3ª SÉRIE E EXTENSIVO | VOLUME 2 | MATEMÁTICA 1 1

Matemática 1 Aula 8

COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PARA SALA

1. I. Para encontrarmos o ponto de intersecção entre as retas r e λ, temos que resolver o sistema abaixo.

2 2

2 2

eq. do 2º grau

x y 1 ( 1) x y 1

x y 1 x y 1

x x 2 x x 2 0

− = − − − + = ⇒ − = − =

− = ⇒ − − =1442443

x' = 2 II. x2 – x – 2 = 0 x'' = –1 III. Para x = 2 ⇒ –2 + y = 1 ⇒ y = 3 Para x = –1 ⇒ 1 + y = 1 ⇒ y = 0 (F), pois y ≠ 0 Assim a interseção é o ponto (2; 3). V. a = 2 e b = 3 ⇒ a + 2b = 2 + 2 . (3) = 8

Resposta correta: C

2. Temos os pontos:

⇒ –2x + y – 4 = 0 ⇒ y = 2x 4 m 2 e n 4+ = =

Resposta correta: B

3. I. Resolvendo o sistema 2x 3y 12

,3x 2y 5

+ = − =

temos:

4x 6y 24

9x 6y 15

13x 39

x 3

y 2

+ = − =

===

II. As retas se encontram no ponto P(a; b) = (3; 2), assim a + b = 3 + 2 = 5

Resposta correta: A

4. Lembrando:

coeficiente angular

Sabemos que m = yx

∆∆

. Pela figura podemos escrever

m = tgα, onde α será o ângulo formado pelo eixo x e a reta.

I. Temos a equação 12x 2y 0.− = O coeficiente angu-

lar é A 12 2 3

m 3B 2 2− −

= = = =−

II. Como m = tgα ⇒ tgα = 3 60⇒ α = °

Resposta correta: E 5. I. Considere os pontos A(k; 5) e B(2; –1). Assim temos:

( )5 1y 6 6m m

x k 2 k 2 k 2

− −∆= = = ⇒ =∆ − − −

II. Como m = tgα e α = 45°, então 6

k 2− = tg45° ⇒

⇒ 6

k 2− = 1 ⇒ k – 2 = 6 ⇒ k 8=

Resposta correta: D

COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS

1. O ponto onde o gráfico corta o eixo y é y = 3, sendo assim n = 3.

Temos que:

m = tg θ = ∆∆

yx

m = 3 00 3−−

m = – 1 Sendo assim: y = mx + n y = – 1x + 3 y = – x + 3

Resposta correta: D

2. I. Se r passa pelos pontos A(–5; –2) e B(5; –6), então temos um ponto genérico (x; y) que junto com o A e B, são colineares.

+

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II.

⇒ 4x + 10y + 40 = 0 2x + 5y + 20 = 0

(eq. geral)

III. Vamos encontrar os pontos m(k1; 0) e N(0; k2): Para x = k1 ⇒ y = 0, então 2.(k1) + 5.(0) + 20 = 0 ⇒ ⇒ k1 = 10−

Para x = 0 ⇒ y = k2, então 2.(0) + 5.(k2) + 20 = 0 ⇒ ⇒ k2 = 4− IV. k1 + k2 = –10 – 4 = 14−

Resposta correta: A

3. I. Sejam A(a; 0) e B(0; b) os pontos que a reta r: 4x + 3y = 24 intercepta os eixos coordenados. Assim:

x = a ⇒ y = 0, então 4.(a) +3.(0) = 24 ⇒ 4a = 24 ⇒ ⇒ a 6=

x = 0 ⇒ y = b, então 4.(0) + 3.(b) = 24 ⇒ 3b = 24 ⇒ ⇒ b 8=

II. Os pontos são A(6; 0) e B(0; 8). Poderíamos ter encontrado os pontos, transforman-

do a equação original para a segmentária, veja:

4x 3y 24 x y4x + 3y = 24 1

24 24 24 6 8

(6;0) (0;8)

⇒ + = ⇒ + =

↓ ↓

IV.

• Pela Geometria Plana: d2 = 82 + 62 ⇒ d 10=

• Pela Geometria Analítica:

( ) ( )2 2d 8 0 0 6 d 10= − + − ⇒ =

Resposta correta: E (retificação do gabarito)

4. Lembrando: Dados os pontos A, B e C, se:

I. A, B e C forem colineares, então det(m) = 0 e os pontos formam uma reta.

II. A, B e C não forem colineares, então det(m) ≠ 0 e os pontos formam um triângulo.

1 + 3m + n ≠ 0 n ≠ 1 3m− −

Resposta correta: B

5. I. Temos a reta y – 1 = 2(x – 2) e os pontos P(0; m) e Q(t; 0).

II. Para x = 0 ⇒ y = m ⇒ m – 1 = 2(0 – 2) ⇒ ⇒ m – 1 = –4 ⇒ m = 3−

Para x = t ⇒ y = 0 ⇒ 0 – 1 = 2(t – 2) ⇒

⇒ 2t – 4 = –1 ⇒ 2t = 3 ⇒ t =32

III. 4t + m = 4 . ( )33 6 3 3

2 + − = − =

Resposta correta: A

6. I. Temos a equação geral 3x 3y 6 0− + = . Transfor-

mando-a para reduzida temos:

3y = + ⇒ = + ⇒ = +3 6 3

3x 6 y x y x 23 3 3

coeficiente angular

II. m = tgα ⇒ tgα = 3

3 ⇒ 60α = °

Resposta correta: E 7. I. Temos os pontos colineares A(-1; 2), B(2; –3) e C(x; 0).

II.

⇒ 5x – 1 = 0 ⇒ 1

x5

=

1

C ; 05

Resposta correta: A

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8. I. Se temos a reta r: x = 1, então todo ponto dessa reta é do tipo (1; y)

II. Substituindo em s temos 2.(1) + y = k ⇒ y + 2 = k ⇒ ⇒ y k 2= − . Assim o ponto de intersecção é (1; k – 2).

III. A soma das coordenadas é 8, então 1 + k – 2 = 8 ⇒ ⇒ k = 9 Não tem item correto.

9. Temos a figura:

II.

⇒ 4x + 4y – 16 = 0 ⇒ 4y = –4x + 16 ⇒ Coef. linear

⇒ y = –1 x + 4

Coef. ang. III. –1 + 4 = 3

Poderíamos localizar os pontos no plano, veja:

m = tg135° = –tg45° = 1−

Resposta correta: B

10. Sejam as retas:

Observe que a figura hachurada é um quadrado. Cha-mando x o lado do quadrado, temos: Como a área do quadrado hachurado é x2, en-

tão A x A A= ⇒ = ⇒ =22

2 2e j

Resposta correta: B

r y x

s y x

t y x

u y x

:

:

:

:

= += −= − += − −

1

1

1

1

x x2 2 2= ⇒ =