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MÓDULO
12
ENSINO MÉDIO
PUERI DOMUS
Saber fazerSaber fazer +
MATEMÁTICA
Saber fazerteoria polinomial
1. (Unifor-CE) Sejam os polinômios f(x) = x2 + 2px + q e g(x) = (x– p) (x + q), com p e q reais não nulos. Se f(x) é idêntico a g(x), então o valor de p + q é igual a:a) –4b) –3c) –2d) 0e) 1
2. (UFMG-MG) Os polinômios P(x) = px2 + pq – 4 e Q(x) = x2 + px + q são tais que P(x + 1) = Q(2x) para todo x real. Os valores de p e q são:a) p = 1 e q = – 4b) p = 2 e q = 4c) p = 4 e q = – 4d) p = 4 e q = 0e) p = – 4 e q = 0
3. (UEA-AM) Qual é o resto da divisão do polinômio x4 + 1 por x2 + 1?a) –2xb) –2c) 0d) 2e) 2x
4. (UFPB-PB) Determine os possíveis valores de a e b, com a, b ∈ , de modo que o polinômio p(x) = ax2 + + 3x – 7 seja divisível por q(x) = x – b.
5. (Fuvest-SP) Seja p(x) um polinômio divisível por x – 3. Dividindo p(x) por x – 1, obtemos quociente q(x) e resto 10. O resto da divisão de q(x) por x – 3 é:a) – 5b) – 3c) 0d) 3e) 5
6. (Mack-SP) Se o polinômio p(x) = x5 + 4ax4 + 3x3 + a3,
a ∈ , é divisível por x – a, então é:
7. Se as medidas dos lados de um triângulo obtusângulo estão em progressão geométrica de razão r, então r pertence ao intervalo
a) 1 2 2 1 5 2+( ) +( )
/ , /
b) 1 5 2 1 5 2+( ) +( )
/ , /
c) 1 5 2 2 2 2+( ) +( )
/ , /
d) 2 2 2 1 3 2+( ) +( )
/ , /
8. (Mack-SP) A função f polinomial e seu gráfico passa pelos pontos de coordenadas (–2; –1), (0; –3), (1; –2), (2; 0) e (3; 1). O termo independente de x no polinô-mio que define f é: a) –1b) –2 c) –3d) 0e) 1
9. Seja o polinômio:(pq – 2)x3 + (p2 + q2 – 5)x2 + (p + q – 3)x + 2p – 5q + 1Se p e q são tais que o polinômio é identicamente nulo, então p3 + q3 é:a) 8b) 54c) 72d) 9e) 353
10. (Mack-SP) Se para todo x,
, então a – b vale:
a) 4b) –2c) 3d) 0e) –1
11. (UFV-MG) Determine os polinômios P(x) do segundo grau que satisfazem a condição P(x) – P(x – 1) = x para todo número real.
12. (PUC-MG) Se o polinômio é identicamente nulo, a soma
m + n + p é:a) – 3b) – 6c) 8d) 5e) 0
13. (Fatec-SP) Temos , para
todo x real não nulo. Determine A + B + C.
14. Efetue, usando o método da chave, a divisão do polinômio:x4 + 4x3 + 4x2 + 10x – 7 por x2 + 3x – 1.
15. (Mack-SP) Observando a divisão dada de polinômios, podemos afirmar que o resto da divisão de P(x) por x + 1 é:
a) –1b) –2c) 2d) 3e) –3
16. (Mack-SP) O resto da divisão de P(x) por (x – 1) (x + 1) (x – 2) é R(x) = x2 + 3x – 1. Então, o resto da divisão de P(x) por (x – 2) é:a) 3b) 6c) 9d) 12e) 15
17. Seja Q(x) o quociente da divisão de x3+1 por x – 1, então:a) Q(0) = 0b) Q(–1) = –1c) Q(1) = 1d) Q(–2) = 10e) Q(–1) = 1
18. (UEL-PR) Considere os polinômios:
Suponha que A(x) seja divisível por B(x).Então, é correto afirmar:a) a2 + b2 = 20b) a + b = 6c) a soma dos coeficientes de [B(x)2] é 4.d) a – b = 4e) 2a + b = 0
19. (FGV-SP) Se o polinômio P(x) = x3 – kx2 + 6x – 1 for divisível por (x – 1), ele também será divisível por:a) x2 – 5x + 1b) x2 – 5x + 3c) x2 + 5x + 1d) x2 + 5x + 3e) x2 – 5x + 5
20. (ITA-SP) Para algum número real r, o polinômio 8x3 – 4x2 – 42x + 45 é divisível por (x – r)2. Qual dos números abaixo está mais próximo de r? a) 1,62b) 1,52c) 1,42d) 1,32e) 1,22
