MARIN CHIRCIU - Auxiliare

MARIN CHIRCIU

Matematică algebră, geometrie

Clasa a X-a

- pentru pregătirea la clasă și bacalaureat -

Iași - 2019

CUPRINS

Teste de evaluare iniţială .......................................................... 11 .... 256

ALGEBRĂCapitolul I. Mulţimi de numere .............................................. 15

1. Numere reale ......................................................................................... 15 .... 2562. Aproximări raţionale pentru numere iraţionale sau reale ........................ 173. Puteri cu exponent iraţional şi real ale unui număr pozitiv. Proprietăţi.....18 .... 2564. Radicalul de ordinul 2 şi radicalul de ordinul 3. Proprietăţi .................. 20 .... 2565. Radicalul de ordinul n, n 2. Proprietăţi .............................................. 27 .... 2576. Noţiunea de logaritm. Proprietăţi ale logaritmilor. Calcule cu logaritmi.

Operaţia de logaritmare ......................................................................... 31 .... 257 7. Evaluare sumativă ................................................................................. 418. Numere complexe ................................................................................. 43 .... 260

9. Rezolvarea în a ecuaţiilor de gradul al doilea cu coeficienţi reali ...... 50 .... 261

10. Numere complexe sub formă trigonometrică ....................................... 52 .... 26111. Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie ................................... 5512. Evaluare sumativă ............................................................................... 64 .... 263

Test de autoevaluare ............................................................................. 67

Capitolul II. Funcţii şi ecuaţii .................................................. 68 1. Funcţii injective, surjective, bijective .................................................... 68 .... 2642. Funcţii inversabile ................................................................................. 693. Funcţii monotone .................................................................................. 704. Funcţia putere cu exponent natural ........................................................ 75 .... 2645. Funcţia radical ...................................................................................... 75 .... 2646. Ecuaţii iraţionale ................................................................................... 77 .... 2647. Funcţia exponenţială; ecuaţii exponenţiale ............................................ 80 .... 2658. Funcţia logaritmică; ecuaţii logaritmice ................................................ 82 .... 2659. Funcţii trigonometrice directe şi funcţii trigonometrice inverse;

ecuaţii trigonometrice ........................................................................... 98 .... 268 10. Evaluare sumativă ............................................................................. 111 .... 270

Test de autoevaluare ........................................................................... 114

Capitolul III. Metode de numărare ....................................... 115 1. Mulţimi finite ordonate. Numărul funcţiilor f : A B, unde A şi B sunt

mulţimi finite ..................................................................................... 115 .... 270 2. Permutări ............................................................................................ 119 .... 2733. Aranjamente ........................................................................................ 123 .... 2734. Combinări ........................................................................................... 126 .... 2745. Binomul lui Newton ............................................................................ 132 .... 275

Enu

nţur

i

Sol

uţii

6. Evaluare sumativă ............................................................................... 137 .... 276Test de autoevaluare ............................................................................ 140

Capitolul IV. Matematici financiare ...................................... 141 1. Elemente de calcul financiar: procente, dobânzi, TVA ........................ 141 .... 277

1.1. Procente ................................................................................. 141 1.2. Dobânzi; dobândă simplă; dobândă compusă ......................... 142 1.3. Taxa pe valoare adăugată ....................................................... 144 1.4. Evaluare sumativă .................................................................. 147

2. Culegerea, clasificarea şi prelucrarea datelor statistice ........................ 147 .... 2782.1. Date statistice: culegerea şi clasificarea lor ............................ 147 2.2. Reprezentarea grafică a datelor statistice ............................... 148

3. Interpretarea datelor statistice prin parametri de poziţie ...................... 1503.1. Medii ..................................................................................... 150 3.2. Dispersia ................................................................................ 151 3.3. Evaluare sumativă .................................................................. 154

4. Evenimente aleatoare egal probabile ................................................... 154 .... 2794.1. Evenimente. Operaţii cu evenimente ...................................... 154 4.2. Definiţia axiomatică a probabilităţii ....................................... 155 4.3. Definiţia clasică a probabilităţii ............................................. 156 4.4. Probabilităţi condiţionate ....................................................... 157 4.5. Scheme clasice de probabilitate: Schema lui Poisson;

Schema lui Bernoulli ........... 159 4.6. Evaluare sumativă .................................................................. 169 .... 286

5. Variabile aleatoare .............................................................................. 172 .... 2875.1. Noţiunea de variabilă aleatoare .............................................. 172 5.2. Operaţii cu variabile aleatoare ............................................... 172 5.3. Media şi dispersia unei variabile aleatoare ............................. 174 5.4. Evaluare sumativă .................................................................. 178 .... 290

Test de autoevaluare ............................................................................ 179 Test de autoevaluare (recapitulare) ...................................................... 180

GEOMETRIE Capitolul V. Geometrie ...........................................................182

1. Reper cartezian în plan, coordonate carteziene în plan,distanţa dintre două puncte în plan ............................................... 182 .... 291 1.1. Reper cartezian pe o dreaptă .................................................. 182 1.2. Reper cartezian în plan .......................................................... 182

Test de autoevaluare ............................................................................ 189 2. Coordonatele unui vector în plan ........................................................ 190 .... 295

2.1. Coordonatele punctului care împarte un segment într-un raport dat ............................................................................................................ 190

2.2. Coordonatele unor puncte remarcabile în triunghi ................. 191 2.3. Vectori de poziţie ................................................................... 191 2.4. Vectori de poziţie pentru puncte remarcabile în triunghi ........ 192

2.5. Vectori coliniari ..................................................................... 192 Test de autoevaluare ............................................................................ 202

3. Ecuaţii ale dreptei în plan .................................................................... 203 .... 3013.1. Ecuaţii ale dreptei determinate de un punct şi o direcţie ........ 203 3.2. Ecuaţia dreptei determinată de două puncte distincte ............. 205

Test de autoevaluare ............................................................................ 209 4. Condiţii de paralelism şi de perpendicularitate a două drepte în plan ......... 210 .... 305

Test de autoevaluare ............................................................................ 214 5. Calcule de distanţe şi arii .................................................................... 215 .... 3086. Evaluare sumativă ............................................................................... 219 .... 311

Test de autoevaluare ............................................................................ 223 Test de autoevaluare (recapitulare) ...................................................... 224

PROBLEME RECAPITULATIVE ............................................225 Algebră ................................................................................................... 225 .... 314 Geometrie ............................................................................................... 233 .... 317

PROBLEME PREGĂTITOARE PENTRU CONCURSURI ........238 Algebră ................................................................................................... 238 .... 322 Geometrie ............................................................................................... 243 .... 325

MODELE DE TEZE SEMESTRIALE ........................................... 248 .... 333 PROBLEME PREGĂTITOARE PENTRU BACALAUREAT ...... 251

Algebră ..................................................................................................... 251 .... 334 Geometrie ................................................................................................ 254 .... 335

INDICAŢII, REZOLVĂRI, SOLUŢII ................................. ................ ...... 256 Soluţii teste autoevaluare ..................................................................... ...... 336

Bibliografie ..............................................................................340

8

PROGRAMA ŞCOLARĂ PENTRU CLASA A X-A MATEMATICĂ

aprobată prin Ordinul Ministrului Educaţiei şi Cercetării nr. 4598/31.08.2004

TRUNCHI COMUN ŞI CURRICULUM DIFERENŢIAT - 4 ore

Competenţe specifice Conţinuturi 1. Identificarea caracteristicilor tipu-rilor de numere utilizate în algebră şiformei de scriere a unui număr realsau complex în contexte specifice.2. Determinarea echivalenţei întreforme diferite de scriere a unui număr,compararea şi ordonarea numerelorreale.3. Aplicarea unor algoritmi specificicalculului cu numere reale sau com-plexe pentru optimizarea unor calculeşi rezolvarea de ecuaţii.4. Alegerea formei de reprezentare aunui număr real sau complex în funcţiede contexte, în vederea optimizăriicalculelor.5. Alegerea strategiilor de rezolvareîn vederea optimizării calculelor.6. Determinarea unor analogii întreproprietăţile operaţiilor cu numerereale sau complexe scrise în formevariate şi utilizarea acestora în rezol-varea unor ecuaţii.

Mulţimi de numere • Numere reale: proprietăţi ale puterilor cuexponent raţional, iraţional şi real ale unuinumăr pozitiv, aproximări raţionale pentrunumere iraţionale sau reale.

• Radical dintr-un număr raţional, n 2,proprietăţi ale radicalilor.

• Noţiunea de logaritm, proprietăţi ale logarit-milor, calcule cu logaritmi, operaţia de loga-ritmare.

