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7/24/2019 matematica finaceira pronto (1).docx
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FACULDADE ANHANGUERA - UNIDERP
MATEMTICA FINANCEIRA
Porto Seguro
2014
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FACULDADE ANHANGUERA - UNIDERP
MATEMTICA FINANCEIRA
Porto Seguro2014
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Trabalho de Matemtica Financeira,apresentado Faculdade de CinciasContbeis da Anhanguera Educacional, paraobteno de nota parcial da disciplina, sob aorientao da Pro!"
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Sumrio
#$T%&'()*&..................................................................................................3+"C&$CE#T& F($'AME$TA# 'EMATEM-T#CA F#$A$CE#%A............................4
+"." A Calculadora Cientiica /P .+C...................................................................5
+"+" Caso A.....................................................................................................6
+"0" Caso 1.....................................................................................................7
+"2" Para o desaio do Caso A...............................................................................7
+"3" Para o desaio do Caso 14..............................................................................7
0"PA5AME$T& ($#F&%ME............................................................................8
0"." Caso A.....................................................................................................9
0"+"Caso 1....................................................................................................10
0"+". Para o desaio do Caso A4..........................................................................11
0"+"+ Para o desaio do Caso 14..........................................................................11
2" $&)6E 'E 7(%& #MP8E E C&MP&T&..................................................12
2". Caso A....................................................................................................13
2"+ Caso 1....................................................................................................14
2"+". Para o desaio do Caso A4.............................................................................143" #TEMA 'E AM&%T#9A)*&........................................................................15
3". Caso A....................................................................................................16
3"+ Caso 1....................................................................................................... 17
:" C&$C8(*&...............................................................................................18
;" %EFE%
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INTRODUO
Esse trabalho tem por ob=eti>o de reconhecer e deinir problemas, e?uacionarsolu@es, pensar estrategicamente, introduir modiica@es no processo produti>o, atuar
pre>enti>amente, transerir e generaliar conhecimentos, e eBercer, em dierentes graus
de compleBidade, o processo da tomada de deciso" Matemtica inanceira, de modo
geral, o ramo da matemtica ?ue estuda o comportamento do dinheiro ao longo do
tempo" A orma como os recursos esto sendo ou sero empregados, de maneira a
maBimiar o resultado, uma das aplica@es undamentais da Matemtica Financeira"
Com as erramentas ade?uadas podeDse tambm comparar alternati>as, optando pora?uela ?ue mais benecios nos traro, ou menos pre=uo acarretar"
A matemtica inanceira no comeo assim como todos os estudos relacionados a
matrias de eBatas, nos trs receios e medos em seus desaios" $o entanto ao
