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1 Universidad Abierta y a Distancia de México
Unidad 4. Matemáticas básicas
Presentación de la unidad
En la Unidad 4. Matemáticas básicas, se te presentan conceptos fundamentales, como
teoría de conjuntos, aritmética y álgebra. El dominio de estas áreas es indispensable
para iniciar tus estudios en la Universidad Nacional Abierta y a Distancia de México
(UnADM).
En el primer tema, aprenderás los conceptos y las operaciones fundamentales de los
conjuntos, así como también su representación por medio de diagramas de Venn. En el
segundo tema, estudiarás las operaciones fundamentales de los números enteros y sus
propiedades, el teorema fundamental de la aritmética, el máximo común divisor y el
mínimo común múltiplo, asimismo, se presentarán las operaciones fundamentales de
suma, resta, multiplicación y división de números racionales. Finalmente, en el tercer
tema, estudiarás los conceptos básicos del álgebra, el lenguaje algebraico, las
operaciones con expresiones algebraicas, la factorización, las ecuaciones de primer grado
y las ecuaciones cuadráticas.
¡Adelante!
Propósitos
Identificar la teoría de conjuntos, simbología y terminología necesaria para comprender el lenguaje matemático por medio de ejemplos y ejercicios.
Exponer la aritmética de los números enteros y números fraccionarios, a través de ejercicios y aplicaciones.
Plantear y resolver problemas sencillos de la vida cotidiana mediante la aplicación del álgebra, donde se requieran ecuaciones de primero y segundo grado.
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Competencia específica
Recuperar los conceptos, las operaciones y las aplicaciones elementales de la teoría de conjuntos, aritmética y álgebra para plantear y resolver problemas, a través de ejercicios.
4.1. Teoría de conjuntos
A lo largo de las distintas ramas de las matemáticas, la teoría de conjuntos desempeña un
papel primordial, debido a que muchas de las identidades y propiedades analizadas en
las matemáticas se obtienen de ciertos conjuntos particulares o algunas clases de objetos
determinados. Estas ramas son formalmente definidas a través de la teoría de conjuntos.
Como consecuencia, muchas preguntas fundamentales acerca de la naturaleza del
estudio de las matemáticas son reducidas a preguntas sobre conjuntos.
La teoría de conjuntos proporciona una parte de la simbología utilizada en las
matemáticas, como la siguiente:
Símbolo Significado
Pertenece
No pertenece
Contenido
No contenido
Contiene
No contiene
Implica
Igual
Diferente
Conjunto vacío
Complemento de A
Unión
Intersección
Diferencia
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4.1.1. Conceptos básicos
Uno de los conceptos más importantes del estudio de las matemáticas son los conjuntos,
ya que todo lo que se estudia es relativo a propiedades de algunos conjuntos en
particular. La palabra conjunto no tiene una definición concreta, sin embargo,
intuitivamente se entiende que un conjunto es una colección o clase de objetos bien
definidos. Dichos objetos toman el nombre de elementos o miembros del conjunto, por
ello, de forma equivalente se dice que un objeto pertenece a un conjunto dado.
Los conjuntos son representados por letras mayúsculas, por ejemplo, y los
elementos, por letras minúsculas , etc. Cuando un elemento pertenece a un
conjunto , se denota por , en caso contrario, si no es elemento de se denota
por . En resumen, dado un conjunto y un elemento se cumple una y sólo una de
las siguientes condiciones: ó .
Existen dos formas de describir los conjuntos:
1. Por extensión: Aquí se presentan todos los elementos de un conjunto entre los
símbolos de llaves , . Cuando los elementos del conjunto son conocidos y son
un número muy grande, se utilizan puntos suspensivos . Por ejemplo, se
tienen los siguientes conjuntos:
.
.
.
2. Por comprensión: Aquí se usan todas las propiedades que describen a los
elementos del conjunto, es decir, si representa un elemento del conjunto y es
la propiedad que describe al conjunto, entonces se escribe el conjunto de la
siguiente forma: | . En palabras, se dice que “el conjunto de
todos los tales que la propiedad en ”. Observa cómo se
presentan los conjuntos del ejemplo anterior:
| .
| .
| .
|
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Diagramas de Venn
Una herramienta muy útil en la teoría de conjuntos son los llamados diagramas de Venn,
que son representaciones gráficas de conjuntos, con los cuales se pueden visualizar
algunas propiedades de que se presenten en los conjuntos. Usualmente se representa el
conjunto universal como un rectángulo y con regiones dentro de él, se muestran los
distintos conjuntos en cuestión. Por ejemplo, si se desea representar que en un
diagrama de Venn, la siguiente figura es ilustrativa:
Contención de conjuntos
Anteriormente, se explicó la relación de pertenencia que hay entre un elemento y un
conjunto, ahora se estudiará la relación de contención, que se da entre dos conjuntos
dados. Sean y dos conjuntos, se dice que es subconjunto si y solo si todo
elemento de es elemento de y se denota por , en caso contrario . En
símbolos, se tiene que si y solo si dado , lo anterior se lee de la
siguiente manera: dado elemento de implica que es elemento de .
Cuando es común utilizar equivalentemente la palabra contenido, es decir, está
contenido en . Además, se define que incluye o contiene a si y solo si y se
denota por . Si se quiere ver gráficamente que equivalentemente el
diagrama de Venn es la siguiente figura:
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Observa los siguientes ejemplos de contención de conjuntos:
1. Sean y | , claramente ,
ya que toda vocal es una letra del alfabeto.
2. Sean | y | , entonces
, ya que, como se verá más tarde, es múltiplo de .
Una consecuencia inmediata de la definición de contención de conjuntos es el siguiente
resultado:
Lema: Si y entonces .
Igualdad entre conjuntos
En matemáticas es común definir algunas propiedades en términos de una igualdad, por
ejemplo, un número real es positivo si y solo si | |. En teoría de conjuntos se tiene
algo similar, muchas propiedades de conjuntos se presentan en términos de la igualdad
de conjuntos, que se define de la siguiente manera: Se dice que el conjunto es igual al
conjunto si y solo si y tienen los mismos elementos, y se denota por , en caso
contrario . Nótese que si todo elemento de es elemento de implica que y
si todo elemento de es elemento de entonces , por lo tanto, se tiene que
si y solo y . En consecuencia, si se tiene que demostrar una igualdad entre
conjuntos basta demostrar una doble contención. Por ejemplo, dados los conjuntos
y se tiene que , nótese que no importa que los
elemento y se repitan dos veces en el conjunto .
Conjunto universal y conjunto vacío
Ahora toca el turno de definir el conjunto q í “ ” radica
en el hecho de universo de discusión, es decir, el conjunto universal es el conjunto de
todos los objetos que entran en una discusión dada. Por ejemplo, si se habla de
divisibilidad, el conjunto universal es el conjunto de todos los números enteros; si se habla
de derechos humanos, el conjunto universal es el conjunto de todos los seres humanos; y
en geometría plana, el conjunto universal es el plano.
Existe un conjunto distinguido que no tiene elementos, que se llama conjunto vacío, este
se denota por ó y resulta de contradicciones. Por ejemplo, si se desean buscar todos
los números naturales menores que cero, es claro que no existen dichos números.
Matemáticamente el conjunto vacío se define por | . Dado que el conjunto
vacío se define a partir de una contradicción, por cuestiones de lógica de predicados se
tiene que , para cualquier conjunto .
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Actividad 1. Conceptos básicos
Instrucción: Lee con atención cada enunciado y elige la respuesta que consideres
correcta.
1. Dado el conjunto , di cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas:
a. F, V, V y F.
b. F, F, V y V.
c. F, V, F y F.
d. F, F, F y V.
2. Escribe en su forma comprensiva los siguientes conjuntos:
i. consiste de todos los dígitos.
ii. E í í .
a. | í y |
b. | y | í .
c. | í y | í .
d. y |
3. De los siguientes conjuntos, ¿cuáles son vacíos?
i. | q .
ii. | .
iii. | .
iv. | .
v. | .
a. y
b. , y
c. , y
d.
7 Universidad Abierta y a Distancia de México
4. Dados los conjuntos Define si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas.
a. V, F, V, V y V.
b. F, F, V, V y F.
c. F, F, V, F y V.
d. V, V, F, V y F.
5. Dados y , considera que . ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas?
a. V, F, F, V y V.
b. F, F, V, V y F.
c. V, F, V, F y V.
d. F, F, F, V y V.
4.1.2. Operaciones con conjuntos
En la sección previa se presentaron los conceptos básicos de los conjuntos, en esta
sección se definirán algunas operaciones fundamentales sobre los mismos, como el
complemento, la unión, la intersección y la diferencia. Por simplicidad de notación, en el
resto de esta sección denotará un conjunto universal fijo.
Complemento de un conjunto
Cuando se presentan algunas propiedades matemáticas sobre un conjunto, en muchas
ocasiones no es fácil trabajar directamente con el conjunto. Por ejemplo, si se necesita
trabajar con todos los valores tales que , es más sencillo identificar cuando
, es decir, solo puede tomar el valor de . Se definirá el complemento de un
conjunto dado con respecto a determinado conjunto universal. Dado , el
complemento de con respecto a se define como el conjunto | ,
gráficamente se tiene:
8 Universidad Abierta y a Distancia de México
Considera los siguientes ejemplos:
Si es el conjunto de los números enteros y es el conjunto de todos los
números pares, entonces es el conjunto de todos los números impares.
Sea el conjunto de todos los humanos y el conjunto de todas los niños,
entonces es el conjunto de todos los adultos.
Ahora se enunciarán algunas propiedades del complemento:
Lema: El complemento de un conjunto satisface lo siguiente:
a)
b) .
Unión de conjuntos
Si se tiene una bolsa con manzanas y con el paso del tiempo se obtiene una bolsa con
peras, se puede vaciar el contenido de ambas bolsas en una bolsa más grande.
Pensando en términos de conjuntos, se toman todos los elementos de los dos primeros
conjuntos para construir otro que resulta de “reunir” los elementos de tales conjuntos. Esto
es muy común con los objetos matemáticos, es decir, reunir objetos de conjuntos dados
para obtener otro conjunto que contenga a dichos conjuntos. La siguiente operación entre
conjuntos que se definirá es la unión, dados , el conjunto unión es el
conjunto | . En palabras, para que un elemento pertenezca a la
unión de conjuntos basta con que pertenezca al menos a alguno de los conjuntos que se
unen. Gráficamente, se tiene lo siguiente:
9 Universidad Abierta y a Distancia de México
Observa los siguientes ejemplos:
Sean , entonces se tiene
que .
Sean , entonces .
Ahora se enunciarán algunas propiedades de la unión de conjuntos:
Lema: La unión de conjuntos satisface lo siguiente:
a) Dado , se tiene que .
b) Para se tiene que si y solo si .
c) Para se tiene que .
d) Para , se tiene que .
Intersección de conjuntos
Un problema importante en geometría es el siguiente: Dadas dos rectas no paralelas,
¿dónde se cortan? Intuitivamente dos rectas se cortan en un punto. Si consideras las
rectas como conjuntos de puntos, verás que el punto de corte tiene la particularidad de
pertenecer a ambos conjuntos, usualmente se dice que el punto de corte es la
“intersección” de las dos rectas. Ahora se presentará la definición de intersección de
conjuntos: dados , el conjunto intersección es el conjunto |
, es decir, la intersección de conjuntos está formada por todos los elementos
comunes de los conjuntos en cuestión. Gráficamente se tiene lo siguiente:
10 Universidad Abierta y a Distancia de México
Observa los siguientes ejemplos:
Sean , entonces
.
Sean , entonces .
El último ejemplo motiva la siguiente definición: dados dos conjuntos se dice que
es ajeno ó disjunto a si y solo si . Enseguida se enunciarán algunas
propiedades de la intersección de conjuntos:
Lema: La intersección de conjuntos satisface lo siguiente:
a) Dado , se tiene que .
b) Para se tiene que si y solo si .
c) Para se tiene que .
d) Para , se tiene que .
Las propiedades que relacionan a la unión, la intersección y el complemento son las
siguientes:
Teorema: Dados se tienen las siguientes relaciones:
i. .
ii. .
iii. .
iv. .
De lo anterior (i) y (ii) son las propiedades distributivas. Los puntos (iii) y (iv) se conocen
como las leyes de De Morgan.
11 Universidad Abierta y a Distancia de México
Diferencia de conjuntos
Considera que formas parte de un grupo de médicos que busca un tratamiento para una
enfermedad exclusiva de la población masculina. En este caso, no tiene sentido realizar
un estudio en el conjunto de todos los humanos, ya que por la naturaleza de la
enfermedad solo se debe estudiar a la población masculina. Pensando en términos
conjuntistas, al conjunto de los humanos hay que quitarle el conjunto de todas las
mujeres. En matemáticas, este fenómeno se presenta de manera usual, en muchos casos
hay que quitarle algunos elementos a un conjunto determinado, lo que lleva a la definición
de la diferencia entre conjuntos. Dados , la diferencia de con o menos
es el conjunto | . Nótese que si y es equivalente a
decir por lo tanto, . La diferencia se ve gráficamente de
siguiente forma:
12 Universidad Abierta y a Distancia de México
Actividad 2. Operaciones con conjuntos
Instrucciones: Lee con atención cada enunciado y elige la respuesta que consideres
correcta.
1. Escribe en notación de teoría de conjuntos los siguientes enunciados:
i. no es elemento de .
ii. incluye a la unción de . iii. pertenece a la diferencia de menos .
iv. esta contenido en el complemento de . v. es ajeno a la unión de con la intersección de con .
a. .
b. . c. .
d. . 2. Diagrama que presenta la validez de .
a. c.
b. d.
13 Universidad Abierta y a Distancia de México
3. ¿Qué diagrama presenta la validez de
a.
b.
c.
d.
14 Universidad Abierta y a Distancia de México
4. Diagrama que presenta la validez de .
a.
b.
c.
d.
15 Universidad Abierta y a Distancia de México
5. Dada las siguientes relaciones entre conjuntos, determina cuáles son verdaderas y
cuáles son falsas. a) b) . c) .
d) .
e) .
a. F, F, V, V y F. b. F, V, F, V y F. c. V, F, F, V y F. d. F, F, V, V y V.
16 Universidad Abierta y a Distancia de México
Actividad 3. Teoría de conjuntos
Instrucciones: Lee con atención cada enunciado y elige la respuesta que consideres
correcta.
1. Presenta los siguiente conjuntos en su forma explícita: | |
a. .
b. .
c. .
d.
2. De los siguientes conjuntos, ¿cuáles son iguales?
a. y .
b. .
c. y .
d. .
3. Escribe todos los subconjuntos del conjunto .
a. , , y .
b. , y
c. , y
d. y .
4. Dados los conjuntos . ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas?
a. V, F, F, F y F.
b. V, V, F, F y V.
c. F, F, V, F y V.
d. V, F, F, V y V.
17 Universidad Abierta y a Distancia de México
5. ¿Qué diagrama de Venn comprueba que y , entonces ?
a. c.
b. d.
6. ¿Qué diagrama presenta la validez de ?
a. c.
b. d.
18 Universidad Abierta y a Distancia de México
7. ¿Qué diagrama presenta la validez de ?
a.
b.
c.
d.
19 Universidad Abierta y a Distancia de México
8. ¿Qué diagrama presenta la validez de
a.
b.
c.
d.
20 Universidad Abierta y a Distancia de México
9. Considerando que , calcula:
a. . b. . c. . d. .
10. ¿Qué diagrama representa que los conjuntos A y B son ajenos?
a. c.
b. d.
21 Universidad Abierta y a Distancia de México
4.2. Aritmética
La aritmética comienza con el estudio de los números naturales: . Uno de
los primeros objetos de estudio en este conjunto es la operación de suma, que tiene una
ó : “ ” j j . P
induce otra operación conocida como resta, que en esencia consiste en la acción opuesta
a agregar, es decir, se deben q ” j .
