MATA KULIAH RISET OPERASIblog.ub.ac.id/centrifuge/files/2013/06/FIX-RO.pdf · dibulatkan ke bawah untuk mendapatkan batas bawah (ko ndominium) - Dalam menentukan dari variable mana

TUGAS BESAR

MATA KULIAH RISET OPERASIKELAS F

DOSEN PENGAMPU : IKA ATSARI DEWI, STP, MP.

Anggota Kelompok :

1. Sela Putri Anggraini 125100301111097

2. Mala Wijayanti 125100301111096

3. Sigit Sugiarto 125100301111094

JURUSAN TEKNOLOGI INDUSTRI PERTANIAN

FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

MALANG

2013

TUGAS BESAR



Anggota Kelompok :


2. Mala Wijayanti 125100301111096

3. Sigit Sugiarto 125100301111094




MALANG

2013

TUGAS BESAR



Anggota Kelompok :


2. Mala Wijayanti 125100301111096

3. Sigit Sugiarto 125100301111094




MALANG

2013

SOAL:1. TEORI ANTRIAN

Reva Salon yang terkenal di UB memperkerjakan 4 penata rambut yang siap

melayani pelanggan dengan dasardatang pertama dilayani pertama. Para pelanggan

tingkat kedatangannya 5/jam. Dan penata rambut tersebut menghabiskan rata-rata

35 menit setiap pelanggan.

a. Tentukan rata-rata jumlah pelanggan dalam salon tersebut, rata-rata waktu

yang dihabiskan pelanggan untuk menunggu, rata-rata jumlah pelanggan

yang menunggu untuk dilayani.

b. Manajer salon tersebut mempertimbangkan dipekerjakannya penata

rambut ke-5. Apakah hal ini memiliki pengaruh yang penting pada waktu

menunggu?

2. PROGRAM DINAMIK (Program Knapsack)Alternatif barang yang dibawa Berat Laba

X 2 90

Y 3 150

Z 1 30

Maks R1D1 + R2D2 + R3D3Ditujukan W1D1 + W2D2 +W3D3 < 5

Dimana:

R =Pengembalian dari tiap barang

D =Keputusan jumlah barang yang dibawa

W =Berat barang yang dibawa

Selesaikan penyelesaiannya (Tahap I, Tahap II, Tahap II)

3. ANALISIS MARKOVPerusahaan truk “Angkutan apa saja“ melayani 3 kota : Bandung, Semarang,

Malang. Truk-truk disewa dengan dasar harian dan dapat disewa dan dikembalikan

di kota manapun. Matriks transisinya :

Disewa Bandung Semarang Malang

Bandung 0,6 0,2 0,2

T= Semarang 0,3 0,5 0,2

Malang 0,4 0,1 0,5

Tentukan Matriks transisinya

Jika perusahaan mempunyai 200 truk. Berapa perkiraan truk tersedia di masing-

masing kota pada setiap saat di masa datang ?

4. AHPMemilih mainan anak-anak yang paling baik. Tentukan sendiri alternative (4)

dan kriterianya (5) ! beri bobot menurut pendapat kelompok saudara.

5. GOAL PROGRAMMINGSebuah pabrik memproduksi kertas Koran dan kertas pembungkus.

Dibutuhkan 5 menit untuk memproduksi 1 yard kertas Koran dan 8 menit untuk

kertas pembungkus. Perusahaan mempunyai 4.800 kapasitas produksi normal yang

tersedia setiap minggu keuntungan untuk setiap 1 yard kertas Koran adalah $ 0,2

dan $ 0,25 untuk kertas pembungkus. Permintaan mingguan kertas Koran = 500 yard

dan kertas pembungkus = 400 yard. Berikut tujuan yang ingin dicapai sesuai prioritas

perusahaan.

1) Membatasi waktu lembur hanya boleh sampai 480, tidak lebih

2) Mendapatkan keuntungan sebesar $ 300 setiap minggu

3) Memenuhi permintaan produk agar keuntungan besar

4) Menghindari pemanfaatan tenaga kerja dibawah kapasitas

-formulasikan model program tujuan untuk menentukan jumlah yard masing-

masing jenis kertas yang harus diproduksi setiap minggu untuk memuaskan tujuan

yang berbeda dan selesaikan model program tujuan tersebut.

