Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko

Oddelek za fiziko

Seminar – 1. Letnik 2. bolonjske stopnje

Masa protona in kvantna

kromodinamika na mreži

Avtor: Miha Muškinja

Mentor: doc. dr. Saša Prelovšek Komelj

Ljubljana, maj 2013

Povzetek

Z nedavnim odkritjem Higgsovega bozona [6] znamo pojasniti maso elementarnih delcev.

Masa kvarkov in je in , masa protona, ki pa je sestavljen iz

dveh kvarkov in kvarka , pa [5]. Kako bi pojasnili tako veliko maso? Skoraj vsa

masa protona je posledica vezavne energije močne interakcije. Sprejeta teorija, ki opisuje

močno interakcijo, je kvantna kromodinamika. Interakcijo opisuje kot izmenjavo brezmasnih

gluonov. Za razliko od fotonov, ki so prenašalci elektromagnetne sile, gluoni interagirajo med

sabo. Posledica je, da je močna sila na tipičnih dimenzijah hadronov ( ) res močna [slika

3] in mase hadronov ne moremo izračunati s perturbacijskim približkom. V seminarju bom

predstavil kvantno kromodinamiko na mreži, ki je neperturbativen pristop k kvantni

kromodinamiki. Ta z uporabo diskretne mreže prostora-časa pretvori ustrezne analitično

neizvedljive popotne integrale v zelo zahtevne numerične račune [3]. Spoznali bomo osnove

kvantne teorije polja, Lagrangeov formalizem in dejanske rezultate znanih raziskovalnih

skupin (BMW Collaboration [5]). Videli bomo, da se numerični izračuni mas nekaterih

hadronov zelo dobro skladajo z eksperimentalno izmerjenimi masami.

Masa protona in kvantna kromodinamika na mreži

1

Kazalo

1 Osnove kvantne teorije polja 1

1.1 Kvantna teorija polja 1

1.2 Lagrangeov formalizem 2

1.3 Kvantna elektrodinamika 3

1.4 Kvantna kromodinamika 4

2 Perturbativna teorija in popotni integral 5

2.1 Propagator v kvantni teoriji polja 6

3 Korelacijske funkcije v kvantni teoriji polja 7

3.1 Energija osnovnega stanja 7

4 Numerična plat kvantne teorije polja 8

4.1 Diskretizacija 8

4.2 Numeričen izračun korelacijske funkcije 9

5 Rezultati kvantne kromodinamike na mreži 10

5.1 Rezultati raziskovalne skupine BMW 11

6 Zaključek 14

Literatura 14

1.1 Kvantna teorija polja

Kvantna teorija polja je ogrodje, ki nam omogoča konstrukcijo kvantno-mehanskih modelov

za podatomske delce ter interakcije med njimi. Nekaj znanih modelov, ki so teorije polja, so:

Standardni model, kvantna elektrodinamika (QED) in

kvantna kromodinamika (QCD), kateri bomo posvetili več

pozornosti v nadaljevanju. Standardni model opisuje

elektromagnetno, šibko in močno interakcijo med

osnovnimi delci. Njegove napovedi se dobro ujemajo z

rezultati raznih eksperimentov na področju fizike delcev.

V teoriji polja lahko opisujemo delce kot vzbujena stanja

polja, pri čemer vsakemu elementarnemu delcu ustreza

svoje polje. Kvantna teorija polja lahko predstavlja

poljubno število delcev, kar je prikladno za opis sistemov,

kjer se število delcev spreminja skozi čas. Ob kvantizaciji

klasičnega polja postane polje operator, ki opisuje kreacijo

ali anihilacijo delcev. Polje je definirano v vsaki točki

prostora in časa , označimo pa ga , kjer je

SLIKA 1: STANDARDNI MODEL OSNOVNIH

DELCEV. V IR:

http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_

Model, junij 2013

Masa protona in kvantna kromodinamika na mreži

2

dodatna prostorska stopnja, ki bi na primer ločevala med tipom polja. Kvantna

elektrodinamika ima dve polji; polje za foton in fermionsko polje (elektron).

