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Presentacin de PowerPoint

20/09/2012 10:13 p.m.1Segundo L. Gallardo Zamora

20/09/2012 10:13 p.m.UPAOUNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGODEPARTAMENTO ACADMICO DE CIENCIASF S I C A 2MOVIMIENTO PENDULARAutor: Segundo Lizardo Gallardo ZamoraTrujillo-2012

MOVIMIENTO PENDULAR Pndulo Simple


20/09/2012 10:13 p.m.2Segundo L. Gallardo ZamoraEl pndulo simple consiste de una pequea masa suspendida del extremo libre de una cuerda ligera de longitud L , como el que se muestra en la Fig.1.En cualquier posicin angular (t), las fuerzas que actan sobre la masa pendular son el peso mg y la tensin T en la cuerda.Si la masa se desplaza hacia un lado hasta que la cuerda forme el ngulo m con la vertical y se deja libre, oscilar de un lado al otro, describiendo el arco BB, de radio OB = L.TangenteRadialTFigura 1.mBBLomgmg sen mg cos (t)El peso se puede descomponer en una componente radial a la trayectoria que es mg cos y una tangencial que es mg sen MOVIMIENTO PENDULAR La componente radial mg cos es equilibrada por la tensin T, ms no as la componente tangencial mg sen . Esta es una fuerza no equilibrada y opuesta al desplazamiento angular (), por lo tanto, de acuerdo a la segunda ley de Newton se tiene que:


20/09/2012 10:13 p.m.3Segundo L. Gallardo ZamoraFT = mg sen = m aTDonde la aceleracin tangencial es: aT = Ld2 dt2 entonces: mg sen = m Ld2 dt2 que puede escribirse en la forma:= sen d2 dt2 g L(1)Esta ecuacin diferencial rige el movimiento del pndulo simple para cualquier amplitud angular (t) . Pero si consideramos oscilaciones de pequea amplitud angular, se demuestra matemticamente que: sen [rad]. MOVIMIENTO PENDULAR Aplicando esta relacin, la Ec.(1) se puede escribir en la forma


20/09/2012 10:13 p.m.4Segundo L. Gallardo Zamora= d2 dt2 g L(2)Esta ecuacin es similar a la ecuacin del MAS lineal. (o)2 = gL= - xd2x d t2o2Entonces, por similitud podemos decir que el movimiento de un pndulo simple de pequea amplitud, es tambin un Movimien-to Armnico Simple Angular, con frecuencia angular: Frecuencia linealf = gL 1 2 (4)(3)o = gL y perodo T = 2 Lg(5)MOVIMIENTO PENDULAR Tambin por similitud, concluimos que la solucin de la ecuacin diferencial (Ec.2) debe ser una funcin del tipo


20/09/2012 10:13 p.m.5Segundo L. Gallardo ZamoraDonde m es la amplitud angular del movimiento pendular (para valores menores que 15) y es la fase inicial de este movimiento.Si consideramos oscilaciones de mayor amplitud, la Ec.(5) para el perodo no es vlida. En oscilaciones de gran amplitud, el perodo del pndulo simple est dado por: = m sen (o t + )(6)T = 2 (1 + sen2 + sen4 + . . . ) Lg14m 2m 2 9 64(7)Ejemplo 8. Calcular la longitud de un pndulo simple que realiza 120 oscilaciones en 75.0 [s], en un lugar donde g = 9.81 [m/s2]. Datos: Si f = 120/75 = 1.6 [osc/s], entonces T = 1/f = 0.625 [s] y g = 9.81 [m/s2 ] MOVIMIENTO PENDULAR Solucin:


20/09/2012 10:13 p.m.6Segundo L. Gallardo ZamoraT = 2 LgLa longitud se puede obtener a partir de la frmula del perodoL = = g T2 42(9,81)(0,625)2 42L = 0.097 [m] = 9.7 [cm]PNDULO FISICOEl Pndulo fsico o compuesto, es cualquier cuerpo rgido suspendido de un eje fijo que pasa fuera del centro de masa, como el de la Fig. 2 CMdFigura 2mgd sen Si este cuerpo es desplazado lateralmente un ngulo , el peso mg produce el torque , respecto al eje Z, que hace rotar al cuerpo en sentido opuesto al desplazamiento angular . ZEje de oscilacinoMOVIMIENTO PENDULAR Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento de rotacin se tiene:


20/09/2012 10:13 p.m.7Segundo L. Gallardo Zamoraque puede escribirse en la forma(8)= sen d2 dt2mgd Id, es la distancia entre el eje de oscilacin y el eje principal paralelo que pasa por el centro de masa del cuerpo. donde:I, es el momento de inercia del cuerpo respecto al eje de oscilacin Z.Esta ecuacin diferencial rige el movimiento oscilatorio de un pndulo fsico para cualquier amplitud angular.Pero si consideramos oscilaciones de pequea amplitud y usamos la aproximacin: sen [rad], la Ec.(8) toma la forma siguiente: o = I (d sen ) mg = I d2 dt2MOVIMIENTO PENDULAR


20/09/2012 10:13 p.m.8Segundo L. Gallardo Zamora= d2 dt2mgd I(9)Esta ecuacin es tambin similar a la ecuacin que rige el MAS lineal. Por lo tanto, el movimiento del pndulo fsico es un MAS angular de frecuencia angular(10)o = mgd I(o)2 = mgd Iy perodo: T = 2 Imgd(12)frecuencia lineal: I 1 2f = (11)Pndulo simple equivalente. Es el pndulo simple que tiene una longitud tal que oscila con igual periodo que un pndulo fsico. La longitud de pndulo simple equivalente se obtiene igualando las ecuaciones de los perodos de ambos pndulos.

MOVIMIENTO PENDULAR


20/09/2012 10:13 p.m.9Segundo L. Gallardo Zamora(13) ImdL =de dondeLa solucin de la ecuacin diferencial que rige el movimiento del pndulo fsico (Ec.9) es tambin una funcin armnica del tipo: (14) = m sen (o t + )Donde: m es la amplitud angular del pndulo fsico, (debe ser menor que 15), o es la frecuencia angular y es la fase inicial.T = 2 Lg= 2 ImgdDe la ecuacin del perodo del pndulo fsico podemos obtener una frmula para calcular la aceleracin de la gravedadg = 42 I md T2(15)MOVIMIENTO PENDULAR


20/09/2012 10:13 p.m.10Segundo L. Gallardo ZamoraComo en esta frmula los trminos I, m y d son constantes propias del pndulo fsico, que pueden determinarse previamente, entonces usando la Ec.15 puede calcularse la aceleracin g con solo medir su perodo (T) en cualquier lugar sobre la superficie terrestre.Pero a el perodo del pndulo no es el mismo en los diferentes lugares sobre la superficie terrestre debido a las diferentes densidades de los materiales que hay por debajo del punto donde es medido, los valores que se obtengan para g, ms los resultados de otras clases de mediciones (satelitales, ssmicas, etc.) permiten a los gelogos hacer excelentes estimaciones de la extensin y tipos de depsitos subterrneos de agua, petrleo y minerales en las capas inferiores de la superficie terrestre.MOVIMIENTO PENDULAR Ejemplo 9. Calcular el perodo y la frecuencia con que oscila una varilla delgada de masa 1,5 [kg] y longitud 2,0 [m] que es suspen-dida de un punto ubicado a 25 [cm] de un extremo, como se mues-tra en la Fig. 3.


