y + oy daje

(x3−ax2+axy−y3)+o(3x2x+3xox2+o2x3−2axx−aox2+axy+ayx+aoxy−3y2y−3yoy2−o2y3) = 0.

Uzevsi u obzir jednadzbu krivulje slijedi

o(3x2x− 2axx+ ayx+ axy − 3y2y + 3xox2 + o2x3 − aox2 + aoxy − 3yoy2 − o2y3) = 0,

iz cega dijeljenjem s o 6= 0 dobivamo:

3x2x− 2axx+ ayx+ axy − 3y2y + 3xox2 + o2x3 − aox2 + aoxy − 3yoy2 − o2y3) = 0.

Zanemarujuci clanove s o jer su vrlo mali dobivamo:

3xx2 − 2axx+ ayx+ axy − 3yy2 = 0

te jey

x=

3x2 − 2ax+ ay

3y2 − ax.

Vec su Newtonovi suvremenici primjetili nedostatke ovog pristupa: dodaju se prirastikoji su skoro nula, ali nisu nula, i tokom istog racuna nekad se tretiraju kao brojevikoji nisu nula (u slucaju kad s njima dijelimo), a nekad kao nula (kad neke clanove snjima zanemarujemo). Jedan od najpoznatijih kriticara infinitezimalnih velicina kakoih je predstavio Newton bio je biskup George Berkeley, koji je postavio niz pita-nja vezanih za logicku opravdanost Newtonovog pristupa. Temeljem takvih pitanjanastavak razvoja teorije derivacija i integrala bit ce usmjeren na opravdanje rezultatakoji ocigledno funkcioniraju. To ce biti postignuto tek pocetkom 19. stoljeca, kad suegzaktno definirani limesi.


3 Gottfried Leibniz: Rasprava o infinitezimalnom

racunu

Izum infinitezimalnog racuna bio je jedan od velikih intelektualnih postignuca 17. sto-ljeca. Prema rijetkoj slucajnosti matematicke povijesti dvojica matematicara dosli sudo ideje i to gotovo istodobno. Newtonove metode infinitezimalnog racuna u Engleskoji Leibnizovog na kontinentu bile su toliko slicne da se postavilo pitanje je li Leibnizposudio Newtonove kljucne koncepte ili ih istrazio samostalno, sto je razvilo velike igorke rasprave. Spekulacije oko glavnih protagonista bile su iznimno stetne, pa je svenasilje kroz stetne optuzbe i protuoptuzbe utjecalo na to da niti jedan od njih nije us-pio sacuvati ugled neunistiva sjaja. Kada su se plagijati poceli javno kaznjavati, odborRoyal Society (Kraljevsko Drustvo) pozvao je na rjesavanje ovaj najzamorniji znans-tveni spor. Rijesen je, nimalo iznenadujuce, u korist drustvenog predsjednika Newtona.

Slika 5. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646.-1716.)

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646.-1716.) roden je u sveucilisnom gradu Leipziguoko dvije godine prije Vestfalskog mira. Njegov otac, pravnik i profesor moralne fi-lozofije na sveucilistu, umro je kad mu je bilo 6 godina. Kao rezultat toga, mladiLeibniz je ostao bez smjernica za svoj studij. Njegov svijet je bio svijet knjiga. Vec kaodjecak Leibniz pokazuje izuzetne lingvisticke sposobnosti - u dvanaestoj godini vladalatinskim jezikom tako da pise stihove. Nakon latinskog naucio je i starogrcki te jemogao u originalu citati klasike, narocito Aristotela. Vladao je takoder i francuskimjezikom koji je bio treci jezik na kome je objavljivao svoje rasprave (njemacki, latinskii francuski). Ne samo da je sam naucio latinski i grcki nego je potpuno samoinicija-tivno jos kao djecak na sveucilistu u Leipzigu slusao predavanja poznatog retoricara ipovjesnicara filozofije Jackoba Tomazija. Citao je redom sve sto mu je doslo pod ruku,


a otac mu je nakon smrti ostavio veliku biblioteku s djelima Galileja, Campanelle, Pla-tona, Aristotela, Hobbesa, Bacona, Descartesa i mnogih drugih velikih umova ranijihepoha.

U jesen 1661. godine, na isti datum kad je Newton dosao na Cambridge, Leib-niz je postao student na Sveucilistu u rodnom gradu, Leipzigu. Sa samo 15 godinau to vrijeme, bio je smatran cudom od djeteta, a ubrzo je nadmasio sve svoje suvre-menike. Sa jedva 17 godina, Leibniz je diplomirao u Leipzigu 1663. godine, nakonobrane teze o tocki filozofije. Odslusao je ljetni semestar na Sveucilistu u Jeni, gdjeje pohadao predavanja matematike, onda se vratio u Leipzig i posvetio studiju pravate stekao stupanj magistra vec sljedece godine. Leibniz je dobio mjesto predavaca naFilozofskom fakultetu u Leipzigu, za koje se kvalificirao radom Disputatio Arithmeticade Complexionibus, koji je prosiren u Ars Combinatoria (1666.). Intenzivno razvija te-oriju permutacija i kombinacija u svrhu izrade logickog zakljucivanja. Stovise, Leibnizje predlozio da se osmisli racun koji bi dao metodu automatskog rjesenja za sve pro-bleme koji bi se pojavili u strucnom jeziku tog racuna. Leibnizovo putovanje u Parizse oduzilo, te je ostao ondje od 1672. do 1676. godine. Pariz je bio glavni intelektualnigrad Europe gdje je Leibniz stupio u kontakt s mnogo znanstvenika. Najvazniji jebio veliki nizozemski znanstvenik Christiaan Huygens, koji je zivio u Parizu od 1666.godine sve do 1681. godine. Kada je Newton otisao na Cambridge, on je studirao podvodstvom Isaaca Barrowa, jednog od najistaknutijih matematicara tog razdoblja, alimatematicko znanje koje je Leibniz dobio u Leipzigu bilo je daleko od odgovarajuceg.Tijekom jednog od njegovih ranijih sastanaka s Huygensom, Leibniz je tvrdio da onmoze naci sumu bilo kojih beskonacnih nizova ciji su uvjeti formirani od strane nekihpravila (pod uvjetom da niz mora konvergirati). Huygens, koji je zelio odmah testiratimladica, predlozio mu je da pokusa odrediti sumu reciprocnih trokutastih brojeva:

1

1+

1

3+

1

6+

1

10+

1

15+ · · ·+ 2

n(n+ 1)+ . . .

Koristeci drugaciji nacin pisanja izraza kao sume druga dva koristeci:

2

n(n+ 1)= 2( 1

n− 1

n+ 1

)

Leibniz je bio u mogucnosti dobiti sumu koju je Huygens zahtijevao. Za

1

1+

1

3+

1

6+

1

10+

1

15+ · · · =

2

1 · 2+

2

2 · 3+

2

3 · 4+

2

4 · 5+ · · · =

2(

1− 1

2

)+ 2(1

2− 1

3

)+ 2(1

3− 1

4

)+ · · · = 2

U nekoliko navrata Leibniz je rekao da ga je do izuma infinitezimlanog racuna do-velo vise proucavanje Pascalovih spisa nego bilo sto drugo. Ovih nekoliko godina uParizu bile su najintenzivnije kreativno razdoblje Leibnizova zivota, tijekom kojih je


rastao od pocetnika do zrelog matematicara. Leibniz je bio u mogucnosti priznati dase proslavio alternativnim nizom koji nosi njegovo ime,

π

4= 1− 1

3+

1

5− 1

7+

1

9− 1

11+ . . .

Cini se da je Leibniz nasao formulu ovog niza 1673. godine, ali formula je bila poznatai mladom skotskom matematicaru Jamesu Gregoryu (1638.- 1675.) 1671. godine. Toje elegantna formula za n, ali niz konvergira presporo za racunalne potrebe. Newtonje istaknuo to, te je poslao Leibnizu (preko Oldenburga) varijantu tog izraza:

π

2√

2= 1 +

1

3− 1

5− 1

7+

1

9+

1

11− 1

13− 1

15+ . . .

3.1 Leibnizovo stvaranje infinitezimalnog racuna

Leibniz je procvao u matematickog genija za vrijeme boravka u Parizu od 1672.-1676.godine. Ovo razdoblje kreativnosti podsjeca na Newtona u njegovim “Zlatnim go-dinama“ 1664.-1666. godine na Woolsthorpeu. Za to vrijeme, on je razvio glavneznacajke i obiljezja svoje verzije infinitezimalnog racuna. Izumio je razne metode zaodredivanje tangente na odredene vrste krivulja, ali jos nitko nije napravio poznatislicni postupak za rjesavanje inverznog problema, to jest, nastajanje jednadzbe kri-vulje iz svojstava tangenti. Leibniz je naveo inverzni tangentni problem ovako: “Dabiste pronasli mjesto funkcije, odredite geometrijsko mjesto tocaka funkcije, ako je poz-nato geometrijsko mjesto podtangente.“ Do sredine 1673. godine, on se bazirao na is-trazivanju ovog problema, u potpunosti priznajuci da je “gotovo cijela teorija inverznemetode tangenti svesti ju na kvadraturu tj. integraciju.“

Buduci da se Leibniz i dalje borio s notacijom za njegov racun, nije cudno da su tirani izracuni bili nespretni. Ili je izrazio rezultate u retorickom obliku ili je koristiokratice, kao sto su “omn“ sto na latinskom Omnia (“sve“) znaci “zbroj“. Slovo l jebilo koristeno kao simbol onoga sto bismo trebali pisati kao dy, “razlika dvije susjednekoordinate“. U rukopisu od 29. listopada 1675. godine, koji nikad nije objavljen,Leibniz je napravio simbolicko povezivanje izravnog i inverznog problema tangente. Utom eseju Leibniz je pisao o teoremu koji je dobio geometrijskim razmatranjem:

Imamo teorem koji mi se cini divan, i jednom ce biti od velike koristi za tajnovi racun, naime,

omn.l2

2= omn.omn.l

l

aza bilo koji l.

