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Relaciones Binarias
Matematica Discreta
Agustın G. Bonifacio
UNSL
Relaciones Binarias
Agustın G. Bonifacio Matematica Discreta
Relaciones BinariasDefinicion y PropiedadesRelaciones de EquivalenciaConjuntos Parcialmente Ordenados y Reticulados
Relaciones Binarias (Seccion 3.1 del libro)
Definicion
Una relacion (binaria) R de un conjunto X a un conjunto Y es unsubconjunto del producto cartesiano X × Y. Si (x, y) ∈ R,escribimos xRy y decimos que “x esta relacionada con y”. SiX = Y, R es una relacion binaria sobre X.
El dominio de R es el conjunto
{x ∈ X | (x, y) ∈ R para algun y ∈ Y }.
La imagen de R es el conjunto
{y ∈ Y | (x, y) ∈ R para algun x ∈ X}.
Agustın G. Bonifacio Matematica Discreta
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Observacion
Una funcion es un tipo especial de relacion. Una funcionf : X → Y es una relacion de X a Y que cumple:
1 domf = X,
2 para cada x ∈ X, existe un unico y ∈ Y tal que (x, y) ∈ f.
Ejemplo
Sean X{2, 3, 4} y Y = {3, 4, 5, 6, 7}. si definimos una relacion Rde X a Y de la siguiente forma:
(x, y) ∈ R ⇐⇒ x divide a y
se obtiene
R = {(2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)}.
Notemos que domR = {2, 3, 4} y ImR = {3, 4, 6}.Agustın G. Bonifacio Matematica Discreta
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Ejemplo
Sea R sobre {1, 2, 3, 4} definida por
xRy ⇐⇒ x ≤ y.
Entonces
R = {(1, 1), . . . , (1, 4), (2, 2), . . . , (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}
y domR = ImR = X.
Una forma informativa de visualizar una relacion es a traves de undigrafo (grafo dirigido). Para ello:
1 Se dibujan vertices para representar los elementos de X.
2 Si (x, y) ∈ R, se dibuja una arista dirigida de x a y.
3 Una arista dirigida de x a x se denomina lazo.
Agustın G. Bonifacio Matematica Discreta
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Ejemplo
Mostrar a traves de un digrafo la relacion
R = {(a, b), (b, c), (c, b), (d, d)}.
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Propiedades
Definicion: Una relacion R sobre un conjunto X se dicereflexiva si (x, x) ∈ R para todo x ∈ X.
Observacion: El digrafo asociado a una relacion reflexivatiene un lazo en cada vertice.
Ejemplo: R sobre {1, 2, 3, 4} definida por xRy ⇐⇒ x ≤ y esreflexiva.
Ejemplo: La relacion R = {(a, a), (b, c), (c, b), (d, d)} sobreX = {a, b, c, d} NO es reflexiva, ya que (b, b) /∈ R.
Definicion: Una relacion R sobre un conjunto X se dicesimetrica si para todo par x, y ∈ X, si (x, y) ∈ R, entonces(y, x) ∈ R.
Observacion: El digrafo asociado a una relacion simetricacumple que siempre que existe una arista dirigida de v a w,tambien existe una arista dirigida de w a v.
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Ejemplo: La relacion R = {(a, a), (b, c), (c, b), (d, d)} essimetrica.
Ejemplo: La relacion R sobre {1, 2, 3, 4} definida porxRy ⇐⇒ x ≤ y NO es simetrica, ya que (2, 3) ∈ R pero(3, 2) /∈ R.
Definicion: Una relacion R sobre un conjunto X se diceantisimetrica si para todo par x, y ∈ X, si (x, y) ∈ R y x 6= y,entonces (y, x) /∈ R.
Observacion: una forma equivalente de enunciar laantisimetrıa es la siguiente. Si (x, y) ∈ R y (y, x) ∈ R,entonces x = y. (Ejercicio)
Ejemplo: La relacion R sobre {1, 2, 3, 4} definida porxRy ⇐⇒ x ≤ y es antisimetrica.
Observacion: El digrafo asociado a una relacion antisimetricatiene la propiedad de que entre dos vertices cualesquiera existea lo sumo una arista dirigida.