21. (UFMG-MG) Considere o polinômio f(x) = x3 + 3x2 + + ax + b, em que a e b são números reais. Se f(x) + 1 é divisível por x + 1 e f(x) – 1 é divisível por x – 1, pode-se afirmar que os valores de a e b são, respecti- vamente:a) 0 e 3b) –2 e –3c) –1 e –4d) –1 e –2e) 0 e –3
22. (FEI-SP) O polinômio dado por P(x) = 2x3 + ax2 + bx – 2 é divisível pelo produto (x + 2) · (2x – 1). Os valores de a e b são:a) 5 e 1b) 1 e 1c) 0 e 1d) 0 e 0e) 0 e 5
23. (FGV-SP) Sejam Q(x) e R(x) o quociente e o resto da divisão de [5x3 + (m –12)x2 + (m2 – 2m)x – 2m2 + p + 9] por x – 2, respectivamente. Permutando-se os coefi-cientes de Q(x), obtém-se o polinômio Q’(x) tal que Q’(x) = R(x) para qualquer x ∈. Se m e p são cons-tantes reais positivas, então, m + p é igual aa) 8b) 7c) 6d) 5e) 4
24. (FGV-SP) Dividindo-se o polinômio P(x) por 3x –2, obtêm-se quociente x2 – 2x + 5 e resto m. Se P(2) = 20, então m vale:a) 0b) 20c) 4d) 5e) 3
25. (Fuvest-SP) Dividindo-se um polinômio P(x) por (x – 1)2, obtém-se um resto que, dividido por (x – 1), dá resto 3. Ache P(1).
3MÓDULO 12
26. (UFMG-MG) Seja o polinômio:
P(x) = ,
em que o resto da divisão de P(x) por x – 1 é 55, determine o grau de P(x).
27. (Unifor-CE) Dividindo-se o polinômio m = x3 – 2x2 + 3x – 1 pelo polinômio n = x – 1, obtém-se quociente q e resto r. Dividindo-se q por n, obtém-se:a) quociente x + 1.b) resto 0.c) quociente 2x.d) resto 1.e) quociente x.
28. (PUCCamp-SP) Se P(x) é um polinômio inteiro, em que P(3) = –2 e P(–1) = 6, então o resto da divisão de P(x) pelo produto (x – 3 ) · (x + 1) é:a) 0b) –2x + 4c) 4x – 2d) 2x – 4e) 4x + 2
29. (FGV- SP) Para que o polinômio x3 – 8x + mx + n seja divisível por (x + 1)(x – 2), o produto m · n deve ser igual a:a) – 8b) 10c) – 10d) 8e) – 6
30. (PUC-PR) Dado o polinômio x4 + x3 – mx2 – nx + 2, deter-minar m e n para que seja divisível por x2 – x – 2.A soma m + n é igual a:a) 6b) 7c) 10d) 9e) 8
31. (Mack-SP) é divisível por x – 1 e por x + 1. Quando dividido por x – 2, deixa resto igual a 12. Nessas condições, a, b e c valem: a) –2, 1 e 2b) 2, –1 e –2c) 1, 2 e –2d) 2, 1 e 1e) 2, 2 e 1
32. (Fuvest-SP) Sejam R1 e R2 os restos das divisões de um polinômio P(x) por x – 1 e por x + 1, respectiva-mente. Nessas condições, se R(x) é o resto da divisão de P(x) por x2 – 1, então o termo independente de x no resto R(x), é igual a:a) R1 + R2
b) R RR R1 2
1 2
+⋅
c) R1 – R2
d) R1 · R2
e) R R1 22+
33. (ITA - SP) Um polinômio P(x) dividido por x + 1 dá resto –1, por x – 1, dá resto 1 e por x + 2, dá resto 1. Qual será o resto da divisão de P(x) por (x + 1) · (x – 1) · (x + 2)?a) x2 – x + 1b) x – 1c) x2 + x + 1d) x2 – x – 1e) x2 + x – 1
34. (UFC-CE) Na divisão do polinômio p(x) = x6 por x + 1, o quociente é q1(x) e o resto é R1. Se R2 é o resto da divisão de q1(x) por x + 1, então R2 é igual a:a) – 4b) – 5c) – 6d) – 7e) – 8
4 Matemática
equaçõeS polinomiaiS e algébricaS
1. (UFRGS-RS) Se a é uma raiz do polinômio p(x) e b é uma raiz do polinômio q(x), então:a) p(b) / q(a) = 1b) p(a) · q(b) = 1c) p(a) + q(b) = 1d) p(b) · q(a) = 0e) p(a) + q(b) = 0
2. (UFMA-MA) Dado o polinômio p(x) = x3 – 2x2 – 3x, calcule todas as raízes de p(x).