Horizontalne povlake su koristene umjesto nasih zagrada, a konstanta a (sto bi bilodx ) ovdje je jednaka 1. Leibniz je napomenuo: “Ovo je vrlo dobar teorem, i jedan kojinije nimalo ocigledan.“ Odmah poslije toga, naveo je jos jedan teorem iste vrste:

omn. xl = x omn. l − omn. omn. lTa jednadzba bila je od povijesne vaznosti, jer je ovdje Leibniz prvi uveo simbol

∫,

izduzeni oblik slova S za “sumu“. U sredini eseja, rekao je: “Bit ce korisno pisat∫

zaomn. pa je tako

∫l = omn. l ili suma svih l“. Dakle,


∫l2

2=

∫ ∫ll

ai

∫xl = x

∫l −∫ ∫

l

Dakle, u nasoj notaciji infinitezimalnog racuna, on je pokazao da je

1

2

(∫dy)2

=

∫ (∫dy)dy i

∫xdy = xy −

∫ydx

Leibniz jos nije poceo koristit diferencijal u znaku integrala, ali postoji jos jedan ru-kopis, napisan nekoliko tjedana nakon prethodnog eseja (21. studenoga), u kojem jepopravio svoju notaciju za pisanje

∫f(x)dx, ova notacija je izravni potomak moder-

nog oblika integrala. Kasnije, u istom rukopisu od 29. listopada, Leibniz je istrazivaosuprotnosti infinitezimalnog racuna, te opaza dvojnu prirodu procesa integracije i de-rivacije:

Za dani l, i njegovu relaciju prema x, pronaci integral l. To je sadrzano udvojnosti racuna, to jest, pretpostavimo da

∫l = ya. Neka je l = ya/d, i

kako ce se∫

povecavati, d ce smanjivati dimenzije. Ali∫

oznacava sumu,a d razliku. Za dani y uvijek mozemo naci y/d ili l, tj. razliku y. Zato sejedna jednadzba moze pretvoriti u drugu.

Simbol d koji je Leibniz prvotno stavio u nazivnik, najvjerovatnije zbog analogijeprocesa dijeljenja, u radu napisanom 1. studenog, 3 dana kasnije, zamijenio je y/dpoznatim dy, koji se tada cinio vise primjerenim te ga je zadrzao u svim svojim kasni-jim radovima.

Leibniz je kasnije istrazivao osnovne algoritme infinitezimalnog racuna, posebno gdjeje d(xy) jednak dx dy i gdje je d(x/y) jednak dx/dy. U rukopisu od 11. studenog, on jezakljucio da izrazi nisu isti, iako on nije mogao dati tocnu vrijednost svakog od njih.Deset dana kasnije, tocno je odredio pravilo produkta i u srpnju 1677. godine daopravilo kvocijenta. U slucaju produkta Leibniz je oduzeo xy od (x+dx)(y+dy) i odba-cio pojam dx dy s napomenom da je “izostavljanjem velicina dx dy, koja je beskrajnomalena u usporedbi s ostatkom, jer se pretpostavlja da dx i dy su beskonacno mali,ostavit ce x dy+y dx“. Sve je to, naravno, bez dokaza. Da bi pronasao diferencijalkvocijenta z=x/y, Leibniz je stavio x=zy i koristio pravilo produkta: dx=z dy+y dz stodovodi do

dz =dx− zdy

y=dx− (x/y)dy

y=ydx− xdy

y2

Do studenog 1676. godine, takoder je bio u stanju izreci pravilo d(xn) = nxn−1dx zaintegralne i nepotpune vrijednosti od n. Leibniz je istragu o infinitezimalnom racunutemeljio na necemu sto je on nazivao “karakteristicni trokut“. Isaac Barrow je koristiokarakteristicni trokut u Engleskoj, ali prema Leibnizovom vlastitom nahodenju, inspi-racija za njegovo koristenje je dosla iz citanja Pascalovih radova. Za krivulju y = f(x),karakteristicni trokut je pravokutni trokut cije su stranice PQ(= dx), QR(= dy) i PR,dio tangente na krivulji u tocki P. Leibniz je napomenuo da je karakteristicni trokutslican trokutu PVW kojeg cine normala n, subnormala σ, i ordinata y na mjestu do-dira, ali je takoder slican trokutu PV U kojeg cine tangenta t, subtangenta s i ordinatay. Iz slicnosti trokuta i karakteristicnog trokuta PVW dobiva:


dy

σ=dx

yili σdx = ydy

Slika 6. Karakteristicni trokut

Sto se tice dx i dy kao beskrajno malih velicina te njihovim zbrajanjem, Leibniz jedosao do rezultata ∫

σdx =

∫y dy

Kako bi rijesio odredeni problem (11. studenog), pretpostavio je da subnormala trebabiti obrnuto proporcionalna ordinati, to jest σ = a2/y i dobio je y3/3 = a2x te jekrivulja sa danim svojstvom kubna parabola.Za drugu primjenu, Leibniz je koristio cinjenicu kako je karakteristicni trokut vrlomali, a tetiva PR se moze smatrati iste duljine kao i duljina ds krivulje. Buduci jekarakteristicni trokut slican trokutu PVW ,

n

ds=

y

dxili y ds = n dx

Zbrajanjem je Leibniz dobio: ∫y ds =

∫n dx

formulu za plohu koja nastaje rotacijom pocetne krivulje oko x-osi. U ovom neza-boravnom nizu rukopisa, simboli dx(pocetni x/d) i

∫f(x)dx su izgradili Leibnizov

infinitezimalni racun.Ovdje je bilo malo novih otkrica, Newtonova omalovazavajuca presuda je bila da “nitijedan ranije nerijesen problem nije rijesen“, ali je razvijen formalizam koji je pomo-gao sistematizirati i generalizirati razlicite stare geometrijske rezultate. Njegov novizamisljeni simbolizam je oslobodio infinitezimalni racun geometrije te omogucio Leib-nizu da postigne rezultate bez mnogo napora.Leibniz je postupno razradio svoj diferencijalni i integralni racun, ali ga nikad zapravonije zasnovo na pojmu limesa. Njegov diferencijal omjera dy/dx se uvijek smatrao kaokvocijent “razlike“, a njegov sastavni integral jednostavno kao zbroj.


Prvi istaknuti matematicar koji je sugerirao da je teorija limesa temelj u infinitezimal-nom racunu je bio Jean d’Alembert (1717. -1783.). D’Alembert je napisao vecinumatematickih clanaka sabranih u dokumentu Encyclopedie (28 svezaka, 1751.-1772.),te u clanku pod naslovom “Differentiel“ (svezak 4, 1754.) kaze “diferencijacija jed-nadzbi se sastoji u pronalazenju limesa omjera kojeg cine konacne razlike dviju varijabliu jednadzbi“. Drugim rijecima, on je dosao do izraza derivacije kao limesa kvocijentaprirasta ili kako bismo to napisali:

dy

dx= lim

∆x→0

∆y

∆x

Nazalost, d’Alembertovoj razradi koncepta za limes nedostajalo je preciznosti.


4 Formalizacija infinitezimalnog racuna

Braca Jacob i Johann Bernoulli (1654.-1705 tj. 1667.-1748.) neposredni su nas-tavljaci Leibnizova djela. Oba su komunicirala s Leibnizom, posebno Johann kojije zasluzan za naziv integriranja. Braca Bernoulli su se bavila diferencijalnim jed-nadzbama i redovima; po Jacobu je nazvana Bernoullijeva diferencijalna jednadzbay′ = p(x)y + q(x)yn, koju je rijesio 1696. godine, dok je Johann poznat po uvodenjupojma separacije varijabli. Oba su brata poznati i uspjesni matematicari. Jacob je poz-nat po rezultatima iz teorije vjerojatnosti, dok je Johanna vise zanimala matematickaanaliza tj. posljedice Leibnizovog diferencijalnog i integralnog racuna. Godine 1692.Johann je u Parizu sreo Guillaume Francois Antoine Marquis de l’Hopitala(1661.-1704.) te ga poducio Newton-Leibnizovom infinitezimalnom racunu. Na os-novi tih predavanja 1696. godine l’Hopital je objavio prvi udzbenik infinitezimalnogracuna. U toj se knjizi nalazi pravilo koje je danas poznato kao l’Hopitalovo pravilokoje olaksava izracunavanje mnogih limesa.U 18. stoljecu vise znamenitih matematicara dalo je velike rezultate u infinitezimalnomracunu. Tu posebno treba istaknuti Eulera, d’Alemberta i Lagrangea. U to se dobapocinje kristalizirati i pojam funkcije. Taj pojam prvi su koristili Leibniz i JohannBernoulli u svom dopisivanju. Bernoulli je u jednom svom pismu Leibnizu rekao da jefunkcija velicina koja je na neki nacin formirana iz neodredenih i konstantnih velicina.Leibniz je bio suglasan s takvom upotrebom jer je i sam slicno shavacao taj pojam.Prvi koji je pojam funkcije postavio kao temeljni matematicki pojam bio je svicarskimatematicar Leonhard Euler (1707.-1783.). U djelu Introductio in analysin infini-torum (1748.) funkciju definira ovako: Funkcija varijabilne velicine je analiticki izrazkoji je na bilo kakav nacin sastavljen od te varijabilne velicine i brojeva ili konstantnihvelicina. Funkcije je razvrstavao po raznim kriterijima: na algebarske i transcendentne.Iz danasnje perspektive najveci problem s njegovim pojmom funkcije je sto ne razlikujefunkciju od njenog zapisa formulom. Euler je bio jedan od prvih matematicara kojisu se bavili parcijalnim diferencijalnim jednadzbama te se smatra i zacetnikom opceteorije diferencijalnih jednadzbi. Uveo je beta-funkciju i gama-funkciju, metodu Eule-rovog multiplikatora u rjesavanju diferencijalnih jednadzbi, itd. Poznat je i po tome stoje uveo matematicke oznake i za imaginarnu jedinicu, e za bazu prirodnog logaritma if(x) za formule funkcija.Jean le Rond d’Alembert (1717.-1783.) najvise se bavio diferencijalnim jednadzbamai njihovom primjenom u fizici. Posebno je zasluzan za matematicku analizu jer je je-dan od prvih koji je pokusao postici jasnocu u pojmu limesa i derivacije. Derivaciju jedefinirao kao limes kvocijenta prirasta, no sam pojam limesa ipak nije razjasnio. Od1739. godine poceo je objavljivati matematicke znanstvene radove. Zivot je proveou Parizu i postigao veliki matematicki ugled iako je cesto bio upetljan u razne su-kobe jer je bio sklon svadama sa svima. Poznat je i po svojim doprinosima fizici, npr.po d’Alemebertovom principu u mehanici, no on je bio matematicar pa je mehanikushvacao kao podrucje matematike.Francuski matematicar Joseph-Louis Lagrange (1736.-1813.), iako porijeklom Tali-jan, za matematiku je pokazao interes dosta kasno, no svi njegovi interesi su bili usmje-reni na infinitezimalni racun i njegovu primjenu na matematicku fiziku. Godine 1787.je objavio svoje najpoznatije djelo Mecanique analytique. U tom djelu je sazeo svumehaniku nakon Newtona i reformulirao je koristeci diferencijalne jednadzbe te je tako


