masalah transportasi

MASALAH TRANSPORTASI

MASALAH TRANSPORTASI

Pendahuluan.

Salah satu bentuk khusus dari masalah Program Linear yang paling penting adalah masalah transportasi. Masalah transportasi ini dipelajari pertama kali oleh LV. Kantorovitch pada tahun 1939 sebelum Program Linear dikembangkan oleh GB. Dantzig. Pada tahun 1941, FL Hitchcock menyatakan formulasi matematikanya yang sekarang menjadi bentuk standart, sehingga masalah ini sering disebut dengan masalah Hitchcock.

Masalah umum transportasi adalah mengenai pendistrubusian beberapa komoditas dari beberapa pusat persediaan yang disebut sumber ke beberapa pusat penerima yang disebut tujuan dengan meminimumkan biaya total distribusi.

Pada umumnya, sumber i ( i = 1, 2, 3, ... , m ) mempunyai suatu persediaan sejumlah si unit untuk didistribusikan ke tujuan, dan tujuan j ( j = 1, 2, 3, ... , n ) mempunyai suatu permintaan sebesar dj unit untuk diterima dari sumber. Dasar asumsinya adalah biaya distribusi dari sumber i ke tujuan j seimbang dengan jumlah distribusinya, dimana cij adalah notasi biaya per-unit distribusi. Adapun bentuk data inputnya seperti ditunjukkan dalam tabel 5.1. berikut ini :

Tabel 5.1.

T u j u a n

12...3Persedian

1c11c12...c1ns1

2c21c22...c2ns2

Sumber........

........

mcm1cm2...cmnsm

Permintaand1d2...dn

Andaikan bahwa Z adalah biaya distribusi total dan xij ( I = 1,2,3, ... ,m; j =1,2,3, ... , n ) adalah jumlah unit yang didistribusikan dari sumber i ke tujuan j, formulasi program linearnya adalah :

Meminimumkan

dengan kendala

untuk i = 1, 2, 3, ... , m.

untuk j = 1, 2, 3, ... , n.

dan xij ( 0 untuk semua i dan j .

Diasumsikan,

, yaitu jumlah total persediaan sama dengan jumlah total permintaan

Contoh Permasalahan .

Suatu persh. yang menghasilkan buah dalam kaleng mempunyai 3 lokasi pabrik pengalengan dan kemudian dikirimkan dengan truk ke 4 gudang distribusi. Karena biaya pengirimian merupakan biaya utama maka dipertimbangkan suatu studi untuk mengurangi biaya itu sebanyak mungkin. Adapun biaya pengiriman per muatan truk untuk tiap kombinasi antara pabrik pengalengan dan gudang diberikan dalam tabel 5.2. dengan jumlah total pengiriman adalah 300 muatan truk. Permasalahannya adalah menentukan rencana pengiriman dari pabrik pengalengan ke gudang yang akan memberikan biaya total pengiriman minimum .

Tabel 5.2. Biaya pengiriman per muatan truk .

G u d a n g

1234Persedian

11314132075

Pabrik216132012125

319121715100

Permintaan80657085

Pembentukan Metode Simpleks untuk Transportasi .

Contoh permasalahan diatas, dapat dinyatakan dalam bentuk Program Linear sbb :

Meminimumkan : Z = 13x11 + 14 x12 + 13x13 + 20 x14 + 16x21 + 13x22 + 20x23 + 12x24 + 19x31 + 12x32 + 17x33 + 15x34

dengan kendala

Kendala Pengiriman : x11 + x12 + x13 + x14 = 75

x21 + x22 + x23 + x24 = 125

x31 + x32 + x33 + x34 = 100

Kendala Permintaan :

x11 + x21 + x31 = 80

x12 + x22 + x32 = 65

x13 + x23 + x33 = 70

x14 + x24 + x34 = 85

dan

xij ( 0 , untuk semua i dan j

Oleh karena ada 3 sumber dan 4 tujuan, terdapat 3 x 4 = 12 rute yang mungkin. Terdapat 1 kendala untuk tiap sumber dan 1 kendala untuk tiap tujuan, sehingga jumlah total kendala adalah 7. Setiap variabel muncul 2 kali, sekali di kendala pengiriman dan sekali di kendala permintaan dengan koeff. sama dengan 1. Dari 7 kendala, 1 kendala dapat dieliminasi dan masih belum kehilangan informasi karena 1 kendala itu redundant.

Dari contoh permasalahan diatas, subbab 5.2., akan ada m + n - 1 atau 3 + 4 - 1 = 6 variabel. Masalah transportasi ini diselesaikan dengan apa yang disebut Metode Transportasi, yaitu metode Simpleks yang secara khusus dimodifikasi untuk masalah Transportasi dengan bantuan tabel Simpleks Transportasi seperti ditunjukkan dalam tabel 5.3. dan terdiri dari 3 tahap, yaitu

1. Tahap Permulaan.

2. Tahap Iterasi dan

3. Tahap Pemberhentian .

Tabel 5.3. Tabel Simpleks Transportasi .

T u j u a n

12...nPersediaanui

1c11c12...c1ns1

2c21c22...c2ns2

Sumber

................

................

mcm1cm2...cmnsm

Permintaand1d2...dn

vj

Informasi tambahan untuk tiap sel :

Jika xij adalah var. basis

Jika xij adalah var. non basis

cijcij

xijcij - ui - vj

Tahap Permulaan dari Metode Transportasi.