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Ejemplo: La relacion {(a, a), (b, b), (c, c)} sobre X = {a, b, c}es antisimetrica, y tambien es simetrica.
Definicion: Una relacion R sobre un conjunto X se dicetransitiva si para toda terna x, y, z ∈ X : si (x, y) ∈ R y(y, z) ∈ R, entonces (x, z) ∈ R.
Ejemplo: La relacion R sobre X = {1, 2, 3, 4} definida por(x, y) ∈ R ⇐⇒ x ≤ y es transitiva.
Observacion: El digrafo asociado a una relacion transitivatiene la propiedad de que siempre que haya una arista dirigidade x a y y otra de y a z, tambien habra una de x a z.
Ejemplo: La relacion R = {(a, a), (b, c), (c, b), (d, d)} NO estransitiva, ya que (b, b) /∈ R y (c, c) /∈ R.
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Las relaciones resultan utiles para ordenar conjuntos . Por ejemplo,la relacion “menor o igual” ≤ para ordenar los enteros.
Definicion
Una relacion R sobre un conjunto X es un orden orden parcial sies reflexiva, antisimetrica y transitiva.
Ejemplo: La relacion R definida en los naturales por(x, y) ∈ R ⇐⇒ “x divide a y” es un orden parcial.
Si R es orden parcial, a veces (x, y) ∈ R se escribe x � y, loque sugiere ordenacion.
Los elementos x, y ∈ X son comparables si x � y o y � x. Sino, son incomparables. Si todo par de elementos de X escomparable, R es un orden total.
El “menor o igual” definido en los enteros es un orden total.
La relacion “divide” definida en los naturales es un ordenparcial (ya que 2 y 3, por ejemplo, son incomparables).
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Definicion: Sea R una relacion de X a Y. La inversa de R,denotada R−1, es la relacion de Y a X definida por
R−1 = {(y, x) | (x, y) ∈ R}.
Ejemplo: Si R es la relacion “divide” de X = {2, 3, 4} aY = {3, 4, 5, 6, 7}, se obtiene
R = {(2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)}.
Entonces
R−1 = {(4, 2), (6, 2), (3, 3), (6, 3), (4, 4)}.
R−1 se lee “es divisible entre” o “es multiplo de”.
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Definicion: Sean R1 una relacion de X a Y y R2 unarelacion de Y a Z. La composicion de R1 y R2, denotada porR2 ◦R1, es la relacion de X a Z definida por:
R2◦R1 = {(x, z) | (x, y) ∈ R1 y (y, z) ∈ R2 para algun y ∈ Y }
Ejemplo: La composicion de
R1 = {(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)}
yR2 = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)}
es
R2 ◦R1 = {(1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u)}
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Relaciones de Equivalencia (Seccion 3.2 del libro)
Sean X un conjunto y S una particion de X. Se puede definir unarelacion R en X si relacionamos entre sı a los elementos de X quepertenecen a un mismo elemento S de la particion S. (Ejemplo: serdel mismo color.)
Teorema 1
Sean X un conjunto no vacıo y S una particion de X. Definamosuna relacion sobre X de la siguiente manera: xRy si y solo si tantox como y pertenecen a S ∈ S. Entonces R es reflexiva, simetrica ytransitiva.
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Teorema 1
Sean X un conjunto no vacıo y S una particion de X. Definamos unarelacion sobre X de la siguiente manera: xRy si y solo si tanto x como ypertenecen al mismo S ∈ S. Entonces R es reflexiva, simetrica ytransitiva.
Demostracion:
Sea x ∈ X. Por definicion de particion, existe un S ∈ S tal quex ∈ S. Esto implica que xRx y, por lo tanto, R es reflexiva.
Sean x, y ∈ X. Supongamos que xRy. Entonces, tanto x como ypertenecen a un mismo S ∈ S. Equivalentemente, tanto y como xpertenecen a un mismo S ∈ S. Se sigue que yRx y, enconsecuencia, R es simetrica.
