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Primer acto: la señora Dora

haciendo cuentas con un ábaco.

Segundo acto: la señora Dora, revisando

sus cuentas con lápiz y papel.

Tercer acto: la señora Dora corrigiendo las

cuentas que hizo.

¿Cómo se llama la obra?

4 4 4 4 CapítuloCapítuloCapítuloCapítuloCapítuloCapítuloCapítuloCapítuloOperaciones II

Los métodos de cálculo han sido muchos y diversos a lo largo de la historia y en diferentes partes del mundo. Muchas civilizaciones al principio utilizaron objetos e instrumentos

construidos especialmente para calcular. El ábaco es un ejemplo de estos dispositivos, y es considerado el más antiguo de ellos. Si bien no se conoce su origen, se sabe que los materiales utilizados para su confección fueron diferentes en las distintas culturas. En el siglo XIII se utilizaba en Europa una variedad llamada mesa de ábaco, que consistía en una mesa con líneas dibujadas sobre las que se movían fichas. Estas se agrupaban de un mismo lado cuando quería indicarse que ya se habían contado. A medida que se inventaron y difundieron procedimientos de cálculo escrito, y que el uso de tinta y papel se hizo más accesible, este instrumento fue cayendo en desuso. Los primeros métodos de cálculo ingresaron en el continente europeo por el contacto con la cultura árabe. Se los llamó algoritmos, que es una palabra derivada del nombre Al-Khuwarizmi, matemático del siglo IX que recopiló y difundió entre los árabes muchos de los conocimientos de la matemática hindú. Su obra favoreció la circulación del conocimiento matemático indo-arábigo en otras culturas, lo que facilitó la adopción de los números que usamos en la actualidad y los procedimientos de cálculo escrito en muchas partes del mundo.

Respuesta:Calcula Dora.

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1 Nicolás quiere comprar 8 autitos nuevos para su colección. Cada uno cuesta $ 21. Si tiene $ 160, ¿le alcanza para llevarse todos? ¿Le falta?

2 Para el cumpleaños de Ana, 6 de sus amigas piensan comprarle un equipo de música que cuesta $ 995. ¿Les alcanza si cada una pone $ 112?

3 ¿Alcanzan 14 paquetes para preparar 120 panchos?

4 Daniela compró una computadora a $ 1.235. Por ser cliente de ese negocio le descontaron $ 110. Si piensa pagar en 10 cuotas iguales sin recargo, ¿es cierto que cada cuota es de más de $ 100?

5 El abuelo de Martina nació en Italia en 1895 y vino a la Argentina en 1928. ¿Es verdad que tenía más de 40 años cuando llegó?

1 Nicolás quiere comprar 8 autitos nuevos para su colección.

Problemas en los que alcanza con un resultado aproximado

Es posible que sea necesario remarcar con los niños que se trata de encontrar un resultado aproximado. En este tipo de problemas es usual que los alumnos no acepten que se les está pidiendo una estimación. El docente podrá remarcar que es posible obtener la respuesta en este caso a partir del resultado de 20 × 8. Esta estrategia de redondear uno o más números que intervienen podrá ser extendida a los problemas siguientes.

Con el problema 4 se busca que los alumnos analicen que 1.235 – 110 va a dar una cantidad mayor que 1.000, al dividir esa cantidad por 10 el resultado va a ser mayor que 100 (porque 1.000 : 10 es 100).

Se propone aquí una colección de pro-blemas que no requieren una respuesta exacta. Se trata de analizar que para decidir sobre algunas situaciones es

Producción y utilización de estrategias de estimación para resolver problemas.

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6 ¿Es cierto que si se compran 8 cajas chicas y 6 cajas grandes alcanza para darle un alfajor a cada uno de los 200 chicos de la escuela?

7 ¿Por cuánto multiplicarías 125 para obtener un resultado que esté entre 3.000 y 6.000?

8 Juan tecleó en su calculadora 1.728 : 5 =. ¿Es cierto que en la pantalla va a aparecer un número que está entre 300 y 400?

Decidan si las siguientes afirmaciones son verdaderas o no sin hacer las cuentas.a) Al ingresar en la calculadora la cuenta 1.265 : 6 el resultado

que se obtiene es un número mayor que 200.b) Si se multiplica 205 × 3 y al resultado por 2, se obtiene un

número mayor que 1.000.c) Si se multiplica 125 por un número mayor que 8 se obtiene

un número mayor que 800.