klasicna Newtonova mehanika transformirana u vise matematicku Lagrangeovu meha-niku. Lagrange je posebno zbog fizike razvio sustavnu teoriju diferencijalnih jednadzbi.Osobito su vazni njegovi pokusaji preciziranja pojma derivacije. U tu svrhu pretposta-vio je da se svaka funkcija moze razviti u Taylorov red te je derivacije definirao prekokoeficijenata tog razvoja. Kao osnovnu relaciju istaknuo je f(x+h) = f(x)+hf

′(x)+hd

koja vrijedi kad su h i d blizu nule. Pomocu nje je dokazao da funkcija s pozitivnomprvom derivacijom u x raste na nekom intervalu oko x, dokazao je Lagrangeov teoremsrednje vrijednosti, Lagrangeov oblik ostatka Taylorovog reda, itd. Takoder je zanim-ljivo spomenuti da oznake f ′(x), f ′′(x), . . . za derivacije funkcije dugujemo Lagrangeu.Konacnu formalizaciju diferencijalnog racuna postigao je Augustin Louis Cauchy(1789.-1857.). On je bio vrlo dobar matematicar i napisao je mnogo djela iz razlicitihpodrucja matematike, tocnije 789 radova. Njemu zahvaljujemo za suvremene ε − δformulacije u matematickoj analizi, s tim da je on suvremene ε − δ definicije limesaizrazio rijecima. Bernhard Bolzano (1781.-1848.) je nekoliko godina prije Cauchyjakoristio ε− δ formulacije u pokusaju definiranja neprekidnosti funkcija, no njegov radnije postao poznat za njegova zivota. Cauchy je pitanje konvergencije preveo na jezikalgebre nejednadzbi. Maclaurin je pisao da je suma reda granica njegovih parcijalnihsuma, no ta formulacija kod Cauchyja postaje preciznija: za svaki ε > 0 moze se nacin takav da je za sumu vise od n pocetnih clanova reda razlika izmedu ukupne i tesume manja od ε. Iz takve definicije sume reda Cauchy je izveo dokaz konvergencijegeometrijskog reda za kvocijente koji su po apsolutnoj vrijednosti manji od 1 i zatimusporedivanjem drugih redova s geometrijskim dokazao razne kriterije konvergencije.On je takoder, definirao i neprekidnost funkcije: funkcija f je neprekidna na nekomintervalu ako za sve x iz tog intervala f(x+ α)− f(x) neograniceno opada s α (premanuli). Svoju definiciju neprekidnost je koristio u dokazu teorema o meduvrijednosti zaneprekidne funkcije tj. ako je funkcija neprekidna na intervalu [b, c] i ako je f(b) > 0i f(c) < 0, onda za neki x iz tog intervala vrijedi f(x) = 0. Derivaciju je definiraoovako: ako su ε i δ vrlo mali i ako je δ takav da je za sve h < δ i za svaki promatrani x

f ′(x) + ε >f(x+ h)− f(x)

h> f ′(x)− ε,

onda je broj f ′(x) derivacija funkcije f u x. Cauchy se bavio i preciziranjem pojmaintegrala. Pojam funkcije pokusao je odvojiti od analitickih izraza Jean BaptisteJoseph Fourier (1768.-1830.): Opcenito, funkcija f(x) predstavlja slijed vrijednostiordinata od kojih je svaka proizvoljna. Ako je zadano beskonacno mnogo vrijednostiapscisa x, onda imamo jednako mnogo ordinata f(x). Sve one imaju konkretnu nu-mericku vrijednost, bilo pozitivnu ili negativnu ili nula. Ne pretpostavljamo da teordinate podlijezu zajednickom pravilu, one slijede jedna iza druge na bilo kakav nacini svaka je dana kao da je jedina. Fourierovu definiciju je prihvatio Johann PeterGustav Lejeune Dirichlet (1805.-1859.) te na temelju nje definirao neprekidnostfunkcije u modernom smislu. Dirichlet je dao i primjer funkcije definirane na intervalukoja ima prekid u svakoj tocki intervala. To je Dirichletova funkcija f : [0, 1] → Rzadana s f(x) = 1 za racionalne i f(x) = 0 za iracionalne x. Uz Leibniza i Newtonanajpoznatije ime koje je bilo vezano za integrale je i Riemann. Georg Friedrich Ber-nhard Riemann (1826.-1866.) je precizno definirao uvjete kad funkcija ima integral,tj. kada integralne sume iz Cauchyjeve definicije konvergiraju. Ti uvjeti su danaspoznati kao uvjeti Riemann-integrabilnosti funkcije. Pronasao je primjer funkcije koja


ima beskonacno mnogo prekida, ali je Riemann-integrabilna: to je funkcija definiranas

f(x) =+∞∑n=1

(nx)

n2

gdje je s (nx) = nx−m(nx) za slucaj da nx nije polovina neparnog broja, a (nx) = 0inace. S m(nx) oznacen je cijeli broj koji je najblizi broju nx. Godine 1872. KarlTheodor Wilhelm Weierstrass (1815.-1897.) je dao primjer neprekidne funkcijekoja nigdje nije derivabilna i koja je danas poznata kao Weierstrassova funkcija, te jezadana s

f(x) =+∞∑n=0

an cos(bnπx)

uz 0 < a < 1 i b ∈ N neparan takve da je ab > 1 + 32π.

Kasnije je Weierstrass dokazao da je svaka neprekidna funkcija definirana na segmentulimes uniformno konvergentnog niza polinoma tj. moze se aproksimirati polinomom.Taj teorem je danas poznat kao Stone-Weierstrassov teorem. Iako je objavljivao radova,poznat postaje clankom Zur Theorie der Abelschen Funktionen objavljenim u casopisuCrelle’s Journal 1854. godine. Nakon tog clanka dobio je pocasni doktorat sveucilistau Konigsbergu. Cauchy je zasluzan za ε − δ oblik definicije limesa funkcije, ali ga jeizrazio rijecima. Suvremeni oblik te definicije dao je Weierstrass koji je uveo i oznakelim i limx→x0 . Oznaku

limx→x0

uveo je Hardy 1908. godine.

Poglavlje 2

Diferencijalni i integralni racundanas

1 Gradivo u srednjoj skoli

Izucavanje matematike nastavlja se u srednjoskolskom obrazovanju, kojemu je cilj stje-canje temeljnih matematickih znanja nuznih za nastavak daljnje izobrazbe, razvijanjelogickoga misljenja i zakljucivanja, matematicke intuicije, maste i stvaralastva, stje-canje navika i umijeca, kao sto su sistematicnost, ustrajnost, preciznost i postupnost,usvajanje metoda matematickog misljenja koje se ocituje u preciznom formuliranjupojmova i algoritamskom rjesavanju problema, stjecanje sposobnosti matematickogaoblikovanja i predocavanja problema.