De manera natural, no se puede quitar más cosas de las que se tienen, sin embargo, hay
fenómenos que sí tiene sentido quitar más de lo que se tiene, por ejemplo, las ganancias
y pérdidas del calor. Por tal motivo, el conjunto es insuficiente para algunos estudios
donde se requiera realizar restas, esta es la motivación para obtener el conjunto de los
números enteros:
Se toma al conjunto y se le agregan todos los posibles resultado que se pueden obtener
al realizar la operación de resta en .
Cuando se realizan sumas en donde todos los elementos que se suman son el mismo,
se induce la operación de multiplicación. Análogamente a lo que pasa con la suma, la
multiplicación induce una operación inversa conocida como división. Como no siempre
se puede realizar esta operación en , esto motiva a obtener el conjunto de los números
racionales:
,
| -
Al igual que los números enteros, los números racionales se obtienen de agregándole todos los posibles resultados de dividir. Los símbolos utilizados en este tema son los siguientes:
Símbolo Significado
Conjunto de los números naturales
Conjunto de los números enteros
Conjunto de los números racionales
| | Valor absoluto de
Suma
Resta
Producto
División
Menor que
Mayor que
La potencia de
22 Universidad Abierta y a Distancia de México
4.2.1. Números enteros y sus propiedades
Antes de comenzar con el estudio de los números enteros, considera que debes tener las
habilidades para realizar las operaciones de suma, resta y multiplicación de números
naturales.
Representación gráfica
Los números enteros se presentan en una en una línea recta como se muestra en la
siguiente figura:
Primero ubica el número cero en un punto de la recta, a continuación coloca hacia la
derecha, en el orden usual a los números naturales y, finalmente, de lado izquierdo, sus
“ ”, que se obtienen de tomar un número natural y ponerle un signo
menos de lado izquierdo. Por ejemplo, el inverso del es . Los números naturales
distintos del cero toman el nombre de positivos y sus inversos se llaman negativos.
Valor absoluto
Muchas de las aplicaciones de los números enteros no requieren el uso del signo del
número, por ejemplo, al calcular una distancia no importa si se mide de un punto a un
punto o si medimos del punto al punto . Esto motiva el siguiente concepto: el valor
absoluto de un número entero se define como el valor del numero entero sin importar
su signo, este se denota entre dos barras verticales, es decir, el valor absoluto de se
denota por | |. Gráficamente el valor absoluto es la distancia que hay de un número
entero al cero.
Por ejemplo, el valor absoluto del es y el valor absoluto del es , en símbolos se
escribe de la siguiente manera: | | y | | .
23 Universidad Abierta y a Distancia de México
Parte importante del estudio de lo números enteros son sus operaciones de suma, resta,
multiplicación, división y combinaciones entre ellas. Ahora toca el turno de presentar
dichas operaciones y se inicia con la más elemental:
Suma de números enteros
Para representar la operación de suma ó adición, se utiliza el símbolo . La suma en los
números enteros se puede dividir en tres casos:
1. Todos los números son positivos o cero: En este caso la suma es la misma que en
los números naturales, por ejemplo, . Gráficamente se tiene lo siguiente:
2. Todos los números son negativos: En este caso se realiza la suma sin importar el
signo y al final del resultado, se le coloca el signo negativo de lado izquierdo, por
ejemplo, . Gráficamente se tiene lo siguiente:
3. Cuando hay positivos y negativos: Para este caso, primero hay que sumar por
separado los positivos y los negativos. Para sumar un positivo con un negativo, hay
que tomar el número de mayor valor absoluto y restarle el valor absoluto del menor, y
colocar el signo del número que tenga más valor absoluto. Por ejemplo,
ya que el número que tiene más valor absoluto es | | después se le resta el
valor absoluto del otro, en este caso | | , la diferencia entre , por último,
el signo es negativo. Gráficamente se tiene lo siguiente:
24 Universidad Abierta y a Distancia de México
Ahora se presentarán las propiedades que tiene la operación de suma en los números
enteros:
(i). Asociatividad: Dados tres números enteros se tiene que
.
(ii). Conmutatividad: Dados dos números enteros , se tiene que
.
(iii). Elemento neutro: Existe el número entero tal que , para cualquier
número entero .
(iv). Inversos aditivos: Dado un número entero , existe un entero tal que
.
Por la propiedad (i) se pueden sumar más de tres números eliminando los respectivos
signos de agrupación. Por ejemplo:
A continuación se ejemplificará lo anterior.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
25 Universidad Abierta y a Distancia de México
Resta de números enteros
De las propiedades anteriores, la existencia de los inversos aditivos expone que todo
número entero sumando con una cantidad adecuada se anula. Por ejemplo, para el
existe un número denotado por tal que e, inversamente, para el existe
el número tal que . En general, el inverso de un número positivo es su
respectivo negativo y el inverso de un negativo es su respectivo positivo. En
resumen, para calcular el inverso de un número entero basta cambiarle el signo a dicho
número, en símbolos se tiene que:
Gráficamente se presenta:
A partir del inverso se define la operación de inversa a la suma, es decir, la resta que
representa por el símbolo “ De la siguiente manera:
Observa algunos ejemplos de restas:
.
.
.
.
.
Orden en los números enteros
En el conjunto la operación de resta permite definir la igualad de números enteros.
Decir que es igual a es equivalente a . En los números naturales, se tiene un
orden conocido, es decir, se comienza con , le sigue el , después , etc.
Gráficamente, un número natural es más grande que otro si se localiza más a la derecha.
En consecuencia, todo número positivo es mayor que y se denota por . Esta
idea se retomará para ordenar a los números enteros, intuitivamente un número entero
es más grande que o que es menor que si se localiza más a la derecha que .
Formalmente, se dice que es menor que o que es mayor que si y solo si
es un número positivo, en tal caso se denota por ó . Por ejemplo: ,
, y .
26 Universidad Abierta y a Distancia de México
Multiplicación de números enteros
Como observaste en el apartado anterior, técnicamente sumar números enteros es
equivalente a sumar números naturales considerando cómo se adapta esta operación
para los nuevos objetos (números negativos). El caso de la multiplicación es análogo al de
la suma en , ya que la multiplicación en es técnicamente la misma que en . La
multiplicación o producto se denota con el símbolo , o utilizando paréntesis, o
concatenando objetos, así para presentar la multiplicación de con se utiliza
indistintamente . Antes de multiplicar números enteros observa cómo
se multiplican sus signos en la siguiente tabla:
Para multiplicar dos números enteros, primero hay que multiplicar sus signos y, después,
multiplicar sus valores absolutos. En consecuencia, el producto tiene las siguientes
propiedades:
(i). Asociatividad: Dados tres números enteros se tiene que:
.
(ii). Conmutatividad: Dados dos números enteros , se tiene que:
.
(iii). Elemento neutro: Existe el número entero tal que , para cualquier
número entero .
Observa algunos ejemplos de productos:
.
.
.
Para finalizar, se definirá la potencia de un número entero del siguiente modo: Dado
, se dice que la -ésima potencia de es el número
⏟
.
27 Universidad Abierta y a Distancia de México
Donde toma el nombre de potencia o exponente y recibe el nombre de base. Por la
regla de los signos, cualquier potencia de un número positivo es positiva, en el caso de
los números negativos, la potencia será positiva si el exponente es par y será negativa si
el exponente es impar.
Revisa los siguientes ejemplos:
.
.
.
.
.
Propiedad distributiva
Las operaciones de suma y producto en , se relacionan a través de la propiedad
distributiva, esta expresa que el producto se distribuye con respecto a la suma. En
símbolos se tiene lo siguiente:
Como es conocido, el producto de números naturales se puede ver gráficamente como el
área de un rectángulo cuyos lados son los valores que se multiplican.
Así, la propiedad distributiva se ve gráficamente del siguiente modo:
28 Universidad Abierta y a Distancia de México
Observa algunos ejemplos de la propiedad distributiva:
.
.
Algoritmo de la división
Siempre que se pueda definir una operación sobre un conjunto determinado, es natural
pensar si esta induce a una operación inversa. El caso del producto en los números
enteros no es la excepción, la operación inversa al producto es la división,
lamentablemente dicha operación no siempre puede llevarse a cabo, lo más que se puede
hacer es el llamado algoritmo de la división. Para esta operación se utiliza el símbolo
y en este curso dicho algoritmo solo se empleará para números enteros positivos.0
Teorema: Dados , existen tales que donde | |.
De lo anterior se desprenden los siguientes nombres: es el divisor, es el dividendo,
es el cociente y es el residuo. Para ejemplificar el teorema anterior, considera y
, entonces y ya que . Realizando la operación
tradicional se observa que:
El algoritmo de la división permite definir los siguiente: Se dice que divide a o que
es un múltiplo de si y solo si , en símbolos se tiene que para algún
Por ejemplo: es divisor de ó es múltiplo de ya que ; y es múltiplo
de ó es divisor de , ya que , no es divisor de ya que .
Ahora se presentan algunos criterios de división de un número por otro:
a) Si se tiene un número cuya última cifra de la derecha es par, entonces es divisible
entre . Por ejemplo: son divisibles entre .
29 Universidad Abierta y a Distancia de México
b) Si la suma de las cifras de un número es un múltiplo de entonces es divisible
entre . Por ejemplo: son divisibles entre , ya que
.
c) Si se tiene un número cuyas dos últimas cifras de la derecha forman un múltiplo de
entonces es divisible entre 4. Por ejemplo: son
divisibles entre .
d) Si se tiene un número cuya última cifra de la derecha es entonces es
divisible entre . Por ejemplo: son divisibles entre .
e) Si se tiene un número cuya última cifra de la derecha es entonces es divisible
entre . Por ejemplo: son divisibles entre .
f) Si se tiene un número cuyas últimas tres cifras de la derecha es un múltiplo de 8,
entonces es divisible entre . Por ejemplo: son
divisibles entre .
Números primos y compuestos
Si consideras solo números positivos, debes q “ ”
ellos tiene dos divisores, es decir, dado un número positivo, son divisores de , ya
que . Esto permite clasificar dichos números en primos y compuestos. Un
número entero positivo diferente de la unidad es primo si y solo si sus únicos divisores
de él son el mismo y la unidad. Un número positivo es compuesto si no es primo, es
decir, los números compuestos tienen más de dos divisores. Por ejemplo son
primos, son compuestos.
La relación que existe entre números primos y compuestos viene dado a través del
siguiente resultado, que se conoce como Teorema fundamental de la aritmética:
Teorema: Todo número entero positivo se puede representar como producto de números
primos, esta representación es única salvo el orden de los factores.
Antes de ejemplificar el teorema anterior, se te ofrecerá una lista de los primeros números
primos menores o iguales a . Para ello, se utilizará el método conocido como Criba
de Eratóstenes, que consiste en los siguientes pasos:
1. Se realiza un listado del al .
2. Se cancela el número por ser la unidad.
3. Se identifica el número inmediato al , que en este caso es el , y se cancelan
todos sus múltiplos.
4. Se identifica el siguiente número no cancelado, que en este caso es el , y se
cancelan todos sus múltiplos.
5. Se identifica el siguiente número no cancelado, que es el ya que el ha sido
eliminado por ser un múltiplo , y se cancelan todos sus múltiplos.
6. Se realiza lo anterior sucesivamente.
30 Universidad Abierta y a Distancia de México
El resultado final se muestra en el cuadro siguiente:
En consecuencia, los números primos entre el y el son los siguientes:
.
Ahora se presentarán algunos ejemplos del teorema fundamental de la aritmética:
.
.
.
.
.
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
El máximo común divisor ( ) de un conjunto de número enteros, como su nombre
lo indica, es el divisor común más grande de dichos números. El método para calcular
el máximo común divisor consiste en buscar los números primos que dividan
simultáneamente a los números dados, no importando si se repiten y, al final,
multiplicarlos. Por ejemplo, si se desea calcular el máximo común divisor de los números
se realiza lo siguiente:
31 Universidad Abierta y a Distancia de México
Por consiguiente .
Ahora se verá una aplicación del máximo común divisor:
Problema: Un carpintero quiere cortar una hoja rectangular de triplay de de largo
y de ancho, para obtener piezas cuadradas de las mismas dimensiones con la
condición de que sean lo más grande posible. ¿Cuánto debe medir la longitud del lado de
cada cuadrado?
Solución: P h q q ó “ h j
” í q dichos cuadrados divide simultáneamente
tanto al largo como al ancho de la hoja, en consecuencia se debe buscar un divisor
. ó “ á ” se debe buscar el más
grande de los divisores comunes de las dimensiones del largo y el ancho. Por lo tanto, la
solución buscada es el máximo común divisor de y , es decir:
En consecuencia, se tiene que cada
cuadrado tiene longitud .
Análogamente, el mínimo común múltiplo ( ) es el más pequeño de los múltiplos
comunes. Para calcular este se buscan números primos que al menos dividan a alguno de
los números dados y, al final, se multiplican. Por ejemplo, si se desea calcular el mínimo
común múltiplo de los números se realiza lo siguiente:
32 Universidad Abierta y a Distancia de México
Por consiguiente,
Ahora se verá una aplicación del mínimo común múltiplo:
Problema: Ana, Juan y Pedro realizan compras en una misma tienda de autoservicios.
Ana va cada días, Juan cada días y Pedro cada días. Si ellos coinciden el día de
hoy en dicha tienda, ¿cuál es el número mínimo de días que tienen que pasar para que
vuelvan a coincidir?
Solución: P h q q ó “ ”
los múltiplos comunes de los días en que Ana, Juan y Pedro van a la tienda. Además, la
ó “ í í ” expresa que el mínimo común múltiplo de , y
es la solución a la cuestión. Realizando las operaciones, se obtiene que:
En consecuencia, el número de días que
tienen que pasar son .
33 Universidad Abierta y a Distancia de México
Actividad 4. Números enteros
Instrucciones: Lee con atención cada enunciado y elige la respuesta que consideres
correcta.
1. Es la propiedad de la suma de números enteros que permite sumar más de tres
cantidades:
a. Asociatividad. b. Conmutatividad. c. Elemento neutro. d. Inversos aditivos.
2. Calcular la siguiente operación: :
a. . b. .
c. . d. .
3. De las siguientes ternas de números, ¿cuáles son múltiplos de ?
a. . b. .
c. . d. .
4. ¿Cuál es la descomposión en factores primos del número ?
a. .
b. .
c. .
d. .
5. Calcula el máximo común divisor de 91 y 117.
a. b. c. d.
6. Calcula el máximo común divisor de .
a. b. c.
34 Universidad Abierta y a Distancia de México
d.
7. Calcula el mínimo común múltiplo de .
a. b. c. d.
8. Calcula el mínimo común múltiplo de .
a. b. c. d.
9. En una mercería se desean vender bolsitas de botones de varios colores. Si se tienen botones blancos, rojos y azules, ¿cuántas bolsitas se pueden formar que contengan el número máximo de botones de cada color? y ¿cuántos botones de cada color hay en cada bolsita?
a. bolsas con blancos, rojos y azules. b. bolsas con blancos, rojos y azules.
c. bolsas con blancos, rojos y azules. d. bolsas con blancos, rojos y azules.
10. En una fiesta hay un pastel y un pay, divididos en y partes respectivamente. Si se desean repartir platillos con una rebanada de pastel y otra de pay, ¿cuál es el número mínimo de platillos que se pueden servir? y ¿en cuántas partes hay que dividir cada sección del pastel y del pay, respectivamente?
a. platillos, cada sección del pastel se divide en y cada sección del pay, en .
b. platillos, cada sección del pastel se divide en y cada sección del pay, en .
c. platillos, cada sección del pastel se divide en y cada sección del pay, en .
d. platillos, cada sección del pastel se divide en y cada sección del pay,
en .
35 Universidad Abierta y a Distancia de México
4.2.2. Números racionales
En la sección anterior viste que la operación de división no siempre se puede llevar a
cabo en el conjunto de los números enteros, para resolver este problema, es necesario
construir el conjunto de los números racionales o fracciones, que resultan de tomar los
números enteros y agregarles todos los posibles resultados de dividir. En consecuencia,
el conjunto de los números racionales es el siguiente:
,
| -
En particular todo número entero se identifica con una fracción de la forma
, es decir,
. Cabe mencionar que realizar la operación de división es equivalente a resolver la
ecuación , donde .
