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MATEMÁTICA I
LIMITES E CONTINIDADE
Prof. Dr. Nelson J. Peruzzi
Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari
Parte 1
• Limites Infinitos
• Definição de vizinhança e limite
• Limites laterais
• Limite de função real com uma variável real
• Teorema da existência do limite
• Limite de funções elementares (polinomiais, potência, n-ésima raiz, exponencial, logarítmica e trigonométrica)
• Propriedades de limites
• Indeterminações
Parte 2
• Continuidade de Funções
• Definição
• Tipos de Descontinuidade
• Propriedades
• Limites Infinitos
• Definição
• Assíntotas: horizontal e vertical
• Limites Fundamentais
LIMITE DE UMA FUNÇÃO
No cálculo e em suas aplicações, é comum estudar o
comportamento de uma função 𝑦 = 𝑓 𝑥 quando 𝑥 está
numa vizinhança de um valor 𝑎, mesmo que 𝑎 ∉ 𝐷𝑓.
Sejam 𝑎 ∈ ℝ e 𝛿 > 0 (suficientemente pequeno).
• Dizemos que x está na vizinhança (próximo) de a se
𝑥 − 𝑎 < 𝛿 .
• O valor a é dito limite da variável x.
• Notação: 𝑥 → 𝑎 .
Exemplo. 0,999… ≅ 1 ⇒ 0,999… ⟶ 1
então, 1 − 0,999… < 𝛿
DEFINIÇÃO DE VIZINHANÇA E LIMITE
No caso de uma variável real x, a aproximação do
número 𝑎 pode ser feita de duas maneiras: à
direita e à esquerda.
• Limite à direita de 𝒂 (valores maiores que 𝒂).
• Limite à esquerda de 𝒂 (valores menores que 𝒂).
DEFINIÇÃO DE VIZINHANÇA E LIMITE
Notação. 𝑥 ⟶ 𝑎+
Notação. 𝑥 ⟶ 𝑎−
Seja a função 𝑓 𝑥 = −𝑥 + 4 definida para todo
𝑥 ∈ ℝ.
• Analisemos o comportamento de 𝑓 𝑥 quando 𝑥 assume
valores próximos de 2, porém diferentes de 2.
LIMITE DE FUNÇÃO REAL COM
UMA VARIÁVEL REAL
𝒙 𝒇 𝒙 𝒙 𝒇 𝒙
1 3,00 3 1,00
1,5 2,50 2,5 1,50
1,7 2,30 2,3 1,70
1,9 2,10 2,10 1,90
1,99 2,01 2,01 1,99
LIMITE DE FUNÇÃO REAL COM
UMA VARIÁVEL REAL
Note que na função 𝑓 𝑥 = −𝑥 + 4,
quanto mais aproximamos 𝑥 do valor 2 as diferenças
𝑥 − 2 e 𝑓 𝑥 − 𝐿 se tornam suficientemente
pequenas.
Neste caso, lim𝑥→2
𝑓 𝑥 = 𝑓 2 ⇒ lim𝑥→2
−𝑥 + 4 = 2
𝑦
𝑥
Se a variável 𝒙 se aproxima de 𝒂 e os valores
𝑦 = 𝑓 𝑥 se aproximam de um valor real 𝑳 ,
dizemos que: a função 𝑦 = 𝑓 𝑥 tem limite 𝑳 ou
“tende a” 𝑳, quando 𝑥 tende para 𝑎.
Notação: lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝐿
Note que, dado 𝜖 > 0, existe 𝛿 > 0 tal que
𝑥 − 𝑎 < 𝛿 e 𝑥 ≠ 𝑥0 ⇒ 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜖
𝑎
𝐿
𝑓 𝑥1
𝑥1
𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑦
𝑥
LIMITE DE FUNÇÃO REAL COM
UMA VARIÁVEL REAL
TEOREMA DA EXISTÊNCIA DO LIMITE
Dada uma função 𝑦 = 𝑓 𝑥 , dizemos que existe o
limite de 𝑓 𝑥 quando 𝑥 tende ao ponto 𝑎 , se
existirem e forem iguais os limites laterais à
direita e a esquerda de 𝑎, isto é:
lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝐿 ⟺
lim𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 = 𝐿
lim𝑥→𝑎−
𝑓 𝑥 = 𝐿
Exemplo 2. Considere a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3.
