Marsden • Ratiu Einfiihrung in die Mechanik und Symmetrie

Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH

Jerrold E. Marsden • Tudor S. Ratiu

Einfuhrung in die Mechanik und Symmetrie Eine grundlegende Darstellung klassischer mechanischer Systeme

Ubersetzt von Stefan Hackmann und Ulrich Krahmer

Springer

Professor Dr. Jerrold E. Marsden California Institute of Technology Control and Dynamical Systems, 107-81 Pasadena, CA 91125, USA

Professor Dr. Tudor S. Ratiu Ecole Polytechnique Federale de Lausanne Department de Mathematiques 1015 Lausanne, Schweiz

Ubersetzer: Stefan Hackmann Immelmannweg 30 49088 Osnabriick, Deutschland

Obersetzung der englischen Ausgabe:

Ulrich Krahmer Fiirstendamm IOa 13465 Berlin, Deutschland

Introduction to Mechanics and Symmetryvon J.E.Marsden/ T.S. Ratiu. Copyrigbt © 1999 Springer-Verlag New York Inc. Alle Rechte vorbehaIten

Die Deutsche Bibliothek - CIP-EinheitsaufnaIune

Marsden, Jerrold E.: Einfiihrung in Mechanik und Symmetrie : eine grundlegende Darstellung klassischer mechanischer Systeme / Jerrold E. Marsden; Tudor S. Ratiu. Obers. von S. Hackmann; U. Kriihmer. - Berlin; Heidel­berg; New York; Barcelona; Hongkong; London; Mailand; Paris; Singapur; Tokio: Springer, 200 1 Einheitssacht.: Introduction to mechanics and symmetry <dt.>

ISBN 978-3-540-67952-3 ISBN 978-3-642-56859-6 (eBook) DOI 10.1007/978-3-642-56859-6

Mathematics Subject Classification (2000): 37}, 70E, 70F, 70G, 70H, 70K

ISBN 978-3-540-67952-3

Dieses Werk isI urheberrechtlich geschiilzt. Die dadurch begriindeten Rechte, insbesondere die der Dbersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und TabelIen, der Funk­sendung, der Mikroverfilmung oder der VervieWiltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehaIten. Eine Ver­vielfaltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im EinzeifaIl nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. Sep­tember 1965 in der jeweils geltenden Fassung znlassig. Sie ist grundsatzlich vergiitungspflichtig. Zuwi­derhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes.

http://www.springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001 UrsprDnglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 2001

Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk be­rechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daB solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung aIs frei zu betrachten wiiren und daher von jeder­mann benutzt werden diirften.

EinbandgestaItung: design & pro~uction GmbH, Heidelberg Satz: DatenerstelIung durch die Uberstzer unter Verwendung eines Springer M-1j;X- Makropakets GedrucktaufsaurefreiemPapier SPIN 10743464 46/3143CK-5 43210

fur Barbara und Lilian mit Dank fur ihre Liebe und Unterstutzung

Vorwort zur amerikanischen A usgabe

Symmetrie und Mechanik bestaxken sich seit der Zeit von Newton, Eu­ler, Lagrange, Laplace, Poisson, Jacobi, Hamilton, Kelvin, Routh, Riemann, Noether, Poincare, Einstein, Schradinger, Cartan und Dirac, die aIle grundle­gende Arbeiten auf dies em Gebiet leisteten, gegenseitig in ihrer Entwicklung und auch heutzutage ist die Symmetrie, insbesondere in den modernen Ar­beiten von Kolmogorov, Arnold, Moser, Kirillov, Kostant, Smale, Souriau, Guillemin, Sternberg und vie len anderen weiterhin von besonderer Bedeu­tung. Dieses Buch handelt von diesen Entwicklungen. Wir legen Wert auf konkrete Anwendungen, denn wir hoffen, es auf diese Weise fiir einen groBen Leserkreis, insbesondere fiir fortgeschrittene Studenten und Doktoranden aus Wissenschaft und Technik attraktiv zu machen.

