Mat Spec Curs Const

5/21/2018 Mat Spec Curs Const

1/59

Matematici Speciale

Conf.Dr. Dana ConstantinescuDepartamentul de Matematici Aplicate

Universitatea din Craiova

1


2/59

Cuprins

1.

Ecuaii difereniale

1.1. Consideraii generale . 3

1.2. Ecuaii difereniale de ordinul I.. 5

1.2.1. Ecuaii cu variabile separabile .. 6

1.2.2. Ecuaii liniare 7

1.2.3. Ecuaii cu difereniale totale ............................. 8

1.2.4. Ecuaii reductibile la ecuaii fundamentale. .. 9

1.3. Ecuaii difereniale liniarede ordin n ................................ 14

1.3.1. Ecuaii cu coeficieni constanti.. 14

1.3.2. Ecuaii cu coeficieni variabili .. 17

1.4. Sisteme de ecuaii difereniale . 19

1.5. Elemente de calcul operaional i aplicaii 23

1.5.1. Transformata Laplace direct 23

1.5.2. Transformata Laplace invers .. 26

1.5.3. Calcul operaional .. 27

1.5.3.1. Rezolvarea ecuaiilor liniare .. 28

1.5.3.2. Rezolvarea sistemelor liniare .. 29

1.6. Aplicaii n studiul circuitelor electrice... 30

2. Analiz complex

2.1. Mulimea numerelor complexe . 32

2.2. Funcii elementare ... 35 2.3. Elemente de calcul diferenial . 39

2.4. Elemente de calcul integral . 40

2.4.1. Integrala curbilinie complex .. 40

2.4.2. Integrala definit .. 41

2.4.3. Integralele lui Cauchy . 41

2.4.4. Teorema reziduurilor i aplicaii .. 42

3. Analiz Fourier

3.1. Serii Fourier 48

3.2. Formula integral Fourier 50

3.3. Transformata Fourier continu .. 51

3.4. Transformata Fourier discret . 52 3.5. Transformata Fourier rapid 53

4. Transformata Z

4.1. Transformata Z direct. 54

4.2 Transformata Z invers 55

4.3. Rezolvarea ecuaiilor recurente 56

Bibliografie 58

2


3/59

1. ECUAII DIFERENIALE

Studiul ecuatiilor difereniale formeaz obiectul unui capitol foarte important al

matematicii, att datorit rezultatelor teoretice deosebit de interesante ct i pentru c ele au

nenumrate aplicaii n cele mai diverse domenii.

Ceea ce deosebete o ecuaie diferenial de o ecuaie algebric este faptul cnecunoscuta ne este un numr ci o funcie care satisface o anumi egalitate i care trebuie

determinate.

Multe fenomene sunt descrise cu ajutorul ecuaiilor difereniale obinute prinmetoda cunoscut sub numele de metoda diferenialelor. Aceasta const n nlocuirea unor

relaii ce apar ntre creterile infinit de mici ale unor cantiti (care variaz n timp) prinrelaii ntre diferenialele (derivatele) lor.

Spre exemplu viteza instantanee ( )0v t de deplasare a unui mobil care la momentul

a parcurs distanat ( )s t este ( ) ( ) ( )

( )0

0

0

0

lim 't t

s t s tv t s t

t t

=

0= . La rndul su acceleraia

corpului la momentul este0t ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

00

0

lim ' ''t t

v t v t a t v t s t t t

= = =

0 0 . In relaiile ce descriu

micarea viteza se va considera ( ) ( )'v t s t = i ( ) ( )'a t v t = .

Exemplu : Micarea unui corp sub aciunea greutii sale i ntmpinnd orezisten a aerului proporional cu viteza sa (acest caz corespunde vitezelor mici)

poate fi descris cu ajutorul unei ecuaii difereniale.

Se noteaz viteza instantanee a corpului la momentul de timp . Rezistena

aerului va fi

( )v t 0t>

( ) ( )R t kv t= . Legea fundamental a mecanicii (F ma=ur r

) conduce la relaia

( ) ( )'mg kv t mv t =

care reprezint o ecuaie diferenial cu necunoscuta

( )v v t= . Pentru a determina viteza

instantanee a corpului trebuie rezolvat aceast ecuaie.Problema fundamental a teoriei ecuaiilor (n general) este determinarea soluiilor

lor sau aproximarea lor dac determinarea analitic nu este posibil.

Teoria ecuaiilor difereniale are mai multe ramuri:

- teoria cantitativ se ocup de rezolvarea analitic a ecuaiilor. Sunt precizate tipurile deecuaii i tehnicile de rezolvare a lor.

- teoria calitativ ncearc s deduc proprietile soluiilor, chiar dac expresia lor

analitic nu poate fi cunoscut- metodele numericesunt tehnici prin care valorile soluiilor ecuaiei sunt approximate

numeric.

Scopul acestui capitol este prezentare celor mai importante elemente ale teorieicantitative a ecuaiilor difereniale.

1.1 Consideraii generale

Definiia 1 Se numete ecuaie diferenial o ecuaie n care intervine o variabil real

independent x , o funcie necunoscut ( )y y x= depinznd de acea variabil i derivatele ei

3


4/59

( )', '',

ny y y , adic o egalitate de forma ( ) ( ) ( ) ( )( ), , ' ,..., 0nF x y x y x y x = (1)

unde 1: nF D R R+ este o functie continu.

Dac derivata de ordin maxim care apare in ecuaie este ( )n

y spunem ca ecuaia are ordinul

.nDefiniia 2 Se numete soluie a ecuaiei difereniale (1) pe intervalul orice funcieI R

:I R , derivabil de ori pe , care verific ecuaia, adic pentru oricen I x I are loc

egalitatea ( ) ( ) ( ) ( )( ), , ' ,..., 0nF x x x x = .

Soluia general a ecuaiei (1) este soluia care depinde de n constante arbitrare

(exact attea ct este ordinul ecuaiei), adic este de forma ( )1 2, , ,..., ny x C C C= .

Aceasta este forma explicit a soluiei pentru c se precizeaz modul n care funcia

necunoscut depinde de variabila independenty x

Uneori soluia general este prezentat n form implicit (integrala generala a ecua iei)( )1, , ,..., 0nx y C C = .

Soluia general se poate obine i sub form parametric :

( ) ( )1 1, ,..., , , ,...,n nx f t C C y g t C C= =

Orice soluie care se obine din soluia general pentru anumite valori particulareale constantelor se numete soluie particular.

Soluiile ecuaiei care nu se pot obine prin acest procedeu din soluia general se

numesc soluii singulare.

In probleme practice, alturi de ecuaia diferenial trebuie considerate i condiii iniiale

( ) ( )

( )

( )

1

0 0 0 1 0

, ' ,..., n

n

y x y y x y y x y

1

= = = (2)

Problema determinrii unei soluii a ecuaiei (1) care s satisfac condiiile iniiale

(2) se numete problem Cauchy.Soluia unei probleme Cauchy (1)+(2) se obine impunnd condiiile iniiale (2)

soluiei generale a ecuaiei (1)

Exemple

1. este o ecuaie diferenial de ordinul I.2' 3y x=

Soluia sa general este ( ) 3: ,y R R y x x C = + . Ea depinde de o singur constant.

( ) 3 1y x x= + , ( ) 3 2y x x= sunt soluii particulare ale ecuaiei pentru c au fost obinute

din soluia general pentru 1C= , respectiv 2C= . Exist o infinitate de soluiiparticulareale ecuaiei.

2. 2' 1y = y este o ecuaie diferenial de ordinul I.

Funcia ( ) ( ): , , sin2 2

y C C R y x x C

+ =

reprezint soluia general a ecuaiei.

4


5/59

( ): , , sin2 2

y R y x

=

x este soluie particular (obinut din soluia general pentru

)0C=

[ ] ( ): 0, , sin cos2

y R y x x

= =

x este soluie particular (obinut din soluia

general pentru2

C = )

Alte soluii particulare se pot obine n acelai mod, pentru fiecare domeniul de definiiefiind altul.

Ecuaia admite soluiile singulare ( )1 1: , 1y R R y x = i ( )2 2: , 1y R R y x = .

3.( ) ( ) ( ) ( )5 4 3 2

2 2y y y y + = 0 este o ecuaie diferenial de ordinul 5.

Soluia sa general este ( ) 21 2 3 4 5: , cos sixy R R y x C C x C e C x C x = + + + + n

n

.

( ) ( ), 3 siy x x y x x= = sunt exemple de soluii particulare.

4. Problema Cauchy( ) ( ) ( ) ( )

'''4 5 '' 4 ' 4 0

0 5, ' 0 2, '' 0 3, ''' 0 24

IVy y y y

y y y y

+ + =

= = = =

are soluia ( ) 22 5coxy x xe x= + s . Aceast soluie se obine din soluia general a ecuaiei

difereniale, anume ( ) 2 21 2 3 4cos sinx xy x C e C xe C x C x= + + + determinnd constantele din

sistemul cu soluia

( )

( )

( )

( )

1 3

1 2 4

1 2 3

1 2 4

0 5

' 0 2 2

'' 0 4 4 3

''' 0 8 12 24

y C C

y C C C

y C C C

y C C C

= + =

= + + =

= + = = + =

1

2

3

4

0

2

5

0

C

C

C

C

= =

= =

O problem important in teoria ecuaiilor difereniale este determinarea soluiei generale aunei ecuaii difereniale date. Acest lucru este posibil numai pentru un numr restrns de

ecuaii. Unele din aceste cazuri sunt prezentate n cele ce urmeaz.

1.2

. Ecuaii difereniale de ordinul I

Ecuaiile de ordinul I au forma ( ), , ' 0F x y y = . Cel mai adesea ele sunt scrise n

form explicit . Soluia lor general depinde de o singur constant.Nu orice ecuaie diferenial de ordinul I poate fi rezolvat analitic.

Din punctul de vedere al rezolvrii exist dou categorii importante de ecuaii :

- ecuaii fundamentale (ecuaiile cu variabile separabile, ecuaiile liniare, ecuaii cu

diferentiale totale)- ecuaii reductibile la ecuaii fundamentale (ecuaii omogene si reductibile la ecuaii

omogene, ecuaii care admit factor integrant, ecuaii de tip Bernoulli, de tip Riccati, de tip

Lagrange, de tip Clairaut etc)

5


6/59

fu

1

Este foarte important cunoaterea algoritmului de rezolvare a ecuaiilor

ndamentale si metodele de reducere a celorlalte ecuaii la ecuatiile fundamentale.

.2.1. Ecuaii cu variabile separabileForma general a ecuaiei este

( ) ( )'y f x g y= (3)unde , :g I R sunt funcii date, continue pe domeniul de definiie.

oluii o

re tegrare.

re:

-

-

S le ecuaiei ( ) 0g y = sunt s luii, de obicei singulare, ale ecuaiei (3).

Dac zolvarea const in separarea variabilelor urmat de in

a

( ) 0g y

Metoda de rezolv

se rezolv ecua ) 0= cu soluiile , ,...,y y y ia g y 1 2 kse scriu soluiile singulare ale ecuaiei :

(

( ) ( ) ( )1 2, , ...,y x y y x y y x y= = = .k

:( )

( )dy

f x dx Cg y

= + - se scrie integrala general a ecuaiei . Se obine astfel forma

imp este posibil) i s

soluiei

- r a ecuaiei (3) care ndeplinete condiia iniial

licit a soluiei.- din integrala general se calculeaz (dac e obine forma explicit a

Soluia perticula

y

( )0 0y x y= este dat de

( ) ( )

0 0x

y

y

xds

f t dt sau se obine din soluia explicit.

