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Movimiento armnico: Ejercicios resueltos
1) Un mvil animado de movimiento armnico tiene una aceleracin de
5m/s2 cuando su elongacin es de 5cm. Cunto vale su periodo?
2) El movimiento del pistn de un automvil es, aproximadamente,
armnico simple. Si la carrera del motor (dos veces su amplitud) es
de 10cm y la pulsacin de 3600 rpm, calcular la aceleracin del pistn
en el extremo de su carrera y su velocidad al pasar por el punto
medio de la misma.
3) A una partcula de 10g se la obliga a describir un movimiento
armnico simple en el eje de las Y. La amplitud del movimiento es
5cm y la frecuencia 0,5s-1. Calcula: a) la ecuacin del movimiento;
b) los valores de la elongacin para los cuales ser mxima la
velocidad; c) la mxima velocidad que puede alcanzar la partcula.
Solucin: a) s=0,05sent b) 0m c) 0,05 m/s
Soluciones
1) Un mvil animado de movimiento armnico tiene una aceleracin de
5m/s2 cuando su elongacin es de 5cm. Cunto vale su periodo?
Solucin: 0,63s
Recordemos que el periodo es el tiempo que tarda el mvil en
describir un ciclo completo, y que la elongacin es la distancia del
mvil al punto de equilibrio en un momento dado. Para calcular el
periodo necesitamos o bien la frecuencia o bien la velocidad
angular. Podemos sacar la velocidad angular con los datos que
tenemos?
y = A(sent + 0)0,05= A(sent)
(Recuerda tambin que si no nos dicen nada podemos suponer 0 =
0.)
Y por otro lado:
a = -A2(sent + 0)5 = -A2(sent)
Escribmoslo a modo de sistema:
0,05= A(sent)5 = -A2(sent)
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Parece complicado, pero no hay que dejarse asustar. Despejemos
la amplitud en la primera ecuacin y sustituyamos en la segunda:
0,05= A(sent) A = 0,05/ sent5 = -A2(sent) 5 = -0,05/(sent)
2(sent)
Si te fijas, el trmino sent se puede simplificar, y slo nos
queda como incgnita :
5 = -0,05/(sent) 2(sent)5 = -0,05 22 = 5/(-0,05) =10 rad/s
Sabiendo la velocidad angular, ya podemos calcular el
periodo:
= 2/T10 = 2/T
T = 2/10 = 0,63 s
2) El movimiento del pistn de un automvil es, aproximadamente,
armnico simple. Si la carrera del motor (dos veces su amplitud) es
de 10cm y la pulsacin de 3600 rpm, calcular la aceleracin del pistn
en el extremo de su carrera y su velocidad al pasar por el punto
medio de la misma.
La primera dificultad de este ejercicio es el contexto. Parece
mentira, pero todo ese vocabulario acerca de pistones, carrera del
motor y pulsaciones distrae mucho, y hace pensar que se trata de un
problema complicado porque el que lo lee no sabe nada de
motores1.
En realidad no hace falta saber. Si conocemos los parmetros de
un movimiento armnico, nos da igual que se trate de un motor, de un
pndulo, o de un nio que sube y baja subido a un balancn. Pero qu
parmetros nos dan? Si 10 cm (0,1m) es dos veces la amplitud del
movimiento, ya tenemos ah la amplitud:
A = 0,1/2 = 0,05m
1 Si s sabes de motores, genial. Entonces podrs ver que lo que
se ve en Fsica tiene aplicacin en la vida real.
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Y qu hay de las 3600 rpm? Si te acuerdas de algo del movimiento
circular (y no estara mal que te acordaras) las revoluciones por
minuto eran otra forma de medir la velocidad angular. Y la
velocidad angular es la velocidad angular, estemos en movimiento
circular o armnico. Es decir, que nos dan , aunque tengamos que
pasarla a unidades del SI.
3600 rpm 2/60 = 120 rad/s
Con estos datos ya podemos empezar a entrar en materia. Qu es lo
primero que nos piden? La aceleracin del pistn en el extremo de su
carrera. O lo que es lo mismo, la aceleracin cuando la elongacin es
mxima. Primero nos vamos a la frmula de la elongacin y calculamos
en qu momento la elongacin coincide con la amplitud:
y = A(sent + 0)0,05 = 0,05 (sen 120t)
sen 120t =1
Y como el seno slo vale 1 cuando el ngulo es de /2:
120t = /2t = 4,1610-3s
Y ahora, a la ecuacin de la aceleracin:
a = -0,05(120)2(sen 1204,1610-3)a = -0,05142,12(sen 1,57)a =
-7,1061 = -7,106 m/s2
Tambin se poda haber resuelto ms rpido si recordamos que el
momento de elongacin mxima coincide con el de velocidad cero y el
de aceleracin mxima. En otras palabras, es cuando el trmino del
seno en las ecuaciones de espacio y aceleracin es igual a uno.
Lo segundo que nos preguntan es la velocidad al pasar por el
punto medio de la carrera, esto es, por el punto de equilibrio. De
nuevo, es muy fcil y rpido si recuerdas que en el punto de
equilibrio la velocidad es mxima (su trmino de coseno es igual a
1):
v = A(cost + 0)v = A
v = 0,05120 = 6 = 18,85 m/s
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3) A una partcula de 10g se la obliga a describir un movimiento
armnico simple en el eje de las Y. La amplitud del movimiento es
5cm y la frecuencia 0,5s-1. Calcula: a) la ecuacin del movimiento;
b) los valores de la elongacin para los cuales ser mxima la
velocidad; c) la mxima velocidad que puede alcanzar la
partcula.
Lo primero que nos preguntan es la ecuacin del movimiento, para
lo cual tenemos que saber la amplitud y la velocidad angular. La
amplitud tienen la amabilidad de darla (A=0,05). Y podemos saber la
velocidad angular a travs de la frecuencia. Pues recuerda que:
= 2f = 20,5 = rad/s
Por lo tanto, la ecuacin del movimiento es
y = 0,05sent
Lo segundo que nos piden son los valores de la elongacin para
los cuales ser mxima la velocidad. Lo ms fcil del mundo si
recuerdas que la velocidad mxima en un movimiento armnico est en el
punto de equilibrio, o sea, cuando la elongacin vale cero. Tan
sencillo como eso.
Lo ltimo es la velocidad mxima. Esta ocurre cuando el trmino de
coseno en la ecuacin de la velocidad es igual a 1:
v = 0,05(cost)v = 0,05 = 0,16m/s
Y qu pasa con esos 10g de masa que nos da el enunciado? Es un
dato superfluo, innecesario. Debes tener suficiente conocimiento
del tema para no dejarte engaar por esas zancadillas que aparecen
de vez en cuando, y no liarte intentando meter en alguna ecuacin un
dato que no sirve para nada.
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