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Máster de Cooperación Internacional
1
2.- Métodos Discretos de Toma de Decisiones
Francisco Ruiz de la Rúa.
Departamento de Economía Aplicada (Matemáticas)Universidad de Málaga
Máster de Cooperación Internacional
2
Ejemplo: selección de personal
CRITERIOS
EST EXP EDA ENT TES
max max min max max
CANDIDATOS
Alberto 6 5 28 5 5
Blanca 4 2 25 10 9
Carlos 7 7 38 5 10
Daniel 5 7 35 9 6
Emilia 6 1 27 6 7
Félix 5 7 31 7 8
Germán 6 8 30 7 9
Hilario 5 6 26 4 8
Irene 3 8 34 8 7
Máster de Cooperación Internacional
3
Índice
• Tratamiento previo
• Determinación de pesos
• Utilidad Multiatributo
• El método Electre
• El método Promethee
• AHP
Final
Máster de Cooperación Internacional
4
Pre-análisis de eficiencia
EST EXP EDA ENT TES
max max min max max
Alberto 6 5 28 5 5
Blanca 4 2 25 10 9
Carlos 7 7 38 5 10
Daniel 5 7 35 9 6
Emilia 6 1 27 6 7
Félix 5 7 31 7 8
Germán 6 8 30 7 9
Hilario 5 6 26 4 8
Irene 3 8 34 8 7
Félix está dominado por Germán
Máster de Cooperación Internacional
5
Pre-análisis de Satisfacción
EST EXP EDA ENT TES
max max min max max
Alberto 6 5 28 5 5
Blanca 4 2 25 10 9
Carlos 7 7 38 5 10
Daniel 5 7 35 9 6
Emilia 6 1 27 6 7
Germán 6 8 30 7 9
Hilario 5 6 26 4 8
Irene 3 8 34 8 7
Satisf. ≥ 4 ≥ 1 ≤ 35 ≥ 4 ≥ 5
Máster de Cooperación Internacional
6
Criterios a maximizar
• En algunos métodos es necesario considerar todos los criterios como criterios a maximizar.
• Dos posibilidades:– Cambiar de signo (y sumar una constante si
necesitamos valores positivos),– Tomar inversos (si todos los valores son
estrictamente positivos). Conserva la cardinalidad ratio.
Máster de Cooperación Internacional
7
Criterios a maximizar
EST EXP EDA ENT TES
max max max max max
Alberto 6 5 0,036 5 5
Blanca 4 2 0,040 10 9
Daniel 5 7 0,029 9 6
Emilia 6 1 0,037 6 7
Germán 6 8 0,033 7 9
Hilario 5 6 0,038 4 8
Máster de Cooperación Internacional
8
Normalización
• Es necesario medir todos los criterios en la misma escala.
Proced. 1 Proced. 2 Proced. 3 Proced. 4
Expresión
Vector normalizado
0 < vi ≤ 1 0 ≤ vi ≤ 1 0 < vi < 1 0 < vi < 1
Módulo variable variable variable 1
Proporcio-nalidad
sí no sí sí
Interpre-tación
% del máximo
% del rango % del totalcomponente vector unit.
