MATEMATICA FINANCIERA GRANDE - …datos.aplicacion.com.ar/previews/2012/... · PRÓLOGO Tengo la satisfacción de prologar el libro de “Matemática Financiera” elaborado por el

MATEMÁTICAFINANCIERA

JUSTO ANDRÉS MERCADO QUINTELA

APLICACION TRIBUTARIA S.A.

APLICACIÓN TRIBUTARIA S.A.Viamonte 1546 Piso 2º Of. 200

(1055) CIUDAD AUTÓNOMA DE BUENOS AIRESTelefax: 4374-5418/6692/8855

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Mercado Quintela, Justo AndrésMatemática financiera, 1ª ed., Buenos Aires: Aplicación Tributaria, 2012.154 p. ; 20x28 cmISBN: 978-987-1745-53-11. Matemática. I. TítuloCDD 510Fecha de catalogación: 24/04/2012

©COPYRIGHT 2012 BY APLICACIÓN TRIBUTARIA S.A.1ª Edición, Mayo de 2012

I.S.B.N. 978-987-1745-53-1PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL POR CUALQUIER MEDIO, YA

FUERE MECÁNICO, ELECTRÓNICO, ETCÉTERA, SIN AUTORIZACIÓN ESCRITA DELAUTOR Y DEL EDITOR

El presente trabajo ha sido minuciosamente revisado y corregido. No obstante, ni la Editorial ni elautor se hacen responsables, bajo ningún concepto, de ningún tipo de perjuicio que cualquier error

y/u omisión puedan ocasionar.

Este libro se terminó de imprimir en Mayo de 2012 enAPLICACIÓN TRIBUTARIA S.A.

Guido Spano 550Lanús Oeste – Buenos Aires

A la memoria de mis padres Justo Benigno Mercado Luna yMaría Dominga Quintela

A mi hermana Rosa Vicenta

A mis sobrinos María Emilia y Carlos Andrés

Agradezco a los doctores: Juan Carlos Alonso, María Teresa Casparri,Juan Ramón Garnica Hervas, Aldo Gelso, María Cristina Meghinasso,

María Alejandra Metelli, al Mg. Mario Luis Perossa y a la Editorial

PRÓLOGO

Tengo la satisfacción de prologar el libro de “Matemática Financiera” elaborado por el profesorJusto Andrés Mercado Quintela, colaborador de la cátedra a mi cargo de Administración Financiera enla Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad de Buenos Aires, donde tuve la oportunidad deconocer las cualidades morales y riqueza técnica de sus clases.

Justo A. Mercado Quintela vuelca en el presente libro su experiencia y conocimientos adquiridosen el dictado a nivel de grado universitario de las asignaturas Cálculo Financiero y Administración Fi-nanciera, por lo que este material será de suma utilidad en la tarea de orientar y acompañar en su apren-dizaje al alumno que desea iniciarse en el conocimiento de la Matemática Financiera, a efectos depermitirle adquirir los conocimientos, capacidades y aptitudes necesarias para la toma de decisionesde inversión y financiamiento de las organizaciones, en las que deberá tener presente los conceptos devalor del dinero a través del tiempo, imprescindibles para una adecuada gestión en un contexto enconstantes cambios y transformaciones tanto en los aspectos social, político, tecnológico, económicocomo financiero.

El profesor Mercado Quintela ha desarrollado con pulcritud matemática conceptos como las equi-valencias de tasas nominales y efectivas, que suelen generar dificultades a los alumnos que se inicianen el estudio de la disciplina, como la relación entre las tasas de interés y descuento. Introduce al lectorcon sencillez, pero sin por ello perder rigor matemático, en los diferentes tipos de rentas, incluso en lasperpetuidades, constantes y crecientes, tan útiles para el profesional que debe valorizar empresas bajoel método de flujos de fondos descontados, o aquel que deba determinar el costo de capital. Importa se-ñalar la metodología de análisis utilizada al introducir al estudioso en los diferentes sistemas de amor-tización, francés, americano y alemán. Finalmente, para una adecuada guía en el aprendizaje, el autorpresenta un Anexo con conceptos fundamentales para una mejor interpretación de los desarrollos nu-méricos elaborados en el libro.

Sin duda el libro es una herramienta que facilitará a los alumnos alcanzar un mejor aprendizaje queles será de suma utilidad al aplicarlo en el mundo de los negocios.

Mis felicitaciones al docente por la labor realizada.