Dada una fracción
, se tiene que toma el nombre de numerador y el de
denominador. Cuando | | | | se dice que la fracción es propia y cuando | | | | se
dice que la fracción es impropia. En este caso, aplicando el algoritmo de división para y
, existen tales que , con | |, al dividir entre se tiene que
, en consecuencia toda fracción impropia puede verse como una parte entera
más una fracción propia, llamada fracción mixta, cuando se tiene la expresión mixta
. En ocasiones, esta se expresa como
.
Inversamente, para convertir una fracción mixta a una fracción impropia, el numerador se
forma multiplicando la parte entera por el denominador y se le suma su numerador; el
denominador es el mismo.
Observa algunos ejemplos de conversiones de impropia a mixta:
ya que 5
27 136
135
1
ya que
3
24 346
243
103
36 Universidad Abierta y a Distancia de México
ya que 8
425 2453 3400 53
Observa algunos ejemplos de conversiones de mixta a impropia:
ya que .
ya que .
ya que .
Equivalencia de fracciones
Primero se comenzará con la equivalencia de fracciones. Esta definición es importante, ya
que no existe una única manera de representar una fracción, por ejemplo, si se toma la
“ q ”
figura:
Se dice que
es equivalente a
si y solo si , lo anterior se denotar por
.
En el ejemplo antes mencionado se tiene que
ya que .
Como consecuencia de lo anterior, toda fracción es equivalente a una fracción que tiene
la propiedad que el máximo común divisor entre el numerador y el denominador es ,
cuando se tiene esta expresión se dice que la fracción está en su mínima expresión.
Para obtener la mínima expresión de una fracción, basta encontrar los divisores comunes
entre el numerador y el denominador, para después cancelarlos y así obtener una fracción
equivalente simplificada. Por ejemplo:
37 Universidad Abierta y a Distancia de México
.
.
.
.
Suma de fracciones
Ahora, toca el turno de definir la operación de suma de fracciones. Esto se realizará en
dos casos:
i. Fracciones de igual denominador: Aquí solo se suman los numeradores y se le
pone el mismo denominador. Por ejemplo:
.
.
ii. Fracciones de distinto denominador: En este caso primero hay que llevar
ambas fracciones a un denominador común y, de ahí, aplicar el caso anterior. Para
encontrar el denominado común, se hará uso del mínimo común múltiplo entre los
denominadores de las fracciones dadas. Por ejemplo:
.
38 Universidad Abierta y a Distancia de México
Resta de fracciones
Análogamente al caso de la suma, la resta se realiza en dos casos:
i. Fracciones de igual denominador: En este caso solo se restan los numeradores
y se le pone el mismo denominador. Por ejemplo:
ii. Fracciones de distinto denominador: En este caso primero hay que llevar
ambas fracciones a un denominador común y, de ahí, aplicar el caso anterior. Por
ejemplo:
Multiplicación de fracciones
De las operaciones de fracciones, la multiplicación o producto es la más sencilla de todas.
Para multiplicar dos fracciones, se multiplican numerador por numerador y denominador
por denominador. En símbolos, dadas dos fracciones
se tiene que
.
Por ejemplo:
39 Universidad Abierta y a Distancia de México
División de fracciones
Antes de definir la división de fracciones, hay que observar que el elemento tiene la
siguiente propiedad:
Así, el y el producto se comportan en de forma análoga como el y la suma en .
Además, dada una fracción no nula
, la fracción
tiene la siguiente propiedad:
La fracción
toma el nombre de inversa de
y se denota por (
)
. Lo anterior permite
definir la división de fracciones del siguiente modo: Dadas dos fracciones
con
se tiene que:
(
)
Observa algunos ejemplos de división de fracciones:
40 Universidad Abierta y a Distancia de México
Actividad 5. Números racionales
Instrucciones: Lee con atención cada enunciado y elige la respuesta que consideres
correcta.
1. ¿Qué fracción es equivalente a
?
a.
b.
c.
d.
2. ¿Cuál es la mínima expresión de la fracción
?
a.
b.
c.
d.
3. ¿Cuál es el resultado simplificado de
?
a.
b.
c.
d.
4. l el resultado simplificado de
?
a.
b.
c.
d.
41 Universidad Abierta y a Distancia de México
5. ¿Cuál el resultado simplificado de
?
a.
b.
c.
d.
6. ¿Cuál es el resultado simplificado de
?
a.
b.
c.
d.
7. ¿Cuál es el resultado simplificado de
?
a.
b.
c.
d.
8. ¿Cuál es el resultado simplificado de
?
a.
b.
c.
d.
42 Universidad Abierta y a Distancia de México
9. ¿Cuál es el resultado simplificado de
?
a.
b.
c.
d.
10. ¿Cuál el resultado simplificado de
?
a.
b.
c.
d.
43 Universidad Abierta y a Distancia de México
Actividad 6. Operaciones aritméticas
Instrucciones: Lee con atención cada enunciado y elige la respuesta que consideres
correcta.
1. Calcula la siguiente operación: .
a. . b. .
c. . d. .
2. Calcula la siguiente operación: .
a. 288. b. 243. c. 256. d. 229.
3. ¿Cuál es la descomposición en factores primos del número 812?
a. b. c. d.
4. lcula el máximo común divisor de .
a. b. c. d.
5. Calcula el máximo común divisor de .
a. b. c. d.
6. Calcula el máximo común divisor de .
a. b. c. d.
44 Universidad Abierta y a Distancia de México
7. Calcula el mínimo común múltiplo de .
a. b. c. d.
8. Calcula el mínimo común múltiplo de .
a. b. c. d.
9. En una pollería se tienen piernas, patas y alas. Se desean hacer paquetes que contengan el máximo número de cada pieza, ¿cuántos paquetes se pueden formar? y ¿cuántas piezas contiene cada uno? a. paquetes con piernas, patas y alas.
b. paquetes con piernas, patas y alas. c. paquetes con piernas, patas y alas.
d. paquetes con piernas, patas y alas.
10. Una papelería vende paquetes de tarjetas de y piezas. Si el propietario quiere vender paquetes con el mismo número de tarjetas en cada uno, ¿cuál es el número mínimo paquetes que tiene que comprar?
a. paquetes de y paquetes de .
b. paquetes de y paquetes de . c. paquetes de y paquetes de .
d. paquetes de y paquetes de .
11. Hallar el numerador de la fracción equivalente a
, que tenga denominador
a. b. c. d.
45 Universidad Abierta y a Distancia de México
12. ¿Cuál es la mínima expresión de la fracción
?
a.
b.
c.
d.
13. Es el resultado simplificado de
:
a.
b.
c.
d.
14. Es el resultado simplificado de
:
a.
b.
c.
d.
15. Es el resultado simplificado de
:
a.
b.
c.
d.
46 Universidad Abierta y a Distancia de México
16. Es el resultado simplificado de
:
a.
b.
c.
d.
17. Es el resultado simplificado de
:
a.
b.
c.
d.
18. Es el resultado simplificado de
:
a.
b.
c.
d.
19. Es el resultado simplificado de
:
a.
b.
c.
d.
47 Universidad Abierta y a Distancia de México
20. Es el resultado simplificado de
:
a.
b.
c.
d.
48 Universidad Abierta y a Distancia de México
4.3. Álgebra
El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las cantidades consideradas del
modo más generalmente posible. Este estudio tiene sus orígenes en las antiguas
civilizaciones, como lo son la egipcia y la mesopotámica. En la aritmética, las cantidades
son representadas por números, valores determinados fijos, por ejemplo, el símbolo
“ ”. D q
valor hay que utilizar otros símbolos distintos a . Si embargo, en el álgebra, el uso de
las letras generalizan a las cantidades presentadas en aritmética, por ejemplo, se puede
utilizar el símbolo para denotar un número cualquiera, en particular, puede toma el
valor de .
4.3.1. Conceptos básicos
En esta sección se estudiarán los conceptos fundamentales del álgebra. Se iniciará con la
presentación de la manera de expresar cantidades, conocidas o no, a través de los
siguientes objetos:
1. Números: Estos son los números utilizados en la aritmética y representan
cantidades bien determinadas. Por ejemplo, “ ” “ ” . Como
viste anteriormente, en los números existen dos operaciones: la suma y el
producto, que son asociativas y conmutativas, y poseen elementos neutros,
que son y respectivamente. Además, cada número tiene un inverso aditivo y
cualquier número distinto de tiene un inverso multiplicativo. La existencia de
los inversos induce las operaciones de resta y división respectivamente. Por
último, ambas operaciones se relacionan a través de la propiedad distributiva.
2. Letras o literales: Son empleadas para representar la generalización de una
cantidad que no se conozca o no esté bien determinada. En consecuencia, las
literales satisfacen todas las propiedades operacionales que satisfagan los
números. Un ejemplo de cómo introducir una literal es el siguiente: decir “ á
ñ ” q expresar “ á tiene
ñ ” q í representa una cantidad que no se puede determinar con la
información dada.
Los signos empleados para relacionar los números y las letras son de tres tipos:
1. Operaciones: Aquí se emplean los signos usuales de la aritmética. Para la suma
(adición), resta, producto (multiplicación) y división se emplean los símbolos , ,
y respectivamente. En consecuencia, se tienen los siguientes convenios:
49 Universidad Abierta y a Distancia de México
a. La expresión “ más ”. C
conmutativa, se tiene que .
b. La expresión “ menos ”.
c. Las expresiones ó ó “ multiplicado por
”. C se tiene que .
En los casos particulares en que uno de los factores sea un número y el
otro una literal o que todos los elementos del producto sean literales, se
omite el símbolo de la operación de multiplicación, por ejemplo,
se escribe .
d. Las expresiones ó
ó “ dividido entre ”.
e. En el producto de dos expresiones algebraicas, un factor es llamado el
coeficiente del otro factor. Por ejemplo, en la expresión , el número
es el coeficiente de . Cuando los coeficientes son números naturales,
indican las veces en que una expresión se suma consigo misma,
considerando el ejemplo anterior es equivalente a . En
particular, cuando el coeficiente es este es omitido, por ejemplo,
se escribe . A partir de como interactúan los números con las literales,
las expresiones algebraicas tienen dos sentido, uno positivo y otro
negativo, el primero se obtiene cuando el coeficiente numérico es positivo y
el segundo cuando es negativo. Finalmente, cuando el coeficiente es ,
toda la expresión es , por ejemplo, .
f. El exponente: Al igual que en aritmética, es un número entero positivo
pequeño colocado en la parte superior derecha que indica las veces que
una expresión, llamada base, se multiplica por sí misma. Por ejemplo,
significa , aquí la base es y el exponente, . En el caso
particular en que el exponente de una expresión sea , este se omite, por
ejemplo, es igual a .
2. Relaciones: Estos son utilizados para establecer relaciones entre expresiones
algebraicas. Por ejemplo, en la igualdad de expresiones algebraicas como en las
expresiones numéricas, se utiliza el símbolo . Así, la expresión “
es igual a ”.
3. Agrupaciones: Este tipo de símbolos son utilizados cuando se tienen operaciones
de tipo binario, como la suma y el producto, para poder operar más de dos
elementos o combinaciones de operaciones. Los signos de agrupación más
50 Universidad Abierta y a Distancia de México
comunes son los parénte “ ” h “ ”. D q
de suma y producto son asociativas cuando se tengan solo sumas o productos, los
signos se omiten, por ejemplo, y
. Sin embargo, en la expresión no pueden omitirse los
paréntesis. Cabe mencionar que cada signo de agrupación de apertura “ ”, se
debe cerrar “ ”, así la expresión y la expresión son incorrectas,
lo adecuado es .
Una expresión algebraica en un arreglo de números, literales y símbolos algebraicos
que respetan los convenios antes mencionados. Por ejemplo:
.
.
.
En particular, un término algebraico o, simplemente, un término es una expresión
algebraica que no tiene los símbolos ó separando objetos, es decir, un término
consta de:
1. Un coeficiente formado por un signo y un número. Por convenio, si el término es
positivo el símbolo se omite.
2. Literales.
3. Exponentes de las literales.
Usualmente cuando las literales de los términos algebraicos se toman de algún alfabeto,
las literales conservan el orden del alfabeto de donde fueron tomadas, así, la expresión
se presenta como ya que en el alfabeto español la letra se presenta
antes que la letra , cabe mencionar que esto es un convenio, la propiedad conmutativa
del producto dice que ambos términos son el mismo. Esto es una manera de tener un
“ ” algebraicos.
51 Universidad Abierta y a Distancia de México
El grado de un término es la suma de los exponentes de las literales que aparecen en
dicho término. Así, el término es de grado , el término es de grado .
Por convenio, una constante numérica tiene grado . En ocasiones, es conveniente ver el
grado de un término con respecto a una literal, en este caso el grado es el exponente de
dicha literal y se menciona el grado con respecto a la literal. Por ejemplo, el término
es de grado con respecto a , de grado con respecto a y de grado
con respecto a .
Las expresiones algebraicas se clasifican a partir del número de términos que la formen, así
se tiene lo siguiente:
1. Monomios: Son aquellas expresiones que tienen uno y solo un término algebraico.
Por ejemplo:
a.
b.
2. Polinomios: Son aquellas expresiones que tienen más de un término algebraico. En
particular se tiene los siguientes:
a. Binomios: Son aquellas expresiones que tienen dos términos. Por ejemplo:
i.
ii.
b. Trinomios: Son aquellas expresiones que tienen tres términos. Por ejemplo:
i.
ii.
c. Como ejemplo de polinomios se tiene lo siguientes:
i. .
ii. .
iii. .
iv. .
Un polinomio ordenado con respecto a una literal, es un polinomio en el cual los
exponentes de la literal escogida aparecen ordenados. Se dice que el polinomio está
ordenado de manera ascendente si el orden es ascendente, de manera similar se dice
que el polinomio está ordenado de manera descendente si el orden es descendente. Por
ejemplo:
Polinomio descendente: y son
ordenados en forma descendente con respecto a la letra
52 Universidad Abierta y a Distancia de México
Polinomio ascendente: y son
polinomios en ascendente con respecto a la letra .
Dos términos son semejantes si y solo si difieren en sus coeficientes, es decir, sus
literales junto con sus potencias se conservan. Por ejemplo:
Los términos , y
son semejantes, ya que en las tres
expresiones aparecen las literales .
Los términos y no son semejantes, ya que a pesar de que
aparecen las literales y sus potencias no se conservan.
Por último, el lenguaje algebraico se encarga de tomar expresiones del lenguaje
cotidiano que involucren las operaciones algebraicas y expresarlas en términos de objetos
algebraicos. Esta es una de las aplicaciones más importantes del álgebra, ya que permite
traducir un problema cotidiano al lenguaje de las matemáticas, por ejemplo, si se tienen
ganancias y pérdidas, estas se traducen en sumas y resta. Observa el siguiente ejemplo:
Ejemplo: Mis padres cumplen con las siguientes condiciones:
a. El doble de la edad de mi papá es .
b. La quinta parte de la edad de mi mamá es .
c. Mi papá tiene años más que mi mamá.
d. La edad de mi papá sumada con la de mi mamá es .
e. Dentro de años mi papá tendrá el doble de la edad que mi madre tiene ahora.
Solución: Primero hay que observar que se tienen dos cantidades: la edad de mi papá y
la de mi mamá, observa que dichas cantidades no se conocen, en consecuencia se
denotan con un par de literales. Sean y la edad de mi papá y de mi mamá
respectivamente.
a. Cuando se habla del doble de un cantidad, matemáticamente es multiplicar por .
Después “el doble de la edad de mi papá es ” se traduce a .
b. Cuando se habla de la quinta parte de una cantidad, matemáticamente es dividir
entre . Después, “la quinta parte de la edad de mi mamá es ”
.
c. Cuando se mencionan excesos y discrepancias, matemáticamente se suma y
resta. L “mi papá tiene años má q á” .
d. Análogamente, “L á á ”
se traduce en .
e. F “dentro de ñ á á” “
q h ” , por lo tanto, la oración completa se
traduce en .
53 Universidad Abierta y a Distancia de México
Actividad 7. Conceptos básicos
Instrucciones: Lee con atención cada enunciado y elige la respuesta que consideres
correcta.
