Upload
zorana
View
110
Download
6
Embed Size (px)
DESCRIPTION
MATA KULIAH KALKULUS III (4 sks) DOSEN : Ir.RENILAILI, MT. MINGGU PERTAMA. MATRIKS. PENGERTIAN MATRIKS - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
MATA KULIAH
KALKULUS III (4 sks)
DOSEN : Ir.RENILAILI, MT
MINGGU PERTAMA
MATRIKS
PENGERTIAN MATRIKS
Matriks adalah sekumpulan bilangan riil atau kompleks yang disususn menurut baris dan kolom sehingga membentuk jajaran persegi panjang. Matriks yang mempunyai m baris dan n kolom disebut m x n atau matriks berordo m x n.
MACAM-MACAM MATRIKS
00
00A
000
000B
320
541
123
C
1234
2317
6051
5413
D
1.Matriks Nol adalah suatu matriks yang semua elemen-elemennya adalah nol. Contoh :
2 Matriks Bujur Sangkar adalah matriks m x n atau banyak baris = banyaknya kolom Contoh :
500
010
001
E
4000
0300
0020
0005
F
3. Matriks Diagonal adalah matriks bujur sangkar yang semua elemennya sama dengan nol, kecuali elemen pada diagonal utamanya.
Contoh :
100
010
001
B
10
01C
4. Matriks satuan/Matriks Indentitas adalah matriks diagonal yang semua elemen diagonal utmanya = 1 Contoh :
a
a
a
G
00
00
00
2000
0200
0020
0002
H
5. Matriks Skalar adalah matriks yang elemen-elemen diagonalnya sama. Contoh :
NOTASI 2 INDEKS
INDEKS PERTAMA MENYATAKAN BARIS DAN INDEKS KEDUA MENYATAKAN KOLOM
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
OPERASI DASAR MATRIKS
• PENJUMLAHAN MATRIKS
• PENGURANGAN MATRIKS
• PERKALIAN MATRIKS
• TRANSFOSE MATRIKS
• DETERMINAN MATRIKS
• INVERS MATRIKS
PENJUMLAHAN MATRIKS
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
333231
312221
131211
bbb
bbb
bbb
333332323131
232322222121
131311121111
bababa
bababa
bababa
PENGURANGAN MATRIKS
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
333332323131
232322222121
131311121111
bababa
bababa
bababa
333231
312221
131211
bbb
bbb
bbb
PERKALIAN MATRIKS
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
333231
232221
131211
kakaka
kakaka
kakakaK x =
TRANSFOSE MATRIKSJika baris dan kolom suatu matriks dipertukarkan maksudnya baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris, maka matriks baru yang terbentuk disebut transpose dari matriks semula.
CONTOH TRANSFOSE MATRIKS
A =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
maka AT =
332313
322212
312111
aaa
aaa
aaa
DETERMINAN MATRIKS
Ada 3 metode yang bisa dipakai untuk menghitung determinan 3 x 3 yaitu:
Metode Sarruss
Metode kofaktor (atas)
Metode kofaktor (bawah)
Untuk determinan 2 x 2 cukup berlaku
ad-bc
Determinan 2x2
Contoh:
Det A = 2.5 – 4.7=10-28 = - 18
54
72A
DETERMINAN 3X3
METODE SARRUSS
METODE KOFAKTOR (ATAS)
KOFAKTOR (SAMPING)
METODE SARRUSS
240
7248105968445
7.5.38.6.19.4.28.4.37.6.29.5.1
87987
54654
21321
det
987
654
321
A
A
METODE KOFAKTOR
33
221
33
221
33
221
333
222
111
ba
bac
ca
cab
cb
cba
cba
cba
cba
CONTOH
21
12012153
24562513
12365148263123
6.29.457.22.427.92.63
92
645
22
742
29
763
292
764
523
C
LATIHAN SOAL-SOAL
1. Buatlah contoh dari macam-macam matrik.
2. Buatlah masing-masing
contoh matriks 2x2 dan 3x3
3. Dari matriks yang anda buat untuk matriks yang 2x2 hitunglah masing-masing penjumlahan, pengurangandan perkaliannya.
4. Untuk matriks yang 3x3 hitunglah determinan dengan 3 cara yang sudah dipelajari sebelumnya.
Usahakan kerjakan soal-soal tepat dalam waktu 1 jam.
