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Matemática Financeira p/ SEFAZ_DF
Regra de Três, Porcentagem e Sequências Numéricas
Professor
Thiago Cardoso
www.ricardoalexandre.com.br
Auditor-Fiscal
AULA 00
PDF PDF VÍDEO
Matemática Financeira p/ SEFAZ_DF Auditor-Fiscal AULA 00 | Regra de Três, Porcentagem e Sequências Numéricas Prof. Thiago Cardoso
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Olá, futuros Auditores Tributários da Secretaria da Fazenda do Distrito Federal,
como estão os estudos? Tenho certeza que vocês estão se dedicando bastante,
não é mesmo?
Antes de explicar como será o curso, apresento-me brevemente.
Eu sou o Prof. Thiago Cardoso, eu sou professor de Exatas no Portal Silvio Sande
e acompanharei vocês na parte de Raciocínio Lógico Quantitativo nessa jornada
rumo à sua aprovação na Receita Federal.
Minha trajetória em concursos públicos começou cedo, quando eu resolvi que
queria passar no concorridíssimo vestibular do ITA. Logo quando eu me formei
do Ensino Médio, eu fui aprovado em Medicina na UPE (Universidade de
Pernambuco), mas eu larguei o curso para correr atrás do meu grande objetivo.
Naturalmente, minha família discordou muito de mim. Afinal, eu estava largando
uma grande oportunidade. Porém, acontece que um barco parado num porto
está seguro. Mas não foi para isso que ele foi feito. Eu queria alçar voos mais
altos e, para isso, saí da minha zona de conforto.
Eu sou formado em Engenharia Eletrônica pelo ITA (Instituto Tecnológico de
Aeronáutica) em 2013. Eu me formei com menção honrosa, distinção conferida
aos alunos de elevado desempenho acadêmico nos Departamentos de
Matemática e Física.
Atualmente, eu trabalho na iniciativa privada como analista de investimentos.
Eu possuo a certificação CNPI e estou à frente da melhor carteira de
investimentos dos últimos 12 meses, com um rendimento de 60,3%, aferido em
Janeiro de 2018. Mas, como um bom analista, devo lhe alertar que retorno
passado não é garantia de retorno futuro.
Minha grande paixão é ensinar. Eu trabalho como professor desde a minha
formatura. Leciono Química e Matemática para turmas pré-ITA/IME e também
tenho lecionado Matemática para concursos públicos.
Existe um grande ditado no mundo de investimentos: “tempo é dinheiro”.
Porém, eu considero esse ditado bastante estúpido. Quando você perde dinheiro,
você pode recuperá-lo no futuro. Porém, o mesmo não acontece com o tempo.
O tempo não volta e não há como recuperá-lo. O tempo é, portanto, mais
precioso até mesmo do que o dinheiro.
É para isso que existe esse material em pdf. O foco desse material é ser
objetivo e certeiro, entregar para você aquilo que você necessita para ir bem
num certamente de alto nível.
O último edital é bem antigo de 2004 e muita coisa mudou na forma de cobrar
Matemática em concursos. Por isso, não podemos usá-lo como único parâmetro.
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Nesse curso, nós nos guiaremos principalmente pelas bancas FCC e FGV, que
são as mais tradicionais em exames de fiscos.
É certo que podemos esperar um certamente bastante rigoroso. Os últimos
concursos na área fiscal têm cobrado questões de um nível crescente de
dificuldade.
Por isso, vamos treinar muito ao longo dessas aulas para que você atinja um
alto nível de preparo para detonar nessa prova.
E você não quer nenhuma surpresa no caminho da sua aprovação, não é? Por
isso, esse material será preparado no mais alto nível, incluí grande parte das
questões mais difíceis da banca e elaborei tantas outras com temas inéditos para
que você não seja pego de surpresa.
Então, vamos juntos?
Nosso curso será ministrado ao longo de 08 aulas, incluindo esta aula
demonstrativa, de acordo com o cronograma abaixo e compreende conteúdos
de Matemática Financeira e Estatística.
Curso: Matemática p/ SEFAZ/DF
Observações:
Professor: Thiago Cardoso
Concurso: SEFAZ/DF
Cargo: Todos
Banca: não definida
Matéria: Matemática Financeira e Estatística
AULA CONTEÚDO DATA
Controle
apenas do
professor
Aula 00
Números e grandezas proporcionais;
razão e proporção; divisão proporcional; regra de três simples e composta; porcentagem;
progressões aritmética e geométrica
31/01
Aula 01 Juros Simples 08/02
Aula 02 Juros Compostos, Taxas de Juros 15/02
Aula 03 Desconto Simples e Composto 22/02
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Aula 04 Anuidades e Sistemas de Amortização 08/03
Aula 05 Números inteiros e fracionários. Sistema legal de medidas
15/03
Aula 06 Funções do 1º e 2º graus. Equações
e inequações de 1º e 2º graus. 22/03
Aula 07 8. Probabilidade, Variáveis
Aleatórias, Principais Distribuições de
Probabilidade 28/06
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Sumário
1 RAZÃO E PROPORÇÃO ............................................................................................ 6
Razão e Proporção ......................................................................................... 6
Propriedades das Proporções ........................................................................... 7
Regra da Sociedade ....................................................................................... 9
1.3.1 Com Grandezas Inversamente Proporcionais ...................................................... 10
2 REGRA DE TRÊS ................................................................................................... 25
Regra de Três Simples ................................................................................... 25
Regra de Três Composta ................................................................................ 34
3 PORCENTAGEM .................................................................................................... 46
Conceito ...................................................................................................... 46
Número Relativo ........................................................................................... 47
Soma e Subtração de Porcentagem ................................................................. 51
Porcentagem de Porcentagem ........................................................................ 57
4 SEQUÊNCIAS LINEARES ........................................................................................ 61
Progressão Aritmética ................................................................................... 61
4.1.1 Termo Geral .................................................................................................. 61
4.1.2 Soma dos Termos .......................................................................................... 62
4.1.3 Progressões Aritméticas Intercaladas ................................................................ 66
Progressão Geométrica .................................................................................. 70
4.2.1 Termo Geral .................................................................................................. 71
4.2.2 Soma dos Termos .......................................................................................... 71
4.2.3 Soma dos Termos de uma PG Infinita ............................................................... 72
Sequências de Termo Geral Misto ................................................................... 80
5 ANOTAÇÕES ........................................................................................................ 86
Acompanhamento do Aluno ............................................................................ 86
6 LISTA DE QUESTÕES ............................................................................................ 88
Enunciados .................................................................................................. 88
Gabaritos ................................................................................................... 104
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1 Razão e Proporção
Razão e Proporção
Uma razão nada mais é do que uma fração. São exemplos de razões:
1
3 ;
3
5
Lê-se “1 está para 3” ou “3 está para 5”.
Por outro lado, uma proporção diz respeito a uma relação de igualdades entre
razões. Por exemplo:
1
3=
2
6
Diz-se que “1 está para 3 assim como 2 está para 6”.
Os casos mais interessantes de proporções, naturalmente, são aqueles que
envolvem uma variável incógnita.
3
5=
𝑥
4
Esse tipo de equação pode ser resolvido com uma propriedade conhecida como
meio pelos extremos. Numa proporção qualquer, é possível passar os termos
pela igualdade, respeitando as seguintes regras:
Se o termo estiver no numerador, ele passará ao denominador;
Se o termo estiver no denominador, ele passará ao numerador.
Portanto, a nossa proporção pode ser resolvida passando o 4 pela igualdade.
Como ele está no denominador, ele passará ao numerador.
3
5=
𝑥
4 ∴ 𝑥 =
3.4
5=
12
5= 2,4
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Propriedades das Proporções
É possível fazer muitas manipulações com os números de uma proporção. Por
exemplo:
Somas Externas: é possível somar os numeradores e os denominadores da
proporção. Essa soma ainda preserva a proporção original.
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑=
𝑎 + 𝑐
𝑏 + 𝑑
Somas Internas: é possível somar o numerador no denominador. Nesse caso,
a proporção original não se preserva.
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑⇒
𝑎 + 𝑏
𝑏=
𝑐 + 𝑑
𝑑
É possível, ainda, trocar, o numerador pelo denominado ao efetuar essa soma
interna, desde que o mesmo procedimento seja feito do outro lado da proporção.
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑⇒
𝑎 + 𝑏
𝑎=
𝑐 + 𝑑
𝑐
Soma com Produto por Escalar: é possível multiplicar o numerador ou o
denominador por um número real qualquer e efetuar as somas internas. É
importante destacar que as mesmas operações devem ser feitas em ambos os
lados da proporção.
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑⇒
𝑎 + 2𝑏
𝑏=
𝑐 + 2𝑑
𝑑
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑⇒
𝑎 − 𝑏
𝑏=
𝑐 − 𝑑
𝑑
Com essa lista de propriedades, acredito que você terá condições de resolver
rapidamente qualquer questão que envolva Razão e Proporção.
(FGV – IBGE – 2017 – Agente Censitário Administrativo) Na
equipe de Mário há 6 mulheres a mais do que homens. Sabendo que essa
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equipe tem ao todo 60 membros, a razão do número de mulheres para o
número de homens é: a) 6/5
b) 5/4 c) 3/5
d) 20/11 e) 11/9
Comentários: Seja M o número de mulheres e H o número de homens, tem-
se que:
O número de mulheres M excede o número de homens em 6 unidades;
𝑀 = 𝐻 + 6
O total de membros na equipe – homens e mulheres – é igual a 60.
𝑀 + 𝐻 = 60
Agora, podemos substituir:
(𝐻 + 6) + 𝐻 = 60
2𝐻 = 60 − 6 = 54
∴ 𝐻 =54
2= 27
Agora, temos o número de mulheres.
∴ 𝑀 = 𝐻 + 6 = 27 + 6 = 33
Agora, calculemos a razão entre o número de mulheres e o de homens.
𝑀
𝐻=
33
27 𝑝𝑜𝑟 3 =
11
9
Questão 1: E
(CESPE – INPI – 2013 – Técnico em Propriedade Industrial) Em
um processo de pedido de patentes de um novo equipamento consta um desenho esquemático, desse mesmo equipamento, na escala 1:200. Com base
nessa informação, julgue os itens a seguir.
Se o raio do parafuso no referido desenho for 0,05 cm, então o raio do parafuso real será 1 cm.
Comentários: Sejam D e R as medidas do parafuso, respectivamente, no
desenho e na realidade, temos que:
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𝐷
𝑅=
1
200
Substituindo os dados fornecidos:
0,05
𝑅=
1
200∴ 𝑅 =
0,05.200
1= 1 𝑐𝑚
Questão 2: Certo
Regra da Sociedade
Um dos tópicos mais comuns em questões de prova é “dividir uma determinada
quantia em partes proporcionais a 2, 3 e 6”.
Para isso, vamos examinar uma questão bem didática da FGV.
(FGV – IBGE – 2017 – Recenseador) A quantia de 900 mil reais deve ser dividida em partes proporcionais aos números 4, 5 e 6. A menor dessas
partes corresponde a: a) 210 mil reais
b) 240 mil reais c) 270 mil reais
d) 300 mil reais e) 360 mil reais
Comentários: Vamos chamar de A, B e C as quantias a serem distribuídas.
Em primeiro lugar, devemos entender o sentido de números proporcionais.
Dizer que A é proporcional a 4, B é proporcional a 5 e C é proporcional a 6
significa que as razões A/4, B/5 e C/6 são iguais.
𝐴
4=
𝐵
5=
𝐶
6
Além disso, é importante lembrar que sabemos a soma A + B + C, pois isso
equivale à quantia total a ser distribuída, ou seja, os 900 mil.
Por isso, podemos usar as propriedades de Razão e Proporção, podemos somar
os numeradores e os denominadores.
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𝐴
4=
𝐵
5=
𝐶
6=
𝐴 + 𝐵 + 𝐶
4 + 5 + 6=
900000
15= 60000
A menor dessas partes é aquela que é proporcional a 4.
𝐴
4= 60000 ∴ 𝐴 = 4.60000 = 240000
Questão 3: B
1.3.1 Com Grandezas Inversamente Proporcionais
É um tipo menos comum de questão, mas não menos importante. Consiste em
distribuir uma quantia S a três pessoas, de modo que cada uma receba um
quinhão inversamente proporcional a três números, por exemplo, 2, 3 e 6.
Na proporcionalidade direta, temos que a razão entre o quinhão e o número
proporcional a que se refere é constante. Por outro lado, na proporcionalidade
inversa, temos que o produto é constante.
Por exemplo, suponha que queiramos dividir 740 mil, porém, em partes
inversamente proporcionais a 4, 5 e 6. Para isso, chamando A, B e C das quantias
a serem distribuídas, temos:
4𝐴 = 5𝐵 = 6𝐶
Por outro lado, permanece verdade que:
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 740000
Gostaríamos de usar as conhecidas propriedades de razão e proporção, porém,
temos um produto:
4𝐴 = 5𝐵 = 6𝐶
E nós não conhecemos nenhuma propriedade para os produtos. Porém, uma
maneira simples de resolver esse problema é dividindo pelo MMC entre 4, 5 e 6.
4, 5, 6 2
2, 5, 3 2
1, 5, 3 3
1, 5, 1 5
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1, 1, 1 =2².3.5=60
Agora, podemos dividir a proporção encontrada por 60.
4𝐴 = 5𝐵 = 6𝐶 (: 60)
4𝐴
60=
5𝐵
60=
6𝐶
60
Agora, podemos simplificar.
𝐴
15=
𝐵
12=
𝐶
10
Chegamos a uma proporção típica. Agora, podemos somar os numeradores e
denominadores.
𝐴
15=
𝐵
12=
𝐶
10=
𝐴 + 𝐵 + 𝐶
15 + 12 + 10=
740000
37= 20000
Agora, podemos calcular todos os quinhões:
𝐴
15= 20000 ∴ 𝐴 = 15.20000 = 300000
𝐵
12= 20000 ∴ 𝐵 = 12.20000 = 240000
𝐶
10= 20000 ∴ 𝐶 = 10.20000 = 200000
Resumindo: quando se deseja dividir uma quantia em números inversamente
proporcionais, precisamos:
Escrever que os produtos entre os quinhões a que faz jus cada participação
e os números fornecidos é igual;
Dividir os produtos escritos acima pelo MMC.
(FGV – IBGE – 2017 – Recenseador) A quantia de 900 mil reais deve
ser dividida em partes proporcionais aos números 4, 5 e 6. A menor dessas partes corresponde a:
a) 210 mil reais b) 240 mil reais
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c) 270 mil reais
d) 300 mil reais e) 360 mil reais
Comentários: Devemos nos lembrar que, quando tem-se números
diretamente proporcionais, a razão é constante.
𝐴
4=
𝐵
5=
𝐶
6
Pelas propriedades de Razão e Proporção, podemos somar os numeradores e
os denominadores.
𝐴
4=
𝐵
5=
𝐶
6=
𝐴 + 𝐵 + 𝐶
4 + 5 + 6=
900000
15= 60000
A menor dessas partes é aquela que é proporcional a 4.
𝐴
4= 60000 ∴ 𝐴 = 4.60000 = 240000
Questão 4: B
(CESPE – MEC – 2009 – Agente Administrativo) Levando em consideração
que, em um supermercado, há biscoitos recheados de chocolate em embalagens de 130 g, 140 g e 150 g, com preços de R$ 1,58, R$ 1,68 e R$
1,80, respectivamente, julgue os itens a seguir.
Proporcionalmente, os biscoitos nas embalagens de 130 g são mais
baratos que aqueles nas embalagens de 140 g.
Proporcionalmente, os biscoitos nas embalagens de 140 g e 150 g saem
pelo mesmo preço.
Comentários: Nesse caso, o aluno deve comparar as proporções entre o
preço do pacote e a massa.
𝑃130 =1,58
130= 0,01215
𝑃140 =1,68
140= 0,012
𝑃140 =1,80
150= 0,012
A propósito, deixe-me ajudar você com a simplificação do preço por grama da
embalagem de 140g.
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1,68
140=
168
14000 𝑝𝑜𝑟 2
84
7000 𝑝𝑜𝑟 7
12
1000= 0,012
Dessa maneira, podemos concluir que o pacote de 130g é ligeiramente mais
caro proporcionalmente que os pacotes de 140g e 150g. Já os pacotes de 140g
e 150g guardam a mesma propoção.
Questão 5: Errado
Questão 6: Certo
(FGV – Prefeitura de Osasco/SP – 2014 – Agente de Defesa Civil)
Em uma equipe operacional com 24 membros, a razão entre o número de mulheres e o número de homens é 3 /5. Nessa equipe, o número de homens
a mais do que o de mulheres é de: a) 3
b) 4
c) 5 d) 6
e) 8
Comentários: Sejam H e M, respectivamente, o número de homens e
mulheres na equipe, já sabemos que:
𝑀
𝐻=
3
5∴
𝑀
3=
𝐻
5
Usamos a propriedade de Razão e Proporção para escrever a proporção de
uma maneira mais conveniente.
Agora, podemos nos lembrar que o total da equipe é de membros, ou seja:
𝑀 + 𝐻 = 24
Agora, podemos somar os numeradores e denominadores da proporção.
𝑀
3=
𝐻
5=
𝑀 + 𝐻
3 + 5=
24
8= 3
Temos duas maneiras de terminar o problema. Podemos calcular
separadamente o número de homens e de mulheres.
𝑀
3= 3 ∴ 𝑀 = 3.3 = 9
𝐻
5= 3 ∴ 𝐻 = 3.5 = 15
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Portanto, o número de homens supera o número de mulheres em 6 unidades.
Outra maneira de resolver o problema é subtraindo os numeradores e
denominadores da proporção.
