Embed Size (px)
Citation preview
Sveuciliste Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku
Odjel za matematiku
Martina Lovric
Pojam beskonacno
Diplomski rad
Osijek, 2012.
Sveuciliste Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku
Odjel za matematiku
Martina Lovric
Pojam beskonacno
Diplomski rad
Mentor: doc.dr.sc. Tomislav Marosevic
Osijek, 2012.
Sadrzaj
Uvod 1
1 Prosirenje skupova 4
1.1 Realni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Skup R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Skup C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Limes niza realnih brojeva 10
2.1 Problem duljine kruznice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Definicija limesa niza realnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Operacije s limesima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Limes u R 15
3.1 Beskonacni limes u konacnoj tocki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.1. Vertikalna asimptota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Konacni limes u beskonacnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.1. Horizontalna asimptota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.2. Kosa asimptota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Beskonacni limes u beskonacnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 L’Hopitalovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5 Primjer nepravog integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Beskonacni skupovi 33
4.1 Kardinalni broj skupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Prebrojivi skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3
4
4.3 Neprebrojivi skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Literatura 39
Sazetak 41
Summary 42
Zivotopis 43
Uvod
Ljudi su oduvijek razmisljali o svijetu u kojem zive. Postavljala su se razlicita pitanja:
- Je li svijet nastao u odredenom trenutku ili je uvijek postojao?
- Je li svijet zauvijek ili postoji konacan kraj?
- Sto bi se dogodilo ako se bez prestanka putuje u odredenom smjeru? Da li bi se
dosegao kraj svijeta ili bi se moglo putovati zauvijek?
- Je li prostor u kojem se nalaze zvijezde, planeti, sunce i mjesec konacan ili se
kroz njega moze ici zauvijek?
Odgovore na ta pitanja o beskonacnosti ljudi su poceli traziti od davnina, a napose od
5. st. pr. Kr. u staroj Grckoj ([10]).
• Stari Grci dosli su do problema beskonacnosti u ranoj fazi razvoja matematike
i znanosti. U svojoj studiji materije postavili su temeljno pitanje :“Moze li se
materija dijeliti na sve manje i manje komade ili ce se jednom doci do tako
malenog dijela koji se ne moze podijeliti?”
• Pitagora je tvrdio : “Sve je broj! ”. Takoder je tvrdio da je svemir sastavljen od
konacnih prirodnih brojeva.
• Atomisti su vjerovali da je materija sastavljena od beskonacnog broja nedjeljivih
dijelova.
• Postojala je i suprotna teorija od atomista, npr. opisana u Zenonovim paradok-
sima koji govore da je materija stalno djeljiva.
Aristotel je uveo ideju koja ce dominirati razmisljanjem 2000 godina i koja je jos
uvijek uvjerljiv argument za neke ljude danas : Prirodne brojeve ne mozemo zamisliti
kao cjelinu. Oni su potencijalno beskonacni u smislu da davajuci bilo kakve konacne
skupove uvijek mozemo naci neki veci konacni skup ([10]).
1
2
Slika 1. Galileo Galilei
Nakon toga pojavljuje se prva zagonetka, koju je zabiljezio jos Galileo. Prirodni brojevi
1, 2, 3, . . . izgledaju intuitivno brojniji od parnih brojeva 2, 4, 6, 8, . . . . Mozemo cak
tvrditi da postoji dvostruko vise prirodnih brojeva nego parnih. No ipak, kada ih
prebrojimo u smislu Cantorovih kardinalnih brojeva, prirodni brojevi i parni brojevi
ispadaju slicni. Oni se mogu postaviti u odnos jedan-prema-jedan :
1, 2, 3, . . . n . . .↓ ↓ ↓ ↓2, 4, 6, . . . 2n . . .
Ovo sugerira da u odnosima beskonacnih skupova cjelina nije nuzno veca od svojih
dijelova. Galileo je drzao da je ovakav zakljucak proturjecan, dok je Cantor to prev-
ladao s lakocom. Prirodni brojevi i parni brojevi jesu slicni; oni mogu biti stavljeni
u jedan-prema-jedan odnos; i oni dakle dijele isti kardinalni broj. Slijedi da su oni
jednako veliki skupovi.
U matematici ima puno stvari koje se, poput prirodnih brojeva, nastavljaju zauvijek.
Limesi zahtijevaju konvergenciju kroz beskonacno mnogo koraka. Razlomci padaju bez
kraja, a tocke se pojavljuju izmedu tocaka, bilo na pravcu, bilo u prostoru. Ovakvi
razliciti procesi i stvari, oko cega su se matematicari sporili, bili su samo potencijalno
beskonacni primjeri. Prirodni brojevi se doista nastavljaju u nedogled, ali za bilo koji
realni broj postoji samo konacno mnogo prirodnih brojeva manjih od tog broja. Ono
sto je izgledalo ocigledno neprihvatljivo bila je ideja potpune beskonacnosti, necega
sto je beskonacno veliko u samoj svojoj prirodi. Poznata je Gaussova izjava : “Ne-
godujem protiv uporabe beskonacne dimenzije kao neceg potpunog, sto je nedopustivo
u matematici. Beskonacnost je samo nacin izrazavanja kojem je pravo znacenje pos-
tojanje granice, kojoj se odredeni omjeri priblizavaju proizvoljno blizu, dok je drugima
3
dopusteno da rastu neograniceno.”
Ovakvo glediste je ono u kojemu pojmovi “priblizavaju proizvoljno blizu” i “rastu neo-
graniceno” pretpostavljaju zabranjene ideje o beskonacnosti koje su se htjele izbjeci.
Niz omjera 1n
“priblizava se proizvoljno blizu” nuli kada n “raste neograniceno”, iako za
bilo koju danu vrijednost od n jos uvijek postoji beskonacno mnogo razlomaka izmedu1n
i nule, te beskonacno mnogo brojeva iza n.
Slika 2. Gauss Carl Friedrich
Poglavlje 1
Prosirenje skupova
Sto su skupovi? Uzmimo za primjer neku sportsku ekipu. Igraci te ekipe cine cjelinu,
tj. skup. Taj skup naziva se momcad, a svaki igrac je element tog skupa. Skupove
oznacavamo velikim latinskim slovima, npr. S,A,B, T, . . .
Kazemo da je skup S zadan ako je dan neki propis, ogranicenje ili svojstvo prema
kojemu mozemo tocno ustanoviti koji elementi pripadaju u taj skup.
Promotrimo li brojeve, mozemo istaknuti dva skupa :
1. skup realnih brojeva R
2. skup kompleksnih brojeva C.
1.1 Realni brojevi
Skup realnih brojeva R sastoji se od dva disjunktna podskupa: skupa racionalnih bro-
jeva Q i skupa iracionalnih brojeva I, sto se oznacava s R = Q∪ I, gdje je Q∩ I = ∅.
Skup racionalnih brojeva Q sastoji se od brojeva koji se mogu pisati u obliku mn
, gdje
su m i n 6= 0 cijeli brojevi. Dva njegova podskupa su :
- skup prirodnih brojeva N = 1, 2, 3, 4, ...
- skup cijelih brojeva Z = 0,−1, 1,−2, 2,−3, 3, ....
4
5
Znamo da su skupovi N, Z i Q beskonacni, tj. znamo njihova vazna svojstva :
- N ima najmanji element i to je 1, ali nema najveci
- Z i Q nemaju ni najmanjeg ni najveceg elementa.
Svaki element skupova N,Z i Q mozemo smjestiti kao tocku na brojevni pravac. No,
pokrivaju li elementi skupa Q cijeli brojevni pravac? Odgovor je NE. Postoje tocke
T na brojevnom pravcu koje nisu elementi skupa Q. Npr. takva tocka je dijagonala
jedinicnog kvadrata.
Tu uvodimo skup realnih brojeva R koji pored racionalnih brojeva sadrzi i iracionalne
brojeve kao sto su :√
2,√
3,√
5,√
7, π, . . . Zapravo, skup R se uvodi zbog toga sto
skup Q nije dovoljan za odredivanje udaljenosti tocaka na pravcu.
Opisno govoreci, skup R ima ova tri svojstva :
a) Skup racionalnih brojeva je pravi podskup skupa realnih brojeva
b) Skup realnih brojeva ima upravo toliko elemenata da se svakoj tocki na pravcu
moze pridruziti jedan realan broj
c) Realne brojeve mozemo zbrajati, oduzimati, mnoziti, dijeliti (osim s nulom) i
usporedivati po istim pravilima kao i racionalne brojeve.
Istaknimo malo preciznije neka od tih svojstava.
Na R je definirano zbrajanje, tj. za bilo koja dva elementa a, b ∈ R odreden je realan
broj a+ b ∈ R koji zovemo zbroj brojeva a i b.
Zbrajanje ima ova svojstva:
A-1. Asocijativnost zbrajanja:
(x+ y) + z = x+ (y + z), x, y, z ∈ R.
A-2. Postoji jedinstveni element 0 ∈ R (koji zovemo nula), takav da je :
x+ 0 = 0 + x = x, x ∈ R.