Sean x, y, z ∈ X. Supongamos que xRy y que yRz. Entonces,tanto x como y pertenecen a un mismo S ∈ S y tanto y como zpertenecen a un mismo T ∈ S. Como S es particion, y pertenece aun unico miembro de S. Por lo tanto S = T, lo que significa quetanto x como z pertenecen a S ∈ S. Se sigue que xRz, esto es, Res transitiva. � Agustın G. Bonifacio Matematica Discreta
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Ejemplo
Consideremos la particion S = {{1, 3, 5}, {2, 6}, {4}} de{1, 2, 3, 4, 5, 6}. Entonces
R = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1),
(5, 3), (5, 5), (2, 2), (2, 6), (6, 2), (6, 6), (4, 4)}.
Ejercicio: dibujar el digrafo que representa la relacion.
Definicion
Una relacion reflexiva, simetrica y transitiva en un conjunto X sellama relacion de equivalencia sobre X.
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Ejemplo
La relacion R sobre X = {1, 2, 3, 4} definida por (x, y) ∈ R si ysolo si x ≤ y NO es de equivalencia porque no es simetrica.
Ejemplo
La relacion R = {(a, a), (b, c), (c, b), (d, d)} NO es de equivalenciaporque no es ni reflexiva ni transitiva, ya que (b, b) /∈ R.
Definicion
Sea R una relacion de equivalencia sobre un conjunto X. Paracada a ∈ X, el conjunto
[a] ≡ {x ∈ X | xRa}
se denomina clase de equivalencia de a.
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Observacion
Las clases de equivalencia aparecen con bastante claridad en el digrafoasociado con una relacion de equivalencia. Una clase es el subgrafo masgrande que cumple que, para cualesquiera 2 vertices en el, existe unaarista dirigida entre ellos.
Ejemplo
Para la relacion del primer ejemplo, [1] = [3] = [5] = {1, 3, 5},[2] = [6] = {2, 6} y [4] = {4}.
Afirmacion
Sea R relacion de equivalencia sobre X y c, d ∈ X. Si cRd, entonces[c] = [d].
Demostracion: Supongamos c, d ∈ X tales que cRd. Tomemos x ∈ [c].Entonces xRc. Como cRd y R es transitiva, xRd. Por lo tanto, x ∈ [d].Acabamos de ver que [c] ⊆ [d]. Razonando analogamente obtenemos que[d] ⊆ [c]. Se sigue que [c] = [d]. �
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Teorema 2
Sea R una relacion de equivalencia sobre un conjunto X. Entonces
S = {[a] | a ∈ X},
donde [a] denota la clase de equivalencia de a, es una particion deX.
Demostracion: Debemos ver que todo elemento de X perteneceexactamente a un miembro de S.Sea a ∈ X. Como, por reflexividad, aRa, tenemos que a ∈ [a].Esto significa que todo elemento de X pertenece al menos a unmiembro de S. Resta ver que todo elemento de X pertenece aexactamente un miembro de S. Es decir, si x ∈ [a] y x ∈ [b],entonces [a] = [b]. Supongamos entonces que x ∈ [a] y x ∈ [b].Esto implica que xRa y xRb. Por la afirmacion anterior, [x] = [a] y[x] = [b]. Por lo tanto, [a] = [x] = [b], esto es, [a] = [b]. �
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Teorema 3
sea R una relacion de equivalencia sobre un conjunto finito X. Sicada clase de equivalencia tiene r elementos, existen |X|
rclases de
equivalencia.
Demostracion: Sean X1, . . . ,Xk las clases de equivalencias.Como estas clases forman una particion de X,
|X| = |X1|+ |X2|+ . . .+ |Xk| = r.k,
por lo tanto, k = |X|r. �
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Hemos visto que, dado un conjunto X no vacıo,
1 Toda particion de X define una relacion de equivalencia sobreX (Teorema 1),
2 Toda relacion de equivalencia sobre X define una particion deX (Teorema 2).
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Conjuntos Parcialmente Ordenados y Reticulados
Capıtulo 4 del libro de B. Kolman, R. Busby y S. Ross.
Definicion
Una relacion R sobre un conjunto X es un orden orden parcial sies reflexiva, antisimetrica y transitiva. El conjunto A con el ordenparcial R se llama conjunto parcialmente ordenado (c.p.o.) y seescribe (A,R).
Ejemplo
Sea A una coleccion de subconjuntos de un cierto conjunto X. Larelacion “⊆” de inclusion de conjuntos es un orden parcial en A,por lo cual (A,⊆) es un c.p.o.