3. (Unifor-CE) Sabe-se que a equação x5 + 6x4 + 10x3 – 4x2 – – 24x – 16 = 0; admite a raiz – 2 com multiplicida- de 3. As demais raízes dessa equação são números:a) inteiros e positivos.b) racionais e não inteiros.c) inteiros e de sinais contrários.d) racionais e negativos.e) irracionais.
4. (UFRGS-RS) O gráfico de uma função polinomial y = p(x) do terceiro grau com coeficientes reais está parcialmente representado na tela de um computa-dor, como indica a figura abaixo.
O número de soluções reais da equação p(x) = 2 é:
a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5
5. Qual dos gráficos a seguir é o gráfico de uma função f tal que a equação f(x) = 1 tenha exatamente 3 soluções e tal que a equação f(x) = 0 tenha exatamente 2 soluções?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
6. (FGV-SP) A equação polinomial (x–1)(x2 +1)+(x+1)(x2–1) = 0 apresenta: a) 3 raízes inteiras.b) uma raiz igual a –1.c) duas raízes complexas conjugadas.d) duas raízes irracionais.e) 3 raízes irracionais.
7. Sendo z1 e z2 as raízes não reais da equação algé-brica x3 + 5x2 + 2x + 10 = 0, o produto z1· z2 resulta em um número:a) natural.b) inteiro negativo.c) racional não inteiro.d) irracional.e) complexo não real.
8. (UFRJ-RJ) Encontre as raízes de x3 + 15x2 + 66x + 80 = 0, sabendo que são reais e estão em progressão aritmética.
5MÓDULO 12
9. (Fatec-SP) Sendo o binômio do 1o grau (x + 2) um dos fatores do polinômio P(x) = x3 – 2x + 4, determine as raízes de P(x).
10. (PUC-SP) Na equação x4 – x3 – 3x2 + 5x – 2 = 0, a multi-plicidade da raiz x = 1 é:a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5
11. (Fuvest-SP) O gráfico pode representar a função:y
x
f(x)
a) f(x) = x (x – 1)b) f(x) = x2 (x2 – 1)c) f(x) = x3 (x – 1)d) f(x) = x (x2 – 1)e) f(x) = x2 (x – 1)
12. (UFRGS-RS) Se os números –3, a e b são as raízes da equação polinomial p(x) = x3 + 5x2 – 2x – 24 = 0, então, o valor a + b é:a) –6b) –2c) –1d) 2e) 6
13. (Fuvest-SP) Uma das raízes da equação x3 + (m + 1) x2 + (m + 9) x + 9 = 0 é –1. Determine o valor real de m para que as outras raízes sejam iguais.
14. (Fuvest-SP) Sabendo que o número –1 é uma das raízes da equação x3 + (m + 1) x2 + (m + 9)x + 9 = 0, para que as outras duas raízes sejam reais devemos ter:a) {m ∈ | –6 ≤ m ≤ 6}b) {m ∈ | m ≥ 6 ou m ≤ –6}c) {∀ m ∈ }d) {m ∈ |m = 6 ou m = –6e) {m ∈ | m ≠ 6 e m ≠ –6}
15. (Ufam-AM) O número de raízes reais do polinô-mio p(x) = (x2 + 1) (x2 + 4x – 12) é:a) 0b) 4c) 1d) 2e) 3
16. (Mack-SP) Dada a equação (x3 – x2 + x – 1)18 = 0, é correto afirmar que a multiplicidade da raiz x = 1 é:a) 1b) 9c) 18d) 36e) 54
17. (Vunesp-SP) É dado o polinômio cúbico P(x) = x3 + + x2 – 2x, com x ∈ .a) Calcule todas as raízes de P(x).b) Esboce, qualitativamente, o seu gráfico no plano
(x, P(x)), fazendo-o passar por suas raízes.
18. Quando se constrói o gráfico da função y = 2x3 – x2 – – 8x + A, observa-se que, além de cortar o eixo x no ponto de abscissa 2, ele passa pelo ponto P(1, – 3). Determinar os demais pontos onde ele corta o eixo x.
19. Escreva na forma fatorada o polinômio p(x) = 2x3 – – 6x2 – 50x – 42, sabendo que o número 7 é uma de suas raízes.
20. Escreva o polinômio p(x) = 3x3 – 15x2 – 3x + 15 na forma fatorada, sabendo que suas raízes são os números – 1, 1 e 5.