Susunan khusus dari masalah Transportasi memungkinkan untuk menghasilkan penyel. basis feasibel awal dengan menggunakan var. keputusan tanpa perlu menambahkan var. artificial. Prosedur untuk menghasilkan suatu penyel. basis feasibel awal, antara lain adalah Aturan Northwest Corner, Metode Tabel Minimum, Metode Pendekatan Vogel dan Russell.

Penyelesaian basis feasibel awal yang diperoleh akan diuji optimalitasnya dengan aturan pemberhentian .

1. Northwest Corner.

Dengan metode ini, perhitungan dimulai dari sudut kanan atas tabel atau sudut barat laut ( northwest ). Pada tiap tahap, suatu var. basis diberi nilai tertentu sedemikian hingga persediaan atau permintaan akan berkurang nilainya, hal ini berlangsung terus hingga jumlah persediaan ataupun permintaan habis.

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :

Langkah 1 : Dimulai dari kotak pada sudut kanan atas dari tabel.

Pilihlah nilai yang lebih kecil diantara nilai dari baris persediaan dan kolom permintaan yang bersesuaian dengan kotak itu sebagai nilai ( koeff. ) dari kotak ( variabel ) tsb. Kurangkan nilai dari baris persediaan dan kolom permintaannya dengan koeffisien (nilai ) tsb .

Langkah 2 : Berpindah ke kotak berikutnya .

Jika pengurangan itu menghasilkan nilai kolom permintaan sama dengan nol, berpindahlah ke kotak berikutnya yang ada di sebelah kanan. Jika menghasilkan baris persediaan sama dengan nol, berpindahlah ke kotak di bawahnya. Jika nilai baris dan kolomnya sama dengan nol, berpindahlah ke kanan ( atau ke bawah ) kemudian ke bawah ( atau ke kanan ) .

Langkah 3 : Berilah kotak baru itu ( diperoleh dengan langkah 2 ) nilai sebanyak mungkin .

Nilai ini adalah nilai yang lebih kecil diantara nilai baris persediaan dan nilai kolom permintaan yang bersesuaian dengan kotak itu. Kurangkan nilai baris persediaan dan nilai kolom permintaanya dengan nilai tsb.

Langkah 4 : Ulangi langkah 2 dan 3 hingga diperolehnya suatu penyelesaian basis feasibel awal .

Dari contoh permasalahan yang ada di bab 5.2., jika diselesaikan dengan metode Northwest Corner didapat penyel. basis feasibel awal seperti disajikan dalam tabel 5.5. berikut ini .

Tabel 5.4a. Penugasan awal

G u d a n g

1234Persediaan

113141320 75 0

75

Pabrik216132012125

319121715100

Permintaan 805 65 70 85

Tabel 5.4b. Penugasan kedua

G u d a n g

1234Persediaan

113141320 75 0

75

Pabrik216132012125 120

5

319121715100


Tabel 5.4c. Penugasan ketiga

G u d a n g

1234Persediaan

113141320 75 0

75

Pabrik216132012125 55

5 65

319121715100


Tabel 5.4d. Penugasan keempatG u d a n g

1234Persediaan

113141320 75 0

75

Pabrik216132012125 0

5 65 55

319121715100

Permintaan 800 650 7015 85

Tabel 5.4e. Penugasan kelima

G u d a n g

1234Persediaan

113141320 75 0

75

Pabrik216132012125 0

5 65 55

319121715100 85

15

Permintaan 800 650 7015 85

Tabel 5.5. Penyelesaian basis feasibel awal dengan Northwest Corner

G u d a n g

1234Persediaan

113141320 75

75

Pabrik216132012125

5 65 55

319121715100

15 85


2. Tabel Minimum .

Metode Northwest Corner, walaupun sangat cepat tetapi tidak memberikan suatu penyel. awal yang baik karena mengabaikan biaya total. Metode Tabel Minimum ini sedikit lebih baik dari metode Northwest Corner karena memberikan biaya total yang lebih murah.

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :

Langkah 1 : Carilah kotak dalam tabel yang mempunyai biaya terkecil ( jika ada lebih dari satu, pilihlah sembarang ), dan pilihlah nilai yang lebih kecil diantara nilai baris persediaan dan nilai kolom permintaan yang bersesuaian dengan kotak itu sebagai nilai ( koeff. ) dari kotak tsb. Kurangkan nilai baris persediaan dan kolom permintaannya dengan nilai tersebut.

Langkah 2 : Jika pengurangan itu menghasilkan baris persediaan sama dengan nol, hilangkan baris itu dari tabel dengan cara mencoretnya. Jika kolom permintaannya sama dengan nol, hilangkan kolom itu dari tabel. Jika baris persediaan dan kolom permintaannya sama dengan nol, hilangkan hanya baris atau kolomnya saja, tidak keduanya. Kemudian, lihatlah apakah ada baris atau kolom yang hanya mempunyai satu kotak sisa. Jika ada berpindahlah kesana. Jika tidak, berpindahlah ke kotak sisa yang ada dalam tabel ( belum diisi atau dicoret ) yang mempunyai biaya terkecil .

Langkah 3 : Pilihlah nilai yang lebih kecil diantara nilai baris persediaan dan nilai kolom permintaan yang bersesuaian dengan kotak itu ( hasil dari langkah 2 ) sebagai nilai ( koeff. ) dari kotak tsb. Kurangkan nilai baris persediaan dan kolom permintaannya dengan nilai itu.