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Ejemplo
Sea Z+ el conjunto de los enteros positivos. La relacion “≤”(menor o igual) es un orden parcial sobre Z+, al igual que “≥”(mayor o igual).
Ejemplo
La relacion “<” (menor) no es orden parcial, ya que no es reflexiva.
Ejercicio
Ver que si R es un orden parcial sobre A y R−1 es la relacioninversa de R (esto es, aR−1b ⇐⇒ bRa), entonces R−1 es un ordenparcial en A.
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Definicion
El c.p.o. (A,R−1) se llama dual del c.p.o. (A,R), y al ordenparcial R−1 se le llama dual del orden parcial R.
Notacion
En general, en vez de R escribiremos 6, y en vez de R−1
escribiremos > .
Definicion
Si (A,6) es un c.p.o, dos elementos a y b de A se dicencomparables si a 6 b o b 6 a. Si cada par de elementos en unc.p.o. es comparable, se dice que A esta linealmente ordenado (ototalmente ordenado) y que 6 es un orden lineal (orden total ocadena).
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Ejemplo
(Z+,≤) esta linealmente ordenado, pero (A,⊆) (del primerejemplo), no.
El siguiente teorema muestra como construir un c.p.o. a partir deotros c.p.o.
Teorema
Sean (A,6A) y (B,6B) dos c.p.o. Definamos la relacion 6A×B enel conjunto A×B de la siguiente manera:
(a, b) 6A×B (a′, b′) si y solo si a 6A a′ y b 6B b′.
Entonces (A×B,6A×B) es un c.p.o.
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(a, b) 6A×B (a′, b′) si y solo si a 6A a′ y b 6B b′.
Demostracion:
Sea (a, b) ∈ A×B. Por reflexividad de 6A, a 6A a. Por reflexividad de
6B , b 6B b. Entonces, por definicion de 6A×B, (a, b) 6A×B (a, b). Porlo tanto, 6A×B es reflexiva.
Sean (a, b) y (a′, b′) en A×B. Supongamos que (a, b) 6A×B (a′, b′) yque (a′, b′) 6A×B (a, b). Por definicion de 6A×B tenemos que a 6A a′ y
que a′6A a. Por antisimetrıa de 6A, a = a′. Analogamente, como
b 6B b′ y b′ 6B b, la antisimetrıa de 6B implica que b = b′. Concluımos
entonces que (a, b) = (a′, b′), por lo que 6A×B es antisimetrica.
Sean (a, b), (a′, b′) y (a′′, b′′) en A×B. Supongamos que
(a, b) 6A×B (a′, b′) y que (a′, b′) 6A×B (a′′, b′′). Por definicion de
6A×B , tenemos a 6A a′ y a′6A a′′, y por transitividad de 6A, llegamos
a que a 6A a′′. Analogamente, como b 6B b′ y b′ 6 b′′, por transitividad
de 6B llegamos a que b 6B b′′. Concluımos entonces, por definicion de
6A×B , que (a, b) 6A×B (a′′, b′′), por lo que 6A×B es transitiva. �
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Observacion
Al orden parcial 6A×B definido en el Teorema anterior se le llamaorden parcial del producto.
Definicion
Si (A,6) es un c.p.o., se escribe a < b si a 6 b pero a 6= b.
Otro orden parcial util que puede definirse en el productocartesiano de dos c.p.o. es el orden lexicografico.
Definicion
Sean (A,6A) y (B,6B) dos c.p.o. El orden lexicografico enA×B, denotado por ≺A×B , se define de la siguiente manera:
(a, b) ≺A×B (a′, b′) ⇐⇒ a <A a′ o (a = a′ y b 6B b′).
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Ejemplo
Sean A = R y ≤ su orden usual. Entonces el plano R2 puede
ordenarse lexicograficamente.
Aquı p1 ≺ p2, p1 ≺ p3 y p2 ≺ p3.
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Ejemplo
Sea S = {a, b, c, . . . , z} es alfabeto con el orden usual. EntoncesSn es el conjunto de palabras de longitud n. El orden lexicograficoen Sn da el orden de diccionario de las palabras.
