Matemática y Razonamiento Lógico - Radio Fe y … · Matemática y Razonamiento Lógico 7mo. Semestre ... la naturaleza y tecnológicos (el movimiento, la electricidad, óptica),

Matemática y Razonamiento

Lógico7mo. Semestre

Educación Media Técnica

Te invitamos a ser el protagonista de tus es-tudios, es decir, que asumas las “riendas” de este proceso de formación. Recuerda que este sistema exige dedicación, disciplina y cons-tancia. De tu voluntad y disposición depende que generes verdaderos aprendizajes.

La mayoría de las temáticas del área de Matemáticas son abordadas por medio de situaciones que buscan, por un lado, relacio-nar los conocimientos previos con la nueva información y, por otro, mostrar que los con-tenidos matemáticos surgen de la necesidad de dar respuestas a situaciones del entorno o propias de los contextos matemáticos.

En este semestre seguiremos contribuyendo al logro de las competencias matemáticas que nos hemos planteado a lo largo de la formación del sistema IRFA, mediante una serie de capacidades, habilidades y actitudes que tendrás que desarrollar con las actividades propuestas.

Un breve repaso…Semana 1

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Con respecto al área de la Física, ha sido enfocada hacia el análisis y com-prensión de los fenómenos físicos, dado que estamos seguros de que enten-der las teorías precede a la ejercitación de algoritmos. Asimismo queda de tú parte seguir profundizando en estos temas que son tan relevantes en la sociedad actual.

Durante este semestre desarrollaras las siguientes competencias:

• Seráscapazdeidentificar,interpretaryexpresardemaneraverbal,sim-bólicay/ográficaunarelaciónfuncionalentredosmagnitudesrelacio-nadasconfenómenoscientíficos,delcontextoymatemáticos,teniendoencuentalascaracterísticasgeneralesdelasfuncionesquelasdefinen.

• Seráscapazdeexplorar,describire interpretar las formasyrelacionesespaciales presentes en el entorno físico, aplicando y descubriendo dis-tintas formas de razonamiento geométrico y de argumentación de sus ideas.

• Seráscapazdeexplorar,describir,analizareinterpretarfenómenosdela naturaleza y tecnológicos (el movimiento, la electricidad, óptica), haciendo uso de modelos físicos y matemáticos, la experimentación y formulación de hipótesis para predecir e intervenir en el desarrollo y avance de nuestras sociedades.

Estematerialfuediseñadoconelfirmepropósitodeayudarteenelprocesode formación ¡aprovéchalo!

Semana 1Un breve repaso…

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Apreciados participantes, nos encontramos nuevamente para asumir grandes retos. Esta sema-na damos inicio a otro semestre y cada vez estamos más cerca de llegar a la meta. Esta sesión la dedicaremos a evaluar las com-petencias que has adquirido en el semestre anterior y a mostrar las unidades de aprendizaje que abordaremos en éste.

Desde ahora te invitamos a mantener una actitud positiva hacia el aprendi-zaje de la matemática y el razonamiento lógico, por ello debes asumir la res-ponsabilidad y compromiso que amerita este tipo de sistema semipresencial, donde tú eres el protagonista, tú decides el tiempo de dedicación a esta área en función de tu dinámica de trabajo, de tus capacidades y habilidades para la misma. ¡Éxitos en este viaje que te toca emprender!

En esta sección indagaremos lo que conoces del sistema semipresencial IRFAylasimpresionesquehastenidoenél.Siapenasvasingresando,podríasplantearte ¿cuáles son tus expectativas?, ¿cuál ha sido tu experiencia hasta el momento en el sistema IRFA? (puedes hacer una valoración de los encuentros en el CCA, la atención brindada por los facilitadores y coordinadores, entre otros), ¿cuántas menciones se ofertan en este sistema?, ¿cuáles son los ele-mentos educomunicativos que se manejan en este sistema?, ¿cuáles sueles utilizar?, ¿qué elementos sugerirías tomar en cuenta por este sistema para se-guir mejorando? Comenta tus respuestas al facilitador.

Los siguientes problemas y ejercicios tienen como propósito evocar los co-nocimientos previos que te ayudarán a resolver las situaciones que se presen-tarán en este semestre.

¡Empecemos!

¿Qué sabes de...?

Semana 1 Un breve repaso…

El reto es...


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1. Aunjuegoamistosodefútbolasistieron18.000personas.Si lasentra-das en la tribuna cuestan 60 Bs y en las gradas 20 Bs y se recaudaron 600.000 Bs. ¿cuántas personas se sentaron en la tribuna y cuántas en las gradas?