6
A-3. Za svaki x ∈ R postoji jedinstveni element −x ∈ R, takav da je:
x+ (−x) = (−x) + x = 0.
Broj −x zove se suprotan broj broja x.
A-4. Zbrajanje je komutativno, tj. vrijedi:
x+ y = y + x, x, y ∈ R.
Na R je definirano i mnozenje, tj za svaka dva realna broja a, b potpuno je odreden
realan broj a · b koji zovemo produkt brojeva a i b. Produkt ima ova svojstva:
A-5. Asocijativnost mnozenja:
(xy)z = x(yz), x, y, z ∈ R.
A-6. Komutativnost mnozenja:
xy = yx, x, y ∈ R.
A-7. Postoji element 1 ∈ R takav da je 1 6= 0 i da vrijedi:
1 · x = x · 1, x ∈ R.
Element 1 zove se jedinica.
A-8. Ako je x ∈ R i x 6= 0, onda postoji jedinstveni element x−1 = 1x∈ R takav da je
x · 1x
= 1.
A-9. Mnozenje je distributivno prema zbrajanju:
x(y + z) = xy + xz, x, y, z ∈ R.
Definicija 1.1 Uredena trojka (R,+, ·) zajedno s navedenih devet svojstava operacija
zbrajanja + i mnozenja · nazivamo polje realnih brojeva .
Skup R je ureden, tj. elementi skupa R mogu se medusobno usporedivati pomocu
relacije “biti manji ili jednak” (u oznaci ≤). Vrijede sljedeca svojstva:
A-10. Za bilo koja dva elementa x, y ∈ R vrijedi bar jedna od ovih izreka:
x = y ili x ≤ y ili y ≤ x.
A-11. x ≤ y i y ≤ x, ako i samo ako x = y.
7
A-12. Ako je x ≤ y i y ≤ z onda je x ≤ z, tj. relacija ≤ je tranzitivna.
A-13. Relacija ≤ je u suglasnosti sa zbrajanjem, tj.
(x ≤ y)⇒ (x+ z ≤ y + z), z ∈ R.
A-14. Relacija ≤ je u suglasnosti s mnozenjem, tj.
(0 ≤ x i 0 ≤ y)⇒ (0 ≤ xy).
Definicija 1.2 Uredena cetvorka (R,+, ·,≤) zajedno s navedenih 14 svojstava naziva
se uredeno polje realnih brojeva.
A-15. U R vrijedi Arhimedov aksiom, tj. za bilo koja dva realna broja a > 0 i b > 0
postoji prirodni broj n takav da je b < na.
A-16. Svaki odozgo ogranicen neprazan skup S ⊆ R ima supremum u R
Definicija 1.3 Uredena cetvorka (R,+, ·,≤) zajedno s navedenih 16 svojstava naziva
se potpuno uredeno polje realnih brojeva .
1.2 Skup R
Definicija 1.4 Kazemo da je neprazan skup S ⊆ R odozdo ogranicen, ako postoji
barem jedan realan broj m takav da je m ≤ x,∀x ∈ S. Takav realan broj naziva se
minoranta skupa S.
Kazemo da je S odozdo neogranicen, ako nije odozdo ogranicen.
Ako je m minoranta od S onda je svaki broj m′ ≤ m takoder minoranta za S. Postavlja
se pitanje najvece minorante skupa S. Ta minoranta zove se infimum .
Definicija 1.5 Realan broj m zove se infimum nepraznog skupa S ⊆ R, u oznaci
m = infS, ako ima ova dva svojstva :
1. m ≤ x, ∀x ∈ S
2. ako je a ∈ R i a > m onda postoji barem jedan element x ∈ S takav da je a > x.
Definicija 1.6 Realan broj M zove se supremum nepraznog skupa S ⊆ R, u oznaci
M = supS, ako ima ova dva svojstva :
1. M ≥ x,∀x ∈ S
8
2. ako je a ∈ R i a < M onda postoji barem jedan element x ∈ S takav da je a < x.
Jasno je da je za svaki odozdo ogranicen skup S, skup −x : x ∈ S odozgo ogranicen
i da je sup−x : x ∈ S = −infS
Definicija 1.7 Kazemo da je neprazan skup S ⊆ R ogranicen ako je odozdo i
odozgo ogranicen. U protivnom kazemo da je S neogranicen skup.
Izreku ”Skup S je odozgo ogranicen” mozemo kratko zapisati supS ∈ R. Isto tako iz-
reku ”Skup S je odozdo ogranicen” mozemo zapisati infS ∈ R. Da bi kratko zapisali
izreku ”Skup S je neogranicen”, skup R prosirujemo s dva nova elementa −∞ i +∞(minus beskonacno i plus beskonacno), koji nisu realni brojevi. Tako dobivamo skup
R koji sadrzi sve realne brojeve i elemente −∞ i +∞, tj. R = R⋃−∞
⋃+∞.
Ako je infS = −∞ i supS < +∞, odnosno infS > −∞ i supS = +∞ onda kazemo
da je S poluogranicen skup. Razlika izmedu skupova R i R je velika. Dok elemente iz
R znamo zbrajati i mnoziti, to ne znamo raditi sa elementima iz R. No, po dogovoru
se definira da je :
(+∞) + (+∞) = +∞
a · (+∞) = +∞, za a > 0
a · (+∞) = −∞, za a < 0
Cesto se umjesto +∞ pise samo ∞.
1.3 Skup C
Prostor kompleksnih brojeva C prosirit cemo do skupa C = C∪b dodavanjem novog
elementa b /∈ C, koji se zove beskonacno daleka tocka.([9.])
Uzmimo pravokutni koordinatni sustav u koordinatama ξ, η, ζ u prostoru R3 i sa S
oznacimo sferu jedinicnog promjera koja dira ξη-ravninu u ishodistu. Pretpostavimo
da su tocke ξη-ravnine kompleksni brojevi; dakle, kompleksan broj z identificira se
tockom (Re z, Im z, 0). Pravac kroz tocku z = x + iy i kroz N(0, 0, 1) sijece sferu S
u tocki Φ(z) 6= N . Ta tocka naziva se stereografska projekcija tocke z na sferu S.
Koordinate tocaka dane su sa :
ξ =Re z
1 + |z|2, η =
Im z
1 + |z|2, ζ =
|z|2
1 + |z|2.
Funkciju Φ prosirimo na skup C tako da dodanom elementu b pridruzimo tocku N .
Na taj nacin dobivamo bijekciju Φ sa C na S:
Φ(b) = N = (0, 0, 1), Φ(z) = Φ(z), z ∈ C.
9
Mozemo reci da bijekcija Φ skup C identificira sa sferom S. Takva sfera naziva se
kompleksna numericka sfera.
Ako niz brojeva (zk) iz C konvergira k z0 ∈ C, onda niz tocaka (Φ(zk)) konvergira k
Φ(zk). S druge strane, ako niz (z0) iz C ima svojstvo da se njegovi clanovi neograniceno
udaljavaju od nule, tj. ako |zk| → +∞, onda niz Φ(zk) konvergira tocki N . I obratno,
ako Φ(zk) → N , onda |zk| → +∞. Odatle naziv beskonacno daleka tocka za element
b ∈ C, notacija b =∞ i dogovor da je |∞| = +∞.
Definicija 1.8 Niz (zk) elemenata iz C konvergira k z0 ∈ C ako za svaki ε > 0 postoji
prirodan broj n0 takav da
k ∈ N, k ≥ n0 ⇒ zk ∈ K(z0, ε).
Definicija 1.9 Neka je f funkcija definirana na skupu S ⊆ C s vrijednostima u C.
Kazemo da funkcija f ima limes L ∈ C u tocki z0 ∈ C ako vrijedi:
1. Za svaki r > 0 je K∗(z0, r) ∩ S 6= ∅, pri cemu je K∗(z0, r) = K(z0, r)\z0.
2. Za svaki ε > 0 postoji δ > 0(δ < r) takvo da je
z ∈ K∗(z0, δ) ∩ S ⇒ f(z) ∈ K(L, ε).
Tada pisemo:
L = limz→z0
f(z).
Opisani skup C cesto se naziva prosirena kompleksna ravnina.
Primjer 1.3.1 (Prosirenje Mobiusove transformacije)
Preslikavanje f(z) = az+bcz+d
, gdje su a, b, c i d kompleksne konstante, takve da je
ad − bc 6= 0, naziva se Mobiusova transformacija. Domena funkcije f je C\−dc, uz
pretpostavku da je c 6= 0.
Neka su f i g funkcije definirane izrazima:
f(z) =az + b
cz + d, g(w) =
−dw + b
cw − a.
Njih mozemo prosiriti do medusobno inverznih bijekcija s C u C tako da definiramo:
f(−dc
) =∞, f(∞) =a
c,
g(a
c) =∞, g(∞) = −d
c.
(Jer je limz→∞ f(z) = ac
i limz→− dcf(z) =∞ i limw→∞g(w) = −d
ci
limw→acg(w) =∞).
Tim prosirenjem dobivamo funkciju f(z) = az+bcz+d
, f : C→ C.
Mobiusova transformacija iz C u C je jedinstveno odredena ako su poznate njezine
vrijednosti u tri tocke.