j
ii a
av
max
jj
jii aa
aav
minmax
min
22
jj
ii
a
av
jj
ii a
av
Máster de Cooperación Internacional
9
Normalización
EST EXP EDA ENT TES
max max max max max
Alberto 0,188 0,172 0,168 0,122 0,114
Blanca 0,125 0,069 0,188 0,244 0,205
Daniel 0,156 0,241 0,134 0,220 0,136
Emilia 0,188 0,034 0,174 0,146 0,159
Germán 0,188 0,276 0,156 0,171 0,205
Hilario 0,156 0,207 0,180 0,098 0,182
Normalizados con el procedimiento 3
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10
• Métodos de asignación directa- Más sencillos
- Pueden llevar a inconsistencias
- Pueden suponer demasiada información a manejar a la vez
• Métodos de asignación indirecta- Uso más complicado
- Requieren más interacción
- Son más consistentes
Determinación de pesos
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11
• Ordenación simple– Ordenación
1º Experiencia Profesional (EXP)
2º Estudios Superiores (EST)
3º/4º Entrevista (ENT)
3º/4º Test psicotécnico (TES)
5º Edad (EDA)
– Asignación de valores EST EXP EDA ENT TES
4 5 1 2,5 2,5
– Normalización EST EXP EDA ENT TES
.26 .33 .07 .17 .17
Asignación directa
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12
• Tasación simple:– Asignación de valores en una escala dada EST EXP EDA ENT TES 5 5 2 4 4
– Normalización EST EXP EDA ENT TES .25 .25 .10 .20 .20
– Variante: Ratios (Importancia con relación al menos
importante)
Asignación directa
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13
• Comparaciones sucesivas– Ordenación EST EXP EDA ENT TES
4 5 1 2,5 2,5
– Tabla con “coaliciones”: EXP: EST+ENT+TES+EDA EST: ENT+TES+EDA ENT: TES+EDA
EXP: EST+ENT+TES EST: ENT+TES
EXP: EST+ENT
– Respuestas: EXP > EST+ENT pero EXP < EST+ENT+TES
EST < ENT+TES
ENT = TES
Asignación directa
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14
– Comprobaciones ENT = TES 2.5 = 2.5 Correcto.
EST < ENT+TES 4 < 2.5 + 2.5 Correcto.
EXP > EST+ENT 5 > 4 + 2.5 No correcto. Modificar
– Nuevos pesos. EST EXP EDA ENT TES
2.58 5 0.65 1.61 1.61
– Normalización EST EXP EDA ENT TES
.23 .44 .06 .14 .14
Asignación directa
• Comparaciones sucesivas (cont.)
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15
• A.H.P. (Proceso Analítico Jerárquico)– Comparación binaria de criterios aij = 1 igualmente importantes
3 ligeramente más importante
5 notablemente más importante
7 demostrablemente más importante
9 absolutamente más importante
aji = 1/ aij
– Matriz de comparaciones
1145/15/1
1145/15/1
4/14/118/17/1
55813
5573/11
A
AHP
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16
AHP
Consistencia:j
iija
jkijaa
k
i
j
i
k
j
ika
ω
ω
n
n
n
A
n
nnnnn
n
1
1
21
12111
///
///
n es un autovalor de A, y un autovector
Máster de Cooperación Internacional
17
– Autovalor dominante y autovector asociadomax = 5.296
EST EXP EDA ENT TES
w = 0.30 0.48 0.04 0.09 0.09
– Coeficiente de inconsistencia.
– Coeficiente de inconsistencia aleatorio.
074.01
C.I.
n
nmax
n C.I.A. 2 .00 3 .58 4 .90 5 1.12 6 1.24 7 1.32 8 1.41 9 1.45
AHP
Máster de Cooperación Internacional
18
– Ratio de inconsistencia.
– Si R.I. < 10%, aceptar.
– Si no, reestimar algunos o todos los aij
066.012.1
074.0
C.I.A.
.C.IR.I.
AHP
Máster de Cooperación Internacional
19
MAUT
• n alternativas (ai).
• m criterios normalizados (aij).
• Pesos normalizados j.
• Evaluación global de cada alternativa:
n
jijji aaR
1
)(
Máster de Cooperación Internacional
20
MAUT
EST EXP EDA ENT TES
max max max max max
Alberto 0,188 0,172 0,168 0,122 0,114
Blanca 0,125 0,069 0,188 0,244 0,205
Daniel 0,156 0,241 0,134 0,220 0,136
Emilia 0,188 0,034 0,174 0,146 0,159
Germán 0,188 0,276 0,156 0,171 0,205
Hilario 0,156 0,207 0,180 0,098 0,182
Pesos 5 5 2 4 4
Norm. 0,25 0,25 0,10 0,20 0,20
Pesos por el método de tasación simple
Máster de Cooperación Internacional
21
MAUT
• R(Alberto) = 0.154
• R(Blanca) = 0.157
• R(Daniel) = 0.184
• R(Emilia) = 0.134
• R(Germán) = 0.207
• R(Hilario) = 0.165
5º
4º
2º
6º
1º
3º
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22
El Método Electre
• Relación de superación: Cuando una alternativa a es “al menos tan buena” como otra b en “una mayoría” de los criterios, y no hay ningún criterio para el que a sea “notoriamente inferior” a b, podemos afirmar sin riesgo que a supera a b.