Langkah 4 : Ulangi langkah 2 dan 3 seperlunya hingga diperolehnya suatu penyelesaian basis feasibel .

Dari contoh permasalahan yang ada di bab 5.2., jika diselesaikan dengan metode Tabel Minimum didapat penyel. basis feasibel awal seperti disajikan dalam tabel 5.7. berikut ini .

Tabel 5.6a. Penugasan awal

G u d a n g

1234Persediaan

113141320 75

Pabrik216132012125

319121715100 35

65


Tabel 5.6b. Penugasan kedua

G u d a n g

1234Persediaan

113141320 75

Pabrik216132012125 40

85

319121715100 35

65


Tabel 5.6c. Penugasan ketiga

G u d a n g

1234Persediaan

113141320 75 5

70

Pabrik216132012125 40

85

319121715100 35

65


Tabel 5.6d. Penugasan keempat

G u d a n g

1234Persediaan

113141320 75 0

5 70

Pabrik216132012125 40

85

319121715100 35

65

Permintaan 8075 650 700 850

Tabel 5.6e. Penugasan kelima

G u d a n g

1234Persediaan

113141320 75 0

5 70

Pabrik216132012125 0

40 85

319121715100 35

65

Permintaan 8035 650 7015 850

Tabel 5.7. Penyelesaian basis feasibel awal dengan Tabel Minimum

G u d a n g

1234Persediaan

113141320 75

5 70

Pabrik216132012125

40 85

319121715100

35 65


3. Metode Pendekatan Vogel .

Metode pendekatan ini, walaupun lebih sukar dari metode sebelumnya tetapi jauh lebih baik terutama untuk masalah yang besar. Metode Vogel menganalisa perbedaan antara kotak dengan biaya termurah dan termurah selanjutnya dalam tiap baris dan tiap kolom untuk menghilangkan biaya yang mahal.


Langkah 1 : Hitunglah perbedaan antara 2 biaya termurah dalam setiap baris. Lakukan hal yang sama untuk setiap kolomnya .

Langkah 2 : Tentukan baris atau kolom yang mempunyai angka perbedaan terbesar ( jika ada lebih dari satu, pilihlah sembarang ) dan berilah nilai pada kotak yang mempunyai biaya terkecil pada baris atau kolom itu dengan nilai yang lebih kecil diantara nilai dari baris persediaan dan kolom permintaan yang bersesuaian dengan kotak itu. Jika hanya ada satu kotak sisa dalam suatu baris atau kolom, pilih kotak ini dan beri nilai sebanyak yang diperlukan untuk memenuhi jumlah nilai dari baris atau kolomnya. Kurangkan nilai dari baris persediaan dan kolom permintaannya dengan nilai tsb .

Langkah 3 : Jika pengurangan itu menghasilkan nilai baris persediaan sama dengan nol, hilangkan baris tsb dari tabel dan hitunglah angka perbedaan baru pada tiap kolomnya. Jika nilai kolom permintaannya sama dengan nol, hilangkan kolom itu dari tabel dan hitunglah angka perbedaan baru pada tiap barisnya. Jika keduanya sama dengan nol, hilangkan hanya baris atau kolomnya saja, tidak keduanya .

Langkah 4 : Ulangi langkah 2 dan 3 hingga diperolehnya suatu penyelesaian basis feasibel .

Dari contoh permasalahan yang ada di bab 5.2., jika diselesaikan dengan metode Pendekatan Vogel didapat penyel. basis feasibel awal seperti disajikan dalam tabel 5.9. berikut ini .

Tabel 5.8a. Penugasan Awal

G u d a n gPersediaanBeda

1234biaya

11314132075 50

70

Pabrik2161320121251

3191217151003

Permintaan 80 65 70 0 85

Beda biaya3143

Tabel 5.8b. Penugasan KeduaG u d a n gPersediaanBeda

1234biaya

11314132075 51

70

Pabrik216132012125 401

85

3191217151003

Permintaan 80 65 70 0 85 0

Beda biaya313

Tabel 5.8c. Penugasan KetigaG u d a n gPersediaanBeda

1234biaya

11314132075 51

70

Pabrik216132012125 403

85

319121715100 357

65

Permintaan 80 65 0 70 0 85 0

Beda biaya31

Tabel 5.9. Penyelesaian basis feasibel awal dengan Metode Vogel.

G u d a n g

1234Persediaan

113141320 75

570

Pabrik216132012125

40 85

319121715100

35 65


4. Metode Pendekatan Russell .

Metode ini dikembangkan oleh Edward J. Russel pada tahun 1969 dan menjanjikan suatu penyelesaian optimal yang lebih baik dari metode lainnya .


Langkah 1 : Hitunglah biaya terbesar pada setiap baris yang ada. Lakukan hal yang sama untuk setiap kolom yang ada .