O form particu bile este

g= s

lar a ecuaiei cu variabile separa ( )'y f x= . Soluia general a

cestei ecuaii este

cuaie cu variabile separabile)

a ( ) ( )y x f x dx=

Exemple :S se rezolve

1. 2' siny x x= + (e

Soluia general este ( ) ( )3

2 sin cos3

xy x x x dx x C= + = +

2.2 1

' x

y = (ecuaie cu variabile separabile)

Soluia general este

x +

( ) ( )22 21x +1

ln 1x

y x dx x C= = + +

3. ' y

y

x

= (ecuaie cu variabile separabile)

In acest caz ( )1

f xx

= i ( )g y y= , deci ecuaia ( ) 0g y = are soluia i funcia

iei.

aia devin

0y=

( ): { 0y R R y x = este soluie singular a ecua0} ,

Dac 0y ecu e'y

ntegrala ei gener1

y x= i i al este

1dydx=

y x .

6


7/59

Rezult 11 1 1

| | ln ln lnnota

y C C Cln lntie

x x x+= + = = , adic

Cy

x=

Soluia g ( )eneral a ecuaiei este deci : {0} C

y R ,R y xx

=

Forma general a ecuaiei liniare este1.2.2.

Ecuaii liniare

( ) ( )'y P x y Q x= + (4)

tinue pe domeniul de definiie.

Aceast ecuaie se rezolv prin metoda variaiei constantei.

- se rezolv ecuaia omogen

unde , :P Q I R sunt funcii date, con

Metoda de rezolvare

( )'y P x y= care este o ecuaie cu variabile separabile i se

ob C f x .

iind funcie

ine soluia nenul y= ( )

- Se consider constanta Cca f de x , adic se scrie ( ) ( ) ( )y x C x f x=

Se calculeaz (-

) ( ) ( ) ( ) ( )'y x C= +' 'C x f x x f x i se introduce in ecuaia (4). Termenii care

conin pe ( )C x se reduc i se obine o ecuaie mai simpl de fo ( ) ( )'C x g x= rma .

( ) ( )'C x g x= i se obine s- se rezolv ecuaia oluia ( ) ( )C x g x dx K = + se introduc ia lui (- e expres )C x n ( ) ( ) ( )y x C x f x= i se obine form a soa explicit luiei

plic soluiei ecuaieiecuaiei (4).

Observaie: Forma ex it a (4) este

( ) ( )( ) ( )

0 0x

x

0

s P t dtx

x

P t dtx

y x K Q s e ds e = +

.

Aceast expresie se obine folosind algoritmul anterior dar e dificil de memorat i de aceea se

recomand folosirea algoritmului pentru rezolvarea fiecrei ecuaii.

/ 2y a = (ecuaie liniar)

n N

Exemplu: S se rezolve problema Cauchy' 2 siny y ctgx x x= +

( )

Funcia ctgx nu este definit in punctele n , . Din cauza c a cuta

soluia general a ecuaiei pe intervalul

ondiiei iniiale se v

( )0. .

gen ralEcuaia omogen 'y y ctgx= are integrala ecosdy x

dx= .siny x

Rezult ( )1ln | | ln | ln | sin |y x C x= + care d solsin | C = uia ( ) sinxy x C= Se aplic variaia constantei, adic se consider ( ) ( )siny x C x x= .

nd s ogen obinemIntroduc n ecuaia neom( ) ( ) ( )' ' sin coy x C x x C x x= +

( ) ( ) ( )cos

sin 2x

x x= +' sin sinC x x C x x+ . Termenii coninnd factocossin

x C xx

rul ( )C x se reduc

i se obine ecuaia ( )' 2C x x= cu soluia ( ) 2C x x K = + .

Introducnd aceast expresie n forma lui ( )y x obinem soluia general a ecuaiei, anume

7


8/59

( ) ( ) ( )2: 0, , siny R y x x K = + x unde K R e

= re

ste o constant arbitrar.

Din condiia (y a zult)/ 22

sin4 2

K a

+ =

, adic2

4K a

= . Deci soluia

problemei Cauchy este )( ) (

22

, sin4y x a x

+ : 0,y R x

=

Ecuaii cu d otaleForma general a ecuaiei este

.

1.2.3. ifereniale t

( ) ( ), ,P x y dx Q x y dy 0+ = (5)

unde sunt funcii date, de clas pe domeniul i satisfac relaia,P Q 2C 2D R P Q

y x

=

.

Rez aptul c exist funcii de forma

0, ,

x

U x y P t y dt = +

astfel nct

olvarea ecuaiei se bazeaz pe f

( ) ( ) ( ),y

Q x t dt

0 0x y

( ) ( ) ( ),x yde relaia (

, ,dU P x y dx Q x y dy= + . Soluia ecuaiei (5) va fi dat n forma explicit

),U x y C = .

Metod de rezolvare

- ie ise identific n ecua P Q

( ),P x y ( ),Q x y i se verific egalitateay x

=

se determ a U- in funci

- ub form implicit ( ), 0U x y = . Dac este posibil, din aceast

ie de

se scrie soluia ecuaiei s

egalitate se afl y n func x i se ob luiei.

Exemplu :

ine forma explicit a so

S se determine solu ia general a ecuaiei ( ) ( )2

1 3x y dx x y dy 0+ + + + = .

nI acest caz ( ), 1P x y x y= + + i ( ), 3Q x y x y2= + i 1x

P Q

y

= =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3y yx x x y2, ,0 , 1 3U x y P t dt Q x t dt t dt x t = + = + + +

0 0 0 0

32 3

dt x xy y= + + + .

al a ecuaiei este dat sub form implicit de relaiaSoluia gener2 3

32 3

x yx y xy C+ + + = .

Aceast ecuaie nu poate fi rezolvat analitic n raport cu necunoscuta , deci nu se poate

1.2.4. Ecuaii reductibile la ecuaii fundamentale

y

preciza forma explicit a soluiei.

Numele

Ecuaiei

Forma

general

Metoda de reducere la ecuaii fundamentale

Omogen ( )' /y f y x= Prin schimbarea de variabil ( )

( )y xz x

x= se obine

o ecuaie cu variabile separabile

8


9/59

Reductibil

ecuatie

omogena

la ' ' ' '

axy f

=

by c

a x y c

+ +

+ +

- dac

b

/ ' / 'a a b b se rezolv sistemul

de ecuaii0

' ' ' 0

ax by c

a x b y c

+ + =

+ + =uia

care are sol ( )0 0,x y

Prin schimbarea de variabile 0 0,x u x y v y= + = +

se obine o ecuaie o ndependentmogen cu variabila i

cunoscut .i funcia ne

- dac / '

v

/ 'a a b b= se folosete substituia z ax b= +

i ecuaia se transform ntr-o ecuaie cu variabilseparabile

Ecuaii ceadmit facto

integrant

( ) ( ), ,P x y dx Q x y dy+ 0=

cuP Q

y x

dar pentru

care exist factoru

( ),x y

a..

( ) ( )P Qy x

=

,Dac factorul integran ( )t x y poate fi determina t

atunci ecuaia ( ) ( ) ( ) ( ), , , , 0x y P x y dx x y Q+

te o ecuaie cu diferenial total

- dac ( /P

x y =

es

y Q x Q/ ) / depinde doar de x atunc

( )x = satisface ec./ /P y Q x

- dac

'Q

=

( )/ / /Q x P y P depinde doar de

atunci ( )y = satisface ec./ /Q x P y

'P

=

Bernoulli ( ) ( )'y P x y Q x y= + Prin schimbarea de funcie 1z y = se obine

ec r. Soluia ecuaieuaie linia i iniiale este 1y z=

Riccati ( ) ( )

( )

2'

0

y P x y Q x y

R x

+ +

+ =

+ Aceste ecuaii se pot rezolva numai dac se cunoatmcar o soluie particular a lor :

soluie- dac se cunoate o ( )1y x , pri

transformarea 1 1/y y z= + se obine o ecuaie liniar

i neomogen- dac se cunosc dou soluii i , pri1y 2y

schimbare de funcie 1

2

y yz

y y

=

se obine o ecuai

liniar i omogen.

i- dac se cunosc trei soluii 1 2, ,y y y atucn solu3 i

se obine direct din relaia

3 11

2 3 2

:y yy y

Cy y y y

=

Lagrange ( ) ( )' 'y x A y B y= +

unde ( )' 'A y y

S z

S funcia necunoscut

e deriveaz ecuaia i se notea .

e obine o ecuaie liniarcu

'y p=

x

variabila independent .

Aceast ecuaie are solutia de forma

p

( )x x p= iar soluia general a ec. anLagr ge se d

form parametric( )

(

x x p =

) ( )y x p A p B= + ( )p

9


10/59

Clairaut Soluia g( )' 'y xy B y= + eneral este ( ) ( )y x Cx B C= + .

Ecuaia admite i soluia (parametric) singular

( )'x B p = ( ) ( )'y B p p B p= +

Exemple : S se determine soluiile generale ale urmtoarelor ecua

1.

ii :2 2'xy y x y = + (ecuaie omogen)

Pentru 0x ecuaia se scrie2

' 1y y

yx x

= + +

. Cu schimbarea de v

ariabil ( ) ( )y x

z xx

= ,

cadi , ecuaia devine ( ) (( ) ( )y x x z x= ) ( ) ( )2'z x xz+ 1x z x z x= + + , care este o ecuaie cu

variabile separabile, anume ( ) 21

' 1z x zx

= + . Integrala general a ecuaiei este

21

1dz dx

xz= , a

+ dic (

2ln 1z z+ + lt) ( )1ln | | ln | |x C C x= + = . Rezu21z z Cx+ + = deci

soluia general a ecuaiei este

( )2 2 1

: {0} ,2 | |

C xy R R y x x

C x

=

2. ( ) ( )2 3 1 3 ' 0x y x y y+ = (ecuaie reductibil la ecuaie omogen)

Ecuaia se scrie sub forma2 3

'3

1x yy

x y

+ =

. Sistemul

02 3 1

1 0

x y

x y

+ =

=are solutia unic

2

1

x

y

=

= .

face substituia iSe se obine ecuaia omogen2

1

x u

y v

= +

=

( ) ( )2 3 'u v v u v 0+ + = cu funcia

necunoscut v . Notndv

z= uu

, adic v z= ecuaia se reduce la ecuaia cu variabile

separabile21 2

' z z

z = . Integrala general a acestei e2

1u z

+ +

cuaii este

2

1 1

2 2

zdz du=

uz z

+ +

Calculnd cele dou integrale obinem

.

( )( )

2 2 22 1 ln

z zarctg z u C

+ +ln

2 + = + .

Tinnd cont c1

2

v yz

u x

+= =

se obine soluia general sub form impl

( ) ( )(

(

icit

) ( )

)

2ln 1 2 2y x y

2 11 2 2 4 0

2

x yx arctg

x

+ + + =

.

a soluiei nu

+ +

Forma explicit se poate determina.

3. ( ) ( )4 6 4 2 ' 0x y y+ + = (ecuaie reductibil la ecuaie omoge3 6 9x y+ n)

Ecuaia se scrie sub forma( )4 6 4

'3 6 9 2

x yy

x y

+ +=

+ .Deoarece

4 6

' 18 ' 27

a b

a b= = = se va folosi

stituiasub 2 3x y z+ = . Din2z

3y=

xrezult

' 2'

3

zy

= . Ecuaia devine

' 2

3

z=

2 4

9 6

z

z

+

adic

10


11/59

8'

3 2

zz

z=

. Aceasta este o e e separabile rie sub formacuaie cu variabil care se poate sc

3 1'

8 4z

z

eneral a acestei ecuaii conduce la relaia

1= .