Decidan si las siguientes afirmaciones son verdaderas o no sin Una vuelta de tuerca

un número mayor que 800.

b) Si se multiplica 205 × 3 y al resultado por 2, se obtiene un

Para resolver el problema 6 es necesario realizar más de una operación. Por ese mo-tivo tal vez sea útil que el docente aclare que algunos resultados aproximados se pueden anotar para recuperarlos más adelante en el problema.

suficiente con dar una respuesta aproximada.

Para resolver el problema 8 es posible pensar en 1.728 : 5 (que en realidad se podría redondear a 1.500 : 5 a partir de 15 : 5) o bien buscar un número que multiplicado por 5 dé un resultado cercano a 1.728 (p. ej., 5 × 300, a partir de pensar 5 × 3 = 15).

En la vuelta de tuerca se apunta a que se pueda analizar que si en a) se tratara de 1.200 : 6 el cociente sería 200. Como 1.265 es mayor que 1.200, entonces necesariamente el cociente va a ser mayor que 200, por lo que la afirmación es verdadera. En b) se puede pensar que si se multiplicara 200 (en lugar de 205) × 3 × 2 (o sea, por 6) se obtendría 1.200 de resultado. Por lo tanto, al multiplicar 205 el resultado va a ser mayor que 1.200 y mayor que 1.000 (que es lo que se pregunta).

Por último, en 125 × 8 necesariamente va a dar más que 800 porque 100 × 8 ya es 800. Como puede verse se trata de redondear algu-no de los factores en juego y de apoyarse en productos de números redondos más fáciles de calcular.

En el problema 7 es posible redondear 125 en 100 e ir ajustando el factor que se busca hasta encontrar uno que permita dar con la respuesta. Por ejemplo: 100 × 10 = 1.000; entonces, 100 × 30 = 3.000 y si se multiplica 125 × 30 va dar más que 3.000.

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1 Buscá un número que multiplicado por...

a) 4 dé como resultado 84.

b) 8 dé como resultado 104.

c) 7 dé como resultado 266.

2 Buscá un número que dividido por...

a) 8 dé como resultado 96.

b) 24 dé como resultado 6.

c) 18 dé como resultado 32.

3 Usá que 36 × 24 = 864 para encontrar los resultados de los siguientes cálculos.

a) 864 : 24 =

b) 864 : 36 =

4 Completá la tabla.

Dividendo Divisor Cociente Resto

3.458 12 2

681 21 32

14 85 6

1.643 34 11

1 Buscá un número que multiplicado por...

Relaciones entre la multiplicación y la división

El problema 1 tiene como objetivo que los niños puedan analizar que buscar el factor desconocido de una multiplicación es equivalente a dividir el producto por el otro factor. Tal vez algunos alumnos prueben haciendo multiplicaciones. La reflexión colectiva sobre las estrategias empleadas permitirá llamar la aten-ción sobre la relación entre ambas operaciones.

Para los problemas 1 y 2 no se propone plantear ecuaciones. Se trata de relacionar la división con la multiplicación a partir de aproximaciones.

El problema 3 apunta a que se explicite que conocer el resultado de una multiplicación permite saber el cociente de las dos divisiones asociadas.

El docente podrá habilitar otra forma de representación de estos datos para la resolución del problema 4, por ejemplo, escribiendo los números en una cuenta de dividir en la que falta uno de los componentes de la división.

Relaciones entre la multiplicación y la división.

Los problemas que se presentan a continuación apuntan en conjunto a explorar relaciones entre la multiplicación y la división.

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5 Se dividió un número por 3 y se obtuvo como cociente 82 y 0 de resto. ¿Qué número se dividió?

6 Se multiplicó un número sin coma por 17. ¿Es posible que se haya obtenido 765 de resultado? ¿Y 595? ¿Y 358?

7 A partir de la información que te da el cálculo 450 : 18 = 25, indicá cuál o cuáles son los cálculos de las que podés saber el resultado.

a) � 25 × 450 =

b) � 25 × 18 =

c) � 450 × 18 =

d) � 450 : 25 =

Si 16 × 14 = 224.a) ¿Será cierto que el resto de 224 : 16 es 0?b) ¿Cuál será el resto de 225 : 16?c) ¿Y el resto de 226 : 16?