Determine, caso exista, lim𝑥→0
𝑓 𝑥 .
LIMITE DE FUNÇÃO
lim𝑥→0−
𝑓 𝑥 = lim𝑥→0−
2𝑥 + 3 = 3
lim𝑥→0+
𝑓 𝑥 = lim𝑥→0+
2𝑥 + 3 = 3
Portanto
lim𝑥→0
𝑓 𝑥 = 3
𝑥
𝑦
Se 𝑚, 𝑎 𝜖 ℝ, então lim𝑥→𝑎
𝑚𝑥 + 𝑏 = 𝑚 ∙ 𝑎 + 𝑏
• Portanto, para calcular o limite da função linear,
𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏, quando 𝑥 → 𝑎, basta substituir a variável
𝑥 pelo valor aproximado 𝑎.
• Observações:
a) Fixando 𝒎 = 𝒄 uma constante e 𝒃 = 𝟎 temos:
lim𝑥→𝑎
𝑐𝑥 + 0 = lim𝑥→𝑎
𝑐𝑥 = 𝑐 ∙ 𝑎 ⇒ lim𝑥→𝑎
𝑐𝑥 = 𝑐 ∙ 𝑎
b) Fixando 𝒎 = 𝟎 e 𝒃 = 𝒌, 𝒌 é uma constante, temos:
lim𝑥→𝑎
0𝑥 + 𝑘 = lim𝑥→𝑎
𝑘 = 𝑘 ⇒ lim𝑥→𝑎
𝑘 = 𝑘
“o limite da constante é a própria constante”.
LIMITE DAS FUNÇÕES ELEMENTARES
Se 𝑛 𝜖 ℕ, então
lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥𝑛= 𝑓 𝑎
𝑛
• Exemplos:
a) Seja 𝑓 𝑥 = 𝑥2, quando 𝑥 → 3 temos que:
lim𝑥→3
𝑥2 = 32 = 9
b) Seja 𝑓 𝑥 =3𝑥−1 3
125, quando 𝑥 → 2 temos que :
lim𝑥→2
3𝑥−1 3
125=
3∙2−1 3
125= 1
LIMITE DA POTÊNCIA
Dada a função 𝑦 = 𝑓 𝑥𝑛
, se 𝑛 é par e 𝑓 𝑎 > 0, ou
𝑛 é ímpar, então:
lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥𝑛
= 𝑓 𝑎𝑛
• Exemplos:
a) Seja 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 5, quando 𝑥 → −2 temos que:
lim𝑥 → −2
𝑥2 + 5 = −2 2 + 5 = 4 + 5 = 9 = 3
b) Seja 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 − 13
, quando 𝑥 → 0 temos que :
lim𝑥 → 0
3𝑥2 − 13
= 3 ∙ 02 − 13
= −13
= −1
LIMITE DA N-ÉSIMA RAIZ
Seja 𝑏 ∈ ℝ+ e 𝑏 ≠ 1, então:
lim𝑥→𝑎
𝑏𝑓 𝑥 = 𝑏𝑓 𝑎
• Em particular, se 𝑏 = 𝑒 = 2,71…, temos:
lim𝑥→𝑎
𝑒𝑓 𝑥 = 𝑒𝑓 𝑎
• Exemplos:
a) Seja 𝑓 𝑥 = 23𝑥−1, quando 𝑥 → 1 temos que:
lim𝑥 → 1
23𝑥−1 = 23∙1−1 = 23−1 = 22 = 4
b) Seja 𝑓 𝑥 = 𝑒3𝑥−1, quando 𝑥 → 1
3 temos que :
lim𝑥 →1/3
𝑒3𝑥−1 = 𝑒3∙1
3−1 = 𝑒1−1 = 𝑒0 = 1
LIMITE DA EXPONENCIAL
Seja 𝑏 ∈ ℝ+ e 𝑏 ≠ 1, então, se 𝑓 𝑥 > 0:
lim𝑥→𝑎
log𝑏 𝑓 𝑥 = log𝑏 𝑓 𝑎 , 𝑓 𝑎 > 0
• Em particular, se a base 𝑏 = 𝑒 = 2,71… (n. de
Euler), temos:
lim𝑥→𝑎
ln 𝑓 𝑥 = ln 𝑓 𝑎 , 𝑓 𝑎 > 0
• Exemplos:
a) Seja 𝑓 𝑥 = log 𝑥2, quando 𝑥 → 10 temos que:
lim𝑥 → 10
log 𝑥2 = log 102= log 10 = 1
b) Seja 𝑓 𝑥 = ln 5𝑥 − 4 , quando 𝑥 → 1 temos que :
lim𝑥 → 1
ln 5𝑥 − 4 = ln 5 ∙ 1 − 4 = ln 1 = 0
LIMITE DO LOGARITMO
Função Seno:
lim𝑥→𝑎
sen 𝑓 𝑥 = sen 𝑓 𝑎
Função Cosseno:
lim𝑥→𝑎
cos 𝑓 𝑥 = cos 𝑓 𝑎
Função Tangente:
lim𝑥→𝑎
tg 𝑓 𝑥 = tg 𝑓 𝑎 , com 𝑓 𝑎 ≠𝜋
2+ 𝑘𝜋
LIMITE DAS TRIGONOMÉTRICAS
Para o polinômio de grau 𝑛, 𝑛 ∈ ℕ, dado por:
𝑝𝑛 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0
temos que:
lim𝑥→𝑎
𝑝𝑛 𝑥 = 𝑝𝑛 𝑎
LIMITE DE POLINÔMIOS
PROPRIEDADES DE LIMITES
LIMITE DA SOMA E DIFERENÇA
lim𝑥→𝑎
𝑓 ± 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 ± lim𝑥→𝑎
𝑔 𝑥
LIMITE DO PRODUTO
lim𝑥→𝑎
𝑓 ∙ 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 ∙ lim𝑥→𝑎
𝑔 𝑥
LIMITE DO QUOCIENTE
lim𝑥→𝑎
𝑓
𝑔𝑥 =
lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
lim𝑥→𝑎
𝑔 𝑥, lim
𝑥→𝑎𝑔 𝑥 ≠ 0
INDETERMINAÇÕES
Calcule o limite da função 𝑓 𝑥 =2𝑥−2
𝑥−1 quando
𝑥 → 1.
Solução:
lim𝑥→1
2𝑥 − 2
𝑥 − 1= lim
𝑥→1
2 𝑥 − 1
𝑥 − 1= 2
Para tratar as indeterminações, pode-se mani-
pular algebricamente e simplificar as expressões
eliminando as indeterminações.
Parte 1
• Limites Infinitos
• Definição de vizinhança e limite
• Limites laterais
• Limite de função real com uma variável real
• Teorema da existência do limite
• Limite de funções elementares (polinomiais, potência, n-ésima raiz, exponencial, logarítmica e trigonométrica)
• Propriedades de limites
• Indeterminações
Parte 2
• Continuidade de Funções
• Definição
• Tipos de Descontinuidade
• Propriedades
• Limites Infinitos
• Definição
• Assíntotas: horizontal e vertical
• Limites Fundamentais
• No cotidiano, para descrever um fato que ocorre
ou ocorreu sem interrupção, geralmente, usamos
o termo Contínuo.
o Ex.: medicamento de uso contínuo.
• Na matemática, usamos a expressão Contínua
para funções e neste caso a noção é um pouco
diferente da usada no cotidiano.
CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
INDETERMINAÇÕES
Uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥) é dita contínua num ponto
𝑎 se, e somente se, satisfaz às três condições
simultaneamente:
• Se uma função não satisfaz todas as condições
acima no ponto 𝑎, a função é dita descontínua
(no ponto 𝑎) e 𝑎 é um ponto de descontinuidade
da função.
CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
Intuitivamente, dizemos que uma função é
descontínua num ponto 𝑎 se o seu gráfico tiver
“salto, degrau ou ruptura” ao passar pelo ponto
(𝑎 , 𝑓(𝑎)).
