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7/24/2019 Matematica Basica Kimi
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UPLA
13
MATEMTICA BSICA 1Teora y ejerciciosBenjamn Santivez Meina
MATEMTICA BSICA 1
Teora y ejercicios
Kimberly Caja Len
P!ina 1
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Teora y ejercicios
Kimberly Caja Len
"nice
ndice....................................................................................2
LOS NMEROS REALES............................................................3
Pro#iea$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%&
INECUACIONES......................................................................12
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS:............................................17
LUGAR GEOMETRICO.............................................................21LNEA RECTA.........................................................................24
P!ina '
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L(S )*ME+(S +EALES
{0,1,2,..+}
X+2=0 x=2
, ..2,1,0,1,2,.+
8x=7 x=7/8
,
P!ina ,
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Problemas:
1. Hallar x en:
(2x+5)2 x(4x5)=100
4x 2+20x+254x 2+5x=100
25x=10025
25x=75
X=3
2. Hallar el valor de:
E= 2( 12+ 12+ 12+..+)
2
E2= 12 + 12+ 12+.+
E
E2- E 12=
E= !, E= -"
". Hallar el valor de #X2+(2k+5)x+k=0
X2+(2k+5)x+k=0
a
P!ina -
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b
b
2
4
ac2a b
b
2
4
ac2a =3
b b24ac
2a +
b b24ac2a
=3
2b24ac2a
=3b4ac=3a
b4ac=3
b24 ac=9
(2k+5)24k=9
4 k2+20k+254k=9
k2+4 k+4=0
k+2=0 k=2
Pro#iea$$a s%ma de las ra&'es de %na e'%a'n '%adr*'a, es %al al 'oe'ene 'on sno'ambado / el 0rod%'o de las ra&'es es %al el rmno 'onsane.
x2 Sx+P=0
!. Hallar la s%ma de las ra&'es sabendo %e son nversas:
(2x+2)x 2+(4x 4 k)x+(k2)=0
x1+x 2(44k)=4k4
x1 . x 2 k2=1 .(1)
P!ina &
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k=3
30a:
En (1): x1+x2=8
4. 3esolver:
x265x=4x x 26
x265=4x x 26
x
m 5
6=4 m25=4 .(1)
x 26
x= - 1 (2)
m24m 5=0 x26=xm -4 x2+x 6=0m +1 x +" x -2
m=5 , m=1x=3 , x=2
Reemplazamos en (2):x26=5xx25x 6=0(x 6)(x+1)=0x=6 ; x=1
5. 3esolver:
x2+2x2+6x=246xx2+6x+2x2+6x=24
P!ina .
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x2+6x=m x 2+6x=m2 , , , , (1)
Reemplazamos en(1):m2+2m 24=0m+6m4
(m+6)(m 4)=0m=6 ; m=4 (x2+6x )=4 x 2+6x=16
x2
+6
x 16
=ox+2x8
x=8 ; x=2
6. Hallar:
1
2x3+
3
2x23x
=5
x
7x15
2x23x
1
2x3+
3
x (2x3 )=
5
x
7x152 (x3)
CD=x (2x 3)
x+3=5(x 3)(7x15)x+3=5x+157x+153=2x3/2=x Rpta:
7.-
x - x22 = 6
x221 = -6 + x
P!ina /
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x2 21 = (-6 + x)2
x2 21= x2-1!x + !7 -6 = -1!x 681! = x 4 = x
9om0roba'n:
" 6
1.- ( 4x+x+9x2+5x+x2+7 )2= 1+2x
!x2+ x + 9x2+5x+x2+7 = 1+ !x2+!x
9x2+5x+x2+7
)2= (1+"x)2
7x2+ 4x + x2+7 = 1 + 7x2+ 5x
x2+7
)2= (1+ x)2
;2
+ 6 = 1+ x2
+2x
; = "
11.-
1
4xx+ 2+x+x = "
1+ ( 2+x+x )( 2+xx )= "( 2+x + x )
1+ (2 +x -x) = " ( 2+x - x )
P!ina 0
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" = "( 2+x - x )
1= ( 2+x - x )
(1+ x )2= 2+x
1+ x + 2 x = 2+x
2x
)2= 12< x=
12.- $os raba>adores de %na em0resa exendo me>ores rem%nera'ones, se de'lararon en ?%ela. $a '%ara
0are de ellos 'obra %n s%eldo daro de s8.12 la er'era 0are de s8.1 / el reso de s8.@. $a ?%ela d%r 14d&as / al renerarse al raba>o la eren'a solo abono la '%ara 0are de lo %e ?%beran anado en los 14 d&as,'on lo '%al los raba>adores 0erderon s8.4!@1. Aeermnar el nBmero de raba>adores %e en&a la em0resa.