1.2 Lagrangeov formalizem

V kvantni teoriji polja pogosto uporabimo Lagrangeov formalizem. To je analogen

formalizem Lagrangeovemu formalizmu v klasični mehaniki, kjer imamo generalizirane

koordinate pozicije in hitrosti , enačbe gibanja pa nam podajo Euler-Lagrangeove

enačbe:

0.i i

d L L

dt q q

(1)

V kvantni teoriji polja sta generalizirani koordinati polje in njegovi prvi odvodi

, Euler-Lagrangeove enačbe pa podajo enačbe gibanja polj:

0.( )a a

(2)

poudarja, da imamo lahko več neodvisnih polj, pa je četverec gradienta.

Koordinati in sta tako postala le parametra polja. Za boljše razumevanje si oglejmo primer

prostega realnega skalarnega polja. Takšno polje ustreza delcem brez spina in mora ubogati

Klein-Gordonovo enačbo [1]:

2

2 2

2m

t

(3)

Hitro lahko preverimo, da je ustrezen Lagrangian , ki reproducira Klein-Gordonovo enačbo

oblike:

2 21 1,

2 2m

(4)

namreč . V tem primeru smo imeli samo eno polje . Vsak model

zgrajen s kvantno teorijo polja ima svoj Lagrangian, s pomočjo katerega lahko določimo

interakcije med delci, ki jih ta model opisuje. Pomemben koncept, s katerim se pravzaprav

izpelje Euler-Lagrangeove enačbe, je akcija polja

(5)

Do Euler-Lagrangeovih enačb se pride z variacijskim računom, kjer uporabimo princip

ekstrema akcije, ki pravi, da se akcija ob majhni spremembi polja ne

spremeni

Masa protona in kvantna kromodinamika na mreži

3

( ( ') 0.S S (6)

1.3 Kvantna elektrodinamika

Kvantna elektrodinamika je relativistična teorija polja, ki opisuje interakcijo med električno

nabitimi delci. Interakcija poteka preko izmenjave fotona. Prosti elementarni fermioni s

spinom so opisani z rešitvijo Diracove enačbe [2]:

0

0 0( )

0 0

i

i

i

Ii m

I

(7)

so tri Paulijeve matrike, pa je identiteta. Lagrangian, ki preko Euler-Lagrangeovh enačb

reproducira Diracovo enačbo je

( )i m

(8)

kjer sta in neodvisni fermionski polji. Lagrangian prostega fermionskega polja

je invarianten na globalno umeritveno transformacijo, ki spremeni fazo polja

) ) ) ).i ix e x x e x (9)

je v tem primeru realna konstanta. Umeritvena invarianca pomeni, da faza polja ni

absolutno merljiva količina. A zahtevamo lahko še več. Zahtevajmo, da je Lagrangian

invarianten na lokalno umeritveno transformacijo

) )) ) ) ).i x i xx e x x e x (10)

je tokrat odvisen od , kar pomeni, da je sprememba faze drugačna v vsaki točki

prostora-časa. Lagrangian ni invarianten na takšno spremembo, saj je

) ) )) ) ) ).i x i x i xe x e x ie x x

(11)

Če hočemo, da je Lagrangian invarianten na lokalno umeritveno transformacijo, ga moramo

spremeniti. Uvedemo kovarianten odvod in vektorsko polje , ki se transformira tako, da

se člen odšteje

,D ieA (12)

1

A Ae

(13)

Lagrangian

0 int) )i D m i m e A

(14)

Masa protona in kvantna kromodinamika na mreži

4

je tako invarianten na lokalno umeritveno transformacijo. Transformacija nas spominja

na klasično elektrodinamiko, kjer se fizikalni količini

, ( ) A

E B A At

A

(15)

ne spremenita pri transformaciji

. Lahko rečemo, da polje v Lagrangianu

predstavlja elektromagnetno polje, torej fotone. Nov člen torej

predstavlja interakcijo med fermioni in protoni, konstanta pa je električni naboj. Dodati

moramo še člen, ki opisuje prosto fotonsko polje

0

1, .