conhecermos um pouco mais dos conceitos e benecios ?ue nos trs no dia a dia,
podemos apreciar a eBtrema importncia e os benecios a nGs oerecidos por meio de
suas Grmulas" 'esde ao inanciamento para pessoas sicas ou =urdicas, emprstimos,
crdito direto entre outras transa@es inanceiras"
& uso das tcnicas da matemtica inanceira nos permite conhecer o custo e o
retorno das opera@es, o ?ue nos permite tomar conhecimento concreto para
programarmos a >ida inanceira das organia@es ou de pessoas sicas"
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2!CONCEITOS FUNDAMENTAIS DEMATEMTICA FINANCEIRA
A Matemtica Financeira pode ser sua maior erramenta na tomada de deciso, no
dia a dia" & mercado estar estruturado para >ender cada >e mais rpido, para todos nGscomo consumidores, nem sempre as opera@es claras bem eBplicado, e isso a com
?ue, em certas situa@es, o consumidor no saiba decidir o ?ue melhor para ele" &s
clculos inanceiros, algumas >ees bsicos, so HteisI a=uda a aer bons negGcios e a
economiar o nosso dinheiro"
Tambm uma erramenta Htil na anlise de algumas alternati>as de
in>estimentos ou inanciamentos de bens de consumo" Consiste em empregar
procedimentos matemticos para simpliicar a operao inanceira a um FluBo de CaiBa"
A Matemtica Financeira a cincia ?ue estuda o dinheiro no tempo, analisando
essencialmente a e>oluo do dinheiro ao longo do tempo, determinando o >alor das
remunera@es relati>as ao seu tempo, atuando na administrao inanceira de custo e na
tomada de deciso"
7uro a importncia cobrada por um determinado emprstimo de dinheiro, por
unidade de tempo Jdias, meses ou anosK, geralmente eBpressa como porcentagem dasoma emprestada" &s 7uros podem ser 7uros imples ou 7uros Compostos 7uros simples
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o regime de capitaliao em ?ue, em cada perodo, a taBa de =uros incide apenas
sobre o principal 7uros compostos4 o regime de capitaliao em ?ue, em cada
perodo, a taBa de =uros incide sobre o montante Jcapital acrescido dos =urosK do perodo
imediatamente anterior"
7uros simples um rendimento de uma aplicao inanceira, >alor reerente ao
atraso no pagamento de uma prestao ou a ?uantia paga pelo emprstimo de um
capital"'essa orma, o rendimento mensal mantm o mesmo >alor" A cobrana de =uros
esta relacionada a inanciamentos, compras prao, aplica@es bancrias, pagamentos
de impostos atrasados entre outras situa@es relacionadas ao meio econLmico"
7 C"i"n7 7urosC Capital i taBa =uros
n nHmero de perodos JtempoK
7uros Compostos4 ApGs cada perodo, os =uros so incorporados ao principal e
passam, por sua >e, a render =uros" Tambm conhecido como N=uros sobre =urosO" Esse
tipo de rendimento muito >anta=oso, sendo utiliado pelo atual sistema inanceiro" As
institui@es inanceiras utiliam esse mtodo de capitaliao nas aplica@es inanceiras,
como na elaborao de inanceira" & =uro composto o mais comum no sistema
inanceiro e, portanto, o mais Htil para clculos do diaDaDdia"
FGrmula4
M C"J.iKn
M Montante
C Capital
# TaBa de =uros
n $umero de perodos JtempoK"
Qalor presente4 ou >alor atual reereDse a uma ?uantia ho=e em dinheiro corrente,
o >alor de uma entrada ou sada de caiBa em relao a outros ?ue este=am em perodo a
ele posteriores"
Qalor uturo4 o mesmo ?ue montante, ou se=a, >alor uturo reereDse
capitaliao de um bem inanceiro ?ual?uer no uturo" & in>estimento pode ser um
imG>el, ao cota em um undo, etc" & >alor uturo uma orma de plane=amento, pois
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atra>s deste conhecimento podemos tomar decis@es sobre o consumo agora e o
consumo no uturo, o >alor ?ue um imG>el ou ?ual?uer tipo de in>estimento ter da?ui
a um ano ou mais"
2!1! A C"#$u#"%or" C&e't&(&$" HP 12C