Die geometrische Formulierung der Mechanik verband in Kombination mit handfester Analysis auf phanomenale Weise viele verschiedene und auch interdisziplinare Gebiete miteinander. So konnte man einerseits die Struktu­ren, die der Mechanik zugrunde liegen (wie z.B. Variationsstrukturen und Hamiltonsche Strukturen in der Kontinuumsmechanik, Hydrodynamik und Plasmaphysik) besser verstehen und andererseits niitzliche Methoden fiir spe­zielle Modelle gewinnen: Neue Stabilitats- und Bifurkationskriterien, die die Energie-Casimir- und die Energie-Impuls-Methode verwenden, neue numeri­sche Codes, die auf geometrisch exakten Aktualisierungsprozeduren und Va­riationsintegratoren basieren, und neue Reorientierunstechniken in der Kon­trolltheorie und Robotik.

Symmetrien wurden in der Mechanik schon von ihren Begriindern in groBem Umfang genutzt und die zugehi:irigen Theorien sind in jiingster Zeit auf verschiedenen Gebieten betrachtlich weiterentwickelt worden. Dazu gehOren: Reduktion, Stabilititat, Bifurkation und Symmetriebrechung einer Lasung beziiglich der gegebenen Symmetriegruppe eines Systems und Me­thoden, explizite Lasungen fiir integrable Systeme aufzufinden und spezielle Systeme wie zum Beispiel den Kowalewskikreisel besser zu verstehen. Wir hoffen, daB dieses Buch den Leser in sinnvoller Weise zu diesen interessanten Ergebnissen fiihrt und eine Grundlage fiir deren Verstandnis bildet.

Da sich die Theorie in eine Vielzahl von Richtungen weiterentwickeln laBt, haben wir cine recht umfangreiche Einleitung geschrieben. Sie sollte

\1111 \1orvvort

zu Beginn weniger genau gelesen und dann von Zeit zu Zeit, wenn der Text selber gelesen wird, zu Rate gezogen werden.

In diesem Band wird ein GroBteil der elementaren Theorie der Mechanik besprochen. Er solI sich als eine nutzliche Grundlage fur sich anschlieBende und ebenso fUr speziellere Themen ervveisen. Jedoch vvarnen vvir den Leser: Viele vvichtige Themen konnen an dieser Stelle vvegen des begrenzten Um­fangs nicht behandelt vverden. Zur allgemeinen Reduktionstheorie und ihren Anvvendungen bereiten vvir einen zvveiten Band vor, und mit etvvas Gluck, Unterstutzung und nach vveiterer harter Arbeit vvird er in naher Zukunft erhaltlich sein.

Ein Losungshandbuch. Fur Lehrende steht ein Losungshandbuch zur Verfugung, das die vollstandigen Losungen zu vielen Ubungen und auch ande­re erganzende Anmerkungen erhalt. Weitere Informationen findet man unter der Internetadresse

http://www.cds.caltech.edu/-marsden/books/.

Erganzungen im Internet. Urn dem Buch einen vernunftigen Umfang zu geben, haben wir Abschnitte, die sich nicht wesentlich mit dem Text uber­schneiden, weggelassen und in einer Zusammenstellung uber das Internet frei zuganglich gemacht. Diese Zusammenstellung und auch aktuelle Erganzun­gen sowie Informationen zum Buch sind ebenfalls auf der oben angegebenen Webseite zu finden.

Was ist neu an der zweiten Auflage? Das Losungshandbuch (sowie viele neue Ubungsaufgaben im Text) und die Erganzungen im Internet stel­len die hauptsachlichen strukturellen Veranderungen in dieser zvveiten Auf­lage dar. Die Interneterganzungen enthalten z.B. Material zum Maslovindex, das nicht benotigt wurde, urn den wesentlichen Textinhalt verstandlich zu machen. Vieles wurde auch neu geschrieben, urn einerseits den Stoff flussi­ger zu prasentieren und andererseits Ungenauigkeiten zu korrigieren. Dazu Beispiele: Das Material zur Hamilton-J acobi-Theorie wurde vollstandig neu geschrieben, ein neuer Abschnitt zur Routh-Reduktion (§8.9) wurde hinzu­gefUgt und das Kap. 9 zu den Liegruppen wurde stark verbessert und erwei­tert. Durch die Verwendung von Matrixmethoden konnten wir die Beispiele zu den koadjungierten Orbits (in Kap. 14) besser formulieren.

