MASTER DE ENERGIA NUCLEAR - ANALISIS ESPECTRAL

7/31/2019 MASTER DE ENERGIA NUCLEAR - ANALISIS ESPECTRAL

1/16

Leccin8.- ANLISIS ESPECTRAL.


2/16


3/16

N D I C E

8.- ANLISIS ESPECTRAL.

8.1.- Definicin y objeto.

8.2.- Mecanismo de formacin del espectro.

8.3.- Tratamiento previo de los espectros.

8.4.- Relaciones fundamentales en el anlisis espectral.

8.5.- Mtodos sencillos de evaluacin de reas de picos e incertidumbres asociadas.

8.6.- Mtodos complejos de anlisis espectral. Minimizacin funcional.


4/16

8.- ANLISIS ESPECTRAL /1

8.- ANLISIS ESPECTRAL.

8.1.- DEFINICIN Y OBJETO.

Se entiende por espectro de energas de un nucleido la distribucin, en funcin de laenerga, del nmero de partculas de un determinado tipo emitidas por l. En la prctica, laslimitaciones experimentales hacen que se obtenga, en lugar de un espectro continuo, ladistribucin de partculas en bandas de energa de un ancho determinado, tambin llamadascanales. El trmino partculas se utilizar, a lo largo de este tema, para referirseindistintamente a partculas cargadas o fotones.

El anlisis espectral es la parte de la parte de la espectrometra que se ocupa deextraer del espectro de energas medido la mxima cantidad posible de informacin medianteel anlisis de los datos obtenidos. En la actualidad este anlisis se realiza casi exclusivamente

en forma numrica.

8.2.- MECANISMOS DE FORMACIN DEL ESPECTRO.

El espectro de energas de la radiacin emitida por una fuente radiactiva y elobservado en los aparatos de medida son muy diferentes. Las causas esenciales de estamodificacin son la interaccin de la radiacin con el detector y el tratamiento electrnico dela seal producida en l, incluida su conversin analgico-digital, por lo que los mecanismosque intervienen en la formacin de un espectro son muy variados.

La forma final que presentan los espectros depende por ello del tipo de radiacinmedido y del sistema de deteccin. Sin embargo, para todas aquellas formas de emisinradiactiva que se caracterizan por un espectro discreto (partculas , e- de conversin, fotones correspondientes a transiciones entre niveles nucleares, rayos X de reordenacinatmica,...), los espectros tienen ciertas caractersticas comunes. As, la forma inicial deemisin de la lnea, normalmente una estrecha distribucin de energa bien definida, seensancha y deforma, convirtindose en otra tanto ms ancha cuanto peor sea la resolucin delsistema, y presentando adems una contribucin continua hacia energas bajas, formada portodos aquellos sucesos interaccionantes que no han cedido al volumen til del detector todasu energa.

Considerando el sistema de deteccin en su conjunto como una caja negra, esposible caracterizarlo globalmente mediante una funcin que transporta la informacin deconjunto sobre su comportamiento. Esta funcin se denomina funcin respuesta de impulso

del sistema y su aplicacin sobre el espectro emitido por la fuente de radiacin produce elespectro experimentalmente observado.

La funcin respuesta de impulso h(e) corresponde a la respuesta del sistema demedida a la entrada de un impulso unitario en energas. Una vez conocida, la respuesta delsistema a una entrada cualquiera g(e) se puede expresar por medio de la integral deconvolucin:

ed)e-h(e)eg(=i(e)


5/16

/8.- ANLSIS ESPECTRAL2

donde: i(e) = Espectro de energas observadog(e) = Espectro de energas emitidoh(e) = Funcin respuesta del sistema

Esta ecuacin puede tambin escribirse con la notacin:h(e)g(e)=i(e) (8.1))H()G(=)I(

El teorema de convolucin establece que la convolucin de dos funciones esequivalente al producto de sus Transformadas de Fourier, por lo que la ecuacin anteriorpodr escribirse como:Siendo I(), G() y H() las Transformadas de Fourier de las funciones i(e), g(e) y h(e):

deei(e)=)I(e-i

En realidad, estas expresiones son una aproximacin ideal al problema real, en el quesiempre existe una perturbacin o ?ruido? que viene a sumarse a la seal de inters. Unaexpresin ms correcta sera:

)N(+)H()G(=)I( (8.2)

en la que N() representa la contribucin del ruido.

