Upload
others
View
34
Download
4
Embed Size (px)
Citation preview
?0 de ani
rd
€b(Dzcd
H
.,.9
€b(DzgoP.
mate^iooo*consolidare
ulg*bra,geornetrie
€""if"-."*;:*i:".T+g1 *: t l*;6_L]L+.""._.:: .."i . J d=""
\F6-F-"-q % I "" -l:"tr I-i -:.;: i d- il i .
E&tura Paralela 45
#
A@
w
ibmuummns '- ;las6 gi
f 5-: -:ifice fiUt, ;:h ::-" Ombll in
AntonMaria
NEGRILANECRILA
Soluliile testelor de autoevaluarepot fi consultate la adresa:
http://www.editu rapa ra lela4 5.ro Idown load/sol utii*teste_de_a utoeva I uare
_consolidare_clasaS_sem 2 _201 7 .rar
algGIrfl
UGOMGiliG
Glasa a UIIFA
RAnea a ll-aedifia aV-a, revizuitd
matc 2000 - G0ns0lidarc
&Hgmbwffi
f;apltotxrl Iffiasffim*ffi*
e:1.
Cr.
C+.
Fie datd o funclie .f : A -+ B. l)acd ea face ca elementului a e ,4 s[-i corespundielementul b e B, se scrie/(a): &; spunem cd 6 este vaioarea funcliei in a.
Legitura pe care o stabilegte func{ia intre elementele r e I gi valorile corespunzbtoare/'(r) din -B se numeqte lege de corespondenfi" O funclie se descrie prin trei componente:
s domeniul de definitie:* coclomeniul;* legea de corespondenfi.
Legea de coresponden{h a unei func{ii poate ir datd in mai muite moduri:a) se poate exprima prin indicarea intr-un tabel a vaiorilor corespnnzitoare elementelor
din domeniLrl de definilie:b) se poate descrie cu ajutorui unei formule prin care se precizeazh valaarea.f(r) pen-
tru oricare.r din domeniul de definilie;c) se poate descrie cu ajutorul diagramelor.
gI
HHH
o(Jtno\)lg.9.F(]E\).t-o
"_=,:_.
$fl Competenle speciiicc
Recunaagterea unor corespondente care sunt functii
Utilizarea valorilor unor funclii in rezolvarea unor ecualii gi a urrori necuali i
Reprezentarea in diverse moduri a unor corespondenle gi/sau a unorfunclii in scopul caracteriz5rii acestora
Exprimarea prin reprezentlri grafice a unor noliuni de geometrie pland
Mullimea I se numeqte domeniu de defini{ie al func{iei, iar nmllimea I se
numegte codomeniul sau mullimea in care funclia ia valori. in general, o func{ie /definit[ pe I cu valori in mul]imea B vafi notatS/: A -+ B. Citim,rf definitd pe I cuvalori in 8". Funcliile se noteazd de obicei cuf, g, h, ...
Fie I qi B dou[ mulfimi. Daci printr*un procedeu oarecare facem ca fiecdruielement din mulfimea I si-i corespundi un singar element din mulfimea B, vomspune cE am definit o func{ie de la I la 6.
GEOMETruf,CapltohlL
1. Priffihbffi.-grro-!41
Cuprins
ALGEBRACapltolul I" Funcfll.....