Danksagung. Wir danken Rudolf Schmid, Rich Spencer und Alan Wein­stein fur einen fruhen Satz von Notizen, der uns auf unserem Weg hilfreich war. Unseren vielen Kollegen, Studenten und Lesern, insbesondere Henry Abarbanel, Vladimir Arnold, Larry Bates, Michael Berry, Tony Bloch, Dong­Eui Chang, Hans Duistermaat, Marty Golubitsky, Mark Gotay, George Hal­ler, Aaron Hershman, Darryl Holm, Phil Holmes, Sameer Jalnapurkar, Ed­gar Knobloch, P.S. Krishnaprasad, Naomi Leonard, Debra Lewis, Robert Littlejohn, Richard Montgomery, Phil Morrison, Richard Murry, Peter Ol­ver, Oliver O'Reilly, Juan-Pablo Ortega, George Patrick, Octavian Popp,

Vorwort IX

Mason Porter, Mathias Reinsch, Shankar Sastry, Tanya Schmah, Juan Si­mo, Hans Troger, Loc Vu-Quoc und Steve Wiggins m6chten wir sehr fUr ihre Ermutigungen und ihre Anregungen danken. Gemeinsam danken wir eben­falls allen unseren Studenten und Kollegen, die diese Notizen verwandt und uns wertvolle Ratschliige geliefert haben.

Wir sind auch Carol Cook, Anne Kao, Nawoyuki Gregory Kubota, Sue Knapp, Barbara Marsden, Marnie McElhiney, June Meyermann, Teresa Wild und Ester Zack fur ihrer Sorgfalt und Geduld beim Erstellen des Manuskrip­tes und der Bilder zu dies em Buch dankbar. Ganz besonders danken wir Hendra Adiwidjaja, Nawoyuki Gregory Kubota und Wendy McKay fur ihre groBen Muhen bei den Schreibarbeiten, fUr die Indexmakros und die Pro­gramme fUr die automatische Konvertierung des Sachverzeichnisses und fur das Anfertigen der Abbildungen (einschlie£lich des Titelbildes). Wir dan­ken auch den Mitarbeitern des Springer-Verlages, insbesondere Achi Dosan­jh, Laura Carlson, MaryAnn Cottone, David Kramer, Ken Dreyhaupt und Rudiger Gebauer fUr ihre professionelle redaktionelle Arbeit und fUr die Pro­duktion dieses Buches.

Pasadena, im Dezember 1998

Santa Cruz, im Dezember 1998

Jerry Marsden

Tudor Ratiu

Vorwort zur deutschen Ubersetzung

Wir freuen uns sehr uber diese Ubersetzung unseres Buches durch Stefan Hackmann und Ulrich Kriihmer, denen wir fur ihre gewissenhafte und pro­fessionelle Arbeit sehr dankbar sind.

Ihre Ubersetzung basiert auf der zweiten englischen Auflage. Hinzugekom­men ist eine Reihe von Verbesserungen und Zusiitzen, die ihnen im Lauf der Arbeit aufgefallen sind und die auch in die niichste englische Auflage uber­nommen werden.

Wir wunschen den deutschsprachigen Lesern alles Gute und viel Freude mit dem Buch. Selbstverstiindlich begruBen wir aIle Verbesserungsvorschliige.