• Comparaciones binarias (alternativas dos a dos)
Máster de Cooperación Internacional
23
El Método Electre
• Consideremos la matriz de decisión normalizada. Definimos: )()(maxmax
,ijkj
kijaUaUd
EST EXP EDA ENT TES
max max max max max
0,25 0,25 0,1 0,2 0,2
Alberto 0,188 0,172 0,168 0,122 0,114
Blanca 0,125 0,069 0,188 0,244 0,205
Daniel 0,156 0,241 0,134 0,220 0,136
Emilia 0,188 0,034 0,174 0,146 0,159
Germán 0,188 0,276 0,156 0,171 0,205
Hilario 0,156 0,207 0,180 0,098 0,182
Dif. Max 0,063 0,242 0,054 0,146 0,091
Máster de Cooperación Internacional
24
El Método Electre
• Dadas dos alternativas ai y ak, definimos:
)()(/),(
)()(/),(
kjijki
kjijki
aUaUjaaD
aUaUjaaC
• Índice de concordancia
),(
),(ki aaCjjkiik aacc
– Importancia conjunta de los criterios para los que ai es al menos tan buena como ak.
– cik = 1 si y sólo si ai domina a ak.
Máster de Cooperación Internacional
25
El Método Electre
• Índice de discordancia
)()(max1
),(),(
ijkjaaDj
kiik aUaUd
aaddki
– Mayor diferencia de utilidad a favor de ak (relativizada por la máxima diferencia).
– dik = 0 si y sólo si ai domina a ak.
Máster de Cooperación Internacional
26
El Método ElectreEST EXP EDA ENT TES
max max max max max
0,25 0,25 0,1 0,2 0,2
Alberto 0,188 0,172 0,168 0,122 0,114
Blanca 0,125 0,069 0,188 0,244 0,205
Daniel 0,156 0,241 0,134 0,220 0,136
Emilia 0,188 0,034 0,174 0,146 0,159
Germán 0,188 0,276 0,156 0,171 0,205
Hilario 0,156 0,207 0,180 0,098 0,182
C(B,D) = {3,4,5}; D(B,D) = {1,2}
c(B,D) = 0,10 + 0,20 + 0,20 = 0,50
71,0069,0241,0,125,0156,0max242,0
1),( DBd
C(E,G) = {1,3}; D(E,G) = {2,4,5}
c(E,G) = 0,25 + 0,10 = 0,35
1159,0205,0,146,0171,0,034,0276,0max242,0
1),( GEd
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27
El Método Electre
• Matriz de concordancia
A B D E G H
A - 0,50 0,35 0,50 0,35 0,45
B 0,50 - 0,50 0,75 0,50 0,50
D 0,65 0,50 - 0,45 0,20 0,70
E 0,75 0,25 0,55 - 0,35 0,45
G 0,90 0,70 0,80 0,90 - 0,90
H 0,55 0,50 0,55 0,55 0,10 -
Máster de Cooperación Internacional
28
El Método Electre
• Matriz de discordancia
A B D E G H
A - 0,50 0,40 0,19 0,43 0,28
B 0,43 - 0,71 0,26 0,86 0,57
D 0,14 0,29 - 0,17 0,29 0,19
E 0,57 0,40 0,86 - 1,00 0,71
G 0,05 0,30 0,20 0,07 - 0,10
H 0,13 0,60 0,50 0,20 0,30 -
Máster de Cooperación Internacional
29
El Método Electre
• Umbral de concordancia, sc
• Umbral de discordancia, sd