Juan Carlos AlonsoDr. en Ciencias Económicas (UBA).

Director Escuela de Administración (Univ. Argentina J. F. Kennedy)Profesor Titular Regular Administración Financiera (UBA)

Presidente de SADAF Docentes de Administración Financiera Asoc. CivilPresidente del Instituto Actuarial Argentino

Banfield, Provincia de Buenos Aires, 30 de noviembre de 2011.

8 / Matemática Financiera APLICACION TRIBUTARIA S.A.

PRÓLOGO

Sumario Analítico

CAPÍTULO 1Cálculo Financiero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1. OPERACIONES FINANCIERAS ..........................132. CAPITALIZACIÓN.................................................13

2.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143. INTERÉS SIMPLE..................................................16

3.1. Interés simple – Representación gráficadel capital final. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2. Interés simple – Tasa variable . . . . . . . . . . . . 193.3. Interés simple – Tasa media o tasa

promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214. INTERÉS COMPUESTO ........................................23

4.1. Interés compuesto – Representacióngráfica del capital final . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2. Interés compuesto – Los intereses . . . . . . . . . 274.3. Interés compuesto – Tasa variable . . . . . . . . . 294.4. Interés compuesto – Tasa media de

inversión de varios capitales . . . . . . . . . . . . . 30

4.5. Cálculo del tiempo en que un capitalse convierte en un múltiplo de sí mismo . . . . 34

5. TASA NOMINAL – TASA EFECTIVA ..................345.1. Capital final con tasa proporcional

(con tasa nominal o tasa contractual). . . . . . . 366. TASAS EQUIVALENTES ......................................37

6.1. Comparación interés simple e interéscompuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.2. Relación entre las sucesiones y el interéssimple y el interés compuesto . . . . . . . . . . . . 42

6.3. Tasa activa – Tasa pasiva . . . . . . . . . . . . . . . . 437. CAPITALIZACIÓN CONTINUA...........................44

7.1. Interés continuo – Capital final con tasacontinua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.2. Interés continuo – Capital final con tasaequivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

CAPÍTULO 2Tasa de Descuento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1. CONCEPTO.............................................................492. VALOR ACTUAL Y DESCUENTO.......................493. CLASIFICACIÓN ...................................................50

3.1. Descuento comercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2. Descuento racional o matemático . . . . . . . . . 533.3. Descuento en el régimen de interés

compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544. DEDUCCIÓN FÓRMULA DEL VALOR

EFECTIVO CON DESCUENTOCOMPUESTO .........................................................554.1. Relaciones y comparaciones de la tasa de

descuento (adelantada) con la tasa de interés(vencida) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5. RESUMEN ENTRE DESCUENTOS......................596. VENCIMIENTO ÚNICO O COMÚN ....................59

6.1. Descuento bancario, comercial . . . . . . . . . . . 606.2. Descuento racional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.3. Descuento compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617. VENCIMIENTO MEDIO........................................628. RELACIÓN ENTRE EL VALOR ACTUAL

Y DESCUENTO COMPUESTO CON ELCAPITAL A INTERÉS COMPUESTO...................63

9. TASA NOMINAL – TASA EFECTIVA ..................649.1. Valor efectivo con tasa proporcional

(tasa nominal). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659.2. Valor efectivo con tasa equivalente . . . . . . . . 66

10. DESCUENTO – ACTUALIZACIÓNCONTINUA.............................................................6610.1. Descuento continuo con tasa equivalente

de descuento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6610.2. Relación entre el VA y el capital final

en régimen de CC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6810.3. Valor actual con descuento compuesto . . . . . 68

11. RESUMEN...............................................................70

CAPÍTULO 3Rentas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

1. CONCEPTO.............................................................752. CLASIFICACIÓN ...................................................773. RENTAS CIERTAS – INMEDIATAS DE

PAGOS CONSTANTES – CUOTA DE PAGOVENCIDO – VALOR ACTUAL .............................78

4. RENTAS CIERTAS – INMEDIATAS DEPAGOS CONSTANTES – CUOTA DE PAGOADELANTADO – VALOR ACTUAL....................81

5. RENTAS CIERTAS – DIFERIDAS DE PAGOSVENCIDOS .............................................................83

6. VALOR ACTUAL – RENTAS DIFERIDAS–DE CUOTAS (PAGOS) ADELANTADOS ............84

7. VALOR FINAL – RENTA DE PAGOSVENCIDOS (VF DE PAGOS VENCIDOS) ...........85

APLICACION TRIBUTARIA S.A. Matemática Financiera / 9

Sumario Analítico

8. VALOR FINAL – RENTA DE PAGOSADELANTADOS (VALUADO UN PERÍODODESPUÉS DEL ÚLTIMO PAGO) ..........................86

9. VALOR FINAL – RENTA DE PAGOSVENCIDOS (M – N PERÍODOS DESPUÉSDEL ÚLTIMO PAGO).............................................87

