Departement de mathematiques

MAT901 - Notions fondamentales de calcul integral

Plan de cours

Enseignant : Olivier GodinCourriel : olivier.godin2@usherbrooke.caLocal : D4-1010-20Telephone : (819) 821-8000, poste 65565Site Web : http ://www.usherbrooke.ca/moodle/

Description officielle de l’activite pedagogique

Objectifs : Appliquer les methodes du calcul integral a l’etude de fonctions et a la resolution deproblemes.

Contenu : Limite : formes indeterminees, regle de l’Hospital. Regles et techniques d’integration usuelles.Proprietes de l’integrale indefinie et de l’integrale definie. Calcul de longueurs, d’aires et de volumes.Theoreme fondamental du calcul differentiel et integral. Equations differentielles a variables separables.Series de Taylor et de MacLaurin. Demonstration de propositions se rattachant au calcul integral.

Credits : 3

Organisation :Cours : 0 heure par semaineExercices : 2 heures par semaineTravail personnel : 7 heures par semaine

Prealable : Avoir reussi un cours de calcul differentiel de niveau collegial (MAT900, 201-103, 201-NYA).

Horaire : Le cours est offert de facon autodidacte en formation a distance. Les etudiantes et les etudiantssont les principaux responsables de leurs apprentissages. Le professeur est disponible quelques heurespar semaine en videoconference pour reprendre l’explication de certaines notions, pour repondre auxquestions ou pour completer des exercices en collaboration avec les etudiantes et etudiants.

Duree : L’etudiant dispose d’un maximum de six mois pour completer le cours et s’inscrire a la passationd’un examen final.

Echeances : Le delai pendant lequel il est possible d’annuler (sans frais) son inscription au coursMAT901 est fixe a deux semaines suivant l’obtention de l’acces au site Web du cours. Le delai maximumpour abandonner le cours est fixe a trois mois suivant l’obtention de l’acces au site Web du cours.

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Presentation du cours

Tout comme le cours de calcul differentiel (MAT900, 201-NYA-05), dont il constitue la suite naturelle, lecours de calcul integral (MAT901, 201-NYB-05) releve de la formation specifique du programme des sciencesde la nature, et il constitue un prealable au cours de calcul avance. Au meme titre que les autres cours demathematiques, le cours de calcul integral en sciences de la nature vise a developper la capacite d’utiliseradequatement le vocabulaire et le symbolisme mathematiques ainsi qu’a accroıtre les habiletes connexes :

• manipulation d’expressions symboliques ;• reflexion ;• formalisation ;• conceptualisation ;• modelisation mathematique ;• elaboration de strategies de resolution de problemes (formels ou concrets) ;• interpretation de resultats.

A cause de sa grande polyvalence, le calcul differentiel et integral constitue l’un des plus puissants outilsdont se servent les scientifiques pour decrire et expliquer des phenomenes.

Le calcul differentiel est la partie des mathematiques superieures qui etudie l’effet des variations infinimentpetites d’une variable independante (ou de plusieurs variables independantes) sur une variable dependanteou, en d’autres termes, la mesure de la sensibilite d’une fonction a de faibles fluctuations de son argument.Le calcul differentiel permet donc d’exprimer mathematiquement non seulement des etats, mais egalementdes processus. Il est indispensable a l’etude du mouvement et du changement. Ainsi, fondee sur le conceptde limite (l’idee maıtresse du calcul differentiel), la derivee permet d’acceder a des notions aussi diversesque le taux de variation instantane, la vitesse, l’acceleration, l’analyse marginale, la pente de la tangente aune courbe, la croissance d’une fonction, la concavite d’une courbe, les points d’inflexion d’une courbe et lesextremums d’une fonction.

Aussi riche d’applications que le calcul differentiel, le calcul integral repose essentiellement sur l’idee delimite d’une somme comportant un nombre infini de quantites infinitesimales. On peut y recourir notammentpour effectuer des mesures geometriques (aires de surfaces delimitees par des figures curvilignes, volumesde solides, longueurs d’arcs curvilignes, etc.), pour determiner des caracteristiques (masse, centre de masse,etc.) de surfaces planes et de solides de l’espace, pour effectuer des mesures physiques (comme le travail),pour calculer un indice de Gini, pour evaluer le surplus des consommateurs et le surplus des producteurs,pour resoudre des equations differentielles decrivant des phenomenes dynamiques, etc.