;= raba>adores
x
4.12,
x
3.1
1d&a: 12( x4
) + 1( x
3) + @(
5x
12) =
190x
3
14 d&as: 4(190x
3) = 1!4x
Perderon:3
4(1!4x) = 4!@1
x= 548100(4)
3(1450)< x= 4! raba>adores
1".-C n de aDo los " so'os de %na em0resa se re0aren las %ldades de la s%ene orma el 0rmero oma la
mad del oal m*s medo mlln.El se%ndo la mad %e de>o el 0rmero m*s medo mlln. El er'ero la mad %e de>o el se%ndo m*s medomlln. 9al'%lar a '%ano ?a'enden las %ldades de la em0resa s al nal no %eda nada.
F9GF
EIJC AEKC
P!ina
X -x
4 x
3
5x
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1 X
2 +1
2 x(X
2 +1
2 )=2X
2 x
21
2=x
21
2
2
1
2(X2 12 )+
1
2=
x4
1
4+2
4=
x4+1
4 (X
21
2)(
X
4+1
4)=
2x
4
2
4
x
41
4=
x
4
" 1
2 (X
4
3
4 )+1
2=
x
8
1
8(
X
4
3
4)(
X
8+1
8)=
x
8
7
8=0
30a:
x
87
8=0 x=7millones
1!.- Ln obrero asa daramene los2
3de s% >ornal en almena'n, la %na 0are en 0aar s% vvenda, /
el reso lo %lMa en asos m0revsos. en %n mes de " d&as de los '%ales no raba>o 2 0or en'onrarseenermo el mono de los asos as'ende a s8.1@. Aeermnar '%al es el >ornal del obrero.
ea x el >ornal:
Clmena'n: 23
x
Nvenda:x
5
2
3x +
x
5= 13x
15
En " d&as: "(13x
15) = 25x
30a: 2@x 25x = 1@
;=7
P!ina 12
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14.- 9ero nBmero de revsas se ?an 'om0rado 0or s8.1. el 0re'o 0or e>em0lar ?%bera sdo %n sol menos,
se endr&an 4 e>em0lares m*s 0or el msmo 0re'o, O9%*nas revsas se 'om0r
ea x el 0re'o:
Q1=100
x
x-1= Q2=100
x
Q2- Q1= 4
100
x1-
100
x= 4(m.'.m) = x(x-1)
1x 1(x-1) = 4x(x-1)
1x 1x + 1 = 4x2 4x
4x2 4x -1 =
;= -! x= 4
15.- res ros veren a%a %e adem*s enen %n ro de salda. El ro abero solo, llenar&a en " ?oras, else%ndo en dos ?oras / meda el er'ero en 1 ?ora / meda / el ro de salda lo va'ar&a en 4 ?oras. Esando
va'&o el de0so. e abren los '%aro ros. OEn '%*no em0o %edar&a lleno
P!ina 11
2$ ! 2$ !