𝑀
3=
𝐻
5= 3
𝑀
3=
𝐻
5=
𝐻 − 𝑀
5 − 3= 3
𝐻 − 𝑀
5 − 3= 3 ∴
𝐻 − 𝑀
2= 3 ∴ 𝐻 − 𝑀 = 3.2 = 6
Questão 7: D
(VUNESP – TCE/SP – 2017 – Agente da Fiscalização -
Administração) Gabriel está no ponto A, e Felipe, no ponto B. Eles iniciam simultaneamente uma caminhada, e pelo mesmo percurso; Gabriel no sentido
de A até B, e Felipe no sentido de B até A. Numa primeira etapa, Gabriel
percorreu 1/5 da distância entre A e B, e Felipe percorreu 1/6 dessa mesma distância. Na segunda etapa, Gabriel percorreu o equivalente à quarta parte
do que faltava a Felipe percorrer ao final da primeira etapa, e Felipe percorreu o equivalente à terça parte do que faltava a Gabriel percorrer ao final da
primeira etapa. Sabe-se que, após a segunda etapa, a distância que os separa é de 6,65 km. Nessas condições, é correto afirmar que a distância total que
separa os pontos A e B é, em quilômetros, igual a: a) 40
b) 44 c) 43
d) 41 e) 42
Comentários: Seja x o comprimento total do percurso. Rodrigo andou a terça
parte (x/3), depois andou a quinta parte do que restava (1/5.2/3x) e, depois
de andar esses dois trechos, ainda faltava 1080 metros para chegar ao destino
(x). Sendo assim:
Portanto, Gabriel e Felipe andaram:
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𝐺:𝑥
5+
1
4
5𝑥
6=
𝑥
5+
5𝑥
24=
24𝑥 + 25𝑥
120=
49𝑥
120
𝐹:𝑥
6+
1
3
4𝑥
5=
5𝑥 + 2.4𝑥
30=
13𝑥
30
Após essas etapas, ainda faltavam 6,65 km para completar a distância total x:
49𝑥
120+
13𝑥
30+ 6,65 = 𝑥
49𝑥
120+
52𝑥
120+ 6,65 = 𝑥
101𝑥
120+ 6,65 = 𝑥 ∴
27𝑥
40+ 6,65 = 𝑥
6,65 = 𝑥 −101𝑥
120=
19𝑥
120∴ 𝑥 =
6,65.120
19= 42
Questão 8: E
(FCC – TST – 2017 – Técnico Judiciário – Segurança Judiciária)
Em uma empresa, trabalham oito funcionários, na mesma função, mas com cargas horárias diferentes: um deles trabalha 32 horas semanais, um trabalha
24 horas semanais, um trabalha 20 horas semanais, três trabalham 16 horas semanais e, por fim, dois deles trabalham 12 horas semanais. No final do ano,
a empresa distribuirá um bônus total de R$ 74.000,00 entre esses oito funcionários, de forma que a parte de cada um seja diretamente proporcional
à sua carga horária semanal.
Dessa forma, nessa equipe de funcionários, a diferença entre o maior e o
menor bônus individual será, em R$, de: a) 10.000,00.
b) 8.000,00. c) 20.000,00.
d) 12.000,00. e) 6.000,00.
Comentários: Temos três casos de funcionários A, B, C, D e E que trabalham,
respectivamente, 32, 24, 20, 16 e 12 horas. Como os bônus serão distribuídos
de forma proporcional às horas trabalhadas, tem-se:
𝐴
32=
𝐵
24=
𝐶
20=
𝐷
16=
𝐸
12
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Nós sabemos que o total dos bônuses a serem distribuídos é:
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 3𝐷 + 2𝐸 = 74000
(I)
Agora, vamos usar as propriedades da razão e proporção:
𝐴
32=
𝐵
24=
𝐶
20=
𝐷
16=
𝐸
12
Vamos chamar de p a proporção que já desenhamos e podemos trabalhá-la
melhor a fim de deixar mais parecida com a expressão (I):
𝑝 =𝐴
32=
𝐵
24=
𝐶
20=
3𝐷
3.16=
2𝐸
2.12
Agora, basta somar os numeradores e os denominadores das expressões. É
importante lembrar que essa operação mantém o valor da proporção p.
𝑝 =𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 3𝐷 + 2𝐸
32 + 24 + 20 + 3.16 + 2.12=
74000
148
Perceba que podemos simplificar.
𝑝 =74000
148𝑝𝑜𝑟2 =
37000
74𝑝𝑜𝑟37 =
1000
2
Vamos calcular o maior bônus:
𝐴
32=
74000
148=
1000
2∴ 𝐴 =
32.1000
2= 16000
𝐸
12=
1000
2∴ 𝐸 =
12.1000
2= 6000
Portanto, a diferença entre o maior o menor bônus é de 10000.
Questão 9: A
(VUNESP – UNIFESP – 2016 – Técnico de Segurança do Trabalho) Em uma casa, a razão entre o número de copos coloridos e o número de copos
transparentes é 3/5. Após a compra de mais 2 copos coloridos, a razão entre
o número de copos coloridos e o número de copos transparentes passou a ser 2/3. O número de copos coloridos nessa casa, após a compra, é:
a) 24 b) 23
c) 22
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d) 21
e) 20
Comentários: Uma questão muito boa e muito útil para você aprender mais
algumas dicas de Razão e Proporção. Sejam C o número de copos coloridos e
T o número de copos transparentes, tínhamos inicialmente que:
𝐶
𝑇=
3
5 (I)
Após a compra de mais dois copos coloridos, o número de copos coloridos
passou a ser C + 2 e a razão aumentou para 2/3:
𝐶 + 2
𝑇=
2
3 (II)
Temos, portanto, duas equações e duas incógnitas. Sendo assim, é possível
resolver o problema. O modo mais fácil é dividir a equação (I) pela (II). Assim,
chegamos a:
(𝐼)
(𝐼𝐼)=
𝐶/𝑇
(𝐶 + 2)/𝑇=
3/5
2/3
Para resolver a razão de frações, devemos multiplicar a primeira pelo inverso
da segunda.
𝐶
𝑇.
𝑇
𝐶 + 2 =
3
5.3
2
𝐶
𝐶 + 2 =
9
10
Agora, podemos utilizar as propriedades que aprendemos sobre Razão e
proporção. Podemos, por exemplo, subtrair o numerador do denominador.
𝐶
𝐶 + 2 − 𝐶 =
9
10 − 9
𝐶
2 =
9
1 ∴ 𝐶 = 9.2 = 18
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Portanto, antes da compra, havia 18 copos coloridos. A questão, no entanto,
pediu o número de copos coloridos após a compra. Para isso, bastar somar
2, portanto, foram 20 copos coloridos após a compra.
Questão 10: E
(FCC – SEGEP/MA – 2016 – Técnico da Receita Estadual –
Arrecadação e Fiscalização de Mercadorias em Trânsito) Caberá a cada um dos doze funcionários de uma repartição, acompanhar um determinado
número de um total de 360 projetos. Esse número de projetos deverá ser
diretamente proporcional ao número de anos de serviço de cada funcionário. Sabe-se que três dos doze funcionários têm 4 anos de serviço, cinco deles têm
6 anos de serviço, três deles têm 7 anos de serviço e um deles tem 9 anos de serviço. Dessa maneira, o total de projetos que serão acompanhados pelo
grupo dos mais jovens, em serviço, superará o número de projetos que o mais velho, em serviço, acompanhará, em um número igual a:
a) 20 b) 12
c) 45 d) 30
e) 15
Comentários: Tem-se três grupos de funcionários A, B, C e D. Sabemos que
o número de projetos recebido pelos funcionários de cada grupo é diretamente
proporcional aos anos de serviço, por isso, temos que a razão é constante.
𝑝 =𝐴
4=
𝐵
6=
𝐶
7=
𝐷
9
Agora, organizaemos quantos funcionários pertencem a cada grupo:
Três pertencem ao grupo A;
Cinco pertencem ao grupo B;
Três pertencem ao grupo C;
Um pertence ao grupo D.
Como sabemos que o total de projetos a ser distribuído é de 360, podemos
escrever que:
3𝐴 + 5𝐵 + 3𝐶 + 1𝐷 = 360
Agora, podemos re-escrever a proporção p de maneira mais conveniente para
lembrar essa equação.
𝑝 =𝐴
4=
𝐵
6=
𝐶
7=
𝐷
9
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𝑝 =3. 𝐴
3.4=
5. 𝐵
5.6=
3. 𝐶
3.7=
𝐷
9
Agora basta somar os numeradores e os numeradores:
𝑝 =3. 𝐴
3.4=
5. 𝐵
5.6=
3. 𝐶
3.7=
𝐷
9=
3𝐴 + 5𝐵 + 3𝐶 + 𝐷
12 + 30 + 21 + 9=
360
72= 5
Os mais jovens em serviço (grupo A) receberão cada um:
𝐴
4= 5 ∴ 𝐴 = 4.5 = 20
Como são 3, temos que eles receberão o total de 60 projetos. Já o mais velho
em serviço (grupo D) receberá:
𝐷
9= 5 ∴ 𝐷 = 45
Portanto, o grupo dos mais jovens receberá 15 projetos a mais do que o
funcionário mais velho.
Outra forma mais rápida de resolver o problema é usar diretamente a
proporção. Como são três jovens no grupo A, o total de projetos a ser
recebidos por eles será 3A, enquanto que o mais velho está sozinho no grupo
D, por isso, precisamos da diferença 3A – D.
3. 𝐴
3.4=
𝐷
9= 5
3𝐴 − 𝐷
3.4 − 9= 5 ∴
3𝐴 − 𝐷
12 − 9= 5
∴3𝐴 − 𝐷
3= 5 ∴ 3𝐴 − 𝐷 = 3.5 = 15
Questão 11: E
(FCC – TRF (3ª Região) – 2016 – Analista Judiciário – Área
Administrativa) Uma herança de R$ 82.000,00 será repartida de modo inversamente proporcional às idades, em anos completos, dos três herdeiros.
As idades dos herdeiros são: 2, 3 e x anos. Sabe-se que os números que correspondem às idades dos herdeiros são números primos entre si (o maior
divisor comum dos três números é o número 1) e que foi R$ 42.000,00 a parte da herança que o herdeiro com 2 anos recebeu. A partir dessas informações o
valor de x é igual a: a) 7
b) 5 c) 11
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d) 1
e) 13
Comentários: Sendo A, B e C os três herdeiros de 2, 3 e x anos,
respectivamente, como a herança foi dividida em partes diretamente
proporcionais, temos que o produto é constante:
2𝐴 = 3𝐵 = 𝑥𝐶
Podemos calcular o valor recebido pelo herdeiro de 3 anos usando essa
expressão:
2𝐴 = 3𝐵 ∴ 2.42000 = 3𝐵
∴ 𝐵 =2.42000
3= 2.14000 = 28000
Agora, podemos calcular a parte que coube ao herdeiro C, lembrando-nos que
o total da herança foi de R$42.000,00.
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 82000
42000 + 28000 + 𝐶 = 82000
70000 + 𝐶 = 82000
𝐶 = 82000 − 70000 = 12000
Agora, podemos calcular a sua idade (x anos) usando a regra que foi fornecida
– números inversamente proporcionais.
2𝐴 = 𝑥𝐶
2.42000 = 𝑥. 12000 ∴ 𝑥 =2.42000
12000=
2.42
12=
42
6= 7
Questão 12: A
(FCC – DPE/RS – 2017 – Analista Processual) O diretor de uma
empresa designou uma quantia que será distribuída para os três melhores funcionários do ano. O prêmio de cada um será inversamente proporcional ao
total de pontos negativos que cada um obteve em suas respectivas avaliações. O funcionário que mais recebeu tinha uma avaliação com apenas 12 pontos
negativos, o segundo colocado obteve 15 pontos negativos e o terceiro colocado com 21 pontos negativos. Sabendo que a quantia total a ser
distribuída é R$ 24.900,00, o maior prêmio superará o menor prêmio em exatos:
a) R$2.420,00 b) R$ 3.990,00
c) R$ 7.530,00
d) R$ 6.180,00
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e) R$ 4.500,00
Comentários: Querem saber a premiação de três funcionários (A, B e C).
Devemos nos lembrar que, quando se tem números inversamente
proporcionais, o produto é constante.
12𝐴 = 15𝐵 = 21𝐶
Sabemos, ainda que a soma dos valores recebidos é:
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 24900
Nós sabemos das propriedades da razão e proporção, mas não estudamos
nenhuma propriedade sobre produtos. Por isso, o que eu recomendo é dividir
pelo MMC entre 12, 15 e 21.
12, 15, 21 2
6, 15, 21 2
3, 15, 21 3
1, 5, 7 5
1, 1, 7 7
1, 1, 1 =2².3.5.7=420
Dividindo tudo por 420.
12𝐴 = 15𝐵 = 21𝐶 (: 420)
12𝐴
420=
15𝐵
420=
21𝐶
420
Agora, façamos as simplificações:
𝐴
35=
𝐵
28=
𝐶
20
Podemos, agora, somar os numeradores e os denominadores:
𝐴
35=
𝐵
28=
𝐶
20=
𝐴 + 𝐵 + 𝐶
35 + 28 + 20=
24900
83= 300
Poderíamos calcular cada um dos termos, porém, como queremos só a
diferença, podemos calcular direto:
𝐴
35=
𝐶
20= 300
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𝐴
35=
𝐶
20=
𝐴 − 𝐶
35 − 20= 300
𝐴 − 𝐶
15= 300 ∴ 𝐴 − 𝐶 = 300.15 = 4500
Questão 13: E
(CESPE – FUB – 2011 – Assistente de Administração) Na proporção x/5 = y/7 = z/11, sabe-se que 2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 250.
Nesse caso, é correto afirmar que 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 < 110.
Comentários: Essa questão pode ser resolvida muito facilmente usando as
propriedades da Razão e Proporção.
𝑥
5=
𝑦
7=
𝑧
11
Podemos re-escrever essa proporção de maneira mais conveniente:
2𝑥
10=
𝑦
7=
3𝑧
33
Agora, utilizamos a propriedade das Somas Externas:
2𝑥
10=
𝑦
7=
3𝑧
33=
2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧
10 + 7 + 33=
250
50= 5
Podemos, então, calcular cada um dos termos:
𝑥
5= 5 ∴ 𝑥 = 5.5 = 25
𝑦
7= 5 ∴ 𝑦 = 5.7 = 35
𝑧
11 = 5 ∴ 𝑧 = 5.11 = 55
Portanto, a soma pedida no enunciado vale:
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𝑆 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 25 + 35 + 55 = 115 > 110
Questão 14: Errado
(CESPE – MDIC – 2014 – Agente Administrativo) Caso toda a
produção de uma fábrica seja destinada aos públicos infantil, jovem e adulto, de modo que as porcentagens da produção destinadas a cada um desses
públicos sejam inversamente proporcionais, respectivamente, aos números 2, 3 e 6, então mais de 30% da produção dessa fábrica destinar-se-á ao público
jovem.
Comentários: Uma questão muito interessante que misturou vários
conceitos.
Sendo I, J e A as proporções de peças destinadas, respectivamente, aos
públicos infantil, jovem e adulto da fábrica, sabemos que as grandezas em
questão são inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 6. Portanto, tem-
se:
2𝐼 = 3𝐽 = 6𝐴
É sempre interessante transformar esse produto em razão. Isso pode ser feito
de duas formas. A primeira delas seria dividir pelo MMC entre os termos que
é 12. Porém, eu gostaria de mostrar uma outra forma para você.
𝐼
1/2=
𝐽
1/3=
𝐴
1/6
Obs.: Daqui, temos mais uma importante interpretação a respeito da Regra
de Três Inversa. Quando A é inversamente proporcional a B, podemos dizer
também que A é diretamente proporcional ao inverso de B, ou seja, a 1/B.
Usando a propriedade das somas das proporções, tem-se:
𝐼
1/2=
𝐽
1/3=
𝐴
1/6=
𝐼 + 𝐽 + 𝐴
1/2 + 1/3 + 1/6
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A soma das proporções dos três grupos corresponde a 100%. Portanto, tem-
se que:
3𝐽 =100%
3 + 2 + 16
=100%
6/6= 100% ∴ 𝐽 =
100
3% = 33,33%
Questão 15: Errado
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2 Regra de Três
A Regra de Três é um método prático para resolver problemas envolvendo
grandezas proporcionais.
Regra de Três Simples
A Regra de Três Simples envolve apenas duas grandezas. São elas:
Grandeza Dependente é aquela cujo valor se deseja calcular a partir da
grandeza explicativa;
Grandeza Explicativa ou Independente é aquela utilizada para calcular
a variação da grandeza dependente.
Existem dois tipos principais de proporcionalidades que aparecem
frequentemente em provas de concursos públicos.
Grandezas Diretamente Proporcionais: o aumento de uma grandeza
implica o aumento da outra;
Grandezas Inversamente Proporcionais: o aumento de uma grandeza
implica a redução da outra;
A forma mais adequada de resolver os problemas sobre Regra de Três é separar a grandeza dependente e raciocinar se ela deve aumentar ou diminuir quando
cada uma das grandezas aumenta.
Para determinar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais, não existe um Manual ou um método. É preciso utilizar o bom senso e o seu
conhecimento de mundo. Mas, não se preocupe, as questões não serão muito profundas nesse tipo de análise. As bancas estão mais interessadas em saber se
você é capaz de montar e resolver o problema.
Vamos esquematizar.
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(FTC – Inédita – 2017) Com uma área de absorção de raios solares
de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual
será a energia produzida?
Comentários: A proporcionalidade pode ser expressa graficamente por meio de setas
– é uma forma visual bastante simples de entender o problema. Primeiro,
desenhamos a seta de crescimento da variável dependente, que é a produção de
energia.
Produção de
Energia
Área de
Absorção
400 1,2
x 1,5
Agora, utilizamos o raciocínio de que a energia solar produzida pela lancha cresce
com o aumento da área de absorção de raios solares. Portanto, essas grandezas são
diretamente proporcionais.
Diretamente Proporcionais
• Quando uma aumenta, a outra também aumenta;
• As setas são construídas no mesmo sentido;
•𝐴1
𝐵1=
𝐴2
𝐵2;
Inversamente Proporcionais
• Quando uma aumenta, a outra diminui;
• As setas são construídas em sentidos opostos;
• 𝐴1𝐵1 = 𝐴2𝐵2
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As setas verdes devem mostrar que a produção de energia cresce com a área de
absorção.
Produção de
Energia
Área de
Absorção
400 1,2
x 1,5
Obs.: As setas não precisam se relacionar com o sentido real de crescimento.
Elas precisam apenas mostrar se o aumento da área de absorção provoca um
aumento ou redução na produção de energia.
Para montar a Regra de Três, devemos seguir o sentido das setas. As setas
partem de baixo para cima. Portanto, escrevemos x (base da seta) no
numerador e o 400 (topo da seta) no denominador. Do outro lado, adotamos
o mesmo procedimento.
𝑥
400=
1,5
1,2
Agora, basta resolver a proporcionalidade utilizando simplificações e a
propriedade dos meios pelos extremos.
𝑥
400=
1,5
1,2=
15
12=
5
4
𝑥 =5.400
4= 5.100 = 500
A unidade se conserva, portanto, a produção de energia será de 500 watts por
hora.
Questão 16: 500
(FTC – 2017 – Inédita) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto
tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?
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Comentários: Mais uma vez, recorrermos à representação por meio de setas
para facilitar a visualização do problema. Primeiro, desenhamos a seta de
crescimento da variável dependente, que é o tempo.
Tempo Velocidade
3 400
x 480
Agora, utilizamos o raciocínio de que, quanto maior a velocidade do trem, mais
rapidamente ele chegará ao seu destino, ou seja, em um tempo menor.