2. Resuelvelossiguientessistemasdeecuacioneslinealesdeformagráficae indica cuál de éstos son consistentes.

a) x+y=9 b) x+y=4 c) y=3x

3x+3y=27 x+y= -4 y= -3x+2

3. Un auto sale de Maracaibo a una velocidad de 70km/h. Una hora más tarde, otro auto sale siguiendo la misma vía a 100km/h. ¿A qué distancia de Maracaibo van a encontrase los autos?

4. Anavaaconstruirunascajitasdecoradasparaobsequiarlasensufiestade cumpleaños, su base es cuadrada y la altura es de 3cm. De acuerdo a esto, responde:

a) ¿Cuántos mililitros de gelatina puede colocar en cada cajita (es de-cir, su volumen) cuando la medida del lado de la base es de 10 cm?, ¿y si mide 20 cm?, ¿y si mide 30cm?Recuerda que 1 mililitro (ml) = 1 centímetro cúbico (cc o cm3).

b) Busca la función que relaciona el lado de la base con el volumen de la caja. ¿Cómo se llama esta función?

5. Dos gráficos, distancia–tiempo y velocidad–tiempo incluidos a conti-nuación, son los que representan un mismo movimiento rectilíneo:

Figura1.Gráficodistancia-tiempoyvelocidad-tiempo

a) 1 y 2 b) 1 y 4 c) 3 y 2 d) 3 y 4

10

5.0

(1) d (m)

t (s)

10

5.0

(3) d (m)

t (s)

2.0

1.0

(2) v (m/s)

t (s)

2.0

(4) v (m/s)

t (s)


175

6. Detallalafigura2:

Figura 2

Señalaelpuntomásaltoquealcanza el chorro de agua. ¿Cómo se llama ese punto?

Describe el comportamiento del chorro de agua antes de llegar a ese punto y, después de ese punto, ¿cómo es el movimiento que describe la trayectoria del agua?

A continuación se presenta a modo de información los módulos que traba-jaremos en este semestre. En esta oportunidad abordaremos los siguientes: En el primero, Aritmética y álgebra, donde trabajaremos la competencia de resolver problemas mediante los sistemas de ecuaciones lineales con tres in-cógnitas. El segundo módulo corresponde a Funciones y gráficas, donde es-tudiaremos las características y propiedades de la función exponencial a tra-vésdesuexpresiónsimbólicayrepresentacióngráfica.Seguimosconelmó-dulo de Geometría y espacialidad, en el cual iniciamos una nueva unidad de aprendizaje,laTrigonometría,específicamenteestudiaremosloconcernientecon ángulos y las razones trigonométricas. Finalmente, dedicaremos un es-pacio al módulo de Fenómenos físicos, donde continuaremos estudiando otros tipos de movimientos y se introduce, mediante situaciones cotidianas, los fenómenos electrostáticos.

Para saber más…

Te recomendamos que revises el DVD del presente semestre para que te vayas familiarizando con el material.

Así mismo puedes disfrutar de una variedad de problemas en la siguien-te dirección web: http://platea.pntic.mec.es/jescuder/construc.htmo

Intenta hacer los problemas antes de ver las soluciones.

Complementemos los ejercicios y/o problemas anteriores con un lista-do de enigmas y juegos matemáticos que permiten estimular la imagi-nación y desarrollar la facultad de razonar.

Vamos al grano

Aplica tus saberes


176

1. ¿Suicidiooasesinato?Enunahabitaciónenlaquenohaymueblesniningún otro objeto, aparecen un hombre ahorcado y un charco de agua exactamente bajo sus pies. ¿Cómo ha conseguido este hombre suicidar-se?

2. Dificultadesparaeljardinero.¿Cómoseplantarán10árbolesen5filasde 4 árboles cada una?

3. Un problema de madres e hijas. Dos madres y dos hijas salen a pasear diariamente con tres sombreros. Cada una lleva un sombrero. Ninguna se queda sin ningún sombrero. ¿Cómo es posible?

4. Quitandotrespalillos(verfigura3),armaunaformaquetengasolamen-te tres cuadrados.

Figura 3

5. ¿Cuántoscuadradoshayenlafigura4?

Figura 4

En equipo, en el CCA te invitamos a compartir la solución de estos problemas.