Le present cours de calcul integral abordera les notions d’integrale definie, de primitive, d’integraleindefinie, ainsi que les equations differentielles a variables separables et les series. Au terme de ce cours,les etudiantes et les etudiants auront developpe leur capacite de resoudre, notamment a l’aide du logiciel decalcul symbolique Maple, des problemes a l’aide des differents concepts de l’analyse mathematique.

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Texte ministeriel

Activite d’apprentissage

Champ d’etude : Sciences de la natureDiscipline : MathematiquesPonderation : 3-2-3Nombre d’heures-contact : Ce cours represente une charge de travail de 135 h.

Competences

Enonce de la competence a atteindre

Appliquer les methodes du calcul integral a l’etude de fonctions et a la resolution de problemes.

Enonce des elements de competence a atteindre

A la fin du cours, les etudiantes et les etudiants devront avoir acquis des connaissances declaratives(decrire un contexte historique, utiliser un vocabulaire approprie, definir correctement des termes ou desexpressions, enoncer des theoremes, enoncer des formules, etc.), des connaissances procedurales (manipulerdes expressions symboliques, effectuer des calculs, appliquer une technique, etc.) et des connaissances condi-tionnelles (formuler un probleme en langage mathematique, choisir une strategie de resolution de problemes,etc.).

Plus precisement, avec ou sans l’aide d’outils technologiques, les etudiantes et les etudiants devront etrecapables

• de decrire sommairement l’evolution du calcul integral ;• de determiner l’integrale indefinie d’une fonction a l’aide de la technique d’integration appropriee ;• de trouver la valeur exacte d’une integrale definie d’une fonction sur un intervalle de maniere analytique,

ou d’en trouver un approximation a l’aide de methodes relevant de l’analyse numerique ;• d’interpreter correctement la valeur d’une integrale definie ;• d’effectuer des mesures geometriques (volume, aire, longueur) de figures du plan ou de l’espace ;• d’utiliser les techniques du calcul integral dans des contextes varies ;• d’evaluer la limite d’une fonction presentant une forme indeterminee en appliquant la regle de L’Hos-

pital ;• d’evaluer l’integrale impropre d’une fonction sur un intervalle et d’en donner, s’il y a lieu, une in-

terpretation juste ;• de formuler l’equation differentielle decrivant un phenomene dynamique ;• de resoudre une equation differentielle ;• d’analyser un phenomene a l’aide de l’etude de la convergence d’une serie.

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Contenu detaille

Chapitre 1 - L’integrale definie

• Problemes a l’origine du calcul differentiel et integral• Notation sigma et ses proprietes• Approximation a l’aide de sommes• Somme de Riemann et integrale definie• Proprietes des integrales definies• Theoremes d’analyse (theoreme des valeurs extremes, theoreme de Rolle, theoreme de Lagrange)• Theoreme fondamental du calcul integral• Primitives elementaires

Objectif terminal 1 L’etudiant devra etre capable d’expliquer le concept d’integrale definie et son origine,ainsi que d’evaluer des integrales definies simples.

Chapitre 2 - Techniques d’integration

• Primitive et integrale indefinie• Formules d’integration de base• Strategies de transformation de l’integrande (effectuer un changement de variable, completer un carre,

utiliser une identite trigonometrique, multiplier par un conjugue, diviser une expression fractionnaire,separer une fraction en plusieurs termes, effectuer une substitution trigonometrique, etc.)

• Integration par parties• Integration de fonctions trigonometriques• Integration consecutive a une decomposition en fractions partielles• Integration numerique (methode des trapezes)

Objectif terminal 2 L’etudiant devra etre capable d’utiliser les differentes techniques d’integration pourevaluer une integrale indefinie ou definie.