INVERS MATRIKS
UNTUK MATRIKS YANG 2X2
ac
bd
cxbdxaA
dc
baA
11
INVERS MATRIKS 3X3
13
10
03
20
01
21
14
10
24
20
21
21
14
13
24
03
21
01
333231
232221
131211
214
013
210
aaa
aaa
aaa
A
MATRIKS KOFAKTOR
341
686
202
AC
ADJOINT MATRIKS
AAdjAT
462
480
162
AAdj
INVERS MATRIKS
)(det
11 AajdA
A
362
480
162
8
1
PERSAMAAN DIFFERENSIAL
PengertianPersamaan Differensial adalah hubungan antara variabel bebas x, variabel tak bebas y, dan satu atau lebih koefisien differensial y terhadap x.
Persamaan differensial menyatakan hubungan dinamik, maksudnya hubungan tersebut memuat besaran-besaran yang berubah dan karena itu persamaan differensial sering muncul dalam persoalan-persoalan ilmu pengetahuan dan teknik. Orde suatu persamaan differensial ditentukan oleh turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan tersebut.
Contoh persamaan differensial untuk orde I ,II dan III
0
0sin
0.
23
3
22
2
2
xedx
dyy
dx
yd
xydx
ydxy
ydx
dyx
Pembentukan Persamaan Differensial
Dalam prakteknya, persamaan differensial dapat dibentuk dari pengkajian persoalan fisis yang dinyatakannya. Secara matematis persamaan differensial muncul bila ada konstanta sembarang dieleminasikan dari suatu fungsi tertentu yang diberikan.
Contoh 1 :
xBxAdx
yd
xBxAdx
dy
takonsadalahBdanAxBxAy
cossin
sincos
tan,cossin
2
2
setelah dua kali differensial ternyata persamaan diatas tepat sama dengan persamaan semula hanya tandanya yang berlawanan.Jadi
02
2
2
2
ydx
ydy
dx
yd persamaan orde 2.
CONTOH 2.
BxAxy 2
ivdx
ydA
iiiAdx
yd
iiBAxdx
dy
ixBxAy
2
2
2
2
2
2
1
2
2
vdx
yd
dx
dyB
Bdx
ydx
dx
dy
Bdx
ydx
dx
dy
BAxdx
dy
2
2
2
2
2
2
2
12
2
Diketahui : fungsi
Ditanya : Bentuklah persamaan differensial dari fungsi diatas
Penyelesaian :
Substitusi persamaan ii dan iv
PEMECAHAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL
Untuk memecahkan differensial, kita harus mencari fungsi yang memenuhi
persamaan itu artinya yang membuat persamaan itu benar.
Hal ini berarti kita harus mengolah persamaan tersebut sedemikian rupa
sehingga semua koefisien differensialnya hilang dan tinggallah hubungan
antara y dan x. Ada 2 cara yang dapat dilakukan yaitu:
1. Dengan Integral langsung
cxxy
dxx
xy
xx
dx
dy
xdx
dyx
ln43
5
45
45
45
3
2
2
3
2. Dengan pemisahan variabel
Jika persamaan yang diberikan berbentuk
, maka variabel y yang muncul diruas kanan mencegah kita memecahkannya dengan integrasi langsung. Karena itu kita harus mencari cara pemecahan yang lain misalkan kita tinjau persamaan dalam bentuk :
dan dalam bentuk yaitu persamaan yang ruas kanannya dapat dinyatakan sebagai perkalian atau pembagian fungsi x dan fungsi y, f (y).
yxfdx
dy,
yfxfdx
dy
yfxf
dx
dy
xfdx
dy
yxdx
dy 11
xdx
dy
y
1
1
1
cxxy
dxxdyy
dxxdxdx
dy
y
2
2
11ln
11
1
11
1
pada contoh tersebut kita ubh dulu menjadi :
kemudian integrasikan kedua ruasnya terhadap x :
Contoh 1
Contoh 2
cxxy
dxx
dx
y
dy
dxx
x
y
dy
dxxydyx
dxxyydyx
xyydx
dyx
lnln
1
1.
.