• Mulţimea . Numere complexe sub formă al-gebrică, conjugatul unui număr complex ope-raţii cu numere complexe. Interpretarea geo-metrică a operaţiilor de adunare şi scădere anumerelor complexe şi a înmulţirii acestora cuun număr real.

• Rezolvarea în a ecuaţiei de gradul al doileacu coeficienţi reali. Ecuaţii bipătrate.

• Numere complexe sub forma trigonometrică(coordonate polare în plan), înmulţirea nume-relor complexe şi interpretare geometrică,ridicarea la putere (formula lui Moivre).

• Rădăcinile de ordinul n ale unui numărcomplex. Ecuaţii binome.

1. Trasarea prin puncte a graficelorunor funcţii.2. Prelucrarea informaţiilor ilustrateprin graficul unei funcţii în scopuldeducerii unor proprietăţi ale acesteia(monotonie, semn, bijectivitate, inver-sabilitate, continuitate, convexitate).3. Utilizarea de proprietăţi ale funcţii-lor în trasarea graficelor şi rezolvareade ecuaţii.4. Exprimarea în limbaj matematic aunor situaţii concrete şi reprezentareaprin grafice a unor funcţii care descriusituaţii practice.

Funcţii şi ecuaţii • Funcţia putere cu exponent natural

: D, (x) = xn şi n 2

• Funcţia radical : D , (x) = n x , n 2,

unde D = [0, ), pentru n par şi D = , pentrun impar.

• Funcţia exponenţială : (0; ), (x) == ax, a(0; ), a l şi funcţia logaritmică : (0; ) , (x) = logax, a(0; ), a l,creştere exponenţială, creştere logaritmică.

• Funcţii trigonometrice directe şi inverse.• Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate; funcţiiinversabile: definiţie, proprietăţi grafice, condiţia

9

Competenţe specifice Conţinuturi 5. Interpretarea, pe baza lecturii grafice,a proprietăţilor algebrice ale funcţiilor.

6. Utilizarea echivalenţei dintre bijec-tivitate şi inversabilitate în trasareaunor grafice şi în rezolvarea unorecuaţii algebrice şi trigonometrice.

necesară şi suficientă ca o funcţie să fie inversa-bilă.

• Rezolvări de ecuaţii folosind proprietăţilefuncţiilor:

1. Ecuaţii iraţionale ce conţin radicali de ordinul 2sau 3;

2. Ecuaţii exponenţiale, ecuaţii logaritmice;3. Ecuaţii trigonometrice: sin(x) = a, cos(x) = a,

a[−1;1], tg(x) = a, ctg(x) = a, a, sin (x) =

= sin g(x), cos (x) = cos g(x), tg(x) = tg g(x), ctg (x) = ctg g(x), a sin (x) + b cos (x) = c, unde a, b, c nu sunt simultan nule.

Notă: Pentru toate tipurile de funcţii se vor studia: intersecţia cu axele de coordonate, ecuaţia f(x)=0, reprezentarea grafică prin puncte, simetrie, lectura grafică a proprie-tăţilor algebrice ale funcţiilor: monotonie, bijectivitate, inversabilitate, semn, concavitate /convexitate.

1. Diferenţierea problemelor în funcţiede numărul de soluţii admise.

2. Identificarea tipului de formulă denumărare adecvată unei situaţii -problemă date.

3. Utilizarea unor formule combinato-riale în raţionamente de tip inductiv.

4. Exprimarea, în moduri variate, acaracteristicilor unor probleme înscopul simplificării modului de nu-mărare.

5. Interpretarea unor situaţiiproblemăcu conţinut practic cu ajutorul func-ţiilor şi a elementelor de combinato-rică.

6. Alegerea strategiilor de rezolvare aunor situaţii practice în scopul opti-mizării rezultatelor.

Metode de numărare • Mulţimi finite ordonate. Numărul funcţiilor : A B, unde A şi B sunt mulţimi finite.

• Permutări- numărul de mulţimi ordonate cu n elementecare se obţin prin ordonarea unei mulţimifinite cu n elemente;

- numărul funcţiilor bijective : A B, unde Aşi B sunt mulţimi finite.

• Aranjamente- numărul submulţimilor ordonate cu câte melemente fiecare, m n care se pot forma cucele n elemente ale unei mulţimi finite;

- numărul funcţiilor injective : A B, unde Aşi B sunt mulţimi finite.

• Combinări - numărul submulţimilor cu câte kelemente, unde 0 k n ale unei mulţimifinite cu n elemente. Proprietăţi: formula com-binărilor complementare, numărul tuturor sub-mulţimilor unei mulţimi cu n elemente.

• Binomul lui Newton.1. Recunoaşterea unor date de tipprobabilistic sau statistic în situaţii con-crete.

2. Interpretarea primară a datelorstatistice sau probabilistice cu ajutorul

Matematici financiare • Elemente de calcul financiar: procente, dobânzi,TVA.

• Culegerea, clasificarea şi prelucrarea datelorstatistice: date statistice, reprezentarea grafică

10

Competenţe specifice Conţinuturi calculului financiar, a graficelor şi diagramelor. 3. Utilizarea unor algoritmi specificicalculului financiar, statisticii sauprobabilităţilor pentru analiza decaz.4. Transpunerea în limbaj matematicprin mijloace statistice sau probabilis-tice a unor probleme practice.5. Analiza şi interpretarea unor situaţiipractice cu ajutorul conceptelor statis-tice sau probabilistice.6. Corelarea datelor statistice sauprobabilistice în scopul predicţieicomportării unui sistem prin analo-gie cu modul de comportare în situaţiistudiate.

a datelor statistice. • Interpretarea datelor statistice prin para-metri de poziţie: medii, dispersia, abateri dela medie.

• Evenimente aleatoare egal probabile,operaţii cu evenimente, probabilitatea unuieveniment compus din evenimente egalprobabile.

• Variabile aleatoare. Probabilităţi condiţiona-te. Dependenţa şi independenţa evenimentelor,scheme clasice de probabilitate: schema luiPoisson şi schema lui Bernoulli.Notă: Aplicaţiile vor fi din domeniul financiar:profit, preţ de cost al unui produs, amortizăride investiţii, tipuri de credite, metode definanţare, buget personal, buget familial.

1. Descrierea unor configuraţii geome-trice, analitic sau utilizând vectori.2. Descrierea analitică, sintetică sauvectorială a relaţiilor de paralelism şiperpendicularitate.3. Utilizarea informaţiilor oferite de oconfiguraţie geometrică pentru dedu-cerea unor proprietăţi ale acesteia şicalcul de distanţe şi arii.4. Exprimarea analitică, sintetică sauvectorială a caracteristicilor matema-tice ale unei configuraţii geometrice.5. Interpretarea perpendicularităţii înrelaţie cu paralelismul şi minimuldistanţei.6. Modelarea unor configuraţii geo-metrice, analitic, sintetic sau vectorial.

Geometrie • Reper cartezian în plan, coordonate carte-

ziene în plan, distanţa dintre două puncte înplan.

• Coordonatele unui vector în plan, coordona-tele sumei vectoriale, coordonatele produsu-lui dintre un vector şi un număr real.

• Ecuaţii ale dreptei în plan determinate de unpunct şi de o direcţie dată şi ale drepteideterminate de două puncte distincte, calculede distanţe şi arii.

• Condiţii de paralelism, condiţii de perpendi-cularitate a două drepte din plan, calcule dedistanţe şi arii.

11

Teste de evaluare inițială

Testul 1

Pentru rezolvarea corectă a tuturor cerințelor din Partea I și din Partea a II-a seacordă 90 puncte. Din oficiu se acordă 10 puncte.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 45 minute.

Partea I. Scrieți litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Partea întreagă a numărului real 1

2 1 este:

A. 1 B. 1 C. 3 D. 25p 2. Se consideră o progresie aritmetică de rație 6, care are primul termen

egal cu 5. Al șaptelea termen al progresiei este egal cu: A. 21 B. 51 C. 41 D. 31

5p 3. Dacă x1, x2 sunt soluțiile ecuației 2x2 + 4x 3 = 0, atunci q = 2 21 2x x este

egal cu: A. q = 7 B. q = 5 C. q = 14 D. q = 7

5p 4. Mulțimea soluțiilor reale ale inecuației x2 + 7x 12 0 este: A. (, 3)(4, ) B. (, 34, ) C. (4, ) D. (, 3)

5p 5. Se consideră punctele A(3, 2) și B(2, 5). Lungimea vectorului AB

esteegală cu:

A. 34 B. 34 C. 24 D. 74

5p 6. Numărul 9

cos4

este egal cu:

A. 3

2B.

2

2C.

2

2D.

3

2

Partea a II-a. La următoarele probleme se cer rezolvări complete. (60 de puncte)

1. Se consideră funcția f : , f (x) = (a 1)x2 + (2a 3)x a + 2, unde

a \ 1.