Langkah 2 : Untuk tiap kotak yang ada dalam tabel, hitunglah : ( cij - ui - vj ) dimana ui adalah biaya terbesar pada baris i dan vj adalah biaya terbesar pada kolom j. Pilihlah kotak yang mempunyai ( cij - ui - vj ) paling negatif ( jika ada lebih dari satu, pilihlah sembarang ) dan berilah nilai ( koeff. ) pada kotak itu dengan nilai yang lebih kecil diantara nilai baris persediaan dan kolom permintaan yang bersesuaian dengan kotak itu. Jika hanya ada satu kotak sisa dalam suatu baris atau kolom, pilih kotak ini dan berilah nilai sebanyak yang diperlukan untuk memenuhi jumlah nilai dari baris atau kolomnya. Kurangkan nilai baris persediaan dan kolom permintaannya dengan nilai tsb.

Langkah 3 : Jika pengurangan itu menghasilkan nilai baris persediaan sama dengan nol, hilangkan baris tsb dari tabel. Jika nilai kolom permintaannya yang sama dengan nol, hilangkan kolom itu dari tabel dan jika keduanya sama dengan nol, hilangkan hanya baris atau kolomnya saja, tidak keduanya .

Langkah 4 : Ulangi langkah 1 sampai dengan langkah 3 hingga diperolehnya suatu penyelesaian basis feasibel .

Dari contoh permasalahan yang ada di bab 5.2., jika diselesaikan dengan metode Pendekatan Russell didapat penyel. basis feasibel awal seperti disajikan dalam tabel 5.10. berikut ini .

Tabel 5.10. Penyelesaian basis feasibel awal dengan Metode Russell .

G u d a n gPersediaan

1234ui

1-2613-2014-2713-202075 520

40 4)

2-2316-2113-2020-2812125 4020

Pabrik40 2) 85 1)

3-1919-2112-2217-2415100 3519

65 3) 35 5)

Permintaan80 65 70 85

vj19142020

5. Aturan Pemberhentian .

Penyelesaian basis feasibel yang diperoleh dalam tahap permulaan diuji optimalitasnya dengan mengevaluasi variabel non basisnya. Metode yang digunakan untuk mengevaluasi variabel non basis dikembangkan oleh George B. Dantzig dan sering disebut sebagai metode MODI ( Modified Distribution ).

Metode ini didasarkan pada Kriteria Optimalitas sebagai berikut :

Suatu penyelesaian basis feasibel adalah optimal jika dan hanya jika ( cij - ui - vj ) ( 0 , untuk setiap ( i,j ) dimana xij adalah non basis .

Jadi, aturan pemberhentian hanya bermaksud untuk mendapatkan nilai ui dan vj u

uk penyelesaian basis feasibel dan kemudian menghitung ( cij - ui - vj ). Karena ( cij - ui - vj ) bernilai nol jika xij adalah var. basis, maka ui dan vj memenuhi himpunan persamaan :

cij = ui + vj untuk setiap ( i,j ) dimana xij adalah variabel basis .

Terdapat (m + n - 1) variabel basis dan ( m + n - 1) persamaan. Karena jumlah nilai yang tidak diketahui (ui dan vj ) adalah ( m + n), satu variabel dapat diberi nilai sembarang tanpa merubah persamaan. Karena sederhananya bentuk persamaan itu, sangat mudah menyelesaikan variabel sisanya dengan cara aljabar.

Sebagai gambaran, dalam penyelesaian basis feasibel dari contoh permasalahan diatas yang telah diselesaikan dengan metode pendekatan vogel , setiap persamaan yang berhubungan dengan variabel basis diberikan sbb :

x11 : 13 = u1 + v1

x24 : 12 = u2 + v4

x13 : 13 = u1 + v3

x31 : 19 = u3 + v1

x21 : 16 = u2 + v1

x32 : 12 = u3 + v2

Tentukan u1 = 0, dari persamaan itu didapatkan :

v1 = 13, v3 = 13, u2 = 16 - 13 = 3, v4 = 12 - 3 = 9, u3 = 19 - 13 = 6 dan v2 = 12 - 6 = 6 .

Dengan menggunakan kriteria optimalitas, xij = cij - ui - vj ( 0 dimana xij adalah variabel non basis sehingga didapatkan :

x12 = 14 - 0 - 6 = 8

x14 = 20 - 0 - 9 = 11

x22 = 13 - 3 - 6 = 4

x23 = 20 - 3 - 13 = 4

x33 = 17 - 6 - 13 = - 2

x34 = 15 - 6 - 9 = 0

Tabel 5.11. Penyelesaian basis feasibel awal dengan Metode Vogel.

G u d a n g

1234Persediaan

113814131120 75

570

Pabrik21641342012125

40 85

31912- 217015100

35 65


Dari penggunaan metode MODI pada penyelesaian basis feasibel awal yang telah didapat dengan metode Vogel didapatkan bahwa variabel non basis x33 bernilai negatif seperti terlihat pada tabel 5.11 , maka dikatakan bahwa penyelesaian basis feasibel awal tsb belum optimal, perlu dilakukan iterasi hingga semua variabel non basis bernilai positif .

6. Tahap Iterasi .

Seperti halnya metode Simpleks, tahap iterasi dibagi menjadi 3 bagian, yaitu :

Bagian 1 : Menentukan variabel basis yang masuk.

Karena ( cij - ui - vj ) menyatakan kecepatan yang akan membuat fungsi obyektif naik seperti perubahan pada variabel non basis x , variabel basis yang masuk harus mempunyai nilai negatif ( cij - ui - vj ) untuk menurunkan biaya total Z.

Untuk itu pilihlah variabel non basis yang mempunyai nilai ( cij - ui - vj ) paling negatif sebagai variabel basis yang masuk .