"...."......."..........."..s1. Noliunea de funefie. Funeliidcfinite pe mullimi finite.....,,,... ,.,....,,.,.,,,,..62. FuneJia 1iniar6.,..,,,.. ....,,..,..,,,,,,...10Ree apitulare pi sistematizare prin teste ",,,..,...,, ,. ,, .....,. , , ,. ,.....,. 1 g
Test de autoevaluare ,,,........,..,,,,,,,,,23
Capltolul II. Eeuafll de gradul I................... ............2SReeapitulare qi sistematizare prin testc .,,...,,,,,, ...,,,,.,,...,,....,.,.30Test de autoevaluare ,..,,,,,,,,.,......,...33
Capltolul II[, Slstcme de eeuafll...." ........"................"9s1. Eeuafii de gradul I eu doud neeunoseute ....,....3S2, Sisteme dc doud eeuafii de gradul I eu dou6 neeunoseute ....,,,,,,,,,.,........363, Tipuri deosebite de sisteme ,,,,,,,,,41
Capltolul IV. Probleme rezolvate cu aJutorul ecua{lllor ql al ststemelor de ecuafii...........43Probleme dc matematicX aplicatEln viafa cotidianE,,,,, .,......,.,46Reeapitulare gi sistematizare prin teste .,,,,,,,,... .,.,.......".,,......."47Test de autaevaluare ,.,,,,,.,.,,,,..,......49
Capitolul V. Rezolvarea ecuafiei de gradul al dollea ..."......................51Probleme de matematicl aplicatd in viala cotidiand,,,,, ...........56Test de autoevaluare ...,...................57
Capitolul VI. Inecuafii de gradul I cu o necunoscutlRecapitulare pi sistematizare prin teste .,.......... .,............,,.,,,..,63Test de autoevaluare ...,................,,,65
Capitolul VII. Teme pentru recapitularea finaltr ......671. Numere naturale. Puteri cu exponent numbr natural. Divizibilitate ......,,672. Rapoarte, Propor{ii. Proporfionalitate ............ ...,,,....,,.........693. Procente.. ,..,."...........704. Numere rea1e............ ,,,................715. Calcul algebric ......,.j26, Probleme de aritmeticd ce se pot rezolva cu ajutorul ecualiilor gi al sistemelor de
eeuaJii...,..... .............j37. Ecualii de gradul I cu o necunoscut6.......... .....,,,.,.,.............748. Funclii ,.........,,..,..."..759. Inecualii,. .,,.,.........,..77Recapitulare gi sistematizare prin teste ..........,. ."....,................7gTest de autoevaluare L..,,,............ ,....,................g1Test de autoevaluare 2 ..,.,.,....,,.... .....,..,,,.,..........g3
2. Cubul3. PrismstrhiHdqflProblem&ffiThF,ecaoruuurtr--FTestfue*a
Capltolul IL fiH n;fl-Problem&ffi{fcRecaprurrrctEFTestdew*e
Capltolul IIL TrdtfrReeapinrhe i drfrpTestdeMfu,t
Capltolultr Cr;lr*-L Cilindrul cir*q.-2, Conul cirulbery--Test de mtuec3. Trunchiul&mc*lTest de auwfucRecaPlnriare $ drEiDF4. Sfera
MOdele de tcz: r-rlr*_TEZEDE TIP A
-
TEZEDE TIP B .-Recapitulere t' erfut n-Exercifii 9i protb ntfl
ALGEBRAGEOMETRIE
Modele de teeE pcfri GrfulrModele de tecte p.frrf,ifu
INDICATII SI RISTUSUU.
