Matematica financeira regular 14

CURSO REGULAR – MATEMÁTICA FINANCEIRA – Prof. Sérgio Carvalho

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AULA 13 – SISTEMAS DE AMORTIZACAO & TAXA REAL x TAXA APARENTE

Olá, amigos!

Espero que tenham tido uma entrada de ano muito feliz, e ainda mais que este 2007 seja realmente um ano abençoado para todos nós!

Iniciaremos esta nossa última aula do Curso, resolvendo algumas questões que ficaram pendentes do nosso último...

...Dever de Casa

92. Calcular a soma dos valores atuais, no momento zero, das quantias que compõem o seguinte fluxo de valores: um desembolso de R$ 2.000,00 em zero, uma despesa no momento um de R$ 3.000,00 e nove receitas iguais de R$ 1.000,00 do momento dois ao dez, considerando que o intervalo de tempo decorrido entre momentos consecutivos é o mês e que a taxa de juros compostos é de 3% ao mês. Usar ainda a convenção de despesa negativa e receita positiva, e desprezar os centavos. a) R$ 2.511,00 d) R$ 2.646,00 b) R$ 0,00 e) R$ 2.873,00 c) R$ 3.617,00 Sol.: Vemos que o enunciado nos veio falar em um fluxo de valores. Ora, já é do nosso conhecimento que esta expressão é também sinônimo de fluxo de caixa ou de fluxo de pagamentos! Dá tudo na mesma!

Aprendemos ainda estas expressões, por si só, revelam-nos que estamos trabalhando no Regime Composto! Lembrados disso?

Pois bem! A questão de fluxo de caixa deve ser, antes de mais nada, desenhada! Fazendo o desenho de acordo com o que está previsto no enunciado, teremos:

1000

2000

3000

Uma vez desenhado, resta-nos saber para qual data o enunciado quer que nós transportemos todos os valores positivos e negativos! E isso foi dito logo no início da questão: “Calcular a soma dos valores atuais, no momento zero, das quantias que compõem o seguinte fluxo de valores...”.

Ou seja, a nossa data de interesse da questão será a data zero. Essa data de interesse é como se fosse uma data focal, nas questões de equivalência de capitais! A rigor, uma questão de fluxo de caixa é uma questão de Equivalência, em que se pretende calcular uma única parcela, que é equivalente a todas as outras que formam o fluxo de caixa.

Demos logo uma rápida olhada nas parcelas que compõem os valores positivos de fluxo:



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1000

2000

3000

O que vemos aí? São parcelas de mesmo valor? Sim! Estão dispostas em intervalos de tempo iguais? Sim! Estão sujeitas a uma taxa de juros compostos? Sim novamente! E a questão solicita o valor atual das parcelas! Não resta dúvida que devemos aplicar a fórmula do Valor Atual de Rendas Certas!

Refaremos o desenho colocando na data zero o valor X que representa o valor atual na data zero das nove parcelas de 1.000,00, e esqueceremos, por enquanto, das parcelas negativas.

X (valor atual das parcelas positivas)

1000

Logo percebemos que o desenho acima não está igual ao do modelo do Valor Atual de Rendas Certas. Concordam? No modelo, a primeira parcela está um período após o valor atual.

Portanto, vamos imaginar uma parcela de 1.000,00 no momento um, para que o desenho acima fique igual ao do modelo. Desenharemos esta parcela fictícia em preto. O nosso desenho passa a ser o seguinte:

T (valor atual das parcelas positivas)

1000

Após acrescentar a parcela fictícia, o desenho ficou igual ao modelo, então podemos trocar o X pelo T. A fórmula original do Valor Atual de Rendas Certas é a seguinte:

T= P . an¬i Porém, como estamos usando o artifício de criar parcelas fictícias, aplicaremos a seguinte variação de nossa fórmula:



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T = P . ( aTODAS¬i – aFICTÍCIAS¬i ) Substituindo os dados na fórmula, teremos que: T = 1000 . ( a10¬3% – a1¬3% )

Recorrendo a tabela do fator A de rendas certas, obteremos:

a10¬3% = 8,530203

a1¬3% = 0,970874

Daí: T = 1000 . ( 8,530203 – 0,970874 )

T = 1000 . ( 7,559329 )

E: T = 7.559,33 (Valor Atual das parcelas positivas!)