CAPÍTULO 4Rentas de Términos Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

1. RENTA EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA...........891.1. Valor Actual – Inmediata – Cuota vencida . . 891.2. Valor Actual – Cuota adelantada . . . . . . . . . . 911.3. Valor Actual – Diferida – Cuota vencida. . . . 921.4. Valor Actual – Diferida – Cuota adelantada . 921.5. Valor Actual – Cuota vencida y con la

amortización sea constante . . . . . . . . . . . . . . 93

1.6. Valor Final – Inmediata – Cuotavencida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

2. RENTA EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.......1002.1. Valor Actual – Cuota vencida . . . . . . . . . . . 100

CAPÍTULO 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

1. RENTAS PERPETUAS.........................................1071.1. Valor Actual – Inmediata – Cuotas

iguales – Pagos vencidos . . . . . . . . . . . . . . . 1071.2. Valor Actual – Inmediata – Cuotas

iguales – Pagos adelantados . . . . . . . . . . . . 1071.3. Valor Final – Inmediata – Cuotas

iguales – Vencidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081.4. Valor Actual – Diferida – Cuotas

iguales – Vencidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081.5. Valor Final – Diferida – Cuotas

iguales – Vencidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091.6. Valor Actual – Diferida – Cuotas

iguales – Adelantadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

1.7. Valor Final – Diferida – Cuotas iguales –Adelantadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

1.8. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102. RENTA EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA

PERPETUA............................................................1102.1. Valor actual – Cuota vencida . . . . . . . . . . . . 1102.2. Valor Actual – Cuota adelantada . . . . . . . . . 110

3. RENTA EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICAPERPETUA............................................................1113.1. De pagos vencidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.2. De pagos adelantados. . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

CAPÍTULO 6Sistemas de Amortización de Préstamos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

1. CONCEPTO...........................................................1132. CLASIFICACIÓN .................................................113

2.1. Sistema de amortización acumulativa –Sistema francés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

2.1.1. Determinación de la deuda inicial. . . . . 1142.1.2. Cálculo de la amortización de una

cuota cualesquiera . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152.1.3. Acumulado de las primeras “p”

amortizaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1172.1.4. Acumulado de las “p + h”

amortizaciones intermedias . . . . . . . . . . 1172.1.5. Acumulado de las últimas “n – p”

amortizaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1182.1.6. Acumulado de las “n”

amortizaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1182.1.7. Acumulado de las primeras “p”

cuotasde intereses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

2.1.8. Acumulado de las “p + h” cuotasde interés intermedias . . . . . . . . . . . . . . 119

2.1.9. Acumulado de las últimas “n – p”cuotas de intereses. . . . . . . . . . . . . . . . . 119

2.1.10.Acumulado de las “n” cuotasde interés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

2.1.11.Cálculo del total amortizado hastaun período determinado, incluidoeste, en función de la deuda inicial,de la tasa de interés y del tiempo . . . . . 119

2.1.12.Cálculo del total amortizado hastaun período determinado, incluidoeste, en función de la periodicidado cuota de servicio, de la tasa deinterés y del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . 120

2.1.13.Cálculo de la cuota interéscorrespondiente a un períododeterminado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

2.1.14.Acumulado de intereses hastaun período determinado, incluidoeste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

2.1.15.Intereses acumulados entre doscuotas intermedias, la cuota “p”y la cuota “p + h” . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

2.1.16.Intereses acumulados entre lasúltimas “n – p” cuotas . . . . . . . . . . . . . 125

2.1.17.Utilización del fondo amortizantepara el cálculo de los elementosde la fórmula de las amortizaciones . . . 126

2.1.18.Saldo de deuda – Método prospectivo . 127


Sumario Analítico

2.1.19.Saldo de deuda – Método deamortizaciones acumuladas. . . . . . . . . . 127

2.1.20.Saldo de deuda, en un momentodeterminado, incluido este . . . . . . . . . . 128

2.1.21.Saldo de deuda por el métodoretrospectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