21. Resolva a equação x4 + 4x3 + 7x2 + 16x + 12 = 0, saben-do que duas de suas raízes são os números –1 e –3.
22. (FGV-SP) A soma das raízes da equação:x x x x vale2 22 2 3 2 3 0− +( ) − −( ) = :
a
b
c
d
e
)
)
)
)
)
0
2 3
3 2
5 6
6 5
23. Seja a equação 2x3 +x2 – 4x + k = 0, cujas raízes são a, b e c e na qual k é uma constante real. Se 1 1 1 2
a b c+ + =
então k é igual a:a) – 4b) – 2c) – 1d) 2e) 4
24. Se a equação x3 + 2x2 – x + a = 0 admite duas raízes opostas, então o produto de todas as suas raízes é:a) –2b) –1
c) 12
d) 1e) 2
6 Matemática
25. (Unifesp-SP) A equação x5 – 2x4 – 5x3 + 10x2 + 4x – 8 = 0 admite a raiz 2 de multiplicidade 2. A soma das demais raízes dessa equação é:a) 2b) 1c) 0d) – 1e) – 2
26. (FEI-SP) As raízes da equação , indicadas por a, b e c, verificam a relação a + b = 4c. Então:a) m = 0b) m = 1c) m = 2d) m = 3e) m = 5
27. (FEI-SP) Sendo a, b e c as raízes da equação x3 - 4x2 + 5x + 3 = 0, o valor da expressão
é:
a) –3
b) 45
c) –163
d) –2e) 2
28. (Mack-SP) A equação x3 - 4x2 - 4x + 16 = 0 tem raízes
reais a, b e c tais que a = b + c. O valor de é:a) –16
b) – 4
c) 4
d) 14
e) 14
29. A equação polinomial 4x5 + 5x4 + 4x3 + 3x2 + 4x + 3 = 0 tem conjunto solução S = {a, b, c, d, e}. O valor
numérico da expressão é:
a)
b)
c)
d)
e)
30. (FCMSC-SP) As raízes da equação x3 + tx2 + mx + t = 0, em que m e t são números reais, são três números naturais sucessivos. Os valores de m e t são, respectivamente:a) –11 e 6b) 6 e 11c) 11 e –3d) 11 e –6e) 11 e 6
31. (Fuvest-SP) Se a equação 8x3 + kx2 – 18x + 9 = 0 tem raízes reais iguais a a e – a, então o valor de k é:a) 9
4b) 2
c) 98
d) –2e) –4
32. (UFSM-RS) Dada a equação 23x – 7 · 22x + 14 · 2x – 8 = 0, determine a soma das suas raízes.
33. Resolva a equação x3 – 18x2 + 104x – 192 = 0, sabendo que suas raízes são números pares consecutivos.
34. As raízes da equação x3 – 13x2 + 54x – 72 = 0 são os valores dos catetos e da área de um triângulo retân-gulo. Determine o valor dessa área.
35. Sabe-se que o produto de duas raízes da equação algébrica 2x3 – x2 + kx + 4 = 0 é igual a 1. Então o valor de k é:a) – 8b) – 4c) 0d) 4e) 8
36. Sabe-se que o número real 2 é uma das raízes do polinômio p(x) = x3 + 4x – 16. Pode-se afirmar que as outras raízes de p(x):a) são iguais.b) são opostas.c) são recíprocas.d) são inteiras.e) não são reais.
37. (Unicamp-SP)a) Qual é o valor de l na equação z3 – 5z2 + 8z – l = 0
de modo que z = 3 seja uma raiz dessa equação?b) Para esse valor de l, ache as três raízes z1, z2 e z3
dessa equação.c) Ache o volume do sólido obtido quando a região
triangular, cujos vértices são pontos z1, z2 e z3, gira em torno da reta de equação x = 1.
7MÓDULO 12
38. (UPE-PE) Se x = 2 é uma das raízes da equação , pode-se afirmar que as raízes
da equação são:a) números primos.b) números pares.c) números consecutivos.d) divisores de 6.e) divisores de 10.
39. (ITA-SP) Seja S o conjunto de todas as raízes da equação 2x6 – 4x5 + 4x – 2 = 0.Sobre os elementos de S, podemos afirmar que:a) todos são números reais.b) 4 são números reais positivos.c) 4 não são números reais.d) 3 são números reais positivos e 2 não são reais.e) 3 são números reais negativos.
40. (FGV-SP) Dada a equação x3 – 7x + p = 0, determine p de modo que uma das raízes seja o dobro da outra.a) p = ± 6b) p = ± 3c) p = ± 5d) p = 10e) p = 0
41. (Fuvest-SP) As raízes do polinômio P(x) = x3 – 3x2 + m, em que m é real, estão em PA. Determine:a) o valor de m;b) as raízes do polinômio.
42. (Fuvest-SP) P(x) é um polinômio cujas raízes formam uma progressão geométrica de razão 2 e primeiro termo 2. O coeficiente do termo de mais alto grau de P(x) é 1 e o termo independente é igual a 221. O grau do polinômio é:a) 4b) 5c) 6d) 7e) 8
43. As raízes da equação x3 – 19x2 + 96x – 144 = 0 são as medidas das arestas de um paralelepípedo retângulo. Com relação a esse poliedro, determine:a) a soma das medidas de todas as suas arestas;b) seu volume;c) sua área total;d) a medida da sua diagonal.
