Upload
dinhminh
View
255
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
MASALAH STURM – LIOUVILLE DAN PENGGUNAANNYA
DALAM MASALAH-MASALAH KHUSUS YANG LAIN
SOH MEN CHEE
UNIVERSITI TEKNOLOGI MALAYSIA
“Saya akui bahawa saya telah membaca karya ini dan pada pandangan saya
karya ini adalah memadai dari segi skop dan kualiti untuk tujuan
penganugerahan ijazah Sarjana Muda Sains serta Pendidikan
(Matematik)”.
Tandatangan :
Nama Penyelia : Dr. Maslan Hj Osman
Tarikh : 16 April 2006
MASALAH STURM-LIOUVILE DAN PENGGUNAANNYA
DALAM MASALAH-MASALAH KHUSUS YANG LAIN
SOH MEN CHEE
Laporan projek ini dikemukakan sebagai memenuhi sebahagian daripada
syarat penganugerahan Ijazah Sarjana Muda Sains Serta Pendidikan
(Matematik)
Fakulti Sains
Universiti Teknologi Malaysia
APRIL, 2006
ii
“Saya akui karya ini adalah hasil kerja saya sendiri kecuali nukilan dan ringkas
yang tiap-tiap satunya telah saya jelaskan sumbernya.”
Tandatangan :
Nama Penulis : SOH MEN CHEE
Tarikh : 16 April 2006
iii
Khas untuk ayah dan ibu tersayang…
Soh Eng Chuan & Koh Cha Boo
serta adinda yang dikasihi
Soh Jiun Yi
iv
PENGHARGAAN
Salam sejahtera saya ucapkan kepada Dr Maslan Haji Osman, selaku penyelia
projek saya sepanjang dua semester. Terlebih dahulu, saya ingin merakamkan setinggi-
tinggi penghargaan kepada beliau yang telah banyak memberi bimbingan dan tunjuk ajar
kepada saya dalam usaha menyiapkan projek ini. Beliau memang sentiasa bersedia
untuk memberi pandangan yang membina kepada saya.
Pada masa yang sama, saya juga tidak terlupa merakamkan penghargaan ikhlas
kepada ayah, ibu dan ahli-ahli keluarga tercinta yang mendoakan kejayaan serta
memberi dorongan dan sokongan kepada saya.
Setinggi-tinggi penghargaan juga ditujukan khas kepada Prof. Madya Dr.
Mukheta bin Isa selaku pemeriksa dalaman saya yang turut memberi komen dan
cadangan dalam menghasilkan projek yang baik.
Akhir kata, saya ingin berterima kasih kepada rakan-rakan yang terlibat secara
langsung dan tidak langsung dalam usaha menjayakan projek ini.
v
ABSTRAK
Laporan ini membincangkan satu jenis masalah nilai sempadan (MNS) iaitu
masalah Sturm-Liouville. Perbincangan dimulakan dengan menghuraikan secara ringkas
mengenai persamaan terbitan biasa dan persamaan terbitan separa. Seterusnya, sejarah
ringkas teori Sturm-Liouville dan penurunan persamaan terbitan biasa peringkat kedua
ke persamaan berbentuk Sturm-Liouville juga dibincangkan. Sehubungan itu, masalah
Sturm-Liouville diaplikasikan kepada beberapa masalah yang khusus iaitu persamaan
gelombang bermatra satu, masalah aliran haba bermatra satu dan persamaan Laplace.
Setiap masalah yang diberikan disertakan dengan syarat-syarat awal dan syarat-syarat
sempadan. Terdapat empat jenis syarat sempadan yang dibincangkan iaitu syarat
Dirichlet, syarat Neumann, syarat Robin dan syarat campuran. Di samping itu,
pengembangan fungsi eigen bagi fungsi polinomial, fungsi eksponen dan siri fungsi
Bessel juga dibincangkan.
vi
ABSTRACT
This report is discussing about a special type of boundary value problem (BVP)
that is Sturm-Liouville problem. The discussion begins with simple explanation about
ordinary differential equations dan partial differential equations. Then, history of Sturm-
Liouville Theory and modification from ordinary differential equations of order two to
Sturm-Liouville equation was demonstrated. Apart from that, Sturm-Liouville problem
was applied in some specific boundary value problems namely the one dimensional
wave equation, the one dimensional heat equation and the Laplace equation. Each given
problem must come with initial conditions and boundary conditions. There are four
types of boundary conditions that is Dirichlet condition, Neumann condition, Robin
condition and combination condition. Other than that, eigen function expansion of
polynomial function, exponential function and Bessel Series was discussed.