Essa função não é contínua,
pois ∄𝑓 𝑎
Essa função não é contí-
nua, pois ∄ lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
TIPOS DE DESCONTINUIDADE
a) Descontinuidade removível: as descontinuidades
são criadas a partir da remoção de 𝑓(𝑎).
b) Salto: o gráfico “salta” ao
passar a.
c) Descontinuidade
infinita: quando
𝑥 → 𝑎 ⇒ 𝑓 𝑥 → ∞
Se f e g são funções contínuas em a, então:
i) (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) é contínua em 𝑎.
ii) (𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) é contínua em 𝑎.
iii) (𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) é contínua em 𝑎.
iv)𝑓
𝑔(𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥) , 𝑔(𝑎) ≠ 0, é contínua em 𝑎.
PROPRIEDADES DE FUNÇÕES CONTÍNUAS
Observação 2: Para calcular o limite das funções
elementares contínuas, quando x tende ao ponto 𝑎,
basta substituir 𝒙 por 𝒂 na expressão 𝒇(𝒙),
respeitando 𝐷𝑓.
PROPRIEDADES DE FUNÇÕES CONTÍNUAS
Considere as funções com comportamento
ilimitado quando 𝑥 tende a 𝑎.
• Seja 𝑦 = 𝑓(𝑥) uma função definida por: 𝑦 =3
𝑥−2 2
descontínua em 𝑥 = 2. Qual o comportamento de
𝑦 = 𝑓(𝑥) na vizinhança de 2?
LIMITES INFINITOS
2 𝑥
𝑦
ASSÍNTOTA VERTICAL
A reta vertical 𝑥 = 𝑎 é chamada assíntota
vertical do gráfico de uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥) , se
𝑦 → ±∞ quando 𝑥 → 𝑎− ou 𝑥 → 𝑎+ .
𝑦 𝑦
𝑥 𝑥
𝑦 𝑦
𝑥 𝑥
𝒂 𝒂
𝒂 𝒂
• Seja 𝑦 = 𝑓(𝑥) uma função definida por 𝑦 =2𝑥2
𝑥2+1
𝑦
𝑥
Note que, neste caso, temos uma assíntota
horizontal em 𝑦 = 2, assim:
lim𝑛→−∞
2𝑥
𝑥2 + 1= 2
LIMITES INFINITOS
ASSÍNTOTA HORIZONTAL
A reta horizontal 𝑦 = 𝐿 é chamada assíntota
horizontal do gráfico de uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥), se
𝑦 → 𝐿 quando 𝑥 → ∞ ou 𝑥 → −∞.
𝑳 𝑳
𝑳 𝑳
Se o limite de uma função cresce (ou decresce)
ilimitadamente, quando 𝑥 se aproxima de um
valor 𝑎, dizemos que o limite é infinito (ou menos
infinito).
• Notação:
lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = ∞ ou lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = −∞.
• Assim, temos uma descontinuidade infinita.
DEFINIÇÃO DE LIMITES INFINITOS
Para 𝑓(𝑥) =3
𝑥−2 2 temos que
lim𝑥→2+
𝑓 𝑥 = ∞
pois
Analogamente, lim𝑥→2−
𝑓 𝑥 = ∞, pois
LIMITES INFINITOS
𝑥 3 2,5 2,33 2,25 2,1 2,01 2,001
𝑦 3 12 27 48 300 30.000 3.000.000
𝑥 1 1,5 1,66 1,75 1,9 1,99 1,999
𝑦 3 12 27 48 300 30.000 3.000.000
LIMITES INFINITOS
São considerados limites infinitos no infinito
qualquer um dos 4 casos:
• 𝑦 → ∞ quando 𝑥 → ∞
• 𝑦 → ∞ quando 𝑥 → −∞
• 𝑦 → −∞ quando 𝑥 → −∞
• 𝑦 → −∞ quando 𝑥 → ∞
LIMITES FUNDAMENTAIS
LF1. lim𝑥→0
sen 𝑥
𝑥= 1
LF2. lim𝑥→±∞
1 +𝑘
𝑥
𝑥= 𝑒𝑘
• se 𝑘 = 1, lim𝑥→±∞
1 +1
𝑥
𝑥= 𝑒
LF3. lim
𝑥→0
𝑎𝑥−1
𝑥= ln 𝑎
• se 𝑎 = 𝑒, lim𝑥→0
𝑒𝑥−1
𝑥= 1
𝑥
𝑦