44. (IME-RJ) Se r1 e r2 são raízes distintas de x2 + px + 8 = 0, é correto afirmar que:a) |r1 + r2| > 4 2b) |r1 + r2| < 2c) |r1| ≥ 2 e |r2| ≥ 2d) |r1| ≥ 3 e |r2| ≤ 1e) |r1| < 1 e |r2| < 2
45. (ITA-SP) As raízes da equação de coeficientes reaisx3 + ax2 + bx + c = 0 são inteiros positivos consecuti-vos. A soma dos quadrados dessas raízes é igual a 14. Então a2 + b2 + c2 é igual a:a) 190b) 191c) 192d) 193e) 194
46. (ITA-SP) Considere a, b ∈ e a equação 2e3x + ae2x + + 7ex + b = 0.Sabendo que as três raízes x1, x2, x3 desta equação formam, nesta ordem, uma progressão aritmética cuja soma é igual a zero, então a – b vale:a) 5b) –7c) –9d) –5e) 9
47. (ITA-SP) Se a, b e c são as raízes da equação x3 – rx + 20 = 0, em que r é um número real, podemos afirmar que o valor de a3 + b3 + c3 é:a) –60b) 62 + rc) 62 + r2
d) 62 + r3
e) 62 – r
48. (Fuvest-SP) Resolver a equação: x4 – 5x3 + 13x2 – 19x + 10 = 0, sabendo que o número complexo z = 1 + 2i é uma das suas raízes.
49. (Fuvest-SP) O polinômio x4 + x2 – 2x + 6 admite 1 + i como raiz, em que i2 = –1. O número de raízes reais desse polinômio é:a) 0b) 1c) 2d) 3e) 4
50. (Ibmec-SP) Um polinômio de 7º grau p(x), com coe-ficientes reais, é divisível pelos polinômios q(x) = 2x2 – – 9 e r(x) = x2 + 3x + 4. Se n é o número de raízes reais do polinômio p(x), então:a) n = 3 ou n = 5b) 2 ≤ n ≤ 4c) n ≥ 5d) n = 4 ou n = 6e) n ≤ 3
8 Matemática
+Saber fazerteoria polinomial
1. Determine o valor numérico (V.N.) de P(x) = 2x3 – 3x2 + x – 1 para: a) x = 0 b) x = – 2
2. Verifique se 2 é um dos zeros do polinômio P(x) = x2 – 5x + 6.
3. Determine o valor de m, sabendo que α = 1 é raiz de P(x) = x3 – mx2 + 3x – 1.
4. Dado o polinômio P(x) = x3 – 3ax + 1, determine a, sabendo que 1 é raiz de P(x).
5. Determine a e b em P(x) = ax3 + 3x – b, sabendo que P(1) = 5 e P(– 1) = – 3.
6. Calcule o valor numérico de P(x) = 2x4 + 3x2 + 2x – 3 para: a) x = 0 b) x = – 1 c) x = i + 1
7. Dado P(x) = x2 – 2x + 1, determine Q(x) = P(x + 1) + 1.
8. Determine p e q em P(x) = x3 – px2 + x = q, sabendo que – 1 e 0 são raízes de P(x).
9. Determine a, b, c e d em P(x) = (a – 3)x3 + (b + 2)x2 + + cx + d – 2 para que P(x) seja nulo ou identica - mente nulo.
10. Determine a, b, c, d e e para que os polinômios P(x) = ax3 + 5x + b e Q(x) = cx4 + 3x3 + dx2 + ex – 6 sejam idênticos.
11. Determine A e B reais de modo que:5x
x2 – 5x + 6 ≡ A
x – 2 +
Bx – 3
12. Calcular m, n e p para que P(x) = (m + n + p)x3 + (n – p)x2 + p – 1 seja identica-mente nulo.
13. Determine p, q e r, sabendo-se que a igualdade abai-xo é verdadeira para todo x complexo: px2 = qx(x+ 1) + r(r – 1)
14. Seja P(x) = (a2 – 4)x3 + (a2 + a – 6)x2 + 3a – b. Calcule a e b para que P(x) seja um polinômio nulo.
15. Calcule a, b e c de modo que: P(x) = ax2 + abx + c – 2 e Q(x) = (b + c)x2 + 6x + (2b + c) sejam polinômios idênticos.
16. Dado A(x) = (2a – b)x2 + x + 9 e B(x) = 13x2 + (3b – c)x + a – c, determine a, b e c para que A(x) ≡ B(x).
17. Determine A e B de modo que: A
x – 1 +
Bx + 2
=
= 2x – 3
x2 + x – 2.