1. Es la expresión algebraica del siguiente enunciado: Por tortas y refrescos pagué
.
a. . b. .
c. . d. .
2. Es la expresión algebraica del siguiente enunciado: El costo de tres sombreros y cuatro trajes es .
a. b. c. d.
3. Diofanto fue un gran matemático cuyo epitafio es el siguiente:
“¡Caminante! Aquí yacen los restos de Diofanto. Los números
pueden mostrar, ¡oh maravilla! La duración de su vida, cuya sexta
parte constituyó la hermosa infancia. Había transcurrido además
una duodécima parte de su vida cuando se cubrió de vello su barba.
A partir de ahí, la séptima parte de existencia transcurrió en un
matrimonio estéril. Pasó, además, un quinquenio y entonces le hizo
dichoso el nacimiento de su primogénito. Este entregó su cuerpo y
su hermosa existencia a la tierra, habiendo vivido la mitad de lo que
su padre llegó a vivir. Por su parte Diofanto descendió a la sepultura
con profunda pena habiendo sobrevivido cuatro años a su hijo.
Dime, caminante, ¿cuántos años vivió Diofanto hasta que le llegó la
muerte?”
La expresión algebraica del epitafio de Diofanto es:
a.
b.
c.
d.
54 Universidad Abierta y a Distancia de México
4. Ordena de manera descendente con respecto a , el polinomio .
a. b. c. d.
5. Ordena de manera descendente con respecto a el polinomio .
a. b. c. d.
55 Universidad Abierta y a Distancia de México
4.3.2. Operaciones con expresiones algebraicas
En esta sección se estudiará cómo se suman, restan, multiplican y dividen polinomios.
Estas operaciones dependen en buena medida de los coeficientes de los términos que
formen los polinomios en cuestión.
Números reales
Como se ha visto existen distintas clases de números, por consiguiente, antes de
comenzar a definir la operaciones con polinomios, se enunciarán las propiedades que
tienen las operaciones de suma y multiplicación de los números con los que se trabajará,
dicho conjunto toma el nombre de números reales, que se denotan con el símbolo ℝ,
esto es muy importante ya que son las reglas que debes seguir de aquí en adelante. Para
enunciar las propiedades de las operaciones y , sean , y tres números reales
cualesquiera, entonces:
(i) es asociativa:
(ii) es conmutativa: .
(iii) Existe ℝ tal que .
(iv) Dado ℝ, existe ℝ tal que .
(v) es asociativa: .
(vi) es conmutativa: .
(vii) Existe ℝ tal que .
(viii) Dado ℝ , existe ℝ tal que .
(ix) se distribuye con respecto a la operación : .
Como ya se dijo anteriormente, estas propiedades son muy importantes porque son las
reglas que de ahora en adelante deberás aplicar cuando requieras operar con
expresiones algebraicas.
Suma de polinomios
Para entender un poco la suma de polinomios, considera que personas van al mercado
y compran frutas: la primera compra manzanas; la segunda, manzanas; y la tercera,
peras. Si las primeras juntan lo que compraron en total tienen manzanas, pero si
las dos segundas juntan sus productos, en total tienen manzanas más peras. Es fácil
observar que la primera operación que se realizó es la suma , ya que se tienen
objetos de la misma naturaleza (semejantes), en el otro caso, no se puede realizar la
operación, ya que lo objetos son de naturaleza distinta (no semejantes) y lo más que se
puede hacer es expresar dicha operación: manzanas peras.
Lo anterior se puede traducir en términos algebraicos: los objetos de la misma naturaleza
son los términos semejantes, recuerda que dos términos son semejantes si difieren solo
56 Universidad Abierta y a Distancia de México
en sus coeficientes. Para sumar o reducir términos semejantes, se suman los
coeficientes y las literales se quedan invariantes. Como caso particular, si dos
términos semejantes difieren solo en su signo, su suma es cero. Cabe mencionar que la
suma de términos semejantes es garantizada por la propiedad distributiva. Observa
algunos ejemplos:
.
.
(
)
.
.
(
)
.
(
)
.
Ahora toca el turno de los términos que no son semejantes: Para sumar dos términos
no semejantes, solo se representa la suma “formal” de los términos, por ejemplo:
.
.
.
.
.
Has visto como se suman términos semejantes y no semejantes, en consecuencia, la
regla para sumar polinomios es la siguiente: Se escribe un polinomio a continuación
de otro y se reducen los términos semejantes.
Ejemplo: Sumar con .
Solución: Se realiza la operación:
Por la regla antes enunciada se tiene:
⏟ P
⏟
57 Universidad Abierta y a Distancia de México
Después, hay que identificar los términos semejantes:
Luego, reduciendo los términos semejantes:
Por lo tanto:
.
que es la respuesta buscada.
Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios:
Solución: Se desea calcular:
(
) (
)
Por la regla, antes enunciada se tiene que:
⏟ P
⏟
⏟
Después, hay que identificar los términos semejantes:
58 Universidad Abierta y a Distancia de México
reduciendo los términos semejantes:
que es la respuesta buscada.
Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios:
Solución: Se quiere realizar:
Por la regla antes enunciada:
⏟
⏟
⏟
Dado que no existen términos semejantes en la expresión anterior se obtiene:
que es la respuesta buscada.
Resta de polinomios
De las propiedades de la suma de números reales la propiedad del elemento neutro dice
que existe un elemento llamado cero que, sumado a un número real, da como resultado el
mismo número y la propiedad del inverso aditivo dice que dado cualquier número real
existe otro número que al ser sumados da como resultado cero. La importancia de estas
dos propiedades es que permite definir la operación de resta del siguiente modo:
nota que esta definición es análoga a la definición de resta presentada en los
números enteros.
Observa que dado un número real y considerando que se tiene que
,
lo que implica que . Como has visto, una literal representa un número cualquiera,
por lo antes mencionado un término algebraico que tenga coeficiente cero es igual a cero.
Por consiguiente, el polinomio cero, denotado de igual manera por es el polinomio que
tiene todos sus coeficientes iguales a cero. Después, dado un polinomio, este se anula si
se le suma el polinomio que tiene los mismos términos, pero con signos contrarios. Por
ejemplo, el polinomio es anulado por el polinomio .
59 Universidad Abierta y a Distancia de México
Para la operación de resta de polinomios, primero hay que identificar el minuendo (que
es el polinomio al que se le resta) y el sustraendo (que es el polinomio que resta). Por lo
tanto, la regla para restar polinomios es la siguiente: Se toma el minuendo y se le suma
el sustraendo con sus signos contrarios.
Ejemplo: De restar .
Solución: Observa que es el minuendo y
es el sustraendo. Así, se desea realizar la operación:
( ⏟
) ( ⏟
)
Por la regla antes enunciada se tiene que:
Después, hay que identificar los términos semejantes:
Después, reduciendo los términos semejantes:
Por lo tanto:
que es la respuesta buscada.
Ejemplo: Restar el polinomio
del polinomio
.
Solución: Observa que la operación a realizar es la siguiente:
(
⏟
) (
⏟
)
60 Universidad Abierta y a Distancia de México
Por la regla antes enunciada, se tiene que:
(
) (
)
Después, reduciendo los términos semejantes:
que es la respuesta buscada.
Exponentes y radicales
Recuerda que un exponente entero positivo o potencia cuenta las veces que una
cantidad no nula, llamada base se multiplica por sí misma, es decir, si es la base y
el exponente o potencia, se tiene que:
⏟
Como consecuencia inmediata de la definición anterior, dados y dos números reales
cualesquiera se cumple:
⏟
⏟
⏟
Además, para dos números enteros positivos y :
⏟
⏟
⏟
Finalmente, también se cumple lo siguiente:
⏟
⏟
La relación dice que multiplicar potencias de la misma base es
equivalente a sumar sus exponentes. Esto permite relacionar las operaciones de división
y resta con los exponentes a través de las siguientes definiciones:
61 Universidad Abierta y a Distancia de México
Esta es la manera de extender el concepto de exponente, de un número entero positivo a
un número entero cualquiera. A partir de la definición anterior, se obtiene que para y
dos números reales, con , entonces:
(
)
⏟
⏟
⏟
en particular, tomando :
(
)
Después, se tiene:
Como has visto, lo inverso a sumar es restar y lo inverso a multiplicar es dividir, ahora
toca el turno de definir lo inverso a una potencia, que toma el nombre de raíz. Sean y
dos números reales positivos y un número entero. Se dice que es la raíz
-ésima de si y solo si es la potencia de . En símbolos: √
si y solo si
.
Observa que sustituyendo tiene √
, análogamente sustituyendo , se obtiene
√ Esta definición permite extender el concepto de exponente entero a exponente
fraccionario, ya que si se parte del hecho que √
implica que (√
)
después , así
y , por lo tanto, √
. Además
se cumple que √
√
√
. Finalmente
√
√
.
62 Universidad Abierta y a Distancia de México
Las leyes anteriores han sido enunciadas para números reales, pero también son validas
para literales. En resumen, las leyes de los exponentes y los radicales son las siguientes:
Observa ejemplos de cómo se emplean las leyes de exponentes y radicales:
.
.
.
.
.
.
√
√
√ .
√
√
√ √
√ .
√
√
√ .
√
√ .
63 Universidad Abierta y a Distancia de México
Multiplicación de polinomios
El concepto de multiplicación de polinomios requiere combinar las leyes de los
exponentes con la propiedad distributiva. Para este estudio se presentará la multiplicación
en tres casos:
1. Monomio por monomio: Para multiplicar dos monomios, primero se multiplicas
sus coeficientes, después se multiplican sus literales. Esto equivale a colocar
todas las letras, de preferencia en orden alfabético y, por último, aplicar las leyes
de exponentes.
Ejemplo: Multiplicar con .
Solución: Realizando los pasos indicados:
Por lo tanto se tiene que .
De manera similar, se obtienen los siguientes productos:
2. Monomio por polinomio: Para llevar a cabo esta operación hay que recordar que
un polinomio es una suma de términos, por consiguiente, este caso se obtiene a
través de la propiedad distributiva, por lo tanto, un monomio por un polinomio es el
polinomio que se forma de la suma de multiplicar el monomio por cada término del
polinomio.
Ejemplo: Multiplicar con .
64 Universidad Abierta y a Distancia de México
Solución: Para mayor comodidad es conveniente presentar el producto de la
misma forma en que se multiplican los números (multiplicación larga):
El resto es aplicar la propiedad distributiva y la multiplicación de monomios del
siguiente modo: primero se toma, de derecha a izquierda, el primer elemento del
polinomio y, después, se multiplica por el monomio, lo que da como resultado
A continuación, se realiza el mismo procedimiento para el segundo término del
polinomio como se muestra a continuación:
Finalmente, se lleva a cabo la misma acción con el tercer término del polinomio:
El resultado final es:
Los siguientes ejemplos se obtienen de la misma manera:
65 Universidad Abierta y a Distancia de México
3. Polinomio por polinomio: Este caso al igual que el anterior se hace uso de la
propiedad distributiva, considera que el segundo polinomio es un solo término, el
producto de él se distribuye con los términos del primer polinomio, así, se tiene la
suma de los monomios que multiplican al segundo polinomio, enseguida se aplica
el caso anterior, a cada uno de los sumandos, y se realiza la suma de los
polinomios que se vayan formando. Lo anterior suena un poco complicado, pero
no lo es, se pide que el primer término del primer polinomio se multiplique por
todos los elementos del segundo, a este polinomio se le suma el producto del
segundo término del primero con el segundo polinomio, y así sucesivamente hasta
terminar con todas los términos que componen el primer polinomio y, finalmente,
se reducen los términos semejantes.
Ejemplo: Multiplicar con
Solución: Como en el caso anterior, primero se acomodan los polinomios del
siguiente modo:
Se inicia tomando, de derecha a izquierda, el primer elemento del polinomio que
se tenga en la parte inferior, como en el caso anterior se multiplica por el polinomio
que esté en la parte superior:
Después, se realiza el mismo procedimiento con el segundo término del polinomio
inferior, cabe mencionar que al final se debe realizar una suma, por tal motivo se
puede aprovechar el arreglo para agrupar los términos semejantes y agilizar su
reducción:
66 Universidad Abierta y a Distancia de México
Finalmente, se suman los resultados previos:
Por lo tanto, es el polinomio:
– –
Ejemplo: Multiplicar con .
Solución: Realizando el algoritmo anterior se obtiene lo siguiente:
Por lo tanto, el resultado buscado es .
División de polinomios
La división de polinomios se presenta como la operación inversa del producto, de forma
análoga al tema anterior, estudiarás la división en los siguientes casos: monomio entre
monomio, polinomio entre monomio y polinomio entre polinomio.
1. Monomio entre monomio: Este caso es parecido al producto de monomios,
primero se identifican el dividendo y el divisor, después se dividen los signos, los
coeficientes y las literales. Para dividir los signos, se utiliza la siguiente tabla:
67 Universidad Abierta y a Distancia de México
Ejemplo: Dividir entre .
Solución: Realizando los pasos indicados:
Por lo tanto, se tiene:
Los siguientes ejemplos se obtienen de manera similar:
2. Polinomio entre monomio: Recuerda que la propiedad distributiva dice que el
producto se distribuye con respecto a la suma, además la división se deriva del
producto, en consecuencia, la división se distribuye con respecto a la suma. Por lo
tanto, dividir un polinomio entre un monomio es igual a la suma de los términos del
polinomios divididos entre el monomio.
Ejemplo: Calcula .
Solución: Realizando los pasos indicados:
Por lo tanto,
68 Universidad Abierta y a Distancia de México
Los siguientes ejemplos se obtienen de manera similar:
3. Polinomio entre polinomio: E á ó “ ”
“ ó ” que se realiza en tres pasos: en el primero divide, en
el segundo se multiplica y finalmente se resta. Las operaciones anteriores se
realizan sin importar cómo se presenten las expresiones a operar, en el caso de la
división, el orden es esencial, para ello se ordenan de manera descendente
ambos polinomios con respecto a una literal fija. Si el grado del divisor es mayor
que el grado del dividendo, no hay nada que realizar, ya que el cociente es igual al
polinomio cero y el residuo es igual al dividendo.
En caso contrario, se dibuja “ ” de la cual se coloca al dividendo y
el divisor queda fuera de esta. Si algún término del dividendo o el divisor no
aparece, es conveniente dejar un espacio para cuestiones operativas. Esta
operación se lleva a cabo en tres pasos: en el primero, se comienza de izquierda a
derecha dividiendo el primer término del dividendo entre el primer término del
divisor, el resultado se coloca “ ”. En el segundo paso este elemento
multiplica al divisor y en el tercer paso, el resultado se le resta al dividendo, lo cual
genera un polinomio de menor grado, recuerda que los polinomios están
ordenados descendentemente. Si el polinomio generado tiene menor grado que el
grado del divisor, el proceso termina; en caso contrario, se aplican los tres pasos al
polinomio generado y al divisor, generando otro de menor grado, y así
sucesivamente hasta terminar con un polinomio de menor grado que el divisor con
respecto a la literal elegida.
Para comprobar que se realizó adecuadamente la división, hay que
multiplicar el divisor por el cociente, el polinomio que resulte se suma al
residuo y el resultado tiene que ser igual al dividendo.
69 Universidad Abierta y a Distancia de México
Ejemplo: Dividir entre .
Solución: Observa que los polinomios ya están ordenados descendentemente con
respecto a , además el grado del dividendo es mayor o igual al grado del divisor. El
“ ” :
Primer paso: El primer término del dividendo, que es , es dividido entre el primer
término del divisor, que es , lo que da como resultado que se coloca en la parte
superior “ ”:
En el segundo paso, el término multiplica al divisor que da como resultado
. En el tercer paso, el polinomio se le resta al dividendo
, recuerda que el polinomio que resta debe cambiar sus signos, así el
q h q “ ” , notarás que el término de
mayor grado se anula al realizar la reducción, en consecuencia, queda el polinomio de
menor grado . E “ ” :
Dado que el grado del polinomio es y el grado del polinomio divisor
es , el procedimiento continúa. Ahora se aplica el proceso a los polinomios
y , tomando el primer término entre da como resultado ,
este es el segundo término de la división, como se ve en la siguiente figura:
70 Universidad Abierta y a Distancia de México
Se multiplica el término por para obtener , cambiándole los signos se
llega . Este polinomio se suma al polinomio , dando como
resultado , dichas operaciones se ubican de la siguiente manera:
Como los polinomios y tienen el mismo grado, el proceso continúa, así,
entre es igual a
, que se ubica del modo siguiente:
Se multiplica
por para obtener y cambiándole los signos da
, al realizar la reducción el resultado es , como el grado de es menor que el grado
, el proceso termina.