Poglavlje 2
Limes niza realnih brojeva
Suvremena teorija limesa ima dugu povijest. Poznato je da je Arhimed imao duboku
shvacanje pojma limesa koje je dominiralo gotovo dvije tisuce godina. Oko 1820.god
francuski matematicar Louis Cauchy dao je poznatu definiciju pojma limesa koju i
danas upotrebljavamo. Rjesavajuci prakticne probleme stari Grci su otkrili potrebu
za beskonacnim procesom, spoznali su da se neki problemi ne mogu rijesiti u konacno
koraka. Tako su dosli do pojma limesa, pojma koji veze sve osnovne pojmove analize.
2.1 Problem duljine kruznice
Promotrimo problem izracunavanja duljine kruznice. Opseg razlicitih n-terokuta nala-
zimo tako da izmjerimo duljine njegovih stranica i rezultate zbrojimo. No, za mjerenje
duljine kruznice, tj. opsega kruga to nije moguce. Kruznica je zakrivljena i ne sastoji
se od konacnog broja duzina. Zbog toga za opseg kruga koristimo proces koji se sastoji
od beskonacno koraka.
U prvom koraku u krug K upisujemo kvadrat K1. Opseg tog kvadrata K1 znatno je
manji od opsega kruga K.
U drugom koraku u krug K upisujemo pravilni osmerokut K2, u trecem koraku upisu-
jemo pravilni 16-terokut K3, itd.
Ako uzmemo u obzir da je 4 = 22, 8 = 23, 16 = 24 zakljucujemo da u n-tom koraku
krugu K upisujemo pravilni 2n+1-terokut Kn. Na taj nacin dobivamo niz :
K1, K2, K3, . . . , Kn, . . .
To je niz pravilnih poligona upisanih u krug ciji opsezi sve bolje aproksimiraju opseg
kruga (duljinu kruznice).
Oznacimo li sa L1 opseg kvadrata, sa L2 opseg pravilnog osmerokuta, opcenito sa Ln
opseg poligona Kn dolazimo do niza realnih brojeva:
L1, L2, L3, . . . , Ln, . . .
10
11
Cinjenica da je duljina svake stranice trokuta manja od duljine zbroja preostalih dviju
stranica pokazuje nam da je duljina stranice kvadrata manja od zbroja dviju stranica
pravilnog osmerokuta. Iz toga nam slijedi da je opseg kvadrata L1 manji od opsega
osmerokuta L2, tj. opcenito Ln < Ln+1 za svaki prirodan broj n. Imamo strogo rastuci
niz (Ln):
L1 < L2 < L3 < · · · < Ln < Ln+1 . . .
Ako sa L oznacimo opseg kruga K, jasno je da se za dovoljno veliki n brojevi Ln i L
jako malo razlikuju, tj. kada n prolazi skupom prirodnih brojeva 1, 2, 3, . . . , broj Ln
se neograniceno priblizava broju L. Kazemo da niz (Ln) konvergira prema L i pisemo:
limn→∞
Ln = L
Na ovom primjeru smo vidjeli da nam je trebalo beskonacno mnogo koraka, a zatim i
granicni proces (limes) za odredivanje duljine kruznice L.
2.2 Definicija limesa niza realnih brojeva
Postavlja se pitanje kako se ponasa opci clan an niza realnih brojeva a1, a2, a3, . . . , an, . . .
kada broj n neograniceno raste. Neka je (an) niz realnih brojeva. Ako postoji α ∈ R
takav da opci clan an tezi broju α kada n neograniceno raste, onda kazemo da je niz
(an) konvergentan, te da ima limes α i pisemo
limn→∞
an = α.
Definicija 2.1 Broj α ∈ R je limes niza ralnih brojeva (an) ako ∀ε ∈ R, ε > 0
postoji n0 ∈ N takav da je
|an − α| < ε, ∀n ∈ N, n > n0
i pisemo :
limn→∞
an = α.
Za niz koji ima za limes cvrsti broj α ∈ R kaze se da tezi ili konvergira prema tom
broju α, odnosno da je konvergentan. Niz koji nije konvergentan naziva se divergentan.
Tada vrijedi da je |α− an| dovoljno maleno za dovoljno veliki n.
Primjer 2.2.1 Uzmimo niz (an) ciji je opci clan an = 1− 1n
i pokazimo da taj niz ima
limes α = 1.
Pokazimo da |α− an| mozemo uciniti dovoljno malim za neki n0.
|α− an| = |1− (1− 1
n)| = 1
n
12
Ako za ε uzmemo 110000
= 1104
imamo
1
n<
1
104⇒ n > 104 ⇒ n0 = 104
To znaci da pocevsi od 10001. clana niza (an) vrijedi :
|α− an| <1
104
Mozemo uzeti jos manji ε = 11000000
= 1106
i ponavljajuci postupak dobijemo :
|α− an| <1
106⇒ n > 106 ⇒ n0 = 106
Dakle :
limn→∞
(1− 1
n) = 1.
Drugi nacin odredivanja limesa niza sastoji se u koristenju bosebnih svojstava nizova,
kao sto su monotono rastuci i monotono padajuci nizovi.
Definicija 2.2 Za niz (an) ciji clanovi uvijek rastu, tj. za niz za koji vrijedi a1 < a2 <
a3 < · · · < an < . . . kazemo da monotono raste .
Za niz ciji clanovi uvijek padaju, tj. za niz za koji vrijedi a1 > a2 > a3 > · · · > an > . . .
kazemo da monotono pada .
Definicija 2.3 Za niz (an) u R kazemo da je ogranicen ako ∃m,M ∈ R takvi da
je m ≤M i m ≤ an ≤M, ∀n ∈ N.
Teorem 2.1 Monoton i ogranicen niz (an) je konvergentan.
Ako (an) raste on konvergira supremumu skupa A = a1, a2, a3, . . . , an, . . . . Ako niz
(an) pada, on konvergira infimumu skupa A.
Primjer 2.2.2 Dokazimo da postoji limes niza (an), gdje je : an = 1+ 11!
+ 12!
+ · · ·+ 1n!
• Niz (an) monotono raste jer je
an+1 = an +1
(n+ 1)!> an, ∀n ∈ N
Nadalje iz n! = 1 · 2 · 3 · · ·n > 1 · 2 · 2 · · · 2 = 2n−1 slijedi:
⇒ an < 1 + (1 +1
2+ · · ·+ 1
2n−1) = 1 +
1n − (12)n
1− 12
= 1 + 2(1− 1
2n) = 3− 1
2n−1< 3
Time smo dokazali da je (an) ogranicen i prema Teoremu o konvergenciji mono-
tonih nizova konvergira.
Njegov limes oznacava se sa e :
limn→∞
an = e
Tim dokazom uveden je posebno vazan realan broj e koji je priblizno jednak
e ≈ 2.718281828.
13
2.3 Operacije s limesima
Navedimo neka svojstva limesa niza realnih brojeva koja pomazu u izracunavanju li-
mesa.
Neka su nam zadana dva konvergentna niza (an) i (bn) s konacnim limesima A i B iz
R, tj.
limn→∞
an = A, limn→∞
bn = B.
Tada vrijedi ([4]):
1) Limes zbroja (razlike) jednak je zbroju (razlici) limesa:
limn→∞
(an ± bn) = limn→∞
an ± limn→∞
bn = A±B
2) Limes umnoska jednak je umnosku limesa:
limn→∞
(an · bn) = limn→∞
an · limn→∞
bn = A ·B
3) Limes potencije jednak je potenciji limesa:
limn→∞
(an)m = ( limn→∞
an)m = Am
4) Limes kvocijenta jednak je kvocijentu limesa, uz pretpostavku da je limes naziv-
nika razlicit od nule:
limn→∞
anbn
=limn→∞ anlimn→∞ bn
=A
B, B 6= 0, bn 6= 0, ∀n
5) Limes korijena jednak je korijenu iz limesa, ukoliko korijen postoji u realnom
podrucju :
limn→∞
m√an = m
√limn→∞
an =m√A.
14
Primjer 2.3.1 Izracunajmo limes niza (an) ciji je opci clan dan izrazima:
a) an = (n+1)3−(n−1)3(n+1)2+(n−1)2
limn→∞
(n+ 1)3 − (n− 1)3
(n+ 1)2 + (n− 1)2=
= limn→∞
n3 + 3n2 + 3n+ 1− n3 + 3n2 − 3n+ 1
n2 + 2n+ 1 + n2 − 2n+ 1=
= limn→∞
6n2 + 2
2n2 + 2= lim
n→∞
3 + 1n2
1 + 1n2
= 3
b) an = n3−100n2+1100n2+15n
limn→∞
n3 − 100n2 + 1
100n2 + 15n=
limn→∞
1− 100n
+ 1n3
100n
+ 15n2
=1
0=∞
Ovo je slucaj kada ne postoji konacan limes i taj niz je divergentan,no moze se govoriti
u sirem smislu o ”konvergenciji ” ka +∞.