Foi desen>ol>ida em .RS. pela empresa /elettDPacUard, com o intuito de
acilitar os clculos de =uros simples, compostos, amortia@es, >alores presente e
uturo, taBas de retorno, luBos de caiBa e porcentagem"
abemos ?ue seu poder de preciso est diretamente >inculado ao usurio da m?uina,
pois para manuseDla necessrio o conhecimento sobre as Grmulas e seu passo a
passo"
Vuando obtido o conhecimento, sem dH>idas a resoluo dos clculos inanceiros
na rea de administrao ser asserti>a em sala de aula aprendemos constantemente ?ue
ela nos auBiliar nos estudos na aculdade como tambm no decorrer da carreira
proissional e contabilidade pessoal, uma >e ?ue nos acilita a alcanar os resultados
com agilidade e preciso"
2!2! C")o A
Entendemos ?ue4
As roupas dos noi>os oram pagas em doe >ees de %W+3:,+3, total de 0X;3,XX"
+3:,+3 Enter .+ Y 0X;3,XX "
& 1uet contratado cobrou %W.X"3S:,XX, sendo ?ue +3Z deste >alor de>eriam ser pago
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no ato da contratao do ser>io e o >alor restante de>eria ser pago um ms apGs a
contratao"
.X3S:,XX Enter +3 Z +:2:,3X"
$a poca, o casal dispunha do >alor da entrada e o restante do pagamento do
1uet oi eito por meio de um emprstimo a =uros compostos, concedido por um
amigo de inncia do casal" & emprstimo com condi@es especiais Jprao e taBa de
=urosK se deu da seguinte orma4 pagamento total de %W .X"XXX,XX apGs de meses do
>alor cedido"
.X3S:,XX Enter +:2:,3X D ;R0R,3X
.X"XXX,XX Enter ;R0R,3X [ .+3R,XX Enter .X . \] .,X+0 Enter . ^ X,X+00
Enter .XX Y +00,R+ B
&s demais ser>ios ?ue oram contratados para a realiao do casamento orampagos de uma sG >e" Para tal pagamento, utiliaram parte do limite de che?ue especial
?ue dispunham na conta corrente, totaliando um >alor emprestado de %W :"SR0,.;" $a
poca, a taBa de =uros do che?ue especial era de ;,S.Z ao ms"
;,S. Enter 0X [ X,+3X Enter .X Y +,:X
:SR0,.; Enter +,:X Z .;R,++
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2!2!1! Re)*o)t" C")o A+
# ^ & >alor pago por Marcelo e Ana para a realiao do casamento oi de %W.R"R:S,.;"
Terno, sapato e >estido4 %W0"X;3,XX 1uet4 %W.X"3S:,XX emprstimo com =uros do
amigo4 %W +"X:X,3X e che?ue especial4 %W ;"X::,0;"
%4 Errada" & >alor total pago no casamento de Marcelo e Ana oi de %W ++";S;,S;
## ^ A taBa eeti>a de remunerao do emprstimo concedido pelo amigo de Marcelo eAna oi de +,002+Z ao ms"
%4 Correta a taBa do emprstimo concedido pelo amigo, realmente oi de +,002+Z ao
ms"
### ^ & =uro do che?ue especial cobrado pelo banco dentro de .X dias, reerente ao >alor
emprestado de %W:"SR0,.;, oi de %W 03S,R."
%4 Errada" & >alor %W .;R,++
2!,! C")o
%4 Marcelo e Ana no pagariam mais =uros, pois a taBa do banco a mesma
oerecida pelo amigo do casal de ;,S.Z" endo ?ue ele pegou %W:"XXX,XX"
2!4! P"r" o %e)"(&o %o C")o A
Associar o nHmero 0, Pois as airma@es #, ## e ### respecti>amente esto4 errada, certa e
errada"
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2!.! P"r" o %e)"(&o %o C")o +
Associar o nHmero ., pois a airmao estar errada"
,!PAGAMENTOS UNIFORMES
e?uncia uniorme de capitais um con=unto de pagamentos ou recebimentos de
>alor nominal igual, ?ue se encontram dispostos em perodos de tempo constantes, ao
longo de um luBo de caiBa" e a srie ti>er como ob=eti>o a constituio do capital, este
ser o montante da srieI ao contrrio, ou se=a, se o ob=eti>o or a amortiao de um
capital, este ser o >alor atual da srie"
As sries uniormes de pagamento postencipados, so a?ueles em ?ue o primeiro
pagamento ocorre somente no inal do primeiro perodo, este sistema tambm
chamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada" Pagamentos ou
recebimentos podem ser chamados de prestao, representada pela sigla NPMTO ?ue