Se denominan mtodos de deconvolucin a todos aquellos mtodos que intentanresolver la ecuacin (8.2), de manera que a partir de un espectro observado i(e) se obtenga el

emitido por la fuente g(e). Por extensin, aunque correctamente, acostumbra a extendersetambin esta denominacin a los mtodos de anlisis espectral cuyo objetivo es determinarlas intensidades, energas y otras caractersticas de la radiacin observada. El anlisisespectral cubre ambos tipos de mtodos, as como cualesquiera otros que se utilicen para eltratamiento previo de los datos.

8.3.- TRATAMIENTO PREVIO DE LOS ESPECTROS.

Se incluyen bajo este nombre una serie de tcnicas cuyo objeto es preparar losespectros de manera que su tratamiento por los programas de descomposicin espectral

resulte ms efectivo. En general, estos mtodos van encaminados a proporcionar informacinpreliminar para la aplicacin de los programas de anlisis propiamente dichos. Las tcnicasms importantes son el suavizado de los espectros y la deteccin de los mximos de los picospresentes en ellos.

Las tcnicas desuavizado espectralse aplican sobre todo a aquellos espectros con unbajo nmero de cuentas por canal. En ellos, y como consecuencia de la alta fluctuacinestadstica relativa, resulta a menudo difcil determinar el nmero de componentes delespectro, es decir distinguirlos de las estructuras que corresponden a fluctuaciones del fondo.Hay una gran cantidad de mtodos distintos de suavizado, desde los que se basan en elestudio del espectro una vez realizada su transformada de Fourier, hasta el ms simple de

sustituir el contenido de un canal por un promedio obtenido con los dos canales adyacentes.Una de las tcnicas ms ampliamente utilizadas en la prctica se debe a Sviztky y Golay, y


6/16


7/16


Hay diversos algoritmos para abordar el problema de deteccin de picos en forma mso menos automtica, y no es posible dar aqu una descripcin detallada de todos ellos. Sinembargo, suelen ser comunes las siguientes etapas:

$ Obtencin de las derivadas numricas del espectro (al menos, primera ysegunda derivadas).

$ Deteccin del cambio de signo de las derivadas en la proximidad de un pico.

$ Estudio de la significacin estadstica de los posibles candidatos obtenidos enfuncin de los valores de su entorno.

La Figura 8.2 presenta un ejemplo de esta tcnica.

Figura 8.2.- Espectro alfa (parte superior) y comportamiento de la derivada primeranumrica.

8.4.- RELACIONES FUNDAMENTAL EN EL ANLISIS ESPECTRAL.Supngase una fuente radiactiva que emite partculas de una energa dada E. En un

tiempo t, el nmero de ellas que son emitidas vendr dado por:

siendo N el nmero de tomos radiactivos presentes en la muestra y T el correspondienteperodo. De todas las partculas que abandonan la fuente, solo una fraccin, generalmente

menor que la unidad, alcanzar el detector, por lo que el nmero de partculas detectadasser:

tNT

2=N ln

(8.3)


8/16


siendo la eficiencia de deteccin del sistema de medida para partculas de energa E.

Si se supone ahora que existen 2 nucleidos radiactivos distintos, que se denotarn conlos subndices 1 y 2, pueden combinarse las ecuaciones para ambos nucleidos obteniendo:

es decir:

expresin que nos indica la relacin entre los contenidos en tomos de los dos nucleidospresentes en la muestra en funcin de los recuentos obtenidos en el detector para cada uno deellos, sus eficiencias de recuento especficas t los perodos correspondientes.

La expresin anterior es una simplificacin del problema general, en el que un emisorradiactivo suele emitir radiaciones de varias energas distintas, para cada una de las cuales secumplir la relacin:

siendo ahora N1i el nmero de partculas de energa Ei emitidas por el nucledo 1 y Pi laprobabilidad de emisin correspondiente para partculas de esa energa. En cuanto a laspartculas detectadas, la expresin ser:

Una complicacin adicional procede de la forma en que se define 1i. Si solamente seemitieran partculas de una energa Ei, podra obtenerse fcilmente el nmero total departculas detectadas sin ms que integrar el rea espectral correspondiente, pero al existirvarios nucleidos, cada uno con emisin de varias lneas, las contribuciones individuales son

difciles de separar y se recurre a calcular el rea de una zona del pico cercana al mximo de

tNT

2=N=S ln

(8.4)

NT

NT=

S

S

21

12

2

i

2

1

(8.5)

TS

TS=

N

N

22

11

12

1

2 (8.6)

tPNT

2=N i1

1

1i ln

(8.7)

tPNT

2=S i1

1

1i1i ln

(8.8)