Si 16 × 14 = 224.Una vuelta de tuerca

a) ¿Será cierto que el resto de 224 : 16 es 0?b) ¿Cuál será el resto de 225 : 16?

Los problemas 5 y 7 plantean la relación entre multiplicación y división partiendo de una división. Se intenta explicitar en ambos casos que si se conoce el cociente de una división, se sabe el producto de la multiplicación asociada.

El análisis al que convocan las preguntas b) y c) de la vuelta de tuerca será motivo de trabajo más específico en el capítulo siguiente.

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1 Juan quería calcular 24 × 35 con la calculadora, pero se equivocó y anotó primero el 35. ¿Cómo puede hacer para terminar de resolver el cálculo sin borrar nada?

2 ¿Cómo pueden hacerse los siguientes cálculos con una calculadora en la que no funciona la tecla del

¿Cómo pueden hacerse los siguientes cálculos con una ¿Cómo pueden hacerse los siguientes cálculos con una ?

a) 26 × 48=

b) 64 × 35=

3 ¿Cómo pueden resolverse los siguientes cálculos en una calculadora en la que no funcionan las teclas del

¿Cómo pueden resolverse los siguientes cálculos en una ¿Cómo pueden resolverse los siguientes cálculos en una , del ,

del calculadora en la que no funcionan las teclas del calculadora en la que no funcionan las teclas del

ni del calculadora en la que no funcionan las teclas del calculadora en la que no funcionan las teclas del

?

a) 28 × 9 = b) 36 × 4 = c) 16 × 82 =

4 Para resolver 420 × 12 Ana utilizó este procedimiento, que es correcto:

420 × 12 = 420 × 10 + 420 × 2

a) ¿Cómo explicarías lo que hizo?

b) Marisa utilizó este otro procedimiento. ¿Es correcto? 420 × 12 = 420 × 6 + 420 × 6

1 Juan quería calcular 24 × 35 con la calculadora, pero se

La multiplicación y sus propiedades

El problema 4 permite analizar que es posible distribuir uno de los factores de diferentes maneras (en este caso se trata de un factor, pero podrían ser todos los que componen la multiplicación).

Si los alumnos verificaran el cálculo con la calculadora el docente deberá recordar el orden de las operaciones.

En el problema 2 se espera que los alumnos recurran a procedimientos como los siguientes: 13 × 48 + 13 × 48 o bien 13 × 2 × 48. Esto es, que utilicen composiciones y descomposiciones de los números y pongan en juego las propiedades distributiva y asociativa. En este caso también el docente podrá analizar la pertinencia de incluir a propósito de este problema el nombre de la propiedad o posponer su presentación. La lectura del Machete que se ofrece más adelante es una oportu-nidad de explicitar e identificar las propiedades que se pusieron en juego.

En el problema 3 las restricciones de la calculadora obligan a desplegar nuevos procedimientos, ya que no es posible realizar descomposiciones aditivas. Esto da lugar a descomposiciones multiplicativas basadas en las propiedades asociativa y conmutativa. P. ej., 28 × 9 = 14 × 2 × 9.

El problema 1 permite poner en funcionamiento la propiedad conmutativa, para concluir que cambiar el orden de los factores no altera el resultado. Este problema puede ser una oportunidad para que el docente explicite la propiedad utilizada, aunque también puede posponer su presentación al momento de la lectura del machete.

un análisis y una explicitación de las propiedades

Propiedades de la multiplicación.

Los problemas que se presentan a continuación apuntan a que los niños profundicen el estudio de la multiplicación. Se realizará

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5 Usando las propiedades estudiadas, escribí en cada caso otros cálculos que estés seguro de que te van a dar el mismo resultado.

a) 84 × 101 =

b) 15 × 31 =

c) 25 × 17 × 4 =

d) 19 × 8 =

e) 18 × 7 =

6 ¿Es correcta esta manera de hacer el siguiente cálculo?12 × 99 = 12 × 100 – 1 = 1.200 – 1 = 1.199

Para cada uno de los siguientes pares de cálculos, coloquen V o F sin hacer la cuenta. (Utilicen las propiedades estudiadas para justificar su respuesta).