20/09/2012 10:13 p.m.11Segundo L. Gallardo ZamoraDatos:m = 1,5 [kg], L = 2,0 [m], con s = 0,25 [m], entonces d = L- 0,25 = 0,75 [m]Solucin:Las oscilaciones son producidas por el torque del peso respecto al eje paralelo ZT = 2 ImgdFigura 3Eje de oscilacindC.MZZosmgEl perodo se obtiene usandoDonde: I = Io + md2 (Por el Teorema de los ejes paralelos)MOVIMIENTO PENDULAR Con: Io = m(ko)2 = m , como el momento de inercia de la varilla respecto a su eje principal Zo .


20/09/2012 10:13 p.m.12Segundo L. Gallardo Zamoray el perodoT = 2 = 2 m + md2 m g dL2 12 + d2

g dL2 12 + (0,75)2 9,81(0,75)22 12T = 2 T = 2,19 [s]La frecuencia se obtiene usandof = 1/T = 1/ 2.19f = 0,46 [osc/s]L2 12I = m + md2 L2 12Luego el momento de inercial de la varilla respecto al eje Z es:MOVIMIENTO PENDULAR Ejemplo 10. Hallar el perodo de oscilacin y la longitud del pn-dulo simple equivalente para el pndulo fsico de la Fig. 4. Consi-dere que b = 2c = 18 cm


20/09/2012 10:13 p.m.13Segundo L. Gallardo ZamoraFigura 4Za2a3aacbSolucin.El perodo se obtiene usando la ecuacin: T = 2 Im g dDonde: I = Io + m d2 (Teorema de ejes paralelos) Con: Io = m = m = m(b2 + c2 ) 12(4c2 + c2 ) 125c2 12y (2d)2 = b2 + c2 dd2 = 5c2 / 4 d = c 5 / 2 Luego: I = 5 m c2 3y T = 2 (5mc2/3)m g c 5 / 2 ZoMOVIMIENTO PENDULAR de donde:


20/09/2012 10:13 p.m.14Segundo L. Gallardo ZamoraT = 2 10 c3 5 g Usando valores:T = 2 10 (0.09)3 5 (9,81) T = 0,73 s.La longitud del pndulo simple equivalente esta dado por:L = Im d= 10 c3 5L = 0,134 mL = 10 (0,09)3 5PNDULO DE TORSINEl Pndulo de torsin es un cuerpo slido adherido a un alambre, hilo o fibra, paralelo al eje de rotacin y que pasa por el centro de masa del cuerpo como se muestra en la Fig.5. El alambre o fibra es tensado por el peso del cuerpo.coIoAlambre Figura 5oMOVIMIENTO PENDULAR


20/09/2012 10:13 p.m.15Segundo L. Gallardo ZamoraCuando el cuerpo es girado un pequeo ngulo , el alambre ejerce un torque recuperador o sobre el cuerpo, el cual es proporcional y opuesto al desplaza-miento angular . Donde (letra griega mu) es denominada la constante elsti-ca de torsin del alambreo = (16)Este torque hace oscilar al pndulo de torsin con respecto al eje del alambre. Por lo tanto, aplicando la segunda ley de Newton al movimiento de rotacin se obtiene la ecuacin dinmica de este movimientoo = = Io d2 dt2(17)de donde= d2 dt2 IoDonde Io es el momento de inercia del cuerpo slido respecto a su eje principal que es el eje del alambre.MOVIMIENTO PENDULAR


20/09/2012 10:13 p.m.16Segundo L. Gallardo Zamora(o)2 = Io(18)o = IoLa Ec. (17) es tambin similar a la del MAS lineal, por lo tanto, dentro del lmite elstico del alambre, el pndulo de torsin oscila con MAS angular de frecuencia angular:frecuencia lineal: Io 1 2f =(19) y PerodoIo T = 2 (20)El valor de la constante de torsin del alambre, hilo o fibra depende de su forma, dimensiones y de la naturaleza del material. Se demuestra que esta constante est relacionada con el mdulo elstico de rigidez o de corte G del material mediante la expresin : = G D4 32 L(21)MOVIMIENTO PENDULAR


20/09/2012 10:13 p.m.17Segundo L. Gallardo ZamoraEn la Ec.21 se tiene que D es el dimetro del alambre, hilo o fibra, L su longitud y el mdulo G se halla los textos de fsica tal como en la Tabla 1 del captulo de Elasticidad ( pag.17). El pndulo de torsin tiene muchas aplicaciones prcticas tales como: en el volante de un reloj de cuerda, en el galvanmetro analgico , en la balanza de torsin de Cavendish, etc..