3$ ! 1
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Reemplazamos:
X( 1
3
2
5
2
3-
1
5)!1
x( 5+6+103
15)= 1
1@x = 14 < x=5h6
. 60minhoas
= 4 mn
I)ECUACI()ESGne'%a'n: Es %na des%aldad %e se '%m0le 0ara deermnarnos valores de lan'na.
P!ina 1'
%n 1 &ora:1er 'rio! 3 &oras ! 13 &2*o 'rio! 2 &oras yme*ia! +2 &3er 'rio! 1 &ora y
,$ !
R, S, T, U
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1.-
2x1
5+ 3x2
6R 15 (2x+1)
2+ 2
5(2x - 1) + 4("x 2) R 14(2x + 1) + 2
12x 5 + 14x 1 R "x + 14 + 2
- 41 R "x- 16 R x
x R -16
- -16 -2 -1 +1 +2 +
x V S -, -16R
2.-x2 "x + 12 R ; -5 ; -2
xR 5 , x R 2
- 2 5 +
S 5, + R
e '%m0le '%ando son + los dos
P!ina 1,
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xS 5 , x S 2
- 2 5 +
S -, 2R
x2+ 2x "4 S x 6x-4
x + 6 S < x S -6
x 4 S < x S 4 - -6 4 +
x V S -6, 4 R
x + 6 S < x S -6
x 4 S < x S 4 - -6 4 +
30a: sol%'n
".- 3esolver:
x2+x+182x
x 1R
x2+x+18+(2x )(2x )
2xR
x2+x+18+2 x22+x
2xR
4x+162x
R
P!ina 1-
Resriccin:
2 - . ! #
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4(x4)2x R
a) x + ! R < x R - !
2 xR
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a) x 1S
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x W - , "X L W 2, !X
5.- 3esolver:
x25x+6
x2+x42
(x3)(x2)
(x+7)(x6)T
- - - - - + +
- - - + + +
- + + + + +
- - - - +
+ +
6.- 3esolver:
x+1
x3+8x2+14x+12
S , x 5
1 1 " 1# 12 - - -12 -12 -2 2
1 -2 -2P!ina 1/
x "T < x T "
x 2 T < x T 2
x + 6 T
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x+1
(x+6)(x2+2x+2) S
1
x+
(x+6) x+1
S
- - - + +
- + + + +
30a:xV W -5, -1X
3ISTA)CIA E)T+E 3(S PU)T(S$
P!ina 10
- 1 #
4 52 (.26 y2)
(y20 y1)
(.20 .1)51(.1 0y1)
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P1P2
Avsn de %n semeno en %na raMn:
d (P1,Q)
d (Q,P2)
xx1x 2x
=!!1! 2!
=
x1 x2= rx2 rx
x + rx = rx2+ x1
x(1+r) = x1+ xr2
x = x1+ rx2 1 + r
P!ina 1
.
* (51652) !
(x2x1)2+(! 2! 1)2
y51(.2 0y2)
!
7
.
51(.16 y1)
/1 /2= r/2 r/
/ + r/ = r/2 + /1
/(1+r) = /1+ /r2
/ = /1+ r/2 1 + r
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8i r ! 1 7 es el p9no me*io *e 516 52
x=x+x 1
2
!=!+!1
2
E>er''os:
1.- Lno de los exremos de %n semeno / el 0%no (6,@) / s% 0%no medo (!,"). Hallar el oroexremo.
8+!2
=3 < / = -2
7+x2
= ! x = 1
P!ina '2
(6 ")
(,6 3)
(.6 y) ! (16 2)
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2.- $os 0%nos medos de %n r*n%loC(2,4) Y(!,4) 9(1, 1). Hallar las 'ara'er&s'as de losvr'es.
x 1+x22
= 2 x1+ x2= !
x 2+x32
= ! x"+ x"= @
x 1+x32
= 1 x1+ x"= 2
! 1+! 22
= 4 /1+ /2= 1
! 2+! 32
= 2 /2 + /" = !