4

boz F F F A A

(16)

Člen preko Euler-Lagrangeovih enačb reproducira Maxwellove enačbe gibanja in je že

invarianten na lokalno umeritveno transformacijo [1]. Tako nam je uspelo izpeljati

Lagrangian za kvantno elektrodinamiko

0 int 0

1) ) .

4

bozi D m i m e A F F

(17)

Prvi člen predstavlja propagacijo fermionov, drugi interakcijo med fermioni in fotoni, tretji pa

propagacijo fotonov.

1.4 Kvantna kromodinamika

Kvantna kromodinamika je teorija, ki preučuje močno interakcijo med kvarki. Močno

interakcijo opiše kot izmenjavo brezmasnih gluonov, ki jim pravimo prenašalci močne

interakcije. Kvarki so tako kot leptoni (elektron, mion, tau lepton) fermioni, zato tudi polje

prostih kvarkov opišemo s prostim fermionskim poljem

( ) .qi m

(18)

Upoštevati moramo še dejstvo, da imajo kvarki dodatno kvantno število – barvo. Kvark ima

lahko rdečo, zeleno ali modro barvo, zato zapišemo polje kot vektor treh polj, kjer vsaka

komponenta predstavlja svojo barvo

.

R

G

B

(19)

Barva je nemerljiva količina, zato si želimo, da je teorija, ki opisuje kvarke, invariantna na

rotacije v barvnem prostoru. Rotacijo v barvnem prostoru naredimo tako, da vektor

pomnožimo z unitarno matriko :

Masa protona in kvantna kromodinamika na mreži

5

† 1.

R R

G G

B B

M MM

(20)

Zahtevamo tudi, da je determinanta matrike enaka . S tem izvzamemo primere, kjer

kvarke različnih barv rotiramo z enako fazo [2]. Takšne matrike tvorijo transformacijsko

grupo in jih lahko splošno parametriziramo kot

( ) ),a ai x TM e x (21)

kjer so matrike linearno neodvisne, brezsledne, hermitske matrike in jih imenujemo

generatorji grupe . Skupaj jih je : . Lagrangian ni invarianten na

takšne rotacije, zato vpeljemo osem novih vektorskih polj . Lagrangian, ki je invarianten na

rotacije v barvnem prostoru je [3]:

1

( ) ( .4

a a

q a ai m g T G G G

(22)

je sklopitvena konstanta močne interakcije, so gluonska polja,

pa tenzor gluonskega

polja

.a a a b a

abcG G G gf G G (23)

je realna konstanta določena s komutatorji generatorjev

2 Perturbativna teorija in popotni integral

Klasično mehaniko in klasično mehaniko polj lahko kvantiziramo na več načinov. Ena izmed

možnih kvantizacij je kanonična kvantizacija, kjer pridemo do kvantne teorije tako, da

zamenjamo dinamične spremenljivke z ustreznimi operatorji, ki zadoščajo kanoničnim

komutacijskim zvezam. Na perturbativen način bi propagacije delcev in interakcije med njimi

računali tako, da bi narisali vse možne Feynmanove diagrame do nekega reda med začetnim

in končnim stanjem, nato pa bi sešteli prispevke vseh teh diagramov.

SLIKA 2: PRIMER FEYNMANOVIH

DIAGRAMOV MOČNE INTERAKCIJE.

PRIKAZANA JE INTERAKCIJA MED

DVEMA KVARKOMA Z IZMENJAVO

ENEGA ALI DVEH GLUONOV.