10p a) Pentru a = 1, rezolvați ecuația f (x) = 0.10p b) Pentru a = 2, rezolvați inecuația f (x) 0.10p c) Determinați numărul real a, pentru care soluțiile ecuației f (x) = 0 verifică

relația x1 x2 = x1 + x2.

12

2. Se consideră numerele reale a, b 0,2

, astfel încât sin a =1

2 și

cos b =1

2.

10p a) Calculați sin b și cos a.10p b) Calculați cos (a + b).

10p c) Arătați că 2 2 2 21 sin 1 cos 1 sin 1 cos 1x x x x ,

x .

Testul 2

Pentru rezolvarea corectă a tuturor cerințelor din Partea I și din Partea a II-a seacordă 90 puncte. Din oficiu se acordă 10 puncte.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 45 minute.

Partea I. Scrieți litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)


3 1 este:

A. 1 B. 1 C. 3 D. 25p 2. Se consideră o progresie aritmetică de rație 8, care are primul termen

egal cu 4. Al zecelea termen al progresiei este egal cu: A. 21 B. 66 C. 76 D. 71

5p 3. Dacă x1, x2 sunt soluțiile ecuației 3x2 2x 5 = 0, atunci q = 2 21 2x x este

egal cu:

A. q =7

3 B. q =

5

3 C. q =

14

3 D. q =

34

95p 4. Mulțimea soluțiilor reale ale inecuației x2 + 8x 12 0 este:

A. 2, 6 B. (, 26, ) C. 6, ) D. (, 2

5p 5. Se consideră punctele A(2, 2) și B(2, 4). Modulul vectorului AB

esteegal cu:

A. 3 B. 2 5 C. 3

2D. 3 7

5p 6. Numărul 3

sin4

este egal cu:

A. 3

2B.

2

2C.

2

2D.

3

2

13

Partea a II-a. La următoarele probleme se cer rezolvări complete. (60 de puncte) 1. Se consideră funcția f : , f (x) = (a 3)x2 + (a 3)x a + 2,

unde a \ 3.

10p a) Pentru a = 2, rezolvați ecuația f (x) = 0. 10p b) Pentru a = 2, rezolvați inecuația f (x) 0. 10p c) Determinați numărul real a, pentru care soluțiile ecuației f (x) = 0 verifică

relația 2x1 x2 = x1 + x2.

2. Se consideră numerele reale a, b 0, 2

, astfel încât sin a =3

2 și

cos b =1

2.

10p a) Calculați sin b și cos a. 10p b) Calculați cos (a b).

10p c) Arătați că 2 2 2 21 sin 1 cos 1 sin 1 cos 1x x x x ,

x .

Testul 3

Pentru rezolvarea corectă a tuturor cerințelor din Partea I și din Partea a II-a se acordă 90 puncte. Din oficiu se acordă 10 puncte. Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 45 minute. Partea I. Scrieți litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)


5 3 este egală cu:

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5p 2. Se consideră progresia geometrică

1n nb

, cu termeni strict pozitivi și

pentru care b1 b4 = 14, b1 b2 = 8. Termenul b5 este egal cu: A. 16 B. 8 C. 4 D. 1 5p 3. Cel mai mic număr întreg m, pentru care x2 7x + m 0, oricare ar fi

x , este:

A. 11 B. 12 C. 13 D. 14

14

5p 4. Dacă x1, x2 sunt soluțiile ecuației x2 – 9x + m = 0 și 3x1 x2 = 7, iar q = 2 2

1 1 2 2x x x x , atunci: A. q = 16 B. q = 20 C. q = 21 D. q = 25

5p 5. Se consideră punctele A(2, 1) și B(1, 3). Modulul vectorului AB

este egal cu:

A. 4 B. 5 C. 2 3 D. 5

5p 6. Numărul sin 72 cos72

sin 24 cos24r

este egal cu:

A. 2

2 B.

3

2 C. 1 D. 2

Partea a II-a. La următoarele probleme se cer rezolvări complete. (60 de puncte) 1. Se consideră funcția f : , f (x) = (a + 1)x2 – (a 2)x + a 2, unde

a \ 1.

10p a) Pentru a = 1, rezolvați ecuația f (x) = 0. 10p b) Determinați valorile lui a, pentru care f (x) 0, pentru orice x real. 10p 2. Demonstrați că, pentru orice număr natural n, numărul

xn = 5n + 12n 1 se divide cu 16.

10p 3. Se consideră triunghiul ABC și punctele M, N, astfel încât BM MC

și AN AB AC

. Demonstrați că punctele A, M, N sunt coliniare. 10p 4. Fie ABC, un triunghi dreptunghic în A, și fie D, piciorul înălțimii din A.

Demonstrați că AD AB + AC BC.

15

Capitolul I. Mulţimi de numere 1. Numere reale: proprietăţi ale puterilor cu exponent raţional, iraţional şi real ale unui număr pozitiv. Aproximări raţionale pentru numere iraţionale sau reale. Avem

de ori

...n

n a

a a a a , a , n *;

1n

na

a , a *, n *; 0 1a , a *.

Definiţie. Fie a 0, n , n 2. Numărul real pozitiv x, cu proprietatea nx a

se numeşte puterea cu exponent raţional 1

n a numărului pozitiv şi se notează

1

nx a .

Exemplu: 33 27 1

33 27 . Din definiţie deducem:

1) 1

nx a , a 0 na x , x 0. 2) 1 1n

nn na a a .

Proprietăţi: 1) 1 1 1

( )n n na b ab ; 2)

1 1

1

n n

n

a a

bb

; 3) 1

1 1mn nma a ;

4) 1 m

m nna a ; 5) a b 1 1

n na b .

Definiţie. Fie a 0, m *, n , n 2.

Numărul m

na , definit prin 11 mmmn nna a a , se numeşte puterea cu

exponent raţional m

n a numărului pozitiv a.

Exemplu: 33 134 481 81 3 27 .

Proprietăţi: Fie r, s , a, b (0, ). Atunci: 1) r s r sa a a ; 2) r

r ss

aa

a ;

3) sr rsa a ; 4) ( )r r ra b a b ; 5) r r

r

a a

b b

; 6) r = s r sa a , a 1;

7) Dacă a 1, atunci r s r sa a ; 8) Dacă 0 a 1, atunci r s r sa a .

16

Din definiţie deducem că 1

1 1 1mn

mn nmmn

a aa

a

.

Exerciţii rezolvate 1. Fie a şi b, numere reale pozitive. Să se efectueze:

a) 1 1 1 1

2 2 2 2a b a b ; b) 1 1 1 1

3 3 3 3a b a b ; c) 1 1 2 1 1 2

3 3 3 3 3 3a b a a b b .

Soluţie. a) Notăm 1

2a x , 1

2b y ; avem 2 2( )( )x y x y x y a b ;

b) Notăm 1

3a x , 1

3b y ; avem 2 2

2 2 3 3( )( )x y x y x y a b ;

c) Notăm 1

3a x , 1

3b y ; avem 2 2 3 3( )( )x y x xy y x y a b .

2. Să se scrie în ordine crescătoare numerele: 1

32a ; 1

23b ; 1

44c . Soluţie. Avem 12 16a ; 12 729b ; 12 64c . Deducem a c b.

3. Să se determine numerele naturale n, astfel încât:

a) 9 5

243 9n

n

; b)

9 52

41 1

3 9

nn

.

Soluţie. a) Din 9 5

2 443 3n

n

obţinem 9 5

2 44

nn

9 5 8 16n n n = 21;

b) Din

9 52 4

41 1

3 3

nn

obţinem 9 5

2 44

nn

9 5 8 16n n n 21.

Rezultă n {0, 1, 2, …, 21}.

Exerciţii propuse

1. Să se calculeze: a) 1 11

3 623 3 3 ; b)

43

32

11

32

3 2

3 2

; c)

11 1 1

15 3 53 9 27 ;

d)

3 1 1 1

5 3 3 15

1 11

3 54

9 27 9 3

81 3 27

; e)

1

210,01

729

; f)

1

311

188

.

2. Aduceţi la o formă mai simplă expresiile:

a)

1 1

2 2

1 1

2 2

2a a b bE

a b

, unde a 0, b 0;

17

b)

1 1

2 2

1 1

2 2

2a a b bE

a b

, unde a b 0;

c)

1 1

2 22a a b bE

a b

, unde a b 0;

d) 1 1 2 1 1 2

3 3 3 3 3 3E a b a a b b , unde a 0, b 0;

e) 1 1 2 1 1 2

3 3 3 3 3 3E a b a a b b , unde a 0, b 0. 3. Calculaţi:

a) 3

21 121 1 3 24 2

3 1

2 4

:ab a

E a b

ba ab

, unde a 0, b 0;

b)

12 1 2 2 13 3 3

13 1 3 42 2 2

( )

( )

a ab b abE

a ab b

, unde a 0, b 0;

c)

21 1 1 11 12 2 2 2

31 1

2 2

2E a b a b a b

a b

, unde a 0, b 0.