>em do #ngls NPa_mentO e signiica pagamento ou recebimento" J1%A$C&, +XX+K"
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,!1! C")o A
Marcelo adora assistir bons ilmes e ?uer comprar uma TQ /' 0' para >er seus
ttulos prediletos em casa, como se esti>esse numa sala de cinema" Ele sabe eBatamente
as caractersticas do aparelho ?ue dese=a comprar, por?ue = pes?uisou na internet e em
algumas lo=as de sua cidade"
$a maior parte das lo=as, a TQ cobiada est anunciada por %W2"SXX,XX"
$o passado, Marcelo compraria em doe parcelas Nsem =urosO de %W 2XX,XX no carto
de crdito por impulso e sem o cuidado de um plane=amento inanceiro necessrio antes
de ?ual?uer compra"/o=e, com sua conscincia inanceira e>oluda, traou um plano de
in>estimento4 durante .+ meses, aplicar %W03X,XX mensais na caderneta de poupana"
Como a aplicao render =uros de %W.+X,XX acumulados nesses does meses, ao
im de um ano, Marcelo ter =untado %W2"0+X,XX"Passado o perodo de .+ meses e aendo uma no>a pes?uisa em di>ersas lo=as, ele
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encontra o aparelho ?ue dese=a a Hltima pea Jmas na caiBa e com nota iscalK, com
desconto de .XZ para pagamento >ista em relao ao >alor orado inicialmente" Com
o plane=amento inanceiro, Marcelo conseguiu multiplicar seu dinheiro" Com o >alor
eBato desse dinheiro eBtra ?ue Marcelo sal>ou no oramento, ele conseguiu comprar
tambm um no>o aparelho de 'Q'[1luDra_ =untamente a TQ para complementar seu
Ncinema em casaO" 'e acordo com a compra de Marcelo, tmDse as seguintes
inorma@es4
%endimento da poupana apGs .+ meses 2+XX
Qalor da TQ 2"SXX J. ano antes K Enter .X Z 2SX Jdesconto apGs . anoK
Qalor Atual da TQ 2SXX,XX Enter 2SX D 20+X,XX
# ^ & aparelho de 'Q'[1luDra_ custou %W:XX,XXI
resposta4 errada
## ^ A taBa mdia da poupana nestes doe meses em ?ue Marcelo aplicou seu dinheiro
oi de X,3.X;Z ao ms"
Preo da TQ4 %W 2"SXX,XX
'inheiro aplicado4 %W 03X,XX durante .+ meses J %W 2"+XX,XXK 'inheiro resgatado
apGs o in>estimento4 %W 2"0+X,XXPreo pago pela TQ4 %W 2"0+X,XXCom o >alor eBato
desse dinheiro eBtra ?ue Marcelo sal>ou no oramento, ele conseguiu comprar tambm
um no>o aparelho de 'Q'[1luDra_"'e acordo com a compra de Marcelo, tmDse as
seguintes inorma@es4 #
^ & aparelho de 'Q'[1luDra_ custou %W :XX,XX `Preo original da TQ4 %W
2"SXX,XXPreo pago pela TQ4 %W 2"0+X,XXPreo do 'Q'[1luDra_ a dierena do preo
original e do preo pago" 2"SXX^ 2"0+X 2SX,XX2SXX E$TE% 20+X
^ Jna /P .+ CK &u se=a, esta inormao esta errada o preo do 'Q'[1luDra_ oi
de %W2SX,XX"##
^ A taBa mdia da poupana nestes .+ meses em ?ue Marcelo aplicou seu
dinheiro oi de X,3.X;Z ao ms"
PQ X $ .+PMT 03X,XXFQ 2"0+X,XXJCaminho na /P .+ CK# X,3.X;Esta
airmao esta correta"
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,!2! C")o
A ?uantia de %W0X"XXX,XX oi emprestada por Ana, a sua irm Clara, para ser li?uidada
em doe parcelas mensais iguais e consecuti>as" abeDse ?ue a taBa de =uros compostos
?ue ambas combinaram de +,SZ ao ms" A respeito deste emprstimo, temDse4
# ^ e Clara optar pelo >encimento da primeira prestao apGs um ms da concesso do
crdito, o >alor de cada prestao de>ida por ela ser de %W +"R;;,RR"
PQ0X"XXX
$2S033,222S033,22[.+ 2"X+R,:+ a"m
Como =uros so compostos e ela demorou .0 meses para pagar o total da di>ida e as
parcelas so iguais o >alor por parcela icou de %W 2"X+R,:+"
Ento a airmao esta errada"
## ^ Clara, optando pelo >encimento da primeira prestao no mesmo dia em ?ue se der
a concesso do crdito, o >alor de cada prestao de>ida por ela ser de %W +"SR:,SS"
### ^ Caso Clara opte >encimento da primeira prestao apGs ?uatro meses da concesso
do crdito, o >alor de cada prestao de>ida por ela ser de %W 0"+30,+."