6. PROGRAM INTEGERCari solusi model integer campuran pada slide materi (kondominium, tanah,

obligasi)!

Dengan Ketentuan:

- Pada node 1 hanya variable-variabel dengan batasan integer yang

dibulatkan ke bawah untuk mendapatkan batas bawah (kondominium)

- Dalam menentukan dari variable mana percabangan akan dilakukan pilih

bagian pecahan yang paling besar hanya diantara variable-variabel yang

harus integer.

7. PROGRAM LINIERCari solusi model integer campuran pada slide materi (kondominium, tanah,

obligasi)

Diagram arus jaringan

Cari:

a) Rute terpendek ke setiap tujuan

b) Rentang pohon minimum

c) Arus maksimum

8. MANAJEMEN PROYEK

Aktivitas (i,j) Pendahulu

WaktuaktivitasMinggu

BiayaAktivitas ($)

Normal Crash Normal Crash

A (1,2) - 16 8 2000 4400

B (1,3) - 14 9 1000 1800

C (2,4) A 8 6 500 700

D (2,5) A 5 4 600 1300

E (3,5) B 4 2 1500 3000

F (3,6) B 6 4 800 1600

G (4,6) C 10 7 3000 4500

H (5,6) D,E 15 10 5000 8000

a. Buat jaringan proyek tersebut

b. Kurangi (crash) jaringan tersebut menjadi 28 minggu

5

5

5

5

5 5

5

5

5

5

5

5

5

0

16

0

90

1

0

4

00

5

14

02

103

57

4

O

A

C

B

D

E

T

JAWABAN:

1. TEORI ANTRIAN

Diketahui: = 35 = 0,58λ = 5 orang per jam=?= 1− λ0,58 = 1− 50,58 − 2,9 = 1= 6,7a. = = = , = , = 2,941b. = ( ) = , ( , ) = , = 0.439c. = ( ) = ( ), = , = 2,195

b. Jika penata rambut ditambah menjadi 5 orang maka,

Po = 0,474

L = ( )( )!( ) Po + = . , ( , )( )!( . , ) 0,474 + , = 0,7465 pelangganWq = =

, = 0,00004 jamLq = L - = 0,7465 - , = 0,0002 jam

Dimana, Apabilaterdapat 4 penata rambut (alternatif 1)λ = 54 = 1,25 orang datang per jamμ = 6,7 orang dilayani per jamJumlah rata-rata pelanggan dalam antrian := λ− λ= 1,256,7 − 1,25= 0,23Rata-rata waktu yang dihabiskan pelanggan untuk menunggu := λ( − λ)= 1,256,7(6,7 − 1,25)= 0,034Jumlah rata-rata pelanggan yang menunggu untuk dilayani := λ2( − λ)= 1,56256,7(6,7 − 1,25)= 0,042Apabila terdapat 5 penata rambut (alternatif 2) :λ = 55 = 1 orang datang per jamμ = 6,7 orang dilayani per jamJumlah rata-rata pelanggandalamantrian :

= λ− λ= 16,7 − 1= 0,17Rata-rata waktu yang dihabiskan pelanggan untuk menunggu := λ( − λ)= 16,7(6,7 − 1)= 0,0261Jumlah rata-rata pelanggan yang menunggu untuk dilayani := λ2( − λ)= 16,7(6,7 − 1)= 0,0261

Kesimpulan :

Operating

Characters

Present System Alternatif 1 Alternatif 2 Satuan

L 2,9 0,23 0,17 Jumlah pelanggan dalam sistem

Lq 0,439 0,034 0,026 jam waktu tunggu pelanggan

Wq 2,19 0,042 0,026 Jumlah pelanggan menunggu

Sehingga apabila manajer mempertimbangkan piñata rambut ke 5 maka akan memeiliki

pengaruh penting pada waktu menunggu pelanggan. Semakin banyak penata rambut, maka

waktu yang digunakan pelanggan untuk menunggu semakin sedikit.