18. Determine m e n para que a fração racional abaixo apresente um valor independente de x:– x2 + 5x + m2x2 + nx – 5
19. Discuta o grau do polinômio P(x) = (m – 2)x3 + 3x2 + 5 em função do parâmetro m.
20. Discuta em função de k o grau de f(x) = (k2 – 4)x2 + + (k + 2) + 9.
21. Discuta em função do parâmetro a o grau de P(x) = (a2 – 9)x3 + (a – 3)x + 5.
22. Sabendo que o grau de P(x) = (a – b)x5 + x4 + b é 4 e que P(1) = 2, calcule a e b.
23. Determine o grau de P(x) = x3 · (x2 – 1) – x5 + x3 + x.
24. Determine o polinômio P de grau 1 que verifica as con-dições P(0) = 3 e P(1) = 5.
25. Discuta o grau do polinômio em função do parâmetro a:P(x) = (a2 – 5a + 6)x3 + (a2 – 6a + 8)x2 + (a2 – 4) x + 7.
26. Dados A = x3 – 2x2 + 3x – 5 e B = – x3 + 5x + 2, obtenha:a) A + Bb) A – B
27. Efetue a multiplicação de P(x) = 2x2 – 3x + 1 por Q(x) = x3 + 2x + 2.
28. Determine a, b e c tais que: a(x2 + 1) + (bx + c) (x – 1)= = (x + 1).
29. Calcule A + B, com A = (x – 2)2 + 4(x – 2) + 1 e B = (1 – x) (1 + x) – 2.
30. Determine a, b e c na identidade ax
+ b
x + 2 +
cx – 2
=
= 3
x3 – 4x.
31. Sendo P(x) = x, Q(x) = x3 + x2 + 1 e R(x) = x4 – x3 + x, qual o grau de P(x) · Q(x) – R(x)?
32. Determine um polinômio f(x) do 3o grau, tal que: f(x) – f(x – 1) = x2 – x e f(0) = 0
33. Qual a relação entre os coeficientes a, b e c para que ax2 + bx + c seja um quadrado perfeito?
34. Sendo (x2 + x + 1)n = a2nx2n + a2n – 1x
2n – 1 + ... + a1x + a0, calcule a soma a0 + a1 + a2 + ... + a2n – 1 + a2n.
35. Dados A(x) = 3x5 + 4x2 – 4 e B (x) + x2 + 2x + 3, efetue A(x) : B(x).
10 Matemática
36. Efetue a divisão de A(x) = 3x3 – 2x2 + 3x – 1 por B(x)= = x2 – x usando o método de Descartes.
37. Determine a e b reais de modo que A(x) = 2x3 + ax2 + + bx – 3 seja divisível por B(x) = x2 – 5x + 1.
38. Numa divisão de polinômios em que o dividendo é de grau m e o quociente é grau n, qual é o grau máxi-mo que o resto pode ter?
39. Efetue as divisões, usando o método da chave. a) (x5 – 4x3 + 5x – 6) : (x3 + 2)b) (2x4 + 5x2 – 10x + 1) : (2x2 – 5x + 5)
40. Efetue as divisões, usando o método de Descartes. a) (5x3 + 1) : (x + 3)b) (3x4 + 2x3 – x2 + 5x + 1) : (x2 – 3x + 1)
41. Determine o valor de m para que o polinômio x3 – 4x2 – 23x + m seja divisível por x – 3.
42. Determine m para que o resto da divisão de P(x) = 3x3 – 2x2 + mx – 1 por Q(x) = x2 – x + 1 inde-penda de x.
43. Numa divisão, o divisor é d(x) = x3 – 3x + 2, o quocien-te, Q(x) = x2 + x – 1 e o resto é R(x) = – x + 7. Determine o dividendo.
44. Determine a e b para que o polinômio x3 + ax + b seja divisível por x2 – 2x + 1.
45. Determine m e n para que o resto da divisão de 2x3 + mx2 – 10x + n por x2 + 3x + 1 seja 2x – 1.
46. Na divisão de um polinômio P(x) por Q(x), o quociente é a e o resto é b. Qual o quociente e qual o resto da divisão de P(x) por 2 · Q(x)?
47. Sabendo que 2x3 – 14x2 + 34x – 22 é divisível por x – 1, resolva a equação 2x3 – 14x2 + 34x – 22 = 0.(Observação: lembre-se que (x – a) (x – b) = 0 � x – a = 0 ou x – b = 0)
48. Sem efetuar qualquer operação, determine o quo-ciente e o resto da divisão de A(x) = (x – 2) (2x – 1) (x + 3) + 2x – 5 por B(x) = (x – 2) (x + 3).
49. Determine o resto da divisão do polinômio P(x) = 2x3 – 5x2 + 3x – 1 pelo polinômio x – 2.
50. Determine o resto da divisão de f(x) = x3 – 2 por 2x + 1.
51. Determine a para que o resto da divisão de P(x) = x3 + + 3x2 – ax + 2 por x + 3 seja igual a 8.
52. Determine um polinômio P(x) do 2º grau, sabendo que os restos das divisões de P(x) por x, x – 1 e x + 1 são, respectivamente, 1, 2 e 0.