Nastava matematike u gimnaziji treba pokazati cvrsto poznavanje i razumijeva-nje srednjoskolske matematike, intuitivno znanje i razumijevanje temeljnih koncepata,principa, teorija i rezultata

• elementarne, analiticke i konstruktivne geometrije,

• diferencijalnog i integralnog racuna realnih funkcija jedne i vise varijabli,

• linearne algebre,

• kombinatorike i teorije grafova, vjerojatnosti i statistike,

• diferencijalnih jednadzbi i numericke matematike

Nastava matematike ucenicima treba omoguciti:

• razvoj pozitivnog stava prema matematici i interesa za nju, te samopouzdanja uvlastiti matematicki potencijal

• prihvacanje matematike kao smislene aktivnosti i njene primjene kao korisnogalata u raznim situacijama - svakodnevnom zivotu i zanimanju

31

Diferencijalni i integralni racun danas 32

• uvid u povijest matematike i razvoj razumijevanja za njenu vaznu ulogu u razlicitimkulturama i djelatnostima

• razvoj vjestina i sposobnosti logickog misljenja, zakljucivanja i generaliziranja, tematematicke argumentacije

Opce matematicke kompetencije koje bi ucenici trebali razviti do kraja srednjoskolskogobrazovanja trebale biti sljedece:

• matematicka argumentacija

• sposobnost rjesavanja problema pomocu matematike i modeliranje

• matematicki jezik i komunikacija

• pozitivan stav prema matematici i odgovornost za vlastiti napredak u matematici

Sto se tice gradiva vezanog za diferencijalni i integralni racun koji se obraduje u srednjojskoli to su cjeline koje se obraduju u 4. razredu:

1. NIZOVIPojam niza. Zadavanje nizova. Monotoni nizovi. Omedeni nizovi. Limes niza.Teoremi o limesima. Aritmeticki niz. Geometrijski niz. Beskonacni geometrijskired.

2. FUNKCIJEPojam funkcije. Parne i neparne funkcije. Peridodicne funkcije. Kompozicijafunkcija. Inverzna funkcija. Podrucje definicije funkcije. Pojam funkcionalnejednadzbe.

3. PROBLEM IZRACUNAVANJA POVRSINEArhimedova metoda ekshaustije. Povrsina kruga. Povrsina trokuta. Povrsinaispod luka parabole. Logaritamska krivulja i povrsina ispod luka krivulje y = 1/x.Povrsina ispod grafa monotone funkcije.

4. DERIVACIJAProblem brzine i problem tangente. Tangenta na graf polinoma treceg stupnja.Tangenta na krivulju. Derivacija funkcije u tocki. Derivacija zbroja, razlike,umnoska i kvocijenta funkcija. Derivacija slozene funkcije. Derivacija trigono-metrijskih funkcija. Derivacija inverzne funkcije. Derivacija eksponencijalnih ilogaritamskih funkcija. Neke primjene derivacija.

5. INTEGRAL I PRIMITIVNA FUNKCIJAIntegral funkcije. Primitivna funkcija. Newton-Leibnizova formula. Primjenaintegrala na izracunavanje povrsina. Volumeni rotacijskih tijela. Diferencijalnejednadzbe za prirodni rast, odnosno pad. Primjena derivacija i integrala u fizici.

Napomena:U programu za prirodnoslovno-matematicku gimnaziju treba dodati u poglavlju ve-

zanom za derivacije: Derivacije viseg reda. Taylorov razvoj polinoma. Aproksimacijafunkcije pomocu Taylorova polinoma. Ekstremi polinoma II. i III. stupnja. Lokalniekstremi funkcija pomocu derivacije drugog reda. Monotone funkcije i derivacija. Kri-terij za stroge lokalne ekstreme funkcije pomocu prve derivacije. Primjena derivacije ugrafickom prikazivanju funkcija.


1.1 Primjena i veza s drzavnom maturom

Matematika na drzavnoj maturi koja ima veze s diferencijalnim i integralnim racunomse pise na visoj razini u zadacima produzenih odgovora gdje ucenici trebaju prika-zati svoj postupak rjesavanja. Takoder, bitno je napomenuti da na drzavnoj maturinema integralnog racuna, nego samo diferencijalni racun. Zadaci su svake godine istogtipa, npr. odrediti koordinate sjecista grafa funkcije s osi apscisa, derivirati funkciju,a funkcija je uvijek neki jednostavni polinom, odrediti intervale rasta ili pada funkcije,odrediti ekstreme funkcije te na kraju nacrtati graf funkcije. Primjer takvog zadatkaje naveden i rjesen ispod, a ukupan broj bodova koji se moze postici rjesavanjem ovogzadatka je ukupno 10 bodova.

Drzavna matura 2010./2011. (ljetni rok)

Zadatak Zadana je funkcija f(x) = x3 − 3x2.

a) Odredite nultocke funkcije i koordinate tocke T grafa kojoj je apscisa 1.

b) Derivirajte funkciju f .

c) Odredite lokalne ekstreme funkcije f .

d) Odredite jednadzbu tangente na graf funkcije u tocki T (−1, y).

e) Nacrtajte graf te funkcije rabeci rezultate prethodnih podzadataka.

Rjesenje

a) Odredite nultocke funkcije i koordinate tocke T grafa kojoj je apscisa 1.f(x) = x3 − 3x2 = x2(x− 3)x2(x− 3) = 0x1 = 0 x2 = 3T =? T (1, y)f(1) = 13 − 3 · 12 = 1− 3 = −2y = −2⇒ T (1,−2)

Odgovor: nultocke: x1 = 0, x2 = 3, tocka: T (1,−2).

b) Derivirajte funkciju f .f(x) = x3 − 3x2

f ′(x) = 3x2 − 6xOdgovor: f ′(x) = 3x2 − 6x.

c) Odredite lokalne ekstreme funkcije f .3x2 − 6x = 03x(x− 2) = 0x1 = 0 x2 = 2 stacionarne tockef ′′(x) = 6x− 6f ′′(0) = −6 < 0 ⇒ MAX M(0, f(0)) ⇒ M(0, 0)f ′′(2) = 6 · 2− 6 = 6 ⇒ min m(2, f(2))f(2) = 23 − 3 · 22 = 8− 12 = −4 ⇒ m(2, 4)Odgovor: maksimum: M(0, 0), minimum: m(2,−4).


d) Odredite jednadzbu tangente na graf funkcije u tocki T (−1, y).f ′(−1) = 3(−1)2 − 6(−1) = 3 + 6 = 9f(−1) = (−1)3 − 3(−1)2 = −1− 3 = −4T (−1,−4)t . . . y − y1 = f ′(−1)(x− x1)y + 4 = 9(x+ 1)y = 9x+ 5Odgovor: y = 9x+ 5.


Slika 9. Graf funkcije f(x) = x3 − 3x2

Jos neki primjeri zadataka koji su se pojavili na drzavnoj maturi prethodnih godina:

Drzavna matura 2009./2010. (zimski rok)

Zadatak Zadana je funkcija f(x) = 18(x− 3)(x2 − 24).

a) Odredite koordinate sjecista grafa funkcije s osi apscisa.


c) Odredite lokalne ekstreme funkcije f .


d) Odredite jednadzbu tangente na graf funkcije u tocki kojoj je apscisa jednakax = −4.


Drzavna matura 2009./2010. (jesenski rok)

Zadatak Zadana je funkcija f(x) = (x2 − 5x+ 4)(x− 1).

a) Odredite sjeciste grafa funkcije s koordinatnim osima.


c) Odredite interval/intervale rasta funkcije f .

d) Odredite lokalne ekstreme funkcije f .


Drzavna matura 2009./2010. (ljetni rok)

Zadatak Zadana je funkcija f(x) = −14(x2 − 16)(x+ 1).

a) Odredite koordinate sjecista grafa funkcije s osi apscisa.


c) Odredite interval/intervale rasta funkcije f .

d) Odredite lokalne ekstreme funkcije f .


Drzavna matura 2010./2011. (jesenski rok)

Zadatak Rijesite sljedece zadatake s funkcijama.

a) Zadana je funkcija f(x) = 2x − 8.Odredite podrucje definicije funkcije f .Odredite nultocku funkcije f.Izracunajte f(−5). Rezultat zapisite u decimalnom obliku i zaokruzite ga na 3decimale.

b) Odredite prvu derivaciju funkcije f(x) = x sinx.

c) Za koji realan broj x funkcija f(x) = x3

3− x2

2− 6 postize lokalni minimum?


2 Nadogradnja gradiva na studiju matematike

Svi oni koji su izabrali visokoskolsko obrazovanje iz matematike po uspjesnom zavrsetkustudija trebaju:

• pokazati intuitivno i formalno znanje i razumijevanje temeljnih koncepata, prin-cipa, teorija i rezultata:

– srednjoskolske matematike,

– diferencijalnog i integralnog racuna realnih funkcija jedne i vise varijabli ikompleksnih funkcija,

– linearne algebre i algebarskih struktura,

– kombinatorike i teorije grafova, vjerojatnosti i statistike,

– diferencijalnih jednadzbi i numericke matematike

• pokazati sposobnosti matematickog misljenja, zakljucivanja i argumentiranja,narocito:

– razumjeti i interpretirati matematicki dokaz,

– poznavati metode dokazivanja, dokazivati analogne tvrdnje,

– povezivati razlicite koncepte i rezultate i primjenjivati ih;

• pokazati vjestine racunanja i koristiti matematicke procedure i algoritme vezaneuz usvojene matematicke koncepte;

• analizirati i rijesiti matematicke probleme vezane uz usvojene matematicke kon-cepte i modelirati situaciju izvan matematickog konteksta.

U prvom sveucilisnom ciklusu prvostupnik pokazuje znanje i razumijevanje u po-drucju studija, koje se nadograduje na opce srednjoskolsko obrazovanje i, uz pomocnaprednijih udzbenika, tipicno je na razini koja ukljucuje neke aspekte suvremenihznanja iz podrucja studija.U drugom sveucilisnom ciklusu studenti pokazuju znanje i razumijevanje kojepociva na prvom stupnju, ali ga prosiruje i/ili produbljuje, te tako osigurava temelj ilimogucnost za originalni razvoj i/ili primjenu ideja, cesto u istrazivackom kontekstu.


3 Diferencijalni racun

Diferencijalni racun je nastao iz potrebe da se rijese neki problemi kao sto je problemtangente na krivulju koji datira od starih Grka, problem maksimalne i minimalne vri-jednosti funkcije, fizikalni problem brzine materijalne tocke itd. Ovaj racun se razvijai formalizia tek od druge polovice 17. stoljeca, a njegovo otkrice pripisuje se IsaacNewtonu (1642. - 1727.) i Gottfried Lebnizu (1646. - 1716.).