Portanto, o tempo de duração da viagem é inversamente proporcional à
velocidade do trem.
Por isso, a seta de crescimento da velocidade deve ser construída no sentido
oposto. Se a seta do tempo está para cima, a seta da velocidade deve estar
para baixo.
Tempo Velocidade
3 400
x 480
Para montar a Regra de Três, devemos seguir o sentido das setas. As setas
partem de baixo para cima. Portanto, escrevemos x (base da seta) no
numerador e o 3 (topo da seta) no denominador. Do outro lado, adotamos o
mesmo procedimento.
𝑥
3=
400
480
Agora, basta calcular o valor de x utilizando as propriedades das proporções.
𝑥 =400.3
480=
400
160=
100
40=
25
10= 2,5ℎ
O trem levará 2,5h para completar seu trajeto. Conforme previmos, com o
aumento da velocidade, o trem chegará mais rápido ao seu destino.
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Questão 17: 2,5
(FGV-MRE-2016) Em um supermercado uma embalagem com certa quantidade de frios fatiados estava com a etiqueta abaixo sem a informação
R$/kg.
O preço aproximado de 1,0kg desse produto é:
a) R$20,50
b) R$21,10 c) R$21,80
d) R$22,30 e) R$22,90
Comentários: O preço a ser pago pelos frios é diretamente proporcional
ao peso do produto.
Preço Peso do Produto
3,66 0,160
x 1
As setas evidenciam que o preço a ser pago pelo produto cresce com o peso.
Dessa maneira, podemos montar a Regra de Três seguindo as setas.
𝑥
3,66=
1
0,160
𝑥 =3,66
0,160= 22,875
Questão 18: E
(Vunesp – MPE-SP – 2016) Para as cadeiras em um auditório, 6 funcionários, todos com a mesma capacidade de produção, trabalharam por 3
horas. Para fazer o mesmo trabalho, 20 funcionários, todos com o mesmo rendimento dos iniciais, deveriam trabalhar um total de tempo, em minutos,
igual a:
a) 48
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b) 50
c) 46 d) 54
e) 52
Comentários: Como o trabalho é o mesmo, as únicas grandezas envolvidas
no problema são a quantidade de funcionários e o tempo necessário para o
trabalho.
O tempo é a grandeza dependente. E, quanto mais funcionários houver, mais
rapidamente eles farão o trabalho, portanto, o tempo diminuirá. Sendo assim,
o tempo e o número de funcionários são grandezas inversamente
proporcionais.
Tempo Quantidade de
Funcionários
3 6
x 20
Agora, podemos montar a Regra de Três seguindo as setas:
𝑥
3=
6
20∴ 𝑥 =
6.3
20=
18
20ℎ
Chegamos à resposta em horas, porém, a questão pediu o tempo em minutos.
Podemos fazer a conversão nos lembrando que: uma hora é equivalente a 60
minutos; quanto mais horas temos, mais minutos também teremos, portanto,
são grandezas diretamente proporcionais.
Tempo
(minutos) Tempo (horas)
60 1
x 18/20
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𝑥
60=
18/20
1∴ 𝑥 =
60.18
20= 3.18 = 54 𝑚𝑖𝑛
Questão 19: D
(CESPE – CPRM – 2016) Três caminhões de lixo que trabalham
durante doze horas com a mesma produtividade recolhem o lixo de determinada cidade. Nesse caso, cinco desses caminhões, todos com a mesma
produtividade, recolherão o lixo dessa cidade trabalhando durante: a) 6 horas
b) 7 horas e 12 minutos c) 7 horas e 20 minutos
d) 8 horas e) 4 horas e 48 minutos
Comentários: Mais uma vez, nesse caso, o trabalho a ser realizado é o
mesmo. Portanto, as duas únicas grandezas estudadas nesse sistema são: a
quantidade de caminhões e o tempo de trabalho.
O tempo é a grandeza dependente. E, quanto mais caminhões houver, mais
rapidamente eles farão o trabalho, portanto, o tempo diminuirá. Sendo assim,
o tempo e o número de caminhões são grandezas inversamente
proporcionais.
Tempo Quantidade de
Caminhões
12 3
T 5
Agora, podemos montar a Regra de Três seguindo as setas:
𝑇
12=
3
5∴ 𝑥 =
12.3
5=
36
5ℎ
A questão pediu a resposta em horas e minutos. Para isso, devemos efetuar a
divisão e separar a parte inteira.
𝑇 =36
5ℎ = 7,2ℎ = 7ℎ + 0,2ℎ
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A parte fracionária deve ser convertida em minutos por meio da Regra de Três.
Tempo
(minutos) Tempo (horas)
60 1
X 0,2
𝑥
60=
0,2
1∴ 𝑥 =
0,2.60
1= 12 𝑚𝑖𝑛
Dessa maneira, o tempo em horas e minutos pode ser expresso por:
𝑇 = 7,2ℎ = 7ℎ + 12𝑚𝑖𝑛
Questão 20: B
(FCC – Copergás – 2016 – Técnico Operacional Mecânico) Com 15 máquinas de asfaltar ruas, a prefeitura de uma cidade pode terminar a obra
que pretende fazer em exatos 42 dias de trabalho. O prefeito pretende diminuir esse prazo e está disposto a trazer mais máquinas, além das 15 máquinas
disponíveis, para executarem essa obra em 35 dias. O número de máquinas, que o prefeito precisará acrescentar para conseguir o seu intento, é igual a:
a) 5
b) 9 c) 4
d) 3 e) 7
Comentários: Para reduzir o tempo necessário para o serviço, deverão ser
adquiridas mais máquinas. Portanto, são grandezas inversamente
proporcionais.
Máquinas Dias
15 42
x 35
Agora, montemos a proporção:
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𝑥
15=
42
35=
6
5∴ 𝑥 =
6.15
5= 6.3 = 18
Portanto, o número de máquinas deve ser aumentado em 3 unidades (de 15
para 18).
Questão 21: D
(FGV – Analista Legislativo – 2015) João, quando chega à sua oficina de artesanato, leva meia hora para arrumar suas ferramentas e depois inicia
imediatamente seu trabalho. Nesse trabalho, João produz 12 peças a cada 20 minutos. Certo dia, João chegou à oficina às 8 horas da manhã e trabalhou
sem parar até sair da oficina, ao meio-dia. O número de peças que João produziu nesse dia foi:
a) 96 b) 108
c) 120 d) 126
e) 144
Comentários: O primeiro passo, como sempre, é encontrar as variáveis:
Número de peças e horas de trabalho. Nesse caso, o tempo de arrumação deve
ser levado em consideração, logo como ele chegou as 8h e saiu as 12h, o
tempo de trabalho é 3h e 30 minutos (210 minutos).
Agora, montemos a tabela:
Número de
Peças
Minutos de
Trabalho
12 20
x 210
Para associar o sentido correto das setas, devemos entender que, quanto mais
tempo de trabalho, maior será o número de peças produzidas por João. Dessa
maneira, são grandezas diretamente proporcionais.
Por isso, devemos construir as setas no mesmo sentido.
Número de
Peças
Minutos de
Trabalho
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12 20
x 210
A equação correspondente à Regra de Três deve ser montada seguindo as
direções das setas.
𝑥
12=
210
20∴ 𝑥 =
12.210
20=
12.21
2= 6.21 = 126
Questão 22: D
Regra de Três Composta
A Regra de Três Composta envolve mais de duas variáveis. As análises sobre se as grandezas são diretamente e inversamente proporcionais devem ser feitas
cautelosamente levando em conta alguns princípios:
As análises devem sempre partir da variável dependente em relação às outras variáveis;
As análises devem ser feitas individualmente. Ou seja, deve-se comparar as grandezas duas a duas, mantendo as demais constantes.
A variável dependente fica isolada em um dos lados da proporção.
Observados esses princípios, basta seguir a direção das setas. Não se preocupe:
as questões de Regra de Três Composta são bem simples quando você entende a lógica por trás.
O principal trabalho em qualquer Regra de Três é determinar se as grandezas
são direta ou inversamente proporcionais.
E, agora, mãos à obra. Vamos às nossas questões de provas.
(CESPE – ANTAQ – 2014 – Analista Administrativo) Uma concessionária ganhou a concessão para explorar economicamente uma
rodovia federal pelo período de 20 anos. A concessionária realizará melhorias
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na via como a duplicação de trechos, manutenção do asfalto, da iluminação,
reforço na sinalização.
Considerando que a concessionária esteja autorizada a cobrar pedágios, julgue o item subsequente.
Considere que 12 empregados da concessionária, trabalhando 6 horas por dia
e no mesmo ritmo, constroem 3 km de rodovia em 9 dias. Nessa situação, 24
empregados, trabalhando 6 horas por dia e no mesmo ritmo do grupo inicial, construirão 6 km de estrada em 6 dias.
Comentários: A questão envolve três grandezas: o tempo para a construção
da estrada (em dias), o número de empregados e a quilometragem da estrada.
A questão ainda citou a quantidade de horas por dia de trabalho dos
empregados. Porém, esse dado não variou entre as duas situações –
permaneceu 6 horas. Como não há variação dessa grandeza, ela não é
relevante para a montagem da Regra de Três.
Podemos tomar, por exemplo, o tempo como variável dependente. Para isso,
nós calculamos o tempo necessário para a construção da estrada e
comparamos com o valor que foi proposto no enunciado (6 dias).
Tempo de
Construção Empregados
Quilometragem
da Estrada
9 12 3
x 24 6
Agora, montemos as setas uma a uma.
Quanto mais empregados houver, menor será o tempo necessário para a
construção. Portanto, são grandezas inversamente proporcionais. Dessa
maneira, devemos colocar a seta dos empregados no sentido oposto.
Por outro lado, quanto maior for a quilometragem da estrada, mais tempo será
necessário para construí-la. Portanto, são grandezas diretamente
proporcionais.
Tempo de
Construção Empregados
Quilometragem
da Estrada
9 12 3
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x 24 6
Basta, agora, montar a Regra de Três seguindo as setas e lembrando-se de
isolar o tempo de construção das demais variáveis:
𝑥
9=
12
24.6
3=
1
2. 2 = 1
Portanto, temos que:
𝑥
9= 1 ∴ 𝑥 = 9
Sendo assim, o tempo de construção da estrada será de 9 dias, logo, a
afirmativa está errada.
Questão 23: Errado
(FCC – DPE/RS – 2017 – Analista – Administração) Um grupo de 8 funcionários analisou 32 propostas de reestruturação de um determinado setor
de uma empresa em 16 horas de trabalho. Para analisar 48 dessas propostas, em 12 horas de trabalho, um outro grupo de funcionários, em igualdade de
condições do grupo anterior, deverá ser composto por um número de pessoas igual a:
a) 18
b) 12 c) 16
d) 14 e) 20
Comentários: A questão envolve três grandezas: o número de funcionários,
as propostas estudadas e o número de horas de trabalho. Como a grandeza
desejada é o número de horas de trabalho.
Como queremos saber o número de funcionários, tomaremos essa como a
variável dependente.
Funcionários
Horas de
Trabalho Propostas
8 16 32
x 12 48
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Quanto mais propostas estudadas, mais funcionários serão necessários.
Portanto, são grandezas diretamente proporcionais. Por outro lado, quanto
mais horas cada funcionário trabalha, menos funcionários serão necessários.
Portanto, são grandezas inversamente proporcionais.
Tempo de
Construção
Horas de
Trabalho
Propostas
8 16 32
x 12 48
Agora, montemos a proporção seguindo a seta:
𝑥
8=
16
12.48
32∴ 𝑥 = 8.
16
12.48
32= 8.
1
2. 4 = 8.2 = 16
Questão 24: C
(CESPE – STM – 2011) Seis juízes foram encarregados de analisar alguns processos e concluíram esse trabalho em treze dias. Sabendo que cada
juiz levou três dias para analisar cada processo e que todos os juízes trabalharam nesse ritmo, julgue os itens seguintes.
Quatro juízes analisaram dez processos em sete dias.
Comentários: Nessa questão, temos três variáveis sendo relacionadas: o
número de juízes, o tempo para o trabalho e a quantidade de processos.
Podemos tomar, por exemplo, o tempo como variável dependente.
Dias Juízes Quantidade de
Processos
3 1 1
x 4 10
Quanto mais juízes houver para analisar os processos, mais rápido será o
trabalho, ou seja, o número de dias necessários será menor. Portanto, são
grandezas inversamente proporcionais. Logo, a seta em juízes deve ser
desenhada no sentido oposto à seta dos dias.
Por outro lado, quanto mais processos houver para serem analisados, maior
será o número de dias necessários para o trabalho. Trata-se, portanto, de
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grandezas diretamente proporcionais. Logo, a seta em quantidade de
processos deve ser desenhada no mesmo sentido da seta dos dias.
Dias Juízes Quantidade de
Processos
3 1 1
x 4 10
Para montar a Regra de Três, devemos seguir o sentido das setas. As setas partem
de baixo para cima.
𝑥
3=
1
4.10
1=
5
2
Agora, basta calcular o valor de x utilizando as propriedades das proporções.
𝑥 =3.5
2=
15
2= 7,5 𝑑𝑖𝑎𝑠
Dessa maneira, os quatro juízes analisarão dez processos em 7,5 dias, não em 7
como afirmado pelo enunciado.
Questão 25: Errado
(FGV – Senado Federal – 2008 – Consultor de Orçamento) Admita que 3 operários, trabalhando 8 horas por dia, construam um muro de 36
metros em 5 dias. O tempo necessário para que 5 operários, trabalhando 6
horas por dia, construam um muro de 30 metros é de: a) 3 dias mais 2 horas.
b) 3 dias mais 4 horas. c) 3 dias mais 8 horas.
d) 4 dias mais 3 horas. e) 4 dias mais 4 horas.
Comentários: Não há absolutamente nenhuma diferença quando o problema
envolve quatro variáveis. Vejamos:
Dias Operários Carga Horária Muro
5 3 8 36
X 5 6 30
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Agora, precisamos relacionar a variável em estudo (tempo para a construção
do muro) com as demais variáveis:
Quanto mais operários houver, mais rápida será a obra, ou seja, tomará
menos dias. Portanto, são grandezas inversamente proporcionais;
Quanto maior a carga horária dos operários, mais rápida também será
a obra. Portanto, carga horária e tempo são grandezas inversamente
proporcionais;
Quanto maior o muro, mais tempo levará para ser construído. Portanto,
tempo e tamanho do muro são grandezas diretamente proporcionais.
Agora, construiremos as setas que reflitam esse raciocínio.
Dias Operários Carga Horária Muro
5 3 8 36
x 5 6 30
Agora, basta montar as proporções:
𝑥
5=
3
5.8
6.30
36∴ 𝑥 =
3.8.30.5
5.6.36=
3.8.30
6.36=
1.4.30
36=
1.4.5
6=
20
6 𝑑𝑖𝑎𝑠
A questão pediu o tempo em dias e horas. Para isso, precisamos efetuar a
divisão e pegar a parte inteira. 20 dividido por 6 é igual a 3 e deixa resto 2.
Portanto, podemos escrever que:
𝑥 =20
6= 3 +
2
6= 3 +
1
3
Portanto, a obra levou 3 dias mais um terço de dia. Como um dia tem 24
horas, podemos escrever:
𝑥 = 3 𝑑𝑖𝑎𝑠 +1
3𝑑𝑖𝑎 = 3 𝑑𝑖𝑎𝑠 +
1
3. 24ℎ = 3𝑑𝑖𝑎𝑠 + 8ℎ
Questão 26: C
(CESPE – CPRM – 2016 – Técnico em Geociências – Hidrologia)
Por 10 torneiras, todas de um mesmo tipo e com igual vazão, fluem 600 L de
água em 40 minutos. Assim, por 12 dessas torneiras, todas do mesmo tipo e com a mesma vazão, em 50 minutos fluirão:
a) 625L de água b) 576L de água
c) 400L de água d) 900L de água
e) 750L de água
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Comentários: Em todos os problemas de Regra de Três, devemos
primeiramente identificar as grandezas envolvidas no problema. São elas: a
quantidade de torneiras, o tempo que elas passam ligadas e a quantidade de
água que flui.
O problema deseja saber a quantidade de água que fluiu das torneiras.
Portanto, essa é a variável dependente. Portanto, montemos a tabela.
Quantidade
de Água
Número de
Torneiras Tempo
600 10 40
x 12 50
Quanto maior a quantidade de torneiras, maior também será a quantidade de
agua que fluirá delas. Portanto, são grandezas diretamente proporcionais.
Também, quanto maior o tempo que as torneiras passarem ligadas, maior será
a quantidade de água. Mais uma vez, são grandezas diretamente
proporcionais.
Sendo assim, as setas devem ser construídas no mesmo sentido para ilustrar
a proporcionalidade direta.
Quantidade
de Água
Número de
Torneiras Tempo
600 10 40
x 12 50
Agora, montemos a equação. Como sempre, basta seguir as setas e isolar a
variável dependente.
𝑥
600=
12
10.50
40 ∴ 𝑥 =
12.50.600
10.40=
12.50.6
1.4= 3.50.6 = 900
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Questão 27: D
(FCC – Prefeitura de Teresina / PI – 2016 – Técnico de Nível Superior – Administrador) Em uma empresa, um prêmio em dinheiro foi
dividido entre 3 funcionários (Antônio, Bento e Celso) em partes diretamente
proporcionais ao tempo de serviço de cada um na empresa e inversamente proporcionais ao número de faltas injustificadas deles dentro de um período.
O quadro abaixo forneceu as informações necessárias para o cálculo desta divisão.
Se Celso recebeu R$ 13.500,00, então Antônio recebeu, em reais,
a) 12.000,00 b) 9.000,00
c) 27.000,00 d) 18.000,00
e) 22.500,00
Comentários: O enunciado já nos forneceu todas as informações.
Quantia
Recebida Faltas
Tempo de
Serviço
13.500 6 18
x 2 8
Agora, montemos a proporção seguindo as setas.
𝑥
13500=
6
2.
8
18=
3.4
9∴ 𝑥 =
3.4.13500
9= 3.4.1500 = 18000
Questão 28: D
(CESPE – PRF – 2013) Considerando que uma equipe de 30 operários, igualmente produtivos, construa uma estrada de 10 km de extensão em 30
dias, julgue os próximos itens. Se a tarefa estiver sendo realizada pela equipe inicial de 30 operários e, no
início do quinto dia, 2 operários abandonarem a equipe, e não forem substituídos, então essa perda ocasionará atraso de 10 dias no prazo de
conclusão da obra.
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Comentários: As variáveis envolvidas no problema são: o número de
operários, a extensão da estrada e o prazo para a conclusão da obra. Podemos
entender a variável dependente como o prazo da obra.