Lasten vir

Masa protona in kvantna kromodinamika na mreži

6

Interakcijo med dvema kvarkoma bi lahko perturbativno računali po gornji sliki. Matrični

element prvega diagrama je sorazmeren s sklopitveno konstanto, matrični element drugega

diagrama pa s sklopitveno konstanto na kvadrat. Skupen matrični element bi bil vsota obeh

. V kvantni elektrodinamiki bi bil takšen pristop popolnoma legitimen,

saj ima sklopitvena konstanta kvantne elektrodinamike vrednost

in lahko

člen z ter člene višjega reda brez skrbi zanemarimo. V kvantni kromodinamiki pa

sklopitvena konstanta

za energije, ki nas zanimajo ( ), nima male vrednosti

in tako členov višjega reda ne moremo zanemariti. Perturbativen pristop popolnoma odpove,

saj bi za vsak proces morali izračunati in sešteti

diagrame vseh redov. Zanimiva lastnost močne

sklopitvene konstante pa je, da njena vrednost

pada, ko se pomikamo k večjim energijam. Za

velike energije lahko tako kvantno

kromodinamiko obravnavamo perturbativno.

Perturbativnemu pristopu se bomo izognili s

formulacijo s popotnim integralom. S popotnim

integralom lahko npr. izračunamo propagacijo

delca tako, da seštejemo vse možne poti med

začetno in končno točko.

2.1 Propagator v kvantni teoriji polja

Propagator je verjetnostna amplituda, da se delec, ki je ob času v točki nahaja ob času

v točki . To pomeni, da se nahaja v lastnem stanju operatorja kraja , ki ga označimo z

in velja . Časovni razvoj takega stanja zapišemo kot . Propagator

se zapiše tako:

(24)

je Heavisideova funkcija, ki le zagotovi, da je . Propagator imenujemo tudi

Greenova funkcija Schrödingerjeve enačbe [3]. Propagator se da izpeljati še v okviru

formalizma popotnih integralov. Rezultat, ki ga dobimo je:

(25)

SLIKA 3: SKLOPITVENA KONSTANTA MOČNE INTERAKCIJE.

VIDIMO, DA IMA SKLOPITVENA KONSTANTA PRI NIZKIH ENERGIJAH

VELIKO VREDNOST. V IR:

http://pdg.lbl.gov/2011/reviews/rpp2011-rev-qcd.pdf,

JUNIJ 2013

Masa protona in kvantna kromodinamika na mreži

7

Popotni integral je definiran na naslednji način:

(26)

je akcija:

. Popotni integral si lahko predstavljamo kot integral po

vseh možnih poteh delca iz točke v točko . Verjetnostno amplitudo za prehod delca iz

točke v točko dobimo tako, da seštejemo prispevke vseh poti, pri tem pa vsako pot

obtežimo s faznim faktorjem , kjer je akcija poti.

3 Korelacijske funkcije v kvantni teoriji polja

Korelacijske funkcije so v neperturbativni teoriji pomembne zato, ker s pomočji njih

določimo energije eksperimentalno opazljivih stanj. Osnovno energijsko stanje mirujočih

hadronskih sistemov, ki so vezana stanja večih elementarnih kvarkov, ustreza mirovni energiji

oziroma masi, kar je tudi glaven motiv našega seminarja. Korelacijska funkcija, ki jo bomo

potrebovali, je dvotočkovna korelacijska funkcija

(27)

je osnovno (vakuumsko) energijsko stanje, in pa sta anihilacijski ter

kreacijski operator, ki sta v formalizmu popotnega integrala zamenjana z ustreznima poljema.

Enačba pravzaprav opisuje propagacijo stanj, kreiranih z operatorjem v izhodišču in

anihiliranih z operatorjem v točki . Konkreten kreacijski operator, ki ga bomo

uporabljali je kreacijski operator za proton:

(28)

Indeks je dirakov indeks, indeksi pa so barvni indeksi. Oglat oklepaj nima

dirakovega indeksa, saj je glede na Lorentzovo transformacijo skalar. je bi-spinor, kar

seveda ustreza delcem s spinom , kot je proton. Izkaže se, da je tudi parnost izraza (31)

takšna kot jo ima proton, torej . Barvni indeksi so izbrani tako, da tvorijo barvni singlet, kar

je lastnost vseh hadronov.