• Relación de superación:
dikcikki sdscaSa y
Máster de Cooperación Internacional
30
El Método ElectreA B D E G H
A - 0,50 0,35 0,50 0,35 0,45
B 0,50 - 0,50 0,75 0,50 0,50
D 0,65 0,50 - 0,45 0,20 0,70
E 0,75 0,25 0,55 - 0,35 0,45
G 0,90 0,70 0,80 0,90 - 0,90
H 0,55 0,50 0,55 0,55 0,10 -
A B D E G H
A - 0,50 0,40 0,19 0,43 0,28
B 0,43 - 0,71 0,26 0,86 0,57
D 0,14 0,29 - 0,17 0,29 0,19
E 0,57 0,40 0,86 - 1,00 0,71
G 0,05 0,30 0,20 0,07 - 0,10
H 0,13 0,60 0,50 0,20 0,30 -
sc = 0,8 sd = 0,2
ADd
c
DA
DA a supera no 2,014,0
8,065,0
AGd
c
GA
GA a supera 2,005,0
8,090,0
Máster de Cooperación Internacional
31
El Método Electre
A B D E G H
A - 0 0 0 0 0
B 0 - 0 0 0 0
D 0 0 - 0 0 0
E 0 0 0 - 0 0
G 1 0 0 1 - 1
H 0 0 0 0 0 -
• Matriz de superación • Grafo
G
B D
AE
H
Núcleo
Núcleo:-Toda alternativa fuera del núcleo está superada por alguna del núcleo-No hay relaciones de superación entre alternativas del núcleo
Máster de Cooperación Internacional
32
El Método Electre
A B D E G H
A - 0 0 0 0 0
B 0 - 0 1 0 0
D 1 0 - 0 0 1
E 0 0 0 - 0 0
G 1 1 1 1 - 1
H 0 0 0 0 0 -
sc = 0,6 sd = 0,4
G
B D
EA
H
Con suma ponderada,
G D H B A E
Máster de Cooperación Internacional
33
El Método Promethee
• Matriz de decisión original (pesos normal.)
EST EXP EDA ENT TES
max max min max max
0,25 0,25 0,1 0,2 0,2
Alberto 6 5 28 5 5
Blanca 4 2 25 10 9
Daniel 5 7 35 9 6
Emilia 6 1 27 6 7
Germán 6 8 30 7 9
Hilario 5 6 26 4 8
Máster de Cooperación Internacional
34
El Método Promethee
• Pseudocriterios– Sea un criterio j,
– Llamamos dik = Uj(ai) - Uj(ak)
– Sj(ai, ak) = Sj(dik)
– 0 Indiferencia,– 1 Preferencia estricta,– q Umbral de indiferencia,– p Umbral de preferencia estricta.
Máster de Cooperación Internacional
35
El Método Promethee
• Pseudocriterios
1
0 si ,1
0 si ,0),(
ik
ikkij d
daaS
q
1
qd
qdaaS
ik
ikkij si ,1
si ,0),(
1.- Normal 2.- En U
Máster de Cooperación Internacional
36
1
q p
0,5
El Método Promethee
• Pseudocriterios
pd
pdpdaaS
ik
ikikkij si ,1
si ,/),(
3.- En V
4.- En escalera
1
p
pd
pd
qd
aaS
ik
ik
ik
kij
si ,1
q si 0,5
si ,0
),(
Máster de Cooperación Internacional
37
1
q p
El Método Promethee• Pseudocriterios
5.- Lineal 6.- Gaussiano
1
p
pd
pdqpqd
qd
aaS
ik
ikik
ik
kij
si ,1
q si ))/((
si ,0
),(
Máster de Cooperación Internacional
38
El Método Promethee
• Elaboramos una tabla con los valores de Sj para cada criterio.