Para empezar un gran proyecto, hace falta valentía. Para terminar un gran proyecto hace falta perseverancia. Anónimo

Comprobemos y demostremos que…


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Semana 2 Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas

Bienvenidos y bienvenidas a otro encuentro con el conocimiento de la matemática. Recordemos que existen problemas en los que se plantea la ne-cesidad de determinar los valores de dos o más cantidades que satisfacen varias condiciones: nos referimos a los sistemas de ecuaciones lineales.

Los sistemas de ecuaciones lineales nos permiten plantear a través de diversas representaciones (algébrica, grá-fica,aritméticayverbal)situacionesdelentornocientífico (en laeconomía,biología, física) y cotidiano.

En esta oportunidad mostraremos que los sistemas de ecuaciones lineales (SEL)contresincógnitaspuedenresolverseatravésdelosmétodosestudia-dos en el 6to semestre.

Durante la lectura del material ejercitarás la traducción de situaciones reales en las que intervienen varias incógnitas para ser expresadas a través de sistemas de ecuaciones lineales y la resolución de estas a través de los métodos conocidos.

a) Recordemos unos conceptos que son importantes para la comprensión de esta temática. ¿Qué es una ecuación?, ¿qué es un sistema de ecuacio-nes?,¿quésignificalasolucióndeunsistemadeecuacioneslineales?,¿aqué llamamos sistema de ecuaciones equivalentes?

b) Con el siguiente problema se pretende que apliques los conceptos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, es-tudiadoenel6tosemestre.Sedeseasaberelpesodeloscírculosyloscuadrados; se sabe que el triángulo pesa 13 kg y el cilindro pesa 25 kg. Realízalo aplicando uno de los métodos analíticos abordados en semes-tres anteriores.

¡Empecemos!

¿Qué sabes de...?

13 25

Figura 5

Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitasSemana 2

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El reto es...

Una fábrica de ropa elabora tres estilos de camisas. Cada uno de estos esti-los requiere el servicio de los tres departamentos, observa la lista de la tabla 1. Los departamentos de corte, confección y empaque tienen disponibles como máximo 280, 380 y 130 horas de trabajo por mes respectivamente. ¿Qué can-tidad de camisas de cada estilo debe ser producida para que la planta opere al máximo de su capacidad?

Tabla 1. Horas empleadas por departamento para la producción de camisas

Estilo A Estilo B Estilo C

Departamentos de corte 0.2 h 0.4 h 0.3 h

Departamentos de confección 0.3 h 0.5 h 0.4 h

Departamentos de empaque 0.1 h 0.2 h 0.1 h

De la tabla 1 puede leerse que cada camisa de estilo A es cortada en 0.2h, una camisa de estilo B es cortada en 0.4h… Observa además que las 280h que emplea el Departamento de corte es la suma de los tiempos empleados para cortar cierta cantidad de camisas de cada estilo.

Para resolver este problema puedes optar por plantear un sistema de ecua-ciones (estudiado en semestres anteriores) u otro método, por ejemplo tan-teo, sólo que esta vez tienes tres ecuaciones y tres incógnitas. ¿Ya sabes cuáles son las incógnitas? Antes de avanzar con la lectura del material, tómate tu tiempo para dar esta respuesta.

Planteemos el sistema de ecuaciones de la situación inicial. En la informa-ción suministrada por el problema nos dan la cantidad de horas invertidas en cada Departamento; así, por ejemplo, en el Departamento de confección se dispone de 380h para los tres estilos de camisa.

En este problema, los valores que desconocemos (las incógnitas) son:

x: Cantidad de camisa estilo A.

Vamos al grano

Semana 2Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas

179

y: Cantidad de camisa estilo B.z: Cantidad de camisa estilo C.

Al hacer uso de nuestros conocimientos del álgebra, obtenemos un SELcomo el siguiente.

0.2x+0.4y+0.3z= 280 … (1)0.3x+0.5y+0.4z= 380 … (2)0.1x+0.2y+0.1z= 130 … (3)

Para resolver este sistema de ecuaciones es importante recordar las operaciones que producen sistemas de ecuaciones equivalentes.

Los sistemas equivalentes de ecuaciones son aquellos que tienen exacta-mente el mismo conjunto de solución.

Usaremos el método de eliminación o reducción trabajado en resolución desistemasSELdedosincógnitas,sóloqueestaveztenemostresincógnitas;aunque no es la única forma y el método puede variar de acuerdo a las carac-terísticas de estos sistemas.