! 1+! 22
= 1 /1+ /"= 2
P!ina '1
52 (.26 y2) ! (16
(.26 y2)
(-,6 2)(-26 3)
(16 1) (.36 y3)(.6 y)
.1 .2.2.3 .1 .3! 1,
2.1 2.2 2.3! 1,
X1 .2 .3 !
x1+ x2= 6 ! = " x"
x2+ x"= 6 @ = -1 < x1
x1+ x"= 6 - 2 = 4 < x22y1 2y2 2y3! 1
y1 y2 y3 ! "
/1+ /2= @ 1= -2 < /"
/2+ /"= @ != ! < /1
/1+ /"= @ - 2 = 5 < /2
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30a: 9oordenadas:
P(-1, !) Q(4, 5) 3(2 -")
LU4A+ 4E(MET+IC(
e llama l%ar eomr'o al 'on>%no de odos los 0%nos %e enen al%na 'ara'er&s'a en'omBn.
P!ina ''
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Problema 1:
Fbener el l%ar eomr'o de odos los 0%nos %e e%dsan de odos los 0%nos
d (PC) = d (PY)
(x+3)2+(!2)2 = (x2)
2+(!5)2
;2+ 5x + 7 + /2- !/ + ! = x2+ !/ + ! + /2+ 1/ + 24
1x !/ 15 =
4x 6/ @ =
2.- Ln 0%no se m%eve de al manera %e s% dsan'a al 0%no C es sem0re %al del e>e /a%menado en 2. Hallar la e'%a'n del l%ar eomr'o.
d(P,C) = x+2
(x2)2+(!+3)2 = x + 2
(x 2)2+ (/-")2 = x2+ !x + !
P!ina ',
y
- .
-y
y
5(.6 y).
(26 3)
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x2 !x + ! + /2 5/ + 7 = x2+ !x + !
/2 @x 5/ + 7 = "c#aci$n
".- Aos vr'es de %n r*n%lo son los 0%nos C / Y de C(1, ) / Y(4, ). Hallar la e'%a'ndel l%ar eomr'o del er'er vr'e 9, s se m%even de al manera %e la deren'a enrelas lon%des de los lados.
Z C9 / Y9 es sem0re %al de lon%d del lado CY.
d ( % C ) d (Y9) = & (%')2
(x1)2+(!0)2 - (x5)
2+(!0)2 = 2
(x1)2+!2 = 2 + (x5)
2+!2
(x 1)2+ /2= ! + ! (x5)2+!2 + (x 4)2+ /2
;2 2x + 1 = ! + ! (x5)2+!2 + x2 1x + 24
@x 2@ = ! (x5)2+!2
2x 6 = (x5)2+!2
!x2 2@x + !7 = x2 1x + 24 + /2
"x2 /2 1@x + 2! =
Hallar:
$a e'%a'n del l%ar eomr'o de los 0%nos C %e dvde al semeno 3(2,") '%andoC(1,1) / Y se m%eve sobre la '%rva x/ = -1
& (%P)& (%')
= 13
& (%P)& (%')
= 23
P!ina '-
.
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x1x 1x =
2
3
"x " = 2x 2x
x1=5x3
2 (1)
!1! 13
=2
3 "/ " = 2/1 2/ . (2)
/1 =5!3
2 . (")(2) / (") en (1)
( 5x3
2) (
5!32
) = -1
(4x ") (4/ ") = -!
L")EA +ECTA
P!ina '&
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e llama l&nea re'a al l%ar eomr'o de los 0%nos ales %e omado de dos en dos,enen sem0re la msma 0endene.