2.1.22.Tiempo medio de reembolso . . . . . . . . . 1292.2. Sistema de amortización – Sistema

americano o de dos tasas . . . . . . . . . . . . . . . 1322.2.1. Características . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1322.2.2. Cálculo de la cuota o servicio que

hará posible el cumplimiento de loscompromisos contraídos por eldeudor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

2.2.2.1. Cuota o serviciocompleto . . . . . . . . . . . . . 134

2.2.2.2. Los intereses activos . . . . 1342.2.2.3. Los intereses pasivos. . . . 1352.2.2.4. El saldo de deuda en

un momentointermedio “p” . . . . . . . . 135

2.2.2.5. El saldo del fondoacumulado en unmomento intermedio“p” . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

2.2.2.6. Cálculo de la tasa “i”. . . . 1352.2.2.7. Discusión de los valores

del servicio completo,

según sean los de lastasa de interés . . . . . . . . . 135

2.2.2.8. Cálculo del valor delpréstamo en funciónde la cuota de servicio . . . 135

2.2.2.9. Cálculo del númerode cuotas (o servicios) . . . 136

2.3. Sistema de amortizaciones constantes –Sistema alemán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

2.3.1. Características . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1362.3.2. Cálculo de la cuota . . . . . . . . . . . . . . . . 1362.3.3. Cálculo de la deuda inicial . . . . . . . . . . 1372.3.4. Cálculo de las cuotas sucesivas o

siguientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1372.3.5. Cálculo del total amortizado hasta

cuota “p”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1382.3.6. Cálculo del total amortizado hasta

cuota “n”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1382.3.7. Cálculo del interés para un período

determinado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1392.3.8. Intereses acumulados hasta la cuota

“p” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1392.3.9. Intereses acumulados entre dos

cuotas cualesquiera . . . . . . . . . . . . . . . . 1402.4. Sistema directo sistema tasa directa

cargada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

ANEXO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

1. LOGARITMOS. DEFINICIÓN ............................1432. PROGRESIONES – SUCESIONES .....................144

2.1. Sucesión monótona creciente . . . . . . . . . . . 1442.2. Sucesión monótona decreciente. . . . . . . . . . 1452.3. Límite finito de una sucesión. . . . . . . . . . . . 1452.4. Límite finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1462.5. Límite infinito de una sucesión . . . . . . . . . . 1462.6. Límite infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

2.7. Convergencia y divergencia. . . . . . . . . . . . . 1472.8. Propiedades del límite finito de

sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1473. OPERACIONES CON LÍMITES..........................1474. EL NÚMERO e.....................................................1485. BINOMIO DE NEWTON .....................................1496. DESARROLLO EN SERIE DE TAYLOR............1507. FÓRMULA DE TAYLOR .....................................150

BIBLIOGRAFÍA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153


Sumario Analítico


Sumario Analítico

CAPÍTULO 1

Cálculo Financiero

1. OPERACIONES FINANCIERAS

El concepto de capital puede tener distintas acepciones o significados, según el ámbito en que seutilice: economía, comercio, industria, finanzas, etcétera.

En el ámbito financiero, el capital lo constituye una cierta cantidad de dinero que se presta o se in-vierte por un tiempo determinado, al cual se le aplica una determinada tasa de interés.

Por ejemplo el inversor, por un tiempo determinado, pactado previamente, pone el dinero a disposi-ción de un tercero, denominado deudor (lo “alquila”), con el propósito de obtener un beneficio. Esteimporte que se recibe, se denomina interés. La transacción descripta decimos que constituye una ope-ración financiera.

El interés pactado estará en relación de la cantidad de dinero inicial y al tiempo que dure la operación.

Transcurrido el plazo que dura la operación hay varias alternativas a contemplar, por ejemplo quese convenga en retirar los intereses y renovar el capital por otro período de tiempo; o bien invertir elcapital, más los intereses producidos.

Se trata es de establecer relaciones matemáticas (ecuaciones) entre los factores que intervienen (va-riables).

2. CAPITALIZACIÓN

Cuando a partir de una cierta cantidad inicial de dinero (capital), luego de transcurrido un ciertotiempo, se obtiene un valor final (monto), decimos que se ha efectuado una capitalización.

La evolución del capital en monto o capital final, se consigue por la acción de tres factores o varia-bles:

� El capital inicial o inversión.

� El tiempo o período de duración de la operación.

� La tasa de interés.