3.1 Derivacija funkcije

Definicija D.1 Neka je f : (a, b) → R funkcija. Kazemo da je funkcija f diferenci-jabilna u tocki x0 ∈ (a, b), ako postoji α ∈ R, takav da je:

limx→x0

f(x)− f(x0)− α(x− x0)

x− x0

= 0. (2.1)

Pri tome funkciju (x− x0) 7→ α(x− x0) zovemo diferencijal funkcije f u tocki x0, afunkciju l(x) = f(x0) +α(x− x0) zovemo linearni aproksimant od f u okolini tockex0.Realan broj α iz Definicije D.1 postoji onda i samo onda ako postoji limes

limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

.

Pri tome takav α je jedinstven i vrijedi:

α = limx→x0

f(x)− f(x0

x− x0

. (2.2)

Definicija D.2 Ako je funkcija f : (a, b)→ R diferencijabilna u tocki x0 ∈ (a, b), ondajednoznacno odredeni realan broj α za koji vrijedi (D.1 ) zovemo derivacija funkcijef u tocki x0 i oznacavamo s f ′(x0). Dakle,

f ′(x0) := limx→x0

f(x)− f(x0

x− x0

. (2.3)

Zato se za funkciju f diferencijabilnu u tocki x0 kaze jos da je derivabilna u tocki x0.

3.2 Pravila deriviranja

Racunanje derivacije funkcije prema formuli (2.3) je neprakticno i tesko. Ovdje cemonavest derivacije osnovnih elementarnih funkcija i pravila deriviranja pomocu kojihse lako moze izracunati derivacija bilo koje elementarne funkcije. Tehnika deriviranjasastoji se u tome da se na pravilan nacin primjene pravila deriviranja osnovnih elemen-tarnih funkcija.

Derivacija opce potencijeFunkcija f : x 7→ xα, α ∈ R, derivabilna je u svakoj tocki svoje domene i pri tome je:

xα = αxα−1.


Derivacija logaritamske funkcijeNeka je α > 0 (a 6= 1). Logaritamska funkcija x 7→ loga x je derivabilna u svakoj tockix ∈ R+ i pri tome vrijedi:

(loga x)′ =1

xloga e.

Specijalno, za derivaciju prirodne logaritamske funkcije (a = e) dobivamo:

(lnx)′ =1

x.

Derivacija eksponencijalne funkcijeEksponencijalna funkcija x 7→ ax, a > 0 (a 6= 1) je derivabilna u svakoj tocki x ∈ R ivrijedi:

(ax)′ = ax ln a.

Specijalno, za derivaciju prirodne eksponencijalne funkcije dobivamo:

(ex)′ = ex.

Derivacija trigonometrijskih funkcijaTrigonometrijske funkcije x 7→ sinx i x 7→ cosx su derivabilne u svakoj tocki x ∈ R.Pri tome vrijedi:

(sinx)′ = cosx

(cosx)′ = − sinx.

Derivacija zbroja i razlikeNeka su f, g : I → R derivabilne funkcije u tocki x ∈ I. Tada vrijedi:

a) zbroj f + g je derivabilna funkcija u tocki x i pri tome vrijedi:

(f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x)

b) razlika f − g je derivabilna funkcija u tocki x i pri tome vrijedi:

(f − g)′(x) = f ′(x)− g′(x).

Derivacija produktaNeka su f, g : I → R derivabilne funkcije u tocki x ∈ I onda je i funkcija f ·g derivabilnau tocki x ∈ I i pri tome vrijedi:

(f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x).

Specijalno, za derivaciju produkta funkcije f s konstantom c ∈ R dobivamo:

(c · f)′(x) = c · f ′(x).


Derivacija kvocijentaNeka su funkcije f, g : I → R derivabilne u tocki x ∈ I i ako je g(x) 6= 0 onda vrijedi:(

f

g

)′(x) =

f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)

g2(x).

Derivacija kompozicije funkcijeNeka su f i g realne funkcije, takve da je kompozicija f ◦ g definirana. Neka je takoderg derivabilna u x0, a f u tocki g(x0). Tada vrijedi:

(f ◦ g)′(x0) = f ′(g(x0)) · g′(x0).

Derivacija inverzne funkcijeNeka je f : (a, b) → R neprekidna i strogo monotona funkcija. Neka je nadalje fderivabilna u x0 ∈ (a, b), tako da je f ′(x0) 6= 0. Tada postoji f−1 : f((a, b)) → R,derivabilna je u y0 := f(x0) i vrijedi:

(f−1)′(y0) =1

f ′(f−1(y0)).

Na kraju ove tocke navest cemo tablice deriviranja i derivacije osnovnih elementarnihfunkcija u obliku tablice.

Slika 10. Pravila deriviranja


Slika 11. Derivacije osnovnih elementarnih funkcija

Tehnika deriviranja se sastoji u tome da se na pravilan nacin primjene pravila derivi-ranja i navedena tablica derivacija osnovnih elementarnih funkcija.

3.3 Osnovni teoremi diferencijalnog racuna

Ovdje cemo navest pet teorema (Fermatov, Rolleov, Lagrangeov, Cauchyjev i Taylo-rov) i neke njihove posljedice u kojima su sadrzane osnove za teorijski razvoj i prakticnuprimjenu diferencijalnog racuna.

Fermatov teoremNeka funkcija f : [a, b] → R u tocki x0 ∈ 〈a, b〉 ima lokalni ekstrem. Ako je f deriva-bilna u tocki x0, onda je f ′(x0) = 0.

Fermatov teorem je poznat jos i kao nuzan uvjet za postojanje lokalnog ekstrema zaderivabilnu funkciju definiranu na intervalu.

Rolleov teoremNeka je funkcija f neprekidna na segementu [a, b] i derivabilna na intervalu 〈a, b〉. Akoje f(a) = f(b) = 0, onda postoji tocka c ∈ 〈a, b〉 takva da je f ′(c) = 0.


Geometrijska interpretacija Rolleova teoremaAko graf neprekidne funkcije sijece x-os u dvije tocke i ako ima tangentu u svakoj tockiizmedu te dvije nul-tocke, onda postoji barem jedna medutocka u kojoj je tangentaparalalena s x-osi.

Slika 12. Geometrijska interpretacija Rolleova teorema

Lagrangeov teoremAko je funkcija f neprekidna na segmentu [a, b] i derivabilna na intervalu 〈a, b〉, ondapostoji tocka c ∈ 〈a, b〉 takva da je f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a).

Geometrijska interpretacija Lagrangeova teoremaPomicemo li paralelno sekantu s odredenu tockama (a, f(a)) i (b, f(b)) dolazimo dotangente t u tocki (c, f(c)).

Slika 13. Geometrijska interpretacija Lagrangeova teorema

Cauchyjev teoremNeka su f i g neprekidne funkcije na segmentu [a, b] i derivabilne na intervalu 〈a, b〉.Ako je g′(x) 6= 0 za svaki x ∈ 〈a, b〉, onda postoji tocka c ∈ 〈a, b〉 takva da je

f(b)− f(a)

g(b)− g(a)=f ′(c)

g′(c).


Taylorov teoremNeka je 〈a, b〉 interval, c ∈ 〈a, b〉, f : 〈a, b〉 → R funkcija koja ima (n+ 1)-vu derivacijuna intervalu 〈a, b〉 i p bilo koji prirodan broj. Tada za svaki x ∈ 〈a, b〉 postoji realanbroj ξx (c < ξx < x) za x < c, odnosno x < ξx < c), takav da vrijedi:

f(x) = f(c)+f ′(c)

1!(x−c)+f

(2)(c)

2!(x−c)2+

f (3)(c)

3!(x−c)3+· · ·+f

(n)(c)

n!(x−c)n+Rn(f, c;x), (∗)

gdje je

Rn(f, c;x) =( x− cx− ξx

)p· (x− ξx)n+1

n!pf (n+1)(ξx).

Formulu (∗) nazivamo Taylorovom formulom funkcije f u tocki c, dok polinom

Tn(f, c;x) = f(c)+f ′(c)

1!(x−c)+

f (2)(c)

2!(x−c)2 +

f (3)(c)

3!(x−c)3 + · · ·+ f (n)(c)

n!(x−c)n

nazivamo n-tim Taylorovim polinomom funkcije f u tocki c. Za Rn(f, c;x) kazemoda je n-ti ostatak funkcije f u tocki c.

4 Integralni racun

Problem racunanja povrsine ravninskih likova star je vise od 4000 godina. Egipcani(2000 - 1800 god.pr.n.e.) su poznavali pravila za racunanje povrsine i volumena jednos-tavnijih objekata. Znali su tocne formule za povrsinu pravokutnika, trokuta i trapeza.Povrsinu kruga radijusa r aproksimirali su izrazom (16

9)2r2, tj. broj π su aproksimirali

brojem (169

)2 ≈ 3.16. Znali su odrediti volumen kocke i valjka, a pretpostavlja se da suznali izracunati i volumen piramide s kvadratnom bazom. Ta pravila su preuzeli stariGrci i pocevsi od Talesa (585 god.pr.n.e.) Grci sistematski i logicki izvode te formule.Od svih Grka, modernom konceptu trazenja povrsine najvise se priblizio Arhimed (250god.pr.n.e.). U svojim radovima koristio je tzv. metodu ekshaustije (“iscrpljivanja“):da bi odredio povrsinu nekog lika aproksimira zbrojem povrsina pravokutnika. Na tojje ideji Riemann zasnovao pojam odredenog integrala.