Ln *n%lo enre re'as:
1.- Hallar la e'%a'n de la re'a %e 0asa 0or el 0%no / ene %n an%lo de nd'a'n de1"4[
P!ina '.
y
7(.26 y2)
(y2 -y1)
m ! ' ( !
y2 0 y1
(.2-.1)
(
5(.16 y1)
.
mm1
(
(
8i m1 0 m2 ! 1 L1 L2
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C (!, -1) ( = 1"4[
/ = /1 = m(x x1)
(x1, /1) 0%no de 0aso
Asan'a de %n 0%no a %na re'a:
2.- Hallar la e'%a'n de la medarM del semeno %e m%eve los 0%nos C(-", -!) Y(4, 2)
m =2+45+3
=6
8=
5
4
m . m1 = -1
m1 =1m
=
13
4
=43
/ + 1 = -!8" (x 1)
"/ + " = -!x + !
!x + "/ 1 =
P!ina '/
1++
(,6 -1
;L:
y 0 y1! m ( . 0
L1
= ( 16
(36 -,)
5 (.16 y1)
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".- Problema:
$ = "x !/ + 12 = P (!, -1)
d(P$) =3 (4 )4 (1 )+12
32+42
= 2@84
!.- Aos re'as se 'oran ormando %n an%lo de !4[. $a re'a n'al 0asa 0or el 0%no P(-2, 1)/ Q(7, 6), en la re'a nal 0asa 0or el 0%no Y(", 7) / 0or el 0%no C '%/a abs'sa es (-2, /).
Hallar la ordenada de C.
( ( =m2m11+m1.m2
=1
m2 m1= 16 m1.m2
m1 =719+2
= 5811
m2 =9!3
+2
m26
11= 1+
6
11m2
m26
11m2= 1+
6
11
P!ina '0
%x1+'!1+C2+ 2
,+$
7(?6
(-26
5(-26
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4m28! = 168!
m2 = 16
9!3
=17
5 /= -@
4) Aos re'as se 'oran ormando %n *n%lo de !4[: Lna re'a $10asa 0or los 0%nos (",2) / (-!, -5) Fra re'a $2 0asa 0or la re'a (-6, 1) / el 0%no C '%/a ordenada en el oren ( ,5).
Hallar la abs'sa de C sabendo %e $1es 0er0end'%lar a $2
(",2) m1 =2+63+4
=4
7
(-!, -5)
(-6,1) m1 =1+6
7X=
7
7X
(;, -5)
$1 0er0end'%lar a $2
m1.m2 = -1 4
7(
7
7x) =-1
! = 6 + x x = -"
P!ina '
L1
L2
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5) $eer las re'as $1
$1 = 2x -"x +5 = o
$2 = / +! = . $a re'a $1 nerse'a $1 en Y / a la $2 en 9, s el $1 0asa 0or el 0%no (7,5)YP es al semeno P'. Hallar la e'%a'n de la re'a $.
'P
PC
9E $2 /2 ! = o /2=!
Y E $1 2x1 "/1+ 5 = . (1)
6! 1! 26
= 28"
1@ - "/1= 2/2 12
1@ -"/1= 2(!) 12
P!ina ,2
@(.6y) !("6
(?6)
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" /1= 22
/1= 228"
En (1)
2x1- "(228") + 5
2x1 22 + 5
;1= @
\l = 228" x 5 8-1 = -!8"P(7,5) /-5 = -!8"(x 7)
"/ 1@= - !x + "5
$= !x + "/ + "5
6) Aado el ran%lo de los vr'es C, Y, 9. Hallar las e'%a'ones de la re'a %e 0asan 0or elvr'e Y / se rse'an s al lado o0%eso C9
x+102x =
1
2
!+15! = ] / = 1
m$1= 58" = 2
Y (-", 6)
P!ina ,1
C (.26 y2)
@(-36)
& (%P)& (PC)
! 1
(-1#6-1) (26+)
a 5 b 7
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^ - 6 = 2(x + ")
/ 6 = 2x + 5
$1 = 2x / + 1" =
Para $2:
m$2= !8-1 = -!
/ - 6 = -! (x + ")
/ 6 =- !x+ 12$2: !x + / + 4 =
P!ina ,'