Setelah itu teruskan ke bagian 2 .

Bagian 2 : Menentukan variabel basis yang keluar .

Naiknya nilai dari variabel basis yang masuk menyebabkan timbulnya suatu rantai reaksi diantara variabel basis yang lain sesuai pemenuhan kendala permintaan dan persediaan. Variabel basis yang nilainya turun disebut sebagai penerima (recipient). Dalam suatu baris atau kolom hanya ada satu donor dan satu penerima. Variabel basis pertama yang nilainya turun menjadi nol, yaitu yang mempunyai nilai terkecil dipilih sebagai variabel basis yang akan keluar.

Setelah itu teruskan ke bagian 3 .

Bagian 3 : Menentukan penyelesaian basis feasibel baru .

Penyelesaian basis feasibel baru diidentifikasi secara sederhana dengan menambahkan nilai variabel basis yang keluar (sebelum berubah) ke tiap kotak penerima dan mengurangkan jumlah yang sama dari tiap kotak donor .

Setelah selesai, lanjutkan ke aturan pemberhentian .

Dari contoh permasalahan diatas yang sudah didapatkan penyelesaian basis feasibel awal dan dengan menggunakan aturan pemberhentian sudah disimpulkan bahwa penyelesaian basis feasibel awal tsb tidak optimal, maka perlu dilakukan iterasi hingga didapatkan penyelesaian yang optimal. Adapun tahap iterasi untuk masalah tsb adalah sbb :

Bagian 1 : Karena hanya ada satu variabel non basis yang bernilai negatif yaitu x33 maka variabel itu menjadi variabel basis yang masuk.

Bagian 2 : Dengan dipilihnya x33 sebagai variabel basis yang masuk, maka rantai reaksinya seperti ditunjukkan oleh tabel 5.12a. berikut dimana tanda - menunjukkan adanya kotak donor dan tanda + menunjukkan adanya kotak penerima dan karena x31 merupakan variabel basis (donor) dalam rantai reaksi yang mempunyai nilai terkecil, maka x31 merupakan variabel basis yang keluar .

Bagian 3 : Nilai dari variabel basis x31 ditambahkan ke variabel basis baru x33 dan variabel x31 menjadi variabel non basis .

Untuk memenuhi kendala persediaan dan permintaan, maka nilai dari variabel basis yang ada dalam rantai reaksi juga berubah, perubahan ini memberikan suatu penyelesaian basis feasibel baru seperti ditunjukkan dalam tabel 5.12b.

Selanjutnya, dengan aturan pemberhentian ditentukan apakah penyelesaian basis feasibel itu optimal atau tidak .

Tabel 5.12a. Penyelesaian basis feasibel awal dengan Metode Vogel.

G u d a n g

1234Persediaan

113141320 75

5 +70 -

Pabrik216132012125

40 85

319121715100

35 - 65 +


Tabel 5.12b.Hasil iterasi pertama .


1234ui

11381413112075 0

40 35

21641342012125 3

Pabrik40 85

30191217015100 4

65 35


vj138139

Dengan menggunakan kriteria optimalitas didapatkan :

x31 = 19 - 6 - 13 = 0

Hasil selengkapnya ditunjukkan dalam tabel berikutnya dan ternyata semua variabel non basisnya bernilai positif. Jadi penyelesaian itu adalah penyelesaian yang optimal .

Tabel 5.13. Penyelesaian Optimal dari contoh permasalahan.

G u d a n g

1234Persediaan

113141320 75

4035

Pabrik216132012125

40 85

319121715100

6535


Secara singkat, metode Transportasi terdiri dari :

Tahap Permulaan : Menyusun suatu penyelesaian basis feasibel awal dengan prosedur yang ada, yaitu Metode Northwest Corner, Metode Tabel Minimum, Metode Pendekatan Vogel dan Metode Pendekatan Russell .

Lanjutkan ke aturan pemberhentian .

Tahap Iterasi :

Bagian 1 : Menentukan variabel basis yang masuk.

Dengan cara memilih variabel non basis xij yang mempunyai nilai (cij - ui - vj ) paling negatif .

Bagian 2 : Menentukan variabel basis yang keluar .

Mengidentifikasi suatu rantai reaksi yang bermaksud mempertahankan sifat feasibilitas pada saat nilai variabel basis yang masuk naik, diantara kotak donor dalam rantai reaksi itu, pilihlah variabel basis yang mempunyai nilai terkecil sebagai variabel basis yang keluar.

Rantai reaksi tsb disebut juga Path Stepping Stone .

Bagian 3 : Menentukan suatu penyelesaian basis feasibel baru .

Tambahkan nilai dari variabel basis yang keluar ke nilai dari tiap kotak penerima dan kurangkan nilai itu dari nilai dari tiap kotak donornya .

Lanjutkan ke aturan pemberhentian .

Aturan Pemberhentian : Menentukan apakah penyelesaian itu sudah optimal .

Dapatkan nilai ui dan vj dengan memilih baris yang mempunyai jumlah biaya terbesar dan tentukan nilai baris itu sama dengan nol ( ui = 0 ), kemudian selesaikan persamaan cij = ui + vj untuk tiap ( i,j ) dimana xij adalah basis.