vii
KANDUNGAN
BAB PERKARA MUKA SURAT
BORANG PENGESAHAN STATUS TESIS
PENGESAHAN PENYELIA
JUDUL i
PENGAKUAN ii
DEDIKASI iii
PENGHARGAAN iv
ABSTRAK v
ABSTRACT vi
KANDUNGAN vii
SENARAI RAJAH xi
SENARAI SIMBOL DAN SINGKATAN xii
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Pengenalan 1
1.2 Objektif Laporan 2
1.3 Skop Laporan 3
1.4 Kepentingan Kajian 3
1.5 Rangka Laporan 4
viii
BAB II PEMBENTUKAN MASALAH STURM-LIOUVILLE
2.1 Pendahuluan 6
2.2 Syarat Awal dan Syarat Sempadan
2.2.1 Syarat Awal 7
2.2.2 Syarat Sempadan 7
2.3 Masalah Nilai Awal dan Masalah Nilai Sempadan
2.3.1 Masalah Nilai Awal 8
2.3.2 Masalah Nilai Sempadan 8
2.4 Bentuk Am Masalah Nilai Sempadan 9
2.5 Sejarah Teori Sturm-Liouville 14
2.6 Pembentukan Masalah 18
2.7 Kesimpulan 22
BAB III MASALAH STURM-LIOUVILLE
3.1 Pendahuluan 23
3.2 Fungsi Ortogon 23
3.3 Masalah Nilai Sempadan Homogen Linear: 33
Nilai Eigen dan Fungsi Eigen
3.4 Sifat-sifat Nilai Eigen 45
3.5 Kesimpulan 50
BAB IV PENGGUNAAN MASALAH STURM-LIOUVILLE
DALAM BEBERAPA MASALAH KHUSUS
4.1 Pendahuluan 51
4.2 Masalah Nilai Awal – Nilai Sempadan 52
4.2.1 Syarat Dirichlet 52
ix
4.2.2 Syarat Neumann 53
4.2.3 Syarat Robin 53
4.2.4 Syarat Campuran 54
4.3 Persamaan Gelombang Dalam Ruang Matra Satu (R1)
4.3.1 Penerbitan Persamaan 54
4.3.2 Penyelesaian Persamaan Gelombang 58
4.4 Persamaan Haba Matra Satu (R1)
4.4.1 Penerbitan Persamaan 66
4.4.2 Masalah Aliran Haba Dalam Ruang Matra 1 69
4.5 Persamaan Laplace 76
4.5.1 Kaedah Pemisahan Pembolehubah dari Koordinat
Cartes 78
4.6 Kesimpulan 85
BAB V PENGEMBANGAN FUNGSI EIGEN
5.1 Pendahuluan 86
5.2 Pengembangan Fungsi Eigen bagi Fungsi-fungsi
Tertentu 86
5.2.1 Fungsi Polinomial 87
5.2.2 Fungsi Eksponen 91
5.2.3 Siri Fungsi Bessel 95
5.3 Kesimpulan 103
BAB VI KESIMPULAN DAN CADANGAN
6.1 Kesimpulan 104
6.2 Cadangan 106
xi
SENARAI RAJAH
NO. RAJAH TAJUK MUKA SURAT
2.1 Jacques Charles-Francois Sturm 15
2.2 Joseph Liouville 16
3.1 Penyelesaian bergraf λ−=λ tan 43
3.2 Penyelesaian bergraf µ−=µ tanh 45
xii
SENARAI SIMBOL DAN SINGKATAN
λ - Nilai eigen
ny - Fungsi eigen
( )xR - Fungsi pemberat
( )xT~
- Ketegangan tali
~τ - Vektor tangen kepada tali
c - Tenaga haba
ρ - Ketumpatan logam
A - Luas keratan rentas
( )z,y,xη - Taburan ketumpatan cas 2∇ - Pengoperasi laplace
u∇ - Laplacian u
0J - Fungsi Bessel jenis pertama peringkat sifar
1J - Fungsi Bessel jenis pertama peringkat satu
0Y - Fungsi Bessel jenis kedua peringkat sifar
nZ - Pensifar bagi ( )dλ0J
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Pengenalan
Dalam bidang matematik, banyak masalah melibatkan persamaan terbitan sama
ada persamaan terbitan biasa atau persamaan terbitan separa. Persamaan terbitan ialah
persamaan yang berkait rapat dengan fungsi bagi satu atau lebih pembolehubah berserta
dengan pekali terbitannya. Jika fungsi tersebut bergantung kepada satu pembolehubah
tak bersandar sahaja, maka terbitan yang wujud dalam persamaan ini ialah terbitan biasa.
Oleh itu, persamaan tersebut dinamakan persamaan terbitan biasa. Sekiranya fungsi itu
bergantung kepada beberapa pembolehubah tak bersandar, maka terbitan yang wujud
dalam persamaan ini ialah terbitan separa. Dengan demikian, persamaan terbitan ini
dinamakan persamaan terbitan separa. Antara contoh-contoh persamaan terbitan biasa
ialah
03'2" =++ yyy
=−+ ydxdy
dxyd 62
2
kos x
2
Seterusnya, beberapa contoh untuk persamaan terbitan separa ialah
xyxu 3sin=∂∂
0=+ yxx uu
Persamaan terbitan separa yang mengandungi lebih daripada satu pembolehubah
diaplikasikan secara meluas dalam banyak cabang sains dan kejuruteraan. Salah satu
kaedah yang digunakan untuk menyelesaikan masalah persamaan terbitan separa ialah
kaedah pemisahan pembolehubah. Kaedah ini mempunyai beberapa kepincangannya
yang tersendiri iaitu masalah yang ingin diselesaikan mestilah linear dan homogen
supaya prinsip superposisi dapat digunakan untuk membina penyelesaian tambahan
melalui pembentukan gabungan linear penyelesaian asasi masalah homogen yang
sepadan. Kaedah ini akan menghasilkan beberapa persamaan terbitan biasa. Kaedah ini
akan dibincangkan dengan mendalam dalam Bab IV iaitu menggunakan masalah Sturm-
Liouville untuk menyelesaikan beberapa masalah khusus mengenai masalah nilai
sempadan. Masalah-masalah khusus yang berkaitan dengan persamaan terbitan separa
ialah persamaan gelombang dalam ruang bermatra satu, masalah aliran haba dalam
ruang bermatra satu dan persamaan Laplace.