Integrala g

3 1

ln8 4z z x C = +

. Tinnd cont dese obexpresia lui ine soluia general a ecuaiei iniiale, soluie scris sub form implicit :z

( ) ( )2

3 2 3 ln 2 3 8x y x y x C+ + =

4.4

'y y x yx

= + (ecuaie de tip Bernoulli)

In acest caz 1/ 2= . Se folosete substituia 1 1/ 2 1/ 2z y y= = . Rezult 2y z= i ' 2 'y z z= .

Ecuaia devine 24

2 'z z z xzx

= + adic4

2 ' 0z z z xx

=

Din solu luia singlar 0y

.

ia rezult so0z= = .

Ecuaia liniar2

'2

xz z= + are soluiax ( )

21

ln2

z x x K x

= + care conduce la

( )2

4ln2

y x x1

x K

= +

2xy x+ + e admite factor integra

In acest caz

.

5. ( )24 3 3 0x y y dx dy+ + = (ecuaie c nt)( )( ) 2, 4 3 3P x y x y y= + + i ( ), 2Q x y xy x= + .

6 3P

yy

= + i 2 1

Qy

x

= +

. Deoarece

P Q

y x

ecuaia nu are diferenial total.

Totui2

P Q

y

ai dexQ x

= depinde num x , deci se poate alege un factor integrant de forma

( )x = . El va satisface ecuaia2

'x

= care este o ecuaie cu variabile separabile cu

soluia ( ) 2x x = . Din nmulirea cu 2x a ecuaiei iniiale se obine ecuaia cu diferenial

total

( ) ( )3 24 3 0x x y+ = .

0 0

,

yx

2 2 2 33 2y x y dx x y x d+ + +

Funcia ( )3 2 3 4 2 2 34 2( )x y dU

im i deci

t dt x t x t x x y x y= + + = + + . Soluia ecuaiei, scris sub form

plicit va f4 2 2 3

x x y x y C+ + = .

6.2

2

3 3' 0y y

x+

b) tiind c admite 2

3

1 2

1 1 1

x xy

x x =

(ecuaie Riccati)

a) tiind c admite soluia

soluiile 1y x x

21y x=

( )= i ( )2 1/y x x=

c) ) 2xtiind c admite trei soluii 1y x( = , ( )2 1/y x x= i ( )3 1y x x= +

11


12/59

a) Dac se cunoate num iaai solu se face schimbarea de variabil1y21y x

z= adic

2

1' ' 2y z x

z= .

Se obine ecuaia ( )

2

3 2 2 21 1 1

1 ' 2 0x z x x x x

+ = d dup2 2x z zz in care,

efectuarea calculelor rezult ecuaia liniar2

3 3

3 1' 0

1 1

xz z

x x+ =

cu soluia

3 1

k xz

x

+=

.

Rezult21 kx

yx k+

b) Dac se cunosc dou soluii se face substituia

= .

2

1/

y xz

y x

+=

+ adic

( )

3

1

z xy

x z

=

i

( ) ( ) ( )( )

( )

2 3z x x z z x z xzy

= . Introducnd aceste expresii n ecuaia diferenial

obinem (dup calcule) ecuaia liniar

22

' 3 1 1 ''

1x z

' z

zx

= care are soluia z cx= . Rezult2

cea de la a) dac considerm 1/c k= .

c) dac se cunosc 1 2 3, ,y y y , soluia genera e obine direct din formula

1

c xy

cx

=

.

Observm ca soluia obinut coincide cu

l s 3 11 :y y

y y2 3 2

y yk

y y

=

de unde rezult2

1

x ky

= .

kx

7. (ecuaie de tip Lagrange)

Prin derivarea ecuaiei se obine

( )2

' 'y x y y=

( )2

' ' 2 ' '' ''y y xy y y= + . Se noteaz i se ajunge

cuaia 2

'y p=

la e (2 1) 'p p px p= n care p este fu ncie de x . Dac se consider x ca funcie de

p erseaz aplica p ' 1/ '(se inv ia ) i se ine cont de faptul c x p= (din formula de derivare a

ciefu i inverse) se obine ecuaia liniarn( )

2'

xx

10

1 1p p p+ =

pentru ( )1 0p p .

Rezult (

) ( )ln / 1x C p p= + i soluia ecuaiei este data parametric prin

( ) ( ) ( ) ( )2ln / 1 , ln / 1x C p p y p C p p= + = + p

= iPentru p 0 1p= se obin dou soluii singulare : y K= i y x L= + . Inlocuind

aceste funcii n ecuaia iniial se obine 0K= , respectiv L 1= . Deci solu particularevor fi 0y= i 1y x= .

8. (ecuaie de tip Clairaut)

iile

( )2

' 'y xy y=

12


13/59

Soluia general este 2y Cx C= (vezi tabelul anterior) icular este

dat pa etric2x p=

=

i o soluie part

ram dey xp p

.

erciii propu

uaii difer

(liniar) R :

2

Ex se

S se rezolve urmtoarele ec eniale sau probleme Cauchy:

1. ' / 0y y x = 2y Cx x= +

2. 3' 2 /y y x x = (liniar) R : 4 2/ 6 /y x C x= +

3. ( )' 0,xxy y e y a b+ = = (liniar R : ( )/xy e x a= /ab e x

4.

) ( )2 1 0, 0 0x y = = (liniar

(' / 1y y x ) R :

( ) (21 1arcsin , 1,1xx x xx

+12 1

y x= +

5. ( )2'cos , 0 0 (liniary x y tgx y+ = = ) R : /cosy x x= , [0, / 2)x

6. 3'xy y y = li) R : (Bernoul 2 2/ 1y Cx C x=

7. ( ) 2 ' 0x y y x y = (omogen) R : ( )1/ ln | |y x C= +

8.

( )

21 'x y xy ax + = p) (cu var. se R : 2 1y a C x= +

9. 3 (liniar)' 2 / 2xy y x = R : 3 2/ 2y x Kx= +

10. (liniar)3' 2y xy x = R : ( )22 1 / 2 xy x Ce= +

11. ' lnxy y x = Cx (liniar) R : ln 1/(2 )y x x= +

12. ( ) ( )2 23 6x xy d+ ale2 36 4 0x x y y dy+ + = ( dif. tot R : 3 2 2 33x x y y C+ + =

13. ( ) ( )2 0x y dy+ = ( dif. totale)x y dx+ + R : 2 22 2x xy y C+ + =

14. ( )' ,xy y y= 1 0= (cu var.sep.) R : 0y=

15. ( )' , 1xy y y= =1 (cu var.sep.) R : y x=

13


14/59

1.3

Ecuaii difereniale liniare de ordin superior

O problem i cu ren le de ordin mai mare ca 1.

Sunt puine ecuaiile pentru care se poate preciza forma analitic a soluiei. Cel mai frecvent

ate sunt ecuai Forma general a ecuaiei liniare de ordin este

nportant este rezolvarea e aiilor dife ia

utiliz ile liniare.n

( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 ....n n

ny a x y a x y f x

+ + + = (6)

Ecuaia liniar omogen asociat ecuaiei (6) este( ) ( ) ( ) ( )11 .... 0n n

ny a x y a x y

+ + + = (7)

- se rezolv ecuaia omogen i se obine soluia

-

Teorem : Soluia general a ecuaiei (6) este suma dintre soluia general a ecuaieiomogene ataat i o soluie particular a ecuaiei (6).

1.3.1. Ecuaii cu coeficieni constani

Metoda de rezolvare a ecuaiei liniare cu coeficieni constani:G

se determin o solutie

y

Py a ecuaiei neomogene

- se scrie soluia general a ecuaiei neomogene G Py yy= + .

A1)Rezolvarea ecuaiei omogene

Forma general a unei ecuaii cu coeficieni constani este( ) ( )1

1 ...y a y+ + + 1 ' 0n n

n na y a y

+ = (8)

eo soluii al ecuaiei (9),

atuy (9)

nd n

rea unul sistem fundamental de

entru ecuaiileliniare.

T em fundamental derem : Dac n soluii 1,... ny y formeaz un sist

uanci soluia general a ec iei are forma= + + +1 1 2 2 ...y C y C y C

e , ,...,C C C R sunt constante arbitrare.n n

u 1 2

Problema rezolvrii ecuaiei (9) se reduce deci la determina

soluii. In cele ce urmeaz prezentm principalele metode de rezolvare p

O soluie a ecuaiei se caut sub forma ( ) x

y x e

= , prin analogie cu cazul 1n= . Prin nlocuire

n ecuaia (8) se obine, dup simplificarea cu xe , ecuaia caracteristic1n na a + +1 1... 0n na+ + = (10)

Teorem : Fie 1 2, ,..., n soluiile ecuaiei (10).

dac 1 2, ,... na) sunt reale i distincte ale ecuaiei (10), atunci1 2, ,..., n

xx xe e e sunt so

liniar in

luii

dependente ale ecuaiei (8).

b) Dac 1 este rdcin real cu ordinu tiplicitate p pentru ecu (10), atunci

1xe

l de mul aia , 1xxe , , 11 xpx e sunt p soluii liniar independenteale ecuaiei (8).

14


15/59

1 a ib = + este rdcin complex de ordinu atuncil p a ecuaiei (10)c) Dac

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )2cos , sin

..................

ax2

cos ,

ax

xe bx

( ) ( )1 1cos , sin ax n ax

cos , sin

sin

...........................................

n

ax ax

ax ax

e bx e bx

xe bx

x e bx x e bx

x e bx x e bx

ii liniar independente ale ecuaiei (8).sunt solu

Sistemul fundamental de soluii se obine prin reunirea soluiilor liniar independentecorespunztoare tuturor rdcinilor ecuaiei (10), iar soluia general a ecuaiei (8) se obine

folosind formula (9) .

Exemple :S se determine soluia general a urmtoarelor ecuaii :

1.

Ecuaia caracteristic este 0 i are soluiile

''' 6 '' 11 ' 6 0y y y y + =

3 26 11 6 + = 1 2 31, 2, 3 = = = , Se aplice (trei) soluii format din ,

e=

a) din Teorem i se obine sistemul fundamental d 1xy e= , 22

xy e=3

3xy . Soluia general este

( ) 2 31 2 3x x xy x C e C e C e= + +

2. ''' 3 '' 3 ' 0y y y y+ + + =

Ecuaia caracteristic este 3 23 3 1 0 + + + = i are soluiile 1 2 3 1 = = = . Se aplic b) din

rem pentru at din

iar soluia general e

Teo 3p= . Sistemul fundamental de (trei) soluii este form2

1 2 3, ,x x xy e y xe y x e= = = , ste

( ) 21 2 3x x xy x C e C xe C x e= + +

4 ' 5 0y y+ = 2

3. y +

Ecuaia caracteristic este 0 i are soluiile

''

4 5 + + = 1 2 i = + i 2 2 i = deci se

ic c) din Teorem pentru . Sistemul fundamental de (dou) soluii este

cosx x xy e= eneral este

apl 2, 1, 1a b p= = =

format din soluiile 1y e= inx iar soluia g

(

2 i 22 s

) 2 21 2cos sinx xy x C e x C e x = +

4. IVy y y y + +

Ecuaia caracteristic este 0 cu solu le

0y= 4 ''' 5 '' 4 ' 44 3 24 5 4 4 + + = ii 1 2 2 = = , 3 i = i 4 i = .

ia general esteSolu

( )

2 2

1 2 3

cosC xe C x+

A2) Determinarea unei solu ecuaiei neomogene

4

sinx xy x C e C x= + +

ii particulare a

Forma general a ecuaiei neomogene cu coeficieni constani este

( ) ( ) ( )11 1... 'n n

n ny a y a y a y f x

+ + + + = .

