Mate.info.Ro.1184 Lectie Ppt Binomul Lui Newton

Lectia“Binomul lui Newton”

clasa a X-a

Profesor,Mirita PetrutaProfesor,Mirita PetrutaLiceul Teoretic “Dan Barbilian”Liceul Teoretic “Dan Barbilian”

CampulungCampulung

UNIVERSITATEA PITESTI-CFM,Program de formare:Management Educational Preuniversitar Performant

5/9/2010

Scopul lectiei este de a prezenta formula pentru (a+b)n ,numita binomul lui Newton. Isaac Newton(1643-1727),matematician,astronom,fizician

englez,are ca prima realizare in domeniul matematicii, exact binomul care ii poarta numele. ro.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton

UNIVERSITATEA PITESTI-CFM,Program de formare:Management Educational Preuniversitar

Performant5/9/2010

Lucrarile sale in domeniul opticii sunt consecinta unor experimente cu un disc impartit in 7 sectoare ,care reproduc culorile spectrului solar.Printr-o rotire rapida a acestuia,Newton a observat ca imaginile de culoare persista pe retina ochiului,iar senzatiile de culoare se suprapun si se amesteca,discul aparand alb(gri).Concluzia lui Newton este aceea ca, lumina alba este sintetizata din cele 7 culori componente principale. www.britannica.com


Performant5/9/2010

Blaise Pascal(1623-1662),matematician,fizician,filozof si scriitor francez ii construieste tatalui sau ,in anul 1642,care era contabil,o masina aritmetica,pentru a efectua adunarile mai rapid.

Masina era formata din 6 cilindri,legati printr-o manivela,ce trecea prin axul lor comun.In anul 1653 descopera triunghiul aritmetic(fig.pag.urmatoare). Fiecare linie e formata din numere egale cu suma numerelor din stanga pozitiei, de pe linia precedenta.Ex.:20=1+3+6+10.

www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Pascal.html


5/9/2010


nk 0111 kn

kn

kn CCC

Pascal descopera formula de recurenta care-I poarta numele:

5/9/2010

Generalizand,elementul de la intersectia liniei n cu coloana k,este suma elementelor ce se gasesc pe linia n-1(de deasupra),la intersectia cu coloanele k-1 si k.


124816

00C

01C

11C

02C

12C

22C

03C

13C

23C

33C

04C

14C

24C

34C

44C

0nC 1

nC2nC

1nnC

nnC n2

0212223242

5/9/2010

2 3

4 5

2 2 2

3 3 2 2 3

24 2 2 2 3

4 3 2 2 3 4

1 Scrieţi formulele pentru: a+b , a+b , găsiţi

o modalitate de a calcula a+b şi calculaţi a+b .

Răspuns :

a+b =a +2ab+b

a+b =a +3a b+3ab +b

a+b a+b a+b a+b a+b a+b

a +4a b+6a b +4ab +b

a+b

5 5 4 3 2 2 3 4 5=a +5a b+10a b +10a b +5ab +b .

2. Sa se arate ca suma numerelor situate pe aceeasi linie a triunghiului lui Pascal,este o putere a lui 2. Raspuns:Fie linia n. Componentele ei,conform definitiei triunghiului lui Pascal sunt:

0nC

1nC

Test(rezolvati in 10 min)

nnC


5/9/2010

Raspundeti la urmatoarele intrebari:Ce puteti spune despre coeficientii lui a si b?

Ce puteti spune despre exponentii lui a si b?

Ce observati la numarul de termeni din fiecare dezvoltare?

Ce legatura cu triunghiul lui Pascal observati?UNIVERSITATEA PITESTI-CFM,Program de

formare:Management Educational Preuniversitar Performant

5/9/2010

Raspunsuri:

Coeficienţii termenilor extremi şi ai celor egal

depărtaţi de termenii extremi sunt egali.

Exponenţii puterilor lui a descresc de la cel mai mare la 0.

Exponenţii puterilor lui b cresc de la 0 la

cel mai mare.

Exponentul cel mai mare pentru a şi pentru b este

exponentul la care se ridică binomul.

Numărul de termeni din dezvoltare depăşeşte cu 1

exponentul la care se ridică binomul.


5/9/2010

kn

Coeficienţii din dezvoltare sunt chiar numerele

obţinute calculând C în situaţiile din temă:

a) n 1; b) n 2; c) n 3; d) n 4; e) n 5, anume:

a)

b)

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5

c)

d)

e)

Astfel gr

1

upate se observă o modalitate de calcul a acestor

numere din aproape în aproape ( triunghiul lui Pascal).

