MATEMATICA A.URREA MODULO N°2-3° MEDIO

8/3/2019 MATEMATICA A.URREA MODULO N2-3 MEDIO

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Colegio Alberto Blest GanaJvenes emprendedores para el siglo XXICoordinacin Acadmica

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DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Por haberlo estudiado, sabemos que el Plano cartesiano se usa como un sistema de referencia para localizar puntos en unplano.

Otra de las utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en que, a partir de la ubicacin de las

coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre ellos.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entrelos puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (x2 x1) .

Ejemplo:

La distancia entre los puntos (4, 0) y (5, 0) es 5 (4) = 5 +4 = 9 unidades.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entrelos puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relacin:

(1)

Para demostrar esta relacin se deben ubicar los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) en el sistema de coordenadas, luego formar untringulo rectngulo de hipotenusa P1P2 y emplear elTeorema de Pitgoras.

Ejemplo:

Calcula la distancia entre los puntos P1(7, 5) y P2(4, 1)

d = 5 unidades

Demostracin

Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano.

La distancia entre los puntos P1y P2 denotada por d = est dada por:

(1)

SUBSECTOR DE APRENDIZAJE: Matemtica / Plan DiferenciadoNOMBRE GUIA Y/O MODULO DE APRENDIZAJE N2: Lugares GeomtricosNIVEL: 3 MedioPROFESORA: Alejandra UrreaOBJETIVOS GUIA Y/O MODULO DE APRENDIZAJE:

Calcular distancia entre dos puntos del plano.

Deducir de la ecuacin de la circunferencia con centro en el origen. Graficar la ecuacin de la circunferencia trasladada. Resolver grfica y analticamente problemas sencillos que involucren rectas, circunferencia y parbola.
http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Plano_Cartesiano.htmlhttp://www.profesorenlinea.cl/geometria/Plano_Cartesiano.htmlhttp://www.profesorenlinea.cl/geometria/PitagorasTeorema.htmhttp://www.profesorenlinea.cl/geometria/PitagorasTeorema.htmhttp://www.profesorenlinea.cl/geometria/PitagorasTeorema.htmhttp://www.profesorenlinea.cl/geometria/PitagorasTeorema.htmhttp://www.profesorenlinea.cl/geometria/Plano_Cartesiano.html


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En la Figura 1 hemos localizado los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) as como tambin el segmento de recta

Figura 1

Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x (abscisas) y porP2 una paralela al eje y (ordenadas), stas se interceptan en elpunto R, determinado el tringulo rectngulo P1RP2 y en el cual podemos aplicar elTeorema de Pitgoras:

Pero: ;

y

Luego,

En la frmula (1) se observa que la distancia entre dos puntos es siempre un valor positivo.

El orden en el cual se restan las coordenadas de los puntos P1 y P2 no afecta el valor de la distancia.

CONICAS

H i p r b o l a d e e j e h o r i z o n t a l y c e n t r o d i s t i n t o a l E c u a c i n d e l a c i r c u n f e r e n c i a
http://www.profesorenlinea.cl/geometria/PitagorasTeorema.htmhttp://www.profesorenlinea.cl/geometria/PitagorasTeorema.htmhttp://www.profesorenlinea.cl/geometria/PitagorasTeorema.htmhttp://www.profesorenlinea.cl/geometria/PitagorasTeorema.htm


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E c u a c i n r e d u c i d a

E c u a c i n d e l a e l i p s e

E x c e n t r i c i d a d


E l i p s e d e e j e v e r t i c a l


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E l i p s e d e e j e h o r i z o n t a l y c e n t r o d i s t i n t o a l o r i g e n

E l i p s e d e e j e v e r t i c a l y c e n t r o d i s t i n t o a l o r i g e n

E c u a c i n d e l a h i p r b o l a


A s n t o t a s


F ' ( - c , 0 ) y F ( c , 0 )


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H i p r b o l a d e e j e v e r t i c a l

F ' ( 0 , - c ) y F ( 0 , c )

o r i g e n

D o n d e A y B t i e n e n s i g n o s o p u e s t o s .

H i p r b o l a d e e j e v e r t i c a l y c e n t r o d i s t i n t o a l o r i g e n

H i p r b o l a e q u i l t e r a

A s n t o t a s

,


H i p r b o l a e q u i l t e r a r e f e r i d a a s u s a s n t o t a s


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E c u a c i n d e l a p a r b o l a

E c u a c i n r e d u c i d a d e l a p a r b o l a

D e e j e s e l d e a b s c i s a s y d e v r t i c e e l o r i g e n d e c o o r d e n a d a s

D e e j e s e l d e o r d e n a d a s y d e v r t i c e e l o r i g e n d e c o o r d e n a d a s

P a r b o l a c o n e j e p a r a l e l o a O X y v r t i c e d i s t i n t o a l o r i g e n


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P a r b o l a c o n e j e p a r a l e l o a O Y , y v r t i c e d i s t i n t o a l o r i g e n

P r o b l e m a s d e l a e c u a c i n d e l a c i r c u n f e r e n c i a

1 . E s c r i b i r l a e c u a c i n d e l a c i r c u n f e r e n c i a d e c e n t r o ( 3 , 4 ) y r a d i o 2 .2 . D a d a l a c i r c u n f e r e n c i a d e e c u a c i n x 2 + y 2 - 2 x + 4 y - 4 = 0 , h a l l a r e l c e n t r o y e l

r a d i o .

