mat121 - calculo ii - fısica

2o sem 2011 - profa. daniela m. vieira

QUINTA LISTA DE EXERCICIOS - GABARITO

Um Curso de Calculo, Vol II. H. Guidorizzi. 7a. Edicao.

23.1

(3)

c) Df = {(x, y) ∈ R2|y ≥ x2 e y ≤ 2x}

y

x

y = x2

y = 2x

d) Df =

(x, y) ∈ R2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x2

(

1√2

)2+ y2 > 1

.

y

x

Df

1

1√2

1

f) Df = {(x, y) ∈ R2 |−|x| ≤ y ≤ |x|} .

y

x

y = xy = −x

h) Df = {(x, y) ∈ R2 | y 6= x+ 2kπ, k ∈ Z ou y 6= −x+ (2k + 1)π, k ∈ Z} .

y

x

y = x

Df

y = x+ 2π

y = x− 2π

y = −x+ π

y = −x − π

y = −x+ 3π

y = −x− 3π

2

23.2

(1)

a)

(a) Curva de Nıvel (b) Grafico

c)

(a) Curva de Nıvel (b) Grafico

3

e)

(a) Curva de Nıvel (b) Grafico

h)

(a) Curva de Nıvel (b) Grafico

4

i)

(a) Curva de Nıvel (b) Grafico

j)

(a) Curva de Nıvel (b) Grafico

5

l)

(a) Curva de Nıvel (b) Grafico

m)

(a) Curva de Nıvel (b) Grafico

6

n)

(a) Curva de Nıvel (b) Grafico

q)

(a) Curva de Nıvel (b) Grafico

7

(2)

a) Im(f) = R. b) Im(f) = R. c) Im(f) = R.

h) Im(f) = R+. i) Im(f) = [0, 1]. j) Im(f) =

[

−1

2,1

2

]

.

(a) Curva de Nıvel a) (b) Curva de Nıvel b) (c) Curva de Nıvel c)

(d) Curva de Nıvel h) (e) Curva de Nıvel i) (f) Curva de Nıvel j)

8

(3)

(a) Curva de Nıvel (b) Grafico

(14) Sim, se o ponto nao pertence ao domınio, assim olhe para as curvas de nıvel da funcao

f(x, y) =x

√

x2 + y2. Mas se o ponto pertence ao domınio, a resposta e NAO, e para verificar

isto, suponha, por absurdo, que interceptem, entao contrariaremos o fato de f ser funcao.

9

23.3

(1)

a) Df = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 ≤ 1} .

Figura 1: O domınio e a superfıcie e a parte interior

b) Df = {(x, y, z) ∈ R3 | z ≤ 1} .

Figura 2: O domınio e o grafico e a regiao abaixo do grafico.

10

c) Df = {(x, y, z) ∈ R3 | x+ y + z ≤ 1} .

Figura 3: O domınio e o grafico e a regiao abaixo do grafico.

e) Df = R3 \ {(0, 0, 0}.

y

z

x

11

(2)

(a) Curva de Nıvel a) (b) Curva de Nıvel c) (c) Curva de Nıvel d)

24.1

(1)

a) 0 b) Nao existe c) 0 d) Nao existe

e) Nao existe f) Nao existe g) Nao existe h) Nao existe

(3) Falsa. Analise o limite da funcao f(x, y) =x2

x2 + y2no (0, 0).

(5) Nao existe

(7) 1

(8) 0

24.2

(1)

a) R2 b)

{

(x, y) ∈ R2

∣

∣

∣

∣

x2

3+

y2

2≤ 1

}

c) {(x, y) ∈ R2 |y < x}

e) R2 \ {(0, 0)} f) R

2 g) R2

(2) E contınua em (0, 0).

12

(3) Use a continuidade da funcao f tomando ε =f(x0, y0)

2.

Calculo, Vol II. J. Stewart. 4a. Edicao.

14.1

30

a) VI b) V c) I d) IV e) II f) III

Dica: Veja para quais pontos f(x, y) = 0.

45 46

51 B e III 52 C e II 53 F e V 54 A e VI 55 D e IV 56 E e I

Dica: Veja para quais pontos f(x, y) = 0 e as imagens f(x, 0) e f(0, y).

61 f parece ter maximo de 15 e nenhum mınimo. E 5 parece ser maximo local.

13

62 f parece ter maximo global de 0, 2 e mınimo global de −0, 2.

65

Figura 4: c = 1: verde; c = 2: azul; c = 4:vermelho; c = 6 amarelo.

14

14.2

19 Nao existe.

20 Nao existe.

31 {(x, y) ∈ R2| |y| ≤ x}.

32 {(x, y) ∈ R2| x2 + y2 ≤ 1}.

34 {(x, y, z) ∈ R3| x+ y + z ≥ 0}.

35 R2 \ {(0, 0)}

37 0.

38 0.

15