Chapitre 3 - Applications de l’integrale definie

• Calcul d’aire• Valeur moyenne d’une fonction• Surplus des consommateurs et surplus des producteurs• Courbe de Lorenz et indice de Gini• Evaluation du volume d’un solide par les methodes des tranches, des disques, des disques troues et des

tubes• Evaluation de la longueur d’un arc• Evaluation de l’aire d’une surface de revolution

Objectif terminal 3 L’etudiant devra etre capable d’utiliser des integrales definies dans des applicationsconcretes, notamment pour calculer des mesures geometriques (longueur, aire, volume).

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Chapitre 4 - Equations differentielles

• Typologie des equations differentielles• Equation differentielle a variables separables• Equation differentielle d’ordre n de la forme yn = f(x)• Applications

Objectif terminal 4 L’etudiant devra etre capable de formuler et de resoudre des equations differentielles.

Chapitre 5 - Regle de l’Hospital et integrales impropres

• Determination des differentes formes indeterminees• Regle de L’Hospital• Cas d’integrales impropres• Convergence et divergence des integrales impropres• Evaluation d’integrales impropres• Fonction de densite• Evaluation de l’esperance et de la variance d’une variable aleatoire continue a partir de sa fonction de

densite• Evaluation d’une probabilite a partir d’une fonction de densite

Objectif terminal 5 L’etudiant devra etre capable de lever une indetermination en appliquant la reglede L’Hospital et d’evaluer une integrale impropre.

Chapitre 6 - Suites et series

• Suites (typologie, convergence, limite)• Sommes partielles• Series• Typologie des series (arithmetiques, harmoniques, geometriques, de Riemann, a termes positifs, al-

ternees, entieres)• Convergence des series (proprietes, convergence conditionnelle et absolue, rayon de convergence, inter-

valle de convergence)• Derivation et integration terme a terme d’une serie entiere• Series de Taylor et de Maclaurin

Objectif terminal 6 L’etudiant devra etre capable d’analyser la convergence des series.

Methodes pedagogiques

Le cours est entierement en ligne. Les etudiants pourront interagir avec le professeur au moyen devideoconferences. En plus du materiel de cours habituel, des captures videos d’ecran (screencasts) viennentreprendre l’explication de matiere ou d’exercices plus difficiles. Les etudiants peuvent utiliser les tableauxblancs interactifs sur le Web pour resoudre en direct des problemes de mathematique et ainsi obtenir uneretroaction immediate sur leurs erreurs et sur la facon d’ecrire leurs solutions. Il sera aussi possible pourles etudiants du cours d’echanger entre eux dans un forum de discussion sur la page Web du cours afin des’entraider et comparer leurs demarches et reponses. De plus, les solutions detaillees a plusieurs exercicesseront fournies.

Les etudiants cheminent a leur rythme. Toutes les lecons sont disponibles dans l’environnement d’ap-prentissage virtuel Moodle et, lorsqu’il en ressent le besoin, l’etudiant peut contacter le professeur parvideoconference.

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Modalites d’evaluation

L’evaluation du cours prendra trois formes :

1. Questionnaires recapitulatifs (15 %) : A la fin de chaque lecon, l’etudiant doit repondre a un brefquestionnaire en ligne. A la fin du cours, les resultats aux questionnaires sont additionnes et ramenessur 15.

2. Devoirs (45 %) : L’etudiant aura a realiser trois devoirs (15 % chacun). Ceux-ci devront etre remisa l’enseignant en utilisant la fonction de depot de fichiers sur la page Web du cours.

3. Examen (40 %) : L’etudiant devra reussir un examen final recapitulatif d’une duree de 3 h. L’examenaura lieu a des dates fixees a l’avance, au moins deux fois par trimestre. Trois semaines avant la datechoisie pour l’examen, l’etudiant recevra par la poste une tablette graphique (a temps pour faire letroisieme devoir, afin de sa familiariser avec l’outil). L’examen se fera en ligne, a l’aide de celle-ci.Pour la passation de l’examen, l’etudiant devra se procurer une webcamera. Pour toute la duree del’examen, l’etudiant sera surveille par videoconference. L’etudiant aura acces a l’enonce de l’examen al’heure et a la date convenue, sous la forme d’un fichier informatique. A l’aide de la tablette graphique,l’etudiant inscrira ses reponses et devra soumettre electroniquement ledit fichier, aussitot l’examentermine. L’etudiant n’aura ni a se presenter a l’Universite de Sherbrooke, ni a envoyer des documentspar la poste. Apres l’examen, l’etudiant devra nous retourner la tablette graphique au moyen d’uneenveloppe affranchie inclue dans l’envoi de la tablette.