Passaremos a calcular o valor atual na data zero das parcelas negativas. O desenho inicial somente com as parcelas negativas é o seguinte:

2000

3000

A parcela de 2.000,00 já se encontra na data zero, então para obter o valor atual das parcelas negativas basta calcular o valor atual da parcela de 3.000,00 na data zero, e a este resultado somar o valor de 2000.

Podemos calcular o valor atual da parcela de 3.000,00 de duas maneiras: 1ª) aplicar a fórmula de desconto composto racional; e 2ª) aplicar a fórmula do valor atual de rendas certas. Podemos utilizar esta última maneira porque a fórmula do valor atual de rendas certas não proíbe o seu uso para n= 1 (uma parcela).

Optaremos pela fórmula do valor atual de rendas certas!

T= P . an¬i

Onde: T = o valor atual na data zero da parcela de 3000.

P = 3000

n=1 (uma parcela um mês após o valor atual)

i=3% a.m.

Substituindo estes valores: T= 3000 . a1¬3%

Recorrendo a tabela financeira: a1¬3%=0,970874

Daí: T= 3000 . 0,970874



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E: T= 2912,62 (valor atual da parcela de 3000)

Portanto, o valor atual das parcelas negativas na data zero será dado por:

valor atual das parcelas negativas= 2000 + 2912,62 = 4912,62

Para se obter a soma dos valores atuais, no momento zero, das quantias que compõem o fluxo de valores, conforme o pedido da questão, faremos uma subtração dos resultados dos valores atuais das parcelas positivas e negativas :

valor atual das parcelas positivas = 7.559,33

valor atual das parcelas negativas = 4912,62

Daí:

7.559,33 – 4912,62 = 2.646,71 Resposta!

93. Considerando a série abaixo de pagamentos no fim de cada ano, obtenha o número que mais se aproxima do valor atual total destes pagamentos no início do ano 1, a uma taxa de desconto racional de 10% ao ano, juros compostos. Ano 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Valor 400 400 400 400 200 200 200 200 200 1.200 a) 2.208,87 b) 2.227,91 c) 2.248,43 d) 2.273,33 e) 2.300,25 Sol.: O negócio aqui é desenhar a questão! O enunciado fala que essas parcelas estarão dispostas no fim de cada ano. Assim, teremos:

X

200 200 200 200 200

400, 400 400 400

1200

Só para efeitos didáticos, colocamos as setas para baixo!

A questão diz que a taxa é composta, e quer que descubramos o valor atual desse “fluxo de caixa” na data zero, que corresponde ao início do primeiro ano. Vamos ver se é possível criar tracejados e dividir essas parcelas em diferentes níveis? Comecemos com um tracejado no valor de 200, que é a menor parcela. Teremos:



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X

200 200 200 200 200

400, 400 400 400

1200

Agora façamos mais um tracejado, pegando as parcelas de R$400. Teremos:

X

200 200 200 200 200

400, 400 400 400

1200

Pronto! Criamos dois níveis de parcelas:

1º nível) 10 parcelas (n=10) de R$200 cada;

2º nível) 4 parcelas (n=4) de R$200 também!

E será que é só isso? Será que esses dois níveis já abrangem todas as parcelas? Basta olhar para o desenho e responder: Não! A última parcela, no valor original de R$1200 só foi tocada pelo primeiro tracejado. Dessa forma, após trabalharmos com as parcelas do primeiro e segundo níveis, ainda teremos que pegar o “restante” da última parcela, que vale exatamente R$1000, e transportá-lo para a data zero!

Por que a última parcela que era de R$1200 vai ser trabalhada como se fosse apenas de R$1000? Porque uma parte dela (R$200) já está sendo trabalhada no primeiro nível.

As parcelas que compõem ambos os níveis, conforme já sabemos, serão trabalhadas em operações de Amortização. Chamando T’ o resultado do primeiro nível, e T’’ o resultado do segundo, teremos:



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T’ = P . an¬i T’ = 200 . a10¬10%

T’’ = P . an¬i T’’ = 200 . a4¬10%

Fazendo logo a soma de T’ e T’’, teremos que:

T’+T’’ = (200 . a10¬10%) + (200 . a4¬10%)

Colocando os 200 (fator comum) em evidência, teremos que:

T’+T’’ = 200 (a10¬10% + a4¬10%)

Matando dois coelhos de uma só vez, consultaremos a Tabela do fator de amortização. E obteremos:

a10¬10%=6,144567

a4¬10%=3,169865

Daí, teremos que:

T’+T’’ = 200 (6,144567+ 3,169865)

T’+T’’=1.862,89

Ainda não acabou: temos agora que levar R$1000 da data dez anos para a data zero! Lembrando que esse valor R$1000 é referente à parte restante da última parcela (que era de R$1200) e que ainda não foi trabalhada! Faremos aqui uma operação de desconto composto racional. Aplicando a fórmula de desconto composto racional, teremos:

N = A(1+i)n 1000 = A.(1+10%)10

10%)101(1000+

=A A=385,54

Agora, sim, somos capazes de compor o resultado final da nossa questão:

Resultado dos dois níveis de parcelas: R$ 1.862,89

Resultado da última parcela de 1000: R$ 385,54

Daí: X = 1862,88 + 385,54 X=2.248,43 Resposta!

Espero que todos tenham compreendido bem como se resolvem questões de fluxo de caixa, uma vez que quase sempre estão presentes nas provas de matemática financeira!

Dando seqüência à nossa aula, vamos falar agora acerca de dois sistemas de amortização que não foram vistos até agora, pelo fato de nunca terem sido cobrados em provas de Auditor Fiscal da Receita Federal, elaboradas pela Esaf. Contudo, outras elaboradoras eventualmente exigem este conhecimento.

Trata-se do chamado Sistema de Amortização Constante (SAC) e do Sistema de Amortização Misto (SAM). Vejamos.

# Sistema de Amortização Constante (SAC):

Este assunto é normalmente cobrado em concursos bancários (Caixa Econômica Federal, Banco do Brasil etc), e mais raramente para cargos fiscais.



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Como sabemos, existem diferentes Sistemas de Amortização! Ou seja, existem diferentes formas de se fazer diluir uma determinada obrigação inicial em várias prestações.

Uma dessas formas é o chamado S.A.C. – Sistema de Amortização Constante.

Qual é a característica principal deste sistema? É que o valor das prestações irá decrescendo, uma a uma. Ilustrativamente, teremos o seguinte:

Total

P1

P2

P3

P4 P5

No desenho acima, há um valor Total que será amortizado, ou seja, será diluído naquelas cinco prestações. Como tal amortização se dará mediante o SAC, percebamos que as prestações têm valores decrescentes, a partir da primeira.

Ora, como se trata de prestações de diferente valor, jamais uma questão de SAC poderia perguntar apenas: Indique o valor da prestação. Estaria incompleta a pergunta! O que ele teria que dizer a mais? Teria, obviamente, que especificar qual a parcela que pretende descobrir o valor.

Entendido? Passemos a um exemplo.

# Exemplo 01: João pretende pagar uma quantia de R$10.000, por meio de cinco parcelas mensais, usando o Sistema de Amortização Constante. Considerando uma taxa de juros compostos de 3% ao mês, obtenha o valor da quarta prestação.

Sol.:

Trabalharemos a questão de SAC com base nos três seguintes dados:

Total a ser amortizado: T

Número de parcelas: n

Taxa da operação: i

De posse desses três elementos, faremos o seguinte:

# Passo a Passo do SAC:

1º Passo) Dividiremos o Total a ser amortizado (T) pelo número de parcelas (n), e chamaremos esse resultado de A (quota de Amortização);

2º Passo) Multiplicaremos o Total (T) a ser amortizado pela taxa (i).

3º Passo) Somaremos os resultados dos dois passos acima, e chegaremos ao valor da primeira parcela P1.

4º Passo) Multiplicaremos a taxa (i) pelo resultado do primeiro passo (quota de amortização A).



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5º Passo) Calcularemos os valores das demais parcelas, tomando-se sempre o valor da parcela anterior e subtraindo-se dela o valor encontrado no quarto passo.

Voltemos ao nosso exemplo. Tínhamos que:

T=10.000,00

n=5 parcelas

i= 3% ao mês

Daí, faremos:

1º) 10.000/5 = 2.000,00 A=2000

2º) 10.000 x 0,03 = 300,00

3º) P1=2.000+300 P1=2.300,00

4º) 2.000,00 x 0,03 = 60,00

5º) Cálculo das demais prestações:

P2=2.300–60 P2=2.240,00

P3=2.240–60 P3=2.180,00

P4=2.180–60 P4=2.120,00

P5=2.120–60 P5=2.060,00

Para termos certeza de que acertamos as contas, basta reparar que o valor da última parcela será sempre a soma do resultados do primeiro e do quarto passos. Vejamos:

Resultado do 1º Passo) 2.000,00

Resultado do 4º Passo) 60,00

Valor da última parcela) 2.060,00

Uma questão pode perguntar ainda outra coisa, além do valor de uma das parcelas. Ela pode perguntar o valor dos Juros presente em uma parcela qualquer.