Jika ( cij - ui - vj ) ( 0 untuk tiap ( i,j ) dimana xij adalah non basis, maka penyelesaian itu adalah optimal dan hentikan. Jika tidak, lanjutkan ke tahap iterasi .7. Tahap Permulaan dengan Jumlah Persediaan tidak sama dengan Jumlah Permintaan 1. Jumlah Total Persediaan melebihi Jumlah Total Permintaan .

Bila jumlah total persediaan melebihi jumlah total permintaan yaitu

, maka tambahkan suatu kolom permintaan dummy dengan jumlah

. Karena bersifat dummy, maka biaya pengiriman ke tujuan dummy adalah nol artinya tidak ada pengiriman yang dilakukan. Setelah menambahkan kolom dummy, gunakan prosedur yang ada untuk mendapatkan suatu penyelesaian basis feasibel awal .

Sebagai gambaran, dari contoh permasalahan yang ada, jumlah total persediaan dan permintaan dirubah dalam bentuk berikut ini :

Gudang 1 2 3 4 , Pabrik 1 2 3

Permintaan 8 9 10 8 Persediaan 10 12 15

Karena jumlah total persediaan melebihi 37 - 35 = 2 unit dari jumlah total permintaan, maka suatu kolom permintaan dummy ditambahkan dengan jumlah 2 unit dengan biaya pengiriman adalah nol.

Bentuk tabel awalnya seperti ditunjukkan tabel 5.14 dimana akan ada m + n - 1 = 3 + 5 - 1 = 7 variabel dalam penyelesaian basisnya.

Tabel 5.14. Tabel awal dimana jumlah total persediaan melebihi jumlah total permintaan .

G u d a n gPerse

12345diaan

113141320010

Pabrik216132012012

319121715015

Permintaan891082

2. Jumlah Total Permintaan melebihi Jumlah Total Persediaan .

Jika

, maka seluruh permintaan tak akan dapat dipenuhi. Bagaimanapun, harus dicoba untuk memenuhinya sebanyak dan semurah mungkin. Untuk melakukannya, tambahkan suatu kolom persediaan dummy dengan kapasitas

yang berupa suatu baris dummy, dengan biaya pengiriman adalah nol. Karena tidak adanya persediaan yang sebenarnya, pengiriman dari baris ini sebenarnya menunjukkan permintaan yang tidak akan dipenuhi .

Sebagai gambaran, dari contoh permasalahan yang ada, jika data yang diberikan pada bagian 5.7.1. jumlah total persediaan dari tiap pabrik dirubah menjadi :

Pabrik 1 2 3

Persediaan 18 5 7

Maka suatu baris permintaan dummy ditambahkan dengan kapasitas 35 - 30 = 5 unit dengan biaya pengiriman ke tiap gudang adalah nol.

Bentuk tabel awalnya seperti ditunjukkan tabel 5.15 dimana akan ada m + n - 1 = 4 + 4 - 1 = 7 variabel dalam penyelesaian basisnya.

Tabel 5.15. Tabel awal dimana jumlah total permintaan melebihi jumlah total persediaan .

G u d a n gPerse

1234diaan

11314132018

2161320125

Pabrik3191217157

400005

Permintaan89108

Kemudian, dengan menggunakan prosedur yang ada yaitu Metode Northwest Corner, Tabel Minimum, Pendekatan Vogel dan Russell didapatkan suatu penyelesaian basis feasibel awal .

8. Degenerate .

Seperti sudah diterangkan sebelumnya, degenerate berarti bahwa adanya satu atau lebih variabel basis yang bernilai nol. Dalam masalah transportasi, degenerate bisa terjadi pada iterasi awal atau tiba-tiba menjadi degenerate pada pertengahan iterasi. Nilai nol tsb diperlakukan sama seperti nilai lainnya.

Sebagai contoh, dari contaoh permasalahan yang ada jika jumlah permintaan/kapasitas dari tiap gudang :

Gudang 1 2 3 4


Tabel 5.16a. Penyelesaian basis feasibel awal .


1234ui

11314- 81312075 0

75 0 - +

24161320- 612125 - 1

Pabrik65+ 60 -

310192121715100 - 4

1090


vj13142119

Dengan menggunakan metode Northwest Corner diperoleh suatu penyelesaian basis awal yang degenerate yaitu variabel basis x = 0 seperti ditunjukkan dalam tabel 5.16.a yang selanjutnya diiterasi dan didapat penyelesaian optimalnya seperti ditunjukkan oleh tabel 5.17.

Tabel 5.16b.Hasil iterasi pertama .


1234ui

1130141312075 0

75 0

241641320- 612125 - 1

Pabrik 65 60 -+

310192121715100 - 4

10 +90 -


vj13142119

Tabel 5.17. Hasil iterasi pertama .


1234ui

113814013112075 0

75

24161302012125 - 3

Pabrik 65 60

310192121715100 - 4

7030


vj13142119

Jika jumlah total persediaan dan permintaannya dirubah dalam bentuk berikut :

Gudang 1 2 3 4 , Pabrik 1 2 3

Permintaan 100 50 65 70 Persediaan 25 100 160

Dengan menggunakan metode Northwest Corner diperoleh suatu penyelesaian basis feasibel awal yang tidak degenerate seperti ditunjukkan dalam tabel 5. 18a .

Karena penyelesaian basis feasibel awal tsb tidak optimum maka perlu diiterasi untuk mendapatkan penyelesaian optimal. Dalam tahap iterasi terjadi adanya degenerate seperti ditunjukkan dalam tabel 5.19.