Para montar a tabela da Regra de Três, precisamos observar que a perda dos
dois operários só ocorreu no quinto dia. Sendo assim, nos quatro primeiros
dias, a estrada foi construída normalmente. Por isso, precisamos saber quanto
da estrada foi construída nesse período.
Extensão da
Estrada Prazo da Obra
10 30
x 4
Quanto maior o tempo de construção da obra, maior será a extensão
construída da estrada. Por isso, as grandezas são diretamente proporcionais
como ilustrado anteriormente.
𝑥
10=
4
30∴ 𝑥 =
4.10
30=
4
3
Dessa maneira, até o quarto dia, foram construídos 4/3 km da estrada.
Portanto, ainda restam:
𝐿 = 10 −4
3=
30 − 4
30=
26
30 𝑘𝑚
A partir do quinto dia, a quilometragem restante da estrada deverá ser
construída pelos 28 operários restantes. Podemos calcular o tempo necessário
para construir a segunda parte dessa obra (𝑡2):
Prazo da
Obra
Número de
Operários
Extensão da
Estrada
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30 30 10
𝑡2 28 26/3
Para a interpretação correta dos sentidos das setas, devemos perceber que:
quanto maior o número de operários, mais rapidamente, eles terminarão a
obra, portanto, o prazo será menor. Dessa maneira, o número de operários e
o prazo da obra são grandezas inversamente proporcionais.
Por outro lado, quanto maior a extensão da estrada, maior o prazo necessário
para concluí-la. Portanto, trata-se de grandezas inversamente proporcionais.
Prazo da
Obra
Número de
Operários
Extensão da
Estrada
30 30 10
𝑡2 28 26/3
𝑡2
30=
30
28.26/3
10 ∴ 𝑡2 =
30.26.30
28.3.10=
30.26
28=
30.13
14=
390
14=
39
14
Fazendo as contas aproximadas:
𝑡2 =52
14≅ 27,8 𝑑𝑖𝑎𝑠
Além disso, não podemos nos esquecer que houve o gasto inicial de 4 dias
para a obra. Nesse período, foi construído o trecho de 4/3 km. Portanto o
tempo total para a conclusão da obra será de:
𝑡 = 4 + 27,8 = 31,8 𝑑𝑖𝑎𝑠
Portanto, o prazo da obra deverá ser alongado a 32 dias, o que representa um
atraso de apenas 2 dias, não de 10 dias, como afirmado pelo enunciado.
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Questão 29: Errado
(CESPE – INPI – 2013 – Técnico em Propriedade Industrial) Sabendo que, para produzir 5 unidades de determinado produto, é necessário
2 operários trabalhando 6 horas por dia durante 3 dias, julgue os itens seguintes.
Se, para cada trabalhador, o custo de produção de cada unidade aumentar 2% por hora trabalhada além das 8 horas diárias, então, ao produzir 10 unidades,
com somente dois trabalhadores, em dois dias, o custo diminuirá em 40%.
Comentários: Uma questão muito boa em que o aluno deverá ter uma boa
capacidade de interpretar. Devemos calcular a quantidade de horas que os
empregados deverão trabalhar para produzir as unidades necessárias.
Horas por
Dia Dias Unidades
6 3 5
𝑥 2 10
Quanto mais dias os empregados trabalham, menor será a carga horária
necessária, portanto, são grandezas inversamente proporcionais, como
evidenciado pelos sentidos das setas.
Por outro lado, quanto mais unidades deverão ser produzidas, mais tempo
será necessário, portanto, aumenta a carga horária. Portanto, são grandezas
diretamente proporcionais.
O número de operários é igual a 2 em ambas as situações, por isso, essa
grandeza é irrelevante para a Regra de Três. De posse dessas informações,
podemos montar a conta seguindo as setas.
𝑥
6=
3
2.10
5 ∴ 𝑥 =
3.10.6
2.5= 3.6 = 18
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Portanto, os empregados tiveram que trabalhar um total de 18 horas por dia,
o que significa um excesso de 10 horas por dia. Portanto, o custo de produção
da fábrica aumentará em:
Aumento
do Custo
Número de
Operários Horas Extras
+2% 1 1
𝑦 2 10
Mais uma vez, seguindo as setas, podemos calcular o aumento do custo devido
às horas extras:
𝑦
+2%=
2
1.10
1= 20 ∴ 𝑦 = +2%. 20 = +40%
Portanto, o único erro do enunciado é afirmar que o custo de produção diminui.
Na verdade, o custo aumenta em 40%.
Questão 30: Errado
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3 Porcentagem
Conceito
A porcentagem é uma medida de razão com base 100. Trata-se de um modo de
expressar uma proporção entre dois números: um deles é a parte e o outro
o inteiro.
Sendo assim, a porcentagem corresponde a uma fração cujo denominador
é 100. Podemos converter um número porcentual em fração dividindo por 100.
Vejamos alguns exemplos:
20% =20
100
Além disso, podemos transformar esse número em decimal deslocando a vírgula
duas casas para a direita.
20% =20
100=
20,0
100= 0,200 = 0,20
Outra conversão muito interessante para ser usada em questões é a fração
simplificada. Note que é possível simplificar a fração 20/100 por 4 e depois por
5 como mostramos a seguir.
20% = 0,20 =20
100=
5
25=
1
5
Sendo assim, a razão 20% pode ser escrita de várias maneiras:
20% = 0,20 =20
100=
1
5
As três primeiras são as mais importantes, porque podem ser escritas para
qualquer número porcentual. Vejamos mais alguns exemplos:
34,7% =34,7
100= 0,347
12,6% =12,6
100= 0,126
Também é possível fazer a conversão inversa, isto é, transformar um número
decimal em porcentual.
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0,296 =29,6
100= 29,6%
Algumas frações importantes que aparecem bastante em provas e que vale a
pena você saber as frações simplificadas correspondentes:
10% =1
10 20% =
1
5 25% =
1
4 50% =
1
2
Número Relativo
A porcentagem traz uma relação entre uma parte e um todo. Quando dizemos
1% de 1000, o 1000 corresponde ao todo. Já o 1% corresponde à fração do todo
que estamos especificando. Para descobrir a quanto isso corresponde, basta
multiplicar 1% por 1000.
1% 𝑑𝑒 1000 =1
100. 1000 = 10
Dessa maneira, 1000 é todo, enquanto que 10 é a parte que corresponde a 1%
de 1000.
Como a porcentagem é uma proporção, ela é sempre um número relativo. O
número 1% não tem nenhum significado próprio. É preciso dizer 1% de quê?
1% 𝑑𝑒 1000 =1
100. 1000 = 10
1% 𝑑𝑒 2000 =1
100. 2000 = 20
Quando o todo varia, a porcentagem também varia. Agora, vamos treinar com
(FTC – 2017 – Inédita) Joana assistiu 2 aulas de Matemática
Financeira. Sabendo que o curso que ela comprou possui um total de 8 aulas, qual é o percentual de aulas já assistidas por Joana?
Comentários: O todo de aulas é 8. Para descobrir o percentual, devemos
dividir a parte pelo todo e obter uma fração.
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𝑃 =2
8=
1
4
Para transformar em porcentagem, devemos transformar o denominador em
100. Uma forma simples de fazer isso é efetuando a divisão:
𝑃 =2
8=
1
4= 0,25
Agora, basta transformar o número decima em percentual:
𝑃 = 0,25 = 25%
Questão 31: 25%
(FGV – COMPESA – 2016 – Assistente de Saneamento e Gestão) O resultado da divisão de 100% por 20% é:
a) 0,5% b) 5%
c) 50% d) 500%
e) 5000%
Comentários: Questão interessante para você entender sobre porcentagem.
Devemos lembrar que a porcentagem é uma razão por 100. Sendo assim,
temos:
𝑥 =100%
20%=
100100
20100
Para resolver uma divisão de frações, devemos multiplicar a primeira pelo
inverso da segunda:
𝑥 =
100100
20100
=100
100.100
20= 1.5 = 5
Para transformar o 5 em número percentual, devemos multiplicar e dividir por
100:
𝑥 = 5 =5.100
100=
500
100= 500%
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De agora em diante, você sabe que poderá simplesmente cortar os
percentuais, no caso de uma divisão. Vejamos:
𝑥 =100%
20%=
100
20= 5
Questão 32: D
(CESPE – MDS – 2009 – Agente Administrativo) Em importante
campanha de informação sobre saúde pública, o secretário de saúde municipal determinou que os agentes de saúde deveriam visitar todas as residências
daquele município. Foram designados 5 agentes para realizar a campanha. Uma análise preliminar concluiu que esses agentes terminariam as visitas no
município em 12 dias úteis, se todos trabalhassem com a mesma eficiência, de segunda a sexta-feira, durante 8 horas diárias.
Considerando essas informações, julgue os seguintes itens.
Considere que os agentes receberiam uma gratificação de R$ 12.000,00 a serem divididos entre eles, de forma diretamente proporcional ao número de
dias que cada um trabalhou. Nesse caso, se do total de dias trabalhados, dois dos agentes faltaram a 50% desses dias, um dos agentes faltou 25% dos dias
e os outros dois trabalharam todos os dias, então os agentes que mais faltaram ao trabalho receberiam menos de R$ 1.800,00 cada um.
Comentários: Sejam A, B, C, D e E as gratificações recebidas pelos 5 agentes.
Considere, ainda, que os agentes A e B foram os mais faltosos, o agente C
faltou 25% dos dias, e os agentes D e E trabalharam todos os 12 dias.
Nessa situação, os agentes A e B trabalharam trabalharam 6 dias, enquanto
que o agente C faltou 3 dias (25% de 12), portanto, trabalhou 9 dias.
Dessa maneira, temos a proporcionalidade:
𝐴
6=
𝐵
6=
𝐶
9=
𝐷
12=
𝐸
12
Agora, basta usar a propriedade das Somas Externas:
𝐴
6=
𝐵
6=
𝐶
9=
𝐷
12=
𝐸
12=
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 + 𝐸
6 + 6 + 9 + 12 + 12
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A soma A + B + C + D + E corresponde ao total recebido de gratificação por
todos os agentes, que é de R$12.000,00.
𝐴
6=
𝐵
6=
𝐶
9=
𝐷
12=
𝐸
12=
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 + 𝐸
6 + 6 + 9 + 12 + 12=
12000
45
Agora, calculemos as gratificações de cada agente.
𝐴
6=
𝐵
6=
12000
45∴ 𝐴 =
12000.6
45=
4000.2
5= 800.2 = 1600 < 1800
Portanto, o enunciado está correto.
Questão 33: Certo
E, agora, vejamos como esse assunto cai em provas.
(CESPE - INPI – 2013) Considerando que o custo de produção de um
refrigerante em lata seja R$ 0,50 por unidade produzida e que essa mesma latinha seja vendida a R$ 2,50, julgue os itens seguintes.
O preço de custo do refrigerante em lata representa 20% do valor de sua venda.
Comentários: Tomemos a razão entre o preço de custo da latinha e o seu
preço de venda:
𝑃 =𝑃𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜
𝑃𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑉𝑒𝑛𝑑𝑎=
0,50
2,50=
1
5= 0,20 = 20%
Questão 34: Certo
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Soma e Subtração de Porcentagem
As operações de soma e subtração de porcentagem são as mais comuns. É o
que acontece quando se diz que um número excede ou é superior ao outro em
tantos por cento.
Essas operações são muito simples de fazer. A grandeza inicial corresponderá
sempre a 100%. Então, basta somar ou subtrair o percentual fornecido dos
100% e multiplicar pelo valor da grandeza. Vejamos alguns exemplos:
(FTC – 2017 – Inédita) Joana comprou um curso de 200 horas-aula.
Porém, com a publicação do edital, a escola precisou aumentar a carga horária em 15%. Qual o total de horas-aula do curso ao final?
Comentários: Inicialmente, o curso de Joana tinha um total de 200 horas-
aula que correspondiam a 100%. Com o aumento porcentual o novo curso
passou a ter 100% + 15% das aulas inicialmente previstas.
Portanto, o total de horas-aula do curso será:
𝑁 = (1 + 0,15). 200 = 1,15.200 = 230
A questão poderia ainda ter perguntado somente de quanto foi o aumento, ou
seja, a variação do número de aulas. Nesse caso, precisaríamos levar em conta
apenas os 15%.
Δ𝑁 = 0,15.200 = 30
De qualquer maneira, da forma como foi pedido no enunciado, a resposta é
230.
Questão 35: 230
(FGV – IBGE – 2016 – Técnico em Informações Geográficas e
Estatísticas) Rubens percorreu o trajeto de sua casa até o trabalho com uma determinada velocidade média. Rubinho, filho de Rubens, percorreu o mesmo
trajeto com uma velocidade média 60% maior do que a de Rubens. Em relação ao tempo que Rubens levou para percorrer o trajeto, o tempo de Rubinho foi:
a) 12,5% maior b) 37,5% menor
c) 60% menor d) 60% maior
e) 62,5% menor
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Comentários: Uma boa questão misturando proporcionalidade com
porcentagem. Podemos chamar a velocidade de Rubens de v e o tempo que
ele levou para percorrer o trajeto de t.
Nesse caso, a velocidade de Rubinho será 60% maior, portanto, podemos
escrever:
𝑣𝑅𝑢𝑏𝑖𝑛ℎ𝑜 = (1 + 0,60)𝑣𝑅𝑢𝑏𝑒𝑛𝑠 = 1,60𝑣
Para calcular o tempo, basta nos lembrar que são grandezas inversamente
proporcionais. Quanto mais veloz for o piloto, menos tempo ele gastará para
chegar ao seu destino.
Velocidade Tempo
v 𝑡
1,60𝑣 𝑡𝑅𝑢𝑏𝑖𝑛ℎ𝑜
Portanto, temos:
1,6𝑣
𝑣=
𝑡
𝑡𝑅𝑢𝑏𝑖𝑛ℎ𝑜∴ 1,6 =
𝑡
𝑡𝑅𝑢𝑏𝑖𝑛ℎ𝑜
∴𝑡𝑅𝑢𝑏𝑖𝑛ℎ𝑜
𝑡=
1
1,6=
10
16=
5
8= 0,625
∴ 𝑡𝑅𝑢𝑏𝑖𝑛ℎ𝑜 = 0,625𝑡 = (1 − 0,375)𝑡
Sendo assim, o tempo de Rubinho será 37,5% menor que o tempo de Rubens
(t).
Questão 36: B
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A operação inversa corresponde à avaliação da variação percentual.
A avaliação do crescimento ou da redução percentual
deve ser feita sempre em relação ao valor inicial da
grandeza.
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 =𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍
Além disso, o sinal da variação percentual informa se houve crescimento ou
redução percentual.
Vamos entender melhor com algumas questões?
(FTC – Inédita – 2017) Pedro percebeu que ele ainda não assistiu a 200 aulas do seu curso. Ela deseja reduzir o número de aulas não assistidas a
180. É correto afirmar que as aulas não assistidas por Pedro cairá 20%?
Comentários: A variação percentual de uma grandeza corresponde ao índice:
Variação Percentual Positiva
• Houve crescimento percentual
Variação Percentual Negativa
• Houve redução percentual
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𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 =𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙=
180 − 200
200= −
20
200= −0,10 = −10%
Como o resultado foi negativo, podemos afirmar que houve uma redução
percentual de 10% nas aulas ainda não assistidas por Pedro. O enunciado está
errado ao afirmar que essa redução foi de 20%.
Questão 37: Errado
(CESPE – INPI – 2013) Considerando que o custo de produção de
um refrigerante em lata seja R$ 0,50 por unidade produzida e que essa mesma latinha seja vendida a R$ 2,50, julgue os itens seguintes.
Se o custo de produção de cada refrigerante for reduzido em 40%, mantendo-se o mesmo valor de venda do produto, então o lucro por latinha aumentará
20%.
Comentários: Com a redução em 40%, o novo custo de produção será:
𝐶′ = (1 − 0,40). 0,50 = 0,60.0,50 = 0,30
Dessa maneira, o lucro por latinha será:
𝐿′ = 𝑃𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑉𝑒𝑛𝑑𝑎 − 𝐶′ = 2,50 − 0,30 = 2,20
Antes da redução, o lucro era de:
𝐿 = 𝑃𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑉𝑒𝑛𝑑𝑎 − 𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 2,50 − 0,50 = 2,00
Dessa maneira, o aumento percentual do lucro será:
𝐴𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 =𝐴𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜
𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙=
𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜 𝑁𝑜𝑣𝑜 − 𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙=
2,20 − 2,00
2,00
=0,20
2,00= 0,10 = 10%
Portanto, o aumento percentual do lucro foi de apenas 10%. A afirmativa está
errada.
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Questão 38: Errado
(FGV – Prefeitura de Osasco/SP – 2014 – Atendente) O preço de determinado produto, ao longo de dois meses consecutivos, sofre aumentos
de 10% e 20%, respectivamente. No terceiro mês, o preço cai e retorna ao valor original, antes dos aumentos. Em relação ao preço aumentado do
produto, o percentual que mais se aproxima da redução ocorrida no terceiro
mês é: a) 20%
b) 25% c) 30%
d) 70% e) 75%
Comentários: Seja P o preço inicial do produto. Os dois aumentos podem ser
representados a seguir.
É importante destacar que o primeiro aumento de 10% eleva o preço para
1,10P. Já o segundo aumento de 20% deve ser aplicado sobre esse novo preço
de 1,10P.
Da mesma forma, a redução percentual de x% deve ser aplicada sobre o preço
no mês 3. Temos, portanto, que:
(1 − 𝑥). 1,32𝑃 = 𝑃 ∴ (1 − 𝑥) =1
1,32
A forma mais simples de converter essa fração em percentual é multiplicando
por 100%.
(1 − 𝑥) =100
1,32% ≅ 75% ∴ 𝑥 = 100% − 75% = 25%
Questão 39: B
(FCC – TRT 11ª Região (AM e RR) – Técnico Judiciário) O preço de um sapato, após um aumento de 15%, é R$ 109,25. Se o preço do sapato não
tivesse sofrido esse aumento de 15%, mas um aumento de 8%, a diferença, em reais, entre os preços do sapato com cada aumento seria de:
a) R$ 7,65. b) R$ 5,80.
c) R$ 14,25.
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d) R$ 7,60.
e) R$ 6,65.
Comentários: Em primeiro lugar, calcularemos o preço inicial do sapato.
Sendo P o preço inicial, após o aumento, esse preço passará a ser 1,15P.