4.1 Odredeni integral

Neka je funkcija f : I → R omedena na segmentu I = [a, b], tj. neka postoje realnibrojevi M i m takvi da je:

m ≤ f(x) ≤M za svaki x ∈ [a, b]

i neka je P = {x0, x1, . . . , xn} bilo koja subdivizija segmenta I. Tada za svaki i =1, 2, . . . , n postoje brojevi:

Mi = sup{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}, mi = inf{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}


i pri tome je:m ≤ mi ≤Mi ≤M.

Neka je P skup svih subdivizija segmenta [a, b]. Nejednakost

m(b− a) ≤ s(f, P ) ≤ σ(f, P, {ξ1, . . . , ξn}) ≤ S(f, P ) ≤M(b− a)

vrijedi za svaku subdiviziju P i govori nam da je skup {s(f, P ) : P ∈ P} omedenodozgo, a skup {S(f, P ) : P ∈ P} omeden odozdo. Tada postoje brojevi:

I∗(f, [a, b]) = sup{s(f, P ) : P ∈ P}

I∗(f, [a, b]) = inf{S(f, P ) : P ∈ P}.Broj I∗(f, [a, b]) nazivamo donjim Riemannovim integralom, a broj I∗(f, [a, b])gornjim Riemannovim integralom funkcije f na segmentu [a, b].

Neka je [a, b] segment realnih brojeva i f : [a, b] → R omedena funkcija na [a, b].Ako je I∗(f, [a, b]) = I∗(f, [a, b]), onda za funkciju f kazemo da je integrabilna uRiemannovom smislu ili krace integrabilna na segmentu [a, b], a realan broj:

I(f, [a, b]) = I∗(f, [a, b]) = I∗(f, [a, b])

nazivamo odredenim integralom funkcije f na segmentu [a, b] i oznacavamo s:∫ b

a

f(x)dx.

Pri tome kazemo da je f podintegralna funkcija, segment [a, b] podrucje integra-cije i x varijabla po kojoj se integrira. Cesto se kaze da je tocka a donja granica, atocka b gornja granica integracije. Po definiciji uzimamo da je:∫ b

a

f(x)dx = −∫ b

a

f(x)dx i

∫ b

a

f(x)dx = 0.

Teorem(uvjet integrabilnosti)

Omedena funkcija f : [a, b] → R je integrabilna na segmentu [a, b] onda i samoonda ako za svaki realan broj ε > 0 postoji subdivizija P segmenta [a, b] takva daje S(f, P )− s(f, P ) < ε.

Riemannov teorem:

Ako je funkcija f : [a, b] → R neprekidna na segmentu [a, b], onda je ona i integra-bilna na [a, b].

Teorem srednje vrijednosti za integral neprekidne funkcije:

Neka je funkcija f : [a, b] → R neprekidna na segmentu [a, b]. Tada postoji tockac ∈ [a, b] takva da je: ∫ b

a

f(x)dx = f(c)(b− a).


4.2 Svojstva odredenog integrala

(1) Konstantna funkcija x 7→ c je integrabilna na svakom segmentu [a, b] i pri tomeje ∫ b

a

cdx = c(b− a).

(2a) Ako je c ∈ [a, b] i f : [a, b]→ R integrabilna funkcija na [a, b], onda je f integra-bilna i na [a, c] i na [c, b]. Pri tome je:∫ b

a

f(x)dx =

∫ c

a

f(x)dx+

∫ b

c

f(x)dx.

(2b) Ako je c ∈ [a, b] i f integrabilna funkcija i na [a, c] i na [c, b], onda je f integrabilnana [a, b] i vrijedi: ∫ b

a

f(x)dx =

∫ c

a

f(x)dx+

∫ b

c

f(x)dx.

(3) Ako je funkcija f integrabilna na [a, b] i c bilo koja konstanta, onda je funkcijac · f integrabilna na [a, b] i vrijedi:∫ b

a

cf(x)dx = c

∫ b

a

f(x)dx.

(4) Ako su funkcije f i g integrabilne na [a, b], onda je i funkcija f + g integrabilnana [a, b] i vrijedi: ∫ b

a

[f(x) + g(x)]dx =

∫ b

a

f(x)dx+

∫ b

a

g(x)dx.

(5) Ako su funkcije f i g integrabilne na [a, b] i f(x) ≤ g(x) za svaki x ∈ [a, b], ondaje: ∫ b

a

f(x)dx ≤∫ b

a

g(x)dx.

(6) Ako je funkcija f integrabilna na [a, b], onda je i funkcija |f | integrabilna na [a, b]i vrijedi: ∣∣∣ ∫ b

a

f(x)dx∣∣∣ ≤ ∫ b

a

|f(x)|dx.

4.3 Odredeni integral i primitivna funkcija

Primitivnom funkcijom funkcije f : [a, b]→ R nazivamo svaku funkciju F : [a, b]→R sa svojstvom:

F ′(x) = f(x) za svaki x ∈ [a, b].


Neka je [a, b] segment i x0 ∈ [a, b]. Ako je funkcija f : [a, b] → R neprekidna na [a, b],onda je funkcija F : [a, b]→ R definirana formulom:

F (x) =

∫ x

x0

f(t)dt

primitivna funkcija funkcije f, tj. F ′(x) = f(x) za svaki x ∈ [a, b].

Newton - Leibnizova formula:

Neka je f : [a, b] → R neprekidna funkcija na segmentu [a, b]. Ako je F bilo kojaprimitivna funkcija od f na [a, b], onda je:∫ b

a

f(x)dx = F (b)− F (a).

4.4 Neodredeni integral

Neka je I jedan sljedecih skupova: interval 〈a, b〉, s lijeva zatvoreni interval [a, b〉, zdesnazatvoreni interval 〈a, b] ili segment [a, b]. Primitivnom fukcijom funkcije f na skupuI nazivamo svaku funkciju F sa svojstvom:

F ′(x) = f(x) za svaki x ∈ I.

Za funkciju f kazemo da je integrabilna na I, ako ona na I ima primitivnu funk-ciju. Skup svih primitivnih funkcija funkcije f oznacavamo s

∫f(x)dx i nazivamo

neodredenim integralom funkcije f, a postupak trazenja neodredenog integrala in-tegriranjem. Da bi se nasao neodredeni integral funkcije f na skupu I dovoljno jenaci jednu njenu primitivnu funkciju, recimo F, i tada je:∫

f(x)dx = F (x) + C.

Integriranje je inverzna operacija od deriviranja stoga se rezultat integriranja uvijekmoze provjeriti deriviranjem.

4.5 Svojstva neodredenog integrala

Neka je I jedan od sljedecih skupova: 〈a, b〉, [a, b〉, 〈a, b] ili [a, b]. Tada vrijedi:

(a) Ako je funkcija f : I → R derivabilna na I, onda je:∫f ′(x)dx = f(x) + C.

(b) Ako je funkcija f : I → R integrabilna na I, onda je:

d

dx

(∫f(x)dx

)= f(x),

tj. derivacija bilo koje primitivne funkcije jednaka je funkciji f.


(c) homogenost neodredenog integralaAko je funkcija f : I → R integrabilna na I i λ bilo koji realan broj, onda jefunkcija λ · f integrabilna na I i pri tome je:∫

λf(x)dx = λ

∫f(x)dx.

(d) aditivnost neodredenog integralaAko su funkcije f, g : I → R integrabilne na I, onda je i funkcija f+g integrabilnana I i pri tome je:∫

[f(x) + g(x)]dx =

∫f(x)dx+

∫g(x)dx.

Opca metoda integriranja se sastoji u tome da se podintegralna funkcija dovede u vezus funkcijama za koje su primitivne funkcije navedene u tablici ispod (Slika 14.). Pritome se koriste navedena svojstva neodredenog integrala.

Slika 14. Tablica neodredenih integrala


4.6 Pravila integriranja

Ovdje cemo navest osnovne metode integracije. Da bi se one savladale nuzno je dobropoznavati tablicu neodredenih integrala i svojstva neodredenog integrala.

Direktna integracija

Ova metoda se sastoji u tome da se zadana podintegalna funkcija tako transfor-mira da se raspadne na nekoliko elementarnih funkcija, koje zatim integriramo premaformulama iz tablice i pri tome koristimo i pravila integriranja.

Metoda supstitucije

Cesto primitivnu funkciju ne mozemo naci direktno pa u takvim situacijama mozemopokusati primjeniti metodu supstitucije (uvodenja nove varijable). Pri tome se podinte-gralna funkcija dovodi u vezu s kompozicijom funkcija. O tome govori sljedeca tvrdnja:

Neka su [A,B] i [a, b] segemnti, φ derivabilna funkcija na [a, b], φ′ neprekidna funk-cija na [a, b] i f neprekidna funkcija na [A,B]. Ako je φ([a, b]) ⊆ [A,B] tako da je na[a, b] definirana kompozicija f ◦ φ, onda vrijedi:

a) Funckija x 7→ f [φ(x)]φ′(x) na segmentu [a, b] ima primitivnu funkciju. Pri tomeje ∫

f [φ(x)]φ′(x)dx = F [φ(x)] + C,

gdje je F primitivna funkcija od f.

b) Za sve α, β ∈ [a, b] vrijedi:∫ β

α

f [φ(x)]φ′(x)dx =

∫ φ(β)

φ(α)

f(t)dt.

Iz formule∫f [φ(x)]φ′(x)dx = F [φ(x)] + C dobivamo shemu po kojoj se moze

pronaci neodredeni integral∫f [φ(x)]φ′(x)dx :∫

f [φ(x)]φ′(x)dx =

∣∣∣∣ φ(x) = tφ′(x)dx = dt

∣∣∣∣ =

∫f(t)dt = F (t) + C = F [φ(x)] + C,

gdje je C proizvoljna konstanta, a F primitivna funkcija od f.