Tabel 5.18a. Penyelesaian basis feasibel awal .


1234ui

113414- 21372025 0

25

21613220- 412100 3

Pabrik75 25 - +

3419121715160 2

25 +65 70 -


vj13101513

Tabel 5.18b. Hasil iterasi pertama .


1234ui

113414- 21372025 0

25 - +

2161322012100 3

Pabrik75+ 25 25 -

3419121715160 2

25 +65 - 45 +


vj13101513

Tabel 5.19. Penyelesaian optimal .


1234ui

10134141372025 0

25

21601322012100 3

Pabrik100 0

3419121715160 2

50 65 45


vj13101513

9. Masalah Maksimumisasi .

Bentuk standart dari masalah Transportasi adalah meminimumkan biaya pengiriman dari beberapa sumber ke beberapa tujuan dengan data yang diberikan berupa biaya pengiriman dari tiap sumber ke setiap tujuan yang ada dimana setiap sumber dan tujuan tsb mempunyai sejumlah kapasitas pengiriman dan penerimaan yang tertentu.

Masalah Transportasi ini dapat juga digunakan untuk memaksimumkan keuntungan yang akan diperoleh. Anggap bahwa harga penjualan dari suatu barang tertentu tergantung pada daerah pemasaran dan terdapat perbedaan biaya pembuatan diantara lokasi pembuatan yang ada, maka data yang diberikan dari tiap kotak ( cij ) dalam tabel transportasi adalah berupa keuntungan yang akan diperoleh jika barang tsb dibuat di lokasi pabrik i dan dipasarkan / dikirim ke tujuan j .

Adapun metode Transportasi yang digunakan untuk memaksimumkan keuntungan tsb adalah metode Transportasi yang telah dimodifikasi pada setiap tahapnya, yaitu :

1 Tahap Awal .

a). Metode Tabel Minimum .

Untuk mendapatkan penyelesaian basis feasibel awal dengan menggunakan Tabel Minimum hanya perlu memodifikasi langkah 1 dan 2 dengan mengganti cara pemilihan kotaknya .

Langkah 1 : Carilah kotak dalam tabel yang mempunyai biaya terbesar ( jika ada lebih dari satu, pilihlah sembarang ) dan pilihlah nilai yang lebih kecil diantara nilai baris persediaan dan nilai kolom permintaan yang bersesuaian dengan kotak itu sebagai nilai dari kotak tsb. Kurangkan nilai baris persediaan dan kolm permintaannya dengan nilai tab.

Langkah 2 : Setelah menghilangkan/mencoret baris atau kolom yang mempunyai hasil pengurangan sama dengan nol, berpindahlah ke kotak sisa yang ada dalam tabel yang mempunyai biaya terbesar .

Oleh karena tujuannya adalah memilih kotak dalam tabel yang mempunyai biaya terbesar, maka metode ini dapat diberi nama dengan Tabel Maksimum .

b). Metode Pendekatan Vogel .

Pada metode Pendekatan Vogel , modifikasi hanya diperlukan pada langkah 1 dan 2 yaitu :

Langkah 1 : Hitunglah perbedaan antara 2 biaya termahal dalam setiap baris .

Lakukan hal yang sama untuk setiap kolomnya .

Langkah 2 : Tentukan baris atau kolom yang mempunyai angka perbedaan terbesar ( jika ada lebih dari satu, pilihlah sembarang ) dan berilah nilai pada kotak yang mempunyai biaya terbesar pada baris atau kolom itu dengan nilai yang lebih kecil diantara nilai dari baris persediaan dan kolom permintaan yang bersesuaian dengan kotak itu .

c). Metode Pendekatan Russell .

Penyelesaian basis feasibel awal dapat diperoleh dengan memodifikasi langkah 2 nya dengan :

Langkah 2 : Setelah menghitung nilai ( cij - ui - vj ) untuk setiap kotak dimana ui adalah biaya terbesar dalam baris i dan vj adalah biaya terbesar dalam kolom j.

Pilihlah kotak yang mempunyai nilai ( cij - ui - vj ) terbesar ( semuanya bernilai negatif dan jika ada lebih dari satu, pilihlah sembarang ) dan berilah nilai pada kotak itu dengan nilai yang lebih kecil diantara nilai baris persediaan dan kolom permintaan yang bersesuaian dengan kotak itu.

Jika hanya ada satu kotak sisa dalam suatu baris atau kolom, pilihlah kotak ini dan berilah nilai sebanyak yang diperlukan untuk memenuhi jumlah nilai dari baris atau kolomnya. Kurangkan nilai baris persediaan dan kolom permintaannya dengan nilai tersebut .

2. Tahap Iterasi .

Pada tahap iterasi, hanya perlu memodifikasi bagian 1 yaitu menentukan variabel basis yang masuk dengan cara memilih variabel non basis yang mempunyai nilai ( cij - ui - vj ) positif terbesar sebagai variabel basis yang masuk .

3. Aturan Pemberhentian .

Pada aturan pemberhentian, modifikasi dilakukan pada Kriteria Optimalitasnya dengan :

Suatu penyelesaian basis feasibel adalah optimal jika dan hanya jika ( cij - ui - vj ) ( 0, untuk setiap ( i,j ) dimana xij adalah variabel non basis .