3 . D e t e r m i n a l a s c o o r d e n a d a s d e l c e n t r o y d e l r a d i o d e l a s c i r c u n f e r e n c i a s :

1 .

2 .

3 .

4 . 4 x 2 + 4 y 2 - 4 x - 8 y - 1 1 = 0

4 . C a l c u l a l a e c u a c i n d e l a c i r c u n f e r e n c i a q u e t i e n e s u c e n t r o e n ( 2 , - 3 ) y e s t a n g e n t e a l e j e

d e a b s c i s a s .

5 . C a l c u l a l a e c u a c i n d e l a c i r c u n f e r e n c i a q u e t i e n e s u c e n t r o e n ( - 1 , 4 ) y e s t a n g e n t e a l

e j e d e o r d e n a d a s .

6 . C a l c u l a l a e c u a c i n d e l a c i r c u n f e r e n c i a q u e t i e n e s u c e n t r o e n e l p u n t o d e i n t e r s e c c i n

d e l a r e c t a s x + 3 y + 3 = 0 , x + y + 1 = 0 , y s u r a d i o e s i g u a l a 5 .

7 . H a l l a r l a e c u a c i n d e l a c i r c u n f e r e n c i a c o n c n t r i c a c o n l a e c u a c i n

, y q u e p a s a p o r e l p u n t o ( - 3 , 4 ) .

8 . H a l l a r l a e c u a c i n d e l a c i r c u n f e r e n c i a q u e t i e n e e l c e n t r o e n e l p u n t o C ( 3 , 1 ) y e s

t a n g e n t e a l a r e c t a : 3 x - 4 y + 5 = 0 .

9 . H a l l a r l a e c u a c i n d e l a c i r c u n f e r e n c i a q u e p a s a p o r l o s p u n t o s A ( 2 , 0 ) , B ( 2 , 3 ) , C ( 1 , 3 ) .

1 0 . H a l l a r l a e c u a c i n d e l a c i r c u n f e r e n c i a c i r c u n s c r i t a a l t r i n g u l o d e v r t i c e s : A ( 0 , 0 ) , B ( 3 ,

1 ) , C ( 5 , 7 ) .


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E c u a c i n d e l a e l i p s e . E j e r c i c i o s

1 . R e p r e s e n t a g r f i c a m e n t e y d e t e r m i n a l a s c o o r d e n a d a s d e l o s f o c o s , d e l o sv r t i c e s y l a e x c e n t r i c i d a d d e l a s s i g u i e n t e s e l i p s e s .

1

2

3

4

2 . R e p r e s e n t a g r f i c a m e n t e y d e t e r m i n a l a s c o o r d e n a d a s d e l o s f o c o s , d e l o sv r t i c e s y l a e x c e n t r i c i d a d d e l a s s i g u i e n t e s e l i p s e s .

1 .

2 .

3 .

4 .

3 . H a l l a l a e c u a c i n d e l a e l i p s e c o n o c i e n d o :

1 .

2 .

3 .

4 .

4 . E s c r i b e l a e c u a c i n r e d u c i d a d e l a e l i p s e q u e p a s a p o r e l p u n t o ( 2 , 1 ) y c u y o e j e

m e n o r m i d e 4 .


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E c u a c i n d e l a p a r b o l a . E j e r c i c i o s r e s u e l t o s .

Determina las ecuaciones de las parbolas que tienen:

1 . D e d i r e c t r i z x = - 3 , d e f o c o ( 3 , 0 ) .

2 . D e d i r e c t r i z y = 4 , d e v r t i c e ( 0 , 0 ) .


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3 . D e d i r e c t r i z y = - 5 , d e f o c o ( 0 , 5 ) .

4 . D e d i r e c t r i z x = 2 , d e f o c o ( - 2 , 0 ) .


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Ecuac in de la h iprbola . E je rc ic ios resue l tos

H a l l a r l a e c u a c i n d e u n a h i p r b o l a d e e j e f o c a l 8 y d i s t a n c i a f o c a l 1 0 .


E l e j e f o c a l d e u n a h i p r b o l a m i d e 1 2 , y l a c u r v a p a s a p o r e l p u n t o P ( 8 , 1 4 ) . H a l l a r s u

e c u a c i n .

Ecuacin de la hiprbola. Ejercicios resueltos

Calcular la ecuacin reducida de la hiprbola cuya distancia focal es 34 y la distancia de un foco al vrtice ms

Prximo es 2.