Parcijalna integracijaIz pravila za deriviranje kompozicije funkcija dobili smo pravilo za integriranje sups-titucijom. Slicno, iz formule za deriviranje produkta dobivamo formulu za parcijalnuintegraciju.Ako su u, v : I → R neprekidno derivabilne funkcije na intervalu I, onda su funkcijeu′v i uv′ integrabilne na I i pri tome vrijedi:∫

u′(x)v(x)dx = u(x)v(x)−∫u(x)v′(x)dx. (∗)

Integraciju primjenom formule (∗) nazivamo parcijalnom integracijom.

Poglavlje 3

Primjena u drugim strukama

Limesi, deriviranje i integriranje spadaju u podrucje matematike poznato kao infi-nitezimalni racun. Pojam derivacije funkcije centralni je pojam vise matematike.Precizna definicija zahtjeva baratanje pojmom limesa funkcije. U ostatku ovog po-glavlja neka je f : I → R neka funkcija (I je otvoreni interval) i c ∈ I je neki fiksanbroj. Oznaka za derivaciju funkcije f u tocki c je f ′(c); derivacija f ′(c) je uvijek broj.Postoje bar tri intuitivne definicije derivacije funkcije u tocki c.

Derivacija kao opis relativne promjene iznosa funkcije:Ukoliko je f(x) = ax+ b onda je omjer promjene vrijednosti funkcije

∆f = f(x)− f(c) = a(x− c)

U odnosu na promjenu vrijednosti varijable ∆x = x − c jednak ∆f∆x

= a tj kod afinefunkcije koeficijent smjera daje relativnu promjenu funkcije za svaku promjenu varija-ble u odnosu na pocetnu vrijednost c. Derivacija f ′(c) moze se shvatiti kao poopcenjete ideje: to je procjena relativne promjene funkcije f ako je promjena varijable ∆xpriblizno jednaka nuli:

f ′(x) ≈ ∆f

∆x.

Iz gornjeg pristupa derivaciji lako zakljucujemo: derivacija funkcije u bilo kojoj tockijednaka je njenom koeficijentu smjera. Specijalno, derivacija konstantne funkcije je 0.

48

Primjena u drugim strukama 49

Slika 15. Derivacija kao relativna promjena vrijednosti funkcije

Slika 16. Derivacija kao koeficijent smjera tangente

Vezano za gornje razmatranje lako je zapamtiti jos jednu oznaku za derivaciju funk-cije: df

dx. Ta se oznaka koristi najcesce kod nekih fizikalnih konteksta kad zelimo pratiti

jedinice u kojima su izrazene f i x tj. kad zelimo odmah uz numericku vrijednost de-rivacije imati i jedinicu koja treba ici uz taj izracunati broj. To cemo kasnije pokazatina primjeru.Za razliku od afinih funkcija, iz gornje “definicije“ tesko bismo izveli formule ili nacineracunanja derivacija za bilo kakve druge funkcije. No, pogledamo li Sliku 16. vidimoda za mali razmak ∆x omjer ∆f

∆xnece biti bitno razlicit od koeficijenta smjera tagente

povucene na graf funkcije f u tocki s apscisom c. Napomenimo ovdje da je tangentana neku krivulju u danoj tocki (recimo na graf funkcije) pravac koji najbolje “prianja“uz tu krivulju oko te tocke (na uskom dijelu oko promatrane tocke zanemriva je razlikaizmedu krivulje i tangente tj. to je pravac koji od svih pravaca koji prolaze tom tockomnajbolje aproksimira krivulju u blizini te tocke); nije tocno da je to pravac koji krivulju


sijece u samo jednoj tocki.

Derivacija kao koeficijent smjera tangente:Derivaciju funkcije u tocki c mozemo razmatrati kao koeficijent smjera tangente nagraf funkcije f povucene u tocki s apscisom c. Iz ovakvog pristupa derivaciji odmahvidimo: ako funkcija raste na nekom intervalu oko c, onda je f ′(c) > 0, a ako padaje f ′(c) < 0. Iz gornjeg slijedi da je jednadzba tangente na graf funkcije f u tocki sapscisom c jednadzba pravca s koeficijentom f ′(c) kroz tocku (c, f(c)) tj.

y − f(c) = f ′(c)(x− c)

Bitno je napomenuti da je ovakva interpretacija derivacije funkcije moguca samo akosu x i y uobicajene Kartezijeve koordinate u ravnini. Ukoliko je fizikalno znacenjevarijable x vrijeme izrazeno u nekoj mjernoj jedinici, onda imamo jos jednu mogucnostintuitivne definicije derivacije.

Derivacija kao trenutna brzina:Ako promatramo funkciju f , koja predstavlja recimo prijedeni put, kojoj je varijablat iznos proteklog vremena u, primjerice, sekundama, onda za svaki vremenski interval∆t (u odnosu na fiksirani trenutak t0) vrijedi: prosjecna brzina promjene vrijednostifunkcije f u tom intervalu iznosi ∆f

∆t. Ukoliko skracujemo vremenski interval, bit cemo

sve blizi trenutnoj brzini promjene f u trenutku t0 te mozemo reci: derivacija od f u t0je trenutna brzina u tom trenutku. U ovom kontekstu se u fizici umjesto oznake f ′(t0)cesto koristi oznaka f(t0).

Primjer 1.Kod reakcije prvog reda koncentracija (c u M=mol L−1 ) reaktanta R u trenutku t(trazenom u sekundama) iznosi

c = c0eαt

gdje je a konstanta pri danoj temperaturi i reakciji i po iznosu je jednaka umnoskustehiometrijskog koeficijenta reaktanta (po definiciji, stehiometrijski koeficijenti reak-tanata su pozitivni, a stehiometrijski keoficijenti produkata su negativni) i koeficijentabrzine reakcije (dakle, a < 0 i a ima dimenziju reciprocnog vremena odnosno jedinicus−1). Koncentracija reaktanata se u tom slucaju smanjuje te ce dc

dtu svakom trenutku

biti negativnog iznosa.

1 Primjene u kemiji

Kemijska kinetika se bavi (ne samo) brzinama reakcija. Brzina reakcije se moze defi-nirati kao

v =1

v· dcdt

gdje je c mnozinska koncentracija bilo kojeg reaktanta ili produkta, a v je pripadni ste-hiometrijski koeficijent (po definiciji je negativan za reaktante,a pozitivan za produkte).Ovakva definicija brzine ne ovisi o odabiru reaktanta (ili produkta) ciju koncentraciju


pratimo jer se zapravo radi o pracenju promjene dosega u vremenu.

Ukoliko imamo samo jedan reaktant kojemu je stehiometrijski koeficijent jednak v,brzina reakcije se definira kao

v =1

v

dc

dt,

dakle, brzina reakcije je u svakom trenutku pozitivnog iznosa. Zapravo, tako mozemodefinirati brzinu reakcije u svakom slucaju, neovisno o broju reaktanata: bitno je samoda je v stehiometrijski koeficijent reaktanta ciju koncentraciju c pratimo.

Kako je jedinica od ∆c ista kao i od c (dakle, M), a od ∆t ista kao i od t (dakle,s), podrazumijevamo da je dc

dtfizikalna velicina za koju smo jedinice izlucili jos u kvo-

cijentu ∆c∆t

koji opisuje prosjecnu brzinu te dcdt

ima jedinicu kao i taj kvocijent, a toje Ms−1. Uzimajuci strogo, derivacija je broj i za njenu definiciju bismo se morali“rijesiti“ jedinica, a gornji pristup (preko kvocijenta koji opisuje prosjecnu brzinu od-nosno prosjecnu promjenu) omogucuje odredivanje fizikalne jedinice rezultata. U praksinije potrebno ovako detaljno razmatranje jer se pri deriviranju fizikalnih velicina jedi-nice mogu shavtiti kao konstante s kojima su pomnozene funkcije, a derivacija produktakonstante i funkcije jednaka je toj konstanti pomnozenoj s derivacijom funkcije.

Primjer 2.U reakciji klorobutana s vodom, C4H9Cl + h2O → C4H9OH + HCl, stehiometrijskikoeficijenti reaktanata su −1, a produkata +1. Tabeliranjem i crtanjem koncentracijaizmjerenih u raznim trenutcima moguce je uociti trend.

Primjer 3.Pri jednom izvodenju reakcije iz Primjera 2 dobiveni su podaci prikazani na iducoj slici(Slika 17).

Slika 17. Izmjerene koncentracije klorobutana

Prikaz tih podataka u koordinatnom sustavu daje Slika 18.


Slika 18. Graficki prikaz ovisnosti koncentracije klorobutana o vremenu

Ako smo izveli dovoljno mjerenja i precizno ih ucrtali, moguce je s razumnom tocnoscucrtati tangente u pojedinim tockama i ocitati njihove koeficijente smjera tj. trenutnebrzine. Odredivanje pocetne brzine prikazano je na slici (Slika 19.).

Slika 19. Graficko odredivanje pocetne brzine reakcije

Prema toj slici (Slika 19.), pocetna brzina iznosi priblizno 1,000−0,0000−500

= −2, 00·10−3Ms−1.Kako je brzina derivacija, predznak minus ovdje znaci da velicina ciju promjenu u vre-menu ovdje pratimo (koncentracija) pada.

