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MATE 3171
Dr. Pedro Vásquez
UPRM
P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 18
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Ecuaciones
Ejemplos1.
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Definición una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresionesalgebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos(números reales), y desconocidos o incógnitas (variables), relacionadosmediante operaciones matemáticas.Solución es el conjunto de valores que toman las variables que hacen quese cumpla la ecuación.Nota Dos ecuaciones con la misma solución son llamadas equivalentes.Propiedades
1 A = B , A+ C = B + C2 A = B , AC = BC (C 6= 0)
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Ecuación lineal
Definición una ecuación lineal en una variable es una ecuación equivalentea una de la forma
ax + b = 0
donde a y b son números reales.EjemplosResolver las siguientes ecuaciones lineales:
1 2x + 6 = 4− 3x
2 2x + [2x − 3 (2− 4x)] = −3+ 2x aplicando prop. distributiva
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3x + 36
=38+x − 54
el MCD
42
x − 2=
3x + 5
+1
x2 + 3x − 10MCD
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Ecuación cuadrática
Definición una ecuación cuadrática en una variable es una ecuación de laforma
ax2 + bx + c = 0
donde a, b y c , son números reales con a 6= 0.Propiedad
AB = 0 sí y solo sí ó
Solución de x2 = c , c ≥ 0)Las soluciones son x = y x =EjemplosResolver las siguientes ecuaciones cuadráticas:
1 x2 = 16
2 x2 − 50 = 0
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3. x4 − 16 = 0
Completar el cuadradoPara que la expresión x2 + bx sea un cuadrado perfecto, se suma elcuadrado de la mitad del coeficiente de x ,
( b2
)2. Se obtiene:
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Fórmula cuadráticaPara resolver la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 con a 6= 0, seprocede de la siguiente manera:
1 Se divide cada término de la ecuación por a y el término constante semueve a la derecha:
2 Se completa cuadrados en la izquierda:x2 + b
a x + ( )2 = − ca + ( )2
3 Se factoriza la expresión de la izquierda: (x + ( ))2 =
4 Se despeja para x + : x + = ±p = ±p
5 Se depeja para
x : x = − ±p
=− ±p
:Fórmula cuadrática
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Discriminante:El discriminante de la ecuación ecuadrática ax2 + bx + c = 0 esD = .
1 Si D > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales diferentes2 Si D = 0, la ecuación tiene dos soluciones reales e iguales3 Si D < 0, la ecuación no tiene soluciones reales
EjemplosHalle la solución de las siguientes ecuaciones cuadráticas
1 x2 + 4x − 21 = 0 factorizando
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2 x2 + 4x − 21 = 0, complete cuadrados
3 3x2 + 6x − 5 = 0
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4 2y2 − 3y − 1 = 0
5 x4 − 13x2 + 36 = 0
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Otros tipos de ecuaciones
1 Ecuaciones racionales:Se eliminan los denominadores y luego seresuelve la ecuación resultante. Se eliminan como posibles solucioneslos valores reales que hacen cero al denominador, y finalmente severifican si las soluciones obtenidas satisfacen la ecuación original.
2 Ecuaciones radicales: Se aisla el radical, luego se eleva a la potenciacorrespondiente para eliminar el radical, luego se resuelve la ecuaciónresultante. Finalmente se verifica si las soluciones obtenidassatisfacen la ecuación original.
3 Ecuación valor absoluto: Se aplica la propiedad:|x | = a, a ≥ 0, x = a ó x = −a. Luego se verifica si lassoluciones obtenidas satisfacen la ecuación original.
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EjemplosResuelva las siguientes ecuaciones:
110x−
12x − 3
+ 4 = 0, x 6= , x 6=
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2x + 5x − 2
−5
x + 2=
28x2 − 4
3p3x + 18 = x
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4pp
5− x + 2x = 2
5 |6x − 4| = −2
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6 2 |3x − 2| = 14
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7∣∣x2 + 3x − 2
∣∣ = 2
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