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D e t e r m i n a l a e c u a c i n r e d u c i d a d e u n a h i p r b o l a q u e p a s a p o r l o s p u n t o s

.


D e t e r m i n a l a e c u a c i n r e d u c i d a d e u n a h i p r b o l a q u e p a s a p o r e l p u n t o y s u

e x c e n t r i c i d a d e s .


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D e t e r m i n a l a e c u a c i n r e d u c i d a d e u n a h i p r b o l a s a b i e n d o q u e u n f o c o d i s t a d e l o s v r t i c e s d e

l a h i p r b o l a 5 0 y 2 .

EJERCICIOS PROPUESTOS DE LA UNIDAD

..

1. Encontrar la ecuacin de la parbola que satisface las condiciones dadas:

a. F(3, 0), V(2, 0)

b. F(0, 0), V(-1, 0)

c. F(2, 3), directriz: x = 6

d. V(-1, 4), eje focal vertical, y la parbola pasa por el punto (2, 2)

e. V(4, 4), eje focal horizontal, y la parbola pasa por el punto (2, 2)

f. Eje focal vertical, y la parbola pasa por los puntos A(-8, 5), B(4, 8) y C(16, -7)

2. Cada una de las ecuaciones descritas a continuacin corresponden a parbolas. Localizar el vrtice, elfoco, la ecuacin de la directriz, ecuacin del eje focal, y la ecuacin de la tangente en el vrtice.

a. y2 + 4x 4y 20 = 0

b. y2 8x + 4y + 12 = 0

c. y2 + 4x + 4y = 0

d. 4y2 + 24x + 12y 39 = 0

e. 8y2 + 22x 24y 128 = 0

f. x2 6x 12y 15 = 0

g. x2 + 4x + 4y 4 = 0

h. x2 8x + 3y + 10 = 0

i. 6x2 8x + 6y + 1 = 0

j. 5x2 40x + 4y + 84 = 0


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3. Demuestre que la ecuacin de la tangente a la parbola: x 2 = 4cy en el punto (p, q) de la curva, vienedada por: px = 2c(y + q).

4. Determine el punto mximo (mnimo) de las siguientes parbolas:

a. y = x2

2x 8

b. y = x2 6x + 9

c. y = 5 4x - x2

d. y = 9 x2

5. Para cada una de las siguientes ecuaciones que representan elipses, se pide dibujarlas determinandoadems los vrtices y los focos:

a. 16x2 + 25y2 = 100

b. 9x2 + 4y2 = 36

c. 4x2 + y2 = 16

d. x2 + 9y2 = 18

e. 4y2 + x2 = 8

f. 4x2 + 9y2 = 36

6. En los siguientes ejercicios encuentre la ecuacin de la elipse que satisface las condiciones dadas.Trace su grfica.

Centro en (0, 0); foco en (3, 0); vrtice en (5, 0).

Centro en (0, 0); foco en (-1, 0); vrtice en (3, 0).

Centro en (0, 0); foco en (0, 1); vrtice en (0, -2).

Focos en ( 2, 0); longitud del eje mayor 6.

Focos en (0, 3); las intersecciones con el eje x son 2.

Centro en (0, 0), vrtice en (0, 4); b = 1.

Vrtices en ( 5, 0); c = 2.

Centro en (2, -2), vrtice en (7, -2); focos en (4, -2).

Focos en (5, 1) y (-1, 1); longitud del eje mayor es 8.

Centro en (1, 2); focos en (1, 4); pasa por el punto (2, 2).


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7. En cada uno de los ejercicios siguientes encuentre el centro, los focos y los vrtices de cada elipse.Trace la grfica correspondiente.

8. Para cada una de las siguientes ecuaciones que representan hiprboles, se pide dibujarlas,determinando adems los vrtices, los focos y las ecuaciones de las asntotas.

a. 16x2 25y2 = 100

b. 9x2 4y2 = 36

c. 4x2 y2 = 16

d. x2

9y2

= 18

e. 4y2 x2 = 8

f. 4y2 9x2 = 36

9. En los siguientes ejercicios encuentre la ecuacin de la hiprbola que satisface las condiciones dadas.Trace su grfica y las asntotas.

Centro en (0, 0); vrtice en (3, 0); foco en (5, 0).Centro en (0, 0); vrtice en (-1, 0); foco en (-3, 0).Centro en (0, 0); vrtice en (0, -1); foco en (0, -3).Centro en (0, 0); vrtice en (0, 3); foco en (0, 5).

V1(-3, 2), V2(-3, -2); 2b = 6.F(-7, 3), F(-1, 3); 2a = 4.V1(4, 0), V2(-4, 0); asntota la recta y = 2x.


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10. En cada uno de los ejercicios siguientes encuentre el centro, los focos, los vrtices y las ecuacionesde las asntotas de cada hiprbola. Trace la grfica correspondiente.

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