a) 180 × 24 = 180 × 20 + 180 × 4b) 180 × 24 = 180 × 18 + 180 × 6c) 180 × 24 = 180 × 6 + 180 × 4d) 180 × 24 = 180 × 3 × 8e) 180 × 24 = 100 × 24 + 8 × 24 + 0 × 24

Para cada uno de los siguientes pares de cálculos, Una vuelta de tuerca

e) 180 × 24 = 100 × 24 + 8 × 24 + 0 × 24

55 Usando las propiedades estudiadas, escribí en cada caso otros Usando las propiedades estudiadas, escribí en cada caso otros

Machete: La multiplicación cumple con las siguientes propiedades:

Propiedad conmutativa: si se cambia el orden de los factores, el resultado no cambia. Por ejemplo, 24 × 18 = 18 × 24.

Propiedad asociativa: si se descompone en factores uno o todos los números que intervienen en una multiplicación, o se agrupan de diferentes maneras, el resultado no cambia. Por ejemplo: 12 × 8 = 6 × 2 × 8 = 6 × 2 × 4 × 2 = 3 × 4 × 8 = 2 × 48, y se pueden seguir obteniendo otros productos.

Propiedad distributiva: se puede resolver una multiplicación entre dos números descomponiendo uno de ellos en una suma y multiplicando cada uno de los sumandos por el otro número; finalmente se suman ambos productos. Por ejemplo: 3 × 36 = 3 × 30 + 3 × 6 = 90 + 18 = 108. O bien es posible descomponer uno de los factores como una resta. Por ejemplo, 3 × 38 = 3 × (40 – 2) = 3 × 40 – 3 × 2.

En el problema 5 se trata de que los niños escriban, por ejemplo, para el caso a), 84 × 100 + 84 × 1. La condición de “estar seguro de que van a dar el mismo resultado” tiene la intención de orientar el análisis hacia la idea de la anticipación que habilita el estudio de las propiedades.

Por otra parte, los problemas 5 y 6 permiten analizar que en las estrategias de cálculo mental se utilizan propiedades de la multiplicación (y también caracte-rísticas del sistema de numeración).

En el problema 6 el 12 multiplica al 100 y también al 1, por lo tanto, la resolución planteada es incorrecta. El cálculo debería ser 12 × 99 = 12 × (100 – 1) = 1.200 – 12 = 1.188.

de las operaciones que funcionaron de manera implícita hasta el momento. Para la resolución de los problemas siguientes el docente deberá tener en cuenta la diferencia de funcionamiento entre la calculadora común y la científica. La común no respeta el orden matemático de las operaciones, en tanto que la científica sí. Si los alumnos utilizaran la calculadora común, el docente deberá proponerles que escriban los resultados de los cálculos parciales.

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1 Para resolver 828 : 4, Nicolás procedió correctamente así:

800: 4 = 200

20 : 4 = 5

8 : 4 = 2

a) ¿Qué resultado obtuvo?

b) Juan para resolver el mismo cálculo hizo así: 800 : 4 = 200 y

28 : 4 = 7. ¿Llegará al mismo resultado?

2 Encontrá dos descomposiciones diferentes del dividendo para resolver 159 : 3.

3 Decidí cuál o cuáles de las siguientes descomposiciones podrían ayudarte a resolver el cálculo 96 : 4.

a) 80 : 4 y 16 : 4

b) 100 : 4 y 4 : 4

c) 90 : 4 y 6 : 4

4 En una calculadora no funciona la tecla del . ¿Es cierto que para resolver 360 : 24 se puede hacer primero 360 : 3 y al resultado obtenido dividirlo por 8?

1 Para resolver 828 : 4, Nicolás procedió correctamente así:

La división y sus propiedades

El problema 4 permite analizar la validez de una descomposición multiplicativa del divisor, ya que 360 : 24 = 360 : 3 : 8. Es posible extender el análisis a otras descomposiciones multiplicativas de 24, por ejemplo, 360 : 12 : 2 , etc. Este procedimiento es válido cuando el resto es cero.

En el problema 3, si bien es posible obtener el cociente con los tres grupos de cálculos, será interesante discutir con los alumnos la conveniencia de descomponer el dividendo en sumas o restas con números que se puedan dividir mentalmente por 4.

En el problema 1 se trata de que los niños puedan comenzar a explorar –y utilizar– la propiedad distributiva sobre el dividendo.