,!2!1 P"r" o %e)"(&o %o C")o A+
Associar o numero .airmao # esta errada ## esta correta
,!2!2 P"r" o %e)"(&o %o C")o +
Associar o nHmero ., pois ambas as airmao esto erradas"
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4! NO/ES DE UROS SIMPLES E COMPOSTOS
7uros imples4 a?uele no ?ual os =uros incidem sempre sobre o capital inicial" A taBa
percentual de =uros calculada de acordo com o capital principal" 'essa orma, o
rendimento mensal mantm o mesmo >alor" A cobrana de =uros esta relacionada a
inanciamentos, compras prao, aplica@es bancrias, pagamentos de impostos
atrasados entre outras situa@es relacionadas ao meio econLmico"
7 os =uros compostos apGs cada perodo, so incorporados ao principal e passam, porsua >e, a render =uros" Esse tipo de rendimento muito >anta=oso, sendo utiliado pelo
atual sistema inanceiro" & =uro composto o mais comum no sistema inanceiro e,
portanto, o mais Htil para clculos do diaDaDdia"
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4!1 C")o A
Marcelo recebeu seu .0 salrio e resol>eu aplicDlo em um undo de
in>estimento"
A aplicao de %W2"+SX,S; proporcionou um rendimento de %W+"+XX,SR no inal de
."0SR dias" A respeito desta aplicao temDse4
# ^A taBa mdia diria de remunerao de X,X+RS;Z"
Aplicao 2+SX,S;
%endimento ++XX,SR
Tempo .0SR dias
:2S.,;: 2+SX,S; " J. i K .0SR
J.,3.K.0SR . i
."XXX+RS; ^ . i
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X,XXX+RS; i
i X,X+RS;Z
## ^A taBa mdia mensal de remunerao de .,+0..Z"
:2S.,;: 2+SX,S; J.iK 0X
J.,3.K0X .i
.,X.0S0 ^ . i
# .,0S0.Z
###^ A taBa eeti>a anual e?ui>alente taBa nominal de .X,SZ ao ano, capitaliada
mensalmente, de ..,03XRZ"
P> 2"+SX,S;
F> :"2S.,;:
$ .0SR d
# X,X+RS; Z resposta
4!2 C")o
$os Hltimos de anos o salrio de Ana aumentou +3,;SZ, en?uanto a inlao, nessemesmo perodo, oi de aproBimadamente .+.,X0Z" A perda real do >alor do salriode Ana oi de ^ 20,XR0;Z"
TaBa nominal +3,;SZ J.#nK
taBa de =uros real ` J. #rK
taBa inlao .+.,X0Z J.#=K
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Grmula J.#nK J.irK"J.#=K logo4
J.+3,;S[.XXK J.#rK"J..+.,X0[.XXK
J.X,+3;SK J.#rK"J..,+.X0K
J.#rK .,+3;S [ +,+.X0
J.#rK X,3:RX:0X+0
#r X,3:RX:0X+0 ^ .
#r D X,20XR0:R;; logo #r D X,20XR0:R;; ".XX D 20,XR0;Z"
4!2!1 P"r" o %e)"(&o %o C")o A+
Associar o nHmero 0, se as airma@es #, ## e ### esti>erem respecti>amente4 certa, erradae errada"
4!2!2 De)"(&o %o C")o +
Associar o numero 6, se a afrmao estiver errada.
.! SISTEMA DE AMORTIAO
Entre as inHmeras maneiras ?ue eBistem para se amortiar o principal, o sistema
de amortiao constante JACK um dos mais utiliados na prtica" Tal sistema
consiste em se aer ?ue todas as parcelas de AM&%T#9A)*& se=am iguais" Assim,
considerando um principal a ser amortiado em NnO parcelas, e supondo pagamento dos
=uros em todos os perodos" J/A99A$, +XX;K" istema amortiao Francesa, neste
sistema, as P%ETA)6E so iguais e periGdicas, a partir do instante em ?ue comeam
a ser pagas" Assim, considerando um principal a ser pago nos instantes .,+,0,"""",n, a
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uma taBa de =uros JeBpressa na unidade de tempo da periodicidade dos pagamentosK, as
presta@es sendo constantes constituem uma se?uncia uniorme em ?ue cada parcela
indicada por%" J/A99A$, +XX;K" & sistema de amortiao americano consiste na
de>oluo do principal numa Hnica parcela no inal do prao de carncia estipulado" &s