9/16


10/16


11/16


donde Y(x) representa el contenido del espectro en el canal x, Li y Ld son los canalesque delimitan el pico a izquierda y derecha respectivamente y F es la contribucin totaldel fondo. Como estimacin de la lnea base o lnea de fondo puede utilizarse, enprimera aproximacin, una lnea recta, cuya ordenada en el origen y pendiente seobtendrn de la informacin proporcionada por los contenidos de los canales a ambos

lados del pico cuya rea se pretende obtener. Como es lgico, la eleccin de los canalestomados para la integracin del pico y el ajuste del fondo es subjetiva, por lo que deberadoptarse un criterio comn cuando se analizan varios picos de un espectro, estimandoadems en forma numrica, el efecto de las distintas posibilidades en el resultadoobtenido. Como norma general hay que decir que conviene obtener el rea del pico porsuma de un nmero de canales suficientemente amplio, ajustando la lnea base a amboslados del pico en aquellas zonas que presenten una variacin suave. En el caso en quelos picos sean muy fuertemente asimtricos, conviene realizar la integracin del rea delpico tomando a la izquierda del mximo de ste nmero mayor de canales que al ladoizquierdo, para garantizar que el rea calculada sea un porcentaje alto del rea total.

Figura 8.3.- Lnea gamma correspondiente a una transicin de 248 keV medida con undetector de Ge plano. Los crculos son puntos experimentales y la lnea continua el

ajuste realizado.

Si la ecuacin del fondo viene dado por la recta:

El rea neta bajo la curva resultar ser:

El ajuste de la lnea base debe realizarse preferentemente por un procedimientode mnimos cuadrados que garantice la obtencin de los valores ms adecuados. El

1.390 1.410 1.430 1.450

Nmero de canal

0

500

1.000

1.500

Recuento

b+ax=f(x) (8.11)

bx+2

ax=dxb)+(ax=F

2Ld

Li

Ld=x

Li=x

(8.12)


12/16


mismo procedimiento puede utilizarse para ajustar expresiones cuadrticas o mscomplejas. Para todos los casos, el mtodo de obtencin del rea neta es muy similar.

La incertidumbre en la determinacin del rea obtenida as tiene dos

componentes fundamentales, que debern combinarse segn la ley clsica depropagacin:

2F

2

2R

2

2A

F

A+

R

A=

(8.13)

expresin en la que, en primera aproximacin, se ha supuesto que R y F no estncorrelacionados. La fuente fundamental de incertidumbre sobre el rea total R es laincertidumbre estadstica sobre el recuento que, por ajustarse a una distribucin dePoisson, vendr dada por:

En cuanto al fondo F, se encuentra a su vez afectado por la misma causa deincertidumbre estadstica y la incertidumbre en la determinacin que resulta de laeleccin de los parmetros que lo definen. Ambas componentes debern combinarse:

y como:

se obtendr finalmente para la varianza total la expresin:

F-R=A

R=R (8.14)

2Fp

2Fe

2F += (8.15)

2F

2R

2A += (8.16)

2Fp

2Fp

2Fe

2R

2F +F+R=++= (8.17)


13/16


8.6.- MTODOS COMPLEJOS DE ANLISIS ESPECTRAL.MINIMIZACIN FUNCIONAL

Cuando la estructura del espectro se complica a causa de la interferencia de unospicos sobre otros o cuando se desea obtener resultados ms precisos, debe recurrirse a

un tratamiento matemtico ms complejo que el que se acaba de exponer. El mtodoconcreto depende del espectro analizado y de la informacin que se desea extraer, por loque se expondrn a continuacin las lneas generales, detallando para algn casosencillo.

Para modelizar correctamente el espectro, se precisa disponer de una expresinanaltica que represente adecuadamente la forma de lnea experimental, expresin quedepender de una serie de parmetros, entre los que destacan la posicin e intensidad delos picos. Sea Fx esta funcin. El contenido de un canal cualquiera x del espectro sepodr aproximar por la expresin:

siendo Yx el contenido del espectro y (Pi) el conjunto de parmetros de los que dependela funcin.

As, por ejemplo, si se pretendiera estudiar una lnea cuya forma fueraaproximadamente gausiana, sin considerar un fondo bajo ella, la expresin Fx podraadoptar la forma:

siendo: A = altura de la lnea.x0 = posicin del mximo de intensidad. = parmetro de resolucin ( FWHM = 2,36 )

en este caso Pi = (A, x0, ).