Precisamos saber que cada parcela é composta por duas partes: quota de amortização e juros.

Ou seja: Parcela = Cota de Amortização + Juros

Com os passos que aprendemos acima, vimos como se calculam a Cota de Amortização e o valor da parcela. Daí, basta agora dizer que:

Juros = Parcela – Cota de Amortização

Passemos a mais exemplos.

# Exemplo 02: Maria pretende pagar uma quantia de R$20.000, por meio de dez parcelas mensais, usando o Sistema de Amortização Constante. Considerando uma taxa de juros compostos de 5% ao mês, obtenha o valor da sétima prestação.

Sol.: Nossos dados agora são os seguintes:

T=20.000,00

n=10 parcelas

i=5% a.m.

Iniciemos nossos passos de resolução:

1º) 20.000/10 = 2.000,00 A=2000



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2º) 20.000 x 0,05 = 1000,00

3º) P1=2.000+1000 P1=3.000,00

4º) 2.000,00 x 0,05 = 100,00

5º) Cálculo das demais prestações:

P2=3.000–100 P2=2.900,00

P3=2.900–100 P3=2.800,00

P4=2.800–100 P4=2.700,00

P5=2.700–100 P5=2.600,00

P6=2.600–100 P6=2.500,00

P7=2.500–100 P7=2.400,00 RESPOSTA!

Caso queiramos chegar ao valor das demais parcelas (o que não será necessário na hora da prova), faremos:

P8=2.400–100 P5=2.300,00

P9=2.300–100 P6=2.200,00

P10=2.200–100 P7=2.100,00

Não é preciso ser assim tão observador para reparar que as parcelas de amortização do SAC formam uma seqüência numérica que se identifica com a chamada Progressão Aritmética (P.A.). Para quem está mais esquecido, a P.A. é aquela seqüência de valores numéricos em que o próximo valor será sempre o anterior somado a uma constante (chamada razão).

Tomemos as parcelas deste nosso exemplo:

{3000, 2900, 2800, 2700, 2600, 2500, 2400, 2300, 2200, 2100}

É uma P.A.? Claro! Trata-se de uma P.A. decrescente, uma vez que a razão é negativa. Ora, no caso da Amortização pelo SAC, ocorrerá sempre esta situação: as parcelas formarão uma P.A. decrescente.

Se quiséssemos descobrir o valor da segunda parcela, conhecendo o valor da primeira e o valor da razão, faríamos assim:

P2=P1+razão

Teríamos: P2=3000+(-100) P2=2900

Se quiséssemos calcular a terceira parcela, faríamos:

P3=P1+2(razão)

Teríamos: P3=3000+2(-100) P3=2800

Se quiséssemos calcular a quarta parcela, faríamos:

P4=P1+3(razão)

Teríamos: P4=3000+3(-100) P4=2700

Enfim, generalizando, para descobrirmos o valor da K-ésima prestação, faremos assim:

Pk=P1+(k-1).razão

Sabendo disso, para chegarmos ao valor da sétima parcela, nem seria preciso calcular os valores da segunda, terceira, quarta etc. Já seria possível ir direto à sétima! Como? Assim:

Pk=P1+(k-1).razão



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P7=P1+(7-1).razão P7=3000+6.(-100) P7=2.400,00 RESPOSTA!

Se esta mesma questão estivesse perguntando o valor dos Juros presentes na sétima parcela, diríamos que:

Parcela = Cota de Amortização + Juros

Logo:

Juros = Parcela – Cota de Amortização

Juros = 2700 – 2000 J=700,00 Resposta!

Passemos a um próximo exemplo.

# Exemplo 03: Pedro pretende pagar uma quantia de R$100.000, por meio de cem parcelas mensais, usando o Sistema de Amortização Constante. Considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, obtenha o valor da nonagésima prestação.

Sol.: Temos aqui os seguintes dados:

T=100.000,00

n=100 parcelas

i=2% a.m.