=uros podem ser pagos durante a carncia ou capitaliados e de>ol>idos =untamente com
o principal" J(/$E$, +XX.K"
.!1 C")o A
e Ana ti>esse acertado com a irm, ?ue o sistema de amortiao das parcelas se
daria pelo AC, o >alor da .X! prestao seria de %W +";SX,XX e o saldo de>edor
atualiado para o prGBimo perodo seria de %W3"XXX,XX"
Ana pegou emprestado o >alor de 0X"XXX,XX em .+ parcelas iguais com a taBa de
=uros de +,SZ ao ms"
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3".". CA8C(8& '& 7(%& f
7n f 'nD. Y i f f
7. f 0X"XXX,XX B X,X+SX f %W S2X,XX f
7+ f +;"3XX,XX B X,X+SX f %W ;;X,XX f
70 f +3"XXX,XX B X,X+SX f %W ;XX,XX f
72 f ++"3XX,XX B X,X+SX f %W :0X,XX f
73 f +X"XXX,XX B X,X+SX f %W 3:X,XX f
7: f .;"3XX,XX B X,X+SX f %W 2RX,XX f
7; f .3"XXX,XX B X,X+SX f %W 2+X,XX f
7S f .+"3XX,XX B X,X+SX f %W 03X,XX f
7R f .X"XXX,XX B X,X+SX f %W +SX,XX f
7.X f ;"3XX,XX B X,X+SX f %W +.X,XX f
7.. f 3"XXX,XX B X,X+SX f %W .2X,XX f
7.+ f +"3XX,XX B X,X+SX f %W ;X,XX f
3"."+ CA8C(8& '& QA8&% 'A PA%CE8A f
PMTn f An 7n f f
PMT. f +"3XX,XX S2X,XX f %W 0"02X,XX f
PMT+ f +3XX,XX ;;X,XX f %W 0"+;X,XX f
PMT0 f +3XX,XX ;XX,XX f %W 0"+XX,XX f PMT2 f +3XX,XX :0X,XX f %W 0".0X,XX
PMT3 f +3XX,XX 3:X,XX f %W 0"X:X,XX f
PMT: f +3XX,XX 2RX,XX f %W +"RRX,XX f
PMT; f +3XX,XX 2+X,XX f %W +"R+X,XX f
PMTS f +3XX,XX 03X,XX f %W +"S3X,XX f
PMTR f +3XX,XX +SX,XX f %W +";SX,XX f
PMT.X f +3XX,XX +.X,XX f %W +";.X,XX fPMT.. f +3XX,XX .2X,XX f %W +":2X,XX f
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19
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27.500,00 2.500,00 840,00 3.340,00
2&'
25.000,00&'
2.500,00&'
770,00&'
3.270,00
3&'
22.500,00&'
2.500,00&'
700,00&'
3.200,00
4 &'20.000,00 &'2.500,00 &'630,00 &'3.130,00
5&'
17.500,00&'
2.500,00&'
560,00&'
3.060,00
6&'
15.000,00&'
2.500,00&'
490,00&'
2.990,00
7&'
12.500,00&'
2.500,00&'
420,00&'
2.920,00
8&'
10.000,00&'
2.500,00&'
350,00&'
2.850,00
9&'
7.500,00&'
2.500,00&'
280,00&'
2.780,00
10&'
5.000,00&'
2.500,00&'
210,00&'
2.710,00
11&'
2.500,00&'
2.500,00&'
140,00&'
2.640,00
12&'(
&'2.500,00
&'70,00
&'2.570,00
%)%A*&'
30.000,00&'
5.460,00&'
35.460,00
.!2 C")o
Ana ti>esse acertado com a irm, ?ue o sistema de amortiao das parcelas sedaria pelo sistema P%#CE, o >alor da amortiao para o ; perodo seria de %W+";SX,XX e o saldo de>edor atualiado para o prGBimo perodo seria de %W+"0++,:: eo >alor do =uro correspondente ao prGBimo perodo seria de %W;.S,:X"
P"r" o %e)"(&o %o C")o A+ Associar o nHmero 0, se a airmao esti>er errada"
P"r" o %e)"(&o %o C")o +
Associar o nHmero 2, se a airmao esti>er certa"Associar o nHmero ., se a airmao esti>er errada"
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3! CONCLUSO
Conclumos ?ue a matemtica inanceira est presente em muitas situa@es,
principalmente no nosso dia a dia" Muitas das >ees no percebemos o ?uanto estamos
deiBando de ganhar, por no entender os undamentos de =uros simples e compostos, e
suas dierenas"
Este trabalho oi importante por?ue nos possibilitou um maior entendimento de,
erramentas ?ue possibilitam uma maior preciso e agilidade no dia a dia do
administrador, como o EYE8, e a calculadora inanceira" Alm de conhecimentos de
taBas de =uros, ?ue podem ser aplicadas no nosso cotidiano em uma aplicao ou
a?uisio de alguns bens"
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! REFER5NCIAS ILIOGRFICAS
MATEM-T#CA F#$A$CE#%A, Cristiano Marchi 5imenes" +" EdD o Paulo
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