Teorema
El digrafo de un orden parcial no tiene ciclos de longitud mayorque 1.
Demostracion: Supongamos que el digrafo asociado al ordenparcial 6 sobre A tiene un ciclo de longitud n ≥ 2. Entoncesexisten a1, . . . , an distintos en A tales que
a1 6 a2, a2 6 a3, . . . , an−1 6 an, an 6 a1.
Por transitividad, a1 6 an. Como ademas an 6 a1, por antisimetrıaa1 = an. �
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Diagrama de Hasse
Dado un c.p.o. 6, borramos del digrafo asociado:
1 Los lazos implicados por la reflexividad,
2 Las aristas implicadas por la transitividad.
Ejemplo
Digrafo y diagrama de Hasse para (A,6) con A = {a, b, c} ya 6 b 6 c.
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Ejemplo
Sean X = {a, b, c} y A = P(X). El diagrama de Hasse de Aordenado con ⊆ es el siguiente:
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Observaciones
1 El diagrama de Hasse de un conjunto ordenado linealmente esuna lınea vertical.
2 Si (A,6) es un c.p.o. y (A,>) es su dual, el diagrama deHasse de (A,>) es el de (A,6) girado cabeza abajo.
Dado un c.p.o. (A,6), a veces es necesario encontrar un ordenlineal � del conjunto A que extienda al orden parcial, en el sentidode que a 6 b =⇒ a � b. El proceso de construccion de un talorden � se denomina clasificacion topologica.
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Ejemplo
Existen muchas maneras de hacer una clasificacion topologica.Para el siguiente c.p.o.
existen (por lo menos) las siguientes dos:
1 a � b � c � d � e � g � f,
2 a � c � g � b � d � e � f.
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Definicion
Sea (A,6) un c.p.o.
1 Un elemento a ∈ A se llama elemento maximal de A si noexiste un c ∈ A tal que a < c.
2 Un elemento b ∈ A se llama elemento minimal de A si noexiste un c tal que c < b.
Observacion
Si (A,>) es el dual de (A,6), a es maximal (minimal) de (A,6)si y solo si a es minimal (maximal) de (A,>).
Ejemplo
1 (R+,≤), el 0 es minimal y no tiene maximales.
2 (Z,≤) no tiene ni minimales ni maximales.
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Ejemplo
Un c.p.o. con tres elementos maximales y tres elementosminimales.
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Teorema
Sea (A,6) un c.p.o. finito. Entonces A tiene al menos un maximaly al menos un minimal.
Demostracion: Sea a ∈ A. Si a no es maximal, existe un a1 ∈ Atal que a < a1. Si a1 no es maximal, existe un a2 ∈ A tal quea1 < a2. Como A es finito este argumento no puede extenderseindefinidamente y, en el peor de los casos, obtendremos unacadena finita
a < a1 < . . . < ak−1 < ak
que no podra extenderse, por lo que ak es un elemento maximal de(A,6). Usando el mismo argumento podemos asegurar existenciade elemento maximal en el dual (A,>), por lo cual (A,6) tiene unelemento minimal. �
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Definicion
Sea (A,6) un c.p.o.
1 Un elemento a ∈ A es un maximo de A si x 6 a para todo x ∈ A.
2 Un elemento a ∈ A es un mınimo de A si a 6 x para todo x ∈ A.
Ejemplo
1 Sea X = {a, b, c} y A = P(X) ordenado por la inclusion deconjuntos, ⊆ . Entonces el mınimo es ∅ y el maximo es X.
2 (Z,≤) no tiene ni mınimo ni maximo.
Teorema
Un c.p.o. tiene a lo sumo un maximo y a lo sumo un mınimo.
Demostracion: Supongamos que a y b son maximos. Entonces a 6 b yb 6 a. Por antisimetrıa, a = b. La prueba para unicidad del mınimo essimilar. �
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Relaciones BinariasDefinicion y PropiedadesRelaciones de EquivalenciaConjuntos Parcialmente Ordenados y Reticulados
Definicion
Sean (A,6) un c.p.o. y B ⊆ A.