2x+4y+3z= 2800 … (1)3x+5y+4z= 3800 … (2)1x+2y+1z= 1300 …(3)

La idea es ir eliminando las variables hasta obtener sistemas equivalentes más simples. Podemos multiplicar por un valor distinto de cero y luego, sumar las ecuaciones.

• Eliminemoslavariablex (podría ser cualquier otra) de las ecuacio-nes (1) y (2). Primero multiplicamos por -2 la ecuación (3) y obtene-mos -2x-4y-2z= -2600 … (4)

2x+4y+3z= 2800 … (1)- 2x-4y-2z =- 2600 … (4)

z = 200 Sumamosla ecuación (1) y (4)

• Consideremosahora la ecuación (2) (laqueno sehabíautilizado) yla ecuación (3). Eliminamos de estas dos ecuaciones la misma variable eliminada en el paso anterior.


180

Multiplicamos por -3 la ecuación (3) y obtenemos: -30x-60y-30z= -3900… (5)

3x+5y+4z= 3800… (2)-3x-6y-3z= -3900… (5)

-y+z=-100 … (6)Sumamosla

ecuación (2) y (5)

Sustituimosz=200 en la ecuación (6) y obtenemos y=300

¿Quésignificanesosvaloresennuestroproblema?,¿quédebeshacerparahallarelotrovalor?Sustituyeesosvaloresencualquieradelasecuacionesori-ginales y despeja la incógnita x. Así la solución de este sistema está dada por la terna (500, 300, 200)

x y z

Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas

En general los sistemas de la forma(*), representan sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas.

a1x+b1y+c1z=k1 a2x+b2y+c2z=k2 (*)

a3x+b3y+c3z=k3

donde a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, k1, k2 y k3 son constantes.

El conjunto solución de este sistema es el conjunto de todas las ternas (una tripleta ordenada) tales que, al sustituirlas en cada ecuación, se cumple la ve-racidad del sistema (en este caso, las tres ecuaciones).

Para saber más…

•Lossistemasdeecuacioneslinealescondosvariablesgráficamentere-presentan la intersección o no de rectas, mientras que en los sistemas de ecuaciones lineales con tres variables representan planos del espacio tridimensional.

•Paratraduciraquellassituacionescotidianasquepuedanrepresentar-se a través del sistema de ecuaciones lineales, tienes que tener buen dominioenellenguajealgebraico.DespuésdehaberplanteadoelSELpuedes resolverlo por el método que consideres que mejor se adapte a la situación. Observa el siguiente ejemplo. A un partido de beisbol asistieron 800 personas entre hombres, mujeres y niños; el número de hombres es igual al doble de mujeres más el triple de niños y el número


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de mujeres es 4 veces el de los niños. Determina cuántos de cada uno de ellos asistieron.

Tienes que asignarles variables: x: número de hombres que asistieron; y: número de mujeres que asistieron y z: número de niños que asistieron. La suma de los tres da 800, x+y+z=800, x=2y+3z (el número de hombres es igual al doble de mujeres más el triple de niños). Culmina el ejemplo.

Plantea un sistema de ecuaciones lineales y resuélvelo.

1. Sedisponedeunrecipientede24litrosdecapacidadydetresmedidasA, B y C.SesabequeelvolumendeA es el doble de B, que las tres medi-das llenan el depósito y que las dos primeras lo llenan a la mitad. ¿Cuál es el volumen de cada medida?

2. Wilmer ha pagado un total de 368 Bs. en el supermercado por 4 paque-tes de café, 2 kg de jamón de pavo y 3 kg de carne. Calcula el precio de cada artículo, sabiendo que 1 kg de carne cuesta el triple que un paque-te de café y que 1 kg de jamón cuesta igual que 1kg de carne más dos veces el precio de un paquete de café.

3. Supongamosquelastresbalanzas,A, B y Cquesemuestranenlafigura6, se encuentran en equilibrio y se quiere hallar el peso de cada uno de los objetos.

Figura 6

Aplica tus saberes


182

1. Entrega a tu facilitador los problemas de la sección “Aplica tus saberes”.

2. Autoevalúate con los siguientes indicadores:

Indicadores Nunca Pocas veces

Frecuen-temente Siempre

PlanteaselSELcontres incógnitas de la situación dada.

Resuelves por cualquier método losSELcontresincógnitas.

Contextualizas el resultado obtenido.

Compruebas la veracidad de los resultados obtenidos.

Revisas la información contenida en el DVD.

