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MATEMATICA PER L’ECONOMIA. CORSO SERALE I° MODULO Prof.ssa Angela Ghiraldini. ARGOMENTI del MODULO. EQUAZIONI di I° e II° GRADO DISEQUAZIONI di I° e II° GRADO MATRICI e DETERMINANTI SISTEMI di EQUAZIONI LINEARI FUNZIONI REALI ad UNA VARIABILE REALE - PowerPoint PPT Presentation
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MATEMATICA PER L’ECONOMIA
CORSO SERALEI° MODULO
Prof.ssa Angela Ghiraldini
ARGOMENTI del MODULO
EQUAZIONI di I° e II° GRADO DISEQUAZIONI di I° e II° GRADO MATRICI e DETERMINANTI SISTEMI di EQUAZIONI LINEARI FUNZIONI REALI ad UNA VARIABILE REALE RICERCA OPERATIVA concetti genrali programmazione lineare metodo grafico metodo del simplesso
A. Ghiraldini
MATRICI e DETERMINANTI GENERALITA’ sulle MATRICI
Si definisce matrice di ordine mxn e si indica con una lettera maiuscola, l’insieme di m∙n numeri reali disposti in m righe e n colonne ordinate
Con il termine ordine si indica la dimensione della matrice
Con la scrittura aij si indica quel numero reale, elemento della matrice, che è posizionato nella i-esima riga e nella j-esima colonna della matrice stessa
Una matrice di ordine mxn si dice rettangolare se m≠n
Una matrice di ordine mxn si dice quadrata se m=n
Gli elementi aij , per cui vale i = j , formano la diagonale principale A.
Ghiraldini
MATRICI e DETERMINANTI
esempi
matrice rettangolare matrice quadrata
5x8 5x5
3 56 11 12 97 -9 32 3
85 22 -3 45 48 22 76 0
8 5 0 2 3 42 31 75
3 89 8 74 -5 67 55 -1
53 70 2 33 34 -8 6 7
2 56 66 38 -32
3 9/2 -1 89 54
75 48 45 -9 2
4 -57 4/5 68 3
-34 31 2 43 0
MATRICI e DETERMINANTI GENERALITA’ sulle MATRICI
Una matrice quadrata si dice diagonale se: aij = 0 per ogni i ≠ j
aij ≠ 0 per ogni i = j
Una matrice quadrata si dice triangolare superiore se sono nulli tutti gli elementi al di sotto della diagonale principale
Una matrice quadrata si dice triangolare inferiore se sono nulli tutti gli elementi al di sopra della diagonale principale
Una matrice diagonale è triangolare superiore e inferiore
A. Ghiraldini
MATRICI e DETERMINANTI
esempi
rettangolare superiore
diagonale
rettangolare inferiore
1/2 -3 49
0 9 52
0 0 -87
46 0 0
78 5 0
-6 2/9 -5
4 0 0 0
0 -6 0 0
0 0 9/4 0
0 0 0 4/2
MATRICI e DETERMINANTI GENERALITA’ sulle MATRICI
Data una matrice A di ordine mxn, si dice trasposta di A, e si indica con AT la matrice di ordine nxm ottenuta da A scambiando le righe con le colonne
Una matrice si dice simmetrica se A = AT
Una matrice quadrata si dice identica o unitaria se: aij = 1 per i = j
aij = 0 per i ≠ j
A. Ghiraldini
MATRICI e DETERMINANTI
45 -3 11
2/7 9 6
45 2/7
-3 9
11 6
esempi trasposta simmetrica
= A