Iniciemos nossos passos de resolução:

1º) 100.000/100 = 1.000,00 A=1.000

2º) 100.000 x 0,02 = 2.000,00

3º) P1=1.000+2.000 P1=3.000,00

4º) 1.000,00 x 0,02 = 20,00

Aqui fica claro que não convém calcularmos o valor de todas as parcelas, até chegarmos à nonagésima! Não é óbvio isso? Acabaria o tempo da prova e não teríamos saído desta questão...

Vamos ter que trabalhar com a Progressão Aritmética.

Para tanto, basta lembrarmos que a razão será o resultado do quarto passo, e que terá sempre que ser considerada negativa.

Neste caso, temos que: razão=-20

Finalmente, para cálculo da P90, faremos:

Pk=P1+(k-1).razão

P90=P1+(90-1).razão P90=3000+89.(-20)

P90=1.220,00 RESPOSTA!

E se a mesma questão estivesse perguntando o valor dos Juros presentes nesta nonagésima parcela, diríamos que:

Parcela = Cota de Amortização + Juros

Logo: Juros = Parcela – Cota de Amortização

Juros = 1.220 – 1000 J=220,00 Resposta!



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É isso! O SAC, creio eu, já está mais que compreendido! Falemos acerca do SAM (Sistema de Amortização Misto). O SAM é o sistema de amortização que reúne os conhecimentos dos dois outros sistemas já estudados por nós: o francês e o SAC (de amortização constante).

Na realidade, quando a questão da prova pedir que calculemos o valor de uma determinada parcela da amortização, por meio do Sistema Misto, teremos três trabalhos:

1º) Descobrir o valor da parcela pelo sistema francês. (Usando a equação T=P.An,i).

2º) Descobrir o valor da parcela pelo sistema de amortização constante (SAC), da forma que acabamos de aprender acima.

3º) Somar os dois resultados obtidos nos passos anteriores, e dividir o resultado desta soma por dois!

Ou seja, o valor de uma parcela qualquer pelo sistema misto é nada mais que a média dos valores encontrados para esta mesma parcela, pelos dois outros sistemas de amortização (o francês e o SAC).

Tomemos um exemplo.

# Exemplo: Maria pretende pagar uma quantia de R$20.000, por meio de dez parcelas mensais. Considerando uma taxa de juros compostos de 5% ao mês, obtenha o valor da sétima prestação, usando o Sistema Misto de Amortização.

Sol.: Seguindo os passos vistos acima, calcularemos logo o valor da prestação pelo sistema francês. Ora, sabemos que neste sistema, todas as parcelas são iguais, e calculadas assim:

T=P.An,i P=T/An,i P=20.000/A10,5% P=20.000/7,721735

P=2.590,09 (sistema francês)

Já temos metade da resposta! Falta a outra metade, que é exatamente o valor da sétima parcela, calculada pelo Sistema de Amortização Constante.

Ora, este exercício já foi feito por nós, acima, no exemplo 2 da página 8. Lá, encontramos que:

P7=2.400,00 (sistema de amortização constante)

Finalmente, de posse dos dois resultados encontrados acima, teremos que fazer agora apenas o seguinte:

P7(sistema misto)=(2.590,09+2.400)/2

P7(sistema misto)=2.495,00 Resposta!

É só isso!

Na seqüência, trataremos de um assunto de facílima compreensão: o que diz respeito a taxas aparentes e taxas reais.

Não temos sequer motivos para nos prolongar muito nesta teoria, tão simples ela se apresenta! Ok?

Vejamos!



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# Taxa Aparente, Taxa de Inflação e Taxa Real: Imaginemos duas pessoas conversando sobre negócios, e uma delas diz para a outra o seguinte: “esse ano meus negócios foram maravilhosamente bem! Ganhei lucros numa faixa de 230%!” Daí, o interlocutor, meio desconfiado, pergunta: “Mas de quanto foi a inflação neste período?” Bem, a inflação do período foi de 200%.

Ora, então, na verdade, aquele primeiro apenas pensa que teve lucros de 230%. Esse é um ganho aparente. Mas, por quê? Porque não levou em consideração a inflação do período!

O ganho real foi outro!

Em suma, é apenas isso: a taxa aparente é uma que não é real, uma vez que não expressa a perda causada pela inflação!

E a taxa real, por sua vez, é aquela que leva em consideração a perda da inflação.