Cuando exista un fondo bajo la lnea que se estudia, ser preciso aadir laexpresin correspondiente; por ejemplo, para el caso de una recta visto anteriormente, laexpresin completa tendr la forma:

Una complicacin an mayor se presenta cuando hay ms de una lnea en unazona del espectro y no pueden calcularse por separado; en este caso, la expresin del

modelo sera:

n1,2,...,=i)P(F=Y ixx

eA=F 22)2x0-(x-

x (8.18)

C+Bx+eA=F 22

)2x0-(x-x

(8.19)


14/16


siendo ahora x1 y 1 los parmetros correspondientes a la segunda lnea y Pi =(A,B,C,D,x0,0,x1,1).

Es claro que una expresin como la anterior no puede ajustarse fcilmente a losdatos experimentales sin el recurso a tcnicas de anlisis numrico. Una de las msampliamente utilizadas es la de mnimos cuadrados, que consiste en la minimizacin deuna suma de diferencias cuadrticas entre los datos experimentales y el modelo terico.

Supngase, por ejemplo, un espectro formado por N lneas distintas, sin queexista un fondo significativo. Un modelo que puede utilizarse para representarlo ser:

correspondiendo el ndice i a la i-sima componente del espectro, cuya intensidad es Riy siendo G(Pi) la expresin analtica que describe el comportamiento de una lneaindividual, funcin de los parmetros Pi. La condicin de mnimos cuadrados implicaque la expresin:

sea mnima. Esta condicin determina los valores ms probables de los parmetros Ri yPi. El trmino 1/Yx representa el peso estadstico atribuido al contenido del canal x.

Si se toma la forma de lnea gausiana vista anteriormente, la expresin delmodelo ser:

En general, la condicin de mnimo de la expresin 2 se realiza igualando acero las expresiones que resultan al obtener las derivadas parciales correspondientes conrespecto a los parmetros que se pretende obtener que, para este caso simplificado sernlas alturas, posiciones y parmetros i de las distintas lneas:

C+Bx+eD+eA=F 21

2

)2x1-(x-

20

2

)2x0-(x-

x (8.20)

)PG(R=Y ii

N

1i=x (8.21)

)PG(R-YY

1= ii

N

1=ix

2

xx

2 (8.22)

eR=Y 2i

20

2

)x-(x-

i

N

=1i

x (8.23)

N1,2,...,=i0=Ri

2

(8.24)


15/16


N1,2,...,=i0=i

2

(8.25)

N1,2,...,=i0=xi

2

(8.26)

Se obtiene as un sistema de ecuaciones que, incluso para este caso simplificado,es no lineal, y cuya resolucin proporciona los valores buscados para los parmetros.Un ejemplo de aplicacin a un espectro alfa complejo se presenta en la Figura 8.4. laresolucin de sistemas de ecuaciones de este tipo, particularmente cuando hay unnmero grande de parmetros es muy delicada y sensible a los valores iniciales quedeben proporcionarse. Las expresiones pueden simplificarse si se consideran conocidaslas posiciones y parmetros de anchura de las lneas, siendo entonces las Ri las nicas

incgnitas. En estas condiciones, se llega a un sistema lineal dado por:

con:

cuya solucin proporcionar los valores de las incgnitas R buscadas.

Figura 8.4.- Espectro alfa de Pu (239+240) obtenido con un detector de Si, y ajuste de

sus 5 lneas componentes.

[B]=[R][A]

e=B

eeY

1=A

2

i

2i

2j

2

2i

2i

2

)x-(x-

xi

2

)xsubj-(x-

2

)x-(x-

xx

ij

(8.27)

40 60 80 100 120

0

100

200

300

400


16/16


El anlisis de las incertidumbres que afectan a los parmetros es un problema decomplejidad semejante a la propia determinacin de los parmetros. Una descripcindetallada del procedimiento necesario para calcularlas est fuera del propsito de estetema, aunque pueden citarse los siguientes puntos:

$ La matriz de covarianzas de los parmetros es la inversa de la matriz quese obtiene al formar el sistema de ecuaciones y los elementos diagonalescorresponden a las varianzas de los parmetros.

$ Las varianzas obtenidas as deben modificarse teniendo en cuenta elvalor obtenido en el ajuste para el estadstico 2.

$ Habitualmente, el valor buscado en un ajuste es funcin de un conjuntode parmetros. Para evaluar su incertidumbre, se aplicar la ley depropagacin de errores teniendo en cuenta los trminos de covarianza.

Documents

MASTER DE ENERGIA NUCLEAR - ANALISIS ESPECTRAL