Dezember 2000 Jerrold E. Marsden und Tudor S. Ratiu

Uber die Autoren

Jerrold E. Marsden ist Professor fur Kontrolltheorie und dynamische Sy­steme am Caltech. Er erhielt seinen B.Sc. im Jahr 1965 in Toronto und seinen Ph.D. im Jahr 1968 von der Princeton University, beide in ange­wandter Mathematik. Er hat auf dem Gebiet der Mechanik umfangrei­che Forschungen mit Anwendungen in der Dynamik starrer K6rper, Hy­drodynamik, Elastizitatstheorie, Plasmaphysik und auch allgemeinen Feld­theorie betrieben. Sein derzeitiges Hauptinteresse gilt dem den dynami­schen Systemen und der Kontrolltheorie, insbesondere interessiert er sich fUr die Beziehung dieses Gebietes zu mechanischen Systemen mit Sym­metrien, was ein aktives und viel untersuchtes Thema der aktuellen For­schung ist. 1m Jahre 1990 empfing er den renommierten Norbert-Wiener­Preis der American Mathematical Society und der Society fur Industri­al and Applied Mathematics und wurde 1997 zum Mitglied der Ameri­can Academy of Arts and Sciences gewahlt. Er war 1977 Carnegie Fellow an der Heriot-Watt University, 1979 Killam Fellow an der University of Calgary, Empfanger des Jeffrey-William-Preises der Canadian Mathemati­cal Society im Jahre 1981, Miller-Professor an der University of California, Berkeley (1981-1982), Empfanger des Humboldt-Preises in Deutschland (1991) und 1992 Fairchild Fellow am Caltech. Er war auch in verschiede­nen Instituten im Bereich der Verwaltung tatig, z.B. war er von 1984 bis 1986 Direktor der Forschungsgruppe fur nichtlineare Systeme und Dynamik in Berkeley, Berater fUr mathematische Angelegenheiten am NSF, im Bera­tungskomitee des mathematischen Institutes in Cornell vertreten und Direk­tor des Fields Institute von 1990 bis 1994. Seit 1982 schreibt er dur die Reihe Applied Mathematical Sciences des Springer-Verlages und ist Mitherausgeber verschiedener Journale zur Mechanik, Dynamik und Kontrolltheorie.

Tudor S. Ratiu ist Professor fur Mathematik an der University of Califor­nia, Santa Cruz und des Swifi Federal Institute of Technology in Lausanne. Er erhielt seinen B.Sc. in Mathematik und M.Sc. in angewandter Mathe­matik an der Universitat von Timi§oara in Rumanien und im Jahr 1980 seinen Ph.D. in Mathematik in Berkeley. Er hat zuvor an der University of Michigan, Ann Arbor, als T.H. Hildebrandt Research Assistant Professor (1980-1983) und von 1983 bis 1987 an der University of Arizona, Tucson, ge-

XII Vorwort

lehrt. Die Interessenschwerpunkte seiner Forschung liegen auf geometrischer Mechanik, symplektischer Geometrie, globaler Analysis und unendlichdimen­sionaler Lie-Theorie mit Anwendungen in integrablen Systemen, nichtlinea­rer Dynamik, Kontinuumsmechanik, Plasmaphysik und Bifurkationstheorie. Er war National Science Foundation Postdoctoral Fellow (1983-1986), Sloan Foundation Fellow (1984-1987), Miller Research Professor in Berkeley (1994) und Empfanger des Humboldt-Preises in Deutschland (1997). Seit seiner An­kunft an der UC Santa Cruz 1987 ist er im Vorstandskomitee der Nonlinear Sciences Organized Research Unit. Er ist fiihrender Herausgeber der AMS Surveys and Monographs Serie und Mitherausgeber der Annals of Global Analysis und der Annals of the University of Timi§oara. Desweiteren war er Mitglied verschiedener Forschungsinstitute, wie zum Beispiel des MSRI in Berkeley, des Center for Nonlinear Studies in Los Alamos, des Max-Planck­Institutes in Bonn, des MSI in Cornell, des IHES in Bures-sur-Yvette, des Fields Institute in Toronto (Waterloo), des Erwin-Schrodinger-Institutes flir mathematische Physik in Wien, des Isaac Newton Institute in Cambridge und des RIMS in Kyoto.