En el problema 2 se apunta a que los niños reinviertan el trabajo realizado en el problema anterior. La intención es que encuentren dos descomposiciones aditivas del 159 que permitan realizar parciales exactas entre números que suman 159, teniendo en cuenta que es conveniente que esos números sean múltiplos de 3. Por ejemplo: (159 = 150 + 6 + 3) 150 : 3 = 50; 6 : 3 = 2 y 3 : 3 = 1, entonces, 159 : 3 = 50 + 2 + 1 = 53, o bien (159 = 120 + 36 + 3) 120 : 3 = 40; 36 : 3 = 12 y 3 : 3 = 1, entonces, 40 + 12 + 1 = 53.

Los problemas que se presentan a continuación apuntan a que los niños profundicen el estudio de la división. Se realizará un análisis y una explicitación de las propiedades de las operaciones que funcionaron de manera implícita hasta el momento.

Propiedades de la división.

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5 Al hacer 180 : 6 : 2, Mónica obtuvo 15; en cambio, Marcela obtuvo 60.

a) ¿Quién tiene razón?

b) ¿Qué habrá pensado cada una para alcanzar resultados tan distintos?

6 Colocá V o F sin hacer las cuentas. Luego comprobá con tu calculadora.

a) 240 : 24 = 24 : 240 �b) 240 : 24 = 240 : 12 : 2 �

c) 240 : 24 = 240 : 4 × 6 �d) 240: 24 = 240 : 4 : 6 �

e) 240 : 24 = 120 : 24 + 120 : 24 �f) 240 : 24 = 240 : 8 + 240 : 16 �

Machete: En la división no se cumplen las mismas propiedades de la multiplicación.No se cumple la propiedad conmutativa: si se cambia el orden de los números que se dividen, cambia el resultado. Por ejemplo, 120 : 4 =/ 4 : 120.No se cumple la propiedad asociativa: si se descomponen uno o todos los números de una división, o se agrupan de diferentes maneras, el cociente puede cambiar. Por ejemplo, 800 : 10 : 2 puede dar 40 o 160,

según cómo se asocie; (800 : 10) : 2 = 40 y 800 : (10 : 2) = 160. Sí es válido descomponer el divisor en dos factores o más. Por ejemplo, 600 : 12 = 600 : 3 y el resultado : 4, porque 12 es 3 × 4.La propiedad distributiva es válida respecto de la división cuando se descompone el dividendo; por ejemplo, 400 : 10 = 300 : 10 + 100 : 10. Sin embargo, no es válida cuando se descompone el divisor; por ejemplo, 400 : 10 =/ 400 : 5 + 400 : 5.

7 Usá que 240 : 6 = 40 para calcular mentalmente.

a) 246 : 6 =

b) 252 : 6 =

c) 264 : 6 =

d) 270 : 6 =

Encuentren el error en esta manera de hacer el cálculo.

90 : 18 =90 : 9 + 90 : 9 10 + 10 20

Encuentren el error en esta Una vuelta de tuerca

10 + 10 20

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Entonces, 90 : 18 = 20.

Con el problema 5 se trata de hacer explícito el orden de la operatoria. Esto es, 180 : 6 = 30 y 30 : 2 = 15, y no se puede hacer 180 : 3, excepto que estuviera entre paréntesis 180 : (6 : 2).

El problema 7 permite utilizar la propiedad distri-butiva. El dividendo puede pensarse descompuesto a partir de 240 (que ya se conoce su resultado al dividirlo por 6). Entonces, 246 = 240 : 6 + 6 : 6; 252 : 6 = 240 : 6 + 12 : 6, etcétera.

Este problema apunta a discutir que no es posible distribuir el divisor.

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1 Para hacer algunos arreglos en la escuela, la cooperadora compró distintos materiales. Esta es la factura que recibieron.

FerreteríaCantidad Detalle Precio unitario Precio total

12 Lámparas bajo consumo $ 186 Pinceles $ 138

Latas de pegamento $ 86 $ 1.0323 Pomos de sellador $ 84

Total

a) Completá los datos que faltan.

b) Por pagar en 3 cuotas iguales reciben un recargo de $ 15. ¿Cuál es el valor de cada cuota?

2 Para su cumpleaños Marcela compró 15 paquetes de pizzetas. Si cocinó 293 pizzetas, ¿cuántos paquetes completos le quedaron?