1,15𝑃 = 109,25 ∴ 𝑃 =109,25
1,15=
10925
115=
2185
23= 95
Agora, precisamos calcular o preço após o aumento de 8%:
𝑃8 = (1 + 0,08)𝑃 = 1,08.95 = 102,6
Sendo assim, a diferença de preços será:
Δ𝑃 = 𝑃15 − 𝑃8 = 109,25 − 102,6 = 6,65
Poderíamos ainda, fazer de uma forma simples. Uma vez calculado o preço
inicial P = 95, bastaria notar que:
Δ𝑃 = 𝑃15 − 𝑃8 = 1,15𝑃 − 1,08𝑃 = 0,07𝑃 = 0,07.95 = 6,65
Questão 40: E
(CESPE – INPI – 2013) Consando os dados apresentados no gráfico,
julgue os itens seguintes.
O número de acidentes ocorridos em 2008 foi, pelo menos, 26% maior que o
número de acidentes ocorridos em 2005.
Comentários: Nessa questão, devemos nos lembrar que o crescimento
percentual deve ser sempre medido em relação ao valor inicial da grandeza
estudada.
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𝐴𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 =𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙=
141 − 110
110=
31
110≅ 0,282
= 28,2% > 26%
Dessa maneira, como o enunciado diz “pelo menos”, a afirmativa está correta,
tendo em vista que 28,2% é maior que 26%.
Questão 41: Certo
Agora, vamos falar de uma pegadinha muito comum em provas de concursos.
Dizer que A é 20% maior que B não é a mesma coisa de dizer que B
é 20% menor que A.
Por exemplo, seja B = 100. A é 20% maior que B implica que:
𝐴 = (1 + 0,20). 100) = 1,20.100
Nesse caso, não podemos dizer que B é 20% menor que A.
𝑅𝑒𝑑𝑢çã𝑜 𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 = 𝐵 − 𝐴
𝐴=
100 − 120
120= −
20
120= −
1
6= −16,7%
As bancas adoram fazer essa pedaginha no Capítulo de Descontos,
portanto, precisamos ficar atentos desde já.
Porcentagem de Porcentagem
Uma confusão frequente dos alunos diante de questões de provas é quando é
necessário fazer uma porcentagem de outra porcentagem.
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O cálculo de porcentagem de porcentagem deve ser feito do mesmo modo que
aprendemos na Seção 3.1. Portanto, a melhor forma de aprender a lidar com
esse assunto é resolvendo questões de provas.
(CESPE – CPRM – 2016) Considere que 85% das residências de determinado município estão ligadas à rede de abastecimento de água tratada
e que 60% dessas residências estão ligadas à rede de esgotamento sanitário. Nessa situação, a percentagem de residências do município que são servidas
de água tratada e estão ligadas à rede de esgotamento sanitário é igual a: a) 40%
b) 25%
c) 15% d) 60%
e) 51%
Comentários: De um total de 100% das residências do munícipio, 85% delas
estão ligadas à rede de abastecimento.
Desses 85%, 60% estão também ligadas à rede de esgotamento sanitário.
Portanto, para saber qual o percentual de casa com acesso a ambos os
serviços, temos uma porcentagem de porcentagem.
𝑃 = 0,85.0,60 = 0,51
Questão 42: E
(CESPE – FUB – 2009 – Administrador de Edifícios) Considere que
sobre o preço de fábrica de um automóvel zero km incida um imposto federal de 12% e sobre o preço de fábrica acrescido do imposto federal incida um
imposto estadual de 15%. Nessa situação, o preço de venda do automóvel será pelo menos 28% superior ao preço de fábrica.
Comentários: Seja P o preço de fábrica, temos que houve dois aumentos
referentes aos impostos estadual e federal.
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Observe que o preço final deve ser calculado sobre o preço já calculado após
o imposto federal que é de 1,12P. Portanto:
𝑃𝑓 = (1 + 0,15). 1,12𝑃 = 1,15.1,12𝑃 = 1,288𝑃
O preço após os impostos, portanto será superior ao preço de fábrica em:
𝑃𝑓 − 𝑃
𝑃=
1,288𝑃 − 𝑃
𝑃=
0,288𝑃
𝑃= 0,288 = 28,8% > 28%
Questão 43: Certo
(CESPE – FUB – 2009 – Administrador de Edifícios) Considere que
uma loja venda seus produtos nas seguintes condições: à vista, com 20% de desconto sobre o preço de tabela; no cartão de crédito, com 5% de acréscimo
sobre o preço de tabela. Nessa situação, um produto que é vendido por R$800,00 à vista terá, no cartão, preço superior a R$1.000,00.
Comentários: Seja P o preço de tabela, temos que o preço à vista será:
𝑃𝐴𝑉 = (1 − 0,20)𝑃 = 0,80𝑃 = 800
Portanto, podemos calcular o preço de tabela do produto:
𝑃 =800
0,8= 1000
+12% 𝑃 +15%1,12𝑃 𝑃𝑓
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Agora, passemos a calcular o preço no cartão de crédito, que corresponde a
um aumento percentual de 5% sobre o preço de tabela de R$1.000,00
𝑃𝐶 = (1 + 0,05)𝑃 = 1,05.1000 = 1050 > 1000
Vale dizer que a banca vacilou na elaboração da questão. O aluno não
precisava nem mesmo calcular o preço do cartão de crédito. Bastava ver que
o preço de tabela já era de R$1.000,00, portanto, o preço no cartão de crédito
teria que ser superior.
Questão 44: Certo
(FCC – TST – 2017 – Técnico Judiciário) A equipe de segurança de um Tribunal conseguia resolver mensalmente cerca de 35% das ocorrências
de dano ao patrimônio nas cercanias desse prédio, identificando os criminosos e os encaminhando às autoridades competentes. Após uma reestruturação dos
procedimentos de segurança, a mesma equipe conseguiu aumentar o percentual de resolução mensal de ocorrências desse tipo de crime para cerca
de 63%. De acordo com esses dados, com tal reestruturação, a equipe de
segurança aumentou sua eficácia no combate ao dano ao patrimônio em: a) 35%.
b) 28%. c) 63%.
d) 41%. e) 80%
Comentários: Devemos utilizar a mesma expressão sempre conhecida para
a variação percentual.
Δ% =𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜
𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙=
0,63 − 0,35
0,35=
0,28
0,35=
28
35=
4
5= 0,8 = 80%
Questão 45: E
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4 Sequências Lineares
O assunto de sequências costuma ser cobrado tanto na parte de Raciocínio
Lógico como na parte de Matemática Básica em diversos editais. De quebra,
ainda é essencial para entender muitos temas da Matemática Financeira.
Portanto, é um assunto importantíssimo.
Os dois principais tipos de sequências lineares que você precisa conhecer são as
famosas:
Progressão Aritmética (PA);
Progressão Geométrica (PG).
Vamos a elas?
Progressão Aritmética
Uma progressão aritmética é aquela em que os termos crescem sendo
adicionados a uma razão constante, normalmente representada pela letra r.
Exemplos:
2, 2, 2, 2, 2, 2 – é uma progressão aritmética estacionária (r = 0)
3, 4, 5, 6, 7, 8 – é uma progressão aritmética crescente (r = 1)
5, 3, 1, -1, -3 – é uma progressão aritmética decrescente (r = -2)
Já podemos adiantar a respeito das classificações de progressões aritméticas.
Estacionária: quando a razão é igual a zero. Desse modo, os termos são
todos iguais.
Crescente: quando a razão é um número positivo, ou seja, r > 0.
Decrescente: quando a razão é um número negativo, ou seja, r < 0.
4.1.1 Termo Geral
A principal convenção a respeito de progressões aritméticas é que o primeiro
termo é chamado de a1. Os demais são sucessivamente chamados a2, a3, ...
Vejamos um exemplo:
3 5 7 9 11 13 15
𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5 𝑎6 𝑎7
Essa progressão aritmética tem como características:
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Primeiro Termo: 𝑎1 = 3
Razão: r = 2
Podemos representá-la como mostrado na Figura 1.
Figura 1: Representação de uma Progressão Aritmética
Observe que, do termo a1 para o a2, houve apenas a soma de uma razão. Entre
os termos a1 e a3 , foram duas razões. E, assim, por diante. Por isso, podemos
esquematizar a seguinte expressão para o termo geral de uma progressão
aritmética.
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟
4.1.2 Soma dos Termos
Quando o célebre matemático Gauss era criança, sua turma foi punida pelo
professor de Matemática. Ele ordenou que todos fizessem a soma de todos os
números inteiros de 1 a 100.
Gauss surpreendeu a todos e entregou a conta em menos de 1 minuto. E aí,
será que nós conseguiremos repetir o feito de Gauss?
Para isso, precisamos notar uma propriedade interessante das progressões
aritméticas. Vejamos a mesma progressão da Figura 1. Percebam que ela possui
um número ímpar de termos.
Figura 2: A média aritmética dos termos equidistantes dos extremos é sempre igual
Nesse caso, note que a média aritmética dos termos equidistantes dos extremos
é sempre igual.
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3 + 15
2=
18
2= 9
5 + 13
2=
18
2= 9
7 + 11
2=
18
2= 9
Como a progressão aritmética mostrada tem número de termos ímpar, a média
aritmética é igual ao termo central, que é 9.
Portanto, a melhor forma de somar os termos de uma PA é utilizando esse fato.
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛 = (𝑎1 + 𝑎𝑛) + (𝑎2 + 𝑎𝑛−1) + ⋯
Acabamos de ver que as somas equidistantes dos extremos são iguais, ou seja:
𝑎2 + 𝑎𝑛−1 = 𝑎1 + 𝑎𝑛
𝑎3 + 𝑎𝑛−2 = 𝑎1 + 𝑎𝑛
𝑎4 + 𝑎𝑛−3 = 𝑎1 + 𝑎𝑛
Por isso, podemos escrever todos esses produtos agrupados. Se a PA tem n
termos, serão n/2 grupos de dois termos.
𝑆𝑛 =(𝑎1 + 𝑎𝑛)
2𝑛
Guarde essa expressão, porque ela resolve muito bem
Vamos treinar essa expressão?
(FCC – ARTESP – Agente de Fiscalização à Regulação de
Transporte) Em um experimento, uma planta recebe a cada dia 5 gotas a mais de água do que havia recebido no dia anterior. Se no 65° dia ela recebeu
374 gotas de água, no 1° dia do experimento ela recebeu: a) 64 gotas.
b) 49 gotas. c) 59 gotas.
d) 44 gotas. e) 54 gotas.
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Comentários: Uma progressão aritmética é caracterizada pelo primeiro termo
e pela razão. Já sabemos que a razão é r = 5. Portanto, o 65º termo é dado
por:
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 ∴ 𝑎65 = 𝑎1 + (65 − 1). 5
374 = 𝑎1 + 64.5 = 𝑎1 + 320 ∴ 𝑎1 = 374 − 320 = 54
Questão 46: E
(FEPESE – PC/SC – 2017 – Escrivão) Uma empresa possui duas
fábricas para produzir o mesmo item. Em novembro de 2017 a fábrica A produz 500 unidades e a fábrica B produz 1100 unidades. A empresa então decide
incrementar mensalmente a produção da fábrica A em 65 unidades e a da
fábrica B em 25 unidades. Desta forma, em dezembro de 2017 a fábrica A produzirá 565 unidades e a fábrica B produzirá 1125 unidades.
Qual o primeiro mês (e ano) que a produção mensal na fábrica A superará a
produção mensal na fábrica B? a) Janeiro de 2019
b) Fevereiro de 2019 c) Março de 2019
d) Abril de 2019 e) Dezembro de 2018
Comentários: Nesse caso, temos a comparação de duas progressões
aritméticas. A produção da fábrica A tem termo inicial igual a 500 e razão igual
a 65 unidades. Podemos escrever:
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 = 500 + (𝑛 − 1). 65
No caso da fábrica B, a produção inicial é de 1100 unidades e ela cresce a uma
razão de 25 unidades por mês. Portanto, temos:
𝑏𝑛 = 𝑏1 + (𝑛 − 1)𝑟 = 1100 + (𝑛 − 1). 25
Queremos encontrar o momento em que a produção de A supera a produção
de B. Basta utilizar as equações fornecidas.
𝑎𝑛 > 𝑏𝑛
500 + 65(𝑛 − 1) > 1100 + 25(𝑛 − 1)
∴ 65(𝑛 − 1) − 25(𝑛 − 1) > 1100 − 500
40(𝑛 − 1) > 600 ∴ 𝑛 − 1 >600
40> 15 ∴ 𝑛 = 15 + 1 > 16 ∴ 𝑛 = 17
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Portanto, somente no 17º mês, a fábrica A supera a fábrica B. Tomem cuidado,
porque o enunciado não falou que as produções se igualavam, mas que a
fábrica A superava, ou seja, se tornava maior que a da fábrica B.
O mês 1 é Novembro de 2017. Como 1 ano tem 12 meses, o mês 13 será
Novembro de 2018. Agora, só precisamos contar.
14: Dezembro de 2018
15: Janeiro de 2019
16: Fevereiro de 2019
17: Março de 2019
Questão 47: C
(CESPE – Câmara dos Deputados – 2014 – Técnico Legislativo) Em determinado colégio, todos os 215 alunos estiveram presentes no primeiro
dia de aula; no segundo dia letivo, 2 alunos faltaram; no terceiro dia, 4 alunos
faltaram; no quarto dia, 6 alunos faltaram, e assim sucessivamente.
Com base nessas informações, julgue os próximos itens, sabendo que o número de alunos presentes às aulas não pode ser negativo.
No vigésimo quinto dia de aula, faltaram 50 alunos.
Comentários: Observe que o número de alunos faltantes segue uma
progressão aritmética com o termo inicial igual a 0 e razão também igual a 2.
Portanto, o termo geral é dado por:
𝑎25 = 𝑎1 + (25 − 1). 2 = 0 + 24.2 = 0 + 48 = 48
Questão 48: Errado
(FAURGS – TJ/RS – 2017 – Técnico Judiciário) Para que a sequência (4x-1, x²-1, x-4) forme uma progressão aritmética, x pode assumir, dentre as
possibilidades abaixo, o valor de: a) -0,5
b) 1,5 c) 2
d) 4 e) 6
Comentários: Para que uma sequência seja uma progressão aritmética, os
termos equidistantes dos extremos devem ter a mesma soma. Ou seja:
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4𝑥 − 1 + 𝑥 − 4 = 2(𝑥2 − 1)
5𝑥 − 5 = 2𝑥2 − 2 ∴ 2𝑥2 − 5𝑥 + 3 = 0
Outra maneira de chegar a essa equação é considerar que a razão deve ser
constante, ou seja:
(𝑥2 − 1) − (4𝑥 − 1) = (𝑥 − 4) − (𝑥2 − 1)
𝑥2 − 1 − 4𝑥 + 1 = 𝑥 − 4 − 𝑥2 + 1
𝑥2 + 𝑥2 − 4𝑥 − 𝑥 = −3 ∴ 2𝑥2 − 5𝑥 + 3 = 0
Na Matemática, todos os caminhos levam à resposta correta. Agora, só
precisamos resolver a Equação do Segundo Grau por meio da Fórmula de
Bhaskara.
𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎=
5 ± √52 − 4.2.3
2.2=
5 ± √25 − 24
4=
5 ± 1
4
Temos, portanto, duas possibilidades para o valor de x:
𝑥1 =5 + 1
4=
6
4=
3
2= 1,5
𝑥2 =5 − 1
4=
4
4= 1
Questão 49: B
4.1.3 Progressões Aritméticas Intercaladas
É muito comum em provas aparecem questões envolvendo duas ou mais PA
intercaladas, como mostrado a seguir.
3 8 7 7 11 6 15 5
𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5 𝑎6 𝑎7 𝑎8
Perceba que, na verdade, tem-se duas sequências intercaladas. Em negrito,
temos uma PA que corresponde aos termos pares da sequência total. Essa PA
tem termo inicial 3 e razão 4. A sequência clara é outra PA, cujo termo inicial é
8 e a razão é -1.
3 8 7 7 11 6 15 5
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𝒂𝟏 𝑎2 𝒂𝟑 𝑎4 𝒂𝟓 𝑎6 𝒂𝟕 𝑎8
É muito comum as questões de prova perguntarem qual é o 16º termo dessa
sequência.
Apresentaremos duas formas de você fazer. A primeira delas é bem possível de
ser feita quando a questão não pede um termo muito avançado, por exemplo, o
milésimo termo.
Basta completar a sequência.
3 8 7 7 11 6 15 5 19 4 23 3 27 2 31 1
𝒂𝟏 𝑎2 𝒂𝟑 𝑎4 𝒂𝟓 𝑎6 𝒂𝟕 𝑎8 𝒂𝟗 𝑎10 𝒂𝟏𝟏 𝑎12 𝒂𝟏𝟑 𝑎14 𝒂𝟏𝟓 𝑎16
Dessa maneira, encontramos que 𝑎16 = 1.
É possível otimizar esse método. Como a questão pediu o 16º termo, basta
pegarmos a sequência dos termos pares.
8 7 6 5 4 3 2 1
𝑎2 𝑎4 𝑎6 𝑎8 𝑎10 𝑎12 𝑎14 𝒂𝟏𝟔
Novamente, chegamos à conclusão de que o termo 𝑎16 = 1.
Agora, vejamos uma forma diferente de fazer. Essa forma é mais difícil, porém,
é bem mais geral e vai te ajudar em questões mais complexas.
Queremos saber o termo a16. Para você entender melhor, vamos calcular
também o a15.
Passo 1: determinar os restos das divisões referentes às posições
procuradas.
Como são 2 sequências intercaladas, devemos calcular os restos das divisões
por 2. Então:
15 dividido por 2 é igual a 7 e deixa resto 1.
16 dividido por 2 é igual a 8 e deixa resto 0.
Passo 2: use o resto para identificar a sequência a qual PA pertence cada
termo.
O termo 15 tem resto 1. Portanto, pertence à sequência que começa com o
termo a1. Isso acontece porque o resto da divisão de 1 por 2 também é igual a
1.
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Vejamos a sequência: a1, a3, a5, a7,…, a15. Perceba que todos as posições 1, 3,
5, 7,…, 15 deixam resto 1 na divisão por 2. Por isso, eles pertencem à mesma
PA.
O termo 16 tem resto 0. Portanto, pertence à sequência que começa com o
termo a2. Isso acontece porque o resto da divisão de 2 por 2 também é igual a
0.
Vejamos a sequência: a2, a4, a6, a7,…, a16. Perceba que todos as posições 2, 4,
6, 8,…, 16 deixam resto 0 na divisão por 2. Por isso, eles pertencem à mesma
PA.
Passo 3: use a fórmula do termo geral a PA em cada uma das PA
Aqui, devemos ter um cuidado.
Já vimos que o termo 15 pertence à sequência do termo 1. Portanto, usaremos
o seguinte:
𝑎15 = 𝑎1 + ( )𝑟
Deixamos os parênteses vazios de propósito. Nós o preencheremos da seguinte
forma. Pegamos o quociente da divisão de 15 por 2, que é 7, e subtraímos o
quociente da divisão de 1 por 2, que é 7.