71 Universidad Abierta y a Distancia de México
En resumen, al dividir el polinomio entre el cociente es
y el residuo es . La operación queda de la siguiente forma:
Finalmente, la comprobación de dicha operación es la siguiente:
(
)
por lo tanto, la operación es correcta.
Ejemplo: Dividir entre .
Solución: Observa que los polinomios están ordenados en forma descendente con
respecto a y el grado del dividendo es mayor que el grado del divisor, realizando el
proceso de división se tiene lo siguiente:
La comprobación es la siguiente:
.
Por lo tanto, la operación es correcta.
72 Universidad Abierta y a Distancia de México
Actividad 8. Operaciones con expresiones algebraicas
Instrucciones: Lee con atención cada enunciado y elige la respuesta que consideres
correcta.
1. Reduce los siguientes términos semejantes:
, ,
a.
b.
c.
d.
2. Reduce los siguientes términos semejantes:
,
,
a. –
b.
c.
d.
3. Suma los siguientes polinomios: , ,
a. b. c. d.
4. Suma los siguientes polinomios:
a. b. c. d.
5. Resta , de .
a. b. c. d.
73 Universidad Abierta y a Distancia de México
6. Resta y, de .
a. b. c. d.
7. Multiplica los polinomios .
a. b. c. d. .
8. Multiplica los polinomios .
a. .
b.
c.
d.
9. Calcula el cociente y el residuo de dividir , entre .
a. Cociente: residuo: b. Cociente: residuo: . c. Cociente: , residuo: .
d. Cociente: , residuo: .
10. Calcula el cociente y el residuo de dividir , entre .
a. Cociente: , residuo: .
b. Cociente: , residuo: . c. Cociente: , residuo: .
d. Cociente: , residuo: .
74 Universidad Abierta y a Distancia de México
4.3.3. Productos notables
En la sección anterior estudiaste la operación de multiplicación de monomios y
polinomios, en este tema estudiarás algunos casos particulares del producto, como el
cuadrado de un binomio, el producto de binomios conjugados y el producto de binomios
con un término común. El objetivo fundamental de este tema es que conozcas como
realizar de manera rápida tales operaciones.
Cuadrado de un binomio
Dado el binomio , su cuadrado es:
Por lo tanto, el cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más
el doble producto del primer término por el segundo término más el cuadrado del
segundo término. De manera gráfica se tiene lo siguiente:
Observa algunos ejemplos:
Ejemplo: Calcular .
Solución: Se tiene que el primer término es y el segundo es . Siguiendo la regla
anterior:
El cuadrado del primero es .
El doble producto del primero por el segundo es .
El cuadrado del segundo es .
Por lo tanto .
75 Universidad Abierta y a Distancia de México
Ejemplo: Calcular (
)
.
Solución: Se tiene que el primer término es
y el segundo es . Siguiendo la regla
anterior:
El cuadrado del primero es (
)
(
)
.
El doble producto del primero por el segundo es (
) .
El cuadrado del segundo es .
Por lo tanto (
)
.
Los siguientes ejercicios se resuelven de la misma manera:
Productos de binomios conjugados
Se comienza este tema con la definición: un par de binomios conjugados son aquellos
que son la suma y la diferencia de dos términos fijos, es decir, un término no cambia y
el otro solo difiere en el signo, en consecuencia, tienen la forma y . Tomando el
producto de ellos, se tiene:
Por lo tanto, el producto de dos binomios conjugados es igual a la diferencia de los
cuadrados de los términos que forman los binomios, donde el elemento que resta
es el cuadrado del término que difiere de signos en los binomios conjugados.
Gráficamente se tiene:
76 Universidad Abierta y a Distancia de México
Ejemplo: Calcular
Solución: El término que no cambia es y su cuadrado es , el término que cambia
de signos es y su cuadrado es ; la diferencia de cuadrados es , por lo
tanto .
Ejemplo: Calcular .
Solución: El término que no cambia es y su cuadrado es , el término que
cambia de signos es y su cuadrado es ; la diferencia de cuadrados es ,
por lo tanto .
Los siguientes ejercicios se resuelven de la misma manera:
Productos de binomios con un término en común
De manera similar al caso anterior, se define que dos binomios tienen un término en
común si solo difieren en un término, dichos binomios son de la forma y ,
por lo tanto, su producto es el siguiente:
Por lo tanto, el producto de dos binomios con un término común es igual al
cuadrado del término común más la suma de los términos no comunes multiplicada
por el término común más el producto de los términos no comunes. Gráficamente se
tiene:
77 Universidad Abierta y a Distancia de México
Ejemplo: Calcular .
Solución: El término común es y su cuadrado es . Los términos no comunes son
y cuya suma es , multiplicando esta suma por el término
común da como resultado , finalmente, el producto de los términos
no comunes es , por lo tanto,
.
Ejemplo: Calcular .
Solución: El término común es y su cuadrado es . Los términos no comunes son
y cuya suma es , multiplicando esta suma por el término común
da como resultado , finalmente, el producto de los términos no comunes
es , por lo tanto .
Los siguientes ejercicios se resuelven de la misma manera:
78 Universidad Abierta y a Distancia de México
Actividad 9. Productos notables
Instrucciones: Lee con atención cada enunciado y elige la respuesta que consideres
correcta.
1. Calcula .
a. b. c. d.
2. Calcula .
a. b. c. d.
3. Calcula .
a. b. c. d.
4. Calcula .
a. b. c. d. .
5. Calcula .
a. b. c. d.
79 Universidad Abierta y a Distancia de México
6. Calcula .
a.
b.
c.
d.
7. Calcula .
a.
b.
c.
d.
Calcula .
a.
b.
c.
d.
8. Calcula .
a.
b.
c.
d.
9. Calcula
a. b. c. d.
80 Universidad Abierta y a Distancia de México
4.3.4. Factorización
En esta sección se realizará el proceso inverso a lo presentado en la sección anterior, es
decir, dado un polinomio, con alguna forma específica, este se expresa como producto de
otros polinomios, los componentes de ese producto toman el nombre de factores. Aquí
estudiarás cómo factorizar un polinomio con términos comunes, un trinomio cuadrado
perfecto, una diferencia de cuadrados y algunos trinomios en particular.
Polinomio con factores comunes
Estos polinomios son aquellos cuyos términos tienen al menos una literal en común. Uno
de los factores se obtiene calculando el máximo común divisor de sus coeficientes; las
literales que acompañan a este número, son las literales comunes que aparecen elevadas
a la mínima potencia que tienen dichas literales. Este coeficiente y estas literales forman
el factor común, el otro factor se obtiene dividiendo el polinomio entre el término común.
Ejemplo: Factorizar el polinomio .
Solución: El polinomio tiene como literales comunes a y .
El coeficiente del término común es , las literales del término común son
y ya que son las potencias de menor grado que aparecen en el polinomio
. Así, el término común es .
Dividiendo entre da como resultado , por lo tanto,
81 Universidad Abierta y a Distancia de México
Ejemplo: Factorizar el polinomio .
Solución: El polinomio tiene como literales comunes a y
. El coeficiente del término común es , las literales del término común
son y . Así, el término común es . Dividiendo entre
da como resultado , por lo tanto,
Los siguientes polinomios se factorizan de manera similar a los ejemplos anteriores:
Trinomio cuadrado perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto es el resultado de elevar un binomio al cuadrado, en
consecuencia, todo trinomio cuadrado perfecto tiene la forma , es decir, hay
dos términos que son cuadrados perfectos y el tercer término es el doble del producto de
las raíces cuadradas de esos términos. Para su factorización, se calculan las raíces
cuadradas de los cuadrados perfectos, se colocan dentro de un paréntesis, se
separan con el signo del doble producto y se expresan como cuadrado.
Ejemplo: Factorizar el trinomio .
Solución: Primero hay que observar que y son los cuadrados de y
respectivamente; además multiplicando por el producto de y se obtiene que
es el tercer elemento del trinomio, en consecuencia, hay un trinomio cuadrado perfecto.
Realizando los pasos indicados para su factorización se obtiene lo siguiente:
por lo tanto, .
82 Universidad Abierta y a Distancia de México
Ejemplo: Factorizar el trinomio .
Solución: Observa que y son los cuadrados de y respectivamente,
además , es decir, hay un trinomio cuadrado perfecto. Realizando
los pasos indicados para su factorización, se obtiene lo siguiente:
por lo tanto, .
Los siguientes polinomios se factorizan de la misma manera:
Diferencia de cuadrados
Hay que recordar que el producto de dos binomios conjugados da como resultado una
diferencia de cuadrados, así, la factorización de una diferencia de cuadrados es un
producto de binomios conjugados, que se forman de las raíces cuadradas de los
términos, donde el término que cambia de signo es la raíz cuadrada del término que
resta.
Ejemplo: Factorizar .
Solución: Observa que y tienen raíces cuadras iguales a y
respectivamente. El cuadrado que resta es por lo tanto
.
Ejemplo: Factorizar
.
Solución: Las raíces cuadradas de y
son y
respectivamente. El
cuadrado que resta es
por lo tanto
(
) (
).
83 Universidad Abierta y a Distancia de México
Las siguientes factorizaciones se obtienen de manera similar:
Trinomio de la forma
Este caso, se obtiene de multiplicar dos binomios que tienen un término común.
Considera los binomios y , realizando el producto de ellos se tiene que:
En consecuencia, para factorizar un trinomio de la forma hay que
encontrar un par de números que sumados sean iguales a y multiplicados sean
iguales a . Cabe mencionar que existen polinomios de la forma anterior que no tienen
factorización en productos de polinomios con coeficientes reales.
Ejemplo: Factorizar .
Solución: Para factorizar el polinomio anterior, hay que encontrar un par de números que
sumados sean igual a y multiplicados sean igual a . Tales números son y , por lo
tanto .
Ejemplo: Factorizar .
Solución: Para factorizar el polinomio anterior, hay que encontrar un par de números y
que sumados sean igual a y multiplicados sean igual a . Se tiene que
, de lo anterior , y toman los posibles valores:
Se tiene que y , por lo tanto .
84 Universidad Abierta y a Distancia de México
Los siguientes polinomios se factorizan de manera análoga:
85 Universidad Abierta y a Distancia de México
Actividad 10. Factorización
Instrucciones: Lee con atención cada enunciado y elige la respuesta que consideres
correcta.
1. Factoriza el polinomio:
a. b. c. d.
2. Factoriza el polinomio:
a. b. c. d.
3. Factoriza el polinomio:
a. b. c. d.
4. Factoriza el polinomio:
a. b. c. d.
5. Factoriza el polinomio:
a. b. c. d.
86 Universidad Abierta y a Distancia de México
6. Factoriza el polinomio:
a. b. c. d.
7. Factoriza el polinomio:
a. b. c. d.
8. Factoriza el polinomio:
a. b. c. d.
9. Factoriza el polinomio:
a. b. c. d.
10. Factoriza el polinomio:
a. b. c. d.
87 Universidad Abierta y a Distancia de México
Actividad 11. Conceptos básicos y operaciones algebraicas
Instrucciones: Lee con atención cada enunciado y elige la respuesta que consideres
correcta.
1. Es la expresión algebraica del siguiente enunciado: Dos números consecutivos tales
que el cuadrado del mayor excede en al triple del menor.
a. b. c. d. .
2. Es la expresión algebraica del siguiente enunciado: Mis canicas más la mitad mis
canicas más tu canica suman .
a.
b.
c.
d.
3. Ordena de manera descendente con respecto a el polinomio .
a. b. c. d.
4. ¿Cuál es el grado del término
?
a. b. c. d.
5. ¿Cuál de las siguientes expresiones es un trinomio?
a. b. c. d.
88 Universidad Abierta y a Distancia de México
6. Reduce los siguientes términos semejantes: ,
,
a.
b.
c.
d.
7. Suma los siguientes polinomios:
a. b. c. d.
8. Resta , de . a. b. c. d.
9. Multiplica los polinomios .
e. f. g. h.
10. Calcula el cociente y el residuo de dividir , entre .
a. Cociente: , residuo: . b. Cociente: , residuo: .
c. Cociente: , residuo: . d. Cociente: , residuo: .
11. Calcula .
a. b. c. d.
89 Universidad Abierta y a Distancia de México
12. Calcula .
a. b. c. d. .
13. Calcula .
a. b. c. d.
14. Calcula
a. b. c. d.
15. Calcula .
a. b. c. d.
16. Factoriza el polinomio:
a. b. c. d.
17. Factoriza el polinomio:
a. b. c. d.
90 Universidad Abierta y a Distancia de México
18. Factoriza el polinomio:
a. b. c. d.
19. Factoriza el polinomio:
a. b. c. d.
20. Factoriza el polinomio:
a. b. c. d.
91 Universidad Abierta y a Distancia de México
4.3.5. Ecuaciones de primer grado con una incógnita
Esta sección comienza con el siguiente concepto: una ecuación es una igualdad entre
objetos donde aparecen cantidades desconocidas, llamadas incógnitas o
indeterminadas. Como consecuencia, resolver una ecuación es encontrar cantidades
que al ser sustituidas en la ecuación original satisfagan la igualdad.
En este tema solo se estudiarán ecuaciones con una incógnita. El grado de una ecuación
es la mayor potencia que tiene la incógnita. En particular, las ecuaciones de primer grado
son las que tiene grado uno y las de segundo grado, las de grado dos. Por ejemplo, la
ecuación es de primer grado y la ecuación es de segundo grado.
En general, una ecuación de primer grado con una incógnita tiene la forma:
ℝ
Cabe destacar que una ecuación de primer grado no siempre se presenta en la forma
anterior, sin embargo, mediante la aplicación de las propiedades de los números reales,
se puede llevar a la forma antes mencionada.
Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita, primero se debe recordar
que lo inverso a sumar es restar y a multiplicar es dividir. Una ecuación puede
representarse gráficamente por una balanza en equilibrio como lo muestra la siguiente
figura:
Para conservar el equilibrio en una balanza, si se agregan o se quitan objetos en un lado
se debe realizar lo mismo del otro lado. En las ecuaciones el comportamiento es similar.
Considera la ecuación gráficamente se tiene la siguiente figura:
92 Universidad Abierta y a Distancia de México
Para “q ” y , se debe realizar la operación contraria a la presentada
en la ecuación. Por jerarquía de operaciones, primero se elimina el término que suma y,
posteriormente, el término que multiplica. Recuerda que para anular al elemento hay
que sumarle su inverso aditivo , esto es equivalente a restar el elemento , por
consiguiente, se resta en ambos lados de la igualdad, en símbolos se tiene:
Sumando
Asociatividad
Definición de Resta
Definición del inverso
Definición del cero
De manera informal, lo anterior puede expresarse: Si está sumando, entonces pasa
al otro lado restando y, viceversa, si un elemento está restando, pasa al otro lado
sumando, de esta forma en la balanza se muestra:
93 Universidad Abierta y a Distancia de México
Resumiendo lo anterior:
A partir de la ecuación , hay que eliminar el elemento . Para ello, el proceso es
similar al anterior, como entonces, existe tal que . Dado
que el producto es conmutativo, multiplicar por es equivalente a dividir entre , en
consecuencia, se dividen ambos lados de la ecuación entre , en símbolos se tiene:
Multiplicando por
Asociando
Conmutando
Definición de inverso
Definición de división
De manera informal, lo anterior puede expresarse: Un elemento que está multiplicando
pasa al otro lado dividiendo y, viceversa, si un elemento está dividiendo pasa al
otro lado de la igualdad multiplicando. Resumiendo lo anterior, se tiene que:
94 Universidad Abierta y a Distancia de México
Ejemplo: Resolver
Solución: Realizando lo antes
mencionado:
Es decir . Para ver si la ecuación fue resuelta correctamente, basta
sustituir el y observar que la igualdad se satisface, como se muestra de la manera
siguiente:
Por lo tanto, es la solución buscada.