15


16/59

Nu exist metode generale de determinare a unei soluii particulare dar, n unele cazuri

simple, se pot folosi rezultatele urmtoare :

a) Dac ( ) ( )f x P x= este un polinom de grad katunci soluia particular este un polinom

de acelai grad, cu coeficieni necunoscui care se vor determina prin nlocuirea n ecuaie.

b) Dac ( ) ( )axf x e P x= unde este un polinom de grad exist dou situaii

- nu este rdcin a ecuaiei caracteristice soluia particular se caut sub

( )P x k

Dac a

( )axfoema Py e Q x= , unde Q este un polinom de grad kcu coeficieni necunoscui

- Dac a exte rdcin de ordin ra ecuaiei caracteristice atunci soluia particula

caut sub forma (

r se

)r ax , unde este un polinomPy x e Q x= Q de grad cu coeficieni

necunoscui

c) Dac

k

( ) ( ) ( ) ( )( )ax cos sin( )f x e P x bx Q x bx= + atunci exist de asemeni dou situaii- ac solu cautD nu este ie a ecuaiei caracteristice soluia particular sez a bi= +

sub forma ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )cos sinaxpy x e S x bx T x bx= + , unde ( )R x i ( )S x sunt polinoame c i avand drept grad cel ma mare dintre gradele lui Pi

cu

oefic iieni necunoscu Q

- Dac z a bi= + este soluie de ordin ra ecuaiei caracteristice soluia particular se

caut sub forma ( )( ) ( ) ( ) ( )cos sinx x T x bx+ , unde( )r axpy x x e S b= ( )R x i ( )S x suntpolinoame cu coeficieni necunoscui avand drept grad cel mai ma

.

x

re dintre gradele lui P

i Q

Exemple : S se determine cte o soluie particular pentru urmtoarelor ecuaii :

5. '' 2 'y y y=

Funcia (

+

)f x este un polinom de gradul I, deci soluia particular se caut sub forma( )Py x ax b= + . ( )'y x a= iAtunci ( )'' 0y x = . Introducnd n ecuaie obinem

0 2a ax b x + + = 1ai din identificarea co ilor rezulteficien = i, adic b Soluia

particular este ( ) 2Py x x= + .

Sol ia

2= .

u general a ecuaiei este ( ) 1 2 2x xy x C e C xe x= + + +

6. '' 2 '

oarece ( ) ( )1x x

xy y y xe + =

De f x e e P x= = se ncadreaz la b) pentrux ( )1,a P x x= = i 1a= este rdcin

Atunci 'y x e=

dubl a e ei caracteristice , soluia particular se va cuta sub forma

( ) x B= + .

( )3 2 23 2x Ax Bx Ax x+ + + i ( )

cuai

( )2 xPy x x e A

( ) ( )3 2 2'' 6 4 6 2xy x e Ax Ax Ax B= + + + +Introducnd n e

Bx Bx+ .

cuaie obinem ( )6 2x xe Ax B xe+ = . Din identificarea coeficienilor se obine

uia particular este deci

Soluia general a ecuaiei este

1/ 6A = i 0B= .

Sol 3 / 6xPy x e= .

( ) 31 2 / 6x x xy x C e C xe x e= + + .

7, '' siny y x x+ =

16


17/59

Funcia ( ) ( )0sin 0 cx os sinf x x x e= = a c) pentrux x x+ se incadreaz l ( )0, , 0P x1a b= = = i

( )Q x x= . Deoarece 0z i= + este soluie a ecuaiei caracteristice 2 1 0+ =

a

, soluia particular

mse va cuta sub for ( ) ( )0 cos sinxPy xe Ax B x Cx D x = + + + . Inlocuin n ecuaie i

nd coeficienii se obine sistem

C B= = cu solu 0, 0, 1/ 4C D= = = = . Soluia perticular este deci

identific ul

2 2 2 0, 4 1A D C A+ + = = ia 4,A B 2

0, 4 0, 21/ cos / 4 sin / 4x x x x + .

Soluia general a ecuaiei este ( ) 21 2cos sin cos / 4 sin / 4y x C x C x x x x x= + +

iabili

entru determinarea soluiei genera eficieni variabili nexista me

soluii pa ate fol

iei omogene

1.3.2. Ecuaii cu coeficieni var

P le a ecuaiei omogene cu co utode generale. Dac ns aceast soluie poate fi precizat, pentru determinarea unei

rticlare se po osi metoda variaiei constantelor.

Teorem: Fie 1 1 2 2 ... n nC y C y C y+ + + soluia general a ecua( ) ( ) ( )11 1... ' 0n n

n ny a x y a y a y

+ + + + = .

2, ,..., nC x C x satisfac si

( )

2 2

2

' .... ' 0

' .... ' ' 0

.......................................................................

n n

n n

C x y C x y

C x y

f

+ + =

+ + =

=

Dac (1C x stemul) ( ) ( )

( )1 1'C x y + ( ) ( )

( ) ( )1 1 2' ' 'C x y C x y+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

1 1 2 2

1 1 1

1 1 2 2

' ' .... ' 0

' ' .... '

n n n

n n

n n n

n n

C x y C x y C x y

C x y C x y C x y

+ + + =

+ + + ( )x

atunci( ) ( ) ( ) ( )1 n n

y x C C x y= este soluie a ecuaiei (7)1 2 2

...x y C x y+ + +

Exemplu : S se determine soluia general a ecuaiei '' ' , 0xy y x x+ = >

. Ecuaia omSe noteaz ogen asociat este'y z= ' 0xz z+ = .Rezult 11

z Cx

= adic

Se folosete metoda variaiei constantelor pentru( )1 2lny C x C= + ( )1 lny x x= i ( )2 1y x = .

Sistemul devine

( )

( )

1 2

1 2

' ln ' 0

1' ' 0

C x x C

C x C xx

+ =

+ =

cu soluiile( )

( )

21

22 ln

C x x

C x x x

=

=

. Rezult( )

( )

3

1

3 3

2

3

ln

3 9

xC x A

x xC x x B

= +

= + +

.

Soluia general a ecuaiei este

( )3

ln9

xy x A x B= + + .

Observaie: Metoda variaiei constantelor poate fi folosit si pentru determinarea

rticu ien i atunci cnd funciasoluiilor pa lare ale ecuaiilor omogene cu coefic i constan

( )f x nu se nc caz solui neral aadreaz n situaiile prezentate anterior. In acest a ge

ecuaiei omogene se obine prin procedeul cunoscut.

17


18/59

Exemplu: S se determine soluia general a ecuaiei '' 2 'xe

y y yx

+ = , 0x> .

Soluia general a ecuaiei omogene este ( ) 1 2xC e C x xGy x e= + . Se aplic variaia constantelor

pentru .( )1xy x e= i ( )2

xy x xe=

Sistemul obinut este( )

1 2' xC e C

1 2' 'x

x x x eC e C e xe

' 0xxe

x

+ =

+ + =

cu soluiile( )

( )2 lnC x x B

1C x x A = +

= +.

ia general a ecuaiei este (Solu ) ( ) ( )lnx xy x x A e xe x B= + + + .

Exerciii propuse : Determinai soluiile generale ale urmtoarelor ecuaii :

R :1.2'' 4 ' 4y y y x + = ( ) ( ) ( )2 21 2

12 4

6

xy x C C x e x x 3= + + + +

2. 2'' 6y y + ' y x+ =

R : ( )/ 2 2

1 2

3 3

cos sin 2 62 2

x x x

y x e C C x x

= + + + +

3. 2'' 2 ' xy y y e+ + = )R : ( ) ( 21xy x C e= 2

1

9

xC x e+ +

4 R :'' 8 ' 7 14y y y + = ( ) 71 2 2x xy x C e C e= + +

( ) 1 22

x x xxy x C e C e e= + + 5. '' ' xy y e = R :

6. 2'' ' 6 xy y y xe+ = ( ) 2 3 2

1x x xx R : 1 210 25

y x C e C e x e= + +

7. '' cosy y+ = xR : ( ) 1 2

1cos sin sin

2

y x C x C x x x= + +

8. 2'' siny y x+ = R : ( ) ( )1 21

cos sin cos 26

y x C x C x x= + +

9. 0''' 13 '' 12y y y + = R : ( ) 121 2 3x xy x C C e C e= + +

10. ''' 0y y = R : ( ) / 21 2 3

3 3cos sin

2 2

x x x xy x C e e C C

= + +

11. 4 0IVy y+ = R : ( ) ( ) ( )1 2 3 4cos sin cos sinx xy x e C x C e C x C x= + + +x

12. e2 ''' ''IV xy y y + = R : ( )

2

1 2 3 42

xxy x C C x C C x e

= + + + +

13. '' 2 'xe

y y yx

+ + = , 0x> R : ( ) ( )1 2 ln

x xy x C xC e xe x = + +

14. 22 3'' 2 ' 2 2 sin 2x y xy y x + = + ogen are soluiaR : ec. om ( ) 21 2y x C x C x= +

( ) 2 21 21 sin 2 / 2 cos2C x C x x x x= + + y x x

15. ' ( )2 '' 4 2 ln 1x y xy y x+ + = + ogen are soluiaR: ec om ( )2

By x

x x= +

18


19/59

( ) ( )

( )2

1 2

2 2

1 3 3ln 1

2 42

xC Cy x x

x xx x

+= + + +

Sisteme de ecuaii diferForma general a unui sistem de ecuaii difereniale este

1.4. eniale

( )

( )

1 2

1 2, , ,...,

n

nx y y y

( )

1 1

2 2

1 2

, , ,...,

'

........................................

' , , ,...,n n n

y f x y y y

y f

y f x y y y

= =

(11)

nde

' =

u 1 2, ,..., nf f f sunt funcii date, continue pe un domeniu din1nR + .

problem Cauchy este format dintr-un sistem de ecuaii difereniale i un set de condiii

iiale,

O

in( ) ( ) ( )1 0 1 2 0,y x a y x= 2 0,..., n na y x a= = (12)

,..., ny care verific sistemul.

Se poate arta c orice sistem de ecuaii difereniale este echivalent cu o ecuaie

diferenial de ordin , deci soluia sa poate fi aia de ordin ataat

prin metoda substituiei ( se deriveaz una din ecua ori, celelalte de

ori i se eleiminaa funcii necunoscute).

O soluie a sistemului (11) este format din funciile 1,y y

2

n

n gsit rezolvnd ecu

iile sistemului de

n

1n 2n 1n

Exemplu : S se rezolve sistemul'y z=

'z y=

Derivnd prima ecuaie obinem '' 'y z

.

= . Inlocuind aici 'z y= (din a doua ecuaie asistemului) oninem ecuaia de ordinul II '' 0y y+ = cu soluia ( ) 1 2cos siny x C x C x= + .

Rezult ( ) 1 2sin cosz x C x C x= + .

1.4.1 Sisteme liniare i omogene de ecua i difereniale cu coeficieni constaniForma general a sistemului este

1 11 1 12 2 1

21 1 22 2

' ...

...

n ny a y a y a y

a y a y a

= + + +

= + + + (12)

i

2'

' ...

n ny y

y a y a y a y

= + + +

2

1 1 2 2n n n nn nSistemului (12) i se asociaz matricea coeficienilor, anume

...................................................

( )ijA a .

Dac no ( )

=

tm 1 2, ,..., nY y y y

= ( )i 1 2' ', ',..., 'nY y y y

= atunci sistemul se scrie n forma

tem de omatriceal

'Y A Y= i rezultatele prezentate la ecuaii difereniale (care reprezint un sisscut, adic 1nsingur ecuaie cu o singur necuno = )se generalizeaz pentru n arbitrar.

19


20/59

Soluiile fundamentale ale sistemului vor fi cutate sub forma ( )1 2 .... ix

i i i niY e

= unde i

sunt valori proprii a matricii , adic soluiile ecuaiei caracteristice a sistemului :

11 12 1

21 22 2

1 2 ...n n nna a a

...