1.2 Objektif Laporan
Objektif laporan projek ini ialah:
(i) Menurunkan persamaan terbitan peringkat kedua kepada persamaan
dalam bentuk Sturm-Liouville.
(ii) Mengkaji syarat keortogonan bagi fungsi Ortogon.
(iii) Menentukan set ortonormal bagi suatu fungsi.
3
(iv) Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi pemberat, nilai
eigen dan fungsi eigen.
(v) Mengkaji istilah dan bentuk khusus masalah nilai sempadan, kaedah
penyelesaian dan penggunaannya dalam beberapa masalah fizikal.
(vi) Mengembangkan fungsi eigen bagi beberapa fungsi seperti fungsi
polinomial, fungsi eksponen dan siri fungsi Bessel.
1.3 Skop Laporan
Laporan ini merangkumi pengertian dan konsep masalah nilai sempadan (MNS).
Perbincangan adalah tertumpu masalah nilai sempadan kerana masalah Sturm-Liouville
adalah suatu masalah nilai sempadan. Di samping itu, beberapa masalah khusus iaitu
masalah gelombang dalam ruang bermatra satu, masalah aliran haba dalam ruang
bermatra satu dan persamaan Laplace yang memenuhi syarat awal dan syarat sempadan
tertentu juga dibincangkan. Perbincangan terbatas kepada persamaan terbitan biasa
peringkat kedua.
1.4 Kepentingan Kajian
Dalam laporan ini, persamaan terbitan linear peringkat kedua dan persamaan
terbitan separa merupakan pengetahuan asas kepada masalah-masalah yang
dibincangkan. Selain itu, kaedah pemisahan pembolehubah akan dipelajari dan difahami
serta digunakan untuk menyelesaikan masalah gelombang, masalah aliran haba dan
4
persamaan Laplace. Kaedah ini merupakan suatu kaedah yang baik dan berkesan untuk
mencari nilai eigen, fungsi eigen dan penyelesaiannya.
1.5 Rangka Laporan
Secara keseluruhannya, laporan ini merangkumi enam bab utama. Bab I
merupakan pendahuluan terhadap penulisan projek yang merangkumi pengenalan,
objektif, skop, kepentingan dan rangka laporan.
Bab II membincangkan tentang istilah masalah nilai awal dan masalah nilai sempadan
serta bentuk amnya. Selain itu, bab ini juga merangkumi sejarah ringkas Jacques
Charles-François Sturm dan Joseph Liouville dalam teori Sturm-Liouville. Seterusnya,
penurunan persamaan terbitan peringkat kedua ke persamaan berbentuk Sturm-Liouville
juga dibincangkan.
Perbincangan dalam Bab III pula tertumpu kepada fungsi Ortogon. Dalam usaha
menyelesaikan masalah set ortogon, beberapa definasi fungsi Ortogon telah
dibincangkan. Konsep ciri keortogonan juga diaplikasikan di dalam bab ini untuk
membuktikan keortogonan sesuatu fungsi. Di samping itu, bab ini juga merangkumi
masalah nilai sempadan (MNS) yang linear dan homogen yang bertujuan menyelesaikan
masalah nilai eigen dan fungsi eigen. Sehubungan itu, sifat-sifat nilai eigen juga
dibincangkan.
Seterusnya dalam Bab IV, empat jenis syarat sempadan dalam masalah nilai awal-nilai
sempadan diperkenalkan. Perbincangan tertumpu kepada masalah nilai sempadan yang
khusus iaitu masalah Sturm-Liouville. Masalah ini akan diaplikasikan ke dalam
5
masalah-masalah yang lain iaitu masalah gelombang dalam ruang matra satu, masalah
aliran haba dalam ruang matra satu dan persamaan Laplace.
Bab V merangkumi pengembangan fungsi eigen bagi fungsi-fungsi tertentu. Fungsi-
fungsi yang dibincangkan adalah fungsi polinomial, fungsi eksponen dan siri fungsi
Bessel. Ini juga merupakan salah satu pengaplikasian bagi masalah Sturm-Liouville.
Akhir sekali, Bab VI merupakan bab terakhir laporan yang memuatkan kesimpulan dan
cadangan berdasarkan kepada hasil kajian yang telah dijalankan.