Matemática Básica para Economistas MA99

Unidad 1

Clase 1.1

Ecuaciones en una variablede primer, segundo grado y

ecuaciones con radicales

Objetivos:

1. Identificar una ecuación de primer grado.

2. Identificar si un valor es o no solución de una ecuación.

3. Resolver una ecuación de primer grado con una variable.

4. Determinar el conjunto de valores admisibles de una ecuación reducible a primer grado con una variable.

5. Resolver ecuaciones que se pueden reducir a una ecuación de primer grado.

6. Resolver problemas que pueden ser modelados con una ecuación de primer grado.

7. Identificar una ecuación de segundo grado con una variable.

8. Resolver una ecuación de segundo grado usando fórmula general o factorizando.

9. Resolver ecuaciones que se pueden reducir a una ecuación de segundo grado.

10. Resolver problemas que se pueden modelar mediante una ecuación de segundo grado.

11. Resolver ecuaciones con radicales.

Objetivos:

Libro texto: pag. 35-70

Introduccíon

La habilidad de resolver ecuaciones es esencial en las aplicaciones de las matemáticas , mediante las ecuaciones se modelan muchos fenómenos sean estos naturales, sociales o económicos. Ilustremos un ejemplo sencillo que requiere el empleo de las ecuaciones:

“ Una persona desea invertir $20000 en dos empresas, de modo que el ingreso total por año sea de $1440. Una empresa paga el 6% anual ; la otra tiene mayor riesgo y paga 7,5 % anual.¿Cuánto debe invertir en cada una? ”

Definiciones:

1. Ecuación: Igualdad de dos expresiones algebraicas.

2. Conjunto de valores admisibles de una ecuación (C.V.A.). Conjunto de valores reales para el cual están definidas las expresiones que intervienen en la ecuación.

3. Solución de una ecuación: valor real de la variable que verifica la ecuación. Al conjunto de todas las soluciones se le llama Conjunto Solución (C.S.)

4. Ecuaciones equivalentes: Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.

Ecuación de primer grado

Ecuación lineal

Forma general:

Una ecuación de primer grado tiene una únicasolución.

0 , 0 abax

:x :,baincógnita constantes

Ecuaciones lineales

Ecuaciones literales. Son aquellas ecuaciones que presentan letras como parte de sus términos constantes.

Ecuaciones que conducen a ecuaciones lineales.

Ecuaciones de segundo grado

Ecuación cuadrática:

Teorema: Sean a y b números reales.

a.b = 0, si y solo si a = 0 ó b = 0

0 , 02 acbxax

:x:,ba

incógnita

constantes

Métodos de resolución

Factorización

Fórmula General

Completando cuadrados

APLICACIONES

Estrategia de solución

1. Composición del problema:• Lea todo el enunciado• Trace un esquema• Identifique las cantidades conocidas y

desconocidas• Elija una variable para la cantidad

desconocida2. Planteamiento:

• Traducir el enunciado a una o varias ecuaciones

3. Resolución4. Análisis de la respuesta y la formulación de la

respuesta.

Problemas de aplicación:

Ejercicio 2.1 (prob. 9) en página 67

Utilidad.- Una compañía de refinación de maíz produce gluten de maíz para alimento de ganado, con un costo variable de $ 76 por tonelada. Si los costos fijos son $ 110 000 por mes y el alimento se vende en $ 126 por tonelada, ¿cuántas toneladas deben venderse para que la compañía tenga una utilidad mensual de $ 540 000?

Aplicaciones:

Problema 1: (prob 11 pag 67)

Una persona desea invertir $ 20 000 en dos empresas, de modo que la rentabilidad total por año sea $ 1 440. Una empresa paga el 6% anual; la otra tiene mayor riesgo y paga un 7.5% anual.

¿Cuánto debe invertir en cada empresa?

Problemas de aplicación:

Ejercicio 2.1 (prob. 14) en página 67

Retiro de bonos.- En dos años una compañía requiere $ 1 123 600 con el fin de retirar algunos bonos. Si ahora invierte $ 1 000 000 con este objetivo, ¿cuál deberá ser la tasa de interés, compuesta anualmente, que debe recibir sobre este capital para retirar los bonos?

Problemas de aplicación:

(Prob. 22) en página 68Club de inversión.- Un club de inversión compró un bono de una compañía petrolera por $ 5000. El bono da un rendimiento de 8% anual. El club ahora quiere comprar acciones de una compañía de suministros para hospitales. El precio de cada acción es de $ 20 y se gana un dividendo de $ 0.50 al año por acción.¿Cuántas acciones debe comprar el club de modo que de su inversión total en acciones y bonos obtenga el 5% anual?

Problemas de aplicación:

(Prob. 29) en página 68Rentas.- Usted es el asesor financiero de una compañía que posee un edificio con 50 oficinas. Cada una puede rentarse en $ 400 mensuales. Sin embargo, por cada incremento de $ 20 mensuales se quedarán dos vacantes sin posibilidad de que sean ocupadas. La compañía quiere obtener un total de $ 20 240 mensuales de rentas del edificio.Se le pide determinar la renta que debe cobrarse por cada oficina.

Problemas de aplicación:

Ejercicio 2.1 (prob. 34) en página 68

Equilibrio de mercado.- Cuando el precio de un producto es p dólares por unidad, suponga que un fabricante suministrará 3p2 – 4p unidades del producto y que los consumidores demandarán 24 – p2 unidades. En el valor de p para el cual la oferta es igual a la demanda, se dice que el mercado está en equilibrio.

Determine ese valor de p.

Ecuaciones con RadicalesEcuaciones con Radicales

Una ecuación radical es una ecuación en la cual la variable aparece dentro del signo radical.

Por ejemplo:

Para resolver estas ecuaciones, utilizaremos la siguiente propiedad:

Si a = b → a2 = b2

65 .

92 .

x

x

La solución final debe verificarse en la ecuación Inicial.

Ecuaciones con Radicales: EjerciciosEcuaciones con Radicales: Ejercicios

Resuelva las siguientes ecuaciones:

423 .1 x

3235 .2 xx

343 .3 xx

123 .4 xxx

414 .5 xxx

112435 .6 xxx