... 0

n

n

a a a

a a a

= (13)

.

iar constantele ij trebuiesc determinate din sistem. Soluia general a sistemului este

1 1 2 2 ... n nY C Y C Y C Y = + + + (14)

Exist urmtoarele situaii im ortante :

- Dac ecuaia caracteristic (13) are soluiile reale i distincte

p

1 2, ,..., n i 1 2, ,..., nV V V

sunt vectorii corespunzt lori atunci soluia sistemului esteori acestor va

( ) 1x xx C V e 21 1 2 2 ... nx

n nY C V e C V e= + + +

-

Dac ecuaia caracteristic (13) are soluii multiple (reale sau complexe), fiecare soluiecu ordinul de multiplicitate contribuie n suma (14) cu termeniip

1 1xY V e= , 2 1 2

1!

x xY e V V

= + , ,( )

1 2

...p p

x x x xY e V V V V

= + + + +

unde unt vest ali corespunztori valorii proprii

1 2 1( 1)! 2 ! 1!

p p pp p

1 2, ,... pV V V s orii proprii princip

Problema rezolvrii sistemului (13) se reduce deci la determinarea valorilor proprii ai

am tricii i a vectorilor proprii corespunztori acestor valori.

olvare :Metoda de reza) Se scrie matricea A a sistemului.

b) Se determin valorile proprii ale matricii rezolvand ecuaia (13)entru fiecare valoare propriec) P se determin vectorii proprii (atia ci t e ordinul de

multiplicitate al lui i i se scr iile corespunztoare luiiu solu i

d) Se scrie sistemul fundamental de soluii al sistemului

=

e) Se scrie soluia general

Exemple : S se determine soluia general a sistemelor urmtoare

' 3y y y y +

1. 2 1 2 3' 5y y y y

= + 1 1 2 3

3 1 2 3' 3y y y y = +

a) Matricea sistemului este 1 5 1

1 1 3

A

3 1 1

=

20


21/59

b) Valorile proprii ale matricii A sunt soluiile ecuaiei

3 1 1

1 5

1 1 3

0 =

adic

1 2 = , 2 3 = i 3 6 = .

c) Valoarea 1 are ordinul de multiplicitate 1, deci va avea un singur vector propriu

principal, ( )1 1 2 3, ,V = care verific ecuatia

33

1 1

2 2

3

3 1 1

1 5 1 2

1 1

=

.

Din rezolvarea sistemului compatibil nederminat cu un grad de libertate

1 2 3 3

3 2

3 2

1 2 3 1

1 2 3 25 3 2

+ =

+

+ =

ee obine soluia

=

0

. Se d lui

o valoare particular, de exemplu 1= i obinem

. In mod asem inem 1

1

0

1

V

=

ntor ob 2

1

1

1

V

=

i 3

1

2

1

V

=

corespunztor valorilor 2 i

3 .

d) Sistemul fundamental de soluii este 0 0

1

x

x

Y e

e

21 xe 2

1

2

= =

, x

x

Y e

e

=

, x

x

Y e

e

=

.

e) Soluia general este 3

x

x x

x x x

C e

y C e C e

y C e C e C e

+=

= + +

2.

3

1

2

'

'

y y y

y y y

= +

= +

.

Matricea sistemului este . Ecuaia caracteristic , 0

3xe

6xe

2 3x xy C e C e = +

32

3

63

6

2

61 1 2 3

3 62 2

2 3 63 1 2 3

2

'y y y= + 1 2

2 3

3 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

A

=

3 3 2 = are rdcinile

1 2 = i 2 3 1 = = . Un vector propriu al lui 1 este . Subspaiul valorii proprii1

1

1

1

V

=

21


22/59

2 3 = are dimensiunea 2. Vectorii proprii satisfac ecuaia 1 11 1

2 2

3 3

0 1 1

0 1

1 1 0

=

, adic

ul cu dou grade de nedeterminare

1 2 3

1 2 3 sistem1 2 3

0

00

+ + =

+ + = + + =. Alegnd 1 21, 0 = = se obine

3* 1 = i pentru 1 2* 0, * 1 = = se obine 3* 1 = . Cei doi vectori proprii principali vor fi

0

1

V

=

1

V =

.

2 2x xe C V e C

2

1 0

Soluia general a sistemului este 1 1 3 2 3( )Y C V xV V e

i 3 1

2 x + + adic

2 3

23 1 2 3 1

x x x

x x x

y C e C e C xe

y C e

y C e C e C x e

=

= +

= + +

1.4.2. Sisteme liniare neomogene

= +

21

x xC e .

( )

21 1 2 3

Forma general este ( ) ( ) ( )'Y x A Y x F x= + (14)

Ca i n cazul ecuaiilor liniare neomogene, soluia general a sistemului neomogen estesuma dintre soluia general a sistemului omogen si o soluie particular a sistemului

neomogen.

Pentru determinarea soluiei particulare se poate folosi metoda variaiei constantelor.

oluia sistemului omogen asociat lui (14) atunci oTeorem :Dac 1 1 ... n nY C Y C Y = + + este s

soluie particular a acestuia este ( ) ( )1 1 ...P n nC x Y+ unde funciile (Y C x Y = + ) ( )1C ,..., nx C x

satisfac ecuaia

( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 2 2' ' ... 'n nC x Y C x Y C x Y F x+ + + = (15)

Din ecuaia (15) se calculeaz ( ) ( )1 ' ,..., 'nC x C x i apoi, prin integrare se obin 1 2, ,...C C , nC .

e :

1.4

' 3 / 2

Exerciii propuse1 S se rezolve sistemele urmtoar

' 2 4 1y y z ( ) 2 3 21 2x xy x C e C e x x= + + + , 2 3 21 2 / 4 /

x xz C e

2

z y z x

+

+ =

R :+ + = C e+ x=

2.' 2 siny y z x+ + =

R : ( )' 4 2 cosz y z x =

( )3 1

cos sin , sin 'y x x x z x x y = 21 2 28 8

x xC e C e y= +

3. 'z u

= R : ( )

'y z=

'u y =

/ 2 / 21 2 3

3 3cos sin

2 2

x x xx xe C e y x C e C= + +

y x

u x z x

=

=

( )z x ( )

( ) ( )

'

'

22


23/59

4.' 2

' 2

x x y

y x y

= +

= R :

( )

( )

31 2

31 2

t t

t t

x t C e C e

y t C e C e

= +

=

5.'

'

x x y

y x y

= +

= +

tR :

( )

( )

22

1 2

221 2

1

4 4 8

14 4 8

t

t

t tx t C C e

t ty t C C e

= +

= + +

6.

'

'

'

y z u

z y u

u y

= +

= + = +

zR :

( )

( )

( ) ( )

21 2

21 3

21 2 3

x x

x x

x x

y x C e C e

z x C e C e

u x C e C C e

= +

= +

= +

1.5. Elemente de calcul operaional i aplicaii n teoria ecuaiilor

difereniale

Calculul operaional se ocup cu studiul transformrilor integrale. Acestea, numite i

operatori integrali. transform derivarea i integrarea n operaii algebrice. Ecuaiilor

ifereniale i integrale le corespund ecuaii algebrice. Pentru a rezolva o ecuaie diferenialste sufficient s se rezolve ecuaia algebric i s se aplice transformarea Laplace inverse

ransformata

de

soluiei obinute. Cele mai directe aplicaii n studiul ecuaiilor difereniale l are t

Laplace

1.5.1. Transformata Laplace

Transformata Laplace este un operator ntre dou spaii de funcii, operator care transform

derivarea i integrarea n operaii algebrice.Notm { : }RF f R R= .

Definiie: Funcia Rf F este un original dac satisface condiiile urmtoare:

) pentru oricea ( ) 0f t = 0t<

b) f e derivabil pe poriuni

c) exist 0M> i 0s> astfel nct ( )| | stt M e< pentru orice 0t> .

Numrul pozitiv ( ){ }0 min | | | ,sts s f t M e= < 0t > se numete indice de cretere (saude convergen).

igi

mple: cii sunt funcii original:

t

abscis

Mulimea funciilor or nal se noteaz RO .

Exe Urmtoarele fun

a) ( ), 0kte t

t

= 0 , 0

f

= =

0

0 , 0t


24/59

c) Dac funcia f satisface condi i c) din definiia precedent atunciiile b) ( ) ( ) ( )t t f = t

un original.

Def ie : Aplicaia L

( ) pt

Lf p f t e dt

= se n m

Fun este imaginea lui

este

ini RO R definit de:

( ) ( )0

umete transfor ata Laplace.

cia 0: ( , )Lf s R f prin transformata Laplace.

ot obine t Laplace pentru multe funcii elementare.

Exemple : S se calculeze transformatele Laplace ale funciilor

1)

Prin calcul direct se p ransformatele

( ) ( ) ktf t t= e .

( ) ( )( ) 01 1

( ) k pk p t t

tLf p e dt e

k p p k

=== = =

.0 0

tkt pt e e dt =

2) ( ) ( )sinf t t t=

( )( ) 0 0sin cos | cos 1 sin |pt pt t pt pt t

t tLf p e tdt e t pe tdt p e t = =

= == = = 0 0 0

sinptpe tdt

+

. Rezult

( )( )2

1

1Lf p

p=

+

Principalele proprietti ale transformatei Laplace sunt listate n tabelul urmtor.

Numele proprietii Formula1. Definiie( ) ( )

0

ptLf p f t e dt

=

2. Teorema omotetiei( )( )( ) ( )

1 pL f t p Lf

=

3. Derivarea originalului ( ) ( )( ) ( )

( )( )'' ( )( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2

11 2

( ') 0

0 ' 0

..................................

0 ' 0 ... (0n nn n n

Lf p p Lf p f

p Lf p p f f

Lf p p Lf p p f p f f

=

=

Lf p =

4. Derivarea imaginii( )

( )( ) ( )

0

n n ptLf t f t e dt

=

5. Integrarea originalului( )

( ) ( )

0

tLf p

L f dp

=

24


25/59

6. Integrarea imaginii( )( )

( )( )

p

f tLf q dq L p

t

=

pentru 0p= ( )

( )( )0 0

f tdt Lf p dp

t

=

7. Teorema translaiei ( )( )( ) ( )( )0 0p tL e f t p Lf p p= 8. Teorema ntrzierii ( )( )( ) ( )( )ptL f t p e Lf p =

9. Imaginea produsului deL f g t dt p Lf p Lg p =

convoluie ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )0

t

Folosind formulele din tabelul de mai sus (toate formulele se demonstreaz prin calculmatele Laplace ale multor funcii elementare.

sii imaginile urmtoarelor funcii original :

direct) se pot calcula transfor

Exemple : G

1. ( ) ( ) sin( )f t t t =

Se folosete teorema de omotetie i rezult ( )( )2 2 2 2

1 1

( / 1)Lf p

p p

= =

+ +.

2. ( ) ( ) 2sint t= t

losSe fo ete derivarea originalului. Din ( ) ( ) ( ) ( )' 2sin cos sin 2t t t= t t t= i

( )( ) ( )( ) ( )' 0Lf p p Lf p f= rezult ( )( )( )2

2

4p p +.Lf p =

( ) 2 tg t t e= 3.