CAPÍTULO 1

Las operaciones pueden ser:

Según la forma de cálculo de los intereses:

1) Régimen simple.

2) Régimen compuesto.

Si es interés simple, los intereses se calculan siempre sobre el capital inicial. En el interés simple losintereses no producen interés.

Si es interés compuesto, los intereses se calculan siempre sobre el monto, es decir, sobre la acumu-lación de capital e interés obtenido en el período inmediato anterior.

En el interés compuesto, los intereses producen interés. Es decir, los intereses se reinvierten, sumán-dose al capital.

Teniendo en cuenta el período de la capitalización:

a) Capitalización discreta:

1) Subperiódica (en períodos menores que la unidad de tiempo, por ejemplo un mes subperíodode un año).

2) Periódica (cuando coincide con el período unidad de tiempo, un año por ejemplo).

b) Capitalización continua:

De esta forma, se pueden apreciar las variaciones de capital inicial en un número infinito de vecesen el tiempo.

Si el interés es función del tiempo, el capital inicial se transforma en cada infinitésimo de tiempo,dando origen a distintos montos que varían infinitesimalmente. Estudio teórico.

En el interés simple: Como los intereses se calculan sobre el capital inicial o inversión, el hecho decapitalizar más frecuentemente no produce mayor capital final. El crecimiento es lineal, o sea el montocrece en progresión aritmética.

En el interés compuesto: Tiene gran importancia el número de veces que se acumula el interés al ca-pital en el tiempo. Amedida que la frecuencia de capitalización aumenta, tanto mayor será el capital fi-nal. El crecimiento es exponencial, o sea el monto crece en progresión geométrica.

2.1. Definición

Si se dispone de un capital inicial C0, que luego del período de tiempo n = 1 (por ejemplo, un mes)se transformó en un capital final Cn.

Suponemos que “algo” se le aplicó al capital inicial durante ese tiempo para poder llevar a cabo latransformación, es decir, llevarlo a un cierto capital final.


CAPÍTULO 1

El capital final, al cabo de un cierto tiempo será:

Capital final o monto = Capital inicial o inversión + Intereses del período

Gráficamente:

Luego, el capital final obtenido, lo podemos expresar como:

(1) C1 = C0 + I (0;1)

De donde despejamos el interés:

(2) I (0;1) = C1 – C0

Variación absoluta entre el capital final y el capital inicial.

Observemos que el interés producido depende de los capitales inicial y final.

Aquí podríamos preguntarnos:¿es mucho o es poco? En realidad no lo sabemos. ¿Es mucho o espoco con respecto a qué parámetro de medición?

Dividiendo la expresión por el capital inicial, la independizamos del mismo, por lo que tendremos(dividimos ambos miembros por el capital inicial C0).

(3)I

C

C

C

( ; )011

0

1

0

= -

Es la variación relativa respecto del capital inicial. Estamos comparando respecto del capital inicial.

En esta expresión, a la proporción I(0;1)/C0 la definimos como un número i, que la conocemoscomo tasa de interés del período considerado.

Entonces:

(4)I

Ci

( ; )01

0

=

Por lo que podemos decir que la ecuación (3) quedará:

iC

C= -1

0

1


CAPÍTULO 1

n = 1

C0

Inversión Monto

Cn

O que es lo mismo:

(5) 1 1

0

+ =iC

C

En forma genérica:

(6) 11

+ =-

iC

C

p

p

Luego vemos que el capital inicial, durante un cierto período de tiempo, produjo un monto o capitalfinal, ya que se le aplicó una tasa de interés, durante el período de tiempo considerado.

Obtenemos el resultado que genera la operación financiera mediante la siguiente expresión:

ResultadoInterés

Inversión=

Para mejor ilustración nuestra expresaremos la tasa de interés con un subíndice, por ejemplo i365,tasa anual. En rigor de verdad, es más correcto decir “tasa efectiva de interés anual”. Pero como nues-tra unidad de tiempo la establecemos de antemano que va ser el año, directamente aludimos, entre pa-réntesis, a la frecuencia de capitalización. Por ejemplo i(2), es decir capitaliza dos veces en el año, ocapitaliza cada 180 días (si el año se toma 360 días).

La tasa de interés i(m) en realidad, es el rendimiento o resultado de la operación, siendo m la fre-cuencia de capitalización.

Por lo general, cuando m = 1, o sea que solo capitaliza una vez en el año simplemente la expresamoscomo i, tasa efectiva anual vencida (TEA).