3.1 Energija osnovnega stanja

Če želimo s pomočjo numerično izračunane korelacijske funkcije dobiti energijo osnovnega

stanja, jo moramo najprej Fourierovo transformirati, saj nas zanima stanje z določeno gibalno

količino :

(29)

Masa protona in kvantna kromodinamika na mreži

8

Operator lahko zapišemo kot in v izraz (29) vstavimo identiteto:

(30)

Sedaj naredimo transformacijo . Takšni transformaciji pravimo, da gremo iz prostora

Minkovskega v Evklidski prostor, ali da namesto časa opazujemo temperaturo. Upoštevamo

da je energija vakuuma , energija stanja pa . Izraz (30) dalje zapišemo kot:

(31)

Korelacijsko funkcijo lahko sedaj zapišemo v obliki

(32)

Vidimo, da ima korelacijska funkcija pri velikih časih obliko eksponentne funkcije, odvisne

le od , saj velja , kar pomeni, da lahko s prilagajanjem izluščimo energijo

osnovnega stanja. Recept za numerično računanje mase protona je torej takšen:

- Izberemo kreacijski in anihilacijski operator s kvantnimi števili protona

- Numerično izračunamo korelacijsko funkcijo, ki vsebuje prej izbrana operatorja

- Naredimo Fourierovo transformacijo korelacijske funkcije

- Pogledamo obnašanje korelacijske funkcije pri velikih časih in s prilagajanjem

eksponentne funkcije določimo energijo

- Vstavimo , saj je pri kar masa najlažjega stanja ,

ali v našem primeru masa protona .

4 Numerična plat kvantne teorije polja

Numerično računanje je ključnega pomeni v kvantni kromodinamiki na mreži. 'Mreža'

pomeni, da zvezen prostor aproksimiramo z mrežo točk, torej prostor-čas diskretiziramo.

Popotni integrali postanejo v diskretnem prostoru tako dobro definirani, saj imamo samo

končno mnogo možnih konfiguracij polj.

4.1 Diskretizacija

Vpeljimo diskretno -dimenzionalno mrežo točk z razmikom . Vsako točko na končni mreži

opisujejo štiri cela števila, ki jih označimo . Trije indeksi so prostorski,

eden pa označuje čas, ki ga prav tako diskretiziramo. Če je število točk mreže v vseh

dimenzijah enako , lahko zasede vrednosti . Prehod na diskreten

prostor se odraža v naslednjih substitucijah [3]:

Masa protona in kvantna kromodinamika na mreži

9

4.2 Numeričen izračun korelacijske funkcije

Akcija polja, ki nastopa v izrazu (27), se v primeru kvantne kromodinamike zapiše kot:

(33)

Konkretna korelacijska funkcija, ki nas bo zanimala, je korelacijska funkcija, ki vsebuje vsa

polja kromodinamike in pravilno akcijo. Zapišemo jo tako:

(34)

V enačbi nastopajo polja. Gluonsko polje in kvarkovska polja ter . Vprimeru protona

bodo polje nadomestila polja , polje pa polja . Integriramo po vseh

konfiguracijah gluonskega polja, za vsako konfiguracijo gluonskega polja pa integriramo še

po vseh fermionskih konfiguracijah. Za numerično računanje moramo diskretizirati akcijo

polj. Fermionski del akcije (33) zapišemo v diskretizirani in brezdimenzijski obliki kot

(enačba 6.8 v [3]):

(35)

je matrika diskretiziranega Diracovega operatorja, in pa sta diskretni točki na -

dimenzionalni mreži. Ker je polje bispinor s tremi barvnimi komponentami ima matrika

štiri indekse. Spodnja dva sta spinorska, zgornja pa barvna. je odvisna tudi

od gluonske konfiguracije polja, ki vstopa vanjo skozi kovarianten odvod . Integral po

fermionskih poljih lahko sedaj izračunamo s pomočjo Gaussovih integralnih identitet [3]:

(36)

Vidimo, da nam je ostal le še integral po gluonskih poljih, integral po fermionskih poljih pa

smo izrazili z matrikami . označuje 3 diskretne krajevne točke, pa je točka na časovni

mreži. Integral po gluonskih konfiguracijah izvedemo s pomočjo Monte Carlo simulacije.