Observam:


Performant5/9/2010

n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 k n k k n 1 n 1 n nn n n n n na+b =C a +C a b+C a b +..... + C a b +.....+C ab

Are loc următoarea:

Teoremă a binomului . Fie a,b , n . Atunci :

cunoscută sub denumirea de formula lui Newton.

Isaac Newton m t

+C

a

b

ematician, astronom, fizician englez 1643-1727 .

Demonstraţie cu metoda inducţiei matematice:

Etapa I. Verificare: P 1 : ...munca independentă...


Performant5/9/2010

n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 k n k k n nn n n n n

1 0 11 1

n+1 0 n+1 1 n k n+1 k k n+1 n+1n+1 n+1 n+1 n+1

Fie P n : a+b =C a +C a b+C a b +.....+ C a b +.....+C b ,n .

I. Verificare: P 1 : a+b =C a+C b ;

II. P n P n+1 :

P n+1 : a+b =C a +C a b+.....C a b +.....+C b

P n+1 :

A

?

0

1n+1n +1 n +1

n 0 n 1 n 1 k n k k n nn n n n

0 n+1 1 n k n k+1 k n n 0 n 1 n 1 2n n n n n n

k n k k+1 n n+1n n

n+1 0 n+1 1 0 n 2 1n n n n n

C C C

a+b a+b = a+b C a +C a b+.....+C a b +.....+C b =

=C a +C a b+....+C a b +...+C b +C a b+C a b +.....+

+C a b +.....+C b

a+b = C a + C +C a b+ C +C

n+12 n+1

n 1 2 n n n+1n n

C

a b +....+C C b

Conform principiului inducţiei matematice rezultă că P n este adevărată n .

A .

UNIVERSITATEA PITESTI-CFM,Program de

formare:Management Educational Preuniversitar Performant

5/9/2010

0 1 k nn n n n Coeficienţii C , C , ...C ,...,C se numesc

şi sunt în număr de n +1

A se face distincţie între coeficientul binomial al unui termen şi

coeficienţi binomiali

ai dezvoltării

coeficientul nu

1)

meri

.

0 n 1 n 1 2 n 2 2 n n1 n 2 n 3 n n+1 n

0 2 4n n n

al acelui termen!

Cei n+1 termeni sunt:

T =C a , T =C a b, T =C a b ,...., ,....,T =C b .

Numerele naturale C , C , C ... se numesc

coeficienţi binomiali de rang imp

k n-k kk+1 n

c

T =

2)

3)

a b

C

1 3 5n n nar, iar numerele C , C , C ....

se numesc coeficienţi binomiali de rang par.

În formula lui Newton exponenţii puterilor lui a descresc

de la n la 0, iar exponenţii puterilor lui b cresc de l

4)

a 0 la n.


Performant5/9/2010

0 n 1 n 1 2 n 2 k n kn n n n n n n n

Coeficienţii binomiali ai termenilor extremi şi cei ai termenilor egal depărtaţi

de termenii extremi sunt egali: C =C , C =C , C =C , .... , C =C .

Dacă exponentul puterii e

5)

6)

0 1 2 k k+1 nn n n n n n

ste par n=2k atunci dezvoltarea are 2k+1 termeni,

iar termenul din mijlocare coeficientul binomial cel mai mare:

C C C .... C C .... C

0n

.

Dacă exponentul puterii este impar n=2k+1 atunci dezvoltarea are 2k+2

termeni şi există doi termeni la mijlocul dezvoltării cu coeficienţii binomiali

egali şi de valoare cea mai mare: C

1 2 k k+1 k+2 nn n n n n nC C .... C =C C .... C .

Un rol important în rezolvarea problemelor legate de binomul lui Newton

îl joacă de rang k+1:

7

termenul general

)

k n-k kk+1 nT =C a b , k∈ 0,1,2,....,n


Performant5/9/2010

Test (rezolvati in 15 min)

Alte teste online la binomul lui Newton:www.wiziq.com/online_tests_algebra_2 (XI-Maths.Algebra2)


Performant

1. (x + 3y)3 = x3 + 3x23y + 3x(3y)2 +(3y)3 = x3 + 9x2y + 3x9y2 +27y3 = x3 + 9x2y + 27xy2 +27y3.

2. (x + 2 )7 = x7+ 7x62 + 21x522 + 35x423 + 35x324 +21x225 + 7x26 + 27 = x7+ 14x6 + 84x5 + 358x4 + 3516x3+ 2132x2 + 764x+ 132

3.Să se determine termenul al optulea al dezvoltării

113x

x

1

T8 = T7+1 = C711

711

x

1

)!711(!7

!11

x37

4

1

x 4

21

x

x

=330x17.

41

x

!4!7

111098!7

4321

111098

x21

5/9/2010

Documents

Mate.info.Ro.1184 Lectie Ppt Binomul Lui Newton