Napomena
Kod redova realnih brojeva, kao uredenih parova sastavljenih od niza realnih brojeva
(an) i pripadnog niza parcijalnih suma (Sn), pitanje konvergencije svodi se na pitanje
konvergencije pripadnog niza parcijalnih suma (sn), odnosno na pitanje limesa tog niza
parcijalnih suma, a to necemo posebno razmatrati.
Poglavlje 3
Limes u R
Skup realnih brojeva R mozemo prosiriti s tzv. beskonacnim elementima −∞,+∞do skupa R. Dodavanjem skupu R dva elementa −∞ i +∞ dobiva se niz vaznih
mogucnosti za poopcenja limesa funkcije. Te mogucnosti mozemo podijeliti u tri grupe:
I. limes (s lijeva, s desna) funkcije u tocki c ∈ R je +∞, odnosno −∞ (beskonacan
limes u konacnoj tocki c);
II. limes funkcije u +∞(−∞) je realan broj (konacan limes u beskonacnosti);
III. limes funkcije u +∞(−∞) je +∞, odnosno−∞ (−∞, odnosno +∞) (beskonacan
limes u beskonacnosti).
3.1 Beskonacni limes u konacnoj tocki
Definicija 3.1 Neka je f realna funkcija definirana u svakoj tocki otvorenog skupa
Ω ⊆ R, osim mozda u tocki c.
Kazemo da f u tocki c ima limes +∞ s lijeva i pisemo
limx→c−
f(x) = +∞,
ako za svako E > 0 postoji δ > 0, takvo da je 〈c− δ, c〉 ⊆ Ω i da
(x < c; |x− c| < δ)⇒ (f(x) > E).
Kazemo da f u tocki c ima limes +∞ s desna i pisemo
limx→c+
f(x) = +∞,
ako za svako E > 0 postoji δ > 0, takvo da je 〈c, c+ δ〉 ⊆ Ω i da
(x > c; |x− c| < δ)⇒ (f(x) > E).
15
16
Kazemo da f u tocki c ima limes +∞ i pisemo
limx→c
f(x) = +∞,
ako za svako E > 0 postoji δ > 0, takvo da je 〈c− δ, c+ δ〉 ⊆ Ω ∪ c i da
(0 < |x− c| < δ)⇒ (f(x) > E).
Analogno definiramo i
limx→c−
f(x) = −∞, limx→c+
f(x) = −∞, limx→c
f(x) = −∞.
Primjer 3.1.1 Promotrimo funkciju f(x) = 1(x−1)2 . Kada se x (x 6= 1) priblizava
broju 1 bilo s lijeve ili s desne strane, onda ordinata tocke T (x, f(x)) neograniceno
raste prema +∞. Kazemo da f(x) tezi k +∞ kada x tezi k 1 i pisemo
limx→1
f(x) = +∞.
Primjer 3.1.2 Promotrimo funkciju f(x) = ln x.
Slika 3. Graf funkcije f(x) = lnx
Kada se x priblizava nuli s desna, onda je lnx negativan broj i pada prema −∞. U
ovom slucaju funkcija nije definirana lijevo od nule, pa ne mozemo govoriti o limesu u
nuli s lijeve strane. Imamo:
limx→0+
lnx = −∞.
To znaci : koliko god veliki realan broj E > 0 uzeli postoji δ > 0 takvo da graf funkcije
lnx, koji odgovara intervalu 〈0, δ〉, lezi ispod pravca y = −E.
17
Primjer 3.1.3 Dokazimo da je
limx→π
2−tgx = +∞.
Za E > 0 iz sinπ2
= 1, cosπ2
= 0 i neprekidnosti funkcija sin i cos slijedi egzistencija
broja δ > 0, takvog da
(x <π
2; |x− π
2| < δ)⇒ (sinx >
1
2i 0 < cosx <
1
2E);
dakle
(x <π
2; |x− π
2| < δ)⇒ (tgx >
1
2cosx> E).
Tvrdnja slijedi za proizvoljnost broja E > 0.
3.1.1. Vertikalna asimptota
Opisno govoreci, asimptota krivulje je pravac koji dodiruje krivulju u beskonacnosti.
Ako krivulja y = f(x) ima asimptotu usporednu s osi y, tada jednadzba te asimptote
glasi x = b za neki b ∈ R i naziva se vertikalna asimptota.
Slika 4. Vertikalna asimptota
18
Odredimo b.
Prema Slici 4., jednadzba vertikalne asimptote glasi x = b. Stoga imamo definiciju
vertikalne asimptote.
Definicija 3.2 Pravac x = b nazivamo vertikalna asimptota funkcije
y = f(x) u tocki b ako je
limx→b
f(x) = +∞ ili limx→b
f(x) = −∞.
Definicija 3.3 Pravac x = b nazivamo lijeva vertikalna asimptota funkcije
y = f(x) u tocki b ako je
limx→b−
f(x) = +∞, ( limx→b−
f(x) = −∞).
Pravac x = b nazivamo desna vertikalna asimptota funkcije
y = f(x) u tocki b ako je
limx→b+
f(x) = +∞, ( limx→b+
f(x) = −∞).
Definicija 3.4 Ako je pravac x = b i lijeva i desna vertikalna asimptota funkcije
y = f(x), onda je taj pravac x = b obostrana vertikalna asimptota funkcije
y = f(x).
Vertikalne asimptote trazimo u tockama prekida ili na rubovima podrucja definicije
funkcije.
Primjer 3.1.4 Pogledajmo krivulju
y =x
x2 − 1.
Ako jednadzba dane krivulje ima oblik razlomka, tada se odredivanje vertikalnih asimp-
tota svodi na odredivanje tocaka u kojima funkcija ima prekid.
Nasa funkcija y = xx2−1 ima prekid u tockama x1 = −1 i x2 = 1. Buduci da je:
limx→−1−
x
x2 − 1= −∞,
limx→−1+
x
x2 − 1=∞,
limx→1−
x
x2 − 1= −∞,
limx→1+
x
x2 − 1=∞,
to znaci da su pravci x = +1 i x = −1 vertikalne asimptote te krivulje.
19
Slika 5. Graf funkcije f(x) = xx2−1
Primjer 3.1.5 Neka je
f(x) =1
x.
Tada je Df = (−∞, 0)∪ (0,+∞). Dakle vertikalnu asimptotu trazimo u x = 0. Buduci
da je
limx→0−
1
x= −∞
i
limx→0+
1
x= +∞,
onda je pravac x = 0 obostrana vertikalna asimptota.
Slika 6. Graf funkcije f(x) = 1x
20
Primjer 3.1.6 Neka je
f(x) = lnx.
Tada je Df = (0,+∞). Dakle (desnu) vertikalnu asimptotu trazimo u x = 0. Buduci
da je
limx→0+
lnx = −∞,
onda je x = 0 desna vertikalna asimptota.
Slika 7. Graf funkcije f(x) = lnx
3.2 Konacni limes u beskonacnosti
Definicija 3.5 Kazemo da je realan broj L limes funkcije f u +∞ i pisemo
L = limx→+∞
f(x)
ako za svaki ε > 0 postoji ∆ > 0, takav da je 〈∆,+∞〉 ⊆ D(f) i da
(x > ∆)⇒ (|f(x)− L| < ε).
Kazemo da je realan broj L limes funkcije f u −∞ i pisemo
L = limx→−∞
f(x)
ako za svaki ε > 0 postoji ∆ > 0, takav da je 〈−∞,−∆〉 ⊆ D(f) i da
(x < −∆)⇒ (|f(x)− L| < ε).
Teorem 3.1 Pretpostavimo da funkcije f i g sa Ω u R imaju konacne limese u +∞i da postoji A ∈ R, takvo da je 〈A,+∞〉 ⊆ Ω.
Tada funkcije f + g, f − g, λf(λ ∈ R), fg imaju konacne limese u +∞ i vrijedi:
limx→∞
[f(x) + g(x)] = limx→∞
f(x) + limx→∞
g(x),
21
limx→∞
[f(x)− g(x)] = limx→∞
f(x)− limx→∞
g(x),
limx→∞
λf(x) = λ limx→∞
f(x), λ ∈ R,
limx→∞
[f(x)g(x)] = [ limx→∞
f(x)][ limx→∞
g(x)].
Ako je g(x) 6= 0 za svako x ∈ Ω i limx→∞ g(x) 6= 0, onda je x 7→ f(x)g(x)
ima konacan
limes u +∞ i
limx→∞
f(x)
g(x)=
limx→∞ f(x)
limx→∞ g(x).
Ako je limx→∞ f(x) = limx→∞ g(x) i h : Ω → R takva funkcija da je f(x) ≤ h(x) ≤g(x) za svako x > A, onda h ima konacan limes u +∞ i
limx→∞
f(x) = limx→∞
h(x) = limx→∞
g(x).
Ako je F neprekidna funkcija u tocki L = limx→∞ f(x) i ako je definirana kompozicija
F f , onda je
limx→∞
F [f(x)] = F (L).
Analogan teorem vrijedi i za limese u −∞.