= AT
43 -5 0 11
-5 7 -2 4
0 -2 -5 64
11 4 64 0
MATRICI e DETERMINANTI GENERALITA’ sui DETERMINANTI
Si chiama determinante di una matrice quadrata A, e si indica con la scrittura detA , oppure |A|,
un numero ad essa associato
Se n = 1 , cioè A = (a11), allora detA =|a11 |= a11
Se n = 2 , cioè A = allora detA = = a11a22 – a12a21
A. Ghiraldini
a1
1
a1
2
a2
1
a2
2
a1
1
a1
2
a2
1
a2
2
MATRICI e DETERMINANTI
2/3 20
-3 11
2/3 20
-3 11
esempi: determinanti 2x2
= A = detA =(2/3)11-(-3)20= 202/3
= B = detB = 6(-5)-11(-3/2) = -93/2
6 3/2
11 -5
6 3/2
11 -5
MATRICI e DETERMINANTI GENERALITA’ sui DETERMINANTI
Se n = 3 , cioè A = allora
detA = = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a31a22a13 - a11a32a23 - a21a12a33
oppure
REGOLA DI SARRUSSe n = 3, detA si può ottenere sommando i prodotti delle diagonali
principali e sottraendo i prodotti delle altre diagonali della tabella ottenuta aggiungendo, alla destra di A, le sue prime due colonne
A. Ghiraldini
a1
1
a1
2
a13
a2
1
a2
2
a23
a3
1
a3
2
a33a1
1
a1
2
a1
3
a2
1
a2
2
a2
3
a3
1
a3
2
a3
3
MATRICI e DETERMINANTI
esempio determinante 3x3
= A
= detA = 6∙1∙10 + (-2)(-2)2 + 5(-3)1/2 + - [2∙1∙5 + (-3)(-2)10 + 6(1/2)(-2)]= -7/2
6 -2 5
-3 1 -2
2 ½ 10
6 -2 5
-3 1 -2
2 ½ 10
MATRICI e DETERMINANTI
esempio regola di Sarrus
= A
detA = 6∙1∙10 + (-2)(-2)2 + 5(-3)(1/2) +
-[2∙1∙5 + (1/2)(-2)6 + 10(-3)(-2)] = = 60 + 8 – 15/2 – 10 + 6 – 60 = -7/2
6 -2 5
-3 1 -2
2 ½ 10
6 -2 5
-3 1 -2
2 1/2 10
6 -2
-3 1
2 1/2
MATRICI e DETERMINANTI GENERALITA’ sui DETERMINANTI
Vediamo ora un criterio generale che consente di calcolare il determinante di una matrice quadrata, qualsiasi sia il suo
ordine :
Sia A una matrice quadrata di ordine n ≥ 2, definiamo minore complementare di un elemento aij , e lo indichiamo con Aij , il determinante della matrice (n-1)x(n-1), ottenuta da A , eliminando la i-esima riga e la j-esima colonna
Sia A una matrice quadrata di ordine n ≥ 2 e sia aij un elemento qualsiasi, si chiama complemento algebrico di aij il minore complementare di aij , preso con il segno positivo se i+j è pari, negativo se i+j è dispari
Data una matrice quadrata A di ordine n ≥ 2, il suo determinante si ottiene sommando i prodotti di tutti gli elementi di una qualsiasi riga
(o colonna) per i rispettivi complementi algebrici
A. Ghiraldini
MATRICI e DETERMINANTI
esempio minore complementare
=A
5 -4 9 2
6 7 -7
8 2 -3 = A22 = 6∙2∙2 + 7(-3)5 + 8∙9(-7) - 5∙2(-7) - 8∙7∙2 - 6∙9(-3) =
5 9 2 = 24 - 105 - 504 + 70 - 112 - 162 = -789
6
3
7 -7
7 -3 8 2
8 -4 2 -3
MATRICI e DETERMINANTI
esempio = detA =
2 1 -3 -1 1 -3 -1 2 -3 -1 2 1 = 3 -1 2 4 - 2 5 2 4 + 1 5 -1 4 + 5 5 -1 2 dove 1 -1 5 3 -1 5 3 1 5 3 1 -1