Por ejemplo, i(2) = i180 (tasa de interés efectiva semestral vencida) o i(12) = i30 (tasa de interés efec-tiva mensual vencida), etcétera.

3. INTERÉS SIMPLE

Si disponemos de un capital inicial C0, que luego del período de tiempo n, durante el cual se le apli-có una tasa de interés ipc (tasa efectiva de interés vencida), obtenemos un capital final Cn.

Suponemos que la tasa de interés aplicada en cada período es la misma (constante).

El capital final, al cabo de un cierto tiempo será:

Capital final = Capital inicial + Interés

Analicemos para cada valor de n y luego poder generalizar.


CAPÍTULO 1

n C C I C i C1 1 0 0 01 01= = + = +( , ) .

n C C I I C i C i C C i C2 2 0 0 0 0 0 02 01 12 2= = + + = + + = +( , ) ( , ) . . .

n C C I I I C i C i C i C C3 3 0 0 0 0 03 01 12 2 3= = + + + = + + =( , ) ( , ) ( , ) . . . . 0 03+ i C.

n n C C i nn= = +0 1.[ . ]

Concluimos, que el capital final que se obtiene por un régimen simple se calcula mediante la si-guiente fórmula:

(6) C C i nn = +0 1.[ . ]

Observamos que el monto crece en progresión aritmética, es decir, en cada período se suma al ante-rior un valor constante, la razón “r”, esto es, “i.C0”, o sea r = i . C0

Esta expresión, de cuatro variables en principio, nos sirve de base para calcular cualquiera de ellasteniendo como datos las tres restantes.

El tiempo y la tasa deben ser expresados en la misma periodicidad de tiempo.

Es decir:

Tiempo anual ® Tasa anual

Tiempo semestral ® Tasa semestral

Tiempo trimestral ® Tasa trimestral.

Tiempo mensual ® Tasa mensual, etcétera

(1 + i.n) se denomina “factor de capitalización simple”.

Si queremos calcular el capital inicial, esto es:

CC

i n

n

0 1=

+[ . ]

Actualizamos, retrotraemos el capital final, en este caso (1 + i.n)–1 funciona como “factor de actua-lización”.

Por otra parte, resulta interesante analizar las representaciones gráficas que pueden surgir de estaexpresión, tomando algunas variables como constantes y viendo cómo evolucionan las demás.


CAPÍTULO 1

n

Cn

1

C1

2

C2

3

C3

0

C0

3.1. Interés simple – Representación gráfica del capital final

La expresión de la función lineal (recta):

y = m.x + b

La expresión financiera:

Cn = C0.i.n + C0

Es decir:

Cn = C0 (1 + i.n)

Por comparación:

y Cn”

Variable dependiente Monto”

m C i” 0 .

Coeficiente angular Interés del período”

x n”

Variable independiente El tiempo”

b C” 0

Ordenada al origen Capital inicial”

Si derivamos la expresión Cn = C0.i.n. + C0, la derivada primera nos indica crecimiento (pendientepositiva) o decrecimiento (pendiente negativa).

� Respecto de i:

dC

diC n

n = 0 . Pendiente positiva, por lo tanto creciente

� Respecto de n:

dC

dnC i

n = 0 . Pendiente positiva, por lo tanto creciente

La derivada segunda nos indica la concavidad de la función: si es positiva, cóncava hacia arriba; sies negativa, cóncava hacia abajo.

d C

di

n

2

2 0= No tiene concavidad


CAPÍTULO 1

d C

dn

n

2

2 0= No tiene concavidad

Gráficamente, la representación de la línea recta de pendiente positiva (creciente).

� Ejemplo: Dado el capital de C0 = $ 1.000, invertido por 6 períodos a una tasa de interés venci-da del 4% periódica, hacer el cuadro de evolución de la operación.

Período Capital

$

Interés delperíodo

$

Monto

$

Rendimiento o costo periódico

1 1.000 40 1.040i1

1040 1000

10000 040000=

-=

. .

.,

2 1.000 40 1.080i2

1080 1040

10400 038462=

-=

. .

.,

3 1.000 40 1.120i3

1120 1080

10800 037037=

-=

. .

.,

4 1.000 40 1.160i4

1160 1120

11200 035714=

-=

. .

.,

5 1.000 40 1.200i5

1200 1160

11600 034483=

-=

. .

.,

6 1.000 40 1.240i6

1240 1200

12000 033333=

-=

. .