Primjer 3.2.1 Dokazimo:
limx→+∞
x2 − 1
x3 + 5x2 + 2= 0
Podijelimo brojnik i nazivnik sa x3 i primijenimo teorem o kvocijentu:
limx→+∞
1x− 1
x3
1 + 5 · 1x
+ 2x3
=limx→∞( 1
x− 1
x3)
limx→∞(1 + 5 · 1x
+ 2x3
)=
0
1= 0.
Primjer 3.2.2 Dokazimo:
limx→+∞
(1 +1
x)x = e
Stavimo f(x) = 1x
i F (t) =
(1 + t)
1t ako je t 6= 0
e ako je t = 0. Tada je (1 + 1
x)x = F [f(x)].
Buduci da je F neprekidna u tocki t = 0 i F (0) = e, a funkcija f(x)→ 0 kada x→ +∞to daje:
limx→+∞
(1 +
1
x
)x= F ( lim
x→+∞f(x)) = F (0) = e.
Primjer 3.2.3 Nadimo limes
limx→+∞
(3x
3x+ 2
)x+3
.
22
Iz (3x
3x+ 2
)x+3
=
(3x
3x+ 2
)x·(
3x
3x+ 2
)3
vidimo da drugi faktor tezi u 1 kada x→ +∞. Sto se tice prvog faktora, imamo:(3x
3x+ 2
)x=
(3x+ 2
3x
)−x=
(1 +
2
3x
)−x=
(1 +
2
3x
) 3x2(− 2
3)
= F
(2
3x
)− 23
,
gdje je F (t) definirano kao u Primjeru 3.2.2. Odatle slijedi da :[F (
2
3x)
]− 23
→ [F (0)]−23 = e−
23 , kada x→ +∞.
3.2.1. Horizontalna asimptota
Ako krivulja y = f(x) ima asimptotu usporednu s osi x, tada jednadzba te asimptote
glasi y = a za neki a ∈ R i naziva se horizontalna asimptota.
Slika 8. Horizontalna asimptota
Odredimo a.
Kada se tocka T (x, y), iduci po beskonacnoj grani krivulje, sve vise priblizava asimptoti
y = a, tada ,kao sto se vidi iz Slike 8., razmak d izmedu asimptote i ordinate y tocke
T , tj. d = a− y, tezi nuli. Stoga je:
limx→∞
d = limx→∞
(a− y) = a− limx→∞
y = 0
⇒ a = limx→∞
y
Odatle imamo definiciju horizontalne asimptote.
23
Definicija 3.6 Jednadzba horizontalne asimptote na krivulju y = f(x) glasi
y = a, ako je
limx→∞
f(x) = a.
Ako y = f(x) nema takvog limesa kad x→∞, krivulja nema horizontalne asimptote.
Definicija 3.7 Pravac y = a nazivamo lijeva horizontalna asimptota funkcije
y = f(x) ako je
limx→−∞
f(x) = a.
Pravac y = a nazivamo desna horizontalna asimptota funkcije y = f(x) ako je
limx→+∞
f(x) = a.
Lijeva horizontalna asimptota moze postojati samo ako je neki interval oblika
(−∞, x1) ⊆ Df , x1 ∈ R .Slicno za desnu, ona moze postojati ako postoji interval oblika
(x2,+∞) ⊆ Df , x2 ∈ R.
Primjer 3.2.4 Odredimo jednadzbu horizontalne asimptote krivulje y = xx2−1 .
limx→∞
f(x) = limx→∞
x
x2 − 1= lim
x→∞
1
x− 1x
=1
∞= 0
⇒Jednadzba horizontalne asimptote krivulje y = xx2−1 je y = 0.
Primjer 3.2.5 Odredimo jednadzbu horizontalne asimptote krivulje y = x2−1x
.
limx→∞
f(x) = limx→∞
x2 − 1
x= lim
x→∞(x− 1
x) =∞
⇒ Krivulja y = x2−1x
nema horizontalne asimptote!
Primjer 3.2.6 Neka je
f(x) =1
x.
Tada je Df = (−∞, 0) ∪ (0,+∞). Dakle, mozemo traziti horizonalnu asimptotu i s
lijeve i s desne strane. Buduci da je
limx→−∞
f(x) = limx→+∞
f(x) = 0,
onda je y = 0 obostrana horizontalna asimptota.
24
Slika 9. Graf funkcije f(x) = 1x
Primjer 3.2.7 Neka je
f(x) = ex.
Tada je Df = (−∞,+∞). Dakle mozemo traziti horizonalnu asimptotu i s lijeve i s
desne strane. Buduci da je
limx→−∞
f(x) = 0,
limx→+∞
f(x) = +∞,
onda je pravac y = 0 lijeva horizontalna asimptota.
Slika 10. Graf funkcije f(x) = ex
3.2.2. Kosa asimptota
Ako pretpostavimo da krivulja F (x, y) = 0 ima kosu asimptotu, jednadzba te asimptote
glasi y = kx+l.(Neka je implicitnim izrazom F (x, y) = 0 definirana eksplicitna funkcija
y = f(x).)
25
Slika 11. Kosa asimptota
Da bi odredili parametre k i l u jednadzbi trazene asimptote, prvo moramo odrediti
koeficijent smjera k i odsjecak l na os y.
Najprije odredimo udaljenost d bilo koje tocke T (x, y) od asimptote y = kx + l. Ko-
risteci formulu za odredivanje udaljenosti tocke od pravca dobijemo :
d =|y − kx− l|√
1 + k2.
Kada se tocka T (x, y), iduci po krivulji, sve vise udaljuje od ishodista O koordinatnog
sustava, udaljenost d tezi nuli. (To se vidi iz slike 11.)
Vrijedi :
limx→∞
d = limx→∞
|y − kx− l|√1 + k2
Ako zapisemo y − kx u obliku
y − kx = x(y
x− k)
dobijemo :
limx→∞
d = limx→∞
|x( yx− k)− l|√
1 + k2= 0
odnosno1√
1 + k2limx→∞
[x(y
x− k)− l] = 0.
Iz toga slijedi
limx→∞
[x(y
x− k)− l] = 0
tj.
l = limx→∞
[x(y
x− k)]. (3.1)
26
Buduci da prvi faktor x iz izraza x( yx−k) tezi u beskonacnost, drugi faktor y
x−k mora
teziti nuli, jer samo u tom slucaju citav izraz moze imati konacan limes l.
Sad imamo :
limx→∞
(y
x− k) = 0
⇒ k = limx→∞
y
x(3.2)
Time smo odredili koeficijent smjera k trazene asimptote. Izraz za odsjecak l dobijemo
iz (3.1), odnosno iz izraza limx→∞(f(x)− kx) = l.
Definicija 3.8 Jednadzba kose asimptote na krivulju y = f(x) glasi y = kx + l,
ako je
limx→∞
f(x)
x= k i lim
x→∞[f(x)− kx] = l.
Funkcija f nema kosu asimptotu, ako ne postoje gornji limesi.
Primjer 3.2.8 Odredimo kosu asimptotu krivulje, odnosno kosu asimptotu implicitno
zadane funkcije y − f(x) = 0:
2x2 + 3x+ 2xy − 2 = 0.
Jednadzbu zadane krivulje podijelimo s x2:
2 +3
x+ 2
y
x− 2
x2= 0
Odatle slijedi :
y
x=
1
x2− 3
2x− 1 (⇒ y = f(x) =
1
x− x− 3
2)
pa je :
k = limx→∞
y
x= lim
x→∞(
1
x2− 3
2x− 1) = −1
⇒ k = −1.
Uvrstavanjem k = −1 u
l = limx→∞
[x(y
x− k)]
dobivamo :
l = limx→∞
(1
x− 3
2)
⇒ l = −3
2.
⇒ Jednadzba trazene kose asimptote glasi y = −x− 32.
27
Slika 12. Graf krivulje 2x2 + 3x+ 2xy − 2 = 0 i njezina kosa asimptota
Napomena
Takoder, kao kod horizontalne asimptote, moze se promatrati pitanje kose asimptote
realne funkcije kada x→ −∞, gdje vrijede analogni izrazi.
3.3 Beskonacni limes u beskonacnosti
Definicija 3.9 Kazemo da realna funkcija f : Ω → R ima limes +∞ (−∞) kada x
tezi u +∞ i pisemo
limx→+∞
f(x) = +∞ ( limx→+∞
f(x) = −∞)
ako postoji A ∈ R takvo da je 〈A,+∞〉 ⊆ Ω i za svako E > 0 postoji ∆ > 0, takvo da
je
(x > ∆)⇒ (f(x) > E), (odnosno (x > ∆)⇒ (f(x) < −E)).
Kazemo da realna funkcija f : Ω→ R ima limes +∞ (−∞) kada x tezi u −∞ i pisemo
limx→−∞
f(x) = +∞ ( limx→−∞
f(x) = −∞)
ako postoji B ∈ R takvo da je 〈−∞, B〉 ⊆ Ω i za svako E > 0 postoji ∆ > 0, takvo da
je
(x < −∆)⇒ (f(x) > E), (odnosno (x < −∆)⇒ (f(x) < −E)).
28
Primjer 3.3.1 Promotrimo funkciju f(x) = ln x.