4. Ordonaţi crescător numerele:

a)

2

33

5a

,

3

425

9b

,

1

49

25c

;

b) 0,1

16

9a

, 0,2

9

16b

,

1

64

3c

.

5. Să se scrie în ordine crescătoare numerele:

a) 1

22a , 1

33b , 1

44c ;

b) 1

23a , 1

36b , 1

630c ;

c) 1

26a , 1

412b , 1

872c .

2. Aproximări raţionale pentru numere iraţionale sau reale

Definiţie. Fie x fixat şi 0. Se numeşte aproximare raţională de ordin cel

mult (sau -aproximare) a numărului real x orice număr raţional a cu

proprietatea că x − a .

18

Se scrie: „x a” şi se citeşte „x este aproximativ egal cu a”. Numărul x este aproximat de a cu eroarea absolută x − a .

Exemplu: Pentru x = , avem x a = 3,14, cu eroarea absolută de cel mult 0,01,

deoarece x − a = − 3,14 0,01.

3. Puteri cu exponent iraţional şi real ale unui număr pozitiv. Proprietăţi

Definiţie. Fie a , a 0, a 1 şi x , x iraţional. Numărul unic, notat xa ,

care verifică respectiv condiţiile: ra xa sa , dacă a 1; ra xa sa , dacă 0 a 1,

oricare ar fi r, s , cu r x s, se numeşte puterea cu exponent x a

numărului real a. Numărul x se numeşte exponentul puterii xa , iar numărul a se numeşte baza puterii xa .

Avem 1 1x , x şi 0 0x , x 0.

Proprietăţi ale puterilor cu exponent real Fie a 0, b 0 şi x, y . Atunci:

1) x y x ya a a ; 2) x

x yy

aa

a ; 3) yx xya a ;

4) ( )x x xab a b ; 5) x x

x

a a

b b

; 6) x ya a x = y, a 1;

7) Dacă a 1, atunci xa ya x y; 8) Dacă a 1, atunci xa ya x y.

Exerciţii rezolvate

1. Să se determine aproximarea raţională cu două zecimale exacte a numărului 2 .

Soluţie. Folosind algoritmul de extragere a radicalului, obţinem 2 1,41.

2. Să se compare numerele reale 2 şi 102 .

Soluţie. Cum 3,15 10 , deducem că 2 102 .

3. Să se determine valorile reale ale lui x pentru care 2 3 3 2

3 2 3 2x x

.

19

Soluţie. Deoarece 3 2 3 2 1 , iar inecuaţia este echivalentă cu

2 3 3 2

3 2 3 2x x

2 3 3 2x x 5 5x 1x ( , 1]x .

Exerciţii propuse

1. Să se aducă la forma cea mai simplă expresiile:

a) 822 ; b)

5125 1

33

; c) 5

153 3

3 5

1 1253 5

33

.

2. Să se simplifice expresiile: 2

1 2

3 2 3 3

3 4 3 3

x x

x xE

;

3 1

2 2

3 3 2

3 1

x x

xE

.

3. Comparaţi numerele: a) 3

2

3a

şi

23

2b

; b) 3

1

2a

şi b = 1;

c) 2

3 2a

şi b = 1; d) 1

2 3a şi b = 1.


a) 27 3 3

1 75 3

75 9

27 15E

; b)

13 27332

2

1 19 81

3 27E

.

5. Să se compare numerele reale x şi y, ştiind că:

a) 2 2

3 3

x y

; b) 4 4

x y

;

c) 3 2 3 2x y

; d) 13 2 2

3 2 2

yx

.

6. Determinaţi pentru ce valori reale ale lui x avem:

a) 3 27x ; b) 1 1

4 256

x

; c) 1 1

5 125

x

; d) 2 1024x .

7. Să se aproximeze numărul 5

3

2

cu două zecimale exacte.

8. Să se determine aproximarea raţională cu două zecimale exacte a numărului 72 . 9. a) Determinaţi x,y (−1, ), ştiind că:

2x ya a şi (1 )(1 ) 1x y , unde a 1, a este fixat.

b) Determinaţi x,y,z (−1, ), ştiind că: 3x y za a a şi (1 )(1 )(1 ) 1x y z , unde a 1, a este fixat.

c) Determinaţi 1 2, ,..., nx x x (−1, ), ştiind că:

1 2 ... nxx xa a a n şi 1 2(1 )(1 )...(1 ) 1nx x x , unde a 1, a dat. (G.M. 9 / 2006, Traian Tămâian, Carei, Satu Mare)

20

4. Radicalul de ordinul 2 şi radicalul de ordinul 3. Proprietăţi

Radicalul de ordinul 2

Definiţie. Fie a 0. Numărul pozitiv x, cu proprietatea 2x a , se numeşte

radicalul de ordinul 2 al lui a şi se notează a (rădăcina pătrată a lui a).

Avem: 2

a a , a 0.

Proprietăţile radicalilor de ordinul 2

1) 2 | |a a , a ; 2) ab a b , a 0, b 0;

3) a a

b b , a 0, b 0; 4) n

na a , a 0, n *;

5) Dacă a 0 şi b 0, atunci a b a b şi a = b a b . Radicalul de ordinul 3

Definiţie. Fie a , a fixat. Numărul real x, cu proprietatea 3x a , se numeşte

radicalul de ordinul 3 al lui a şi se notează 3 a (rădăcina cubică a lui a).

Avem: 33 a a , a .

Proprietăţi ale radicalilor de ordinul 3

1) 3 a = a, a ; 2) 3 3 3ab a b , a , b ;

3) 3

33

a a

b b , a , b *; 4) 3 3

nna a , a , n *;

5) Dacă a,b , atunci a b 3 3a b şi a = b 3 3a b .


1. Demonstraţi că 2

1 12

a bab

a b

, a,b , a 0, b 0

(„inegalitatea mediilor” media aritmetică media geometrică media armonică).

Soluţie. Avem 2

a bab

2

0a b , evident, cu egalitate pentru a = b.

21

Avem 2

1 1ab

a b

2ab

aba b

( ) 2ab a b ab 2

0a b ,

evident, cu egalitate pentru a = b. 2. Scoateţi factorii de sub radical:

a) 200 ; b) 700 ; c) 3 52 3 5 .

Soluţie. Avem: a) 200 2 100 10 2 ; b) 700 7 100 10 7 ;

c) 2 4 22 3 3 5 5 3 5 2 3 5 75 30 . 3. Introduceţi factorii sub radical:

a) 2 3 ; b) 3 2 ; c) 5 6 .

Soluţie. Avem: a) 22 3 2 3 12 ; b) 23 2 3 2 18 ; c) 25 6 5 6 150 . 4. Raţionalizaţi numitorii fracţiilor:

a) 3

2 3; b)

2

2 1; c)

1

3 2 2.

Soluţie. Avem: a) 3 3 3

2 3 2

; b)

2 2 2 12 2

2 12 1

;

c) 1 1 8 3 2 2 3

8 3 53 2 2 3 8

.

5. Să se raţionalizeze numitorul fracţiei 1

a b a b , unde a şi b sunt

numere reale strict pozitive.

Soluţie. În prima etapă amplificăm cu a b a b şi obţinem:

2 2 2 2

a b a b a b a b a b a b

a b ab a b aba b a b

.

În etapa a doua amplificăm fracţia obţinută cu ab ; rezultă:

2

ab a b a b

ab

.

6. Demonstraţi că: 3 31 1 13

a b cabc

a b c

, unde a, b, c(0, ); ( a g hM M M ).

Soluţie. În identitatea algebrică 3 3 3 2 2 23 ( )( )x y z xyz x y z x y z xy yz zx ,

adevărată pentru x, y, z , punem 3x a , 3y b , 3z c şi obţinem

22

3

3

a b cabc

. Din a gM M pentru numerele

1

a,

1

b,

1

c obţinem:

1 1 1

a b c

31 1 1

3a b c 3 3

1 1 1abc

a b c

. Egalitatea are loc pentru a = b = c.

Exerciţii propuse

1. Să se calculeze: a) 4 81 ; b) 25 49 ; c) 81

64; d) 2

3 .

2. Să se calculeze: a) 3 27 8 ; b) 3 8 27 125 ; c) 38

27

; d) 3

125

64

.

3. Determinaţi valorile lui a pentru care sunt definite expresiile:

a) 3 2a ; b) 2 4 3a a ; c) 2 2a a ; d) 24 | | 2a a .