𝑎15 = 𝑎1 + (7 − 0)𝑟 = 3 + 7.4 = 3 + 28 = 31
Perfeito. Exatamente igual ao que já tínhamos encontrado.
Agora, façamos o mesmo para o 16. Já vimos que ele pertence à sequência do
termo inicial 2.
𝑎15 = 𝑎2 + ( )𝑟
16 dividido por 2 é igual a 8 e deixa resto 0. O quociente da divisão é 8.
2 (porque a PA começa no termo a2) dividido por 2 é igual a 1 e deixa resto 1.
Nos parênteses, colocaremos a diferença entre os quocientes.
𝑎16 = 𝑎2 + (8 − 1)𝑟 = 8 + 7. (−1) = 8 − 7 = 1
Exatamente como tínhamos encontrado.
Você pode ter achado esse método complicado. Porém, caso você o domine,
você resolverá questões de prova em segundos.
No entanto, é normal que você não precise dele. As bancas costumam pedir
termos menores, de modo que sair completando a sequência não se torna
trabalhoso demais.
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(VUNESP – TCE/SP – 2017 – Agente da Fiscalização) Considere
a sequência (10, 15, 13, 18, 16, 21, 19, 24, 22, 27, . . .). A soma do 16o, 17o e 18o termo dessa sequência é igual a:
a) 107. b) 109.
c) 104.
d) 105. e) 110.
Comentários: Nessa sequência, tem-se duas progressões aritméticas
intercaladas. Vejamos os termos ímpares:
𝑎1 = 10, 𝑎3 = 13, 𝑎5 = 16, 𝑎7 = 19
Trata-se de uma PA com termo inicial igual a 10 e razão igual a 3. Assim,
podemos calcular o 17º termo da sequência completa. Note que o 17 dividido
por 2 é igual a 8 e deixa resto 1. Já 1 dividido por 2 é igual a 0 e deixa resto
1. Dessa forma, tem-se:
𝑎17 = 𝑎1 + (8 − 0). 3 = 10 + 8.3 = 10 + 24 = 34
Por outro lado, os termos pares formam uma PA com termo inicial igual a 15
e razão também igual a 3.
𝑎2 = 15, 𝑎4 = 18, 𝑎6 = 21, 𝑎8 = 24
Portanto, podemos calcular o 16º termo. Note que 16 dividido por 2 é igual a
8 e deixa resto 0. Já 2 dividido por 2 é igual a 1 e deixa resto 0. Portanto,
temos:
𝑎16 = 𝑎2 + (8 − 1). 3 = 15 + 7.3 = 15 + 21 = 36
𝑎18 = 𝑎16 + 3 = 36 + 3 = 39
Portanto, a soma solicitada é igual a:
𝑎16 + 𝑎17 + 𝑎18 = 34 + 36 + 39 = 109
Questão 50: B
(VUNESP – TCE/SP – 2017 – Agente da Fiscalização - Administração) Considere a sequência de números naturais 0, 5, 100, 10,
15, 90, 20, 25, 80, 30, …, 10. A diferença entre os números que ocupam as
26a e 22a posições é um número que ocupa, nessa sequência, a posição: a) 8ª
b) 9ª
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c) 7ª
d) 6ª e) 5ª
Comentários: Nessa sequência, tem-se três progressões aritméticas
intercaladas. Vejamos os termos ímpares:
0 5 100 10 15 90 20 25 80 30 … 10
𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5 𝑎6 𝑎7 𝑎8 𝑎9 𝑎10 …
Como queremos os termos nas posições 22ª e 26ª, precisamos calcular os
restos das divisões de 22 e 26 por 3 que são, respectivamente: 1 e 2. Dessa
maneira, o termo a22 está associado à sequência que contém o termo a1, e o
termo a26 está relacionado à PA que contém o termo a2.
Agora, podemos obter os quocientes. 22 dividido por 3 tem quociente 7 e deixa
resto 1. 1 dividido por 3 tem quociente 0 e deixa resto 1. Portanto:
𝑎22 = 𝑎1 + (7 − 0). 10 = 0 + 7.10 = 70
26 dividido por 3 tem quociente 8 e deixa resto 2. 2 dividido por 3 tem
quociente 0 e deixa resto 2. Portanto:
𝑎26 = 𝑎2 + (8 − 0). (10) = 5 + 8.10 = 5 + 80 = 85
Portanto, a diferença entre esses termos é:
𝑎26 − 𝑎22 = 85 − 70 = 15
Questão 51: E
Progressão Geométrica
A Progressão Geométrica é um conceito muito parecido com a Aritmética,
porém, ela cresce pela multiplicação de um termo constante, denominado razão.
Vejamos exemplos:
2, 2, 2, 2, 2. É uma PG com termo inicial 2 e razão q = 1.
2, 4, 8, 16, 32 é uma PG com termo inicial 2 e razão q = 2.
27, 9, 3, 1, 1/3 é uma PG com termo inicial 27 e razão q = 1/3;
Da mesma maneira que vimos para o caso de PA, normalmente precisamos
calcular o termo geral e a soma dos termos.
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4.2.1 Termo Geral
Considere uma PG de exemplo.
2 4 8 16 32 64 128
𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5 𝑎6 𝑎7
Utilizaremos a mesma técnica que fizemos no caso da PA.
Observe que o termo 3 pode ser obtido pelo termo 1 multiplicando pela razão 2
vezes, ou seja, por q².
O termo 6 pode ser obtido multiplicando pelo termo 1 multiplicando pela razão
5 vezes, ou seja, por q5.
Sendo assim, de maneira geral, pode-se escrever:
𝑎𝑛 = 𝑎1𝑞𝑛−1
4.2.2 Soma dos Termos
Considere a soma dos termos de uma PG.
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛
Já vimos a expressão do termo geral.
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎1𝑞 + 𝑎1𝑞2 + ⋯ + 𝑎1𝑞𝑛−1
Agora, podemos fazer um jogo com essa soma multiplicando pela razão q.
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎1𝑞 𝑎1𝑞2 + + ⋯ + 𝑎1𝑞𝑛−1
𝑆𝑛𝑞 = 𝑎1𝑞 + 𝑎1𝑞2 𝑎1𝑞3 + + ⋯ + 𝑎1𝑞𝑛
Agora, podemos organizar um pouco melhor.
𝑆𝑛𝑞 = 𝑎1𝑞 + 𝑎1𝑞2 + ⋯ + 𝑎1𝑞𝑛−1 + 𝑎1𝑞𝑛
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎1𝑞 𝑎1𝑞2 + + ⋯ + 𝑎1𝑞𝑛−1
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Agora, basta subtrair uma equação da outra. Note que muitos termos serão
cortados.
𝑆𝑛𝑞 = 𝑎1𝑞 + 𝑎1𝑞2 + ⋯ + 𝑎1𝑞𝑛−1 + 𝑎1𝑞𝑛
− 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎1𝑞 𝑎1𝑞2 + + ⋯ + 𝑎1𝑞𝑛−1
𝑆𝑛(𝑞 − 1) = −𝑎1 +𝑎1𝑞𝑛
Agora, podemos extrair a expressão para a soma dos termos de uma PG.
𝑆𝑛(𝑞 − 1) = 𝑎1𝑞𝑛 − 𝑎1 = 𝑎1(𝑞𝑛 − 1)
∴ 𝑆𝑛 = 𝑎1
𝑞𝑛 − 1
𝑞 − 1
4.2.3 Soma dos Termos de uma PG Infinita
Suponha que você anda 100 metros. Depois, você anda 50 metros. Depois, você
anda 25 metros, depois 12,5 metros – sempre metade do que você andou
anteriormente. Quanto você andará ao final?
Observe que o que temos é exatamente uma progressão geométrica infinita.
Porém, essa PG é decrescente.
Já vimos que a soma dos termos de uma PG é dado por:
𝑆𝑛 = 𝑎1
𝑞𝑛 − 1
𝑞 − 1
Porém, no caso de uma PG infinita com razão 0 < q < 1, teremos que 𝑞𝑛 → 0.
Com 𝑞𝑛 → 0 queremos dizer que, quanto maior for o expoente, mais próximo de
zero será esse termo. Você pode constatar isso pegando uma calculadora.
Escreva 0,5 e multiplique por 0,5 várias vezes. Você venderá que, após algumas
iterações, o produto calculado estará próximo de zero.
Portanto, substituindo, teremos:
𝑆∞ = 𝑎1
0 − 1
𝑞 − 1= 𝑎1
−1
𝑞 − 1=
𝑎1
1 − 𝑞
𝑆∞ =𝑎1
1 − 𝑞
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E aqui terminamos nossa aula 00. Espero que tenha sido muito proveitosa para
você.
(FADESP – COSANPA – 2017 – Técnico Industrial – Saneamento) O Lago Bolonha é o principal reservatório de abastecimento de água da Região
Metropolitana de Belém, e o controle da quantidade de algas e bactérias que nele habitam é importante. Sabe-se que, em condições favoráveis, o número
de bactérias em uma colônia cresce segundo uma progressão geométrica. Se uma certa colônia, inicialmente com cerca de 1.000 bactérias, quadruplica seu
número de bactérias a cada 24 horas, o número de bactérias ultrapassará
1.000.000 no decorrer do: a) terceiro dia.
b) quarto dia. c) quinto dia.
d) décimo dia.
Comentários: O número de bactérias segue uma progressão geométrica. Seja
an a população de bactérias no começo do dia, isso será uma PG, cujo primeiro
termo é igual a 1.000 e a razão é q = 4. Portanto, temos:
𝑎𝑛 = 𝑎1(𝑞𝑛 − 1) > 1000000
Queremos que o número de bactérias ultrapasse 1000000, por isso,
escrevemos o sinal de maior.
1000. (4𝑛 − 1) > 1000000 ∴ 4𝑛 − 1 >1000000
1000= 1000
4𝑛 > 1000 + 1 = 1001 ∴ 𝑛 > 5 ∴ 𝑛 = 6
Agora, devemos ter cuidado com a nossa resposta. Como dissemos, o an
corresponde à população de bactérias no início do dia. Portanto, no sexto dia,
a colônia iniciará com mais de 1000000 de bactérias.
No quinto dia, a colônia iniciará com menos de 1000000 de bactérias, mas
ultrapassará esse valor. É exatamente o que foi pedido pelo enunciado.
Questão 52: C
(IBFC – MGS – 2017) Considerando a solução do sistema linear
2𝑥 + 𝑦 = 7
𝑥 + 2𝑦 = 8
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E sabendo que o valor de x e o valor de y são, respectivamente, o primeiro
termo e a razão de uma progressão geométrica, então o quinto termo dessa PG é:
a) 54 b) 486
c) 24 d) 162
Comentários: Podemos resolver um sistema linear de duas equações e duas
incógnitas tanto pelo método da adição como pelo método da substituição.
No entanto, esse em particular, pode ser resolvido ainda mais facilmente
somando as duas equações:
2𝑥 + 𝑦 = 7
+ 𝑥 + 2𝑦 = 8
3𝑥 + 3𝑦 = 7 + 8 = 15
3𝑥 + 3𝑦 = 15 ∴ 𝑥 + 𝑦 =15
3= 5
Agora, podemos substituir a soma encontrada nas equações fornecidas:
2𝑥 + 𝑦 = 𝑥 + 𝑥 + 𝑦 = 7 ∴ 𝑥 + 5 = 7 ∴ 𝑥 = 2
𝑥 + 𝑦 = 5 ∴ 2 + 𝑦 = 5 ∴ 𝑦 = 5 − 2 = 3
Portanto, já sabemos o primeiro termo e a razão da PG:
𝑎1 = 𝑥 = 2
𝑞 = 𝑦 = 3
Portanto, o quinto termo da PG é dado pela fórmula do termo geral:
𝑎𝑛 = 𝑎1𝑞𝑛−1 = 2.35−1 = 2.34 = 2.81 = 162
Questão 53: C
(CESGRANRIO – Petrobrás – 2017 – Técnico de Enfermagem) A
soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica é dada por 𝑆𝑛 =3𝑛+4−81
2.3𝑛. Quanto vale o quarto termo dessa progressão geométrica?
a) 1
b) 3 c) 27
d) 39 e) 40
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Comentários: Existem dois jeitos interessantes de fazer essa questão.
O primeiro consiste em notar que a soma dos quatro primeiros termos é igual
a:
𝑆4 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 = (𝑆3) + 𝑎4
∴ 𝑎4 = 𝑆4 − 𝑆3
Agora, basta calcular cada uma das somas.
𝑆4 =34+4 − 81
2.34=
34. 34 − 81
2.81=
34 − 1
2=
81 − 1
2=
80
2= 40
𝑆3 =33+4 − 81
2.33=
33. 34 − 81
2.27=
34 − 3
2=
81 − 3
2=
78
2= 39
𝑎4 = 𝑆4 − 𝑆3 = 40 − 39 = 1
Outra maneira de resolver o mesmo problema é comparando a expressão
fornecida com a soma dos termos de uma PG:
𝑆𝑛 =3𝑛+4 − 81
2.3𝑛= 𝑎1
𝑞𝑛 − 1
𝑞 − 1
Embaixo não podemos ter nenhuma potência de n, portanto, façamos a divisão
por 3n.
𝑆𝑛 =3𝑛+4−𝑛 − 81.3−𝑛
2=
34 − 81.3−𝑛
3 − 1=
34(1 − 3−𝑛)
3 − 1
Agora, usando as propriedades da potência, temos que:
3−𝑛 = (1
3)
𝑛
∴ 𝑆𝑛 = 81[1 − (
13)
𝑛
]
3 − 1= 81
[(13)
𝑛
− 1]
1 − 3=
81
3
[(13)
𝑛
− 1]
13
− 1 = 27
[(13)
𝑛
− 1]
13
− 1
Portanto, temos uma PG com as seguintes características:
𝑎1 = 27, 𝑞 =1
3
Agora, basta utilizar a expressão geral para calcular o quarto termo.
𝑎𝑛 = 𝑎1𝑞𝑛−1 ∴ 𝑎4 = 27. (1
3)
4−1
= 27. (1
3)
3
=27
27= 1
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Questão 54: A
(CESPE – BRB – 2011 – Escriturário) Considerando que, em uma
progressão aritmética de termos ..., ..., a razão seja positiva, =
2 e os termos estejam, nessa ordem, em progressão geométrica,
julgue os itens a seguir.
Para cada n ímpar, an sempre será um número par.
Comentários: Para a progressão aritmética, podemos escrever:
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟
∴ 𝑎3 = 2 + (3 − 1)𝑟 = 2 + 2𝑟
∴ 𝑎11 = 2 + (11 − 1)𝑟 = 2 + 10𝑟
Agora, queremos que a1, a3 e a11 estejam em progressão geométrica. Para
isso, devemos ter uma razão q, de modo que:
𝑎3 = 𝑎1𝑞 ∴ 𝑞 =𝑎3
𝑎1
𝑎11 = 𝑎3𝑞 ∴ 𝑞 =𝑎11
𝑎3
Chegamos a uma igualdade envolvendo a razão da PG. Agora, podemos
resolver o problema:
𝑞 =𝑎11
𝑎3=
𝑎3
𝑎1
2 + 10𝑟
2 + 2𝑟=
2 + 2𝑟
2
Usando as propriedades de razão e proporção, podemos subtrair o
denominador do numerador
2 + 10𝑟 − 2 − 2𝑟
2 + 2𝑟=
2 + 2𝑟 − 2
2
8𝑟
2 + 2𝑟=
2𝑟
2= 𝑟
8𝑟
2 + 2𝑟= 𝑟
Como a razão é positiva, temos que ela não pode ser zero. Por isso, podemos
cortar o r de ambos os lados.
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∴8
2 + 2𝑟= 1 ∴ 8 = 2 + 2𝑟 ∴ 2𝑟 = 8 − 2 = 6 ∴ 𝑟 =
6
2= 3
Agora, podemos calcular os termos da PA:
𝑎𝑛 = 2 + (𝑛 − 1)3 = 2 + 3(𝑛 − 1)
Para n ímpar, o número n-1 será par, portanto, 3(n-1) também será par. O
termo ímpar será a soma de 2 com outro número par, logo, todos os termos
a1, a3, a5 etc. são pares.
Questão 55: Certo
A razão dessa progressão aritmética será um número racional, não
inteiro.
Comentários: Como vimos, a razão da progressão aritmética é igual a 3.
Portanto, é um número inteiro.
Questão 56: Errado
A média aritmética de 3 termos quaisquer dessa progressão aritmética será sempre um número inteiro.
Comentários: Questão interessante. Tomemos três termos quaisquer da PA
citadas.
𝑎𝑛1, 𝑎𝑛2
, 𝑎𝑛3
Temos que:
𝑎𝑛1= 2 + (𝑛1 − 1)3 = 2 + 3(𝑛1 − 1)
𝑎𝑛2= 2 + (𝑛2 − 1)3 = 2 + 3(𝑛2 − 1)
𝑎𝑛3= 2 + (𝑛3 − 1)3 = 2 + 3(𝑛3 − 1)
Agora, a média aritmética entre esses três termos é:
�̅� =𝑎𝑛1
+ 𝑎𝑛2+ 𝑎𝑛3
3=
2 + 3(𝑛1 − 1) + 2 + 3(𝑛2 − 1) + 2 + 3(𝑛3 − 1)
3
=6 + 3(𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 − 3)
3= 2 + 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 − 3 = 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 − 1
Que interessante. Como n1, n2 e n3 são números inteiros, temos que, de fato,
temos que, quaisquer que sejam os três termos escolhidos, a média aritmética
entre eles será um número inteiro.
Você pode, ainda, testar com os primeiros termos da sequência.
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2 5 8 11 14 17 20
𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5 𝑎6 𝑎7
Questão 57: Certo
(FCC – Funape – 2017 – Analista em Gestão Previdenciária)
Na sequência (100.000; 90.000; 81.000; 72.900; ...), o segundo termo não
inteiro é o que está na posição: a) 6
b) 5 c) 7
d) 8 e) 9
Comentários: Observe que a sequência mostrada é uma progressão
geométrica.
𝑎2 = 𝑎1.9
10= 10000.
9
10= 90000
𝑎3 = 𝑎2.9
10= 90000.
9
10= 81000
𝑎4 = 𝑎3.9
10= 81000.
9
10= 72900
Tem-se que o primeiro termo é 100.000 e a razão da PG é q = 1/9. Portanto,
o termo geral será dado por:
𝑎𝑛 = 𝑎1𝑞𝑛−1 = 100000. (9
10)
𝑛−1
= 105.9𝑛−1
10𝑛−1
Para termos um termo não inteiro, precisamos que:
5 < 𝑛 − 1 ∴ 𝑛 > 5 + 1 = 6 ∴ 𝑛 = {7,8,9 … }
Portanto, os termos não-inteiros serão o a7, a8, por aí em diante. Dessa forma,
o segundo termo não-inteiro será o oitavo.