lc;atiilor Ei al sistemelor de
....83
41
GEOMET"RITI
Capitolul I. Prlsma dreapttr........ .........gs1. Prisma patrulaterd regulatE dreapt6. paralelipipedul dreptunghic.....,,.,,,.........,,,........g52. Cubul .....,.,.........,.....903. Prisma triunghiulard regulat& .,,,,.g2Probleme de matematicE aplieatEln viafa eotidian6.,... ..,........95Reeapitulare gi sistematizare prin testc ,...,..,.,,. ..,,...,....,.,....,,,.97Test de autoevaluare ,,.,...,.,.............gg
l0 Capltolul [I. Piramlda regulatE.. ...,....."........ 101Probleme de matematicE aplieatE in viafa eotidian6,.... ,,,,..,..107Reeapitulare qi sistematizare prin tcste .....,,,,,,. .......,..........,..10gTest de autoevaluare .......,........,.,..1 I I
eapltolul IIl, Trunehtul dc plramldd regulati. ...".....................113Reeapitulare qi sistematizare prin tcste .,.......,., ...,..,,.......,...., 1 l TTest de autoet)aluare ...,.,.,........,....1 19
eapltolul IV. Corpurl rotunde....... ............"...........1211. e ilindrul e ireular drept,,......... .........,...,.........1212. eonul eireular drept,.,,,...,.,, ..,,,,,122Test de autoevaluare .......,............,1273. Trunehiul de eon eireular drept,,,,,....,, ,........,12gTest de autoevaluare ...,,,,,.............133Recapitulare gi sistematizare prin teste ,........... .......,,.,.,..,.....1354. Sfera ......................13d
Modele de teze semestriale .................... 137TEZE DE TIP A ,,,.137TEZE DE TIp B .......... ............,,142
Recapitulare gi evaluare fina1i........... ....................147Exercifii gi probleme recapitulative pentru evaluarea finalI........... ....,.......,147ALGEBRA .,...,,,,...147GEOMETRIE................. ...........1s0Modele de teste pentru evaluarea finaItr.......... ..................... r53Modele de teste pentru Evaluarea Nafionali.... .........................f5g
rNDrcATlt $r RAsprjf{suRt........... ................183
57
65
7071
72
73'74
75
777881
Fiind dati o func{iey'': A -+ B, mullimea de puncte din plan avAnd coordonatele (x, y),unde r este un element oarecare din A, iar y =.f (x), va fi numitb graficul funcfiei. Aceastamullime se scrie Q= {@, il y = f (x), x e A) .
Egalitatea y = -f (x), adevdratd pentru fiecare element x din A, va fi numit6 ecuafiagraficului func{iei/. Se obignuiegte sd se noteze funclia in felul urmdtor: y :-f (x), x e A.
Fief : A -+ B o funcfie. Imaginea (sau mul{imea valorilor) funcliei/este mullimeaIm.f = ff-(x) | r e Aj. in mod evident, tmf c B.
Se mai poate scrie gi astfel:Imf={y e B (:)xe lastfelincAty=/(x)}.
O funcfie al cbrei domeniu de definilie gi codomenin sunt submullimi ale lui IR (mul-jimi de numere) se numegte func{ie numeric[.
Doud funclii f : A -+ ts qi g : C -+ D sunt egale dacd A : C, B = D qi f (x) = g(x), oricarear fr x e l. Se noteaz|-f = g.
in general, o funclie/: IR -+ lR descrisd de formula/ (x) = ax + b (unde a qi b sunt
numere reale) se numeqte funcfie liniari. Reprezentarea geometricd a mullimii graficpentru o funclie liniard este o dreaptd.
Pentru a trasa graficul unei funclii liniare, este suficient s6 dbm variabilei r doud valoridistincte.
Ohservatii:
!. Pentru/: JR -+ lR,/'(,r) = ax l b, dacda * 0 9i b = 0, se obline functia liniar1 f (x) =
= ax, al cdrei grafic conline originea axelor de coordonate.
!. Pentru/: IR. -+ lR, f(x): ax + b, dac6" a = 0 $i b + 0, se oblin funcliile liniare de
foma/(r) : b, ale cdror grafice sunt drepte paralele cu axa Or. Funcliile de acest fel suntnumite func{ii constante nenule.
}" Pentru/: R -+ JR,/(r) = qx t b, dacd a = b :0, oblinem o func!ie/(r) = 0, al cdreigrafic coincide cu axa Ox.
4" Uneori, pentru trasarea graficului este mai comod sd se stabileascd punctele in caregraficul intersecteazd axele de coordonate.
2. Explicitali domeniul cie ::.
f : '1 - - '
Solufie:Cumx+0- l=.i Fie f,unciia f: A ---+ - . -
-; = Z pentru care punctul 81 ..
Solufie: A= { 2,-1. 1.: tr
--1 n--7
O O O octivitdt;
l.Diagrama aldturatd desc:;: -'-codomeniul lui / Determin,,
3. Descrieliprintr-o diagr-ir-* -
a) f : {0,1,2} -+ {0. 1. : :b) g: {-2, -1,0, i.21 -
4. Care dintre tabelele de ma. '
5. Explicitali domeniul de ;-'r--l--
= r/.r- -4x + 4, unde I = :este probabilitatea ca, alegAni :r'(ir) < 0?