4. Determinaţi valorile lui a pentru care au sens expresiile:

a) 33 1 a ; b) 33 8 a ; c) 3 3 a + 3 3 a ; d) 3 ( 2)(3 )a a .

5. Determinaţi valorile lui a pentru care au loc egalităţile:

a) ( 1) 1a a a a ; b) 1 1

1 1

a a

a a

;

c) 3 21 1 1a a a a ; d) 22( 1) 1a a .

6. Să se calculeze:

a) 18 2 8 50 ; b) 5 10 1

510 10 ;

c) 2 3 2( 1)a b b b a b , unde a 0, b 0;

d) 1a ab

bab ab , unde a,b (0, ).

7. Aduceţi la forma cea mai simplă expresiile:

a) 1

3 33 ; b)

1a a

a , unde a 0;

c) 3

3 3

6 4 1

32 4 ; d)

23

3 23

1ab a

ba a , unde a,b 0.

8. Determinaţi x , dacă:

a) 2 3 x ; b) a b x , unde a,b 0, a şi b date;

23

c) 208 13x ; d) 2a b x b , unde a,b , a şi b date.

9. Determinaţi x , dacă:

a) 3 33 54x ; b) 333a x a b , unde a,b *, a şi b date;

c) 3 32 4x ; d) 3 3a x b , unde a,b *, a şi b date.

10. Daţi exemple de numere naturale, astfel încât:

a) n este raţional; b) n este iraţional;

c) 3 n este raţional; d) 3 n este iraţional. 11. Să se arate că numerele de mai jos nu sunt raţionale:

a) 3 ; b) 5 ; c) 3 5 ; d) 3 5 . 12. Determinaţi valorile lui a pentru care au loc egalităţile:

a) 2( 1) 1a a ; b) 2(2 ) 2a a ;

c) 4 2(3 2) (2 3 )a a ; d) 33 ( 1) 1a a .

13. Să se arate că: a) 1,41 2 1,42 ; b) 31,42 3 1,51 . 14. Să se scoată factorii de sub radicali:

a) 8 ; b) 12 ; c) 18 ; d) 512 ; e) 22a ; f) 3128a . 15. Să se scoată factorii de sub radicali:

a) 3 32 ; b) 3 108 ; c) 3 500 ; d) 33 3a ; e) 43 64a . 16. Să se introducă factorii sub radicali:

a) 3 2 ; b) 2 3 ; c) b

aa

; d) a

abb

; e) 5

33

yxy

x.

17. Să se introducă factorii sub radicali:

a) 32 3 ; b) 33 4 ; c) 3a b ; d) 32 4 5 .


a) 12 250

49 27 ; b)

4

3 5; c)

c

a b; d) 3 2 2 3 5 ;

e) 5 3 5 3

5 3 5 3

; f)

a b a b

a b a b

.

19. Raţionalizaţi numitorii fracţiilor: a) 3

3 2; b)

1

4 3 2; c)

1 3

1 3

;

d) 2

3 5; e)

1

5 3 3 5; f)

a b

a b

.

24

20. Raţionalizaţi numitorii fracţiilor:

a) 1

1 2 3 ; b)

3

2 3 5 ; c)

1

2 3 5 ;

d) 1

2 5 7 ; e)

1

a b c ; f)

1

3 2.

21. Se consideră suma 1 1 1 1

...1 2 2 3 3 4 1

nSn n

, unde n , n 1.

a) Calculaţi 2008S . b) Determinaţi cel mai mic n pentru care 99nS . 22. Să se expliciteze expresiile:

2 21 (2 ) (2 )E x x ; 3 33 3

2 (3 2 ) (3 2 )E x x ;

2 23 6 9 6 9E x x x x ; 3 2 3 23 3

4 3 3 1 3 3 1E x x x x x x ; 3 2 23

5 3 3 1 2 1E x x x x x . 23. Să se demonstreze identităţile (formulele radicalilor compuşi):

2 2

a c a ca b

;

2 2

a c a ca b

, unde 2c a b ,

iar a, b şi 2a b sunt numere reale nenegative. 24. Folosind formulele radicalilor compuşi, să se transforme expresiile:

a) 3 2 2 ; b) 6 20 ; c) 10 2 21 ; d) 9 45 .

25. a) Să se demonstreze că, dacă 1 x 2, atunci:

2 1 2 1x x x x = 2.

b) Să se demonstreze că, dacă 2 22a x a , a 0, atunci:

2 22 2 2x a x a x a x a a .

26. a) Demonstraţi că, dacă a 0, b 0, c 0, abc 1, atunci:

12

1

1

abc bca a

abc a

.

b) Demonstraţi că, dacă a 0, b 0, c 0 şi abc n, atunci:

2

21

abc n bcn

a a

abc n a

.

27. Arătaţi că 11 6 2 7 4 3 5 2 6n este număr natural.

25

28. Arătaţi că 1 1 1

( 1) 1 1n n n n n n

.

29. Arătaţi că partea fracţionară a numărului 24n n , n *, este mai mică

decât 0,25.

30. Fie 3 35 2 5 2x şi 3 3189 8 189 8y . Arătaţi că: 1 0n nx y , n .

31. Să se determine numerele raţionale x şi y, astfel încât:

a) 6 2 5 5x y ; b) 11 6 2 2x y ; c) 7 2 10 2 5x y .

32. Să se calculeze: a) 6 4 2 6 4 2 ; b) 12 6 3 12 6 3 ;

c) ( 1) 2 ( 1) 2a a a a a a a a , unde a .

33. Să se calculeze: a) 3 320 14 2 20 14 2 ; b) 3 354 30 3 54 30 3 ;

c) 3 2 2 3 2 23 33 (3 ) 3 (3 )a a a a a a a a a a , unde a .


a) 3 3 32 1 4 2 1 ; b) 3 3 32 1 4 2 1 ;

c) 233 31 1a a a ; d) 233 31 1a a a . 35. Raţionalizaţi numitorii fracţiilor:

a) 3

1

2 1; b)

3

1

1a ; c)

33

1

3 2; d)

3 3

1

a b; e)

3 3

33

2 3

3 2

; f) 3 3

3 3

a b

a b

.


a) 3

1

2 2; b)

3

1

a a; c)

3

1

a b; d)

3

1

3 3;

e) 3

1

a a; f)

3

1

a b.


a) 3 3

1

4 3 2 2 ; b)

23 3

1

3 2a a ; c)

3 3

1

1 2 4 ;

d) 233

1

1 a a ; e)

3 3 3

1

a b c .

38. Să se compare numerele:

a) 3 3

2 2a şi

4 4

3 3b ;

b) 1 1n n

an n

şi

2 2

1 1

n nb

n n

, unde n *;

26

c) 35 5

4 4a şi 3

6 6

5 5b ;

d) 31 1n n

an n

şi 3

2 2

1 1

n nb

n n

, unde n *.

39. Folosind inegalitatea mediilor, să se demonstreze inegalităţile, precizând când are loc semnul egal:

a) 1 1 4a b

b a

, unde a 0, b 0;

b) 1 1 1 8a b c

b c a

, unde a,b,c 0;

c) 1 2

2 3 1

1 1 ... 1 2nna a a

a a a

, unde 1 2, ,..., na a a 0.

40. Folosind inegalitatea mediilor, să se demonstreze că au loc inegalităţile, precizând când are loc semnul egal:

a) 1 1 4

a b a b

, unde a, b 0;

b) 2 2 2

1 1 8

( )a b a b

, unde a, b 0;

c) 11 1 2

( )

n

n n na b a b

, unde a, b 0, n .


a) 2 2

4a b

b a a b

, unde a 0, b 0;

b) 3 3 2

8

( )

a b

b a a b

, unde a 0, b 0;

c) 1

1 1

2

( )

n

n n n

a b

b a a b

, unde a 0, b 0, n .


a) 2 2 2 2

1 1 1 27

( )a b c a b c

, unde a 0, b 0, c 0;

b) 3 3 3 3

1 1 1 81

( )a b c a b c

, unde a 0, b 0, c 0;

c) 11 1 1 3

( )

n

n n n na b c a b c

, unde a 0, b 0, c 0, n .

27


a) 2 2 2

9a b c

b c a a b c

, unde a 0, b 0, c 0;

b) 3 3 3 2

27

( )

a b c

b c a a b c

, unde a 0, b 0, c 0;

c) 1

1 1 1

3

( )

n

n n n n

a b c

b c a a b c

, unde a 0, b 0, c 0, n .

5. Radicalul de ordinul n, n 2. Proprietăţi

Radicalul de ordin par dintr-un număr pozitiv Definiţie. Fie a 0 şi n *. Număr pozitiv x care satisface condiţia 2nx a ,

a 0, se numeşte radical de ordinul 2n al lui a. Se notează 2n a (rădăcina de ordinul 2n).