LATIHAN SOAL-SOAL
xdx
dy
y
x
yxydx
dy
ydx
dyx
xydx
dy
x
y
dx
dy
cos1
sin.5
.4
3cos.3
12.2
.1
2
INTEGRAL VEKTOR
Pengertian Integral Vektor Medan Vektor dapat diartikan hampir sama dengan
medan-medan yang lain, yang muncul secara alamiah seperti medan listrik, medan magnit, medan gaya dan medan gravitasi. Kita hanya memandang kasus dimana medan-medan ini tidak tergantung pada waktu yang kita sebut dengan “MEDAN VEKTOR MANTAP”.
Berlawanan dengan suatu medan vektor suatu fungsi F yang mengaitkan suatu bilangan dengan uap titik didalam ruang disebut medan skalar fungsi yang memberikan suhu pada tiap titik akan merupakan sebuah contoh fisis yang bagus dari suatu medan skalar.
Gambar integral vektor
Divergensi Dan Curl Dari Medan Vektor
Misalkan F = Mi + Nj + Pk adalah medan vektor
kz
jy
ix
operator
ky
M
x
Nj
x
P
z
Mi
Z
N
y
pFCurl
z
p
y
N
x
MFDiv
fDiv
z
P
y
N
x
M
PkNjMikz
jy
ix
F
fgradienf
.
y
M
x
Ni
z
M
x
Pj
z
N
y
Pi
PNMzyx
kji
Fx
Bilamana
beroperasi pada suatu f, ia akan menghasilkan gradien yaitu :
CONTOH 1.
kzxjyzxizxyzyxF 23223 2,,
kzxyxyzjxyxiyzx
kzxyxyzjxyxiyzx
zxyzxzxyzyx
kji
FFCurl
zzxzyFFDiv
22322
22322
23223
223
3434
34340
2
22
Tentukan div F dan curl F dari fungsi :
Penyelesaian :
CONTOH 2.
kzxjyzxizxyzyxF 23223 2,,
kzxyxyzjxyxiyzx
kzxyxyzjxyxiyzx
zxyzxzxyzyx
kji
FFCurl
zzxzyFFDiv
22322
22322
23223
223
3434
34340
2
22
Tentukan div F dan curl F dari fungsi :
MINGGU KEEMPAT
KUISIONER
MINGGU KELIMA
INTEGRAL GARIS
dsyxfc ,
dttytxtytxfdsyxfb
ac
2121,,
Integral Garis , disebut juga dengan integral curva yang dapat ditulis sebagai
integral ini dapat dirumuskan sebagai berikut :
CONTOH
c
ydsx 2
20
t
Hitunglah Integral Curva dari fungsi sebagai berikut :
dengan C ditentukan oleh persamaan parameter x = 3 cos t dan y = 3 sin t,
Penyelesaian
X = 3 cost tdx = -3 sin t dt
27
103
81
0cos2
cos3
81
cos3
81
sincos81
cossin9sincos27
cos9sin9sin3cos9
cos3sin3sin3cos3
33
20
3
2
0
2
2
0
22
2
0
222
2
0
2222
t
tt
dttttt
dttttt
dtttttydsxc
Latihan soal-soal
c
ydsx 2
23
t
1.Tentukanlah Div F dan curl F dari fungsi berikut : F(x, y, z) = (x3y2z)i + (2x y2 z3)j + (3x2 + z3)k
2.Tentukanlah div F dan curl F dari fungsi berikut : F(x, y, z) = (2x4 y z3)i + (x3 y4 z)j + (x3 + 2x4)k
3.Hitunglah integral curva dari fungsi sebagai berikut :
dengan C ditentukan oleh persamaan parameter x = 5 sin t dan y = 5 cos t,
MID TEST
PERSAMAAN DIFFERENSIAL PARSIIL
CONTOH
CONTOH
LATIHAN SOAL-SOAL
MINGGU KESEBELAS
DERET MACLAURINE
CONTOH DERET MACLAURINE
LATIHAN SOAL
1. f(x) = ex turunkan sampai fIV(x)
2. f(x) = Cos 2x turunkan sampai fIV(x)
MINGGU KEDUABELAS
PENERAPAN INTEGRAL LIPAT
CONTOH SOAL
MINGGU KETIGABELAS
VOLUME BENDA PUTAR
CONTOH SOAL
MINGGU KEEMPATBELAS
PUSAT GRAVITASI SUATU BENDA PUTAR
MINGGU KELIMABELAS
LATIHAN SOAL
MINGGU KEENAMBELAS UJIAN AKHIR SEMESTER
DAFTAR PUSTAKA