Las oportunidades no son producto de la casualidad, más bien son el resultado de un trabajo. Tonatihu



183

Semana 3 Matrices

Apreciado participante, la ac-titud que asumas ante las situa-ciones que se presentan día a día será la clave para resolverlas eficientemente. Por ello te su-gerimos mantener disposición y apertura hacia el aprendizaje de las matemáticas.

En esta oportunidad aborda-remos el concepto matemático de matriz. Las matrices son una herramienta muy importante para organizar la información que aparece, por ejemplo, en los negocios en los que es necesario calcular y combinar ciertos costos y can-tidades de productos. Las tablas son una forma de representar estos datos. Agruparlos nos proporciona facilidad y claridad en el manejo de estos. En el campo de la matemática la utilidad de las matrices va aunada a que éstas permiten tener otra representación de los sistemas de ecuaciones lineales, brindando métodos para la resolución de los mismos.

Habrás visto en los periódicos el juego del sudoku, donde se deben seguir unascondicionesparajugar:enlosrecuadrosresaltadosde3filasy3columnas(escribimos 3x3) estos deben contener los números del 1 al 9, sin repetirlos.

¡A completar el sudoku!

¡Empecemos!

¿Qué sabes de...?

6 4 7

8 4 2 6

2

2 8 1

3 5

5 7 9

5

2 7 5 6

1 8 3

MatricesSemana 3

184

En la sección deportiva del periódico ¡Un nuevo día! Aparece información delaclasificacióndelosequiposdebeisbolenlatemporada2008-2009.

Tabla 2

Equipos

Juegos

JJ JG JP

Leones 41 26 15

Cardenales 44 25 19

Águilas 43 22 21

Tigres 39 20 19

Tiburones 42 21 21

Caribes 43 19 24

Bravos 40 17 23

Navegantes 44 18 26

JJ: Juegos jugados. JG: Juegos ganados. JP: Juegos perdidos.

Responde lo siguiente, con base en la tabla 2.

1. ¿QuésignificadotieneenlatablaelN°23?

2. ¿Cuántos juegos han jugado los Tiburones de La Guaira? Ubica la posi-ción de ese valor.

3. ¿Cuál equipo ha perdido más juegos en esta temporada? Menciona en quéfilaseencuentraynombralosvalores.

A los elementos de las líneas horizontales losllamaremosfilasyalosdelaslíneasver-ticales los llamaremos columnas.

El reto es...

Semana 3Matrices

185

De la lectura que realizaste de la tabla 2, observa que cada valor tiene una posición;porejemplo,sinosubicamosenlafila3ycolumna2,elvalordondeseinterceptanéstasdoses22,quesignificalosjuegosganadosporelequi-podelasÁguilasdelZulia.Detallaademásque,siinvierteselordendefilasy columnas, el valor obtenido es distinto. Este tipo de tabla de dos entradas en el área de las matemáticas la podemos asociar con el término de matrices. Veamosladefinicióndeunamatriz.Puedesnotarqueelejemplodelsudokutambién representa una matriz.

Definición de matriz

Sedenominamatriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos enformarectangular,formandofilasycolumnas.Estosnúmeroslosllamare-mos elementos de la matriz. Un elemento se distingue de otro por la posición queocupa,esdecir,lafilaylacolumnaalaquepertenece.

Seledelimitaconparéntesis.Normalmentedesignamosaunamatrizconletras negritas mayúsculas como A, B y así sucesivamente.

Así en nuestro caso particular podemos expresar

41 26 15 44 25 19 43 22 21 39 20 19 P = 42 21 21 43 19 24 40 17 23 44 18 26

De forma general tenemos que una matriz puede representarse así:

Este elemento se encuentra enlafila2yenlacolumna1. mfilas

A =

N columnas

Nosreferiremosalelementoqueseencuentraenlafilai y en la columna j como el elemento aij de A.

Vamos al grano

a11 a12 a13 ...a1na21 a22 a23 ...a2n a31 a32 a33 ...a3n

am1 am2 am3 amn

... ......

...

MatricesSemana 3

186

Orden de una matriz

Elordendeunamatrizsedefinecomo:númerodefilaspornúmerosdeco-lumnas; por tanto, una matriz de mfilasyn columnas es de orden mxn. Así, en elejemploanterioresdedimensión8x3,tiene8filasy3columnas,esdecir,tiene 24 elementos.

Silamatriztieneelmismonúmerodefilasquedecolumnas,sellamamatrizcuadrada de orden n.