Avem 2n a 0; 22

nn a a , a 0.

Observaţii. Pentru orice a 0, avem 1

2 2n na a , n , n 1.

Pentru orice a , avem 22 | |nn a a , n , n 1.

Radicalul de ordin impar dintr-un număr real Definiţie. Fie a şi n *. Număr real x care satisface condiţia 2 1nx a se

numeşte radical de ordinul 2n + 1 al lui a. Se notează 2 1n a (rădăcina de ordinul 2n + 1).

Avem 2 12 1

nn a a

, a .

Observaţii. Pentru a 0, avem 1

2 1 2 1n na a .

Pentru a , avem 2 12 1 nn a a şi 2 1 2 1n na a .

Reţinem: Pentru radicalul de ordin par, 2n a are sens numai dacă a 0, iar

pentru radicalul de ordin impar, 2 1n a are sens pentru orice a .

Proprietăţile radicalilor de ordinul n, n , n 2

Fie a 0, b 0 şi n , n 2. Au loc proprietăţile:

1) n n nab a b ; 2) n

nn

a a

b b ;

28

3) mmn n mn na a a , m *; 4) m

mnn a a , m *;

5) m m kn n ka a , m *, k *; 6) n m n ma a , m , m 2;

7) n na b a b; 8) m

mn na a , m ; 9) nn na b a b .

Teoremă. (Inegalitatea mediilor) Fie n , n 2 şi 1 2, ,..., na a a (0, ). Notăm:

1 2 ... na

a a aM

n

(media aritmetică);

1 2...ng nM a a a (media geometrică);

1 2

1 1 1...

h

n

nM

a a a

(media armonică).

Are loc inegalitatea a g hM M M , adică

1 21 2

1 2

......

1 1 1...

n nn

n

a a a na a a

na a a

.

Avem a g hM M M dacă şi numai dacă 1 2 ... na a a .


1. Scrieţi expresiile 4

5

2

3 şi 5 72 4 , folosind un singur radical.

Soluţie. Aducem radicalii la acelaşi ordin: 54 54 20

205 2045 4

2 2 32 32

813 813

;

7 5 7 10 7 10 175 7 7 5 35 35 35 355 72 4 2 4 2 2 2 2 2 .

2. Să se compare numerele: a) 4 2x şi 5 3y ; b) 5 2x şi 8 3y . Soluţie. Aducem radicalii la acelaşi ordin:

a) 54 54 202 2 32x şi 45 45 203 3 81y . Rezultă a b;

b) 85 85 402 2 256x şi 58 58 403 3 243y . Rezultă a b. 3. Să se raţionalizeze numitorii fracţiilor:

a) 4

1

2; b)

1n a

; c) 4

1

2 1; d)

1

1n a .

Soluţie. a) Amplificăm fracţia cu conjugata lui 4 2 , adică amplificăm fracţia cu

29

34 2 şi obţinem: 34 4

4 44

1 2 8

22 2 ; b) Amplificăm fracţia cu 1nn a şi obţinem:

11 nn

n

a

aa

; c) Amplificăm fracţia cu 3 24 4 42 2 2 1 şi obţinem:

3 24 4 4

4 44

4

1 2 2 2 18 4 2 1

2 12 1

; d) Amplificăm fracţia cu

1 2

... 1n n

n n na a a şi obţinem:

1 2

1 ... 1

11

n nn n n

n

a a a

aa

.

Exerciţii propuse

1. Să se calculeze: a) 4 81 ; b) 481

16; c) 4 0,0001 ; d) 44 x , x ;

e) 5 32 ; f) 5 243 ; g) 55 x , x ; h) 664

729.

2. Să se scrie expresiile folosind un singur radical:

a) 32 3 ; b) 3 4 52 4 3 ; c) 5

3

2 3

6

; d)

1

2

n n

n

a a

a

.

3. Comparaţi numerele: a) 4 4x şi 5 5y ; b) 5 5y şi 6 6z .

4. Arătaţi că: 3 4 5 63 4 5 6 .


1

3 2; b)

4 4

1

a b; c)

5 5

1

4 3;

d) 5 3

1

a b; e)

1n na b

; f) 3 3

1

1 2 4 ; g)

233

1

1 a a .

6. Ordonaţi numerele: a) 2x , 3 3y , 4 4z ;

b) 3 2x , 3y , 5 5z ; c) 6 4x , 8 5y , 12 10z .

7. Calculaţi: a)

7 5 3

110

9 3 2 6

12 3

; b)

8 135 5

2

5

3 243 27

19

;

c) 3

3 4

4

5

49 343 7

343 7

; d)

4 155 7

25

2 4 8 16

1 162

4 2

.

30

8. Fie a 0. Aduceţi la forma cea mai simplă expresiile:

a)

4

334

a a

a

; b)

223

4 3

a a

a a a a

; c) 23

34

a a a

a a a; d)

344 3 23

25:

aa

a.

9. Arătaţi că: a) 333 1 1

2 5 1 5 1 52 2

;

b) 5

45

111 5 5 1 5

2 ; c) 5 33 33 5 2 5 3 5 2 5 1 .

10. Fie expresia

1 41 33 3

4 2 83

219 112 43

( , )x yx x

E x yy xy y

.

a) Aduceţi ( , )E x y la forma cea mai simplă. b) Calculaţi E(5, 20).

11. a) Demonstraţi că: 2 2 2 3 3 3( )( ) 3x y z xy xz zx x y z x y z xyz . b) Demonstraţi că:

2 2 23 3 3 3 3 3 3 3 3a b c ab bc ca a b c 33a b c abc .

c) Raţionalizaţi numitorii fracţiilor: 1 3 33

1

2 3 4F

, 2 3 3 3

1

2 3 5F

,

3 3 33

1

2 3 4F

, 4 3 3

1

4 3 2 1F

.


1

2 3; b)

4

1

1 2 2 ; c)

3

1

a b.

13. a) Arătaţi că, dacă a,b şi 3 0a b , atunci a = b = 0.

b) Arătaţi că, dacă a,b şi 3 33 9 0a b c , atunci a = b = c = 0. 14. Folosind inegalitatea mediilor, să se demonstreze că:

a) 3 2 3 2 2n n

, n *;

b) 3 2 2 1 2 1 3 2 4n n n n

, n ;

c) 1 1 1 1 4n n n n

a a b b b b a a , n , a 0, b 0.

15. Să se scrie în ordine crescătoare numerele: 3 , 3 6 , 6 30 .

16. Să se scrie în ordine descrescătoare numerele: 6 , 4 12 , 8 72 . 17. Folosind inegalitatea mediilor, să se demonstreze că:

a) 32 3 6a b c

b c a , unde a,b,c 0;

31

b) 1

4a b cabc

, unde a,b,c 0;

c) 1 21 2

1... 1

...nn

a a a na a a

, unde 1 2, ,..., na a a 0;

d) 1

!2

nn

n

, unde n 2, n ;

e) 2

2 2 3 1( !)

6

nn n

n

, unde n 2, n ;

f) 3 2

3 2( !)

4

nn n n

n

, unde n 2, n .

18. Folosind inegalitatea mediilor, să se demonstreze că:

a) 1 1 1 1 16

a b c d a b c d

, unde a,b,c,d 0;

b) 2 2 2 2 2

1 1 1 1 64

( )a b c d a b c d

, unde a,b,c,d 0;

c) 11 1 1 1 4

( )

n

n n n n na b c d a b c d

, unde a,b,c,d 0, n .

19. Folosind inegalitatea mediilor, să se demonstreze că:

a) 4a b c d

b c d a , unde a,b,c,d 0;

b) 2 2 2 2

16a b c d

b c d a a b c d

, unde a,b,c,d 0;

c) 1

1 1 1 1

4

( )

n

n n n n n

a b c d

b c d a a b c d

, unde a,b,c,d 0, n .

20. Să se determine valorile lui x pentru care:

a) 53 1 8 3 ( ) 2x xx x x x ; b) 3 3 12 1 11 4 ( 2 ) 7 2x xx x x x .

6. Noţiunea de logaritm. Proprietăţi ale logaritmilor.

Calcule cu logaritmi. Operaţia de logaritmare Definiţie. Fie a 0, a 1 şi y 0. Unicul număr real x care satisface condiţia

xa y se numeşte logaritmul în baza a al numărului strict pozitiv y. Se notează

logax y ; se citeşte „logaritmul în baza a din y”.

Avem: log xax y a y .

Avem: log 1 0a ; log 1a a ; log xa a x .

Exemple: 2log 32 5 , deoarece 52 32 ; 2

1log 3

8 , deoarece 3 1

28

.