Slika 13. Graf funkcije f(x) = ln x
Kada x neograniceno raste, onda i lnx neograniceno raste. Kazemo da lnx tezi k +∞kada x tezi k +∞ i pisemo:
limx→+∞
lnx = +∞.
Teorem 3.2 Pretpostavimo da funkcije f, g : Ω→ R imaju limes +∞ u +∞. Tada
• Funkcije f + g i fg imaju limese +∞ u +∞.
• Ako je λ > 0 onda λf ima limes +∞ u +∞,
a ako je λ < 0 onda λf ima limes −∞ u +∞.
• Ako je h : Ω → R takva funkcija da postoje brojevi A > 0 i B > 0 takvi da je
Af(x) ≤ h(x) za svako x > B, onda je
limx→+∞
h(x) = +∞.
29
3.4 L’Hopitalovo pravilo
L’Hopitalovo pravilo predstavlja poopcenje teorema o limesima zbroja, razlike, pro-
dukta, kvocijenta itd. s tim da se izvjesni uvjeti postavljaju na derivacije funkcija.
Primjer 3.4.1 Promotrimo problem odredivanja limesa:
limx→+∞
(x · e−x) = (+∞ · 0)
Vidimo da taj limes ima neodredeni oblik, jer produkt (+∞ · 0) nije definiran.
Sada napisimo isti izraz u drugom obliku:
limx→+∞
(x · 1
ex) =
+∞+∞
Ovdje smo takoder dobili neodredeni oblik.
Da bi razrijesili ove limese koristit cemo L’Hopitalovo pravilo (L’Hopitalov teorem).
Teorem 3.3 (L’Hopitalovo pravilo) ([1]) Neka su dane realne funkcije f, g sa sljedecim
svojstvima, odnosno neka vrijedi:
i)
limx→a
f(x) = 0, limx→a
g(x) = 0;
ii) f ′ i g′ postoje za svako x iz nekog intervala oko a, osim mozda za x = a;
iii) g′(x) 6= 0 za x 6= a iz tog intervala;
iv)
limx→a
f ′(x)
g′(x)= L
Zakljucak :
limx→a
f(x)
g(x)= L.
Pretpostavka i) moze biti zamijenjena pretpostavkom:
limx→a
f(x) = +∞, limx→a
g(x) = +∞,
ili:
limx→a
f(x) = −∞, limx→a
g(x) = −∞.
30
Takoder mozemo uzeti da x tezi k a samo s lijeva ili samo s desna.
Vidimo da L’Hopitalovo pravilo govori o limesu kvocijenta fg, s tim da brojnik i nazivnik
teze nuli u tocki a. Ako kvocijent derivacija f ′
g′ima limes u a, tada je taj limes jednak
limesu funkcije fg. Moze se dogoditi da je trazenje limesa od f ′
g′kompliciranije nego od
fg, zatim da f ′
g′nema limes, a da ga ima f
g, da prijelaz od f
gna f ′
g′vodi na istu situaciju.
Tada prelazimo na f ′′
g′′itd.
Primjer 3.4.2 Odredimo:
limx→0
(1 + x)n − 1
x.
U ovom slucaju je f(x) = (1 + x)n − 1,a g(x) = x. Vidimo da je f(0) = 1n − 1 = 0 i
g(0) = 0, pa pocetni limes prelazi u oblik:
limx→0
(1 + x)n − 1
x=
0
0.
Primjenom L’Hopitalovog teorema imamo:
limx→0
(1 + x)n − 1
x= lim
x→0
n(1 + x)n−1
1= n lim
x→0(1 + x)n−1 = n · 1 = n.
Primjer 3.4.3 Odredimo:
limx→0
x− sinx
x3.
Za f(x) = x− sinx i g(x) = x3 imamo f(0) = 0, g(x) = 03 = 0. Pocetni limes prelazi
u oblik:
limx→0
x− sinx
x3=
0
0.
Primjenom L’Hopitalovog teorema imamo:
limx→0
x− sinx
x3= lim
x→0
1− cosx
3 · x2=
0
0
Vidimo da moramo jos jednom primijeniti L’Hopitalovo pravilo:
limx→0
1− cosx
3 · x2= lim
x→0
sinx
6 · x=
1
6limx→0
sinx
x=
0
0.
Jos jednom primijenimo L’Hopitala:
1
6limx→0
sinx
x=
1
6limx→0
cosx
1=
1
6· 1 =
1
6.
Primjer 3.4.4 Odredimo:
limx→0+
(shx · lnx).
Ako stavimo f(x) = lnx i g(x) = 1shx
onda imamo
limx→0+
f(x) = −∞, limx→0+
g(x) = +∞.
Primjenom L’Hopitalovog pravila imamo:
limx→0+
(shx·lnx) = limx→0+
1x−chxsh2x
= − limx→0+
(thx·shxx
) = − limx→0+
(thx)·(
limx→0+
shx
x
)= 0·1 = 0
31
Primjer 3.4.5 Treba pronaci limes:
limx→a
F (x), F (x) =(sinx
sin a
) 1x−a
, (0 < a < π).
Logaritmiranjem i primjenom ”L’Hopitala” dobivamo:
limx→a+
(lnF (x)) = limx→a+
ln sinxsin a
x− a= lim
x→a+
(sin asinx
)· cosxsin a
1= lim
x→a+ctgx = ctga.
Odavde je :
limx→a+
(sinx
sin a
) 1x−a
= ectga.
3.5 Primjer nepravog integrala
Definirajmo integral funkcije f na poluotvorenom segmentu [a, b〉 (odnosno 〈a, b] ili na
intervalu 〈a, b〉) s tim da rubna tocka moze biti beskonacna i da funkcija u okolini tocke
b moze biti neogranicena. Tako dobiven pojam zove se nepravi integral([2]).
Primjer 3.5.1 Funkcija f(x) = e−x tezi nuli kada x → +∞. Postavlja se pitanje da
li mozemo izracunati povrsinu S ispod grafa funkcije f(x) = e−x na intervalu [0,+∞〉?Interval [0,+∞〉 je neogranicen, ali je jasno da se povrsina S moze aproksimirati nekom
povrsinom SB za dosta veliko B, tj. :
SB =
∫ B
0
e−xdx = −e−x∣∣∣B0
= 1− e−B.
Ako uzmemo B sve veci i veci onda se SB sve manje razlikuje od S, pa vrijedi:
S = limB→+∞
∫ B
0
e−xdx = limB→+∞
(1− e−B) = 1.
Stavljamo: ∫ +∞
0
e−xdx = limB→+∞
∫ B
0
e−xdx
i taj limes zovemo nepravi integral funkcije f(x) na intervalu [0,+∞〉.
Termin nepravi integral odnosi se uglavnom na slucaj da b = +∞ ili da b ∈ R, ali da
je podintegralna funkcija f neogranicena funkcija u nekoj okolini od b.
Definicija 3.10 Neka je funkcija f : [a, b〉 → R integrabilna (dakle i ogranicena) na
svakom segmentu [a,B] gdje je B < b ≤ +∞.
Ako postoji konacni limes
limB→b
∫ B
a
f(x)dx (B < b),
32
onda se taj limes zove nepravi integral funkcijef na skupu [a, b〉 i oznacava sa:∫ →ba
f(x)dx.
Kaze se da integral∫→ba
f(x)dx konvergira.
Ako limes limB→b∫ Baf(x)dx postoji i jednak je +∞(−∞), onda kazemo da integral∫→b
af(x)dx divergira k +∞(−∞).
Ako limes limB→b∫ Baf(x)dx ne postoji u R, onda kazemo da integral
∫→ba
f(x)dx di-
vergira.
Integral∫→ba
f(x)dx je apsolutno konvergentan, ako je integral∫→ba|f(x)|dx konvergen-
tan.
Analogno se definira i integral na 〈a, b]∫ b
a←f(x)dx = lim
A→a
∫ b
A
f(x)dx, (A > a)
za funkciju f koja je integrabilna na svakom segmentu [A,B] ⊆ 〈a, b].Nepravi integral na skupu [a, b〉 ima uglavnom ista svojstva kao i obicni integral na
segmentu.
Primjer 3.5.2 Izracunajmo:∫ +∞0
dx1+x2
.∫ +∞
0
dx
1 + x2= lim
B→+∞
∫ B
0
dx
1 + x2= lim
B→+∞(tg −1x
∣∣∣B0
) =
= limB→+∞
(tg −1B − tg −10) = limB→+∞
tg −1B =π
2.
Primjer 3.5.3 Izracunajmo:∫ 0
−1←dx√1−x2 .∫ 0
−1←
dx√1− x2
= limε→−1+
∫ 0
ε
dx√1− x2
= limε→−1+
(− sin−1 ε) =π
2.
Primjer 3.5.4 Integral∫ +∞0
cos x dx divergira, jer je∫ B0
cos x dx = sinB, a limB→+∞ sinB
ne postoji.
Poglavlje 4
Beskonacni skupovi
4.1 Kardinalni broj skupa
Uvedimo intuitivno pojam kardinalnog broja nekoga skupa([3]).