.,

Totales 240

Se puede apreciar que en cada período el rendimiento o costo efectivo no se mantiene constante (últi-ma columna) decrece en cada período de tiempo.

3.2. Interés simple – Tasa variable

Consideremos tres períodos de tiempo, no necesariamente iguales, en los que rigen tasas de interésvencido diferentes, y luego generalizaremos.


CAPÍTULO 1

0 1 2 4 5

n

Para valores límites

Cn

i.C0

C i0

C0i = 0

i = 0

C = Cn 0

C = Cn 0

Si la tasa de interés vencida varía en cada período de tiempo:

El capital final en 3 es igual al capital inicial más los intereses producidos en cada período de tiem-po, con su respectiva tasa e interés, calculados siempre sobre el capital inicial C0.

C C C i n C i n C i n

C i n i n

3 0 0 1 1 0 2 2 0 3 3

0 1 1 2 21

= + + +

= + + +

. . . . . . .

[ . i nC C i nh h

h3 33 0

1

3

1. ]

. .Þ = +Ê

èÁÁ

ö

ø\

=Â

Generalizando para k períodos:

C C i nn h h

h

k

= +Ê

èÁÁ

ö

ø=Â0

1

1. .

� Ejemplo: Con los siguientes datos, calcule el capital final y los intereses totales.

� C0 = $ 250

� i1 = 2% anual

� i2 = 4% anal

� i3 = 7% anual

� n1 = 3 meses

� n2 = 5 meses

� n3 = 2 meses

Planteo:

C C i n i n i n3 0 1 1 2 2 3 31= + + + =.( . . . . )

I C i n( ; ) . . . , . ,01 2500 023

12125000 1 1= = =

I C i n( ; ) . . . , . ,12 2500 045

12416670 2 2= = =

I C i n( ; ) . . . , . ,2 3 2500 072

122 91670 3 3= = =


CAPÍTULO 1

n n n n= + +1 2 3

0i n1 1; i n2 2; i n3 3;

1 2 3

C0 C1

C C I1 0= + (0;1) C C I2 1= + (1;2) C C I3 2= + (2;3)

0 0 1= + ( . . )C i C n 1 2 0 2= + ( . . )C i C n 2 3 0 3= + ( . . )C i C n

C2 C3

I(0;3) = 1,2500 + 4,1667 + 2,9167 = $ 8,3333

Rta.: C3 = 258,33 I(0;3) = 8.3335

3.3. Interés simple – Tasa media o tasa promedio

Es la tasa a la que debieran haberse colocado ciertos capitales iniciales, para que al cabo del perío-do, produzcan un capital final igual a la suma de los capitales finales producido por cada uno de ellos.

Esto es, lo hacemos para tres capitales iniciales y luego generalizamos:

Buscamos una tasa i, que si la aplicamos a los tres capitales iniciales juntos nos daría el mismo impor-te que si imponemos cada capital inicial por separado, con una tasa de interés distinta cada uno de ellos,esto es:

C1 = C01.(1 + i1.n)

C2 = C02.(1 + i2.n)

C3 = C03.(1 + i3.n)

De aquí:

( ).( . ) .( . ) .( . )C C C i n C i n C i n C01 02 03 01 1 02 2 01 1 1+ + + = + + + + 3 31.( . )+ i n

Aplicando distributiva:

( ) ( ). . . .C C C C C C i n C C i n C C01 02 03 01 02 03 01 01 1 02+ + + + + = + + + 02 2 03 03 3. . . .i n C C i n+ +

Pasando al segundo miembro:

( ). . . . . .C C C i n C C i n C C i n C01 02 03 01 01 1 02 02 2 03+ + = / + + / + + / + / / /C i n C C C03 3 01 02 03. . – – –

De donde despejamos:

iC i C i C i n

C C C n=

+ +

+ +

( . . . ).

( ).01 1 02 2 03 3

01 02 03

Generalizando para k capitales iniciales:

i

C i

C

h h

h

k

h

h

k= =

=

Â

Â

01

01

.

� Ejemplo: Si se invierten las sumas de dinero de $ 15.000, $ 22.000 y $ 23.000, con las siguientestasas de interés: 4,50%, 5% y 6% efectivas mensuales respectivamente, por 90 días. Calcule latasa media obtenida.