2. PROBLEM KNAPSACK

Diketahui:

Alternatif barang yang

dibawa

Berat Laba

X 2 90

Y 3 150

Z 1 30

Ditanya:

Maksimumkan R1D1+R2D2+R3D3Ditujukan W1D1+W2D2+W3D3 ≤ 5

Dimana :

R = Pengembalian dari tiap barang

D = Keputusan jumlah barang yang dibawa

W = Berat barang yang dibawa

Jawab :

Barang X :

S1 D1 W1 R1

0 0 0 0*

1 0 0 0*

2 1 2 90*

3 1 2 90*

4 2 4 180*

5 2 4 180*

Barang Y :

S2 D2 W2 R2 S1 D1 W1 R1+R2

0 0 0 0 0 0 0 0*

1 0 0 0 0 0 0 0*

2 0 0 0 2 1 2 90*

3 1

0

3

0

150

0

0

3

0

1

0

2

150*

90

4 1

0

3

0

150

0

0

4

0

2

0

4

150

180*

5 1

0

3

0

150

0

2

5

1

2

2

4

240*

180

Barang Z :

S3 D3 W3 R3 S2 R2 R2+R3

0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 30 0 0 30

2 2 2 60 0 0 60

1

0

1

0

30

0

1

2

0

90

30

90

3 3

2

1

0

3

2

1

0

90

60

30

0

0

1

2

3

0

0

90

150

90

60

120

150

4 4

3

2

1

0

4

3

2

1

0

120

90

60

30

0

0

1

2

3

4

0

0

90

150

180

120

90

150

180

180

5 5

4

3

2

1

0

5

4

3

2

1

0

150

120

90

60

30

0

0

1

2

3

4

5

0

0

90

150

180

240

150

120

180

210

210

240*

*Maka:

Barang X yang bisa dibawa = 1 dengan laba 90

Barang Y yang bisa dibawa = 1 dengan laba 150

Barang Z yang bisa dibawa = 0 dengan laba 0

3. ANALISIS MARKOV

Diketahui:

Matriks Transisinya :

Bdg Smrg Mlng

Bandung 0,6 0,2 0,2

T = Semarang 0,3 0,5 0,2

Malang 0,4 0,1 0,5

Ditanya: Tentukan matriks transisinya, jika perusahaan mempunyai 200 truk, Berapa

perkiraan truk yang tersedia di masing – masing kota pada saat di masa datang ?

Dijawab:

Matriks Transisi

.

T =0.6 0.2 0.20.3 0.5 0.20.4 0.1 0.5[ ] = [ ] 0.6 0.2 0.20.3 0.5 0.20.4 0.1 0.5

B = 0.6B+0.3S+0.4M

S = 0.2B+0.5S+0.1M

M = 0.2B+0.2S+0.5M

B+S+M = 1.0

B = 1.0-S-M S = 1.0-B-M M = 1.0-B-S

Persamaan ( 1 )

B = 0,6 B + 0,3 S + 0,4 M

0,4 B = 0,3 S + 0,4 M

0,4 ( 1 – S – M ) = 0,3 S + 0,4 M

0,4 – 0,4 S – 0,4 M = 0,3 S + 0,4 M

0,4 = 0,7 S + 0,8 M

Persamaan ( 2 )

S = 0,2 B + 0,5 S + 0,1 M

0,5 S = 0,2 B + 0,1 M

0,5 S = 0,2 ( 1 – S – M ) + 0,1 M

0,5 S = 0,2 – 0,2 S – 0,2 M + 0,1 M

0,7 S + 0,1 M = 0,2

Persamaan ( 3 )

M = 0,2 B + 0,2 S + 0,5 M

0,5 M = 0,2 B + 0,2 S

0,5 M = 0,2 ( 1 – S – M ) + 0,2 S

0,5 M = 0,2 – 0,2 S – 0,2 M + 0,2 S

0,7 M = 0,2M = 0,2 / 0,7

= 0,2857

Maka, disubstitusikan hasil M = 0,2857 ke dalam persamaan ( 1 ) dan ( 2 ) :

Persamaan ( 1)

0,4 = 0,7 S + 0,8 M 0,4 = 0,7 S + 0,8 (0,2857)

0,4 = 0,7S + 0,2286

0,4 – 0,2286 = 0,7S

0,1714 = 0,7 S

S = 0,1714 / 0,7

= 0, 2449

Persamaan ( 2)

0,7 S + 0,1 M = 0,2 0,7 S + 0,1 ( 0,2857 ) = 0,2

0,7 S + 0,0286 = 0,2

0,7 S = 0,2 – 0,0286

0,7 S = 0,1714

S = 0, 1714 / 0,7

S = 0, 2449

Kemudian, disubstitusikan hasil M = 0,2857 dan S = 0,2449 dalam persamaan berikut : B + S