1 3 1 6 1/8Ejemplos: A= D = 3 -1 2 2/5 -6 0 -4 7

Los números 1 y -6 en la matriz A de orden o dimensión 2 (o 2x2) se conocen como los elementos de la diagonal principal. La diagonal principal la halla-mos en las matrices cuadradas. Así también los números 1,-1 y 7en la matriz D de dimensión 3 son elementos de la diagonal principal.

Para saber más…

Revisa diferentes tipos de matrices en la siguiente dirección web: http://www.vitutor.com/algebra/matrices/tipos.htmlllos.

1. Paraestaactividadanexatuboletadecalificacionesy responde losi-guiente:

• ¿Cuáleselordendelamatriz?,¿escuadradaorectangular?

• Ubicalaposicióndelacalificaciónmásalta,deltercerlapso.

• ¿Enquéfilaseencuentranlascalificacionesdematemática?Nom-bra esos elementos.

• Extraedetuboletínunamatrizfilayunamatrizcolumna,señalaelorden de cada una.

2. Para cada matriz, señala el orden y el tipo:

4 6 3 -4 -4 C = -3 -2 1/6 0 -7 D = E = 0 6 5 5 -5 0 0 -9/7

Aplica tus saberes

Semana 3Matrices

187

F = G = H = I =

Comparte con tus compañeros del CCA la solución de los ejercicios anteriores.

Nuestra gloria más grande no consiste en no habernos caído nunca, sino en haberse levantado después de cada caída. Confucio


6-2-5

1 0 03 0 06 7 0 9 1 -2

1 0 00 1 00 0 1

-1 3-2 76 0

Función exponencial (parte 1)Semana 4

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Semana 4 Función exponencial (parte 1)

Apreciado participante, en este semestre analizarás las funciones exponenciales, las cuales apare-cen en algunos modelos sociales, económicos y físicos. Por ejemplo, puedes explicar fenómenos como el crecimiento de la población (tanto de personas, animales y bacterias), el crecimiento econó-mico, la desintegración radioacti-va (crecimiento negativo…) y además con ellas puedes hacer estimaciones o proyecciones en el tiempo para dicho fenómeno.

Durante la lectura del material interpretarás las situaciones y/o fenómenos delcontextoqueseleasocian,asícomoidentificaráslascaracterísticasypro-piedades de las funciones exponenciales a través de su expresión simbólica.

Para avanzar satisfactoriamente en este concepto matemático necesitas tener nociones básicas de porcentaje y propiedades de la potencia. Prueba resolviendo los siguientes ejercicios:

a) 53=

b) 2-3 =

c) 2-5 · 28 =

d) Halla el 25% de 5000.

e) Halla el 4% de 560.

f ) ¿Cuánto es el 15% de 100?, ¿por qué?

Juana tiene unos ahorros en el banco, que invertirá en un negocio de impre-siones y recarga de cartuchos. Ella tenía un monto de 10000 Bs y recibía un 36% anual; si su dinero tiene un tiempo de 6 meses, determina cuánto inverti-ráalfinaldeeseperíodosilosinteresesseacumulanmensualmente.

¡Empecemos!

¿Qué sabes de...?

El reto es...

Semana 4Función exponencial (parte 1)

189

Tómate tu tiempo para darle respuesta, realízalo valiéndote de tus conoci-mientos en porcentaje; puedes hacer una tabla con dos columnas: una donde coloques el mes y en la otra el capital más intereses generados para ese mes. El 36% es el interés anual, al dividirlo entre 12 da el interés recibido por mes, 3% mensual. Luego trata de encontrar un patrón (fórmula) que te permita hallar el interés para cualquier tiempo. No avances con la lectura del material hasta que hayas intentado solucionar este reto.

Una función exponencial es una función de la forma f (x)= ax donde a representa un número real positivo y a = 1.

Seexcluyeelvalorde labasea=1 puesto que en este caso se trata de una función constante f(x)= 1x=1¿Por qué también se excluyen los valores negativos de la base?

Veamos a través del siguiente ejem-plo cómo establecer la expresión simbólica de la función exponencial.

Crecimiento de bacteriasLas bacterias de un recipiente de 4 li-

tros se duplican cada minuto. Después de 60 minutos el recipiente está lleno. ¿Cuántas bacterias hay en los 2 litros del recipiente?

Vamos a calcular el número de bacterias a los 60 minutos, en ese instante el recipiente de 4 litros está lleno. Dividiendo entre dos esa cantidad, nos dará exactamente el número de bacterias que ocuparán la mitad del recipiente.