3 En una escuela decidieron renovar algunos de los muebles. Compraron 124 sillas y 93 mesas. En total gastaron $ 30.504. Si cada silla costó $ 108, ¿cuánto costó cada mesa?

1 Para hacer algunos arreglos en la escuela, la cooperadora

Problemas con más de un cálculo

Para su cumpleaños Marcela compró 15 paquetes de pizzetas.

En el problema 2 –como en varios de estas páginas– parte de la información no está en el enunciado, es necesario considerar que las pizzetas vienen en paquetes de 24, como se muestra en la ilustración.Posiblemente para algunos niños el hecho de que no se haya usado una cantidad entera de paquetes implique cierta dificultad. Será importante aclarar que la pregunta se refiere a cuántos paquetes completos quedaron.

Se presenta aquí una colección de problemas de varios pasos. Es importante analizar con los niños qué cuestión del problema resuelve cada cuenta que se realiza. Dado que este es el foco del análisis, es interesante que

Problemas que requieren más de un cálculo.

Es posible que algunos de los datos que faltan en la factura del problema 1 resulten más dificultosos que otros para los niños. Por ejemplo, averiguar la cantidad teniendo como dato el precio unitario y el precio total.

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4 Una agencia de autos publicó este aviso en el diario.

a) ¿Cuánto más caro resulta pagar en 12 cuotas que al contado?

b) ¿Cuánto más caro resulta pagar en 6 cuotas que al contado?

5 En una panadería envasan medialunas en bandejas de a 12. Hoy prepararon 992 medialunas. ¿Cuántas más deben preparar para que se puedan enviar las 83 bandejas pedidas?

6 En una resma vienen 500 hojas. En una caja vienen 24 resmas. Si se venden 3 resmas, ¿cuántas hojas quedan en la caja?

En este gráfico se detalla la cantidad de espectadores adultos y niños que asistieron a ver “Corsarios del Caribe II” durante la última semana de las vacaciones de invierno en el cine Todopelis.

Precio de las entradasLunes a miércoles Jueves a domingo

Mayores $ 18 $ 24Menores $ 12 $ 20

¿Cuánto dinero recaudó el cine Todopelis con la venta de entradas en esa semana?

En este gráfico se detalla la cantidad de Una vuelta de tuerca

la venta de entradas en esa semana?

Nuevo VGk 5 puertasPago al contado: $ 48.800.Pago al contado: $ 48.800.

Nafta o gasoil. Todos los modelos vienen con aire acondicionado.

Visítenos en Av. Fangio 123.

¡Facilidades de pago!

12 cuotas de $ 4.260.o

6 cuotas de $ 8.400.

0 Lun.

124183

142193

135186 204.216

294 315392

465 473538

Mar. Mie. Jue. Vie. Sáb. Dom.

100

200

300

400

500

600 Cantidad de espectadores

Mayores Menores

La resolución del problema 5 puede resultar compleja porque requiere interpretar, además del cociente, el resto de dividir 992 por 12. El resto de la división (8 en este caso) no es la respuesta del problema, sino que hay que agregar 4 medialunas más para completar las 83 ban-dejas. Otra manera de pensar este problema es calcular que en 83 bandejas se colocan 83 × 12 = 996 medialunas. Es suficiente restar 996 – 992 para averiguar cuántas más hay que preparar.

el docente habilite el uso de la calculadora para agilizar los cálculos que se realizan.

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1 Respondé las siguientes preguntas haciendo cálculos aproximados. a) La maestra repartió 4 hojas en blanco a

cada uno de sus 35 alumnos para hacer un trabajo y se quedó con 4 hojas. ¿Es posible que tuviera 120 hojas cuando comenzó a repartir?

b) Los alfajores se envasan en paquetes de 60 unidades. Si en la fábrica prepararon 2.389 alfajores, ¿es posible que se hayan completado 40 paquetes?

c) Mariela nació en 1959. ¿Qué edad aproximada tenía en 2005?

2 ¿Cuál es el número que...

a) multiplicado por 9 da 477?

b) multiplicado por 17 da 238?