Figura 8. Balanza de Cavendish

Figura 6. Reloj de cuerda en vista frontal y posterior

Figura 7. Galvanmetro analgicoMOVIMIENTO PENDULAR Ejemplo 10. En la Fig.8 se tiene un pndulo de torsin formado por una placa cuadrada de 15,0 cm de lado y masa 400 g, suspendida del extremo inferior de un alambre de longitud de 1,20 m y dimetro 9,40 mm. Al girar la placa un pequeo ngulo y dejarlo libre oscila a razn de 30 [Hz] alrededor del eje OC. Calcular la constante de tor-sin y el mdulo de rigidez del alambre.


20/09/2012 10:13 p.m.18Segundo L. Gallardo ZamoraDatos: a = 15,0 cm = 0,150 m, m = 400 g = 0,400 kg, L = 1,20 m, D = 9,40 mm = 9,40x10-3 m y f = 30 [Hz].Solucin:Como el perodo es T = 1 / f = 1/30 s, podemos usar T = 2 y obtenerIo = 4 2 Io T2Io = m (ko)2 = m ( ) a2 + a2 12 Donde:Io = m a2 / 6 a5 cmFigura 8coaMOVIMIENTO PENDULAR


20/09/2012 10:13 p.m.19Segundo L. Gallardo ZamoraIo = 0,400 ( ) = 1,50x10-3 [kg.m2]0,152 6 = 53,3 [N.m]Luego:4 2 (1,50x10- 3) (1/30)2 = Usando valores se tiene:El mdulo elstico de rigidez se obtiene usando la frmula: G = 8, 34 x1010 N(m232 L D4G =Segn las tablas de mdulos de elasticidad, este valor de G nos indica que el alambre es de acero32 (53,3 )(1,20) ( 9,40 x10-3 )4G =Usando valores.OTROS SISTEMAS OSCILANTES I.- MASA Y RESORTES EN SERIE. En primer lugar, se trata de deducir la frecuencia y perodo de un oscilador formado por una masa y dos resortes conectados en serie como se muestra en la Fig. 9.


20/09/2012 10:13 p.m.20Segundo L. Gallardo ZamoraAl aplicar la fuerza F sobre la masa m, se ge-nera en cada resorte una sola fuerza recupera-dora F del mismo mdulo que F, pero las deformaciones son diferentes y estn defini-das por:x1x2mk1k2FFigura 9F k1x1 =En el resorte k1:La deformacin total de los dos resortes es:x = x1 + x2F k1x = + F k21 k1x = F ( + )1 k2(22)F = k2 x2F = k1 x1F k2x2 =En el resorte k2:OTROS SISTEMAS OSCILANTES Esta asociacin de resortes puede ser sustituida por un slo re-sorte equivalente como el de la Fig.10, cuya constante ke sea tal que cumpla con la ley de Hooke.


20/09/2012 10:13 p.m.21Segundo L. Gallardo ZamoraxmkeFFigura 10x =F ke (23)Ahora, usando (23) en (22) obtenemos:F ke 1 k1= F ( + )1 k2De donde1 ke 1 k1 = +1 k2(24)ke =K1 k2 k1 + k2O en la forma:Es decir que, la fuerza recuperadora sea:FF = ke xOTROS SISTEMAS OSCILANTES


20/09/2012 10:13 p.m.22Segundo L. Gallardo ZamoraEn segundo lugar, si tenemos n resortes en serie como los de la Fig .11mk1k2x1x2F. . . .knFigura 11La constante equivalente, por similitud, estar definida por1 ke 1 k1= + +1 k21 kn. . . . (25)1 ke 1 ki = n

i =1Por definicin, la masa sujeta a esta asociacin de resortes oscilar con:o = ke mFrecuencia angular(26)Frecuencia linealf = ke m1 2(27)T = 2 m kePerodo(28)OTROS SISTEMAS OSCILANTES I.- MASA Y RESORTES EN PARALELO En primer lugar, se trata de deducir la frecuencia y perodo de un oscilador formado por una masa y dos resortes conectados en paralelo como el que se muestra en la Fig. 12.