Ejemplo: Resolver
.
Solución: Realizando lo antes mencionado se tiene que:
está restando
pasa sumando
está dividiendo
pasa multiplicando
Sustituyendo en
:
está sumando
pasa restando
está multiplicando
pasa dividiendo
95 Universidad Abierta y a Distancia de México
Por lo tanto, es la solución buscada.
Ejemplo: Resolver .
Solución: Realizando lo antes mencionado, se tiene que:
Propiedad distributiva
suma y resta
pasa restando y pasa sumando
lo que da como resultado una incongruencia, por lo tanto, la ecuación no tiene solución.
Ejemplo: Resolver .
Solución: Para resolver la ecuación primero hay que realizar
las operaciones indicadas para eliminar los signos de agrupación y, después, proceder
como en los ejemplos anteriores:
Propiedad distributiva
Reducción de términos
11 está sumando
11 pasa restando
14 está multiplicando
14 pasa dividiendo
Sustituyendo
en , se tiene:
96 Universidad Abierta y a Distancia de México
Por lo tanto,
es la solución buscada.
Ahora se presentan algunas aplicaciones de las ecuaciones de primer grado con una
incógnita.
Ejemplo: El costo de tres empanadas y un refresco es , ¿qué costo tiene cada
empanada si el refresco vale ?
Solución: Sea el costo de cada empanada, en consecuencia, el costo de tres
empanadas es . Si cada refresco vale y el costo total es , entonces, se
tiene la siguiente ecuación: observa que se puede omitir el símbolo de
pesos . Después:
Por lo tanto, cada empanada cuesta .
Ejemplo: Un viajero ha recorrido dos terceras partes de su recorrido, si aún le faltan km,
¿cuál es la longitud total del recorrido del viajero?
Solución: Sea la longitud del recorrido del viajero, entonces la solución al problema lo
proporciona la ecuación
.
En consecuencia:
97 Universidad Abierta y a Distancia de México
Por lo tanto, la distancia que recorre el viajero es km.
Ejemplo: Pasó un gavilán y dijo: ¡Adiós mis palomas! Y las palomas contestaron:
Con estas y otras tantas como estas, y la mitad de estas, y la cuarta parte de estas y con
usted señor gavilán, las aves seríamos. ¿Cuántas palomas hay en realidad?
Solución: Sea q . L “ estas y otras tantas
como estas, y la mitad de estas, y la cuarta parte de estas y con usted señor gavilán, las
aves seríamos” :
Resolviendo:
Por lo tanto, hay palomas.
98 Universidad Abierta y a Distancia de México
Actividad 12. Ecuaciones de primer grado con una incógnita
Instrucciones: Lee con atención cada enunciado y elige la respuesta que consideres
correcta.
1. Resuelve .
a. . b. . c. . d. .
2. Resuelve .
a.
.
b.
.
c.
.
d.
.
3. Resuelve
.
a. . b. . c. . d. .
4. Resuelve
.
a. . b. . c. . d. .
5. Resuelve
.
a.
.
b.
.
99 Universidad Abierta y a Distancia de México
c.
.
d.
.
6. La suma de dos números es . Si uno es el doble del otro, ¿cuáles son dichos números?
a. . b. . c. . d. .
7. La fórmula
convierte los grados centígrados ( ) en grados
Fahrenheit ( ). Si en este momento un termómetro marca , ¿cuántos grados centígrados se tienen?
a. . b. . c. . d. .
8. Diofanto fue un gran matemático cuyo epitafio es el siguiente: “¡Caminante! Aquí yacen los restos de Diofanto. Los números pueden mostrar, ¡oh maravilla! La duración de su vida, cuya sexta parte constituyó la hermosa infancia. Había transcurrido además una duodécima parte de su vida cuando se cubrió de vello su barba. A partir de ahí, la séptima parte de existencia transcurrió en un matrimonio estéril. Pasó, además, un quinquenio y entonces le hizo dichoso el nacimiento de su primogénito. Este entregó su cuerpo y su hermosa existencia a la tierra, habiendo vivido la mitad de lo que su padre llegó a vivir. Por su parte, Diofanto descendió a la sepultura con profunda pena habiendo sobrevivido cuatro años a su hijo. Dime, caminante, ¿cuántos años vivió Diofanto hasta que le llegó la muerte?”
¿A qué edad murió Diofanto?
a. años.
b. años. c. años.
d. años.
100 Universidad Abierta y a Distancia de México
9. La edad de mi papá sumada con la mía es . Si yo tengo la tercera parte de la edad de mi papá, ¿qué edad tenemos cada uno?
a. y años respectivamente. b. y años respectivamente.
c. y años respectivamente. d. y años respectivamente.
10. Se desea cercar un terreno en forma rectangular de área m2. Si un lado mide m, ¿cuántos metros de cerca se necesitan?
a. m. b. m c. m d. m
101 Universidad Abierta y a Distancia de México
4.3.6. Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas es un conjunto de
dos ecuaciones de dos incógnitas cuyas potencias es uno. Resolver un sistema de esta
naturaleza consiste en encontrar un pareja de números que satisfagan simultáneamente
tales ecuaciones, por tal razón, estos sistemas también toman el nombre de ecuaciones
simultáneas de de grado uno, haciendo mención a que hay dos ecuaciones y dos
incógnitas.
Todo sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas tiene la forma:
donde ℝ y son las incógnitas.
Existen cinco métodos para resolver un sistema como el anterior, tres de ellos consisten
en “eliminar” una incógnita, para obtener una ecuación de primer grado con una
incógnita, que se resuelve y con ella se encuentra el primer valor; para encontrar el
segundo, basta sustituir el valor encontrado en cualquiera de las dos ecuaciones
originales y así obtener otra ecuación de primer grado con un incógnita, que se
resuelve para obtener el segundo valor. Para comprobar que se resolvió
correctamente el sistema, hay que sustituir los dos valores encontrados en ambas
ecuaciones y verificar que se cumplan las dos igualdades simultáneamente.
A continuación se te presentan los tres métodos antes mencionados, para resolver
sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, los cuales son:
1. Método de igualación: Consiste en tomar la primera ecuación y resolverla con
respecto a una incógnita; después, realizar la misma operación con la
segunda ecuación; enseguida, aplicando el hecho de que dos objetos
iguales a un tercero son iguales entre sí, “se igualan” las dos soluciones
para obtener la ecuación de primer grado con una incógnita.
Ejemplo: Resolver por el método de igualación el siguiente sistema:
102 Universidad Abierta y a Distancia de México
Solución: Tomando la ecuación y la incógnita , se resuelve con
respecto a :
Resolviendo con respecto a :
Igualando los resultados, se obtiene la siguiente ecuación de primer grado con
como incógnita:
Resolviendo la ecuación anterior:
Sustituyendo en y resolviendo con respecto a :
103 Universidad Abierta y a Distancia de México
En consecuencia, y . Ahora se comprobará que tal resultado es correcto:
Por lo tanto, y es la solución buscada.
Ejemplo: Resolver por el método de igualación el siguiente sistema:
Solución: Tomando la ecuación y la incógnita , se tiene:
Resolviendo con respecto a :
Igualando los resultados se obtiene:
Resolviendo la ecuación anterior:
104 Universidad Abierta y a Distancia de México
Sustituyendo en y resolviendo con respecto a :
En consecuencia, se obtiene que y
. Ahora se comprobará que tal
resultado es correcto:
Por lo tanto, y
es la solución buscada.
2. Método de sustitución: Este método consiste en tomar una ecuación y
resolverla con respecto a una incógnita, y después sustituirla en la otra
ecuación para obtener la ecuación de primer grado con una incógnita.
Ejemplo: Resolver por el método de sustitución el siguiente sistema:
Solución: A partir de la ecuación y la incógnita , se tiene:
Sustituyendo
en se obtiene:
(
)
105 Universidad Abierta y a Distancia de México
Resolviendo la ecuación anterior:
Sustituyendo en y resolviendo con respecto a se llega a lo
siguiente:
En consecuencia, y . Ahora se comprobará que el resultado es
correcto:
Por lo tanto, y es la solución buscada.
Ejemplo: Resolver por el método de sustitución el siguiente sistema:
Solución: A partir de la ecuación y la incógnita se tiene:
106 Universidad Abierta y a Distancia de México
Sustituyendo
en se obtiene:
(
)
Resolviendo la ecuación anterior:
Sustituyendo en y resolviendo con respecto a :
En consecuencia, y . Ahora se comprobará que tal resultado es
correcto:
107 Universidad Abierta y a Distancia de México
Por lo tanto, y es la solución buscada.
3. Método de sumas y restas: Consiste en escoger una incógnita y multiplicar
cada ecuación por una cantidad adecuada, de tal manera que los
coeficientes de dicha incógnita sean los mismos, pero con signos contrarios,
para que al sumar miembro a miembro las ecuaciones, se elimine tal
incógnita y, así, llegar a la ecuación de primer grado con una incógnita.
Ejemplo: Resolver por el método de sumas y restas el siguiente sistema:
Solución: Hay que escoger una incógnita, considera . Al observar las ecuaciones
y , la tiene coeficiente y respectivamente,
entonces hay que multiplicar la ecuación por y la ecuación
por , es decir:
Sumando miembro a miembro:
resolviendo con respecto a :
108 Universidad Abierta y a Distancia de México
Sustituyendo en y resolviendo con respecto a se obtiene:
En consecuencia, y . Ahora se comprobará que tal resultado es
correcto:
Por lo tanto, y es la solución buscada.
Ejemplo: Resolver por el método de sumas y restas el siguiente sistema:
Solución: Hay que escoger una incógnita, considera . Al observar las ecuaciones
y , la tiene coeficiente y respectivamente, entonces
hay que multiplicar la ecuación por y la ecuación por ,
es decir,
Sumando miembro a miembro:
109 Universidad Abierta y a Distancia de México
resolviendo con respecto a :
Sustituyendo en y resolviendo con respecto a se obtiene:
En consecuencia,
. Ahora se comprobará que tal resultado es
correcto:
Por lo tanto, y
es la solución buscada.
Sistemas incompatibles y sistemas con más de una solución
Hasta este momento se han presentado tres métodos para resolver sistemas de
ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, pero hay sistemas que no tienen
solución, dichos sistemas toman el nombre de incompatibles. Cuando se aplica el
método de sumas y restas a estos sistemas, las dos incógnitas se eliminan, pero los
valores numéricos no se anulan, por lo cual esto resulta ser una incongruencia.
Ejemplo: Resolver el sistema:
110 Universidad Abierta y a Distancia de México
Solución: Multiplicando por la ecuación tenemos . Sumando
miembro a miembro se tiene:
pero por lo tanto, el sistema es incompatible.
Los sistemas con más de una solución se presentan cuando se aplica el método de
sumas y restas, provocando que las dos incógnitas y los valores numéricos se eliminen.
Ejemplo: Resolver el sistema:
Solución: Multiplicando la ecuación por se tiene . Claramente
cuando se suma miembro a miembro, se obtiene . Por lo tanto, el sistema tiene más
de una solución.
Aplicaciones
Ahora se presentan algunos ejemplos de cómo aplicar los sistemas de dos ecuaciones de
primer grado con dos incógnitas, en problemas de la vida cotidiana.
Ejemplo: Pedro y Pablo tienen un número determinado de canicas, si Pedro le da una
canica a Pablo, ambos tendrán el mismo número de canicas, pero si Pablo le da una
canica a Pedro, este tendrá el doble de canicas que Pablo. ¿Cuántas canicas tienen cada
uno?
Solución: Sean y el número de canicas que tiene Pedro y Pablo, respectivamente.
Cuando Pedro le da una canica a Pablo disminuye en uno y aumenta en uno, por lo
tanto, . Cuando Pablo le da una canica a Pedro, disminuye en uno y
aumenta en uno, en consecuencia, . Por lo tanto, el sistema a resolver es
111 Universidad Abierta y a Distancia de México
El anterior sistema se puede resolver por cualquiera de los métodos anteriores, en este
caso es por igualación. Resolviendo con respecto a se tiene que
, resolviendo con respecto a se tiene que . Igualando
y resolviendo:
Sustituyendo en y resolviendo:
Por lo tanto, Pedro y Pablo tiene y canicas, respectivamente.
Ejemplo: Una mañana Juan y Luis fueron a desayunar, Juan tomó dos tazas de café y se
comió tres tacos, Luis tenía un poco más de hambre y se comió cuatro tacos y tres tazas
de café. ¿Cuál es el costo de cada taco y cada taza de café si Juan pagó y Luis
?
Solución: Sean y el costo de la taza de café y del taco, respectivamente. Como Juan
pagó por dos tazas de café y tres tacos, se tiene que . Dado que Luis
pagó por tres tazas de café y cuatro tacos, se obtiene . Por lo
tanto, el sistema a resolver es:
Dicho sistema se va a resolver por el método de sustitución. Resolviendo
con respecto a :
112 Universidad Abierta y a Distancia de México
Sustituyendo
en y resolviendo:
Sustituyendo en y resolviendo con respecto a :
Por lo tanto, la taza de café y el taco cuestan y respectivamente.
Actividad 13. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
Instrucciones: Lee con atención cada enunciado y elige la respuesta que consideres
correcta.
1. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas de primer grado con
dos incógnitas:
a. . b. . c. . d. .
2. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas:
113 Universidad Abierta y a Distancia de México
a. . b. c. . d.
3. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas de primer grado con
dos incógnitas:
a. . b. c. . d.
4. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas de primer grado con
dos incógnitas:
a. b. c. d.
5. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas de primer grado con
dos incógnitas:
a. . b. c. d.
6. Un empresario invierte un capital de en dos fondos que pagan y
de interés simple anual, respectivamente. Si el interés recibido en un año es , ¿cuánto invirtió el empresario en cada fondo?
a. y respectivamente.
b. y respectivamente. c. y respectivamente.
d. y respectivamente.
114 Universidad Abierta y a Distancia de México
7. Un grupo de amigo organiza concierto de rock, para ello, imprimen boletos con dos costos, el boleto de tipo cuesta y el boleto de tipo .
Si al venderse todos los boletos se recaudaron , ¿cuántos boleto de cada tipo se imprimieron?
a. del tipo y del tipo . b. del tipo y del tipo .
c. del tipo y del tipo . d. del tipo y del tipo .
8. En un puesto de dulces, por cinco mazapanes y un chicle pague . Al día
siguiente pague por dos mazapanes y tres chicles. ¿Cuánto me costó cada producto?
a. el mazapán y el chicle. b. el mazapán y el chicle.
c. el mazapán y el chicle. d. el mazapán y el chicle.
9. En un expendio de café, se venden dos tipos de granos, los costos de cada
grano son de y por kg, respectivamente. Los granos son mezclados para obtener kg de una mezcla, cuyo costo es de por kg.
Calcula la cantidad de café utilizada de cada grano, para obtener los kg de mezcla.
a. y kg respectivamente. b. y kg respectivamente. c. y kg respectivamente.
d. y kg respectivamente.
10. El largo de un rectángulo es pulgadas más que el doble de su ancho. Si el perímetro del rectángulo es pulgadas, ¿cuáles son las dimensiones de dicho rectángulo?
a. pulgadas de largo y pulgadas de ancho.
b. pulgadas de largo y pulgadas de ancho. c. pulgadas de largo y pulgadas de ancho.
d. pulgadas de largo y pulgadas de ancho.
4.3.7. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita
Las ecuaciones de segundo grado con una incógnita o ecuaciones cuadráticas son
de mucha importancia en matemáticas, además también tienen aplicaciones en otras
ramas de la ciencia, como lo son la física y la química. Este tipo de ecuaciones han sido
estudiadas desde las civilizaciones antiguas, hay testimonios de que los babilonios ya
115 Universidad Abierta y a Distancia de México
conocían cómo resolver algunos casos particulares de ecuaciones de segundo grado.