1 Un a ∈ A es cota superior de B si b 6 a para todo b ∈ B.
2 Un a ∈ A es cota inferior de B si a 6 b para todo b ∈ B.
3 Un a ∈ A es cota superior mınima de B (o supremo de B) si:(i) a es cota superior de B, y (ii) si a′ ∈ A es otra cotasuperior de B, entonces a 6 a′.
4 Un a ∈ A es cota inferior maxima de B (o ınfimo de B) si: (i)a es cota inferior de B, y (ii) si a′ ∈ A es otra cota inferior deB, entonces a′ 6 a.
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Relaciones BinariasDefinicion y PropiedadesRelaciones de EquivalenciaConjuntos Parcialmente Ordenados y Reticulados
Ejemplo
B1 = {a, b}
No tiene cotas inferiores.
Cotas superiores:c, d, e, f, g, h.
sup(B1) = c.
No existe ınf(B1).
B2 = {c, d, e}
Cotas inferiores: a, b, c.
Cotas superiores: f, g, h.
No existe sup(B2), ya quef y g no se puedencomparar.
ınf(B2) = c.
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Relaciones BinariasDefinicion y PropiedadesRelaciones de EquivalenciaConjuntos Parcialmente Ordenados y Reticulados
Teorema
Sea (A,6) un c.p.o. Todo B ⊆ A tiene a lo sumo un supremo y alo sumo un ınfimo.
Demostracion: Ejercicio (similar al de unicidad de maximo). �
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Reticulados
Definicion
Un reticulado (o lattice) es un c.p.o. (A,6) en el cual cadasubconjunto de dos elementos tiene ınfimo y supremo. Es decir, unreticulado es un (A,6,∧,∨) tal que para cualquier par a, b ∈ Atenemos:
1 a ∧ b ≡ ınf{a, b},
2 a ∨ b ≡ sup{a, b}.
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Relaciones BinariasDefinicion y PropiedadesRelaciones de EquivalenciaConjuntos Parcialmente Ordenados y Reticulados
Ejemplo
Sea X un conjunto y A = P(X). Si definimos, para cada par desubconjuntos X1 y X2 del conjunto X el ınfimo y el supremo de lasiguiente forma:
1 X1 ∧X2 ≡ X1 ∩X2,
2 X1 ∨X2 ≡ X1 ∪X2,
entonces (A,⊆,∧,∨) es un reticulado.
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Con X = {a, b, c} tenemos el siguiente diagrama de Hasse:
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Definicion
Sean a, b ∈ N. Decimos que a divide a b, lo que denotamos a|b, si existeun k ∈ N tal que b = a · k.
Ejemplo
Sea D6 = {1, 2, 3, 6} el conjunto de losdivisores de 6. El conjunto D6 junto con larelacion de divisibilidad forman un c.p.o. Sidefinimos el ınfimo entre dos elementos de D6
como el maximo comun divisor (MCD) entreellos y el supremo como el mınimo comunmultiplo (MCM) entre ellos, obtenemos elreticulado (D6, |,MCD,MCM). Su diagramade Hasse es el siguiente:
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¿Cuales de los siguientes diagramas corresponden a un reticulado?
SI es un reticulado.
NO es reticulado(falta f ∨ g).
NO es reticulado(faltan d ∧ e, b ∨ c).
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Observacion
Sea (A,6) un c.p.o. y sea (A,>) su dual. Si (A,6,∧,∨) es unreticulado, entonces (A,>,∧′,∨′) con ∧′ = ∨ y ∨′ = ∧, tambienes un reticulado.
Teorema
Si (A,6A) y (B,6B) son reticulados, entonces (A×B,6A×B)tambien es un reticulado.
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Teorema
Si (A,6A) y (B,6B) son reticulados, entonces (A×B,6A×B) tambienes un reticulado.
Demostracion: Como (A,6A) es reticulado, tenemos definidos tanto elınfimo ∧A como el supremo ∨A entre dos elementos cualesquiera de A.Analogamente, tenemos definidos tanto ∧B como ∨B en B. Tenemosentonces que definir, en base a estas operaciones, las operaciones deınfimo y supremo en A×B. Dados dos elementos cualesquiera(a, b), (a′, b′) en A×B, sean:
1 (a, b) ∧A×B (a′, b′) ≡ (a ∧A a′, b ∧B b′),
2 (a, b) ∨A×B (a′, b′) ≡ (a ∨A a′, b ∨B b′).