Masa protona in kvantna kromodinamika na mreži

10

Generiramo končno število gluonskih konfiguracij, pri čemer upoštevamo, da je

verjetnost vsake konfiguracije enaka , korelacijsko funkcijo pa nato

izračunamo kot povprečje fermionskega dela, ki je odvisen od gluonske konfiguracije:

(37)

Če bi sedaj pogledali obnašanje izraza (37) pri

velikih bi s prilagajanjem eksponentne

funkcije dobili mirovno energijo ali maso

protona.

Numeričen izračun mase poteka torej nekako tako, da najprej diskretiziramo akcijo kvantne

kromodinamike in njen fermionski del zapišemo s pomočjo diskretiziranega Diracovega

operatorja, matrike , ki je odvisna od gluonske konfiguracije. Generiramo gluonskih

konfiguracij s porazdelitveno funkcijo . Vse to je računsko zelo zahtevno,

saj so tipične dimenzije matrike reda [5]. Izvrednotimo izraz (37) in s

prilagajanjem eksponentne funkcije dobimo energijo osnovnega stanja pri , maso.

5 Rezultati kvantne kromodinamike na mreži

Kvantna kromodinamika na mreži je teorija, ki lahko preko mas kvarkov napove mase

sklopljenih kvarkovskih sistemov ali obratno, a za to potrebuje nekaj vhodnih

eksperimentalnih podatkov; teorija brez vhodnih parametrov ne more napovedati absolutnih

mas hadronov. Numerično izračunane mase hadronov so odvisne od mase kvarkov, ki

sestavljajo ta hadron, mase kvarkov pa si lahko izberemo poljubno. Odvisnost mase piona je

močno odvisna od mase kvarkov, zato se pogosto uporabi za umeritev mas kvarkov in .

Maso piona izračunamo za več mas kvarkov in (ponavadi aproksimiramo ),

nato pa pogledamo, za katero maso kvarka je bila numerično izračunana masa piona enaka

eksperimentalno določeni masi.

SLIKA 5: PRIMER KORELACIJSKE F UNKCIJE. V IDIMO, DA

IMA KORELACIJSKA FUNKCIJA ZA VELIKE ČASE ( ) OBLIKO

EKSPONENTNE FUNKCIJE.

Vir: Lang et. al., 2012

Masa protona in kvantna kromodinamika na mreži

11

SLIKA 6: KVADRAT MASE PIONA V ODVISNOSTI OD MASE KVARKA. SLIKA JE BILA IZVZETA IZ DIPLOMSKE NALOGE [3]. PRILAGAJANJE

MASE PIONA GLEDE NA MASO KVARKA JE BILO UPORABLJENO ZA UMERITEV MASE KVARKA. MASA KVARKA V TEM PRIMERU POMENI

MASO KVARKA IN KVARKA ( ). MASE SO ZAPISANE V BREZDIMENZIJSKI OBLIKI, KJER POMENI RAZDALJO MED

TOČKAMI MREŽE.

Teoretično pričakujemo, da bo masa kvarka odvisna od kvadrata mase piona ( ) [3],

kar se lepo vidi na sliki. Dobljeno maso kvarka nato uporabimo za izračune ostalih hadronov,

npr. maso protona, ki vsebuje kvarke in . Na končen rezultat numeričnega izračuna

mase vpliva več stvari. Kot smo videli, je rezultat odvisen od izbrane (umerjene) mase

kvarkov, odvisen pa je tudi od Velikosti naše mreže , števila točk na mreži in razdalje med

točkami . Maso protona je prikladno računati z velikimi masami kvarkov (večjimi od

eksperimentalno določenimi mas), saj računanje z majhnimi masami povzroča nekatere

probleme [3]. Do numerične napake pride tudi zaradi diskretizacije sicer zveznega prostor-

časa. Napako lahko popravimo tako, da izračunamo maso za več različnih diskretizacij mreže

in nato končen rezultat dobimo z ekstrapolacijo ter (kontinuumska limita ter

neskončnost prostora).