2 1 -3 2 4 -1 4 -1 2-1 2 4 = 2 -1 5 - 1 1 5 - 3 1 -1 = 28 + 9 + 3 = 40 1 -1 5
-1 1 -3 2 4 5 4 5 2 5 2 4 = - 1 -1 5 - 1 3 5 - 3 3 -1 = -14 -13 + 33 = 6 3 -1 5 detA = 3∙40 - 2∙6 + 1∙(-41) + 5∙31
=
-1 2 -3 -1 4 5 4 5 -1 detA = 222 5 -1 4 = -1 1 5 - 2 3 5 - 3 3 1 = 9 – 26 – 24 = -41 3 1 5
-1 2 1 -1 2 5 2 5 -1 5 -1 2 = - 1 1 -1 - 2 3 -1 + 1 3 1 = 1 + 22 + 8 = 31 3 1 -1
3 2 1 -5
-1 2 1 -3
5 -1 2 4
3 1 -1 5
MATRICI e DETERMINANTI
PROPRIETA’ dei DETERMINANTI
Se tutti gli elementi di una riga o di una colonna di A sono nulli => detA = 0
Se due righe (o colonne) vengono scambiate => detA cambia segno
Se gli elementi di due righe (o col.) sono uguali o proporzionali => detA = 0
A. Ghiraldini
MATRICI e DETERMINANTI
esempi
6 -2 0-3 1 0 = 6∙1∙0+(-2)∙0∙2+(-3)∙(1/2)∙0-2∙1∙0-(1/2)∙0∙6-(-3)(-2)∙0=0 2 ½ 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6 -2 5-3 1 2 = 6∙1∙10+(-2)∙2∙2+(-3)∙ ½ ∙5-2∙1∙5- ½ ∙2∙6-(-3)(-2)∙10= 2 ½ 10 = 60 - 8 - 15/2 - 10 - 6 - 60 = -63/2
6 5 -2-3 2 1 = 6∙2∙ ½ +5∙1∙2+(-2)∙(-3)∙10-2∙2(-2)-10∙1∙6-(-3)5∙ ½ = 2 10 ½ = 6 + 10 + 60 + 8 - 60 + 15/2 =
+63/2
6 -2 5 6 -2 5 = 6(-2)∙10+(-2)5∙2+5∙6∙½ -2(-2)5-6(-2)∙10-½∙5∙6 = 2 ½ 10 = -120 - 20 + 15 + 20 + 120 - 15 = 0
MATRICI e DETERMINANTI
PROPRIETA’ dei DETERMINANTI
Se si moltiplicano tutti gli elementi di una riga (o col.) per k reale => kdetA
detA = detAT
Se una riga (o col.) di A di ordine n , è somma di due n-ple (bi) e (ci) => detA = detB + detC ,
dove B e C sono le matrici ottenute da A sostituendo la riga ( o col.) in questione rispettivamente con (bi) e con (ci)
A. Ghiraldini
MATRICI e DETERMINANTI
esempi
6 -2 5 = detA =-3 1 2 = 6∙1∙10 +(-2)∙2∙2 + (-3)∙½∙5 -2∙1∙5 - ½ ∙2∙6 - (-3)(-2)∙10 = 2 ½ 10 = 60 - 8 - 15/2 - 10 - 6 - 60 = -63/2
12 -4 10-3 1 2 = 12∙1∙10+(-4)∙2∙2+(-3)∙½∙10 -2∙1∙10 - ½∙2∙12 - (-3)(-4)∙10= 2 ½ 10 = 120 - 16 - 15 - 20 - 12 - 120 = -
63 = 2detA
6 -3 2 = detAT = -2 1 ½ = 6∙1∙10 + 5(-3)½+ 2∙2(-2) - 5∙1∙2 – (-2)(-3)∙10 - 6∙2∙ ½ = 5 2 10 = 60 - 15/2 - 8 - 10 - 60 - 6 = -
63/2
MATRICI e DETERMINANTI
esempi
=detA= 5∙8∙2 + (-3)7∙3 + (-1)10∙4 - 3∙8∙4 – (-1)(-3)2 - 10∙7∙5= = 80 - 63 - 40 - 96 - 6 - 350= = - 475 -475 = -302 -173
5 -1 4
-1 3 7 =detB= 5∙3∙2 + (-1)7∙3 + (-1)7∙4 - 3∙3∙4 – (-1)(-1)2 - 5∙7∙7 =
3 7 2 = 30 - 21 - 28 - 36 - 2 - 245 = - 302
5 -2 4
-1 5 7 =detC= 5∙5∙2 + (-2)7∙3 + (-1)3∙4 - 3∙5∙4 – (-1)(-2)2 - 3∙7∙5 =
3 3 2 = 50 - 42 - 12 - 60 - 4 - 105 = -173
5 -3 4
-1 8 7
3 10 2
MATRICI e DETERMINANTI PROPRIETA’ dei DETERMINANTI
Se A è triangolare di ordine n => detA = a11∙a22∙a33∙…∙aii∙…∙ann
Se a tutti gli elementi di una riga (o col.) di A vengono sommati i corrispondenti elementi di un’altra riga (o col.) di A moltiplicati per una costante k => il valore di detA non cambia