Una ecuación cuadrática tiene la forma:
ℝ
La ecuación anterior se resuelve de la siguiente manera:
1. Dado que , se divide la ecuación anterior entre :
2. Dado que
suma en el miembro izquierdo, este pasa restando al miembro
derecho:
3. Ahora el término
se lleva a un trinomio cuadrado perfecto. Recuerda que
un binomio al cuadrado es de la forma . Basta identificar
y
. En consecuencia y
, lo que implica que
.
4. Sumando en ambos miembros
, se tiene:
5. Factorizando el lado izquierdo de la ecuación anterior y realizando la operación en
el lado derecho, se obtiene:
(
)
6. Extrayendo la raíz cuadrada en ambos lados:
√(
)
(
)
√
√
√
116 Universidad Abierta y a Distancia de México
Aquí se hace uso de que la raíz cuadrada tiene dos signos.
7. Dado que
suma en el miembro izquierdo, este pasa restando al miembro
derecho:
√
8. Por lo tanto:
√
En resumen, si , con entonces √
. Esta relación se
conoce como la fórmula general para ecuaciones cuadráticas. Cabe mencionar que
cuando el símbolo aparece, se considera que se tienen dos casos, uno con el signo
y otro con el signo , a esto se le llama desglose.
Ejemplo: Resolver .
Solución: Primero hay que identificar los valores que tiene cada coeficiente, en este caso
, y . Sustituyendo en la fórmula general, se tiene:
Ahora hay que desglosar los signos del siguiente modo:
Por consiguiente, hay dos valores y . Para comprobar que ambos
resultados son correctos se sustituyen dichos valores en la ecuación :
117 Universidad Abierta y a Distancia de México
Por lo tanto, y es la solución buscada.
Ejemplo: Resolver .
Solución: Identificando los coeficientes se tiene que , y . Sustituyendo
en la fórmula general:
Desglosando los signos, se obtiene:
Por consiguiente, hay dos valores y
. Comprobando los resultados
anteriores:
Por lo tanto, y
son la solución deseada.
118 Universidad Abierta y a Distancia de México
Ejemplo: Resolver .
Solución: Identificando los coeficientes se tiene que , y .
Sustituyendo en la fórmula general:
Desglosando los signos, se obtiene:
Por consiguiente hay dos valores
y
. Comprobando los resultados
anteriores:
Por lo tanto,
y
son la solución deseada.
Dada la ecuación , con su solución está dada por la relación
√
. El término toma el nombre de discriminante, ya que permite
clasificar el tipo de solución que tiene una ecuación cuadrática del siguiente modo:
1. El discriminante es positivo, es decir, , por consiguiente, su raíz
cuadrada existe en los números reales y toma dos valores: uno positivo y el otro
negativo. En consecuencia, la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales y
distintas.
119 Universidad Abierta y a Distancia de México
2. El discriminante es cero, es decir, , por consiguiente, su raíz
cuadrada existe en los números reales y toma un único valor que es cero, por
tanto, la ecuación cuadrática tiene una única solución.
3. El discriminante es negativo, es decir, , por consiguiente, la raíz
cuadrada no existe en el conjunto de los números reales, por ello, la ecuación
cuadrática no tiene soluciones reales. Un número que satisfaga una ecuación de
este tipo se conoce como número complejo y se estudiará en futuras
asignaturas.
Para ejemplificar lo anterior, aquí se presenta la siguiente tabla:
Para finalizar esta sección, se presentan algunas aplicaciones de las ecuaciones
cuadráticas de una incógnita.
Ejemplo: Hallar dos números consecutivos cuyo producto sea .
Solución: Como los números son consecutivos, si se denota por al número más
pequeño, entonces el segundo es denotado por . Por lo tanto, la relación pedida es
, lo que lleva a la ecuación . En consecuencia, ,
y , sustituyendo en la fórmula general:
120 Universidad Abierta y a Distancia de México
Desglosando los signos, se obtiene:
Cuando el consecutivo es . Cuando el consecutivo es
. Por lo tanto, se tienen dos soluciones: la primera es y , y la segunda,
y .
Ejemplo: El área de un rectángulo es m2, ¿cuáles son las dimensiones de dicho
rectángulo si un lado excede en m al otro?
Solución: Sea la longitud del lado más pequeño, entonces el lado más grande es ,
por consiguiente, el área de este rectángulo es es decir así se
obtiene la ecuación . Luego , y , sustituyendo en la
fórmula general:
Desglosando los signos:
Las soluciones de la ecuación son y , dado que buscan longitudes, estas
no pueden ser negativas, así que el resultado no es tomado en cuenta, ya que
no existen longitudes negativas. Por consiguiente, las dimensiones del rectángulo se
obtienen cuando . Por lo tanto, el rectángulo tiene un ancho de m y m de
largo.
121 Universidad Abierta y a Distancia de México
Actividad 14. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita
Instrucciones: Lee con atención cada enunciado y elige la respuesta que consideres
correcta.
1. Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:
a.
b.
c.
d.
2. Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:
a.
b.
c.
d.
3. Resuelve la siguiente ecuación cuadrática: .
a.
b.
c.
d.
4. Encuentra el número entero cuya suma con su inverso multiplicativo es
.
a. b. c. d.
5. Un triángulo tiene una base de cm más que su altura, ¿qué dimensiones tiene
el triángulo si su área es de cm2? a. cm de base, cm de altura.
b. cm de base, cm de altura. c. cm de base, cm de altura.
d. cm de base, cm de altura.
122 Universidad Abierta y a Distancia de México
Actividad 15. Ecuaciones algebraicas
Instrucciones: Lee con atención cada enunciado y elige la respuesta que consideres
correcta.
1. Resuelve .
a.
b.
c.
.
d.
.
2. Resuelve
.
a. b. c. d.
3. Resuelve
.
a.
b.
c.
d.
.
4. Por kg de huevo y kg de tortillas pagué . ¿Qué precio tiene cada
producto sabiendo que el kilogramo de huevo vale dos veces más que el kilogramo de tortillas?
a. Tortilla y huevo b. Tortilla y huevo .
c. Tortilla y huevo . d. Tortilla y huevo .
123 Universidad Abierta y a Distancia de México
5. El cociente de dos números es igual a
si el mayor de ellos difiere en del
menor, ¿cuáles son estos números?
a. y respectivamente.
b. y respectivamente. c. y respectivamente.
d. y respectivamente.
6. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas de primer grado con
dos incógnitas
a. . b. . c. d.
7. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas:
a. b. c. d.
8. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas:
a. b. c. d.
9. La diferencia entre dos números es , el doble del más pequeño excede al
mayor en . ¿Cuáles son estos números? e. y .
f. y . g. y . h. y .
124 Universidad Abierta y a Distancia de México
10. Dos paquetes tienen un peso total de kg. Si el más pequeño pesa kg menos
que el más grande. ¿Cuánto pesa cada paquete? a. kg y kg respectivamente.
b. kg y kg respectivamente. c. kg y kg respectivamente.
d. kg y kg respectivamente.
11. Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:
a.
.
b.
c.
.
d.
.
12. Resuelve la siguiente ecuación cuadrática: .
a.
b.
c.
d.
13. Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:
a.
b.
.
c.
d.
14. Encuentra un número positivo de tal manera que su cuadrado exceda a su doble
en tres.
a. b. c. d.
15. Una caja se construye cortando cuadrados de cm por cm, en las esquinas de una hoja de cartón cuadrada como se muestra en la figura:
125 Universidad Abierta y a Distancia de México
Calcula las dimensiones de la hoja de cartón, de tal manera que la caja tenga cm3 de volumen.
e. cm. f. cm. g. cm. h. cm.
4.4. Trigonometría
La trigonometría es la rama de las matemáticas que se encarga del estudio de los
triángulos, a partir de las relaciones existentes entre los lados y sus ángulos. Dado que
los triángulos son las figuras geométricas más simples, estos sirven para estudiar figuras
geométricas más complejas, además tienen muchas aplicaciones dentro de las
matemáticas mismas, así como en la física y la ingeniería.
4.4.1. Conceptos básicos
Un ángulo es la abertura formada por dos segmentos de rectas que se intersectan en un
punto llamado vértice. Para denotar los ángulos, se utiliza alguno de los símbolos ∡ o ̂.
En muchas ocasiones se utilizan letras griegas: (alfa), (beta), (gama), (delta), etc.
126 Universidad Abierta y a Distancia de México
Recordando cómo se desplazan las manecillas de un reloj
Este movimiento proporciona, por convenio, una orientación para los ángulos: se
considera que un ángulo es positivo si su abertura se realiza en contra de las manecillas
del reloj, en caso contrario, es decir, si el desplazamiento de la abertura es a favor de las
manecillas del reloj se considera negativo. En este trabajo se considerarán los ángulos
sin orientación, es decir, no va a importar si el desplazamiento es a favor o en contra de
las manecillas del reloj.
En este estudio, los ángulos se miden de las siguientes dos formas:
(i). Grados sexagesimales: Un grado sexagesimal es la abertura que resulta de
dividir un círculo en partes, por lo tanto, la circunferencia tiene . Los
grados sexagesimales se denotan colocando un círculo pequeño en la parte
superior derecha.
127 Universidad Abierta y a Distancia de México
Cada grado a su vez de divide en partes, cada una de ellas se llama minuto y
se denota con un símbolo . Cada minuto se divide en partes, que se llaman
segundos y se denota por .
(ii). Radianes: La razón que existe entre una circunferencia y su radio es la constante
, por lo tanto, un una circunferencia tiene radianes. Los radianes se denotan
con la abreviatura .
De aquí en adelante cuando se requiera hablar de grados sexagesimales, se nombrará
simplemente grados. Antes de continuar, se presentan algunos ejemplos de cómo
convertir un expresión en grados a una expresión en grados minutos y segundos y
viceversa. Para convertir una expresión decimal presentada en grados se realiza lo
siguiente:
1. La parte entera son los grados.
2. La parte fraccionaria se multiplica por , la parte entera que resulta son los
minutos.
3. La parte decimal que resulta de la operación anterior se multiplica por y la parte
entera son los segundos.
128 Universidad Abierta y a Distancia de México
4. Por último, se presentan los grados, después los minutos y, finalmente, los
segundo.
Ejemplo: Convertir en grados, minutos y segundos.
Solución: Realizando los pasos anteriores
1. Se tiene que la parte entera de es , así hay .
2. La parte fraccionaria de es que se multiplica por , dando como
resultado , así se tienen .
3. La parte fraccionaria de es que se multiplica por , dando como
resultado , así se obtienen .
4. El resultado es .
Por lo tanto, .
Ejemplo: Convertir en grados, minutos y segundos.
Solución: De se tiene multiplicando por da , después se
tienen . Finalmente, multiplicando por da , en consecuencia, hay .
Por lo tanto,
Ahora toca realizar el proceso inverso, es decir, dada una cantidad en grados, minutos y
segundo se debe convertir en grados. Los pasos son los siguientes: hay que sumar los
grados más los minutos entre más los segundos entre .
Ejemplo: Convertir a grados.
Solución: Hay que realizar la siguiente suma:
Por lo tanto,
Ejemplo: Convertir a grados.
Solución: Hay que realizar la siguiente suma:
129 Universidad Abierta y a Distancia de México
Por lo tanto,
Toca el turno de convertir grados a radianes y viceversa. Antes de continuar hay que
observar que los grados sexagesimales son aberturas entre líneas y los radianes son
longitudes de arcos de circunferencia, por consiguiente, la relación entre grados
sexagesimales y radianes es la siguiente:
En consecuencia, para convertir grados a radianes hay que multiplicar el número de
grados por y dividirlos entre e, inversamente, para convertir radianes a grados hay
que multiplicar el número de radianes por y dividirlos entre .
Ejemplo: Convertir a grados.
Solución: Como lo dice el párrafo anterior se tiene que:
Por lo tanto, .
Ejemplo: Convertir a radianes.
Solución: Como lo dice el párrafo anterior se tiene que:
Por lo tanto, .
Los ángulos se clasifican por su abertura de la siguiente manera:
1. Agudo: Es aquel que mide más pero menos de .
130 Universidad Abierta y a Distancia de México
2. Recto: Es aquel que mide .
3. Obtuso: Es aquel que mide más pero menos de .
4. Colineal: Es aquel que mide .
131 Universidad Abierta y a Distancia de México
5. Entrante: Es aquel que mide más pero menos de .
6. Perigonal: Es aquel que mide .
Para sumar gráficamente dos ángulos no dirigidos, primero se coloca uno de ellos y,
después, se posiciona el segundo de tal manera que los vértices ellos coincidan y el lado
final del primer ángulo coincida con el lado inicial del segundo, como se muestra a
continuación.
De lo anterior, se obtiene que dos ángulos son complementarios si y solo si su suma es
un ángulo recto, es decir, Dos ángulos son suplementarios si y solo si su suma son
dos ángulos rectos, es decir,
132 Universidad Abierta y a Distancia de México
Un triángulo es la figura geométrica plana delimitada por tres segmentos de recta rectas.
Los puntos donde se intersectan dos a dos las rectas se llaman vértices, así un triángulo
se define de manera equivalente como la figura geométrica formada por tres puntos no
colineales, es decir, que no pertenecen a la misma línea.
Etimológicamente, la palabra triángulo significa tres ángulos, estos se forman en el cruce
de las líneas que delimitan a dicha figura, por la posición de los mismos toman el nombre
de ángulos internos. Para denotar un triángulo, se coloca el símbolo seguido de las
letras con las que se indican los vértices, por convenio, la manera de colocar los vértices
del triángulo es en contra del sentido del movimiento de las manecillas del reloj y
utilizando letras mayúsculas, además los ángulos internos se denotan con las mismas
letras que los vértices utilizando el símbolo ∡ o las letras de los vértices utilizando el
símbolo ̂; los lados que estén frente a los ángulos se etiquetan con las mismas letras de
los vértices pero estas son minúsculas.
Por ejemplo, si se tiene un triángulo tiene vértices , y se denota por , sus tres
ángulos internos son ̂, ̂ y ̂ (equivalentemente ∡ , ∡ y ∡ ). Hay que
observar que la letra que queda al centro del símbolo ̂ es la que está en el vértice del
ángulo, además como se consideran ángulos sin orientación, es equivalente escribir ̂
que ̂. Los lados se denotan por , y .
133 Universidad Abierta y a Distancia de México
Los triángulos se clasifican de las siguientes maneras:
1. Por sus lados.
a. Equilátero: Es aquel triángulo que sus tres lados tienen la misma longitud.
b. Isósceles: Es aquel triángulo que tiene dos lados con la misma longitud,
pero la longitud del tercer lado es distinta.
c. Escaleno: Es aquel triángulo que sus tres lados tienen diferentes
longitudes.
134 Universidad Abierta y a Distancia de México
2. Por sus ángulos:
a. Acutángulo: Es aquel triángulo que sus tres ángulos internos son agudos.
b. Rectángulo: Es aquel triángulo que tiene un ángulo interno que es recto.
c. Obtusángulo: Es aquel triángulo que tiene un ángulo interno que es
obtuso.
135 Universidad Abierta y a Distancia de México
Un resultado conocido de la geometría plana es el siguiente:
Teorema: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos ángulos rectos,
es decir,
Como consecuencia de lo anterior, se tiene lo siguiente:
Corolario: En un triángulo rectángulo, los ángulos internos agudos son complementarios.
4.4.2. Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras presenta la relación que existe entre los lados de un triángulo
rectángulo. Este teorema es adjudicado a Pitágoras, aunque siglos atrás en la cultura
babilónica ya era conocido.
Antes de presentar este teorema, hay que mencionar los nombres que tienen los lados de
un triángulo rectángulo. Un cateto es un lado del triángulo que forma el ángulo recto
interior, el lado restante toma el nombre de hipotenusa.
Sean y las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo cualquiera y la
longitud de su hipotenusa.
136 Universidad Abierta y a Distancia de México
Si se tiene un cuadrado de longitud entonces su área es igual a
.