Le cours de calcul differentiel porte sur un contenu qui se construit et s’elabore de plus en plus toutau long de la session. Les notions apprises precedemment seront reprises dans des travaux ulterieurs et, enparticulier, a l’examen final.

Dans les devoirs et examens, les etudiantes et les etudiants auront a appliquer les connaissances acquisesprecedemment, a expliquer les concepts importants et a mettre en oeuvre les methodes vues au cours. Lescriteres de correction seront la pertinence et la coherence de la demarche, la rigueur des raisonnements, laclarte, l’exactitude et la precision des solutions aux problemes et la justesse des calculs.

De plus, tout texte devra etre redige proprement et dans un francais de qualite. En effet, il est possiblede penaliser jusqu’a un maximum de 5 % tout travail redige dans un francais incorrect.

La note alphabetique est determinee en fonction du resultat numerique. Si la note numerique est x/100,la note alphabetique est :

A+ si 100 ≥ x ≥ 90 A si 90 > x ≥ 85 A− si 85 > x ≥ 80B+ si 80 ≥ x ≥ 77 B si 77 > x ≥ 73 B− si 73 > x ≥ 70C+ si 70 ≥ x ≥ 67 C si 67 > x ≥ 63 C− si 63 > x ≥ 60D+ si 60 ≥ x ≥ 55 D si 55 > x ≥ 50 E si 50 > x

Particularites

1. Si, apres avoir depasse la limite de 6 mois pour completer le cours, vous omettez de vous inscrire al’examen final que vous deviez passer, vous obtiendrez la cote W.

2. Si vous vous inscrivez a un examen final et que vous � oubliez � de vous y presenter, vous obtiendrezla cote W.

3. Si vous vous inscrivez a un examen final et que la somme ponderee (selon les proportions definies dansle plan de cours) de vos notes ne permet pas de reussir le cours (resultat final inferieur a 50 %), vousobtiendrez la cote E.

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4. Si vous obtenez la cote W et que vous souhaitez reprendre le cours, vous devrez vous reinscrire aupresde la Faculte des sciences. Vos progres dans le cours (devoirs, tests) seront conserves et vous continuerezau point ou vous etiez rendu.

5. Si vous obtenez la cote E et que vous souhaitez reprendre le cours, vous devrez vous reinscrire aupresde la Faculte des sciences. Vous devrez toutefois reprendre la matiere du debut.

Bibliographie

Manuel obligatoire (inclus avec l’inscription) :

• AMYOTTE, Luc. Calcul integral, Saint-Laurent, ERPI, 2008.

Manuels de reference :

• AYRES, Frank Jr. Theorie et applications du calcul differentiel et integral, Paris, McGraw-Hill, serieSchaum, 1977, 346 p.

• BRADLEY, Gerald L., et Karl J. SMITH. Calcul integral, Saint-Laurent, ERPI, 2002, 301 p.• CHARRON, Gilles, et Pierre PARENT. Calcul integral, 3e edition, Laval, Groupe Beauchemin, 2004,

436 p.• HUGHES-HALLET, D., et coll. Calcul integral, Montreal, Cheneliere/McGraw-Hill, 2001, 371 p.• OUELLET, Gilles. Calcul 2 : Introduction au calcul integral, 3e edition, Sainte-Foy, Le Griffon d’argile,

2002, 419 p.• STEWART, James. Analyse : Concepts et contextes, Paris, De Boeck Universite, 2001, 643 p.• THOMAS, George B., Ross L. FINNEY, Maurice D. WEIR et Frank R. GIORDANO. Calcul integral,

Laval, Groupe Beauchemin, 2002, 392 p.• SWOKOWSKI, Earl K., Analyse, 5e edition, Bruxelles, De Boeck Universite, 1993, 1 053 p.

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