Upload
vadin
View
54
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
MATA KULIAH MATEMATIKA III( 3 SKS ) SEM. GANJIL 2013/2014. INTEGRAL LIPAT DUA (LANJUTAN) 1 8 092013. INTEGRAL LIPAT Integral Berulang Kita dapat menginterprestasikan integral lipat dua sebagai volume V dari benda padat dibawah permukaan Z = f (x,y ). Contoh: Hitunglah : 1. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
MATA KULIAH MATEMATIKA III( 3 SKS )
SEM. GANJIL 2013/2014
INTEGRAL LIPAT DUA(LANJUTAN)
18092013
INTEGRAL LIPAT
Integral Berulang
Kita dapat menginterprestasikan integral lipat dua sebagai
volume V dari benda padat dibawah permukaan Z = f (x,y ).
R
dAyxfV ,
R
d
c
b
a
dxdyyxfdAyxfV ,,
R
b
a
d
c
dydxyxfdAyxfV ,,
Contoh:Hitunglah : 1. a. Peny: a.
b. Ubah urutan integralnya
3
0
2
1
32 dxdyyx
3
0
3
0
2
12 333 dyydyyxx
2/452
33
3
0
2
yy
Hasil yang sama apabila kita tukarkan urutan integral nya:
2. Hitunglah :
2
1
3
0
2
1
3
0
2
2
3232 dxyxydydxyx
2
1
2
1
2
2
27
2
6
2
276 xxdxx
2/45
2 3
0 0
(9 )y dxdy
Soal-2
3 4. Tentukan volume suatu benda padat yang terletak dibawah permukaan dan diatas persegi panjang
24z x y
{( , ) 0 1,0 2}R x y x y
4 22
2 1
( 3 )xy y dydx
Bentuk grafiknya:
Integral Lipat dua atas daerah bukan persegi panjang Untuk menyelesaikan batas-batas
yang melengkung kita menggunakan
himpunan sederhana x dan himpun-
an sederhana y.
R
dxdyyxdAyxV2
0
1
0
22 44
3
162
3
28
Grafik himpunan sederhana x dan himpunan y :
Himp. Sederhana x ( y=k) Himp. Sederhana y (x=k)
Dimana:Himpunan sederhana x :Himpunan sederhana y:
0 a b
s
xy 2
xy 1
0
d
c
s
yx 1 yx 2
dycyxyyxS ;;, 21 bxaxyxyxS ;;, 21
Maka untuk himpunan sederhana x :
Untuk himpunan sederhana y adalah:
s
d
c
dxdyyxfdAyxfV2
1
,,
s
b
a
dydxyxfdAyxfV2
1
,,
Contoh soal:5. Hitunglah integral berulang
Peny:1
0 0
2
2y
xdxdyye
1
0
0
1
0 0
22
22 dyyedxdyyeyx
yx
1
0
1
0
1
0
0 22222
ydydyyedyeey yy
1
0
1
0
1
021
02 yeydydue uu
211 ee
Latihan(P.R)
6.
7.
8.
32
1
( )y
y
x y dxdy2
2
2
0 2
x x
x
xdydx
1 32
0 0
x
x ydydx
9. Gunakan integral lipat dua untuk menetukan volume dari tetrahedron yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang Peny:Perpotongan sumbu x x=4Perpotongan sumbu y y= 2Perpotongan sumbu z z=3
Daerah segitiga bidang xy membentuk alas tetrahedron di lambangkan dengan S. Kita akan mencari volume dibawah permu-kaan :
012463 zyx
3
2
4
S
Dari pers:
dan diatas daerah S
Memotong bidang xy pada :
S dapat dipandang sebagai :Himpunan sederhana x :Himpunan sederhana y :
012463 zyx
yxz 63124
yxz 244
3
2231261263x
yxyyx
yxyx 246123
20;240;, yyxyxS
{( , ) 0 4,0 2 }2
xS x y x y
Jadi Volume dari benda padat adalah:
4
0
22
0
244
3x
dydxyxV
4
0
4
0
222
02 816
16
34
4
3dxxxdxyxyy
x
4
0
32
3
1416
16
3
xxx
43
444
16
3 333
V
Latihan soal:
Gambar & tentukan , jika :
10. R daerah yg dibatasi oleh x=0, x=¶, y = 0 dan y = sin x.
11. ;
12. R segitiga dengan titik-2 sudut (0,0) , (3,1) , (-2,1)
( , )R
f x y dA
( , )f x y y
2( , )f x y xy
( , ) 4f x y x y 2{( , ) 2 ,0 2}R x y y x y y
INTEGRAL LIPAT DUADALAM KORDINAT POLAR/KUTUB
23092013
Integral Lipat Dua dalam kordinat polar
(r, θ) pasangan kordinat kutub/polar dari P
P(r, θ ) r θ
X
Lingkaran berpusat di (0,0)
• Kordinat Cartesian x² + y² = a²• Kordinat Polar/ kutub r = a Y
a X
Integral Lipat Dua dalam Koordinat KutubKurva-kurva tertentu pada suatu bidang seperti lingkaran, kardioid, dan mawar lebih mudah dihitung dengan menggunakan koordinat kutub.
Maka volume V benda padat di bawah permukaan ini dan di
atas Rdinyatakan:
Dalam koordinat kutub, persegi panjang kutub R
R
dAyxfV ,
;;, brarR
dimana a ≥ 0 dan β – α ≤ 2π
Maka volume V dalam koordinat kutub:
SOAL :
sin,cos, rrfyxfz
,rf
R R
rdrdrrfdAyxfV sin,cos,
Contoh soal:Tentukan volume V dari benda padat diatas persegipanjang kutub:
dan dibawah permukaanPeny:Dik : maka
maka
4/0;31:, rrR22 yxez
222 ryx 2rez
V 4/
0
3
1
222
rdrdedAeV r
R
yx
4/
0
3
1
4/
0
3
12
1
2
1
dedude uu
lanjutan
4/
0
4/
01919
2
1
2
1 eedee
19
8ee
Integral Kutub Himpunan Umum SUntuk integral kutub kita kenal himpunan sederhana r dan himpunan sederhana θ .
Maka:
Contoh soal:Hitunglah dimana S adalah daerah di kuadran
pertama yang berada di luar lingkaran r = 2 serta di dalam kardioid
Penyelesaian :
;:, 21 rrS
rrbrarS 21;:,
R
ydA
cos12 r
Berdasarkan gambar di bawah ini maka:S adalah himpunan sederhana r
sinry 2/0
cos122 rr
S
rdrdrydA2/
0
cos12
2
sin
2/
0
cos12
2
3
sin3
dr
2/
0
33 sin
3
2
3
sincos12
d
2/
0
2/
0
3 sinsincos13
8
dd
2/
0
2/
0
3 sin3
8
dduu
2/
0
4 coscos14
1
3
8
3
22121
4
1
3
8 44