Renombrando del siguiente modo las dimensiones del cuadrado anterior, se tiene:
cuya área es *
+ . Por lo tanto:
Con lo anterior se demuestra el siguiente resultado:
Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las
longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa. Es decir, si
137 Universidad Abierta y a Distancia de México
en un triángulo rectángulo las longitudes de los catetos son y respectivamente y la
hipotenusa tiene longitud entonces .
En consecuencia, si se desea calcular la longitud de la hipotenusa se utiliza √ .
Si se desea calcular la longitud de algún cateto, se utiliza √ ó √ . Por la regla de los signos, una raíz cuadrada tiene dos signos una positiva y otra negativa,
aquí solo se consideren las raíces positivas, ya que se estudian las longitudes de los
lados de un triángulo rectángulo, por consiguiente, los valores tienen que ser positivos.
Ejemplo: Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden cm y
cm, respectivamente.
Solución: Gráficamente se tiene:
Tomando la relación √ y sustituyendo los valores y se tiene:
√ √ √ √
Por lo tanto, la hipotenusa mide √ .
Ejemplo: Un triángulo rectángulo tiene de hipotenusa y uno de sus catetos mide
. Calcular el valor del segundo cateto.
Solución: Gráficamente se tiene:
138 Universidad Abierta y a Distancia de México
Tomando la relación √ y sustituyendo los valores y se tiene:
√ √ √ √
por lo tanto, el segundo cateto mide √ .
Ahora se presentan algunas aplicaciones del teorema de Pitágoras:
Ejemplo: Se desea dividir a lo largo de una de sus diagonales, un terreno cercado que
tiene forma de rectángulo. ¿Cuántos metros de cerca se necesitan si las dimensiones del
terreno son de ancho por de largo?
Solución: El terreno tiene la siguiente forma:
La figura muestra que el problema se resuelve calculando el valor de la hipotenusa del
triángulo rectángulo, que se forma al dividir el rectángulo en dos parte a lo largo de la
diagonal trazada. Tomando la relación √ y sustituyendo los valores y
se tiene:
√ √ √
por lo tanto, se necesitan √ de cerca.
Ejemplo: Desde la parte más alta de un poste de están colocados los extremos de
dos cables tensores, uno de los cables está ubicado a mitad de la base del poste y el
extremo del otro tensor. Si el cable tensor más largo mide , calcular:
(i). La distancia que hay entre la base del poste y los extremos de los cables tensores
que no están sujetos en el poste.
(ii). La longitud del cable tensor más pequeño.
139 Universidad Abierta y a Distancia de México
Solución: Para resolver (i) se debe encontrar el valor de , donde es la longitud
representada en la siguiente figura:
De la relación pitagórica se tiene lo siguiente:
√
140 Universidad Abierta y a Distancia de México
Por lo tanto, el cable más cercano y el cable lejano están a √ y √ de la base del
poste, respectivamente. Para calcular (ii) hay que sustituir el valor encontrado en (i) para
tener el siguiente triángulo rectángulo:
Aplicando la relación pitagórica se tiene:
(√ )
√
Por lo tanto, el cable tensor menor mide √ de longitud.
4.4.3. Funciones trigonométricas
En la sección anterior se estudió las relaciones que existen entre los lados de un triángulo
rectángulo, es esta sección se estudiarán las relaciones existentes entre los lados y los
ángulos interiores del mismo. Para este estudio, es necesaria la introducción de las
funciones trigonométricas que se definen a partir de las razones existentes entre los lados
del triángulo rectángulo.
Considera un triángulo rectángulo y uno de sus ángulos agudos. A partir de la elección del
ángulo, los catetos toman los siguientes nombres:
141 Universidad Abierta y a Distancia de México
(i). Cateto opuesto: Es aquel que queda frente al ángulo señalado.
(ii). Cateto adyacente: Es aquel que forma parte del ángulo.
Las funciones trigonométricas de un ángulo se definen de la siguiente manera:
(i). Seno: Es la razón de dividir el cateto opuesto entre la hipotenusa.
h
(ii). Coseno: Es la razón de dividir el cateto adyacente entre la hipotenusa.
h
(iii). Tangente: Es la razón de dividir el cateto opuesto entre el cateto adyacente.
(iv). Cotangente: Es la razón de dividir el cateto adyacente entre la hipotenusa.
(v). Secante: Es la razón de dividir la hipotenusa entre el cateto adyacente.
h
(vi). Cosecante: Es la razón de dividir entre la hipotenusa entre el cateto opuesto.
h
142 Universidad Abierta y a Distancia de México
Para ejemplificar lo anterior considera el siguiente triángulo rectángulo:
por lo tanto, se tiene:
Dado que los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios, se tiene
que , las relaciones anteriores dicen lo siguiente:
Una pregunta natural es la siguiente: Si se cambian las dimensiones del triángulo
rectángulo conservando sus ángulos, ¿las funciones trigonométricas de los ángulos
cambian? L “no”
dependen de los lados, solo dependen de los ángulos. Para verificar lo anterior, hay que
retomar un resultado de geometría elemental que dice lo siguiente:
Teorema: Dos triángulos que tienen sus ángulos correspondientes iguales son
semejantes.
143 Universidad Abierta y a Distancia de México
El teorema anterior dice que hay una constante de proporcionalidad entre los lados
correspondientes como lo muestra la siguiente figura:
Hay que observar que dos triángulos rectángulos son semejantes cuando tienen un
ángulo agudo igual, ya que esto implica que sus ángulos internos correspondientes son
iguales. Lo que da las siguientes relaciones:
Calculando las funciones trigonométricas se tiene:
Ejemplo: Calcular las funciones trigonométricas del ángulo señalado en la siguiente
figura:
144 Universidad Abierta y a Distancia de México
Solución: Dada lo posición del ángulo , se tiene que el cateto opuesto vale y el
cateto adyacente . Por el teorema de Pitágoras la hipotenusa se calcula de la
siguiente manera:
√
√
√
√
por lo tanto, la funciones trigonométricas del ángulo son:
C .
√
C .
C .
C .
√
C .
√
C .
C .
C .
√
Ejemplo: Calcular las funciones trigonométricas del ángulo señalado en la siguiente
figura:
145 Universidad Abierta y a Distancia de México
Solución: La información que presenta el dibujo es el valor de la hipotenusa y el
valor de cateto opuesto, que es . Por el teorema de Pitágoras, el cateto adyacente
se calcula de la siguiente manera:
√
√
√
√
√
por lo tanto, la funciones trigonométricas del ángulo son:
√
√
√
√
√
√
√
√
Funciones trigonométricas de , y
Considera un triángulo equilátero, de tal manera que cada lado mida
Ahora, se traza un segmento de recta que se inicie en un vértice, pero que sea ortogonal
al lado opuesto al vértice:
146 Universidad Abierta y a Distancia de México
En un triángulo equilátero cada ángulo interno mide , en consecuencia, el proceso
anterior divide el triángulo equilátero de lado en dos triángulos rectángulos con las
siguientes dimensiones:
En consecuencia, se obtienen las funciones trigonométricas de :
√
√
√
√
√
√
√
√
De manera similar, se tienen las funciones trigonométricas de :
√
√
√
147 Universidad Abierta y a Distancia de México
√
Para las funciones trigonométricas de , considera un cuadrado de lado :
Ahora se traza una de sus diagonales, dividiendo el cuadrado en dos triángulos
rectángulos:
Cada triángulo rectángulo tiene las siguientes dimensiones:
por lo tanto, las funciones trigonométricas de son las siguientes:
148 Universidad Abierta y a Distancia de México
√
√ √
√
4.4.4. Funciones trigonométricas inversas
Las ideas detrás de las funciones trigonométricas inversas es muy simple, hasta este
momento se ha dado un ángulo y se encuentra el valor de sus funciones trigonométricas,
ahora toca el turno de hacer el proceso inverso: dar el valor que toma la función
trigonométrica y hallar el valor del ángulo que le corresponde. Las funciones
trigonométricas inversas se nombrarán anteponiéndole la palabra arco a la función
trigonométrica en cuestión. Así, la función inversa del seno es la función arcoseno, la
función inversa del coseno es la función arcocoseno, la función inversa de la tangente es
la función arcotangente, etc.
La manera de definir las funciones trigonométricas inversas es de la siguiente manera:
Algunos autores denotan las funciones trigonométricas inversas colocándole un
exponente a la función trigonométrica. En consecuencia,
etc.
Ejemplo: Calcular (√
).
Solución: Dado que √
, por lo tanto (
√
) .
149 Universidad Abierta y a Distancia de México
Ejemplo: Calcular .
Solución: Dado que , por lo tanto .
En la práctica no es fácil calcular una función trigonométrica inversa si no se cuenta con al
menos una calculadora científica ó una tabla de valores de las funciones trigonométricas.
Cálculo de las funciones trigonométricas utilizando calculadora
Existen varios tipos de marcas de calculadoras científicas, dentro de cada marca existen
varios modelos de las mismas, pero todas ellas tienen en común las funciones
trigonométricas seno, coseno y tangente. En esta parte, se utiliza la calculadora que trae
por incluida el sistema operativo Windows 7.
Lo primero que hay que observar es con qué unidad angular se pretende trabajar y
seleccionarla.
150 Universidad Abierta y a Distancia de México
Ahora toca el turno de identificar que función trigonométrica se desea calcular.
En este tipo de calculadoras, primero se coloca el valor del ángulo y, después, se
presiona la tecla de la función trigonométrica a tratar.
Ejemplo: Dado , calcular , y .
Solución: Primero hay que seleccionar los grados sexagesimales.
Hay que introducir en la calculadora.
151 Universidad Abierta y a Distancia de México
Si se desea calcular la función seno, se presiona la tecla correspondiente:
Ahora, basta trabajar con cuatro cifras decimales, por lo tanto .
Si se desea calcular la función coseno, se presiona la tecla correspondiente:
Por lo tanto .
Si se desea calcular la función tangente, se presiona la tecla correspondiente:
152 Universidad Abierta y a Distancia de México
Por lo tanto .
Para las funciones trigonométricas inversas, primero hay que seleccionar la unidad
angular se requiere.
Después, hay que localizar el botón de Inverso, en algunas calculadoras la tecla dice
shift ó 2nd.
En el caso de la calculadora mostrada en este ejemplo, al presionar “ ”
teclas cambian:
153 Universidad Abierta y a Distancia de México
Se procede de manera similar al caso directo, primero hay que ingresar el número y,
después, la función inversa en cuestión.
Ejemplo: Calcular en radianes .
Solución: Primero hay que escoger la opción Radianes.
Después, hay que ingresar
Presionar la tecla inversa.
154 Universidad Abierta y a Distancia de México
Y, finalmente, presionar la tecla de la función Seno inverso.
lo que da como resultado:
Por lo tanto ..
4.4.5. Aplicaciones de las funciones trigonométricas
Ahora toca el turno de utilizar funciones trigonométricas en problemas de la vida cotidiana
que requieran la utilización de un triángulo rectángulo y alguno de sus lados.
Aplicaciones de la función seno
155 Universidad Abierta y a Distancia de México
La función seno se utiliza cuando se tienen relaciones entre un ángulo agudo, su cateto
opuesto y la hipotenusa.
Ejemplo: Calcular el valor del ángulo que se muestra en la siguiente figura:
Solución: Como los datos que la figura proporciona son el cateto opuesto y la hipotenusa
del ángulo , se requiere la utilización la función seno. Por consiguiente, se tiene la
siguiente relación:
C
h
Por consiguiente
.
Ejemplo: Un cable es sujetado en la punta de un poste de m, que es perpendicular a la
superficie plana. Si el ángulo que forma el cable con respecto al piso es de , ¿cuál es
la longitud del cable?
Solución: Primero hay que realizar un bosquejo que ilustre las condiciones del problema,
en consecuencia se tiene la siguiente figura:
Sea la longitud del cable, entonces se tiene el siguiente triángulo:
156 Universidad Abierta y a Distancia de México
En consecuencia,
, por consiguiente
.
Por lo tanto, el cable mide m.
Ejemplo: Una escalera de m está reclinada sobre una pared, el ángulo que forma la
escalera con respecto a la banqueta horizontal de , ¿a qué altura de la pared está
apoyada la escalera?
Solución: De los datos anteriores se tiene la siguiente figura:
Sea la altura de la pared donde se apoya la escalera. El dibujo anterior te lleva al
siguiente triángulo rectángulo:
157 Universidad Abierta y a Distancia de México
De donde se obtiene que
, por consiguiente
. Por lo tanto, la escalera está apoyada a una altura de .
Aplicaciones de la función coseno
La función coseno se utiliza cuando se tienen relaciones entre un ángulo agudo, su cateto
adyacente y la hipotenusa.
Ejemplo: Un tanque de guerra apunta a un blanco móvil a m hacia el Norte, el
blanco se mueve hacia el Este y el tanque siempre lo tiene en la mira. ¿A qué distancia
está el tanque del blanco, si el cañón del tanque giró ?
Solución: Primero hay que dibujar un diagrama que represente la información que
proporciona el enunciado del ejercicio, de lo que resulta:
Sea el valor de la distancia por encontrar, el diagrama anterior te lleva al siguiente
triángulo rectángulo:
158 Universidad Abierta y a Distancia de México
De donde se obtiene que C
por consiguiente
. Así, el blanco está a m del tanque.
Ejemplo: Se desliza una pelota sobre un rampa que tiene con respecto a la
horizontal, la rampa tiene m de longitud, ¿qué distancia recorrió horizontalmente la
pelota cuando llegó al punto final de la rampa?
Solución: Denotando por la longitud buscada, se tiene el siguiente diagrama:
De donde se obtiene que
, es decir . Por
lo tanto, la pelota recorre horizontalmente m
Ejemplo: Una escalera de m se apoya en una pared, si la distancia de la base de la
escalera a la pared es de m, ¿qué ángulo forma la escalera con respecto a la
horizontal?
Solución: Considera el siguiente diagrama:
159 Universidad Abierta y a Distancia de México
En consecuencia
, luego
, por lo tanto, la escalera forma
un ángulo de con respecto a la horizontal.
Aplicaciones de la función tangente
La función tangente se utiliza cuando se tienen relaciones entre un ángulo agudo y los
dos catetos.
Ejemplo: En una banqueta que tiene cm del alto, se desea construir una rampa para
acceso de sillas de ruedas. ¿A qué distancia de la base de la banqueta se tiene que
comenzar a construir la rampa si la inclinación es de ?
Solución: Sea la distancia buscada, en consecuencia, se tiene el siguiente diagrama:
Por consiguiente, C
C
resolviendo con respecto a se tiene las
siguientes relaciones
. Por lo tanto, hay que comenzar a
construir la rampa a cm
160 Universidad Abierta y a Distancia de México
Ejemplo: Un observador identifica un vehículo a m hacia el Sur, el vehículo se
desplaza m hacia el Oeste. Si el observador sigue con la mirada al vehículo ¿qué
ángulo ha girado el observador?
Solución: Sea el ángulo que gira el observador, se tiene el siguiente diagrama:
En consecuencia, se tiene que
. Después . Por lo
tanto, el observador giró .
Ejemplo: La sombra de un árbol forma un ángulo de con respecto al piso horizontal.
Suponiendo que el árbol es perpendicular al piso, ¿qué altura tiene el árbol si el extremo
de la sombra está a m de la base del árbol?
Solución: Sea la altura del árbol, esto lleva al siguiente diagrama:
161 Universidad Abierta y a Distancia de México
En consecuencia
, es decir, , por lo
tanto, el árbol mide m.
Referencias
Baldor, A. (2009). Álgebra. 2ª. ed. México: Publicaciones Cultural.
Baldor, A. (2009). Aritmética. 2ª. ed. México: Publicaciones Cultural.
Halmos, P. R. (1966). Teoría intuitiva de conjuntos. México: CECSA.
Lipschutz, S. (1996). Teoría y problemas de teoría de conjuntos y temas afines. México:
McGraw-Hill.
Rees, P. K., Sparks, F. W. (2007). Álgebra. 10a. ed. México: McGraw-Hill.
Spiegel, M. (2007). Álgebra Superior. 3ª. ed. México: McGraw-Hill.
Stewart, J. (2012). Precálculo: matemáticas para el cálculo. México: International Thomson.