Jadi suatu penyelesaian basis dikatakan optimal apabila seluruh nilai dari kotak dalam tabel adalah nol atau negatif dan proses berhenti. Jika tidak, lanjutkan ke tahap iterasi .

10. Analisa Sensitifitas .

10.1. Perubahan Koeffisien cij .

Koeffisien dari fungsi obyektif dapat dianalisa seperti dalam metode Simpleks. Bila yang berubah adalah nilai dari variabel non basisnya, maka akan dihitung kembali cij - zij . Bila yang berubah adalah nilai dari variabel basisnya, yang harus dilakukan adalah menghitung kembali ui dan vj , kemudian menghitung kembali nilai dari variabel non basisnya .

Sebagai contoh, menganalisa penyelesaian optimal dari contoh permasalahan yang telah disajikan dalam tabel 5.13.

Pertama, menemukan range untuk c12 . Karena x12 adalah non basis, didapatkan c12 - z12 = c12 - u1 - v2 ( 0 atau c12 - 0 - 8 ( 0 atau c12 ( 8 .

Kemudian, menganalisa c11 yang merupakan variabel basis. Untuk melakukannya biaya aslinya diganti dengan c11 dan menghitung kembali ui dan vj seperti ditunjukkan dalam tabel 5.20. kemudian menghitung kembali biayanya .

Tabel 5.20. Penyelesaian akhir dari contoh permasalahan untuk menganalisa c11 .


1234ui

1c1,114132075 0

40 35

216132012125 16 - c1,1

Pabrik 40 85

319121715100 4

65 35


vjc1,1813c1,1 - 4

Untuk x12 didapatkan :

c12 - u1 - v2 ( 0 atau 14 - 0 - 8 ( 0 atau 6 ( 0 .


c14 - u1 - v4 ( 0 atau 20 - 0 - ( c11 - 4 ) ( 0 atau 24 - c11 ( 0

atau c11 ( 24 .


c22 - u2 - v2 ( 0 atau 13 - ( 16 - c11 ) - 8 ( 0 atau - 11 + c11 ( 0 .

atau c11 ( 11 .


c23 - u2 - v3 ( 0 atau 20 - ( 16 - c11 ) - 13 ( 0 atau - 9 + c11 ( 0 .

atau c11 ( 9 .


c31 - u3 - v1 ( 0 atau 19 - 4 - c11 ( 0 atau 15 - c11 ( 0

atau c11 ( 15 .


c34 - u3 - v4 ( 0 atau 15 - 4 - ( c11 - 4 ) ( 0 atau 15 - c11 ( 0

atau c11 ( 15 .

Jadi harus dipunyai : 9 ( c11 ( 15

10.2. Perubahan dalam Jumlah Persediaan atau Permintaan .

Andaikan, dalam contoh permasalahan diatas, jumlah permintaan pada gudang 3 naik dengan 30 unit. Berapa banyak biaya yang dibutuhkan untuk mengganti naiknya permintaan itu pada setiap pabrik yang ada.

Masalah ini dapat diselesaikan dengan meninjau ui dan vj sebagai variabel dual, dimana ui adalah biaya sehubungan pengiriman dari pabrik i dan vj adalah biaya sehubungan dengan pengiriman ke gudang j. Sehingga biaya pengiriman 30 unit tambahan ke gudang 3 adalah dapat dicapai melalui :

1). Karena u1 = 0 dan v3 = 13, maka 30 ( 0 + 13 ) = 390 dari pabrik 1.



Karena x13 dan x33 adalah variabel basis, maka mudah untuk memenuhi kenaikan permintaan tsb dengan menaikkan persediaan pada pabrik 1 dan 3. Jika diinginkan kenaikan pada gudang 3 disediakan oleh pabrik 2 dan karena x23 adalah variabel non basis dengan c23 = 20, maka pemenuhan kenaikan tsb tidak dapat langsung dilakukan begitu saja .

Yang harus dilakukan adalah merealokasi pengiriman pada variabel basis dalam path stepping-stonenya ( rantai reaksinya ). Karena pabrik 2 dan gudang 3 akan dinaikkan dengan 30 unit, maka persediaan pada pabrik 2 dinaikkan dari 125 menjadi 155 dan permintaan dari gudang 3 dinaikkan dari 70 menjadi 100. Selanjutnya tanda + dan - didistribusikan pada variabel basis dalam path stepping-stonenya sedemikian hingga baris 2 dan kolom 3 hanya mempunyai satu tanda plus tanpa tanda minus dan seluruh baris dan kolom lainnya adalah seimbang. Adapun hasilnya ditunjukkan dalam tabel 5.21., dimana x13 naik dengan 30, x11 turun dengan 30 dan x21 naik 30 .

Tabel 5.21. Realokasi Pengiriman .


1234ui

11314132075 0

40 - 30 35 + 30

216132012125 3

Pabrik 40 + 30 85

319121715100 4

65 35

Permintaan80 65 70 + 30 85

vj138139

Melalui analisa ini dapat disimpulkan bahwa jumlah maksimum yang dapat ditambahkan pada gudang 3 adalah 40 unit yaitu nilai paling kecil dari variabel basis dengan tanda - ( negatif ) pada path stepping-stonenya .

_850858473.unknown

_850911108.unknown

_850912663.unknown

_850912662.unknown

_850911016.unknown

_850858202.unknown

_850858303.unknown

_850858057.unknown

Documents

masalah transportasi