• Ejemplo: Todos los criterios normales, excepto el criterio edad, con pseudo-criterio en V, p = 5.
• S3(B,A) = (28 – 25)/5 = 3/5 = 0,60.
• S3(A,B) = 0 (25 < 28).
• S3(A,D) = 1 (35 – 28 ≥ 5).
Máster de Cooperación Internacional
39
El Método Promethee
A B D E G H
A - 0,00 1,00 0,00 0,40 0,00
B 0,60 - 1,00 0,40 1,00 0,20
D 0,00 0,00 - 0,00 0,00 0,00
E 0,20 0,00 1,00 - 0,60 0,00
G 0,00 0,00 1,00 0,00 - 0,00
H 0,40 0,00 1,00 0,20 0,80 -
• Matriz de S3 .
Máster de Cooperación Internacional
40
El Método Promethee
• Índices de preferencia.
Para cada par de alternativas, ai, ak:
j j
ikjjkijjik dSaaSc )(),(
• cAB = 0,25•1 + 0,25•1 + 0,10•0 + 0,20•0 + 0,20•0 = 0,50• cEG = 0,25•0 + 0,25•0 + 0,10•0,60 + 0,20•0 + 0,20•0 = 0,06
Máster de Cooperación Internacional
41
El Método Promethee
• Matriz de preferencia.
A B D E G H
A - 0,50 0,35 0,25 0,04 0,45
B 0,46 - 0,50 0,69 0,30 0,42
D 0,65 0,50 - 0,45 0,20 0,45
E 0,42 0,25 0,55 - 0,06 0,45
G 0,65 0,50 0,80 0,65 - 0,90
H 0,49 0,50 0,30 0,47 0,08 -
Máster de Cooperación Internacional
42
El Método Promethee
• Flujos.
Para cada alternativa ai:
k
iki cFlujo saliente (positivo)
k
kii cFlujo entrante (negativo)
iiiFlujo neto
Máster de Cooperación Internacional
43
El Método Promethee
A B D E G H +
A - 0,50 0,35 0,25 0,04 0,45 1,59
B 0,46 - 0,50 0,69 0,30 0,42 2,37
D 0,65 0,50 - 0,45 0,20 0,45 2,25
E 0,42 0,25 0,55 - 0,06 0,45 1,73
G 0,65 0,50 0,80 0,65 - 0,90 3,5
H 0,49 0,50 0,30 0,47 0,08 - 1,84
- 2,67 2,25 2,5 2,51 0,68 2,67
-1,08 0,12 -0,25 -0,78 2,82 -0,83
Máster de Cooperación Internacional
44
El Método Promethee
• PROMETHEE I
Relación de superación:
kiki
kiki
kiki
kiSaa
y
ó
y
ó
y
Máster de Cooperación Internacional
45
El Método Promethee
A B D E G H
+ 1,59 2,37 2,25 1,73 3,5 1,84
- 2,67 2,25 2,5 2,51 0,68 2,67
A B D E G H
A - 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
B 1,00 - 1,00 1,00 0,00 1,00
D 1,00 0,00 - 1,00 0,00 1,00
E 1,00 0,00 0,00 - 0,00 0,00
G 1,00 1,00 1,00 1,00 - 1,00
H 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -
Matriz de superación
G supera A,B,D,E,HB supera A,D,E,HD supera A,E,HE supera AH supera A(transitividad)
Máster de Cooperación Internacional
46
El Método Promethee
• Grafo de superación:
G B D
H
E
A
Con suma ponderada,
G D H B A E
Máster de Cooperación Internacional
47
El Método Promethee
• PROMETHEE II
Relación de superación:
kikiSaa
A B D E G H
-1,08 0,12 -0,25 -0,78 2,82 -0,83
Pos 6 2 3 4 1 5
Máster de Cooperación Internacional
48
El Método Promethee
• Grafo de superación:
G B D
Con suma ponderada,
G D H B A E
E H A
Máster de Cooperación Internacional
49
¡Gracias!
Índice