( ) tt e= Se folosete derivarea imaginii pentru f i 2n= . Rezult

( )( )( )( ) ( ) ( )( )

''

2

2

1 =

2''

1 1

tL t e p Lf pp p

= =

( )sin t

h t4.t

=

Se folosete integrarea imaginii : ( ) ( )( )2

sin 1|

21

qq p

p p

tL p Lf q dq dq arctgq arctgp

t q

==

= = = = =

+

Imaginile celor mai importante funcii elementare sunt coninute n tabelul urmtor :

Originalul Imaginea

1 1

p

,nt n N 1

!n

n

p +

25


26/59

n tt e

( )1

!n

n

p +

te 1

p

sin t 2 2p

+

cos t 2 2

p

p +

( )sh t 2 2p

( )ch t 2 2

p

p

sinte t

( )2 2p

+

coste t

( )2 2

p

p

+

sint t 2 2

2p

p

+

cost t

( )

2 2

22 2

p

p

+

( )sin t 2 1

pe

p

+

( )cos t 2 1

ppep

+

ln t 1 1ln

p p

cu 0.57722

1.5.2. Inversa transformatei Laplace

Prin transformata Laplace definit pe se calculeaz imaginile funciilor originalL RO

RO . Prin transformata Laplace invers1L

se regsete funcia original care corespunde unei

Principalele cazuri n care funcia original poate fi determinat analitic sunt prezentate

imagini date.

n cele ce urmeaz.

1. Dac ( ( )

)( )

Q pF p

R p

se gsete origin

= este o fracie raional atunci ea se descompune n fracii simple i

alul fiecrei fracii folosind tabelul anterior.

xemple : S se determine originalul urmtoarelor funciiE

26


27/59

a) ( ))( )( 2

1

1 4p p p +F p =

Se observ c( )( )

1 1 1 1 1 1 p22 4 5 1 20 41 4 p p pp p p

= + + + +

. Originalul lui1

peste ( n tabelul

nsformatelor Laplace pe coloana din stnga corespunztoare lui

1

tra 1/p este scris funcia ,"1"

originalul lui1

1peate , originalul luite

2 4

p

p +este icos2tiar originalul lu

2p +este

1

4

1sin2

2

Rezult c originalul lui (

t.

)F p este ( )1 1 1 1

1 cos2 24 5 20 10

t sinf t e t t= + + .

b) ( )( )

22

1

1

F p = p +

Se observ c ( )2 2

1 1F p = e ie

1 1p p+ +ste imaginea unui produs de convolu , adic

( ) ( ) ( ) ( )2 2

0

1 1 sin sin ( )1 1

t

F p L t d pp p

= = = + + Lf p .

Rezult c( )

( ) ( )0 0

sin sin cos sin2 2 2

tcos 2 cos 1 1

tt t

f t t d d t t t = = = .

2.

Dac

( ) ( )

( ) ( ) ( )21 21 ... knn n

k

Q pF p

p p p p p p

=

este o fracie n care atunci

descompunerea n fracii simple este dificil i se poate folosi direct formula

1 2, ,..., 2kn n n

( ) ( ) ( ) ( ) i

ip e p p( )( )

1

1

1

1

lim1 !

ik n

npt

p pii

f t Fn

==

unde exponentul n arat c expresia din parantez se deriveaz de n ori.

Exemplu : S se determine originalul lui

i i( )1 ( )1

( )( )

22 1

pF p

p=

Deoarece ( )( ) ( )

2 2

1F p = se folosete formula anterioar pentru 1 2 11 1,p p n

1 1p p +, 2n2= = = = .

Deci

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

' '

2 2

1 1

lim

2 2 1 ! ( 1)

1

p

f t e

p

= + =

2 22 2

2 4 2 41 1

1 1lim

1 ! ( 1)

2 1 1 2 1 1 1lim lim ( )

4 21 1 1 1

pt pt

p

pt pt t t

p p

p pe

p

p p p p p pp pe e t e e t s

p p p p

+ + + = + + + = + =

+ +

3. Dac funcia ( )F p conine factorul pe se folosete teorema ntrzierii.

27


28/59

( )2

2 peF p

p

= .Exemplu : S se determine originalul funciei

Deoarece ( ) ( ) ( )( )( )2222!

( ) 1p pF p e e Lt p L t pp

= = =

ntru 1

, ceea ce s-a obinut aplicnd teorema

ntrzierii pe = i2

t t= , rezult c ( ) ( ) ( )

2

1 1f t t t= . Inmulirea cu este( )1t necesar pentru ca f s fie o funcie original.

aion

imbolic, a fost introdus la sfritul secolului

XIX de fizicianul englez O. Heaviside. Acesta a pus n eviden (fr nici o justificare

) faptul c este posibil rezolvarea rapid a olic,evitnd astfel calcule lungi ce apar n rezolvarea clasic. Aceast metod se justific parial

ata lace rm derivarea n nm la i area

Pentru rezolvarea anumitor tipuri de ecuaii (E) folosind transformata Laplace se

) Se formeaz ecuaia operaional (EO) prin aplicarea transformatei Laplace celor doi

inea (prin

ciei soluie de la b). Acesta reprezint soluia ecuaiei

iniiale

area unor ecuaii cu derivate partiale

eni constani i a problemelor Cauchy

1.5.3. Calcul oper al

Calculul operaional, numit i calcul s

matematic unor ecuaii folosind un operator simb

folosinf Transform Lap care transfo ulire cu variabi integr

n mprire la aceea i variabil.

p

parcurg urmtoarele etape :

a

membri ai ecuaiei.Ecuaie operaional este o ecuaie algebric de gradul I avnd drept necunoscut imag

transformata Laplace) a necunoscutei ecuaiei.

b) Se rezolv ecuaia operaionalSoluia (unic) a ecuaiei este imaginea necunoscutei din ecuaia iniial

c)

Se determin originalul fun

.

Principalele aplicaii ale calcului operaional sunt :- calculul inegralelor improprii- rezolvare ecuaiilor difereniale liniare cu coeficieni constani-

rezolvarea sistemelor de ecuaii difereniale cu coeficieni constani

le- rezolvarea unor ecuaii integra

- rezolvarea unor ecuaii integro-difereniale

- rezolvarea ecuaiilor cu argument ntrziat- rezolv

1.5.31 Rezolvarea ecuaiilor liniare cu coefici

aat ate

Problema Cauchy avnd necunoscuta ( )y y t= are forma( ) (n n

a y a y ) ( )

( ) ( )00 010 , ' 0 , ...,y y y y( )

1 0...n n a y

( )

1

1

0 10n

n

f t

y

+ + +

=

= (E).

bine ecuaia operaional

= =Aplicnd transformata Laplace ecuaiei (E) se o

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 0( ) ( ) ... ( ) ( )n n

n na Ly p a Ly p a Ly p Lf p

+ + + = .

28


29/59

Se noteaz ( )( ) ( )Ly p Y p= , se folosete teorema de derivare a originalului i se obine

ecuaia operaional

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) )(( ) ( ) ( )1 1 0...n a a Y p F p + + = (EO).Se aplic apoi algoritmul de rezolvare prezentat anterior.

Metoda se poate folosi i pentru determinarea soluiei genera difereniale. Inacest caz valorile

1 0 ... 0 0n nna p Y p p y y pY p y+ + +

le a ecuaiei( ) ( ) ( ) ( )10 , ' 0 . ..., 0ny y y reprezint cele constante ce apar n soluia

l este

n

general.

Exemple : 1. S se determine soluia general a ecuaiei '' 3 2 ty y y e + =

a) Ecuaia operaiona ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21

3 2 0 ' 0 3 01

p p Y p py y yp

+ + =+

.

b) Soluia ecuaiei operaionale este

( )( )( )( )

( )( )( )

( ) ( )( )( )

1 p 1

rea n fracii simple rez

0 ( ' 0 3 0 )1 1 2 1 2 1 2

Y p y y yp p p p p p p

= + + + +

.

Dup descompune ult

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 21 1 1 1 1 1 1 1

2 0 ' 0 5 0 3 ' 02 1 6 1 3 2 1 2 6 1

1 1y y y y C C

p p p p p p

+ + + + + + = + + + +

Y p =

.

( ) 21 21

6

t tc) Originalul lui ( )Y p este tC e C e ey t = + + . Aceasta este soluia general a ecuaiei

In aceast situaie aplicarea transformatei Laplace pentru rezolvarea ecuaiei nu uureaz

calculele. Aplicarea ei este justificat mai ales n rezolvarea problemelor Cauchy.

cos

0 0, ' 0 1

t

y y

liniare.

2. S se rezolve problema Cauchy'' 2y y+ =

( ) ( )= =

ia operaional este ( ) ( ) ( ) ( )22

20 ' 0

1

pp Y p py y Y p

p + =

+a) Ecua .

i ope ale este ( )( )

2 2

1+

2

2

11

pY p

pp=

++. Pentru a nu efectua operaiib) Soluia ecuaie raion

aritmetice inutile este recomandabil s nu se aduc fraciile la acelai numitor.

c) Originalul clui ( )Y p este ( ) ( )( )sin siny t t t t t= + .

Soluia problemei Cauchy este ( ) ( )1 siny t = t t+ .

lor de ecuaii difereniale liniare cu coeficieni constani

Pentru a rezolva astfel de sisteme se obine sistemul de ecuaii operaionale aplicndr sistemului.

Soluiile sistemului sunt imaginile funciilor necunoscute ale sistemului iniial. Prin

1.5.3.2. Rezolvarea sisteme

transformata Laplace tuturor ecuaiilo

aplicarea transformatei Laplace invers se obin soluiile cutate.

29


30/59

Exemplu : S se rezolve problema Cauchy

t

t

x y y e

x x y y e

+ + =

+ + =

''x

( ) ( ) ( ) ( )0 0 ' 0 0, ' 0 1x y y x

'' '

' 2 '

= = = =

.

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 11p X p pX p p Y p Y p

+ + = 1pSistemul operaional este

( ) ( ) ( ) ( )1

21

pX p X p pY p Y pp

+ + = +

. El este un sistem de

( )X p ( )Y piecuaii liniare cu necunoscutele .

Soluia sistemului este

( )( )

( )( )

2

22

1 1 3 1 1 1

8 1 4 8 11

3

3 1

X pp pp

pY p

p

= + ++ =

.

Soluia sistemului este( )

( )

1 3

4 4

3

4

tx t sht te

y t t sht

= +

=

.

licnd metodele calcului operaional s se rezolve urmtoarele

probleme Cauchy :

1.

Exerciii propuse : Ap

( ) ( )'' 20 0, 0 0.5, ' 0 4y y y y+ = = = R : ( ) ( )1

cos 2 52

y t t=

2. ( )' , 0 1tx x e x+ = = R : ( ) ( )1 tx t t e= +

3. 1 R :

( )' 1, 0x x x = =

( )1x t =

4.R :( )' 2 sin , 0 0x x t x+ = = ( ) ( )2

1cos 2sin

5

tx t e t t= +

5. ( ) ('' 1, 0 0, 'x x x= = )0 1= R : ( ) 21

2x t t t= +

6. ( ) ( )'' ' 1, 0 0, ' 0 1x x x x+ = = = R : ( )x t t=

7. ( ) ( )'' 3 ' , 0 0, ' 0 1tx x e x x+ = = = R : ( ) 31 5

4 12

t tx t e2

3

e= +

8. ( ) ( ) ( )''' ' 1, 0 ' 0 '' 0 0x x x x x+ = = = = R : ( ) sinx t t= t

9. ( ) ( ) ( )''' ' , 0 0, ' 0 1, '' 0 0x x t x x x+ = = = = R : ( ) 21

1 cos sin

2

x t t t= + t

10. ( ) ( ) ( )''' '' sin , 0 ' 0 '' 0 0x x t x x x = = = = R : ( )1

12

tx t e t=

11. ( ) ( )2'' 2 ' , 0 ' 0 0tx x e x x = = = R : ( ) ( )2 31

1 24

t tx t e t= + e

12. ( ) ( ) ( )''' '' sin , 0 1, ' 0 , '' 0 0x x t x x x+ = = = =2 R : ( )3 4

sin 2 cos 25 5

t tx t e t e t 1

5=

30


31/59

13. ( ) ( ) ( )''' '' sin , 0 ' 0 1, '' 0 0x x t x x x+ = = = = R : ( ) ( )1

2 cos sin2

tx t t e t t= + +

14. ( ) ( )'' cos , 0 1, ' 0 1x x t x x+ = = = R : ( ) ( )1

sin cos sin2

x t t t t= + t

15. ( ) ( )2'' 2 ' , 0 1, ' 0 0x x x t x x+ + = = = R : ( ) 2 4 6 5 t tx t t t e te = +

1.6.