32

Identitate remarcabilă. loga ya y , unde a 0, a 1, y 0.

Aplicaţie. 33 3 3

2log 2log 2 2 log 2 log 22 29 3 3 3 2 4 . Proprietăţile logaritmilor Fie a 0, a 1 şi x,y 0. Au loc proprietăţile: 1) log log log ( )a a ax y xy ;

2) log log loga a a

xx y

y ;

3) log logpa ax p x , p .

Formula de schimbare a bazei: log

loglog

ba

b

xx

a ; în particular

1log

logab

ba

.


1. Să se calculeze: a) 21 21log 3 log 7 ; b) 15 15log 45 log 3 ; c) 42log 3 .

Soluţie. a) 21 21log 3 log 7 = 21 21log (3 7) log 21 1 ; b) 15 15log 45 log 3 =

= 15

45log

3 15log 15 1 ; c) 4

2log 3 = 24log 3 .

2. Să se arate că expresia 2

3

log

log

xE

x nu depinde de x.

Soluţie. Se aduc logaritmii în baza 10. Avem: 2

lglg3lg 2

log 3lg lg2lg3

x

Ex

.

3. Să se exprime 15log 81E în funcţie de 3log 25a .

Soluţie. Din 3log 25a = 23 3log 5 2log 5 obţinem 3log 5

2

a . Avem

415log 3E 15

3 3 3 3 3

4 4 4 4 4 84log 3

log 15 log (3 5) log 3 log 5 1 log 5 212a a

.

Proprietăţi de monotonie ale logaritmilor

Fie a 0, a 1 şi x,y 0. Atunci: i) Dacă a 0, avem x y log loga ax y ;

ii) Dacă 0 a 1, avem x y log loga ax y ;

iii) x = y log loga ax y .

33

Operaţia de logaritmare

Fie E, o expresie algebrică în care apar produse şi câturi de puteri; operaţia prin care asociem expresiei E expresia loga E , unde a este o bază

oarecare, a 0, a 1, se numeşte operaţia de logaritmare. Exemplu: Fie expresia E = 2 32xy z , unde x,y,z 0 şi a 0, a 1. Logaritmând în

baza a expresia E, obţinem: 2 3 2 3log log (2 ) log 2 log log loga a a a a aE xy z x y z

= log 2 log 2log 3loga a a ax y z .

Observaţie. Are sens ( )log ( )f x g x dacă şi numai dacă (x) 0, (x) 1, g(x) 0.


1. Să se determine valorile lui x pentru care este definită expresia 21log ( 2 )xE x x .

Soluţie. Se impun condiţiile: x − 1 0, x − 1 1, x2 − 2x 0. Obţinem: x 1, x 2, x (−, 0) (2, ). În final, deducem: x (2, ).

2. Să se studieze semnul expresiei 2lg( 3)E x .

Soluţie. Condiţia de existenţă pentru logaritm este x2 − 3 0, de unde

x (−, − 3 ) ( 3 , ). Pentru a stabili semnul logaritmului, comparăm x2 − 3

cu 1. Dacă x2 − 3 1, atunci 2lg( 3)x lg 1 = 0; dacă x2 − 3 1, atunci

lg(x2 − 3) lg 1 = 0; dacă x2 − 3 = 1, atunci lg(x2 − 3) = lg 1 = 0.

Se recomandă întocmirea tabloului:

x − − 2 2 + lg(x2 − 3) + + + + + 0 − − − − 0 + + + + + +

Exerciţii propuse 1. Să se determine x, ştiind că:

a) 3log 2x ; b) log 9 2x ; c) 3

1log

81x ;

d) 1 2

log27 3x ; e)

3 3log 2x ; f) 0,1log 2 x .

2. Folosind definiţia logaritmului, să se calculeze:

a) 2log 0,25 ; b) 33log 9 3 ; c) 2

2

log 2 2 ; d) 1

lg100

;

34

e) 3lg 100 ; f) 3ln e ; g) 2

1ln

e.

3. Să se scrie soluţiile ecuaţiilor următoare sub forma unor logaritmi:

a) 3 2x ; b) 2 3x ; c) 4 5x ; d) 1

56

x ;

e) 10 11x ; f) 1

1310x

; g) 2xe ; h) 2 3x x .


a) 2log 32 ; b) 33log 23 ; c) lg 2(0,1) ; d) lg 3

1

10

; e) ln 3e ;

f) 3ln 2

1

e

; g) lg ln1010 e e ; h) 3lg 2 ln10

1 1

10

e

e

.

5. Determinaţi valorile lui a pentru care au loc egalităţile:

a) 2lg(4 ) lg(2 ) lg(2 )a a a ; b) 32 2log 3loga a ;

c) 3

ln ln( 3) ln( 3)3

aa a

a

; d)

1lg 3 2 lg(3 2)

2a a .

6. Să se calculeze: a) 2 33log 128 2log 81 ; b) 3 3log (log 729) ; c) 23 log 32 ;

d) 1

3

3log 3

2 ; e) 32 log 43 ; f) 5 62 log 3 2 log 25 6 . 7. Folosind proprietăţile logaritmilor, calculaţi:

a) 2 2

1log 60 log

15 ; b) 5 5log 100 log 4 ; c) 3log 243 ;

d) lg0,13 lg130 ; e) ln ln2

ee ; f)

ln9

ln3.

8. Folosind proprietăţile logaritmilor, calculaţi:

a) 3log 22

19 log 27

3 ; b) 3 5log 5 log 3 ; c) 3log 20 ;

d)

3

2

2 3

2 2log

16

; e) 43 4

log 3 log 4 ; f) ln 6

lg6.

9. Folosind proprietăţile logaritmilor, calculaţi: a) 2log 3

1 22

log 2 log 4 2 ; b) 12 12log 4 log 36 ;

c) 5 5

7log 7 log

25 ; d) 4 4 4log 12 log 32 log 3 ;

e) 1 1 1

3 3 3

log 2 log 18 log 3 ; f) 1 2 3 9

lg lg lg ... lg2 3 4 10 .

35

10. Să se arate că: a) 3 3(lg5) (lg20) lg8 lg0,25 2 ; b) 3 3(lg2) (lg50) lg125 lg0,04 2 ;

c) 3 3 32

10 1lg lg (10 ) lg lg 2a a

a a

, unde a 0.

11. Să se arate că: a)

2 11 33 2

1 3 142 2 2

2 8 4 2 19log

48 2 32

; b)

5 11 33 2

1 3 142 2 2

2 32 4 2 9log

42 2 32

;

c)

44 533

1 55 34 42

1log

2a

a a a

a a a a

, unde a 1.

12. Să se arate că: a) 2 2

96 12

log 24 log 1923

log 2 log 2 ; b) 3 3

162 486

log 54 log 182

log 3 log 3 .

c) 2 2

2 2 2 3

log (2 3) log (2 3)

log 2 log 2b d

a c

ab cd

, unde a, b, c, d *, cu a + b = c + d;

d) 3 3

3 2 3 2

log (3 2) log (3 2)

3 log 3b d

a c

ab cdlo

, unde a, b, c, d *, cu a + b = c + d.

13. Fie a,b,c 0. Să se arate că:

a) lg lg lg

1b c a

c a ba b c ; b) lg lg lg

1

b c a

c a bbc ca ab

a b c

;

c) ln ln ln2 2 2

1

b c a

c a ba b c

bc ca ab

; d)

lg lg lg

1

b c an n nc a ba b c

bc ca ab

, n .

14. Să se arate că:

a) 2 ( 1)log log ... log log

2n

a a a a

n nb b b b

;

b) 1 1 1 1

lg 1 lg 1 ... lg 1 lg2 3 n n

;

c) 2

1 1 1 1lg 1 lg 1 ... lg 1 lg

4 9

n

n n

;

d) 2 6 ( 1)log log ... log log1

n n aa a a

nb b b b

n

.

15. Fie 12log 18a şi 24log 54b .

a) Să se exprime a şi b în funcţie de 2log 3 . b) Să se exprime a în funcţie de b. c) Să se exprime b în funcţie de a.

16. a) Fie 30log 3a şi 30log 5b . Calculaţi 30log 8 în funcţie de a şi b.

36

b) Fie 70log 5a şi 70log 7b . Calculaţi 70log 16 în funcţie de a şi b.

c) Fie 2log xya x şi 2log xyb y , unde x,y . Calculaţi 2log 2nxy , n *,

în funcţie de a şi b. 17. Să se arate că expresiile următoare nu depind de x:

a) 2

33

5

log

log

xE

x ; b)

log

log

na

mb

xE

x ; c)

log 2

log 2x

x

E ;

d) log

log

nx

x

aE

a ; e) 5 5

7 7

log log

log log

x xE

x x

; f)

log log

log log

na a

nb b

x xE

x x

.