La somma dei prodotti degli elementi di una riga (o col.) di A per i complementi algebrici dei corrispondenti elementi di un’altra riga (o col.) parallela è nulla (LAPLACE)
A. Ghiraldini
MATRICI e DETERMINANTI
esempi
½ -3 49 0 9 52 = ½∙9(-87) + (-3)52∙0 + 0∙0∙0 - 0∙9∙49 - 0∙52∙½ - 0(-87)(-3)= 0 0 -87 = - 783/2 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = -783/2
5 -3 4 -1 8 7 = detA = 5∙8∙2 + (-3)7∙3 + (-1)10∙4 - 3∙8∙4 – (-1)(-3)2 - 10∙7∙5= 3 10 2 = 80 - 63 - 40 - 96 - 6 - 350= = - 475
5+(4∙2) -3 4 13 -3 4 -1+(7∙2) 8 7 = 13 8 7 =13∙8∙2+(-3)7∙7+4∙13∙10-7∙8∙4-10∙7∙13-2∙13(-3)= 3+(2∙2) 10 2 7 10 2 =208 – 147 + 520 - 224 – 910 + 78 = -475
MATRICI e DETERMINANTI
esempio Laplace
=A
2 1 -5 3 1 -5 3 2 -5 3 2 -5 = 3 2 1 -3 - 2 -1 1 -3 + 1 -1 2 -3 + 5 -1 2 1 = 1 -1 5 3 -1 5 3 1 5 3 1 -1
= 3 [(10-3+10)-(-5+10+6)] - 2 [(15-9-5)-(-15-5+9)] +
+ 1 [(30-18+5)-(-30-9-10)] + 5 [(-6+6-15)-(-30+2+3)] =
= 3 (-23-11) – 2 (1+11) +1 (27+49) + 5 (-15+25) = = -102 - 24 + 76 + 50 = 0
3 2 1 -5
-1 2 1 -3
5 -1 2 4
3 1 -1 5
MATRICI e DETERMINANTI
CARATTERISTICA di una MATRICE
Data una matrice A di ordine mxn, è possibile estrarre da essa delle sottomatrici quadrate, di ordine massimo r, pari al min(m , n),
i cui determinanti vengono detti minori
Se esiste almeno una sottomatrice di ordine r tale che il suo minore risulti non nullo allora si dice che A ha caratteristica r (dove r = m oppure r = n)
Se tutti i minori di ordine r sono nulli si procede con sottomatrici di ordine via via più basso fino a quando si individua un minore non nullo , l’ordine della sottomatrice di cui risulta essere il minore è la caratteristica di A
Si definisce caratteristica di una matrice A, e si indica con k(A), l’ordine massimo dei minori, relativi a sottomatrici estratte da
A, non nulli A.
Ghiraldini
MATRICI e DETERMINANTI esempio caratteristica di A
-1 3 2 5 6 -2 4 3 =A -2 6 4 10
3 2 5 -1 2 5 -1 3 5 -1 3 2 -2 4 3 =0 6 4 3 =0 6 -2 3 =0 6 -2 4 =0
6 4 10 -2 4 10 -2 6 10 -2 6 4
Tutti i minori di ordine 3 risultano nulli perché la 1° e 3° riga sono proporzionali -1 3
esiste un minore di ordine 2 non nullo 6 -2 = 2 – 18 = -16
Quindi k(A) = 2
MATRICI e DETERMINANTI
RANGO di una MATRICE
Si chiama rango per riga di una matrice A, e si indica con r(A), il massimo numero di righe di A che risultano linearmente indipendenti
Si chiama rango per colonna di una matrice A, e si indica con r’(A), il massimo numero di colonne di A che risultano linearmente indipendenti
Se A è una matrice di ordine mxn, allora k(A) = r(A) = r’(A), cioè la caratteristica di A uguaglia sia il rango per righe che il rango per colonne
A. Ghiraldini