Questão 58: D
(CESPE – Banco da Amazônia – 2012 – Técnico Científico) Em média, chegam cinco clientes por minuto no setor de caixas de uma agência
bancária. Supondo que a distribuição das chegadas dos clientes não dependa da hora do dia e que os clientes cheguem de modo independente uns dos
outros, a probabilidade de chegar exatamente k clientes em determinado
minuto é expressa por: 𝑝(𝑘) =5𝑘
𝑘!𝑒−5 em que k = 0, 1, 2, 3, … e e é a base dos
logaritmos neperianos.
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Considerando 0,007 como valor aproximado para e-5, julgue os próximos
itens, relativos à movimentação de clientes acima descrita.
A sequência p(0), p(1), p(2), p(3), . . . é uma progressão geométrica de razão menor que 1.
Obs.: A expressão k! corresponde ao produto de todos os números inteiros até k. Ou seja:
0! = 1 1! = 1
2! = 2.1 = 2 3! = 3.2.1 = 6
Comentários: Uma questão bem interessante. Caso você estude Estatística
em algum momento, verá que o processo se trata de uma Distribuição de
Poisson.
No entanto, não é preciso saber de nada disso para descobrir se a sequência
é ou não uma PG.
Basta calcular os primeiros termos.
𝑝(0) =50
0!𝑒−5 =
1
10,007 = 0,007
𝑝(1) =51
1!𝑒−5 =
5
10,007 = 0,035
𝑝(2) =52
2!𝑒−5 =
25
20,007 = 0,0875
Perceba, portanto, que não se trata de uma PG. A razão entre os dois primeiros
termos é:
𝑝(1)
𝑝(0)=
0,035
0,007= 5
A razão entre o segundo e o terceiro termos é:
𝑝(2)
𝑝(1)=
0,0875
0,035=
875
350
Uma dica que podemos dar é que sempre que o denominador de uma fração
termina em 5, podemos multiplicar por 2. Quando ela termina em 25, podemos
multiplicar por 4. Isso facilitará as contas.
𝑝(2)
𝑝(1)=
875.2
350.2=
1750
700=
175
70=
25
10= 2,5
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Agora, perceba que as razões encontradas foram diferentes. E isso mostra que
a sequência citada não é uma progressão geométrica.
Questão 59: Certo
Sequências de Termo Geral Misto
É muito comum em provas de Raciocínio Lógico pedir que o próximo termo uma
sequência que é formada como uma mistura de uma PA com uma PG.
Existem basicamente três formas que as bancas utilizam para criar suas
sequências mistas.
Sequências Intercaladas: já vimos na Seção 4.1.3 como essa situação
pode acontecer com duas progressões aritméticas. Nada impede, porém,
que a banca intercale uma PA com uma PG.
8 8 6 4 4 2 2 1
𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5 𝑎6 𝑎7 𝑎8
Esse é um exemplo. Observe que os termos ímpares correspondem a uma PA
de termo inicial igual a 8 e razão -2. Já os termos pares correspondem a uma
PG de termo inicial igual a 8 e razão 1/2.
Ficará mais fácil de enxergar quando colocamos os termos pares em negrito.
8 8 6 4 4 2 2 1
𝑎1 𝒂𝟐 𝑎3 𝒂𝟒 𝑎5 𝒂𝟔 𝑎7 𝒂𝟖
Soma de uma PA com uma PG: essa é a situação mais comum.
0 1 3 7 15 31 63 127
𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5 𝑎6 𝑎7 𝑎8
Uma dica que posso dar é que sempre que vemos os termos crescendo
rapidamente, devemos desconfiar da existência de uma PG.
Agora, podemos resolver facilmente essa sequência, notando que se trata de
uma PG de razão 2 em que cada termo foi subtraído de 1.
1-1 2-1 4-1 8-1 16-1 32-1 64-1 128-1
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𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5 𝑎6 𝑎7 𝑎8
Assim podemos estabelecer os próximos termos facilmente.
1-1 2-1 4-1 8-1 16-1 32-1 64-1 128-1 256-1 512-1
𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5 𝑎6 𝑎7 𝑎8 𝑎9 𝑎10
Chegamos que:
𝑎9 = 256 − 1 = 255
𝑎10 = 512 − 1 = 511
Razão Mista: é comum termos uma “PG” cuja razão cresce conforme uma
PA. Ou até mesmo uma “PA” cuja razão também vai crescendo como uma
PA. Vejamos exemplos dos dois casos.
Dica: sempre que temos números fracionários alternados com números inteiros,
é provável que estejamos tratando dessa situação.
1 3/2 5/2 4 6
𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5
Essa sequência pode parecer estranha à primeira vista. Porém, facilita muito se
colocarmos todos os termos no mesmo denominador.
2/2 3/2 5/2 8/2 12/2
𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5
Agora, note que:
𝑎2 = 𝑎1 +1
2= 1 +
1
2=
3
2
𝑎3 = 𝑎2 +2
2=
3
2+
2
2=
5
2
𝑎4 = 𝑎3 +3
2=
5
2+
3
2=
8
2= 4
𝑎5 = 𝑎4 +4
2= 4 +
4
2= 4 + 2 = 6
Agora, podemos resolver tranquilamente e identificar os próximos termos da
sequência.
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𝑎6 = 𝑎5 +5
2= 6 +
5
2=
10
2+
5
2=
15
2
𝑎7 = 𝑎6 +6
2=
15
2+ 3 =
15 + 6
2=
21
2
𝑎8 = 𝑎7 +7
2=
21
2+
7
2=
28
2= 14
Agora, podemos completar a tabela:
1 3/2 5/2 4 6 15/2 21/2 14
𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5 𝑎6 𝑎7 𝑎8
Vamos a algumas questões de prova sobre esse assunto?
(CONSULPLAN – TRE/RJ – 2017 – Técnico Judiciário – Operação de Computadores) Os termos de uma determinada sequência foram
sucessivamente obtidos seguindo um determinado padrão: (5, 9, 17, 33, 65, 129...)
O décimo segundo termo da sequência anterior é um número:
a) menor que 8.000. b) maior que 10.000.
c) compreendido entre 8.100 e 9.000. d) compreendido entre 9.000 e 10.000.
Comentários: Sempre que os termos de uma sequência crescem rápido
demais, devemos desconfiar de que se trata de uma PG, ainda que disfarçada.
Podemos, então, perceber que a sequência é a soma de uma PG com uma PA.
4+1 8+1 16+1 32+1 64+1 128+1
𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5 𝑎6
Podemos, portanto, escrever nossa sequência como:
𝑎𝑛 = 𝑏𝑛 + 1
O termo bn corresponde a uma PG de termo inicial 4 e razão 2. Portanto, o
décimo segundo termo será:
𝑏12 = 𝑏1. 𝑞12−1 = 4.211 = 4.2048 = 8192
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Questão 60: C
(VUNESP – Câmara Municipal de Itatiba / SP – 2015 – Técnico em Informática) Na sequência 2, 8/3, 4, 6, 26/3,..., há uma regularidade.
Mantida essa regularidade, o próximo elemento da sequência será:
a) 28/3 b) 10
c) 34/3 d) 12
e) 38/3
Comentários: Sempre que temos uma mistura entre números fracionários e
inteiros, devemos desconfiar que temos uma “PA” com uma razão crescente.
Podemos, ainda, re-escrever a sequência da seguinte maneira:
2 8/3 4 6 26/3
6/3 8/3 12/3 18/3 26/3
Perceba que a razão da PA vai crescendo de 2/3 em 2/3.
𝑎1 = 2
𝑎2 = 𝑎1 +2
3= 2 +
2
3=
8
3
𝑎3 = 𝑎2 +4
3=
8
3+
4
3=
12
3= 4
𝑎4 = 𝑎3 +6
3=
12
3+
6
3=
18
3= 6
𝑎5 = 𝑎4 +8
3=
18
3+
8
3=
26
3
𝑎6 = 𝑎5 +10
3=
26
3+
10
3=
36
3= 12
Questão 61: D
(VUNESP – MPE/SP – 2016 – Analista Técnico-Científico) Na
sequência (4; 4; 6; 12; 30; 90; . . .), a partir do 2° termo, cada termo é obtido por meio de uma operação, ou operações, aplicada(s) ao termo imediatamente
anterior. O 7° termo somado ao 10° termo, ambos dessa sequência, resultam em:
a) 5445 b) 7020
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c) 27035
d) 28665 e) 29610
Comentários: Quando os termos de uma sequência crescem muito rápido,
devemos desconfiar que se trata de uma PG, ainda que disfarçada.
No caso, note que:
𝑎1 = 4
𝑎2 = 𝑎1.2
2= 4.1 = 4
𝑎3 = 𝑎2.3
2= 4.
3
2= −31
𝑎4 = 𝑎3.4
2= 6.
4
2= 12
𝑎5 = 𝑎4.5
2= 12.
5
2= 30
𝑎6 = 𝑎5.6
2= 30.
6
2= 90
Agora, basta continuar a sequência.
𝑎7 = 𝑎6.7
2= 90.
7
2= 315
𝑎8 = 𝑎7.8
2= 315.
8
2= 1260
𝑎9 = 𝑎8.9
2= 1260.
9
2= 5670
𝑎10 = 𝑎9.10
2= 1260.
10
2= 28350
Portanto, a soma pedida no enunciado é igual a:
𝑎7 + 𝑎10 = 315 + 28350 = 28665
Questão 62: D
Chegamos ao final da nossa aula demonstrativa.
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Espero ver você na nossa próxima aula 01 já como aluno efetivo.
Forte abraço!
Thiago Cardoso.
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5 Anotações
Acompanhamento do Aluno
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COMPLEMENTO DO ALUNO
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6 Lista de Questões
Enunciados
1. (FGV – IBGE – 2017 – Agente Censitário Administrativo) Na equipe
de Mário há 6 mulheres a mais do que homens. Sabendo que essa equipe tem
ao todo 60 membros, a razão do número de mulheres para o número de homens
é:
a) 6/5
b) 5/4
c) 3/5
d) 20/11
e) 11/9
2. (CESPE – INPI – 2013 – Técnico em Propriedade Industrial) Em um
processo de pedido de patentes de um novo equipamento consta um desenho
esquemático, desse mesmo equipamento, na escala 1:200. Com base nessa
informação, julgue os itens a seguir.
Se o raio do parafuso no referido desenho for 0,05 cm, então o raio do parafuso
real será 1 cm.
3. (FGV – IBGE – 2017 – Recenseador) A quantia de 900 mil reais deve
ser dividida em partes proporcionais aos números 4, 5 e 6. A menor dessas
partes corresponde a:
a) 210 mil reais
b) 240 mil reais
c) 270 mil reais
d) 300 mil reais
e) 360 mil reais
4. (FGV – IBGE – 2017 – Recenseador) A quantia de 900 mil reais deve
ser dividida em partes proporcionais aos números 4, 5 e 6. A menor dessas
partes corresponde a:
a) 210 mil reais
b) 240 mil reais
c) 270 mil reais
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d) 300 mil reais
e) 360 mil reais
(CESPE – MEC – 2009 – Agente Administrativo) Levando em consideração
que, em um supermercado, há biscoitos recheados de chocolate em embalagens
de 130 g, 140 g e 150 g, com preços de R$ 1,58, R$ 1,68 e R$ 1,80,
respectivamente, julgue os itens a seguir.
5. Proporcionalmente, os biscoitos nas embalagens de 130 g são mais
baratos que aqueles nas embalagens de 140 g.
6. Proporcionalmente, os biscoitos nas embalagens de 140 g e 150 g saem
pelo mesmo preço.
7. (FGV – Prefeitura de Osasco/SP – 2014 – Agente de Defesa Civil)
Em uma equipe operacional com 24 membros, a razão entre o número de
mulheres e o número de homens é 3 /5. Nessa equipe, o número de homens a
mais do que o de mulheres é de:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 8
8. (VUNESP – TCE/SP – 2017 – Agente da Fiscalização -
Administração) Gabriel está no ponto A, e Felipe, no ponto B. Eles iniciam
simultaneamente uma caminhada, e pelo mesmo percurso; Gabriel no sentido
de A até B, e Felipe no sentido de B até A. Numa primeira etapa, Gabriel
percorreu 1/5 da distância entre A e B, e Felipe percorreu 1/6 dessa mesma
distância. Na segunda etapa, Gabriel percorreu o equivalente à quarta parte do
que faltava a Felipe percorrer ao final da primeira etapa, e Felipe percorreu o
equivalente à terça parte do que faltava a Gabriel percorrer ao final da primeira
etapa. Sabe-se que, após a segunda etapa, a distância que os separa é de 6,65
km. Nessas condições, é correto afirmar que a distância total que separa os
pontos A e B é, em quilômetros, igual a:
a) 40
b) 44
c) 43
d) 41
e) 42
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9. (FCC – TST – 2017 – Técnico Judiciário – Segurança Judiciária) Em
uma empresa, trabalham oito funcionários, na mesma função, mas com cargas
horárias diferentes: um deles trabalha 32 horas semanais, um trabalha 24 horas
semanais, um trabalha 20 horas semanais, três trabalham 16 horas semanais
e, por fim, dois deles trabalham 12 horas semanais. No final do ano, a empresa
distribuirá um bônus total de R$ 74.000,00 entre esses oito funcionários, de
forma que a parte de cada um seja diretamente proporcional à sua carga horária
semanal.
Dessa forma, nessa equipe de funcionários, a diferença entre o maior e o menor
bônus individual será, em R$, de:
a) 10.000,00.
b) 8.000,00.
c) 20.000,00.
d) 12.000,00.
e) 6.000,00.
10. (VUNESP – UNIFESP – 2016 – Técnico de Segurança do Trabalho)
Em uma casa, a razão entre o número de copos coloridos e o número de copos
transparentes é 3/5. Após a compra de mais 2 copos coloridos, a razão entre o
número de copos coloridos e o número de copos transparentes passou a ser 2/3.
O número de copos coloridos nessa casa, após a compra, é:
a) 24
b) 23
c) 22
d) 21
e) 20
11. (FCC – SEGEP/MA – 2016 – Técnico da Receita Estadual –
Arrecadação e Fiscalização de Mercadorias em Trânsito) Caberá a cada
um dos doze funcionários de uma repartição, acompanhar um determinado
número de um total de 360 projetos. Esse número de projetos deverá ser
diretamente proporcional ao número de anos de serviço de cada funcionário.
Sabe-se que três dos doze funcionários têm 4 anos de serviço, cinco deles têm
6 anos de serviço, três deles têm 7 anos de serviço e um deles tem 9 anos de
serviço. Dessa maneira, o total de projetos que serão acompanhados pelo grupo
dos mais jovens, em serviço, superará o número de projetos que o mais velho,
em serviço, acompanhará, em um número igual a:
a) 20
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b) 12
c) 45
d) 30
e) 15
12. (FCC – TRF (3ª Região) – 2016 – Analista Judiciário – Área
Administrativa) Uma herança de R$ 82.000,00 será repartida de modo
inversamente proporcional às idades, em anos completos, dos três herdeiros. As
idades dos herdeiros são: 2, 3 e x anos. Sabe-se que os números que
correspondem às idades dos herdeiros são números primos entre si (o maior
divisor comum dos três números é o número 1) e que foi R$ 42.000,00 a parte
da herança que o herdeiro com 2 anos recebeu. A partir dessas informações o
valor de x é igual a:
a) 7
b) 5
c) 11
d) 1
e) 13
13. (FCC – DPE/RS – 2017 – Analista Processual) O diretor de uma
empresa designou uma quantia que será distribuída para os três melhores
funcionários do ano. O prêmio de cada um será inversamente proporcional ao
total de pontos negativos que cada um obteve em suas respectivas avaliações.
O funcionário que mais recebeu tinha uma avaliação com apenas 12 pontos
negativos, o segundo colocado obteve 15 pontos negativos e o terceiro colocado
com 21 pontos negativos. Sabendo que a quantia total a ser distribuída é R$
24.900,00, o maior prêmio superará o menor prêmio em exatos:
a) R$2.420,00
b) R$ 3.990,00
c) R$ 7.530,00
d) R$ 6.180,00
e) R$ 4.500,00
14. (CESPE – FUB – 2011 – Assistente de Administração) Na proporção
x/5 = y/7 = z/11, sabe-se que 2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 250.
Nesse caso, é correto afirmar que 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 < 110.
15. (CESPE – MDIC – 2014 – Agente Administrativo) Caso toda a
produção de uma fábrica seja destinada aos públicos infantil, jovem e adulto, de
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modo que as porcentagens da produção destinadas a cada um desses públicos
sejam inversamente proporcionais, respectivamente, aos números 2, 3 e 6,
então mais de 30% da produção dessa fábrica destinar-se-á ao público jovem.
16. (FTC – Inédita – 2017) Com uma área de absorção de raios solares de
1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400
watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a
energia produzida?
17. (FTC – 2017 – Inédita) Um trem, deslocando-se a uma velocidade
média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo
faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?
18. (FGV-MRE-2016) Em um supermercado uma embalagem com certa
quantidade de frios fatiados estava com a etiqueta abaixo sem a informação
R$/kg.
O preço aproximado de 1,0kg desse produto é:
a) R$20,50
b) R$21,10
c) R$21,80
d) R$22,30
e) R$22,90
19. (Vunesp – MPE-SP – 2016) Para as cadeiras em um auditório, 6
funcionários, todos com a mesma capacidade de produção, trabalharam por 3
horas. Para fazer o mesmo trabalho, 20 funcionários, todos com o mesmo
rendimento dos iniciais, deveriam trabalhar um total de tempo, em minutos,
igual a:
a) 48
b) 50
c) 46
d) 54
e) 52
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20. (CESPE – CPRM – 2016) Três caminhões de lixo que trabalham durante
doze horas com a mesma produtividade recolhem o lixo de determinada cidade.
Nesse caso, cinco desses caminhões, todos com a mesma produtividade,
recolherão o lixo dessa cidade trabalhando durante:
a) 6 horas
b) 7 horas e 12 minutos
c) 7 horas e 20 minutos
d) 8 horas
e) 4 horas e 48 minutos
21. (FCC – Copergás – 2016 – Técnico Operacional Mecânico) Com 15
máquinas de asfaltar ruas, a prefeitura de uma cidade pode terminar a obra que
pretende fazer em exatos 42 dias de trabalho. O prefeito pretende diminuir esse
prazo e está disposto a trazer mais máquinas, além das 15 máquinas
disponíveis, para executarem essa obra em 35 dias. O número de máquinas,
que o prefeito precisará acrescentar para conseguir o seu intento, é igual a:
a) 5
b) 9
c) 4
d) 3
e) 7
22. (FGV – Analista Legislativo – 2015) João, quando chega à sua oficina
de artesanato, leva meia hora para arrumar suas ferramentas e depois inicia
imediatamente seu trabalho. Nesse trabalho, João produz 12 peças a cada 20
minutos. Certo dia, João chegou à oficina às 8 horas da manhã e trabalhou sem
parar até sair da oficina, ao meio-dia.