Lafigura7nosmuestraesquemáticamenteelcrecimientodelasbacteriasamedida que transcurre el tiempo. ¡Haz uso de tus conocimientos de potencia! Observa que al siguiente minuto cada una de estas se duplican nuevamente. No tenemos que hacer todos los cálculos para saber la cantidad de bacterias en el minuto 60, pues la lista sería larga: a través de una fórmula podemos simplificarlos.Fíjatequelabase (2) aparece como constante y el exponente varía (el tiempo); en resumidas cuentas, tenemos:

f(t) = 2t

Número de bacterias Tiempo

Vamos al grano

Figura 7

0 min 1min 2 min 3 min20 = 1 21 = 2 22 = 4 23 = 8


190

Aplica tus saberes

Sedicequeunacantidadaumenta(odisminuye)exponencialmentecuan-doaumenta(odisminuye)enunfactorfijoporunidaddetiempo.Siesefac-torfijoesa (enelcasoanterior2),estadefiniciónse traduceen la funciónexponencial.

Usamos la calculadora científica para evaluar 260

Teclear: 2 60 =

Exhibición: 2 60 1,1529215... x1018

El esquema de arriba es válido para hallar cualquier potencia. Práctica con otros valores.

La función es creciente a medida que aumenta (o disminuyen) los valores del tiempo; el número de bacterias también aumenta (o disminuye).

Para saber más…

La dirección web http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1066 hace referencia a una presentación interactiva de las funcio-nes exponenciales para que profundices más en esta temática.

Retomemos el problema inicial. En la tabla 3 aparecen algunos cálculos, compáralos con los que acabas de realizar.

Tabla 3. Capital e intereses acumulados

Meses Capital + Intereses

0 10000 Capital

1 10000+10000.3%=10000+10000.3/100=1000+300=10300

2 10300+10300.3%=10300+10300. 3/100=10300+309=10609

Observa que en el 2do mes se halla el 3% del monto anterior y no de la can-tidad inicial. Imagina que tengas que hallar los resultados de 18 meses. Puedes culminar la tabla 3, pero, mediante la función exponencial del interés compues-to de un determinado capital en cualquier tiempo, C= C0.(1+r)n, donde C es ca-

x


191

pital; Co es capital inicial; r es el interés en porcentaje y n el número de meses. En el CCA comparte la solución obtenida por medio de esta expresión.

Resuelve…

¿Cuálesdelassiguientesexpresionesnodefinenunafunciónexponencial?

a) y = 3x b) y = x 2 c) y = ( 2 ) d) y = xx e) y = (2,5)x f ) y =

Halla la función exponencial que mejor describa los siguientes fenómenos:

1. Supongamosahora,queunasolabacteriadelcólerasedividecadame-diahoraparaproducirdosbacteriascompletas.Siseempiezaconunacolonia de 50 bacterias, expresa a través de una función exponencial cuántas bacterias habrá después de t horas. Una sugerencia: utiliza la ta-bla 4 para obtener algunos valores y partir de allí para hallar la fórmula.

Tabla 4. Relación tiempo y cantidad de bacterias

Tiempo (t)Número de

bacterias f(t) o y

Tiempo (t)Número de

bacterias f(t) o y

t=0 t=60min o 1h

t=30min o ½ h t=90min o 1,5h

Recuerda que las funciones exponencia-les tienen una base fija y un exponentevariable.

2. Una pelota de goma se deja caer desde una altura de 1m. Cada vez que rebota contra el piso pierde un 10% de altura. ¿Cuántos rebotes son ne-cesarios para que esté a 20 cm del suelo? Generaliza los resultados a través de una función exponencial.

3. SiinviertesBs.12000al42%anualconinteresesacumulativos,calculaelcapital que tendrás transcurridos: a) un mes b) 4 meses y c) generaliza los resultados.

1 3x

x


192

4. Presenta en el CCA un breve escrito sobre la presentación interactiva sugerida en la sección “Para saber más”, donde resaltes las características de las funciones exponenciales creciente y decreciente.

1. Socializalosresultadosdelosejerciciosanteriorescontuscompañerosdel CCA y facilitador.

2. ¿Qué lograste? ¡Autoevalúate!

Indicadores Si A veces No

Realicé las consultas sugeridas en la sección “Para saber más”.

Leí el material impreso previo al encuentro en el CCA.

Dedicotiemposuficienteparahacer las actividades.