Aplicaii ale ecuaiilor difereniale n studiul circuitelor electrice

1.6 .1. Descrcarea unui condensator printr-o rezisten

Fenomenul este important pentru c apare n circuitele folosite la transmisiunile radio,

televiziune, la radare etc.

Problema : Se consider un circuit electric format dintr-un condensator cu

capacitatea i o rezisten

de

C R . Se cere intensitatea curentului, ( )i t i diferena de

surar c sarcina iniial este .

potenial ( )v t la bornele condensatorului n funcie de momentul tla care se facem ea da Q

Rezolvare :Considerm funciile , , :[0, )i q v R+ cate indicaa intensitatea, sarcina

difesi rena de potenial la bornele condensatorului.

Intre ele exist relaia ( ) ( )q t Cv t = .

Intensitatea curentului electric la descrcare este ( ) ( )'i t q t = i la bornele reziste

ea satisface relaia

nei

vi

R= (legea ui Ohm).

Relaiile anterioare arat c acest circuit este caracterizat de problema Cauchy

l

( )( )

( )

'

0

q tC R

q Q

= q t

=

R)

(C

n care ( )q q t= este funcia necunoscut iar Ci R sunt constante date n problem.

Ecuaia diferenial poate fi considerat ca o ecu

ecuaie liniar i om

aie cu variabile separabile sau ca o

ogen de ordinul I. Soluia problemei Cauchy este1

( ) CRq t Qe

= .

( ) ( ) /( )0t

t CRQi t I e

= iarIntensitatea curentului (la descrcare) este ' CRq t e

CR= =

( )t

CRQ( )v t R eC

= .i t

=

Momentul ncepnd de la care descrcarea este practic terminat se consider a fi

pentru care ( ) 0I

i = . Se obine1

CRe

= adic 2 ln10 4,6C R C R100

= 100

1.6.2. Incrcarea unui condensator printr-o rezisten n prezena unei surse de curent

continuu

31


32/59

Problem : Se consider un circuit alctuit dintr-un condensator cu capacitatea

, o rezistenC R i o surs de curent continuu avnd fora electromotoare constant

E. Se cere s se determine intensitatea curentului i diferena de potenial la bornele

Se consid i q v R

condensatorului n funcie de momentul la care se face msurarea.

Rezolvare : er funciile ), , :[0,+ tecare reprezint intensita a curentului,

a condensatorului i diferena de potenial la bornele acestuia.sarcin

La ncrcarea condensatorului ( ) ( )'i t q t = iar ( ) ( )q t

v tC

= .

( ) ( )E v t

i tLegea lui Kirchoff arat cR

, deci problema Cauchy ce caracterizeaz

cuitul este

( )

=

cir

( )

( )

'q t

0 0

R q t EC

q

+ = .

=

( )t

q

CRt CE Ke= + iarSoluia general a ecuaiei (liniar i neomogen de ordinul I) este

soluia problemei Cauchy este

( ) 1t

CRq t C E e

=

.

Rezult imediat ( ) ( )

1

t

CRq t

v t E eC

= =

i ( ) ( )'t

CRE

i t q t eR

= = .

Momentul n care condensatorul este practic ncrcat este cel la care diferen a de potenial

este ( ) 99100

v E = . Din 99 1100

CRE E e

=

rezult ln100 4, 6C R C R=

1.6.3. Formula fundamental a curentului alternativ

Problem : Se consider un circuit n care acioneaz o for electromotoare datoratunei variaii de flux i coninn o rezistena R i o bobin cu inductana proprie

. S se determine intensitatea curentului electric din circuit.

L

montate n serie

Rezolvare : Pentru a obine o variaie a fluxului electric ( )t se consider un cadru cu n

spire icndu-se ntr-un camp magneticde arie m cu iS nducia B , cadru nchis printr0unit exterior. Acest cadru se rotete unif iteza unghularcircu orm cu v .

luxul captat ( )t se descompune n dou pri :F

- Fluxul ( )1 sint n B S t = provenind de la polul nord al cmpului magnetic

Fluxul t L i t = generat de cadrul parcurs de curentul electric( ) ( )- 2

32


33/59

( )E tDin relaia (dat n problem) ( ) ( )'E t t= i innd cont de faptul c ( )i t

R= se ob in

ecuaia ( )

e

( )cos 'n B S L

i t t i t R R

= . Ea se scrie sub forma

( ) ( )'L i t R i t n B S 0cos cost E t =

zolvarea acestei ecua

peraional co

+ =

Pentru re ii se poate folosi calculul operaional.

Ecuaia o respunztoare este (pentru ( )0 0i = )

( )( ) ( ) 0 2 2L R I p E p0

pp I p

=

+ +

din care rezult (notnd )/k R L=

( )( ) ( )( ) ( )

20 00 2 2 2 2 22 2 2 2

1 1

( )

E Ep p pI p E k k

L p kp Lp R p pp p k L k

= = = + +

++ + + ++ + +

.

( )Intensitatea curentului electric este originalul lui p adicI

( ) 02 2 2

cos sinR tL

Ei t R t L t Re

R L

= +

.

periodic dominant (anume

+

Aceasta are o component cos sinR t L t + ) i o

component neglijabil (anumeR

tLRe

) atunci cnd timpul este mare. Din acest motiv

rentul obinut se numete current alternative.

2. ANALIZA COMPLEXA

In mulimea

t

cu

2.1. Mulimea numerelor complexe

2.1.1. Definiie i structur algebric

( ){ }2 , | ,R x y x R y R= se definesc dou operaii (legi de compoziie

adunarea )'intern)

( ) ( ) (, ', ' ',x y x y x x y y+ = + + -

- nmulirea ( ) ( ) ( ), ', ' ' ', ' 'x y x y xx yy xy x y = +

n raport cu care 2R este corp comutativ.

imea2

RMulimea numerelor complexe este mul dotat cu aceste dou operaii. Seoteaz .n C

Obiecul ( ),z= aar complex.x y C se numete num x este partea real a lui zi se

noteaz

Rez, iar y este partea sa imaginar i se noteaz .

complexe sunt egale dac au aceeai parte real i aceeai parte imaginar.

Imz

Dou numere

33


34/59

Numerele complexe ( ),0x , care au partea imaginar 0 e numesc numere reale i se noteaz, s

x .

Se noteaz (0,i= etate important a lui i este 2 1i)1 . O propri = .

Se poate arta c1 4 2

nidaca n k

1 4

4 1

daca n k

i daca n k

= = +

4 3daca n k i

= = +

mplex sc pur imaginare.

deo

= +

Numerele co e ( )0,y iy= ,cu partea real 0 , se nume

Se scrie z x arece ( ) ( ) ( ) ( ), ,0 0,1 ,0z x y x y x iy= = + = +iy= + . Aceasta esteforma algebric

a unui numr complex.

onjugatul numruluiComplex c z x iy= + este numrul z x iy= .

Mulimea numerelor complexe se identific cu planul geometric 2R . Numru eatel z x iy= +

asociat punctului ( ),A x y se numete afixul lui z.care

numrului complex estez x iy= + 2 2| |z x y= + .

Modulul

( ),x y la punctul ( )0,0OModulul lui z x iy= + reprezint distana de la punctul , originea

.

| oricare ar fi

axelor de coordonate n planul complex

Propoziie : Modulul are urmtoarele proprieti

1. | | 0z oricare ar fi C

2. | | | | |z z z z =

z

1 2 1 2 1 2,z z C . Rezult | | | |n nz z=

3. 1 2| | | | | |z z z z+ + oricare a C1 2 r fi 1 2,z z .

4. 1 1| |

| |

z z

z z= oricare ar fi 1 2,z z C , 2 0z

2 2

.

5.2

= |z z fi umentul redus omplex

|z oricare ar z CArg al numrului c z x iy= + e hi

i se calcu

ste ung ul pe care segmentul l face

teaz leaz folosind urmtoarea formul

)

/ 0, 0

0 0

0

0

arctg y x daca x y

dac x

z a x

y

x y

> >

OA

cu sensul pozitiv al axei Ox . Se no gzar

( )

/ 2 ,a y

(arg /arctg y x dac

( )

3 / 2 0,

2 / 0, 0

daca x

arctg y daca x

= >

= =

| | cos

| | sin

x z

y z

=

=

Forma trigonometric a numrului complex z x iy= + este ( )| | cos sinz z i = + .

Ea este util pentru efectuarea operaiilor cu numere complexe

( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2| | | | cos sinz z z z i = + + +

( ) ( )( )1 1 1 2 1 22 2

| |cos sin

| |

z zi

z z = +

( )| | cos sinnz z n i n = +

34


35/59

Rdcina de ordin a numruluin ( )| | cos sinz z i = + este format din numere complexe

calculate prin

n

( )1/ 2 2

| | cos sinn

k

k kz z i

n n

+ + = +

, cu {1,2,..., }k n .

Exerciii rezolvate

rtea imaginar a nu

1. S se detrmine partea real i pa merelor complexe urmtoare

- 1 3z i= + . Re 1z= i Im 3z=

-1

1z

i=

. Se scrie

( )( ) 21 1 1 1 1

1 1 2 2 21

i i iz i

i i i

+ + += = = = +

+ deci

1Re

2z= i

1Im

2z=

. Deoarece i

2. S se determine modulul i argumentul urmtoarelor numere complexe

- z i 0= 1z= + trez l cu 2 2| | 0 1 1z= + = i arg / 2z =

- z eoarece z3= . D i= + rezult c3 0 ( )2 2| | 3 0 3z= + = i arg 0z arctg = + =

- . Deoarece rezult c2231z i= + 223 4 55 3 4 3k= + = + 223i i= deci .1z i=

Atunci 2 2| | 2z= i1 1+ =1

argz arct1

g4

= = .

-1

1

i. Deoarecz

i=

+e

( )

2 2

2

(1 ) 1 2i i+ 2

1 11

i iz i

i

= = = =

+rezult c

2( )

2| | 0 1 1z= + = i

arg 3 / 2z = .

2.1.2. Structur topologic

Structura topologic (geometric) este legat de noiunea de distan. Aceast structur

este necesar pentru dezvoltarea teoriei funciilor complexe.

ntre dou numere complexe 1

Distana 1 1z x iy= + i 22 2z x iy= + este

)( ) (2

|z z x x y y = + 2

1 2 2 1 2 1 |

Cercul ( )0 ,C z r cu centrul n 0z i raza reste este dat de ecuaia 0| |z z r = .

Discul deschis cu centrul n z i raza r, notat0 ( )0 ,D z r este interiorul cercului

( ),C z r i este descris de ecuaia | |z z r0 0 < .

zVecintile numrului C0 sunt mulimi care conin un disc centrat n . Topologia

pt topo

0z

lui Ceste de fa logia lui 2R .

Exerciii rezolvate: 1. S se calculeze distana intre 1z = i 2 1z i= .

( ) ( )( )2 2

0 1 1 1 5= + + = 1 2,d z z

2. Care este interpretarea geometric a urmtoarelor mulimi ?- { | Re 0A z C z > R: sem la= ip nul format din cadranele I i IV

- { }| | Im | 1A z C z= < R: Poriunea din plan cuprins ntre ptele idre

-

1y= 1y= .