+ M = 1

B + 0,2449 + 0,2857 = 1

B = 1 – 0,2449 – 0,2857

B = 0,4694

Maka : [ B, S, M ] = [ 0,4694 , 0,2449 , 0,2857 ]

Sehingga truk yang tersedia pada masing – masing kota pada setiap saat di masa datang jika

perusahaan mempunyai 200 truk adalah :

Kota Bandung = B ( 200 ) = ( 0,4694 ) ( 200 ) = 93,88 truk

Kota Semarang = S ( 200 ) = ( 0,2449 ) ( 200 ) = 48,94 truk

Kota Malang = M ( 200 ) = ( 0,2857 ) ( 200 ) = 57,14 truk

Solution From QM:

4. ANALITCAL HIERARCHY PROCESS

Memilih mainan anak – anak yang paling baik. Tentukan sendiri alternatifnya (4) dan

criteria (5). Beri bobot menurut pendapat kelompok anda!

Jawab:

Alternatif : A = Boneka

B = Robot

C = Tamia

D = Pesawat

Kriteria : 1. Harga

2. Kualitas

3. Biaya Perawatan

4. Umur Pemakaian

5. Kecanggihan

Kriteria Harga

AlternatifHARGA

A B C D

A 1 1/5 1/7 1/3

B 5 1 1/2 4

C 7 2 1 6

D 3 1/4 1/6 1

Jumlah tiap

kolom16 69/20 38/21 34/3

Setiap baris dibagi dengan jumlah tiap kolom :