3 Un número dividido 12 dio cociente 18 y resto 4. ¿Qué número era?

4 Usando que 288 : 6 = 48, ¿de cuáles de las siguientes cuentas se puede saber el resultado sin hacer ningún cálculo?

a) 48 × 6 =

b) 288 : 48 =

c) 288 × 48 =

d) 288 × 6 =

5 Sin hacer las cuentas escribí cálculos que estés seguro que dan lo mismo.

a) 16 × 21 =

b) 25 × 99 =

c) 1.002 × 7 =

d) 999 × 6 =

e) 20 × 13 × 5 =

6 Una forma de resolver las cuentas de multiplicar es la siguiente:

28 × 45 40+ 100 320 800 1260

¿Qué propiedad se utiliza en este cálculo?

7 ¿Cómo podrían usar una calculadora en la que no funciona la tecla del

¿Cómo podrían usar una calculadora en la ¿Cómo podrían usar una calculadora en la

para resolver 1.809 × 9?

1 Respondé las siguientes preguntas 5 Sin hacer las cuentas escribí cálculos que

Una colección de problemas para estudiar

Revisión de diferentes problemas con números naturales y de diversas estrategias de cálculo.

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8 Usá que 164 × 48 = 7.872 para resolver los siguientes cálculos sin hacer las cuentas.

a) 7.872 : 48 =

b) 7.872 : 164 =

c) 165 × 48 =

d) 164 × 47 =

e) 164 × 40 + 164 × 8 =

9 Para calcular 372 : 18, Lorena hizo 372 : 3, y al obtener el resultado, lo dividió por 6. ¿Es correcto lo que hizo?

10 Resolvé estas divisiones descomponiendo el dividendo como te resulte más cómodo:

a) 342 : 6 =

b) 625 : 5 =

c) 852 : 4 =

11 En el último recital del grupo musical Los Indomables se vendieron 250 localidades para la platea baja, 280 para la platea alta y 423 populares. ¿Qué cantidad de dinero se recaudó con la venta de entradas?

12 Marisa tenía que preparar 9 docenas de empanadas. Al llegar al supermercado encontró solo 3 paquetes de 24 tapas para empanadas. ¿Cuántos paquetes de 12 tapas tiene que comprar para preparar la cantidad que necesita si quiere llevar la menor cantidad posible de paquetes?

13 Para un festival en la escuela, se compraron 86 botellas de concentrado para preparar jugo por un total de $ 258 y 34 paquetes de gaseosa. En total en la compra se gastaron $ 1.074. ¿Cuál es el precio de la botella de gaseosa?

Estas páginas brindan a los alumnos una nueva oportunidad de enfrentarse a problemas similares a los que se vieron a lo largo del capítulo. El docente podrá utilizarlas para que los alumnos practiquen o bien para que vuelvan a encontrarse con algunas dificultades que hayan aparecido. También se podrían utilizar para un trabajo domiciliario individual o seleccionar algunos problemas para conformar una evaluación escrita.

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Una vuelta más de tuerca

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R EN PEQUEÑO

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Hace muchos años en Europa las multiplicaciones se realizaban de una manera distinta a la que conocemos hoy. Por ejemplo, para multiplicar 48 × 54 se escribía así:

40 850 2.000 4004 160 32

a) ¿Cómo explicarían la manera de multiplicar con este tipo de cuenta?

b) ¿Cuál es el resultado de esta multiplicación?c) ¿Qué propiedades de la multiplicación se

utilizan al hacer la cuenta de esta manera?d) ¿Cómo harían 145 × 39 usando esta forma

de multiplicar?

Hace muchos años en Europa las Hace muchos años en Europa las Hace muchos años en Europa las 3

En el antiguo Egipto para multiplicar, por ejemplo, 48 × 19, armaban una tabla en la que empezaban multiplicando uno de los factores por 1 y luego seguían calculando los dobles de la siguiente manera:48 × 1 = 4848 × 2 = 9648 × 4 = 19248 × 8 = 38448 × 16 = 76848 × 32 se pasa de 48 × 19. Como 19 = 16 + 2 + 1, entonces 48 × 19 = 48 × 16 + 48 × 2 + 48 × 1 = 912.a)¿En qué propiedades de la multiplicación se

apoyaban los egipcios para resolver los cálculos de esta manera?

b) Utilicen esa forma de calcular para averiguar el resultado de 36 × 14.