O número de peças que João produziu nesse dia foi:
a) 96
b) 108
c) 120
d) 126
e) 144
23. (CESPE – ANTAQ – 2014 – Analista Administrativo) Uma
concessionária ganhou a concessão para explorar economicamente uma rodovia
federal pelo período de 20 anos. A concessionária realizará melhorias na via
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como a duplicação de trechos, manutenção do asfalto, da iluminação, reforço na
sinalização.
Considerando que a concessionária esteja autorizada a cobrar pedágios, julgue
o item subsequente.
Considere que 12 empregados da concessionária, trabalhando 6 horas por dia e
no mesmo ritmo, constroem 3 km de rodovia em 9 dias. Nessa situação, 24
empregados, trabalhando 6 horas por dia e no mesmo ritmo do grupo inicial,
construirão 6 km de estrada em 6 dias.
24. (FCC – DPE/RS – 2017 – Analista – Administração) Um grupo de 8
funcionários analisou 32 propostas de reestruturação de um determinado setor
de uma empresa em 16 horas de trabalho. Para analisar 48 dessas propostas,
em 12 horas de trabalho, um outro grupo de funcionários, em igualdade de
condições do grupo anterior, deverá ser composto por um número de pessoas
igual a:
a) 18
b) 12
c) 16
d) 14
e) 20
25. (CESPE – STM – 2011) Seis juízes foram encarregados de analisar
alguns processos e concluíram esse trabalho em treze dias. Sabendo que cada
juiz levou três dias para analisar cada processo e que todos os juízes
trabalharam nesse ritmo, julgue os itens seguintes.
Quatro juízes analisaram dez processos em sete dias.
26. (FGV – Senado Federal – 2008 – Consultor de Orçamento) Admita
que 3 operários, trabalhando 8 horas por dia, construam um muro de 36 metros
em 5 dias. O tempo necessário para que 5 operários, trabalhando 6 horas por
dia, construam um muro de 30 metros é de:
a) 3 dias mais 2 horas.
b) 3 dias mais 4 horas.
c) 3 dias mais 8 horas.
d) 4 dias mais 3 horas.
e) 4 dias mais 4 horas.
27. (CESPE – CPRM – 2016 – Técnico em Geociências – Hidrologia) Por
10 torneiras, todas de um mesmo tipo e com igual vazão, fluem 600 L de água
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em 40 minutos. Assim, por 12 dessas torneiras, todas do mesmo tipo e com a
mesma vazão, em 50 minutos fluirão:
a) 625L de água
b) 576L de água
c) 400L de água
d) 900L de água
e) 750L de água
28. (FCC – Prefeitura de Teresina / PI – 2016 – Técnico de Nível
Superior – Administrador) Em uma empresa, um prêmio em dinheiro foi
dividido entre 3 funcionários (Antônio, Bento e Celso) em partes diretamente
proporcionais ao tempo de serviço de cada um na empresa e inversamente
proporcionais ao número de faltas injustificadas deles dentro de um período. O
quadro abaixo forneceu as informações necessárias para o cálculo desta divisão.
Se Celso recebeu R$ 13.500,00, então Antônio recebeu, em reais,
a) 12.000,00
b) 9.000,00
c) 27.000,00
d) 18.000,00
e) 22.500,00
Comentários: O enunciado já nos forneceu todas as informações.
29. (CESPE – PRF – 2013) Considerando que uma equipe de 30 operários,
igualmente produtivos, construa uma estrada de 10 km de extensão em 30 dias,
julgue os próximos itens.
Se a tarefa estiver sendo realizada pela equipe inicial de 30 operários e, no início
do quinto dia, 2 operários abandonarem a equipe, e não forem substituídos,
então essa perda ocasionará atraso de 10 dias no prazo de conclusão da obra.
30. (CESPE – INPI – 2013 – Técnico em Propriedade Industrial)
Sabendo que, para produzir 5 unidades de determinado produto, é necessário 2
operários trabalhando 6 horas por dia durante 3 dias, julgue os itens seguintes.
Se, para cada trabalhador, o custo de produção de cada unidade aumentar 2%
por hora trabalhada além das 8 horas diárias, então, ao produzir 10 unidades,
com somente dois trabalhadores, em dois dias, o custo diminuirá em 40%.
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31. (FTC – 2017 – Inédita) Joana assistiu 2 aulas de Matemática Financeira.
Sabendo que o curso que ela comprou possui um total de 8 aulas, qual é o
percentual de aulas já assistidas por Joana?
32. (FGV – COMPESA – 2016 – Assistente de Saneamento e Gestão) O
resultado da divisão de 100% por 20% é:
a) 0,5%
b) 5%
c) 50%
d) 500%
e) 5000%
33. (CESPE – MDS – 2009 – Agente Administrativo) Em importante
campanha de informação sobre saúde pública, o secretário de saúde municipal
determinou que os agentes de saúde deveriam visitar todas as residências
daquele município. Foram designados 5 agentes para realizar a campanha. Uma
análise preliminar concluiu que esses agentes terminariam as visitas no
município em 12 dias úteis, se todos trabalhassem com a mesma eficiência, de
segunda a sexta-feira, durante 8 horas diárias.
Considerando essas informações, julgue os seguintes itens.
Considere que os agentes receberiam uma gratificação de R$ 12.000,00 a serem
divididos entre eles, de forma diretamente proporcional ao número de dias que
cada um trabalhou. Nesse caso, se do total de dias trabalhados, dois dos agentes
faltaram a 50% desses dias, um dos agentes faltou 25% dos dias e os outros
dois trabalharam todos os dias, então os agentes que mais faltaram ao trabalho
receberiam menos de R$ 1.800,00 cada um.
34. (CESPE - INPI – 2013) Considerando que o custo de produção de um
refrigerante em lata seja R$ 0,50 por unidade produzida e que essa mesma
latinha seja vendida a R$ 2,50, julgue os itens seguintes.
O preço de custo do refrigerante em lata representa 20% do valor de sua venda.
35. (FTC – 2017 – Inédita) Joana comprou um curso de 200 horas-aula.
Porém, com a publicação do edital, a escola precisou aumentar a carga horária
em 15%. Qual o total de horas-aula do curso ao final?
36. (FGV – IBGE – 2016 – Técnico em Informações Geográficas e
Estatísticas) Rubens percorreu o trajeto de sua casa até o trabalho com uma
determinada velocidade média. Rubinho, filho de Rubens, percorreu o mesmo
trajeto com uma velocidade média 60% maior do que a de Rubens. Em relação
ao tempo que Rubens levou para percorrer o trajeto, o tempo de Rubinho foi:
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a) 12,5% maior
b) 37,5% menor
c) 60% menor
d) 60% maior
e) 62,5% menor
37. (FTC – Inédita – 2017) Pedro percebeu que ele ainda não assistiu a 200
aulas do seu curso. Ela deseja reduzir o número de aulas não assistidas a 180.
É correto afirmar que as aulas não assistidas por Pedro cairá 20%?
38. (CESPE – INPI – 2013) Considerando que o custo de produção de um
refrigerante em lata seja R$ 0,50 por unidade produzida e que essa mesma
latinha seja vendida a R$ 2,50, julgue os itens seguintes.
Se o custo de produção de cada refrigerante for reduzido em 40%, mantendo-
se o mesmo valor de venda do produto, então o lucro por latinha aumentará
20%.
39. (FGV – Prefeitura de Osasco/SP – 2014 – Atendente) O preço de
determinado produto, ao longo de dois meses consecutivos, sofre aumentos de
10% e 20%, respectivamente. No terceiro mês, o preço cai e retorna ao valor
original, antes dos aumentos. Em relação ao preço aumentado do produto, o
percentual que mais se aproxima da redução ocorrida no terceiro mês é:
a) 20%
b) 25%
c) 30%
d) 70%
e) 75%
40. (FCC – TRT 11ª Região (AM e RR) – Técnico Judiciário) O preço de
um sapato, após um aumento de 15%, é R$ 109,25. Se o preço do sapato não
tivesse sofrido esse aumento de 15%, mas um aumento de 8%, a diferença, em
reais, entre os preços do sapato com cada aumento seria de:
a) R$ 7,65.
b) R$ 5,80.
c) R$ 14,25.
d) R$ 7,60.
e) R$ 6,65.
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41. (CESPE – INPI – 2013) Consando os dados apresentados no gráfico,
julgue os itens seguintes.
O número de acidentes ocorridos em 2008 foi, pelo menos, 26% maior que o
número de acidentes ocorridos em 2005.
42. (CESPE – CPRM – 2016) Considere que 85% das residências de
determinado município estão ligadas à rede de abastecimento de água tratada
e que 60% dessas residências estão ligadas à rede de esgotamento sanitário.
Nessa situação, a percentagem de residências do município que são servidas de
água tratada e estão ligadas à rede de esgotamento sanitário é igual a:
a) 40%
b) 25%
c) 15%
d) 60%
e) 51%
43. (CESPE – FUB – 2009 – Administrador de Edifícios) Considere que
sobre o preço de fábrica de um automóvel zero km incida um imposto federal
de 12% e sobre o preço de fábrica acrescido do imposto federal incida um
imposto estadual de 15%. Nessa situação, o preço de venda do automóvel será
pelo menos 28% superior ao preço de fábrica.
44. (CESPE – FUB – 2009 – Administrador de Edifícios) Considere que
uma loja venda seus produtos nas seguintes condições: à vista, com 20% de
desconto sobre o preço de tabela; no cartão de crédito, com 5% de acréscimo
sobre o preço de tabela. Nessa situação, um produto que é vendido por
R$800,00 à vista terá, no cartão, preço superior a R$1.000,00.
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45. (FCC – TST – 2017 – Técnico Judiciário) A equipe de segurança de um
Tribunal conseguia resolver mensalmente cerca de 35% das ocorrências de dano
ao patrimônio nas cercanias desse prédio, identificando os criminosos e os
encaminhando às autoridades competentes. Após uma reestruturação dos
procedimentos de segurança, a mesma equipe conseguiu aumentar o percentual
de resolução mensal de ocorrências desse tipo de crime para cerca de 63%. De
acordo com esses dados, com tal reestruturação, a equipe de segurança
aumentou sua eficácia no combate ao dano ao patrimônio em:
a) 35%.
b) 28%.
c) 63%.
d) 41%.
e) 80%
46. (FCC – ARTESP – Agente de Fiscalização à Regulação de
Transporte) Em um experimento, uma planta recebe a cada dia 5 gotas a mais
de água do que havia recebido no dia anterior. Se no 65° dia ela recebeu 374
gotas de água, no 1° dia do experimento ela recebeu:
a) 64 gotas.
b) 49 gotas.
c) 59 gotas.
d) 44 gotas.
e) 54 gotas.
47. (FEPESE – PC/SC – 2017 – Escrivão) Uma empresa possui duas
fábricas para produzir o mesmo item. Em novembro de 2017 a fábrica A produz
500 unidades e a fábrica B produz 1100 unidades. A empresa então decide
incrementar mensalmente a produção da fábrica A em 65 unidades e a da fábrica
B em 25 unidades. Desta forma, em dezembro de 2017 a fábrica A produzirá
565 unidades e a fábrica B produzirá 1125 unidades.
Qual o primeiro mês (e ano) que a produção mensal na fábrica A superará a
produção mensal na fábrica B?
a) Janeiro de 2019
b) Fevereiro de 2019
c) Março de 2019
d) Abril de 2019
e) Dezembro de 2018
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48. (CESPE – Câmara dos Deputados – 2014 – Técnico Legislativo) Em
determinado colégio, todos os 215 alunos estiveram presentes no primeiro dia
de aula; no segundo dia letivo, 2 alunos faltaram; no terceiro dia, 4 alunos
faltaram; no quarto dia, 6 alunos faltaram, e assim sucessivamente.
Com base nessas informações, julgue os próximos itens, sabendo que o número
de alunos presentes às aulas não pode ser negativo.
No vigésimo quinto dia de aula, faltaram 50 alunos.
49. (FAURGS – TJ/RS – 2017 – Técnico Judiciário) Para que a sequência
(4x-1, x²-1, x-4) forme uma progressão aritmética, x pode assumir, dentre as
possibilidades abaixo, o valor de:
a) -0,5
b) 1,5
c) 2
d) 4
e) 6
50. (VUNESP – TCE/SP – 2017 – Agente da Fiscalização) Considere a
sequência (10, 15, 13, 18, 16, 21, 19, 24, 22, 27, . . .). A soma do 16o, 17o e
18o termo dessa sequência é igual a:
a) 107.
b) 109.
c) 104.
d) 105.
e) 110.
51. (VUNESP – TCE/SP – 2017 – Agente da Fiscalização -
Administração) Considere a sequência de números naturais 0, 5, 100, 10, 15,
90, 20, 25, 80, 30, …, 10. A diferença entre os números que ocupam as 26a e
22a posições é um número que ocupa, nessa sequência, a posição:
a) 8ª
b) 9ª
c) 7ª
d) 6ª
e) 5ª
52. (FADESP – COSANPA – 2017 – Técnico Industrial – Saneamento) O
Lago Bolonha é o principal reservatório de abastecimento de água da Região
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Metropolitana de Belém, e o controle da quantidade de algas e bactérias que
nele habitam é importante. Sabe-se que, em condições favoráveis, o número de
bactérias em uma colônia cresce segundo uma progressão geométrica. Se uma
certa colônia, inicialmente com cerca de 1.000 bactérias, quadruplica seu
número de bactérias a cada 24 horas, o número de bactérias ultrapassará
1.000.000 no decorrer do:
a) terceiro dia.
b) quarto dia.
c) quinto dia.
d) décimo dia.
53. (IBFC – MGS – 2017) Considerando a solução do sistema linear
E sabendo que o valor de x e o valor de y são, respectivamente, o primeiro
termo e a razão de uma progressão geométrica, então o quinto termo dessa PG
é:
a) 54
b) 486
c) 24
d) 162
54. (CESGRANRIO – Petrobrás – 2017 – Técnico de Enfermagem) A
soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica é dada por 𝑆𝑛 =
3𝑛 + 4 − 812.3𝑛. Quanto vale o quarto termo dessa progressão geométrica?
a) 1
b) 3
c) 27
d) 39
e) 40
(CESPE – BRB – 2011 – Escriturário) Considerando que, em uma progressão
aritmética de termos ..., ..., a razão seja positiva, = 2 e os
termos estejam, nessa ordem, em progressão geométrica, julgue
os itens a seguir.
55. Para cada n ímpar, an sempre será um número par.
56. A razão dessa progressão aritmética será um número racional, não inteiro.
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57. A média aritmética de 3 termos quaisquer dessa progressão aritmética
será sempre um número inteiro.
58. (FCC – Funape – 2017 – Analista em Gestão Previdenciária) Na
sequência (100.000; 90.000; 81.000; 72.900; ...), o segundo termo não inteiro
é o que está na posição:
a) 6
b) 5
c) 7
d) 8
e) 9
59. (CESPE – Banco da Amazônia – 2012 – Técnico Científico) Em
média, chegam cinco clientes por minuto no setor de caixas de uma agência
bancária. Supondo que a distribuição das chegadas dos clientes não dependa da
hora do dia e que os clientes cheguem de modo independente uns dos outros, a
probabilidade de chegar exatamente k clientes em determinado minuto é
expressa por: 𝑝𝑘 = 5𝑘𝑘! 𝑒 − 5 em que k = 0, 1, 2, 3, … e e é a base dos logaritmos
neperianos.
Considerando 0,007 como valor aproximado para e-5, julgue os próximos itens,
relativos à movimentação de clientes acima descrita.
A sequência p(0), p(1), p(2), p(3), . . . é uma progressão geométrica de razão
menor que 1.
Obs.: A expressão k! corresponde ao produto de todos os números inteiros até
k. Ou seja:
0! = 1
1! = 1
2! = 2.1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
60. (CONSULPLAN – TRE/RJ – 2017 – Técnico Judiciário – Operação de
Computadores) Os termos de uma determinada sequência foram
sucessivamente obtidos seguindo um determinado padrão: (5, 9, 17, 33, 65,
129...)
O décimo segundo termo da sequência anterior é um número:
a) menor que 8.000.
b) maior que 10.000.
c) compreendido entre 8.100 e 9.000.
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d) compreendido entre 9.000 e 10.000.
61. (VUNESP – Câmara Municipal de Itatiba / SP – 2015 – Técnico em
Informática) Na sequência 2, 8/3, 4, 6, 26/3,..., há uma regularidade. Mantida
essa regularidade, o próximo elemento da sequência será:
a) 28/3
b) 10
c) 34/3
d) 12
e) 38/3
62. (VUNESP – MPE/SP – 2016 – Analista Técnico-Científico) Na
sequência (4; 4; 6; 12; 30; 90; . . .), a partir do 2° termo, cada termo é obtido
por meio de uma operação, ou operações, aplicada(s) ao termo imediatamente
anterior. O 7° termo somado ao 10° termo, ambos dessa sequência, resultam
em:
a) 5445
b) 7020
c) 27035
d) 28665
e) 29610
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Gabaritos
Questão 1: E
Questão 2: Certo
Questão 3: B
Questão 4: B
Questão 5: Errado
Questão 6: Certo
Questão 7: D
Questão 8: E
Questão 9: A
Questão 10: E
Questão 11: E
Questão 12: A
Questão 13: E
Questão 14: Errado
Questão 15: Errado
Questão 16: 500
Questão 17: 2,5
Questão 18: E
Questão 19: D
Questão 20: B
Questão 21: D
Questão 22: D
Questão 23: Errado
Questão 24: C
Questão 25: Errado
Questão 26: C
Questão 27: D
Questão 28: D
Questão 29: Errado
Questão 30: Errado
Questão 31: 25%
Questão 32: D
Questão 33: Certo
Questão 34: Certo
Questão 35: 230
Questão 36: B
Questão 37: Errado
Questão 38: Errado
Questão 39: B
Questão 40: E
Questão 41: Certo
Questão 42: E
Questão 43: Certo
Questão 44: Certo
Questão 45: E
Questão 46: E
Questão 47: C
Questão 48: Errado
Questão 49: B
Questão 50: B
GABARITO
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Questão 51: E
Questão 52: C
Questão 53: C
Questão 54: A
Questão 55: Certo
Questão 56: Errado
Questão 57: Certo
Questão 58: D
Questão 59: Certo
Questão 60: C
Questão 61: D
Questão 62: D