Inhaltsverzeichnis

1. Einfiihrung und Uberblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Lagrangescher und Hamiltonscher Formalismus . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Der starre Karper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Lie-Poisson-Klammern, Mannigfaltigkeiten und Impulsabbil-

dungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10 1.4 Der schwere Kreisel .................................... 16 1.5 Inkompressible Fliissigkeiten ............................ 19 1.6 Das Maxwell-Vlasov-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22 1. 7 Nichtlineare Stabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30 1.8 Bifurkation................................... . . . . . . . .. 45 1.9 Die Poincare-Melnikov-Methode ......................... 49 1.10 Resonanzen, geometrische Phasen und die Kontrolltheorie . .. 52

2. Hamiltonsche Systeme in linearen symplektischen Raumen 65 2.1 Einfiihrung............................................ 65 2.2 Symplektische Formen auf Vektorraumen ................. 70 2.3 Kanonische Transformationen bzw. symplektische Abbildungen 73 2.4 Die allgemeinen Hamiltonschen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . .. 78 2.5 Wann sind Gleichungen Hamiltonsch? .................... 81 2.6 Hamiltonsche Fliisse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 85 2.7 Poissonklammern. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 87 2.8 Ein Teilchen in einem rotierenden Reifen. . . . . . . . . . . . . . . . .. 91 2.9 Die Poincare-Melnikov-Methode ......................... 98

3. Eine Einfiihrung in unendlichdimensionale Systeme ....... 111 3.1 Lagrangesche und Hamiltonsche Gleichungen der Feldtheorie 111 3.2 Beispiele: Die Hamiltonschen Gleichungen ................. 113 3.3 Beispiele: Poissonklammern und Erhaltungsgraf3en ......... 121

4. Mannigfaltigkeiten, Vektorfelder und Differentialformen .. 127 4.1 Mannigfaltigkeiten ..................................... 127 4.2 Differentialformen ..................................... 135 4.3 Die Lieableitung ....................................... 143 4.4 Der Satz von Stokes .................................... 147

XIV Inhaltsverzeichnis

5. Hamiltonsche Systeme auf symplektischen Mannigfaltigkeiten ........................................ 153 5.1 Symplektische Mannigfaltigkeiten ........................ 153 5.2 Symplektische Transformationen ......................... 156 5.3 Komplexe Strukturen und Kahlermannigfaltigkeiten ........ 158 5.4 Hamiltonsche Systeme .................................. 164 5.5 Poissonklammern auf symplektischen Mannigfaltigkeiten .... 167

6. Kotangentialbiindel ....................................... 173 6.1 Der lineare Fall ........................................ 173 6.2 Der nichtlineare Fall .................................... 175 6.3 Kotangentiallifte ....................................... 178 6.4 Lifts von Wirkungen ................................... 181 6.5 Erzeugendenfunktionen ................................. 182 6.6 Fasertranslationen und magnetische Terme ................ 185 6.7 Ein Teilchen im Magnetfeld ............................. 186

7. Lagrangesche Mechanik ................................... 189 7.1 Das Hamiltonsche Prinzip der stationaren Wirkung ........ 189 7.2 Die Legendretransformation ............................. 191 7.3 Die Euler-Lagrange-Gleichungen ......................... 193 7.4 Hyperregulare Lagrange- und Hamiltonfunktionen .......... 196 7.5 Geodaten ............................................. 204 7.6 Das Kaluza-Klein-Verfahren fUr geladene Teilchen .......... 208 7.7 Bewegung in einem Potentialfeld ......................... 211 7.8 Das Lagrange-d'Alembertsche Prinzip .................... 214 7.9 Die Hamilton-Jacobi-Gleichung ......................... 219

8. Variationsprinzipien, Zwangsbedingungen und rotierende Systeme ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 8.1 Ruckkehr zu den Variationsprinzipien ..................... 229 8.2 Die Geometrie der Variationsprinzipien ................... 236 8.3 Systeme mit Zwangsbedingungen ........................ 244 8.4 Bewegung mit Zwangsbedingungen in einem Potentialfeld ... 249 8.5 Diracsche Zwangsbedingungen ........................... 253 8.6 Zentrifugal- und Corioliskrafte ........................... 259 8.7 Die geometrische Phase fur ein Teilchen in einem Reifen .... 264 8.8 Bewegte Systeme ...................................... 268 8.9 Routhreduktion ........................................ 271

