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UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAÚUNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAÚCENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIACENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIACURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICACURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
MATEMÁTICA BÁSICA IIMATEMÁTICA BÁSICA IITRIGONOMETRIATRIGONOMETRIA
Prof. Márcio NascimentoProf. Márcio [email protected]@matematicauva.org
2014.12014.1
“A Matemática tem muito em comum com a música, a dança e os esportes. Existem habilidades a serem aprendidas e uma sequência a ser seguida, caso você queira ser bom no que faz.
Você não pode simplesmente ler matemática, ou apenas ouvir matemática, ou até mesmo entender matemática. Você FAZ a matemática, e aprender a fazêla bem, requer prática.
É por isso que as tarefas de casa existem, mas a maioria das pessoas precisa de mais!”
Carolyn WheaterPractice Makes Perfect
EtimologiaA palavra trigonometria tem origem na Grécia:
μτριγωνο ετρία
τρίγωνο (Triângulo) + μέτρηση (medida)
A 'Ciência dos Triângulos';
Vocábulo criado em 1595 pelo matemático alemão Bartholomaus Pitiscus (15611613)
Ramo da Matemática que estuda a aplicação da aritmética na geometria.
História da TrigonometriaCriação da Matemática Grega;
Inicialmente desenvolveuse a Trigonometria Esférica, mas a Trigonometria Plana fezse necessária;
Surgiu devido as necessidades da Astronomia, Navegação e Cartografia;
Os estudos dos triângulos esféricos vinham sendo feitos desde os últimos pitagóricos (300 a.C.);
Euclides (300 a.C.): estudos sobre Geometria Esférica;Aristarco de Samos (300 a.C.): estimou uma razão
entre as distâncias da terra ao sol e da terra a lua e também uma razão entre o diâmetro do sol e a da terra.
Teodósio (20 a.C.): compilou o que os gregos sabiam sobre o assunto em seu livro Sobre a Esfera;
Apolônio de Perga (200 a.C.): achou a aproximação de 3,1416 para o número π;
Eratóstenes (250 a.C.): calculou o raio da terra;
Menelao de Alexandria (100 a.C.): vários teoremas sobre trigonometria esférica.
Ptolomeu (150 d.C.): ápice da trigonometria grega com a obra Almagesto (A sintaxe Matemática).
Hiparco de NicéiaConsiderado o “Pai” da
Trigonometria, viveu em torno de 120 a.C.
Construiu tabelas de cordas (predecessoras das tabelas de senos).
Organizou a confecção de um catálogo de estrelas e um calendário de equinócios.
O que se sabe sobre Hiparco é devido a Ptolomeu, que cita vários de seus resultados sobre Trigonometria e Astronomia.
Hiparco de NicéiaFez um tratado de 12 livros que se ocupa da
construção de uma “tabela trigonométrica” para usar em sua astronomia;
Usou a divisão do círculo em 360 partes como os babilônios;
Criou o primeiro astrolábio, equipamento destinado a medir a distância de qualquer astro em relação ao horizonte;
Usou a “trigonometria” para prever eclipses, fazer calendários e navegação.
OBS: Tabela de cordasOs matemáticos gregos não usavam seno de um
ângulo. Trabalhavam com a corda do arco duplo.
A
C
D
O α
��� � = ����
=12����� ��
��=
1120
����� ��
Por influência babilônia, os gregos usavam o raio com comprimento 60 e dividiam o círculo em 360 fatias.
Os matemáticos gregos usavam as frações sexagemais babilônias, daí a razão de adotarem o raio igual a 60.
Almagesto (Ptolomeu, 150 d.C.)Ptolomeu descreve o sistema solar no modelo
geocêntrico;
Com as técnicas expostas no livro, Ptolomeu é capaz de resolver qualquer triângulo, decompondoo convenientemente em triângulos retângulos;
Deduziu expressões que mais tarde, em notação moderna, seriam a expressão para seno da soma e da diferença e a identidade fundamental:
���2 � +cos2� = 1
Trigonometria pelo mundo
Continuou sendo aplicada à astronomia;
No século V, abandonaram a tabela de cordas e adotaram a tabela de senos;
Hindus
A trigonometria hindu era essencialmente aritmética, enquanto a grega era mais geométrica;
Trigonometria pelo mundo
Adotaram o ponto de vista aritmético dos hindus;
Introduziram a tangente, cotangente, secante e cossecante, para facilitar os cálculos;
Árabes
Já conheciam a lei dos senos para triângulos (alBiruni, 1408);
NasirEddin sistematizou os conhecimentos até então existentes sobre trigonometria em seu Tratado sobre o Quadrilátero.
Trigonometria pelo mundoChega a Índia por volta de 400 d.C. (astronomia);
Por volta de 800 d.C. chega ao mundo islâmico (astronomia e cartografia);
Entre 850 e 929, ocorre a introdução do círculo unitário pelo matemático árabe AlBattani;
Trigonometria pelo mundo
Desenvolvimento da navegação exigia mapas mais precisos e cálculos mais exatos da efemérides astronômicas.
A partir do renascimento, época da expansão marítima européia, a trigonometria passou a ser usada na cartografia e na topografia (Fibonacci);
Necessidade de se refazer os cálculos da astronomia posicional, devido a adoção do sistema heliocêntrico de Copérnico (14731543);
Trigonometria pelo mundo
Regiomontanus (14361476): organizou a trigonometria como parte da matemática independente da astronomia.
Os alemães contribuíram fortemente para o desenvolvimento da trigonometria.
George Peurbach (14231461): Traduziu o Almagesto diretamente do grego e calculou tabelas de senos mais precisas;
Bartholomaus Pitiscus (15611613): introduziu o termo Trigonometria (medida dos ângulos de um triângulo).
Origens dos nomes das relações trigonométricasSeno
A palavra meiacorda em sânscrito, língua dos antigos hindus, é jiva;
v e b se confundem.
Como em várias outras línguas, em árabe se escrevem somente as consoantes das palavras;
Jaib significa bacia, bolso.
Traduziram jaib para o latim, isto é, sinus.
Origens dos nomes das relações trigonométricasTangente: significado geométrico.
α
r
t
�� � =��
Origens dos nomes das relações trigonométricasSecante: Na figura abaixo, o segmento que define a
secante, corta o círculo. Do latim, cortar=secare.
α
r
s
��� � =��
Origens dos nomes das relações trigonométricasCosseno, Cotangente e Cossecante: Seno, tangente e
secante do arco complementar
α
r
tβ s
t'
r s'
�� � =� ′�
= ���� �, sen� = ���� , ���� =� ′�
= ������ �
Aplicações
Outros campos da matemática: Análise, Cálculo;
Eletricidade, a Mecânica, a Acústica, a Música, a Topografia, a Engenharia Civil, Medicina, Telecomunicações, Navegação, Aviação, Astronomia;
O ensino de trigonometriaSegundo os PCN, ensino médio, o objetivo do ensino
da trigonometria é:Utilizar e interpretar modelos para resolução de
situaçõesproblema que envolvam medições, em especial o cálculo de distâncias inacessíveis, e para construir modelos que correspondem a fenômenos periódicos.
Compreender o conhecimento científico e tecnológico como resultado de uma construção humana em um processo histórico e social, reconhecendo o uso de relações trigonométricas em diferentes épocas e contextos sociais.
Conteúdo da disciplinaTrigonometria no triângulo retângulo
Trigonometria na circunferência
Funções Trigonométricas