Para trabalhar esses dois conceitos, só teremos que memorizar a seguinte fórmula:

(1+IAPARENTE) = (1+IREAL).(1+IINFLAÇÃO)

Tudo o que precisamos nos lembrar é de que usaremos a notação unitária, já que estamos falando em taxas compostas!

Vamos resolver o problema da situação colocada acima. Os dados são os seguintes:

IAPARENTE=230%=2,3

IINFLAÇÃO=200%=2,0

IREAL=?

Lançando os dados na fórmula, teremos que:

(1+IAPARENTE) = (1+IREAL).(1+IINFLAÇÃO)

(1+2,3) = (1+ IREAL).(1+2,0) (1+IREAL)=(3,3/3,0)

(1+IREAL)=(3,3/3,0) (1+IREAL)=1,10

Daí: IREAL=1,10-1 IREAL=0,10 = 10% Resposta!

Vejamos uma questão de concurso abordando este assunto:

01. Um investidor aplicou R$80.000,00 no início de um determinado ano e resgatou no final de dois anos o montante de R$98.280,00, esgotando totalmente seu crédito referente a esta operação. Sabe-se que a taxa de inflação referente ao primeiro ano de aplicação foi de 5% e ao segundo, 4%. Então, a correspondente taxa real de juros, no período desta aplicação, foi de:

a) 13,85% b) 13,65% c) 12,85% d) 12,5% e) 11,25%

Sol.: Esta questão é da lavra do ICMS de São Paulo-2006. E trata deste assunto!

É o tipo de enunciado mais completo para este assunto. Alguém que saiba resolver esta, saberá resolver qualquer uma!

Retomemos a fórmula: (1+IAPARENTE)=(1+IREAL).(1+IINFLAÇÃO)



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Como é a apenas uma equação, só pode haver uma variável!

O problema é que este enunciado não deu nada de bandeja para nós.

Com base nos dados da questão, teremos que descobrir o valor da taxa aparente e da taxa de inflação. Façamos isso. Teremos:

C=80.000,00 ; M=98.280,00 ; n=2 anos = 1 biênio ; i=? (taxa aparente!)

M=C.(1+i)n (1+i)1 = M/C (1+i)1 = 98280/80000

(1+i)1=1,2285 i=0,2285 i=22,85% ao biênio = Taxa Aparente!

Percebam que, neste cálculo da taxa aparente, estaremos sempre buscando saber a taxa do período inteiro! Assim, se o período inteiro é de dois anos, então buscamos a taxa bienal; se o período inteiro fosse de três meses, buscaríamos uma taxa trimestral, e assim por diante!

Agora, precisamos calcular a taxa de inflação do período. A fórmula adequada é a seguinte:

INFLAÇÃO=[(1+INF1).(1+INF2). ... .(1+INFn)]-1

Onde: INF1 é a inflação do primeiro período; INF2 é a inflação do segundo período, e assim por diante!

Disse-nos o enunciado que a inflação do primeiro ano foi de 5%, e a do segundo ano foi de 4%. Assim, para o período do biênio, teremos:

INF=[(1+0,05).(1+0,04)]-1

INF=0,092 INF=9,2% (no período dos dois anos!)

Finalmente, de posse da taxa aparente e da taxa de inflação, vamos aplicar a equação que nos dará o valor da taxa real. Teremos:

(1+IAPARENTE)=(1+IREAL).(1+IINFLAÇÃO)

(1+Ireal)=(1+Iaparente)/(1+Iinflação)

(1+Ireal)=(1+0,2285)/(1+0,092)

1+Ireal=1,125

Ireal=0,125 Ireal=12,5% ao biênio Resposta!

É isso, meus amigos!

Não é sem uma grande tristeza que me despeço de vocês todos!

Concluímos o nosso curso!

Quanto ao fórum, passarei mais vários dias respondendo as perguntas já postadas, e as que vierem a ser nos próximos dias!

Espero, de coração, que estas aulas tenham sido de fato esclarecedoras.

Convém, muitíssimo, que vocês estudem novamente cada uma delas, com muita calma, resolvendo novamente as questões e os exemplos propostos! Lembrem-se que a velocidade de resolução é uma coisa importantíssima na hora da prova!

Quero pedir desculpas pelas falhas cometidas. Sei que foram muitas. Mas a intenção foi a de acertar sempre! Estejam certos disso.

Um forte abraço a todos! Até a próxima! E fiquem com Deus!

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