53. Determine a e b em f(x) = x3 – 2x2 + ax – b de modo que f(x) + 1 seja divisível por x – 1 e f(x) – 1 seja divi-sível por x + 1.
54. Calcular, usando o teorema do resto, o resto das divisões:a) (2x2 – 5x + 1) : (2x + 1)b) (54x3 + 9x2 + x – 2) : (3x + 2)
55. Obtenha m de modo que o resto da divisão de P(x) = x3 – 2x2 – mx + 3 por x – 1 seja 4.
56. Obtenha a e b sabendo que os restos das divisões de P(x) = 2x2 – ax + b por x +1 e x – 1 são, respectiva-mente, iguais a 2 e – 2.
57. Determine o resto da divisão de P(x) = xn – 1 por x + 1, n ∈ *.
58. Obtenha a e b de modo que o polinômio P(x) = x3 – x2 + + ax – b seja divisível por x + 1 e 2x – 1.
59. Sabe-se que os restos das divisões de y2 + ay + 2 por y – 1 e por y + 1 são iguais entre si. Determine o valor de a.
60. Obtenha a para que o polinômio f(x) = x3 – 4x2 + x – a seja divisível por x + 2.
61. Determine o resto da divisão de xn + an por x + a · (n > 1 e a ≠ 0).
62. Determine um polinômio P(x) do 2º grau, sabendo que as divisões de P(x) por x – 1, x + 1 e 2x – 2 apre-sentam restos iguais a, respectivamente, 0, 6 e 0.
63. Determine m de forma que o polinômio x5 – m2x3 + + mx + 1 seja divisível por x – 1.
64. Obtenha o quociente e o resto da divisão de P(x) = x3 – 3x2 + 2x – 1 por x + 2.
65. Usando Briot-Ruffini, determine o quociente e o resto da divisão de f(x) = x4 – 2x2 + 1 por x – 2.
66. Obtenha o quociente e o resto da divisão de P(x) = x3 + 2x2 – x + 3 por 2x + 1.
67. Obtenha o quociente Q(x) e o resto R da divisão de xn + 1 por x – 1.
68. Determine o valor de m e o quociente da divisão deP(x) = 3x3 + 10x2 + mx + 1 por x + 2, sabendo que o resto dessa divisão é igual a 4.
69. Resolva a equação x3 + 2x2 – x – 2 = 0, sabendo que 1 é uma das raízes dessa equação.
70. Determine o quociente e o resto da divisão de x5 – 2x3 + 3x – 3 por x + 2.
71. Encontre o quociente e o resto da divisão de x100 – 1 por x – 1.
72. Encontre o quociente e o resto da divisão de 3x3 – 4x2 + 3x – 5 por 3x – 1.
73. Obtenha o quociente e o resto da divisão de xn – 1 por x – 1.
11MÓDULO 12
74. Dê o quociente e o resto da divisão de xn + an por x – a.
75. Dividindo-se um polinômio P(x) por x – a, encontrou-se, pelo dispositivo prático de Briot-Ruffini, o seguinte:
a 1 1 – 4 b
1 5 11 13 Determine a e b.
são os números 2 com multiplicidade 3 e 3 com mul-tiplicidade simples.
17. Resolva a equação x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 = 0, sabendo que o número – 2 é raiz dupla dessa equação.
18. Dada a equação x · (x – 1) · (x + 2)2 · (x – 3)2 = 0, pergunta-se:a) Qual é o seu grau?b) Quantas raízes possui?c) Qual a multiplicidade de cada raiz?
19. Determine as raízes da equação x5 + 4x4 + 4x3 = 0 e a multiplicidade de cada uma.
20. Sabe-se que x = 1 é raiz da equação x5 – 3x4 + 2x3 – – 2x2 + 3x – 1 = 0, qual é a sua multiplicidade?
21. Calcule a e b de modo que x = 1 seja raiz dupla da equação x3 + x2 + ax + b = 0.
22. Para que os valores de a a equação x3 + 2x2 + (a – 1)x + a2 – 1 = 0 admite o número zero como raiz simples? E como raiz dupla?
23. Resolva a equação x3 · (x – 1)2 · (x2 – 1) = 0, dando a multiplicidade de cada raiz e o grau da equação.
24. Decomponha o polinômio P(x) = x5 + 3x4 – x3 – – 11x2 –12x – 4 em um produto de binômios do 1º grau, sabendo que o número – 1 é raiz tripla de P(x).