{ }| | | 1A z C z= < R: nteriorul cercului cu centrul in origine i raza 1

- { }| | | 2A z C z i= > R: exteriorul cercului cu centrul n i i raza 2

- { }| 1 | | 3A z C z= < < trul n origine cu razele

1i 3

R : coroana circular dintre cercurile cu cen

35


36/59

- { }| | 1| | |A z C z z= = + e num or 1zi R : mediatoarea segmentului ce unete afixel erel 1 = i

i

.3. Mulimea extins

Mulimea extins a num

2z =

2.1 a numerelor complexe

erelor complexe este { }C C= . Obiectul " " , care

c erelor complexe are urmtoarele proprieti:ompleteaz mulimea num

- | | R = +

- = a = pentru orice {0}a C -

-0

a= pentru orice {0}a C

- 0a

= pentru orice {0}a C

- 0

a=

pe

Nu sunt definite operaiile

ntru orice a

C

, , 0

.

M ea extins a nuulim merelor complexe nu are structur algebric.nin exteriorul unui disc cu centrul n origine.

ulim > este vecintate a luiVecintile lui coM ea { | | |}z C z 1 1 dar mulimea 1}{ | Rez C z > nu e

ecintate a lui .

ementare

t definit pe o submulime

v

2.2 Funcii complexe el

Se nume e funcie complex de variabil complex o funcie

D a muim plexe Ccu valori n . Se noteazii numerelor com C :f D C .

Pentru z x iy= + se scrie ( ) ( ) ( ) ( ), ,f z f x iy u x y v x y= + = + .

Funcia :u D R se numete partea real a lui f i se noteaz ( ) (Re , , )f x y u x y= .

inar a luiFuncia :v DR se numete partea imag i se noteaz ( ) ( )Im , ,f x y v x y= .

Exemple: 1. S se determine partea real i partea imaginar a urmtoarelor funcii

:1. f C C , ( ) 2z z=

Putem s ) (crie ) ( )( ( )2 2 2 22 22,z x iy x ixy y x xyi= + = + = + . Rezult cf x y y=

(2

Re , )2

f x y i (x y= )Im , 2f x y xy= .2. :f C ) | |C, (z z=

Putem scrie ( ) ( ) 2 2z f x iy x y= + . Rezult ( )= + 2 2Re ,x y x y= + i ( )Im , 0f x y = .

funciile complexe exist unele mai importante, cu ajutorul crora se obin alte

esc funcii elementare i sunt descrise eaz

2.2.1. Func ice

Printre

funcii complexe. Ele se num n cele ce urm

iile algebr

36


37/59

ii icFunc le algebr e sunt

- polinoamele :f C C , ( ) 11 ..n 1 0.n n

nf z a z a z a= + + + . Toate rezultatele legate de

funci

a z

+

polinoamele realese extind pentru polinoame complexe. Operaiile cu polinoame complexe (adunarea, nmulirea

e definesc ca i cele pentru polinoame reale.i mprirea) s

- ile raionale : { , ,...1 2 , }hf C z z z C , ( ) ( )( )P z

f zQ z

= , unde sunt polinoame

z z sunt numerele complexe pentru car i.

,P Q

complexe i 1z e se anuleaz numitorul fracie

Un caz important l

2, ,..., h

reprezint funciile omografice ( ) az b

f zcz d

+=

+

2.2.2. Funcia exponenial

Funcia exponenial este :C C , ( ) zf z e= definit prin

( )cos sinz x iy xe e e y i y+= = + .

> pentruDeoarece xe orice0 x R i cos sin 0y i y+ pentru oeice y R rezult c funcia

exponenial nu poate avea valoarea 0 .Sunt importante urmtoarele proprieti ale funciei exponeniale :

-2 nz z z

1 ... ...1! 2! !

zen

= + + + + +

- 21 2 1z z z ze e e + =

-1zz

ee

=

-1

1 2

zz z

z

ee

= 2e

c este numr real atunciDa 0z x i= + ( )cos0 sin 0z xe e i ex= + = , deci exponeniala complex

te o extindere a exponenialei reale.

2.2.3. Functiile hiperboliceFunciile hiperbolice complexe sunt definite n mod asemntor cu cele reale.

- sinusul hiperbolic este

es

2

z ze eshz

=

- cosinusul hiperbolic este2

ze echz

z+=

ti (analoge funciilor hiperbolice reale):

- 2

2

Aceste funcii au urmtoarele proprie

- 2 2 1ch z sh z =

( )1 2 1 2- ( )

1ch z z chz chz shz shz + = + 1 2 1 2 1sh z z shz chz+ = + chz shz

onometriceeniale :

inusul este

2.2.4. Funciile trig

Funciile trigonometrice complexe se definesc cu ajutorul funciei expon

- s sin2

iz iz e ez

i

=

37


38/59

- cosinusul este cos2

iz iz e ez

+=

- tangenta estesinz

costgz

z=

Aceste funcii au p

- 2 2sin cosz z+

roprietile cunoscute ale funciilor trigonometrice reale :

= 1- ( )1 2cos coz z z+ =

- ( )1 2 1 2s cos sin sinz z z

2

i cele trigonometrice exist urmtoarele relaii :

, ,

1 2 1 2 1sin sin cos cos sinz z z z z z+ = +

Intre funciile hiperbolice

( )cosz ch iz= sin ( )i z sh iz = ( )i tgz th iz = , ( )coschz iz = , ,( )sini shz iz = ( )i thz tg iz =

c2.2.5. Fun ii multivoceFunciile multivoce (numite i funcii multiforme) fac s corespund fiecrui element

n domeniul de definiie mai multe valori.di

Funcia Argument este ( ):Arg C P C , {arg 2 , }Argz z k k Z= +

Aceast defin este justificat faptul c, p ru orice 2k z k Arg iie de ent arg z = + re loc relaiaa

( )| | cos kz z sin | | kii z ek

= + = , deci exist mai multe valori ce pot nlocui argumentul lui n

z

forma sa trigonometric.

Se scrie | | i Argzz z e=

Funcia radical ( )1

nf z z= as ulociaz lui m imea de valori , undez 1 2{ , ,..., }nz z z1

arg 2 arg 2z k z k| | cos sinnkz z i

n n

+ + = +

. Toate aceste valori satisfac nkz z= .

Funcia logaritmic ( )z =Lnzeste dat de

rgz i argz k k Z {ln | |Lnz z i A z} {ln | | ( 2 ), }= + = + + .l cEa poate fi interpretat ca fiind inversa funciei exponeniale n sensu z.Lnze =

( )f z z= , unde A C Funcia putere este definit prin z .

Se definesc de asemenea inversele funcii

.

A A Lnz e =

lor trigonometrice i ale funciilor hiperbolice, dar ele sunt

mai rar folosite n calcule

Exerciii : 1. S se calculeze : ie , 1 ie + , 2ek i

, cos( )i , sin2

i

, ( )1tg i+

- ( )0 1 0 1i ie e e+ = = . In aceast expresie numrulcos1 sini+ reprezint un radian, adic1

360

57,322 grade.

- e=( )1 1 cos sinie e i + = +

- 02 (cos sin )k i

e e k i k

2 2

= + ki valorile depend de

- ( )1 1 2 1

2

e +cos

2 2

i i i ie e e ei

+ += = =

38


39/59

-/ 2 / 2 / 2 / 22 2

sin2 2

i i i i

e e e e e ei i

i

= = =

2 2i

- ( ) ( )

( )

( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )

( )

( )( ) ( )

1 11 1

1 1 1 1

sin ( 1) 1 1/

cos 1/( 1) 1

i i i ii i

i ii i i

e ei e ee e e ei i

i e ei e e i e ei e e

+ + +

+ + +

+ + = = = = =

+ ++ + +

.

se rezolve urmtoarele ecuaii:

itg

0chz= , sin 3z= , 1ze i= + 2. S

02

z ze echz

+= = rezult

10z

ze

e+ = adic ( ) ( )22 2 cos 2 sin 2 1x iyz xe e e y i y+= = +- din = .

Din sistemulxe y =

rezult

=

2

2

cos2 1

sin 2 0xe y=e2

sin 2 0

cos 2 1

1x

y

y( )

0

2 1

x

y k

=

= +=

=

adic

. Soluiile ecuaiei sunt

rele complexenume ( )2k i k 12

z

= + .

- n ecuaia sin 3 notm2

iz iz

e ezi

= = izt e= ; rezu 0itlt t2 6 1 = adic 1,2 3 2 2t =

( ) ( )cos sin 3 2 2i x i yiz y ix ye e e e x i x+ + = = = + = + rezult, prin identificarea prilor reale iDin

imaginare, cos 0x= , sin 1x= , 3 2 2ye = . Soluiile ecuaiei sunt

( )4 1 4 1

ln 3 2 2 cos sin2 2

k

k kz i

+ += +

, k Z

- ( )cos sin 1ze = =1y

x iy xe e y i y i+ + = + arat cx

e y

e

x cos 1

sin

=

=

, adic

. Din mprirea ecuaiilor rezult

1tgy= 2

4

y k

= + (deoarece i ). Atuncicos 0y> sin 0y> 1/ cos 2 / 2

4

xe

= =

i

ln 2x= .

luiile ecuaiei suntSo ln 2 2k

4kz i

+

= +

.

2.3 Elemente de calcul diferenial

ereaz cu noiunea de funcie derivabil.

Funcia

Calculul diferenial op

f este derivabiln punctual dac0z ( ) ( )

( )0

0

0

0

lim 'z z

f z f zz

z z

=

exist i este

ultimi se numete funcie olomorfpe

ii reale. In legtur cu

n rezultat important, TeoRiemann

finit.O funcie derivabil n toate punctele unei m

mulimea respectiv

Definiia este analogul complex al definiiei derivatei unei func

derivabilitatea unei funcii ntr-un punct dat exist u rema Cauchy-

39


40/59

Teorem (Cauchy-Riemann) Dac funcia ( ) ( ) ( ) ( ), ,f z f x iy u x y i v x y= + = + este

derivabil n z x=0 0 0iy+ atunci u i v sunt derivabile n 0 0( , )x y i derivatele lor satisf

condiiile

ac

(nu

( ) ( )mite condiiile Cauchy-Riemann)

0 0 0 0, ,u v

x y x yx y

( ) ( )0 0 0 0, ,u v

x y x yy x

=

.

care funci inue

=

In cazul n ile u i v au derivate pariale cont n ( )0 0,x y i acestea satisfac

condiiile Cauchy-Riemann, funcia f este derivabil n .0z

In punctele n care este derivabil, derivata ei se calculeaz folosind formula

( ) ( ) ( )0 0 0 0' ,u v

0,f z x y i xx y

y

= +

Exerciiu : S se determine punctele n care funcia ( ) 2z z z z= + derivabil i s se

calculeze derivata ei n aceste puncte.

este

Funcia f se scrie ( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 2z f x iy x iy x iy x iy x xyi= + = + + + = + . Rezulf t

u x y = . Cele dou funcii au derivate pariale continue, deci condiia

necesar i su

( ) 2, 2x i ( ), 2v x y xy=

ficient pentru ca f s fie derivabil n ( ),x y este dat de condiiile Cauchy-

Riemann.

u v

x y

y x

=

u v

=

conduc la4 2

0 2

x x

y 0 0y

=

=cu soluia

0x0=

=. Rezult c singurul punct n care este

este . Derivata funciei estederivabil 0 0 0 0z i= + = ( ) ( ) ( )' 0 0,0 0,0 0 0 0u v

f i ix x

= + = + =

.

Teorema este verificat de toate funciile elementare definite n paragraful anterior n toatepuncte

Documents

Mat Spec Curs Const