18. a) Fie 12log 2a şi 12log 5b . Calculaţi 6log 40 în funcţie de a şi b.

b) Fie 24log 2a şi 24log 5b . Calculaţi 6log 80 în funcţie de a şi b.

c) Fie 2 3

log 2na

şi 2 3

log 5nb

. Calculaţi 6log (2 5)m , unde m, n *.

19. Să se compare numerele: a) 2log 5 şi 2log 6 ; b) 1

2

log 5 şi 1

2

log 6 ; c) log 5a şi log 6a ; d) 2 şi 3log 8 ;

e) 2n şi 3log 8n ; f) 6 şi 2log 63 ; g) n şi 2log (2 1)n ; h) n şi 2log (2 1)n .

20. Stabiliţi semnul expresiei 2 3 0,5 0,6

1log 3 log log 6 log 0,7

4E .

21. Să se arate că: a) 2log 3 3log 4 ; b) 3log 4 4log 5 ;

c) log ( 1)n n 1log ( 2)n n , n , n 2.

22. Să se demonstreze că următoarele afirmaţii sunt echivalente:

a) 2 2 3a b ab şi lg lg

lg25

a b a b , unde a, b 0;

b) 2 2 (2 1)a b n ab şi lg lg

lg22 1

a b a b

n

, unde a, b 0, n *;

c) 2 2 7a b ab şi lg lg

lg3 2


d) 2 2 2( 2)a b n ab şi lg lg

lg2

a b a b

n

, unde a, b 0 şi n , n 2;

e) 2 24 9 88a b ab şi 2 3 lg lg

lg10 2


f) 2 2 2 2 2( 2 )n a m b p mn ab şi lg lg

lg2

na mb a b

p

, unde a, b 0,

m, n, p *, 2 2p mn .

23. a) Fie log log2 2a b

a b a bE

, unde a, b (1, ). Să se arate că E 2.

37

b) Fie log loga bE ab ab , unde a, b (1, ). Să se arate că E 2.

c) Fie 2 2

log loga b

ab abE

a b a b

, unde a, b (0, 1). Să se arate că E 2.

d) Fie 2 2 2 2

log log2 2a b

a b a bE

, unde a, b(1, ). Să se arate că E 2.

24. Să se demonstreze că numerele: 2log 3 , 3log 6 şi 1

3

log 10 sunt iraţionale.

25. a) Dacă 2lg( 2 ) lg lgx y x y , să se calculeze x

y.

b) Dacă 2lg( 6 ) lg lgx y x y , să se calculeze x

y.

c) Dacă 2lg( 12 ) lg lgx y x y , să se calculeze x

y.

d) Dacă 2lg ( 1) lg lgx n n y x y , unde n *, n este fixat, să se

calculeze raportul x

y.

26. a) Dacă 2

2lg lg lgx x yy

, să se calculeze xy.

b) Dacă 6

2lg lg lgx x yy


c) Dacă 12

2lg lg lgx x yy


d) Dacă ( 1)

2lg lg lgn n

x x yy

, unde n *, n fixat, să se calculeze

produsul xy.

27. Să se determine valoarea numerică a expresiei: 3 3

4 5

2 3

2 3E

, folosind operaţia

de logaritmare şi aproximarea cu 2 zecimale exacte: lg 2 = 0,30 şi lg 3 = 0,47.

28. Logaritmaţi expresiile: a) 2 32E ab c ; b) 2 3

4

5

3

a bE

c ; c)

2

23

2

3

a bE

b c

;

d) 4 3E a b c ; e)

3

5

2

aE

b

; f) 3 7

25

11 13 22

17 19 23E

.

29. Restrângeţi expresiile:

38

a) 2 23log 5 log 3 1

2 4 2E ; b)

13lg lg 2lg2

3E a b ;

c) 1

lg 3lg lg2

E a b c ; d) 21 1ln 3 ln 3 log 3 3

2 3 eE ;

e) 1

2lg 3lg lg2

E a b c ; f) 31 1ln 2 ln 2 log 2 2

3 2 eE .

30. Determinaţi expresia lui x, ştiind că: a) log log 2 log 3 log 5a a a ax ; b) log 2log 3 3log 5 5log 7a a a ax ;

c) 2 4 4

1 1log log ( ) log ( )

2 3x a b a b ; d) lg log ( 1) ( 1) loga ax n n n n ;

e) ln 2ln( ) 3lnx a b a b .

31. Dacă a, b, c 0 şi c 1, arătaţi că log logc cb aa b . 32. Arătaţi că, dacă lg x, lg y, lg z sunt în progresie aritmetică, atunci x, y, z sunt

în progresie geometrică. Verificaţi şi afirmaţia reciprocă. 33. Fie a, b, c, x (1, ). Arătaţi că, dacă a, b, c sunt în progresie geometrică,

atunci:

2 1 1

log log logb a cx x x .

34. a) Arătaţi că: 2

3log 3

2 ;

b) Arătaţi că: 2 3 4 5 2log 3 log 4 log 5 log 6 log 6 .

c) Demonstraţi inegalitatea: 2 3 4 5log 3 log 4 log 5 log 6 5 .

d) Demonstraţi că, pentru orice n 5, are loc inegalitatea:

2 3log 3 log 4 ... log ( 1) 5n n . (Mircea Berca, Huşi)

35. a) Să se arate că, dacă a, b, c (1, ) sau a, b, c (0, 1), atunci: log log log 9

2( )a b cb c a

a b b c c a a b c

.

b) Fie a, b, c (1, ) sau a, b, c (0, 1), să se demonstreze că:

log log log 9a b cb c a

c a b a b c

. (G.M. 10/2006, Dorin Mărghidan, Corabia, Olt)

c) Fie a, b, c (1, ) sau a, b, c (0, 1) şi n . Demonstraţi că:

log log log 9a b c

n n n n n n

b c a

c a b a b c

. (Dezvoltare, Marin Chirciu, Piteşti)

36. a) Dacă a, b, c (0, 1) sau a, b, c (1, ), arătaţi că: 2 2 2log log log 1

a b b c c aa b c . (GM 9/2006, Gh. Ghiţă, Buzău)

b) Dacă a, b, c (0, 1) sau a, b, c (1, ) şi n , n 2, arătaţi că:

39

3

log log log1

n n na b b c c aa b c

n

. (OM 2008, Argeş, Etapa locală, Marin Chirciu)

c) Dacă a, b, c (0, 1) sau a, b, c (1, ) şi n , n 2, arătaţi că:

3

log log log1

n n nab bc caa b c

n

. (OM 2008, Argeş, Marin Chirciu)

37. a) Dacă a, b, c (0, 1) sau a, b, c (1, ), arătaţi că: 1 1 1

12 log 2 log 2 loga b cb c a

. (GM. 3/2007, Marin Chirciu, Piteşti)

b) Dacă a, b, c (0, 1) sau a, b, c (1, ) şi n 2, n , arătaţi că:

1 1 1 3

log log log 1a b cn b n c n a n

.

38. a) Dacă a, b, c 1, demonstraţi că: 2 2 2 2 2 2

3log log log

5ab c bc a ca ba b c .

(GM 5/2007, Mihaly Bencze, Braşov)

b) Dacă a, b, c, n 1, demonstraţi că: 3

log log log2 1

n n n n n nab c bc a ca ba b c

n

.

c) Dacă a, b, c, n, m 1, demonstraţi că: 3

log log log1

n m n m n mab c bc a ca ba b c

m n

.

(Dezvoltare, Marin Chirciu, Piteşti) 39. Demonstraţi că:

a) log log log 9a b cb c a

c a b a b c

, a, b, c (1, );

b) 2 2 2 2 2 2

log log log 9a b cb c a

c a b a b c

, a, b, c (1, );

c) log log log 9a b c

n n n n n n

b c a

c a b a b c

, a, b, c (1, ), n *.

40. Fie a, b, c (0, 1) sau a, b, c (1, ). Demonstraţi inegalităţile:

a) log log log 9

2( )a b cb c a

a b b c c a a b c

;

b) 2 2 2log log log 9

2( )a b cb c a

a b b c c a a b c

;

c) log log log 9

2( )

n n n

a b cb c a

a b b c c a a b c

, n *;

d) 2 2 2log log log 9

8( )ab bc cac a b

a b b c c a a b c

;

(OM 2004, Dolj, Marius Ghergu)

COMENZI – CARTEA PRIN POȘTĂ Adresa: IAȘI , Bd. Ștefan cel Mare și Sfânt, nr. 2 -

700124 Telefon: 0763 082 213 E-mail: [email protected]

Tipărit în România

Documents

MARIN CHIRCIU - Auxiliare