20/09/2012 10:13 p.m.23Segundo L. Gallardo ZamoraAl aplicar la fuerza F sobre la masa m, se ge-neran en los resortes fuerzas recuperadoras diferentes F1 y F2, pero las deformaciones son iguales.Figura 12k1k2xFmF1F2Por lo tanto, la fuerza aplicada F es la sumaF = F1 + F2F = k1 x + k2 x(29)oEstos dos resortes pueden ser sustituidos por uno solo cuya constante equivalente ke, cumpla con la ley de Hooke.OTROS SISTEMAS OSCILANTES


20/09/2012 10:13 p.m.24Segundo L. Gallardo ZamoraF = ke x(30)Usando (30) en (29) se tieneke x= k1 x + k2 xke= k1 + k2(31)mkexFFigura 13FEl resorte equivalente se muestra en la Fig.13, cuya la fuerza recuperadora es:En segundo lugar, si tenemos n resortes asociados en paralelo, como los de la Fig.14, por similitud con la deduccin anterior, decimos que la constante equi-valente esta dada por:. . .ke = k1 + k2 + kn ke = kini=1(32)k1k2xFFigura 14knmOTROS SISTEMAS OSCILANTES Por definicin, la masa sujeta a esta asociacin de resortes oscilar con:


20/09/2012 10:13 p.m.25Segundo L. Gallardo Zamorao = ke mFrecuencia angular(33)Frecuencia linealf = ke m1 2(34)T = 2 m kePerodo(35)Trabajo de grupo en aula N 02Un pndulo simple tiene una longitud de 0,850 [m] y oscila con una amplitud angular de 10. Calcular: a) la frecuencia lineal, b) el perodo y c) la rapidez mxima de la masa del pndulo. Calcular el perodo de un pndulo simple de longitud 1,60 [m] si su punto de suspensin est en el techo de la cabina de un ascensor que se mue-ve con una aceleracin de 2,00 [m/s2], a) hacia arriba y b) hacia abajo.Hallar el perodo de oscilacin y la longitud del pndulo simple equiva-lente para cada uno de los pndulos fsicos de las figuras 36 y 37.OTROS SISTEMAS OSCILANTES


20/09/2012 10:13 p.m.26Segundo L. Gallardo ZamoraFigura 37Zh/4RL = 4RFigura 38FibraRFigura 36Za2a3aUn disco metlico delgado con una masa de 0,001 [kg] y radio 0,500 [cm] est unido por su centro a una fibra larga como se indica en la Fig.38. Se retuerce y se suelta, el disco oscila con un perodo de 1,00 [s]. Calcular la constante de torsin de la fibra.Los resortes K1 = 800 [N/m] y K2 = 700 [N/m] estn acoplados con una masa m = 9 [kg] en las formas que se indican en las figuras 39, 40 y 41, respectivamente. La masa se puede mover sobre una superficie horizontal liza y solamente sobre el eje X. Calcular el perodo de oscilacin de la masa en cada asociacin, cuando la masa es desplazada lateralmente una pequea distancia X y luego es dejada libre.OTROS SISTEMAS OSCILANTES


20/09/2012 10:13 p.m.27Segundo L. Gallardo ZamoraK1K2 xFigura 39m xK1K2mFigura 40Figura 41K2K2K2K2K2K1K1K1K1mContinuamos en MOA y MOF

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