Embed Size (px)
DESCRIPTION
A presentation in an ancient time. (2001-02)
Citation preview
自己相似集合上のグリーン関数の最大値
京都大学大学院 情報学研究科複雑系科学専攻 応用解析学講座
修士課程 下野寿之
自己相似集合上の解析ディリクレ形式・ラプラシアン
拡散過程･
確率論的アプローチ
– 楠岡・ Goldstein
解析的アプローチ (p.c.f. 自己相似集合 )
- 木上
2V1V0V
,
p
m pVの隣接点
V0,V1,V2 , Vm,p , 差分作用素 L
,
:
( )( ) : ( ) ( )
m m
m p
V Vm
mq V
m
L
L u p u q u p
L
隣接点との差分の和
差分作用素 を
▼ は離散的なラプラシアンである
,
:
:
m p
p
V
赤丸
青丸 の元
0 iiK Vシルピンスキガスケット
電気抵抗回路の構成
2C1C0C
3
5
23
5
,
5 5( ) ( ) ( )
3 3
Vmm m
m p
m m
p mq Vm p
C V u
p V i
i u q u p L u p
回路 の の各端子に電圧分布 を
与えると､端子 から湧出する電流 は
1
5, :
3
,
, min , ; |
,
, : lim | , |
: ( ) ; ,
,
m
m
m m
m
m mp V
m
m m V
m
m
m V Vm
u v u p L v p
u v V
u u v v v u
u u u
C
u u u u
u C K u u
F:
F
を に対して定義｡
▼
の単調性が成り立つ。
▼ は電圧分布 を与えた
回路 の消費電力に等しい。
▼ は二次形式。
E
E E
E
E E
E
E
ラプラシアン
0 0 0
35
2
| | 0
,
,
V V V
K
L u u m
u v
u v
u v d u v
mm
Ds
F Di
は
で定義される｡の定義域を とする。
ガウス･グリー ンの公式
であるよ
ラ
うな
に対して
-
プラシアン
E
グリーン関数
0 0
:
0
( ) ( , ) ( )
( , ) ( , ) ( , ) 0
|V V
K
g K K
u f
u
u x g x y f y d y
g
g x x g x y g y x
s. t.上の連続関数
ポアソン方程式
をグリーン
▼
関数と呼ぶ｡
( , )g x y
グリーン関数の形状
( , ) x Kg x x
シルピンスキガスケットに座標を与える
1 (1) (111...)p
2(222..)p 3 (333..)p
11K
12K 13K
3K
222K
(231)(213)
212K
主要定理
1..6
ma x
ma x 1..6
ma x 1..6
12321 12 321 321 .....
: {12321,13231,21312,
23132,31213,32123}
: 178839 / 902500 0.1981595567..
( , ) { , },
( , ) \ { , }
i i
i i i
i i i
c
c x yg x y
c x y K K
は を表す。
が成り立つ。
2 3
1
最大値を与える点
(12321)
(13231)
(21312)
(23132)
(32123)
(31213)
グリーン関数の意味
0 0
0
1
0
( , )
i.e. ( , ) max , ; | 0 , ( ) 1
max ( , )
V Vu
g x x V
x
g x x u u u u x
g x x x V
は境界 の点同士を短絡させたものと
( , )の間の から決まる抵抗になっている。
を与える は抵抗距離で から
最も遠い点。
E
EF
F
( , ) g x x の意味
R
Near Diagonal Formula1 2
0 0
1 1
t
: ( ), ( )
3 =0 ,
5
mw w wjk m m
mwi w i
i iV V
G g w w j w w k
G G A G A B
が成り立つ。
1 2 3
1 2 3
5 0 0 2 2 1 2 1 21 1 1
2 2 1 , 0 5 0 , 1 2 25 5 5
2 1 2 1 2 2 0 0 5
0 0 0 3 0 1 0 0 03 3 3
0 3 1 , 0 0 0 , 0 3 150 50 50
0 1 3 1 0 3 0 1 3
A A A
B B B
wG wiG
証明に使う補題
| |
22 21
| | 10
ma x:| | 10
1..6
:| | 10
3 9( ) max ,
5 20
; \ (21312)
3 9max
5 20
| | 5)
:
3max
)
5
(#
{ }
w
ww
x K
w
w v
wwvjk
v v
n n
v v
G c g x x c
w K K K
K K
w
G c
w
H
補題
の
( )含有関係 により 極大な各元に対して
が成り立てば主要定理が成り立つ。
主要定理の証明
全ての場合を計 算 。
10
ma x
| |
ma x ma x
(#) Maple
9
20
3| | 6
(
) ( )5
#)vn
ww
n
H c
w G c H c
は による有理数の誤差なしの厳密な計算。
を計算 。
を証明。
| |
22 21
| | 10
ma x:| | 10
1..6 :| | 10
3 9( ) max ,
5 20
; \ (21312)
3 9max
5 20
| | 5)
: ma
( )
x
#
{ }
w
ww
x K
w
w v
wwvjk
v v
n n v v
G c g x x c
w K K K
K K
w
G c
w
H H
補題
の
( )含有関係 により 極大な各元に対して
が成り立てば主要定理が成り立つ。
主要定理の証明
全ての場合を計 算 。
| |
ma x
(#) Maple
9
20
3| | 6) ( )
5
(#)vn
ww
nw G c H
は による有理数の誤差なしの厳密な計算。
を計算 。
を証明。