Svakom konacnom nepraznom skupu A pridruzujemo jedan prirodan broj koji oznacava
broj elemenata skupa A. Tako praznom skupu pridruzujemo broj 0, dok broj elemenata
nekog skupa A utvrdujemo brojenjem. Dva ce konacna skupa A i B imati jednak broj
elemenata onda i samo onda ako postoji bijekcija koja ce skup A preslikati na skup B.
Ako se radi o beskonacnim skupovima, onda nemamo jasne intuitivne predodzbe o
broju elemenata takvih skupova. Ipak se kriterij za jednakost broja elemenata moze
prosiriti i na beskonacne skupove.
Definicija 4.1 Kazemo da je skup X ekvipotentan skupu Y ako postoji bijekcija
f : X → Y i pisemo X ∼ Y .
Kako je inverzna funkcija f−1 : Y → X bijekcije f takoder bijekcija, bit ce i Y ∼ X.
Zbog toga mozemo reci : skupovi X i Y su ekvipotentni.
Primjer 4.1.1 Neka je M = 2n|n ∈ N, a f : N → M funkcija definirana s
f(n) = 2n,∀n ∈ N. Ocito je f bijekcija, pa su skupovi N i M ekvipotentni.
Ovaj primjer nam pokazuje da beskonacan skup moze biti ekvipotentan svom pravom
podskupu, sto nije moguce kad se radi o konacnim skupovima.
Ekvipotentnost medu skupovima je refleksivna, simetricna i tranzitivna
relacija, tj. relacija ekvivalencije.
Za svaki skup X je X ∼ X , jer je identiteta bijekcija, sto znaci da je relacija refleksivna.
Ako je X ∼ Y , onda je Y ∼ X, pa je relacija simetricna.
Ako je X ∼ Y i Y ∼ Z, onda je i X ∼ Z, jer je kompozicija bijekcija opet bijekcija.
33
34
Poopcimo na beskonacne skupove pojam broja elemenata konacnih skupova. Svakom
skupu X pridruzuje se kardinalni broj koji oznacavamo kard X. Kazemo da dva skupa
imaju isti kardinalni broj ako su ekvipotentni :
kard X = kard Y ⇔ X ∼ Y.
4.2 Prebrojivi skupovi
Nas posebno zanimaju beskonacni skupovi i njihovi kardinalni brojevi. Racunanje s
beskonacnim kardinalnim brojevima u bitnim se elementima razlikuje od konacnog
slucaja. Pocet cemo s prebrojivim skupovima.
Definicija 4.2 Kaze se da je skup A prebrojiv ako je ekvipotentan skupu N prirodnih
brojeva.
Po definiciji skup A je prebrojiv onda i samo onda ako postoji bijekcija f : N → A.
Ako stavimo f(1) = a1, f(2) = a2, . . . , f(n) = an, . . . , zakljucujemo da je skup A
prebrojiv ako se moze napisati u obliku niza: A = a1, a2, . . . , an, . . . . Kako se u
skupu A elementi ne ponavljaju, svi su clanovi niza medusobno razliciti.
Kardinalni broj prebrojiva skupa oznacava se s ℵ0 (“alef nula”).
Navedimo neka temeljna svojstva prebrojivih skupova.
Teorem 4.1 Svaki podskup prebrojiva skupa je konacan ili prebrojiv skup.
Dokaz: Neka je A zadan prebrojiv skup, a B podskup skupa A. Ako je B konacan, ne
treba nista dokazivati. Pretpostavimo da je B beskonacan; kako je A prebrojiv, postoji
bijekcija f : N → A. Definirajmo funkciju g : N → B ovako : neka je g(1) = f(i1),
gdje je i1 najmanji prirodni broj za koji je f(i1) ∈ B. Pretpostavimo da smo vec
definirali g(1), . . . , g(n − 1). Stavimo g(n) = f(in), gdje je in najmanji prirodan broj
takav da je in > in−1 i f(in) ∈ B. Na taj je nacin g(n) definiran za svaki n ∈ N. Iz
definicije funkcije g slijedi da je g bijekcija s N na B, pa je B prebrojiv.
Teorem 4.2 ([3]) Ako je skup A prebrojiv, a B ⊆ A konacan, onda je A\B prebrojiv.
Teorem 4.3 Svaki beskonacan skup sadrzi prebrojiv podskup.
Dokaz: Neka je A beskonacan. Kako A nije prazan, postoji element a1 ∈ A. Pretpos-
tavimo da smo vec odabrali elemente a1, . . . , an iz skupa A. Skup A\a1, . . . , an nije
prazan, pa u tome skupu mozemo izabrati element an+1. Na taj nacin dolazimo do
prebrojivog podskupa a1, . . . , an, . . . iz A.
35
Teorem 4.4 ([3]) Skup svih konacnih nizova kojima su clanovi elementi zadanog pre-
brojivog skupa prebrojiv je skup.
Teorem 4.5 Unija konacnog broja konacnih ili prebrojivih skupova konacan je ili pre-
brojiv skup.
Teorem 4.6 ([3]) Skup svih konacnih podskupova zadanog prebrojivog skupa A je pre-
brojiv.
Dokaz: Neka je A = a1, a2, . . . , an, . . . zadan prebrojiv skup, a S neka je skup svih
konacnih podskupova skupa A, pri cemu cemo za svaki N , za skup od n zadanih ele-
menata ai1 , ai2 , . . . , ain, odabrati onaj niz u kojemu indeksi i1, i2, . . . , in tvore rastuci
niz prirodnih brojeva. Vidimo da se skup S moze injektivno preslikati u skup svih
konacnih nizova iz A. Iz Teorema 4.4 slijedi da je S prebrojiv.
Teorem 4.7 Skupovi Z cijelih brojeva i Q racionalnih brojeva su prebrojivi.
Dokaz: Oznacimo sa Z− skup svih negativnih cijelih brojeva, a sa Z+ skup svih pozi-
tivnih cijelih brojeva. Tada je Z = Z−⋃0
⋃Z+. Kako su Z− i Z+ prebrojivi, prema
Teoremu 4.5 slijedi da je Z prebrojiv.
Neka je Q− skup svih negativnih racionalnih brojeva, a Q+ skup svih pozitivnih ra-
cionalnih brojeva. Tada je Q = Q−⋃0
⋃Q+. Kako je preslikavanje koje svakom
pozitivnom racionalnom broju r ∈ Q+ pridruzuje r ∈ Q− bijekcija, tvrdnja ce biti do-
kazana ako se pokaze da je Q+ prebrojiv. Neka je S skup svih uredenih parova (x, y)
prirodnih brojeva sa svojstvom da su x i y relativno prosti. Jasno je da je S ⊆ N×N,
pa je S prebrojiv. Neka je f : S → Q+ preslikavanje definirano s f(x, y) = xy. Ocito je
f bijekcija pa je Q+, a time i Q, prebrojiv.
4.3 Neprebrojivi skupovi
Do sada smo za neke beskonacne skupove ustanovili da su prebrojivi, tj. da im je
kardinalni broj ℵ0 (npr. skupovi Z i Q). Uvodenje pojma kardinalnog broja ima
smisla ako postoje i beskonacni skupovi koji nisu prebrojivi. Osnivac teorije skupova
G. Cantor dokazao je postojanje i takvih skupova. Pokazao je da skup R nije prebrojiv.
To je bio prvi netrivijalni rezultat u teoriji skupova.
Definicija 4.3 Za beskonacni skup koji nije prebrojiv kaze se da je neprebrojiv .
Da bi mogli dokazati da postoje neprebrojivi skupovi istaknut cemo kako se realan broj
moze na jedinstven nacin prikazati u obliku razlomka s beskonacno mnogo decimala
razlicitih od nule. Npr. 12
mozemo umjesto 0.5 prikazati u obliku 0.499999 · · ·
36
Teorem 4.8 Skup svih realnih brojeva iz poluotvorenog intervala 〈0, 1] nije prebrojiv.
Dokaz: Pretpostavimo da je skup 〈0, 1] prebrojiv, tj. da se moze napisati u obliku
niza c1, c2, . . . , cn, . . . . Svaki element cn napisat cemo u obliku decimalnog broja s
beskonacno mnogo decimala razlicitih od nule.
c1 = 0.a11a12 · · · a1n · · ·c2 = 0.a21a22 · · · a2n · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·cn = 0.an1an2 · · · ann · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Neka je b = 0.b1b2 · · · bn · · · realan broj definiran ovako: za svaki n ∈ N stavimo bn = 1
ako je ann 6= 1 i bn = 2 ako je ann = 1. Jasno je da je b ∈ 〈0, 1] i da je razlicit od
svakog elementa cn. Kako je b1 6= a11 onda je b 6= c1 i opcenito kako je bn 6= ann
onda je b 6= cn,∀n ∈ N. Time smo dokazali da nasa pretpostavka da se u skupu
c1, c2, . . . , cn, . . . nalaze svi brojevi iz intervala 〈0, 1] nije tocna, dakle skup 〈0, 1] nije
prebrojiv.
Teorem 4.9 Skup R realnih brojeva nije prebrojiv.
Dokaz : Kada bi skup R bio prebrojiv, prema teoremu 4.1 i skup 〈0, 1] bi bio prebrojiv
kao podskup skupa R.