25. Sendo x1 e x2 as raízes da equação x2 – 2x + 3 = 0, calcule:a) x1 + x2
b) x1 · x2
c) x12 + x2
2
d) 1x1
+ 1x2
26. Obtenha m na equação x2 – 4x + 2m = 0, de modo que uma raiz seja o triplo da outra.
27. Dada a equação 2x3 – 6x2 + 4x – 8 = 0, calcule:a) x1 + x2 + x3
b) x1 · x2 · x3
c) x1 · x2 + x1 · x3 + x2 · x3
d) x21 + x2
2 + x23
e) x21 x
22 + x2
1 x23 + x2
2 x23
f) 1x1
+ 1x2
+ 1x3
28. Resolva a equação x2 – 3x2 – x + 3 = 0, sabendo que suas raízes estão em P.A.
29. Dada a equação 2x4 – 3x3 + 5x – 2 = 0, calcule:a) x1 + x2 + x3 + x4
b) x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4
c) x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4
d) x1x2x3x4
equaçõeS polinomiaiS ou algébricaS
1. Obtenha a sabendo que x = 1 é raiz da equação 2x3 – ax2 + 3x – 1 = 0.
2. Resolva a equação 2x3 + x2 – 5x + 2 = 0, sabendo que – 2 é uma de suas raízes.
3. Decomponha o polinômio P(x) = x3 – 3x2 + 4x – 2 em um produto de binômio de 1º grau, sabendo que x = 1 é uma de suas raízes.
4. Determine a equação do 3º grau cujas raízes são 1, 2 e 3.
5. Determine m de modo que o número 3 seja raiz da equação 2x3 – 3x2 + 2x + m = 0 e depois resolva-a.
6. Resolver a equação x3 – 4x2 – x + 4 = 0, sabendo que 4 é uma das raízes.
7. Fatore o polinômio x4 – 5x3 + 10x2 – 20x + 24 = 0, sabendo que 2 e 3 são duas de suas raízes.
8. Calcule as raízes e coloque na forma fatorada:a) f(x) = 2x2 – 5x + 2b) g(x) = x2 + 4
9. Resolva a equação x3 – 8 = 0 e coloque-a na forma fatorada.
10. Sabendo que i é uma das raízes da equação – x3 + 3ix2 – x + 3i = 0, decomponha em fatores do 1º grau o polinômio P(x) = – x3 + 3ix2 – x + 3i.
11. Determine as equações de 3º grau que apresentam as raízes 1, – 3 e 4.
12. Obtenha um polinômio P(x) de 2º grau, sabendo que
suas raízes são 3 e 12 e que P(0) = 3.
13. Determine as raízes da equação (x – 4)3 · (x + 1)2 · · (x + 2) = 0, bem como suas multiplicidades. Deter- mine também o grau dessa equação.
14. Resolva a equação x4 – 6x3 + 12x2 – 10x + 3 = 0, sabendo que x = 1 é raiz tripla dessa equação.
15. Determine a e b para que x = 2 seja raiz dupla da equação ax3 + bx + 16 = 0. Determine também a terceira raiz dessa equação.
16. Escreva a forma fatorada de um polinômio P(x) de quarto grau, tal que P(0) = 48, sabendo que suas raízes
12 Matemática
30. Resolva a equação x3 – 2x2 – 9x + 18 = 0, sabendo que ela admite duas raízes simétricas.
31. Dada a equação 2x2 – 3x + 2 = 0, e sendo a e b as suas raízes, calcule:a) α + βb) α · βc) α2 + β2
d) 1α
+ 1b
e) α3 + β3
32. Obtenha a soma e o produto das raízes da equação:2x5 – 3x4 + 2x2 – 3x + 7 = 0.
33. Resolva a equação x3 – 7x2 + 15x – 9 = 0, sabendo que admite raiz dupla.
34. Determine k e as raízes da equação x3 – 4x2 + x + k = 0, sabendo que uma raiz é a soma das outras duas.
35. Determine m para que as raízes da equação x3 – 9x2 + mx – 15 = 0 estejam em progressão aritmética.
36. Sabendo que a, b e c são raízes da equação x3 – 5x2 + 2x – 1 = 0, determine:a) a2 + b2 + c2
b) 1ab
+ 1bc
+ 1ac
37. Determine m de modo que a equação x3 + 2x2 + kx + 4 = 0 tenha duas raízes opostas.
38. Determine a para que as raízes da equação x3 + 4x2 + ax – 1 = 0 estejam em progressão geométrica.
39. Calcule a soma dos inversos das raízes da equação2x3 – 3x2 + 2x – 5 = 0.
40. Se a, b e c são raízes da equação 2x3 – 2x + 3 = 0, calcule:a) a2b2 + a2c2 + b2c2
b) 1a2
+ 1b2
+ 1c2
41. Resolva a equação x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0, sabendo que suas raízes são números inteiros conse cutivos.
42. Sendo a, b e c raízes da equação
2x3 – 30x2 + 15x – 3 = 0, calcule log 1
ab + 1
bc + 1
ac.