9. Liegruppen ............................................... 277 9.1 Grundlegende Definitionen und Eigenschaften ............. 278 9.2 Einige der klassischen Liegruppen ....................... 296 9.3 Wirkungen von Liegruppen .............................. 322

Inhaltsverzeichnis XV

10. Poissonmannigfaltigkeiten ................................ 341 10.1 Die Definition einer Poissonmannigfaltigkeit ............... 341 10.2 Hamiltonsche Vektorfelder und Casimirfunktionen .......... 347 10.3 Eigenschaften von Hamiltonschen Flussen ................. 352 10.4 Der Poissontensor ...................................... 355 10.5 Quotienten von Poissonmannigfaltigkeiten ................ 364 10.6 Die Schoutenklammer .................................. 368 10.7 Allgemeine Eigenschaften von Lie-Poisson-Strukturen ....... 375

11. Impulsabbildungen ....................................... 381 11.1 Kanonische Wirkungen und ihre infinitesimalen Erzeuger ... 381 11.2 Impulsabbildungen ..................................... 383 11.3 Eine algebraische Definition der Impulsabbildung .......... 386 11.4 Impulsabbildungen als ErhaltungsgroBen ................. 388 11.5 Aquivarianz von Impulsabbildungen ...................... 394

12. Berechnung und Eigenschaften von Impulsabbildungen ... 401 12.1 Impulsabbildungen auf Kotangentialbundeln .............. 401 12.2 Beispiele von Impulsabbildungen ........................ 406 12.3 Aquivarianz und infinitesimale Aquivarianz ................ 414 12.4 Aquivariante Impulsabbildungen sind Poissonsch ........... 422 12.5 Poissonsche Automorphismen ............................ 431 12.6 Impulsabbildungen und Casimirfunktionen ................ 432

13. Lie-Poisson- und Euler-Poincare-Reduktion ............... 435 13.1 Der Satz zur Lie-Poisson-Reduktion ...................... 435 13.2 Der Beweis des Satzes zur Lie-Poisson-Reduktion fur GL(n) . 438 13.3 Lie-Poisson-Reduktion uber Impulsfunktionen ............. 439 13.4 Reduktion und Rekonstruktion der Dynamik .............. 441 13.5 Die Euler-Poincare-Gleichungen ......................... 450 13.6 Die Lagrange-Poincare-Gleichungen ...................... 460

14. Koadjungierte Orbits ..................................... 465 14.1 Beispiele von koadjungierten Orbits ...................... 466 14.2 Tangentialvektoren an koadjungierte Orbits ............... 472 14.3 Die symplektische Struktur auf koadjungierten Orbits ...... 475 14.4 Die Klammer auf dem Orbit und die Lie-Poisson-Klammer .. 481 14.5 Die spezielle lineare Gruppe der Ebene ................... 487 14.6 Die Euklidische Gruppe der Ebene ....................... 489 14.7 Die Euklidische Gruppe im dreidimensionalen Raum ....... 495

15. Der freie starre Korper ................................... 503 15.1 Materielle, raumliche und korpereigene Koordinaten ........ 503 15.2 Die Lagrangefunktion des freien starren Korpers ........... 505 15.3 Lagrange- und Hamiltonfunktion in korpereigener Darstellung507

XVI Inhaltsverzeichnis

15.4 Kinematik auf Liegruppen .............................. 511 15.5 Der Satz von Poinsot ................................... 512 15.6 Die Eulerschen Winkel .................................. 515 15.7 Die Hamiltonfunktion des freien starren K6rpers ........... 517 15.8 Die analytische L6sung des freien starren K6rpers .......... 519 15.9 Die Stabilitat des starren K6rpers ........................ 525 15.10 Die Stabilitat des schweren Kreisels ...................... 529 15.11 Der starre K6rper und das Pendel. ....................... 533

Literaturverzeichnis .......................................... 541

Sachverzeichnis ............................................... 575