En el antiguo Egipto para multiplicar, por En el antiguo Egipto para multiplicar, por En el antiguo Egipto para multiplicar, por ejemplo, 48 × 19, armaban una tabla en la ejemplo, 48 × 19, armaban una tabla en la ejemplo, 48 × 19, armaban una tabla en la que empezaban multiplicando uno de los que empezaban multiplicando uno de los

1

Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas?a) 124 × 1.000 – 124 × 1 b) 124 × 1.000 – 1Expliquen su respuesta.

4

En el antiguo Egipto para dividir 632 : 35, los egipcios buscaban un número que multiplicado por 35 diera 632 o se acercara lo más posible, sin pasarlo. Para buscarlo utilizaban una tabla de multiplicar en la que también usaban los dobles.35 × 1 = 35 35 × 2 = 7035 × 4 = 14035 × 8 = 28035 × 16 = 560 35 × 32 = 1.120 (se pasa)a) Busquen el cociente y el resto como lo

harían en aquella época a partir de los datos de la tabla.

b) Intenten resolver de esa forma 1.439 : 36.

En el antiguo Egipto para dividir 632 : 35, En el antiguo Egipto para dividir 632 : 35, En el antiguo Egipto para dividir 632 : 35, En el antiguo Egipto para dividir 632 : 35, los egipcios buscaban un número que los egipcios buscaban un número que los egipcios buscaban un número que los egipcios buscaban un número que multiplicado por 35 diera 632 o se acercara multiplicado por 35 diera 632 o se acercara multiplicado por 35 diera 632 o se acercara multiplicado por 35 diera 632 o se acercara

2

que también usaban los dobles.que también usaban los dobles.que también usaban los dobles.que también usaban los dobles.35 × 1 = 35 35 × 1 = 35 35 × 1 = 35

Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas? Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas? Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas? Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas? Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas? Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas? Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas? Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas? Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas? Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas? Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas? Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas? Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas? Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas? Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas? Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas? Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas? Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas?

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Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas? Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas? Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas? Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas? Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas? Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas? Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas? Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas?a) a) 124 × 1.000 – 124 × 1 124 × 1.000 – 124 × 1 124 × 1.000 – 124 × 1 124 × 1.000 – 124 × 1 124 × 1.000 – 124 × 1 124 × 1.000 – 124 × 1 124 × 1.000 – 124 × 1 124 × 1.000 – 124 × 1 124 × 1.000 – 124 × 1 124 × 1.000 – 124 × 1 124 × 1.000 – 124 × 1 124 × 1.000 – 124 × 1 124 × 1.000 – 124 × 1 124 × 1.000 – 124 × 1 124 × 1.000 – 124 × 1 124 × 1.000 – 124 × 1 b) b) b) 124 × 1.000 – 1124 × 1.000 – 1124 × 1.000 – 1124 × 1.000 – 1124 × 1.000 – 1124 × 1.000 – 1124 × 1.000 – 1124 × 1.000 – 1Expliquen su respuesta.Expliquen su respuesta.Expliquen su respuesta.Expliquen su respuesta.Expliquen su respuesta.Expliquen su respuesta.Expliquen su respuesta.Expliquen su respuesta.Expliquen su respuesta.

Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas? Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas? Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas? Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas? Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas? Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas?a) a) a) a) a) a) 124 × 1.000 – 124 × 1 124 × 1.000 – 124 × 1 124 × 1.000 – 124 × 1 124 × 1.000 – 124 × 1

Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas? Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas? Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas? Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas?44 Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas?4 Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas? Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas?4 Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas? Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas?4 Para resolver 124 × 999, ¿cuál o cuáles de estas formas son correctas?a) a) b) b) b) Expliquen su respuesta.Expliquen su respuesta.

a) a) a) a) a) a)

En este apartado se propone una colección de problemas para que los alumnos resuelvan en grupos de 3 o de 4. A diferencia de la colección de problemas anterior, en este caso se trata de situaciones que invitan a explorar aspectos un poco más complejos del mismo contenido. Algunos problemas involucran establecer ciertas generalizaciones; en otros se requiere elaborar justificaciones por medio de argumentos; en un tercer tipo se propone integrar cuestiones que quizá para los alumnos aún resulten independientes, o bien ampliar el

universo de uso. Se sugiere proponer estos problemas a modo de desafío lúdico, en un clima un poco más informal, sin necesidad de calificar ni de utilizarlos, por lo tanto, para evaluar a los alumnos.

Exploración de problemas más complejos que involucran operaciones con números naturales.

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