CAPÍTULO 1

Solución:

Los capitales finales son:

C1 = 15000.(1 + 0,045.3) = 17.025

C2 = 22000.(1 + 0,05.3) = 25.300

C3 = 23000.(1 + 0,06.3) = 27.140

La suma de los capitales iniciales:

15.000 + 22.000 + 23.000 = 60.000

La suma de los capitales finales:

17.025 + 25.300 + 27.140 = 69.465

Si calculamos la tasa promedio mensual aplicando la fórmula obtenida, tenemos:

i =+ +

+

15000 0 045 22000 0 05 23000 0 06

15000 220

x x x, , ,

00 23000

3155

600000 052583

+= = ,

� Ejemplo: Con estos datos:

� C0 = $ 1

� n = 120 días

� i30 = 5%

� i30 = 6%

� i30 = 9%

� i30 = 8%

Calcule la tasa media de la operación.

Planteo: Calculamos los intereses para cada período:

I i C n( ; ) , ,01 0 05 1 1 0 051 0 1= = =x x x x

I i C n( ; ) , ,12 0 06 1 1 0 062 0 2= = =x x x x

I i C n( ; ) , ,2 3 0 09 1 1 0 093 0 3= = =x x x x

I i C n( ; ) , ,3 4 0 08 1 1 0 084 0 4= = =x x x x


CAPÍTULO 1

I I I I I( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; )0 4 01 12 2 3 3 4= + + + = 0 05 0 06 0 09 0 08 0 28, , , , ,+ + + =

La tasa media es:

i =+ + +

=0 05 0 06 0 09 0 08

40 07

, , , ,, (promedio aritmético)

4. INTERÉS COMPUESTO

En este caso, los intereses que se producen en cada período de tiempo son sumados al capital exis-tente, el cual va a representar el capital inicial para el próximo período de tiempo, y así sucesivamentehasta completar el plazo total.

Buscamos la expresión que se obtiene cuando los intereses producidos en cada período son integra-dos al capital, es decir, cuando hay una capitalización de los intereses pasan a formar parte del capitalpara el período siguiente.

Graficamos la operación financiera:

Y así hasta el período enésimo:

Cn = C0.[1 + i]n

Generalizamos:

� Para el primer período (n = 1):

C1 = C0 + i.C0 = C0.[1 + i]

� Para el segundo período (n = 2):

C2 = C1 + i.C1 = C.(1 + i) + i.C0.(1 + i) = C0.(1 + i).(1 + i) = C0.[1 + i]2

� Para el tercer período (n = 3):

C3 = C2 + i.C2 = C1 + i.C1 + i.[C1 + i.C1] = C0.[C0 + i]3

...... ..... ............. ......... ......... .......... ...... ..... ....... ...... ......

� Para el período “p” (n = p):

Cp = Cp – 1 + i.Cp – 1 = Cp – 1.[1 + i] = C0.[C0 + i]p


CAPÍTULO 1

0 i i i1 2 n

C0

C = C + I n – ;nn n – 1 ( 1 )C C I1 0= + (0;1) C C I2 1= + (1;2)

C C i.C1 0 0= + C C i.C2 1 1= +

0= .[1 + ]C i 0 0= .[1 + ] + .[1 + ]C i i.C i

0= .[1 + ]C i2

...

� Para el período “n” (n = n):

Cn = Cn – 1 + i.Cn –1 = C0.[1 + i]n

La expresión financiera para calcular el capital final en régimen de capitalización compuesta es:

(7) Cn = C0.(1 + i)n

Observemos que en este caso se trata de una progresión geométrica; cada elemento se va formandoal multiplicar al anterior por la razón “q”, esto es, “(1 + i)”.

4.1. Interés compuesto – Representación gráfica del capital final

Esta expresión se corresponde con una función del tipo exponencial creciente, de la forma:

y = k.ax

Siendo a > 1

Entonces, por comparación:

y = k.ax

Cn = C0.(1 + i)n

La similitud por cada término será:

y Cn”

Variable dependiente El monto”

k C” 0

Constante Capital inicial”

a i” +1

Constante Monto de $ 1 en un período de tiempo”

x n”

Variable independiente El tiempo”

Gráficamente, si consideramos valores límites (o valores extremos):

n C Cn= ® =0 0

i C Cn= ® =0 0

n C i n®¥Þ + ¥®0 1( )


CAPÍTULO 1

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MATEMATICA FINANCIERA GRANDE - …datos.aplicacion.com.ar/previews/2012/... · PRÓLOGO Tengo la satisfacción de prologar el libro de “Matemática Financiera” elaborado por el