5.1 Rezultati raziskovalne skupine BMW (Budapest-Marseille-Wuppertal)

Za zaključek bomo predstavili nedavne rezultate že omenjene 'BMW' skupine, saj imajo

njihovi računi zaradi ogromnega nabora konfiguracij male sistematične napake. Videli bomo,

s kakšnimi konfiguracijami mreže so računali, kako so implementirali limito fizikalne mase,

kontinuumsko limito, kakšen vpliv je imel končen volumen prostor-časa in končne rezultate.

SLIKA 7: RAČUNALNIŠKA OPREMA

SKUPINE BMW. MAKSIMALNA

ZMOGLJIVOST: 1 PETAFLOP

('FLOATING POINT OPERATIONS

PER SECOND'). V IR:

http://www.bmw.uni-

wuppertal.de/Computing.html

junij 2013

Masa protona in kvantna kromodinamika na mreži

12

Oglejmo si set konfiguracij mreže, s katerim so računali mase hadronov:

SLIKA 8: KONFIGURACIJE MREŽE , S KATERIMI SO (BMW) RAČUNALI MASE HADRONOV. SLIKA JE IZVZETA IZ ČLANKA [4]. BARVNE

TOČKE SO KONFIGURACIJE PRI RAZLIČNIH VEL IKOSTIH MREŽE, RAZDALJAMI MED TOČKAMI IN ŠTEVILOM TOČK. PREDSTAVLJA

RAZLIČNE KONFIGURACIJE RAZDALJ MED TOČKAMI IN ŠTEVILOM TOČK.

S toliko konfiguracijami so računali tako, da so lahko dobro izpeljali kontinuumsko limito ter

limito fizikalne mase. Maso protona in ostalih hadronov so računali pri različnih velikostih

mreže ter pri različnih masah kvarkov umerjeni preko mase piona . Z odstotki je

podana pričakovana napaka pri izračunu mase piona zaradi končne dimenzije mreže.

Vidimo, da imajo vse konfiguracije napako mase piona ali manjšo, kar je zelo natančno.

SLIKA 9: EFEKT KONČNEGA VOLUMNA NA MASO PIONA TER MASO NUKLEONA . SLIKA IZVZETA IZ ČLANKA [5].

Na sliki 9 se lepo vidi, kako efekt končnega volumna pojema z večjim številom točk v vsaki

dimenziji ( ). Masa protona z večjim volumnom konvergira k neki končni masi. Vidimo,

da moramo za natančno simulacijo vzeti recimo točk v vsaki dimenziji, kar za celotno

mrežo pomeni samo krajevnih točk, nato pa še vsaj 32 časovnih točk (čas ni

nujno diskretiziran na enako točk kot prostor).

Masa protona in kvantna kromodinamika na mreži

13

SLIKA 10: LIMITA FIZIKALNE MASE. SLIKA IZVZETA IZ ČLANKA [5]. NA SLIKI VIDIMO REZULTATE RAZLIČNIH KONFIGURACIJ MREŽE, KI

SO OZNAČENI GLEDE NA RAZDALJO MED TOČKAMI . GORNJA KRIVULJA PREDSTAVLJA MASO BARIONA , SPODNJA PA MASO

NUKLEONA ( ) V ODVISNOSTI OD MASE KVARKOV, KI USTREZAJO DOLOČEN I MASI PIONA .