Pokazimo da je skup R ekvipotentan s bilo kojim nepraznim intervalom realnih brojeva.
Pokazati cemo na primjeru da je interval 〈−1, 1〉 ekvipotentan s R.
Primjer 4.3.1 Neka je g : 〈−1, 1〉 → R definirana s g(x) =tg π2x. Funkcija g je strogo
rastuca, dakle bijekcija je, a prima sve realne vrijednosti.
Na taj smo nacin dokazali egzistenciju jednog neprebrojivog kardinalnog broja, tj. kar-
dinalnog broja skupa R. Prema Cantoru taj se kardinalni broj oznacava s c.
Upoznali smo se s dva beskonacna kardinalna broja: ℵ0 = kard N i c = kard R.
Definirajmo uredaj ≤ za kardinalne brojeve.
Definicija 4.4 Neka su A i B skupovi; kaze se da je kardinalni broj skupa A manji ili
jednak kardinalnom broju skupa B, kard A ≤ kard B, ako je A ekvipotentan nekom
podskupu B1 skupa B, ili ako postoji injekcija sa skupa A u skup B.
Ako je kard A < kard B, kaze se da je kardinalni broj skupa A manji od kardinalnog
broja skupa B.
37
Da je ≤ uredajna relacija ustanovit cemo kroz tri koraka:
1. Za svaki skup A je kard A ≤ kard A, pa je relacija refleksivna.
2. Ako je kard A ≤ kard B i kard B ≤ kard A, tj. ako je A ∼ B1 ⊆ B i B ∼ A1 ⊆ A,
onda je kard A = kard B, pa je relacija ≤ antisimetricna.
3. Neka je kard A ≤ kard B i kard B ≤ kard C; tada postoje injekcije f : A → B
i g : B → C pa je kompozicija g f : A → C takoder injekcija, tj. relacija je i
tranzitivna.
Definirajmo zbrajanje, mnozenje i potenciranje kardinalnih brojeva.
Definicija 4.5 Neka su a i b kardinalni brojevi, a A i B skupovi za koje je kard A = a
i kard B = b.
(a) zbroj kardinalnih brojeva a i b je kardinalni broj unije skupova A i B, pri
cemu je A ∩B = ∅:
a+ b = kard (A ∪B)
(b) umnozak kardinalnih brojeva a i b je kardinalni broj Kartezijeva produkta
skupova A i B:
a · b = ab = kard (A×B)
(c) potencija ab je kardinalni broj skupa AB svih funkcija s B u A:
ab = kard (AB).
Veza izmedu kardinalnih brojeva skupova N i R iskazana je teoremom:
Teorem 4.10 Skup realnih brojeva R ekvipotentan je skupu P(N), tj. c = 2ℵ0.
Mnogi rezultati o ekvipotentnim skupovima vrlo se jednostavno mogu izraziti jezikom
aritmetike kardinalnih brojeva, no necemo ta pitanja detaljnije razmatrati. Na pr.,
vrijedi sljedece ([3]) :
a) Ako je a beskonacan kardinalni broj, onda je :
a+ ℵ0 = a.
b) Ako je n ∈ N, onda je :
n · ℵ0 = ℵ0 + ℵ0 + · · · ℵ0︸ ︷︷ ︸n
= ℵ0.
38
c) Ako je n ∈ N, onda je:
·ℵn0 = ℵ0 · ℵ0 · · · · ℵ0︸ ︷︷ ︸n
= ℵ0.
d) Ako je n ∈ N, onda za c = 2ℵ0 vrijedi:
cn = (2ℵ0)n = 2nℵ0 = 2ℵ0 = c.
Zakljucak
U radu je opisana bitna uloga pojma beskonacno u matematici. Poznatu definiciju
limesa realne funkcije uveo je francuski matematicar Louis Cauchy.
Skup realnih brojeva R mozemo prosiriti elementima +∞ i −∞, koje nazivamo be-
skonacni elementi skupa R. Dodavanjem beskonacnih elemenata skupu R dobivamo tri
mogucnosti poopcenja limesa funkcija: beskonacni limes u konacnoj tocki (primjer za
takav limes je odredivanje vertikalne asimptote krivulja), konacni limes u beskonacnosti
(primjer za takav limes je odredivanje horizontalne i kose asimptote krivulja) i be-
skonacni limes u beskonacnosti. Takoder uvodenjem beskonacne granice u odredeni
integral dolazimo do pojma nepravih integrala.
Uveden je pojam prosirene kompleksne ravnine (skupa C) kao prosirenje skupa C be-
skonacno dalekom tockom b.
Ako promatramo skupove, mozemo ih podijeliti na konacne i beskonacne. Taj po-
jam beskonacnih skupova je razlicit naspram pojma beskonacnost koji se javlja kod
prosirenja skupa R. Konacnim skupovima mozemo odrediti broj elemenata, dok se
kod beskonacnih skupova koristi relacija ekvipotentnosti. Kriterij za jednakost broja
elemenata mozemo prosiriti i na beskonacne skupove uvodenjem kardinalnog broja
skupa, koristenjem relacije ekvipotentnosti izmedu skupova.
39
Literatura
[1] Svetozar Kurepa, Matematicka analiza 1, Skolska knjiga, Zagreb, 1997.
[2] Svetozar Kurepa, Matematicka analiza 2, Tehnicka knjiga , Zagreb
[3] D. Jukic, R. Scitovski, Matematika 1, Sveuciliste J. J. Strossmayera, Osijek, 2000.
[4] Boris Apsen, Repetitorij vise matematike 4, Tehnicka knjiga, Zagreb, 1990.
[5] David Berlinski, Beskonacni uspon - kratka povijest matematike, ALFA, Zagreb,
2011.
[6] Maja Katalinic, Limesi, nizovi, redovi, Gradska Tiskara Osijek, 2011.
[7] Reid, C. From zero to Infinity: What Makes Numbers Interesting, Mathematical
Association of America, 1992.
[8] H. Kraljevic, S. Kurepa, Matematicka analiza funkcija kompleksne varijable,
Tehnicka knjiga, Zagreb, 1986.
[9] www-history.mcs.st-andrews-ac.uk/HistTopics/Infinity.html(studeni 2012.)
[10] www.halapa.com( studeni 2012.)
40
Sazetak
U radu je opisana bitna uloga pojma beskonacno u matematici. Jos su stari Grci otkrili
da se neki prakticni problemi ne mogu rijesiti u konacno mnogo koraka. Najpoznatiji
primjer takvog problema je odredivanje duljine kruznice u kojem nam je za dobivanje
rjesenja potreban granicni proces (limes niza realnih brojeva). Poznatu definiciju li-
mesa realne funkcije uveo je francuski matematicar Louis Cauchy.
Skup realnih brojeva R mozemo prosiriti elementima +∞ i −∞, koje nazivamo be-
skonacni elementi skupa R. Dodavanjem beskonacnih elemenata skupu R dobivamo tri
mogucnosti poopcenja limesa funkcija: beskonacni limes u konacnoj tocki (primjer za
takav limes je odredivanje vertikalne asimptote krivulja), konacni limes u beskonacnosti
(primjer za takav limes je odredivanje horizontalne i kose asimptote krivulja) i be-
skonacni limes u beskonacnosti. Takoder uvodenjem beskonacne granice u odredeni
integral dolazimo do pojma nepravih integrala. Uveden je pojam prosirene komplek-
sne ravnine (skupa C) kao prosirenje skupa C beskonacno dalekom tockom b.
Osim konacnih skupova koje mozemo usporedivati prema broju elemenata, opisano je
i usporedivanje beskonacnih skupova. Da bi mogli usporedivati beskonacne skupove
uveli smo kardinalni broj skupoa pomocu pojma ekvipotentnosti.
41
Summary
This paper describes the important role of term infinity in matematics. The ancient
Greeks discovered that some practical problems can not be solved in a finite number
of steps.The most famous example of such a problem is to determine the length of the
circle. Famous definition the limes of a real function was introduced by the French
mathematician Louis Cauchy.
The set R we can expand with a elements +∞ i −∞, that we call infinite elements
of set R. Adding infinite elements to set R we get three options of generalization the
limes of function: infinite limes in the final point (example of such a limes is determi-
ning the vertical asymptote the curves), the finite limes at infinity (example of such
a limes is determining the horisontal asymptote the curves) and the infinite limes at
infinity. It was introduced the concept of the extended complex plane (set C) as an
enlargement of the set C with infinitely distant point b.
Besides the finite sets, that can be compare by number of elements, is described com-
pering infinite sets. To be able to compare infinite sets we introduced cardinal number
of set.
42
Zivotopis
Ime mi je Martina Lovric. Rodena sam 17. studenog 1987. u Pozegi. Nakon zavrsetka
osnovne skole 2002. godine upisujem Ekonomsku skolu u Pozegi. 2006. godine upisujem
se na Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike na Odjelu za matematiku
u Osijeku.
Trenutno sam zaposlena u Katolickoj Klasicnoj Gimnaziji u Pozegi. Uz rad u skoli
aktivno se bavim kosarkom.
43