Primjene integrala u kemiji

Uz racunanje povrsina, volumena i duljina krivulja, integrali se primjenjuju na nizfizikalnih i kemijskih problema. Ovdje cemo opisati neke takve konkretne primjene.Ukoliko zelimo odrediti skupni iznos neke neprekidne funkcije (ili funkcije s konacnomnogo prekida) za vrijednosti varijable iz nekog intervala, zadatak se svodi na izracunavanjeodredenog integrala te funkcije na promatranom intervalu. Slicno, prosjecnu vrijednost


funkcije f na intervalu [a, b] dobivamo kao ukupnu vrijednost podijeljenu sa sirinomintervala tj. kao

1

b− a

∫ b

a

f(x)dx.

Primjer 1.Tijekom jednog dana utvrdeno je da je ovisnost temperature θ (u◦C) o vremenu t (usatima od podneva tj. −12h2h) dobro opisana formulom

θ(t) = 0.001◦Ch−4t4 − 0.280◦Ch−2t2 + 25◦C.

Tada je prosjecna vrijednost temperature tog dana

1

24

∫ 12

−12

θ(t)dt = 15, 7◦C

Ponekad nam je u primjeni dovoljna procjena vrijednosti odredenog integrala. Za tonam pomaze teorem srednje vrijednosti za integrale koji kaze da je

(b− a)m ≤∫ b

a

f(x)dx ≤ (b− a)M,

ako je f neprekidna na [a, b] i m njena minimalna, a M maksimalna vrijednost na tomintervalu. Mozemo to izreci i ovako:∫ b

a

f(x)dx = c · (b− a)

za neki c ∈ [m,M ] tj. postoji ordinata c takva da je∫ baf(x)dx jednak povrsini pravo-

kutnika omednog pravcima x = a, x = b, y = 0 i y = c. (Slika 20.)

Slika 20. Teorem srednje vrijednosti za integrale: plavo i crveno iscrtane povrsine sujednake

U fizikalnim i fizikalnokemijskim primjenama cesto se pojavljuju neodredeni integraliuz pocetni uvjet, osobito u smislu da poznamo funkciju brzine promjene neke funkcije(brzinu predenog puta, brzinu reakcije, brzinu radioaktivnog raspada,. . . ) i pocetniiznos funkcije ciju promjenu promatramo (pocetnu poziciju, pocetnu koncentraciju,pocetni broj atoma radioaktivnog elementa,. . . ). Takvi zadaci se u pravilu rjesavajuintegriranjem funkcije brzine, a konstanta integriranja se odreduje iz pocetnog uvjeta.


2 Primjene u fizici

1. Put koji prijede tocka. Ako se tocka giba po nekoj krivulji, i apsolutna velicinanjene brzine v = f(t) je poznata funkcija vremena t, onda je put koji prijede tockau intervalu vremena [t1, t2]

s =

∫ t2

t1

f(t)dt.

Primjer 1.Brzina tocke je v = 0, 1 t3m/s. Nadimo put s kojeg prijede tocka u vremenuT = 10 sekundi od pocetka gibanja. Kolika je srednja brzina gibanja za to vri-jeme?

RjesenjeImamo:

s =

∫ 10

0

0, 1t3dt = 0, 1t4

4

∣∣10

0= 250m i vsr =

s

T= 25m/s

2. Rad sile. Ako promjenjiva sila X = f(x) djeluje u smjeru osi OX, onda je radsile u intervalu [x1, x2]

s =

∫ x2

x1

f(x)dx.

Primjer 2.Koliki rad treba utrositi da se opruga rastegne za 6 cm ako sila od 1 kp rastegneoprogu za 1 cm?

RjesenjePo Hookovu zakonu sila X kp, koja rasteze oprugu za xm, iznosi X = kx, gdjeje k koeficijent proporcionalnosti. Pretpostavimo da je x = 0, 01m i X = 1kpdobivamo k = 100 i prema tome X = 100x. Odakle je trazeni rad:

A =

∫ 0,06

0

100xdx = 50x2∣∣0,06

0= 0, 18kpm.

3. Kineticka energija. Kinetickom energijom materijalne tocke mase m i brzinev nazivamo izraz

K =mv2

2

Kineticka energija sustava od n materijalnih tocaka s masama m1,m2, . . . ,mn ipripadnim brzinama v1, v2, . . . , vn jednaka je

K =n∑i=1

miv2i

2.

Za odredivanje kineticke energije tijela rastavljamo tijelo na odredeni nacin na


elementarne cestice (koje imaju ulogu materijalnih tocaka) a zatim, sumirajucikineticke enregije tih cestica, u limesu umjesto gore navedene sume dobivamointegral.

Primjer 3.Nadimo kineticku energiju homogenog kruznog valjka gustoce δ s polumjerombaze R i visinom h, koji se vrti kutnom brzinom ω oko svoje osi. (Slika 21.)

Slika 21. Homogeni kruzni valjak

RjesenjeZa elementarnu masu dm odabiremo masu supljeg valjka visine h, s unutarnjimpolumjerom r i debljinom stijenke dr. Imamo dm = 2πr · hδdr. Kako linearnabrzina mase dm iznosi v = rω, to je elemenatrna kineticka energija

dK =v2dm

2= πr3ω3hδdr.

Odakle je

K = πω2hδ

∫ R

0

r3dr =πω2δR4

4.

4. Pritisak tekucine. Za racunanje sile pritiska tekucine koristimo se Pascalovimzakonom, po kome pritisak tekucine na povrsinu S uronjenu na dubinu h iznosi

P = γhS,

gdje je γ gustoca tekucine.

Primjer 4.Nadimo pritisak na polukrug polumjera r uronjenog vertikalno u vodu tako dase njegov promjer podudara s povrsinom vode. (Slika 22.)


Slika 22. Polukrug uronjen vertikalno u vodu

RjesenjePodijelimo povrsinu polukruga na elemente (trake) paralelne povrsini vode. Povrsinajednog takvog elementa (ako odbacimo beskonacno male viseg reda) udaljenogza h od povrsine iznosi

dS = 2xdh = 2√r2 − h2dh.

Pritisak, koji djeluje na taj element, jest

dP = γhds = 2γh√r2 − h2dh,

gdje je γ gustoca vode jednaka jedinici. Odatle je ukupni pritisak

P = 2

∫ r

0

h√r2 − h2dh = −2

3(r2 − h2)3/2

∣∣∣r0

=2

3r3.

Bibliografija

[1] D. Burton, The History of mathematics: An introduction, Sixth edition, Mc-Graw, H.Primis

[2] F. M. Bruckler, Povijest matematike II., Osijek, 2009.

[3] D. Jukic, R. Scitovski, Matematika, Gradska tiskara, Osijek, 1998.

[4] F. M. Bruckler, I. Pazanin, Matematika 1 za kemicare, Kako prevoditi sjezika kemije na jezik matematike i obrnuto?, Zagreb, 2009.

[5] B. P. Demidovic, Zadaci i rijeseni primjeri iz vise matematike s primjenom natehnicke nauke, Tehnicka knjiga, Zagreb, 1978.

[6] The MacTutor History of Mathematics Archive(dostupno na http://www.gap-system.org/~history/, sijecanj 2012.)

[7] Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja(dostupno nahttp://dokumenti.ncvvo.hr/Nastavni_plan/gimnazije/obvezni/matematika.pdf,

sijecanj 2012.)

[8] Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja(dostupno na http://www.ncvvo.hr/drzavnamatura/web/public/svi_ispiti,

sijecanj 2012.)

57

Sazetak

Matematicka analiza je grana matematike koja koristi ideju granicne vrijednosti i dijelise na diferencijalni i integralni racun. Spominje se pod imenima visa matematika, in-finitezimalni racun, te u engleskoj literaturi kao calculus. U prvom poglavlju prikazanje pregled razvoja matematicke analize kroz povijest, kako se racun razvijao i tko jesve sudjelovao u njegovu stvaranju. U drugom poglavlju prikazane su cjeline racunakoje se predaju u srednjoj skoli, te koje je gradivo na drzavnoj maturi. Kasnije vi-dimo nadogradnju gradiva na studiju matematike i osnovne pojmove diferencijalnog iintegralnog racuna, dok su u zadnjem poglavlju prikazane korisne primjene derivacijai integrala u kemiji i fizici.

Kljucne rijeci: matematicka analiza, povijest, srednja skola, studij matematike

58

Summary

Mathematical analysis is a branch of mathematics that uses the idea of limiting valuesand is divided into differential and integral calculus. It is mentioned by the names offurther mathematics, infinitesimal calculus, and in English literature as calculus. Thefirst chapter presents an overview of the development of mathematical analysis throughhistory, how was it developed and who was involved in its creation. The second chaptershows the segments of calculus that are taught in high school, and from what is thestate graduation exam comprised of. Later, we see the upgrade of teaching matter thatoccurs and is needed on college level, furthermore basic concepts of differential and in-tegral calculus are also shown and the last chapter presents some useful application ofderivatives and integrals in chemistry and physics.

Key words: calculus, history, high school, study of mathematics

59

Zivotopis

Rodena sam 13. listopada 1985. godine u Osijeku. Osnovnu skolu “Dobrisa Cesaric“u Osijeku upisala sam 1992. godine. Godine 2000. upisala sam III. Gimnaziju uOsijeku. U rujnu 2004. godine sam upisala preddiplomski studij matematike na Odjeluza matematiku, a sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike sam upisalau listopadu 2008. godine. Osvojila sam 2010. godine prvu nagradu za idejno rjesenjeplakata smotre Sveucilista J. J. Strossmayera u Osijeku i naslovnice vodica za buducestudente, a 2011. godine trecu nagradu.

60

Documents

Marijana Rasonja - Odjel Za Matematikumdjumic/uploads/diplomski/RAS06.pdf · 2017-10-09 · todu koristio je i Kinez Liu Hui u 3. stolje cu, da bi izra cunao povr sinu kruga. Zenon