Na sliki 10 vidimo, kako so z ekstrapolacijo krivulje, ki predstavlja odvisnost mase protona

od mase kvarka (ali mase piona), dobili fizikalno maso. Za končen rezultat so vzeli maso

protona, kot bi jo dobili pri enakem računu, vendar s fizikalno maso kvarka.

SLIKA 11: KONTINUUMSKA LIMITA. SLIKA IZVZETA IZ ČLANKA [4]. NA SLIKI VIDIMO MASO NUKLEONA IN MASO BAR IONA DELTA

IZRAČUNANO PRI RAZLIČNIH RAZDALJAH MED T OČKAMI MREŽE . RDEČA ČRTA PREDSTAVLJA MASO DELTE, ZELENA PA MASO

NUKLEONA.1

Na podoben način kot prej, so naredili še kontinuumsko limito. Maso protona so izračunali pri

različnih razdaljah med točkami mreže, nato pa krivuljo, ki predstavlja maso v odvisnosti od

razdalje med točkami, ekstrapolirali proti razdalji med točkami . V tem primeru je bila

odvisnost mase sorazmerna s kvadratom razdalje ( . Po obeh limitah pridemo do

končnega rezultata. Oglejmo si maso protona in ostalih hadronov, ki jih je skupina MBW

izračunala numerično preko kvantne kromodinamike na mreži:

1 Rezultati slike 8 so izračunani za veliko maso kvarka ( .

Masa protona in kvantna kromodinamika na mreži

14

SLIKA 12: KONČEN REZULTAT. SLIKA IZVZETA IZ ČLANKA [5]. VODORAVNE ČRNE ČRTE IN SIVA OBMOČJA SO EKSPERIMENTALO

IZMERJENE MASE IN NJ IHOVE RAZPADNE ŠIRINE. REZULTATI NUMERIČNEGA RAČUNA SO PRIKAZANI Z RDEČIMI KROGCI, Z MODRIMI

KROGCI PA SO OZNAČEN I VHODNI PARAMETRI, KI SO UPORABLJENI ZA IZRAČUN MASE KVARKOV. VHODNI PARAMETRI SO BILI MASA

PIONA , MASA KAONA TER MASA BARIONA KSI Ξ.

6 Zaključek

Več kot vidne mase v vesolju je sestavljene iz protonov in nevtronov [5]. Ugotovili smo,

da so neposredni prispevki mase kvarkov k masi protona zanemarljivi, torej je večina mase

protona vezavna energija med kvardi in . Za maso kvarkov in

poskrbi Higgsov bozon, za ostalo maso protona pa odgovarja interakcija med

kvarki. V seminarju smo pokazali, kako se opiše takšno interakcijo med kvarki in kako se s

kromodinamiko na mreži numerično reproducira maso protona.

Predstavili smo kvantno teorijo polja, ki je teoretično ozadje kvantne kromodinamike na

mreži, vpeljali smo formalizem s popotnim integralom in pokazali, kako se preko dvodelčnih

korelacijskih funkcij pride do mase protona. Na koncu smo si ogledali numerične rezultate

skupine Budapest-Marseille-Wuppertal, ki se dobro ujemajo z eksperimentalno določenimi

masami hadronov.

Literatura

[1] Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder, An introduction to quantum field theory, Library of

Congress Cataloging-m-Publication Data, 1995

[2] Saša Prelovšek, Quantum Cromodynamics on Lattice, seminar, 1997

[3] Luka Šantelj, Izračun mase najlažjih mezonov s kromodinamiko na mreži, diplomsko delo, 2009

[4] Stephan Durr et al., Lattice QCD at the physical point: Simulation and analysis details,

2010, [arXiv: 1011.2711]

[5] Stephan Durr et al., Ab-initio Determination of Light Hadron Masses, Science 322:1224-1227,

2008, [arXiv: 0906.3599]

[6] J. Beringer et al. (Particle Data Group), Phys. Rev. D86, 010001 (2012)

[7] Dean Carmi et al., Higgs After the Discovery: A Status Report, 2012, [arXiv:1207.1718]