6. Care dintre urmdtoarele re..;a)f:{-t.0, l.2l +;0..b) g : {0, 1,2,3} -+ li. gt ''
c) /z :lR -+ IR, ft(x) =1."I
G]-] Oy : A(0;f (0)) e G1) Oy = A(0; b); G1a O* = A( -! O\\a )
f; ffi 1" Nofiunea de funcfie. Func[ii definite pe mulfimiI finite
Ixempie:1" Descrieli printr-o diagramd, apoi printr-un tabel funclia urmdtoare:
.f : {-1;0;1} -+ {2;3;4},f(x)=x+3.Solu{ie:/(-1) = -1 + 3 = 2,f(0)= 0 + 3 =3,f(l) = I + 3 = 4.
(tC'rn(tc:ci(JtrEs){-(,€
r.imd coordonatele (x, y),gnfifll funcfiei. Aceastd
-{ ra fi numitd ecuafiarruEroc :" ="f (x), x e A.
imfiiei/este mullimea
flrnmtdmi ale lui IR (mul-
= D g/(r) = g(r), oricare
,ur-D(undeaqibsunta mullimii grafic
rriabilei x doud valori
firnctia liniardf (x) =
orgn funqiile liniare de
Fwdile de acest fel sunt
tfuqie/(:) = 0, al cdrei
punctele in care
2. Explicitali domeniul de definilie pentru funclia
f:A-+lR,,f(x)=? qi A={x e Zl)<x<3}.x
Solu{ie: Cumx*0= A= {-1,1,2).!. Fie funcliaf : A -+R,.f(r) = qx * 2 qi A = {x e Z* l lxl < 2}. Determinali valoarea lui
a e Z pentru care punctul B( 1 ; -1) aparline graficului funcliei.
Solufie: A = {2, -1, l, 2}. Dacd B(l; -l) e G1= f(1) : -1, dar f (l) : a + 2 + a * 2 ==-lra=-3.
"il*: t)
pe multimi
O a O octivitdti de ?nvdtore O O O
l.Care dintre diagramele de mai jos descrie o funclie?
", f}glil ',F#il c,k/v ui'vd,me,N4\-,r,\l)lrl\r/ \r/\-./ \_./
M)\/
l.Diagrama alituratd descrie func[iaf. Stabilili domeniul gi
codomeniul lui/ Determinalif (2) $i,f(3).g. Descrieli printr-o diagramd, apoi printr-un tabel, funcliile urmdtoare:
a) f : {0,I,2} -+ {0,2,4,6},"f(r)=2x+2;b) g: {-2,-1,0, 1,2} + {0, 1,2,3,4},g(x)=y2.
4. Care dintre tabelele de mai jos descrie o funclie?
5. Explicitali domeniul de definilie gi legea de asociere pentru funcliaf : I + R.,./(x) =r-;--
= ix'-4x+4, unde A= {x e zllxl ( 3}. care este mullimea valorilor funclieif? careeste probabilitatea ca, alegdnd numdrul n din domeniul de definilie al funclieil sd oblinemf (n) <o?
6. Care dintre urmdtoarele relalii nu reprezintl o func{ie?a)f: {-1,0,1,2} + {0, l},f(x)=*';b) g : {0, 1,2,3\ -+ N, g(x) = 12'
c) & : IR. -+ R., &(;r) = 2
.
x
oIHHH(t(tlnC'o
I('.UF(tEq)+(t€
oIHHH(t(tvtoo)ci.9.F(tEs)ts(t€
I
7. Fie funclia f : {-1, -1, 0, l, 2} -+ IR, f (x) = x * 3. Stabildi care dintre punctele
urmdtoare apartin graficului funcfiei: ACz; l); B(-1; 3); C(0; 3); D(1; 5); E(2;6).