Se deja como ejercicio verificar que estas definiciones, de hecho, secorresponden con los ınfimos y supremos de pares de elementos de A×Bcon el orden producto. �
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Definicion
Sea (A,6,∧,∨) un reticulado. Un subconjunto no vacıo S de A esun subreticulado (o sublattice) si, para todo par a, b ∈ S se cumpleque a ∧ b ∈ S y a ∨ b ∈ S.
Ejemplo:
Reticulado original.NO es subreticulado(falta a ∨ b = c).
SI es subreticulado.
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Definicion
Sean (A,6,∧,∨) y (A′,6′,∧′,∨′) dos reticulados. Una funcionbiyectiva f : A → A′ es un isomorfismo de (A,6,∧,∨) en(A′,6′,∧′,∨′) si, para cualquier par a, b ∈ A, se tiene
1 f(a ∧ b) = f(a) ∧′ f(b), y
2 f(a ∨ b) = f(a) ∨′ f(b).
Si f : A → A′ es un isomorfismo, decimos que A y A′ sonisomorfos.
Observaciones
Si A y A′ son isomorfos bajo el isomorfismo f : A → A′, entoncespara todo par a, b ∈ A,
a 6 b ⇐⇒ f(a) 6′ f(b).
Los diagramas de Hasse de dos reticulados isomorfos son identicos.
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Ejemplo
Consideremos el reticulado (D6, |,MCD,MCM) y el reticulado
(P(X),⊆,∩,∪) donde X = {a, b}. La funcion f : D6 → P(X) definida por:
f(1) = ∅,
f(2) = {a},
f(3) = {b},
f(6) = {a, b},
es un isomorfismo. Los diagramas de Hasse de D6 y P(X) son equivalentes:
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Teorema
Sea (A,6,∧,∨) un reticulado. Entonces, para todo par a, b ∈ A :
1 a ∨ b = b ⇐⇒ a 6 b,
2 a ∧ b = a ⇐⇒ a 6 b,
3 a ∨ b = a ⇐⇒ a ∧ b = b.
Demostracion: Veamos (1). (=⇒) Supongamos a ∨ b = b. Pordefinicion de supremo, a 6 a ∨ b. Como a ∨ b = b, se sigue quea 6 b.(⇐=) Supongamos a 6 b. Como ademas (por reflexividad) b 6 b,tenemos que b es cota superior de a y b. Por ser a∨ b cota superiormınima (supremo) y b cota superior, a∨ b 6 b. Por otro lado, a ∨ bes cota superior de b, por lo que b 6 a ∨ b. Entonces, porantisimetrıa, al tener a∨ b 6 b y b 6 a∨ b, se deduce que a∨ b = b.La parte (2) es similar a la parte (1). La parte (3) es consecuenciainmediata de (1) y (2). �
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Teorema
Sea (A,6,∧,∨) un reticulado y sean a, b y c elementos de A.Entonces valen las siguientes propiedades:
1 Idempotencia: a ∧ a = a y a ∨ a = a
2 Conmutatividad: a ∧ b = b ∧ a y a ∨ b = b ∨ a
3 Asociatividad: a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c ya ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c
4 Absorcion: a ∧ (a ∨ b) = a y a ∨ (a ∧ b) = a
Demostracion: Ejercicio. �
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Definicion
Un reticulado (A,6,∧,∨) se dice distributivo si, para cualquierterna a, b, c de elementos de A se cumple que:
1 a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c),
2 a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Ejemplo
Dado un conjunto X no vacıo, (P(X),⊆,∩,∪) es un reticuladodistributivo.
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Ejemplo
Los siguientes reticulados NO son distributivos:
d ∧ (b ∨ c) = d ∧ e = d(d ∧ b) ∨ (d ∧ c) = b ∨ a = b
b ∧ (c ∨ d) = b ∧ e = b(b ∧ c) ∨ (b ∧ d) = a ∨ a = a
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Teorema
Un reticulado es no distributivo si y solo si contiene unsubreticulado isomorfo con uno de los reticulados del ejemploanterior.
Demostracion: Fuera del alcance de este curso. �
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