AlternatifHARGA rata–rata tiap

barisA B C D

A 1 1/5 1/7 1/3 0,0572

B 5 1 1/2 4 0,3079

C 7 2 1 6 0,5248

D 3 ¼ 1/6 1 0,1101

Jumlah 1

Kriteria Kualitas

AlternatifKUALITAS

A B C D

A 1 1/4 1/5 1/3

B 4 1 1/3 6

C 5 3 1 5

D 3 1/6 1/5 1

Jumlah tiap

kolom13 53/12 26/15 37/3


AlternatifKUALITAS rata–rata tiap

barisA B C D

A 1/13 3/53 3/26 1/37 0,0690

B 5/13 12/53 5/26 18/37 0,3032

C 7/13 36/53 15/26 15/37 0,5115

D 3/13 2/53 3/26 3/37 0,1162

Jumlah 1

Kriteria Biaya Perawatan

AlternatifBIAYA PERAWATAN

A B C D

A 1 1/6 1/7 1/4

B 6 1 1/2 3

C 7 2 1 5

D 4 1/3 1/5 1

Jumlah tiap

kolom18 7/2 129/70 10


AlternatifBIAYA PERAWATAN rata–rata tiap

barisA B C D

A 1/18 1/21 10/129 1/40 0,0514

B 6/18 2/7 35/129 3/10 0,2976

C 7/18 4/7 70/129 1/2 0,5007

D 4/18 2/21 14/129 1/10 0,1315

Jumlah 1

Kriteria Umur Pemakaian

AlternatifUMUR PEMAKAIAN

A B C D

A 1 7 5 6

B 1/7 1 2 1/3

C 1/5 1/2 1 1/4

D 1/6 3 4 1

Jumlah tiap

kolom317/210 23/2 12 91/12


AlternatifUMUR PEMAKAIAN rata–rata tiap

barisA B C D

A 210/317 14/23 5/12 72/91 0,6198

B 30/317 2/23 1/6 4/91 0,0981

C 42/317 1/23 1/12 3/91 0,0731

D 35/317 6/23 1/3 12/91 0,2091

Jumlah 1

Kriteria Kecanggihan

AlternatifKECANGGIHAN

A B C D

A 1 1/9 1/8 1/5

B 9 1 3 7

C 8 1/3 1 4

D 5 1/7 1/4 1

Jumlah tiap

kolom23 100/63 35/8 61/5


AlternatifKECANGGIHAN rata–rata tiap

barisA B C D

A 1/23 7/100 1/35 1/61 0,0396

B 9/23 63/100 24/35 35/61 0,5702

C 8/23 21/100 8/35 20/61 0,2786

D 5/23 9/100 2/35 5/61 0,1116

Jumlah 1

MENGEMBANGKAN PREFERENSI DALAM KRITERIA

Alternatif

Kriteria

Harga KualitasBiaya

Perawatan

Umur

PemakaianKecanggihan

Boneka

(A)0,0572 0,0690 0,0514 0,6198 0,0396

Robot

(B)0,3079 0,3032 0,2976 0,0981 0,5702

Tamia

(C)0,5248 0,5115 0,5007 0,0731 0,2786

Pesawat

(D)0,1101 0,1162 0,1315 0,2091 0,1116

MERANGKING KRITERIA

Matriks Perbandingan Berpasangan:

Kriteria Harga KualitasBiaya

Perawatan

Umur


Harga 1 1/5 2 1/3 1/4

Kualitas 5 1 7 2 8

Biaya

Perawatan1/2 1/7 1 1/2 1/3

Umur

Pemakaian3 1/2 2 1 1/6

Kecanggihan 4 1/8 3 6 1

Jumlah 27/2 551/280 15 59/6 117/12

Setiap baris dibagi dengan jumlah tiap kolom:

Kriteria Harga KualitasBiaya

Perawatan

Umur


Row

Average

Harga 2/27 56/551 2/15 2/59 1/39 0,0737

Kualitas 10/27 280/551 7/15 12/59 32/39 0,4738

Biaya

Perawatan1/27 40/551 1/15 3/59 4/117 0,0523

Umur

Pemakaian6/27 140/551 2/15 6/59 2/117 0,1457

Kecanggihan 8/27 35/551 1/5 36/59 4/39 0,2545

Jumlah 1

VEKTOR PREFERENSI

Harga 0,0737

Kualitas 0,4738

Biaya Perawatan 0,0523

Umur Pemakaian 0,1457

Kecanggihan 0,2545

SKOR KESELURUHAN

Skor Boneka ( A ) = 0,0737 (0,0572) + 0,4738 (0,0690) +

0,0523 (0,0514) + 0,1457 (0,6198) +

0,2545 (0,0396)

= 0,0042 + 0,0327 + 0,0027 + 0,0903 + 0,0101

= 0,1400

Skor Robot ( B ) = 0,0737 (0,3079) + 0,4738 (0,3032) +

0,0523 (0,2976) + 0,1457 (0,0981) +

0,2545 (0,5702)

= 0,0227 + 0,1437 + 0,0156 + 0,0143 + 0,1451

= 0,3414

Skor Tamia ( C ) = 0,0737 (0,5248) + 0,4738 (0,5115) +

0,0523 (0,5007) + 0,1457 (0,0731) +

0,2545 (0,2786)

= 0,0387 + 0,2423 + 0,0262 + 0,0107 + 0,0709

= 0,3888

Skor Pesawat ( D ) = 0,0737 (0,1101) + 0,4738 (0,1162) +

0,0523 (0,1315) + 0,1457 (0,2091) +

0,2545 (0,1116)

= 0,0081 + 0,0551 + 0,0069 + 0,0305 + 0,0284

= 0,1290

RANKING KESELURUHAN

ALTERNATIF SCORE

Boneka ( A ) 0,1400

Robot ( B ) 0,3414

Tamia ( C ) 0,3888

Pesawat ( D) 0,1290

JUMLAH 1

5. GOAL PROGRAMMING

X1=KORAN

X2= PEMBUNGKUS

FUNGSI TUJUAN:

Z= 0.2X1+0.25X2PEMBATAS:

5X1+8X2 ≤ 4800

X1≤ 500

X2≤400

X1,X2≥ 0

1.P1d1+, P4d1+

2.P1d1+,P2d2-, P4d1+

3. P1d1+,P2d2-,P3d3-, P4d1+

4.P1d1+,P2d2-,P3d3-, P4d4-

Meminimalkan : P1d1+,P2d2-,P3d3-, P4d4-

Terbatas pada:

5X1+8X2+ d1--d1+=480

0.2X1+0.25X2+ d2--d2+=300

X1+ d3--d3+=500

X2+ d3--d3+= 400

X1,X2, d1-,d1+,d2-, d2+, d3-, d3+≥ 0

Solution From QM:

6. PROGRAM INTEGER

Diketahui:

Dengan kendala:

50000x1 + 12000x2 + 8000x3 ≤ 250000

x1 ≤ 4

x2 ≤ 15

x3 ≤ 20

x2 ≥ 0

x1,x3 ≥ 0

x1 :kondominium yang dibeli

x2 : acre tanah yang dibeli

x3 : obligasi yang dibeli

Ditanya:

Memaksimalkan = 9000x1 + 1500x2 + 1000x3Dijawab:

50.000x1 + 12.000x2 + 8.000x3 ≤250.000→25x1 + 6x2 + 4x3+ x4 =125

x1 + x5 =4

x2+ x6 =15

x3+ x7 =20

DENGAN MENGHITUNG MANUAL:

cb cj

basis

9000 1.500 1000 0 0 0 0 RK

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7

0 X4 25 6 4 1 0 0 0 125

0 X5 1 0 0 0 1 0 0 4

0 X6 0 1 0 0 0 1 0 15

0 X7 0 0 1 0 0 0 1 20

Baris ċ 9000 1500 1000 0 0 0 0 0

0 X4 0 6 4 1 -25 0 0 25

9000 X1 1 0 0 0 1 0 0 4

0 X6 0 1 0 0 0 1 0 15

0 X7 0 0 0 0 0 0 1 20

Baris ċ 0 1500 1000 0 -9000 0 0 36000

15000 X2 0 1 2/3 1/6 -25/6 0 0 25/6

9000 X1 1 0 0 0 1 0 0 4

0 X6 0 0 -2/3 -1/6 25/6 1 0 65/6

0 X7 0 0 0 0 0 0 1 20

Baris ċ 0 0 0 -5000/6 -2750 0 0 42250

Solution From QM:Solution From QM:Solution From QM:

Solusi Grafik:

7. PROGRAM LINIER

a. Rute terpendek ke setiap tujuan:

- cabang O

- cabang O, A

O - B 5

O - C 4*

A - B 4*

A - D 9

O - A 2*

O - B 5

O - C 4

O

A

C

B

D

O

A

C

B

2

4

4

- cabang O, A, B

- cabang O, A, B, C, E

- cabang O, A, B, C, D, E

A – D 9

B – D 8

B – E 7*

C – E 8

A – D 9

B – D 8*

E – T 14

D - T 13*

E - T 14

O

A

C

B

D

E

2

4

4

7

O

A

C

B

D

E

T

2

7

8

4

4

O

A

C

B

D

E

T

2

4

4

813

7

SOLUSI: O, A, B, C, D, E

Solution From QM:

SOLUTION: 1, 2, 3, 5, 7

b. Rentang pohon minimum

Solution From QM:

O

A

C

B

D

E

T2

5

4

2

13

c. Arus maksimum

Solution From QM:

102 3

7

2 4

1

3

2

5

5

0

0

0

16

0

90

1

0

4

00

5

14

02

103

57

4

O

A

C

B

D

E

T

1

3

0 3 4

2

2 2

14

1

30

7

0

10

8. MANAJEMEN PROYEK

Diketahui:

Aktivitas (i,j) Pendahulu

WaktuaktivitasMinggu

BiayaAktivitas ($)

Normal Crash Normal Crash

A (1,2) - 16 8 2000 4400B (1,3) - 14 9 1000 1800C (2,4) A 8 6 500 700D (2,5) A 5 4 600 1300E (3,5) B 4 2 1500 3000F (3,6) B 6 4 800 1600G (4,6) C 10 7 3000 4500H (5,6) D,E 15 10 5000 8000

Ditanya:

a. Jaringan Proyek tersebut

b. Crash menjadi 8 minggu

Dijawab:

a. Jaringan Proyek

b h

1

2

3

4

5

6

a

c

e

d

f

g

b. Crash menjadi 8 minggu

Total allowable Crash cosh

Crash time (week) per week

8 300

5 160

2 100

1 700

2 750

2 400

3 500

5 600

Solution From QM:

--- SELESAI ---

Documents

MATA KULIAH RISET OPERASIblog.ub.ac.id/centrifuge/files/2013/06/FIX-RO.pdf · dibulatkan ke bawah untuk mendapatkan batas bawah (ko ndominium) - Dalam menentukan dari variable mana