8. Determinati Im/(mulfimea valorilor functiei) in fiecare dintre cazurile urmitoare:
a)f : {-t;0; l;2} + R,/(x) =x2 + l;
0f : {a;-1;0; 1;2} + R,/(x)=2x+3;
c)f : {-3;-2;-I;0;1} +R,"f(x) --x*2,9. Pentru functiile de mai jos, stabilili codomeniul cu numdrul minim de elemente, gtiind c[:
a)f : {-2;-1;0; l;2;3) -+ B,undef (x)=x*3)b)/: {-3; -2;-l;l;2;3;4} -+ B,undef (x)=x2;c)f : {-2;-l;0; 1;2;3;4} -+ B,wdef (x)=2x+ t.
{0. Pentru functiile de mai jos, stabili}i domeniul de definitie, qtiind cd fiecare element al
codomeniului este imaginea unui element din domeniu:
a)f : A -+ {1;-5; -1; l;4},f (x)=2x-3;b) f : A -+ {4; 3; 2; l; 0; -r\,f (x) - -x + 1;
c) f : A-+ {0; 4; 9; 16),f (x) = x2.
{ {. Determinali a e R, gtiind c5:
a)f : {1;l;2;3} -+IR,/(x) =ax-2qiA(l;*3) e G7,
D f : { ; -l; l;2} -+ IR,/(x) = 3x + a qi A(I; -l) e G1
c) f : {-3; -l; l;2} -+ IR.,/(x) = ot - 5 si A(2; -l) e G7
12.Care dintre perechile de func1ii reprezintd functii egale?
a) f : {-2; -l; 0; l; 2} -+ N;/(x) = x2 $i S : {-2; -l; 0; 1; 2} -+ N,
sU) =lyl;b)/: { I ; 2; 3) -+ {-1 ; 0; l\ ; f (x) = x - 2 qi g(x) reprezentat[ albturat.
tr{3. Pentru functiile de mai jos, stabiliti Im/gi reprezenta}i grafic mulfimea intr-un sistem
de axe:
a)f : {-2;0;l;2} -+ {-1; l;2;3;4;5;6},f(x)=x+3;b)/: {-3; -2;1;3;4} -+IR,/(x)=x2;
c)f : {); -1; 0; 1; 2\ -+ Z,f (x) = 2x + t.
14. Pentru funcliile de mai jos, scrieli mullimea grafic Ai reprezenta{i-o intr-un sistem de
axe de coordonate:
a) f : {-l; 0; I; 2; 3} + IR.,/(x) : -2x + 3;
\J : {a;4;-2;-1; 0; 1; 2} -+ lR, f(x)={* :''dacb x<-l'
l-2x, dace r ) -l '
,- r l" '-l' -' -' r-r '
lS. Reprezen p Sran* ne=rkal.f : .l-l: -l: 0: tr: l: I : --+ R
bl-/: {-*{: -3: -l: -1: tir- i: l:
cl-f : -{ --+ R--ft-rt = -r - I t!
lG Reprezentali grafic fim+"rc
al_f : A -+ i.-f(-tt = 'r - l. t"r
I
b)-f :.4 -+ f--f(-rl - -1:-1
c r-t : l-3: -': *l: tt i: -:
-: " -
tt. S€ considere frmcda ;': :-'
:umele reale a. b- c ;i d stnxlarTm grafi cului funcuei.
la Reprezentati grafic hm4rlE
ar-/ : i-l: -1: l: I i -t X1-f tr
t' r-t : l-3: -l: 0: 3 i --+ E-.r u
cly': l-l: -l: 1: -11 --+ X--ru
siind cd punctele l(-1: -{ t ;fi-u-rtia.
It0. Demonstrali cd nu existi o
sE ar em:/(x) + f (2-x) = -r - 1
21. Consider[m funclia/: i i' -a I Calculali/ (2), f (4). f tS t.
"
b I Caracterizali numerele -r 1
ZL Se considerd func{ial: -{ -
al Determinali elementele m
b) Reprezentali grafic funqis) Calculali suma elementelr