Comparto dudas y aciertos con los compañeros del CCA y mi facilitador.

Cuando pierdas, no te fijes en lo que has perdido, sino en lo que te queda por ganar. Anónimo



193

Semana 5 Función exponencial (parte 2)

Estimado participante, te invita-mos a seguir perseverando y con-fiandoentuscapacidadesparare-solver problemas. Recordemos que en la semana anterior estudiamos la expresión simbólica (fórmula) de las funciones exponenciales; en esta ocasión abordaremos otra de sus representaciones:lasgráficas.

Alfinaldelalecturapodrásconstruirlasapartirdelosvaloresdesuexpre-siónsimbólicaeidentificaráslascaracterísticasypropiedadesdeéstas.

Estas preguntas sugieren elementos necesarios para abordar satisfactoria-menteestaunidad:¿Cómoobtieneslagráficadelasfunciones?,¿quérepre-senta lagráficadeunafunción?,¿cómocompruebassiunparordenadoessolución de la expresión simbólica de una función?

A Omar le encanta la física y quería saber cómo varía la presión a medida que se escala una montaña. Indagando en un libro encontró lo siguiente: La presión atmosférica P medida en milímetros de mercurio (mm Hg), está rela-cionada con la altura h (en kilómetros) sobre el nivel del mar, como lo muestra lafigura8.

Figura8.GráficoAlturacontraPresiónatmosférica

¡Empecemos!

¿Qué sabes de...?

El reto es...

800

600

400

200

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Altura (Km)

Pres

ión

(mm

Hg)


194

Ayúdalo a interpretar este fenómeno. Observando la gráfica responde:¿Cómo influye la altura en el comportamiento de la presión?, ¿es una función creciente o decreciente? Explica. Encuentra la presión atmosférica a una altu-ra de 2000 metros. ¿Qué valor tiene a una altura de 10 kilómetros?, ¿cuál es la presión atmosférica al nivel del mar (kilómetro 0)? A una altura de 5 km en cuánto se reduce la presión atmosférica (aproximadamente) respecto al valor de la presión al nivel del mar. ¿A qué altura la presión atmosférica es, aproxi-madamente, la cuarta parte de la presión atmosférica al nivel del mar?

Gráfica de la función exponencial

Lagráficaanteriorrepresentaunafunciónexponencial.

• Grafiquemoslafunciónexponencialf(x)= 2x o y= 2x, obtenida en el ejem-plo de las bacterias.

El dominio de f(x)= 2x consiste en todos los números reales; para cada valor de x siempre es posible tener un valor para y. Observa las características de estafunciónatravésdesugráfica(verfigura9).

Figura9.Gráficotiempo-númerodebacterias

En el caso de las bacterias tendríamos que a los tres minutos se tienen 8 bacterias, o que el recipiente contiene 16 bacterias a los 4 minutos. ¿Por qué no tendría sentido usar valores negativos en el dominio, para el ejemplo de las bacterias?

Delgráficoydelaexpresiónsimbólicadelafunciónexponencialanteriorsetiene:

Características de las funciones del tipo f(x)= ax(cuya base a 1)

El dominio de la función son todos los números reales (- , ).

Vamos al grano

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0-2 -1 0 1 2 3 4 5

Eje x

Eje

y

8 8


195

Elrangodelafunciónsonlosnúmerosrealespositivos(0,).Susgráficasseencuentran arriba del eje x.

La función es creciente; a medida que aumenta (o disminuyen) los valores de x los valores de y también aumentan (o disminuyen).

Lagráficapasaporelpunto(0,1)yapartirdeallícrecerápidamentecuandox toma valores muy grandes (xtiendeainfinito)ycuandox toma valores menores (xtiendeamenosinfinito)losvaloresdey se aproximan a cero (eje x).

• Grafiquemoslafunciónexponencialy=2-x

Observa que en este caso el exponente está precedido del signo negativo y, de acuerdo a la propiedad de los exponentes negativos, se busca el inver-so de la base y el exponente cambia a signo positivo. Así que la expresión simbólica de la función exponencial y = 2-x , puede reescribirse de la siguien-te manera:

2-x= (2-1) x = = , por tanto y = 2-x =

Puedes usar cualquiera de las dos formas equivalentes para hallar la tabla de valores.

X -3 -2 -1 -0,8 -0,6 0 0,2 0,4 1 2

Y 8 4 2 1,74 1,52 1 0,87 0,76 0,5 0,25

Veamos cómo obtener algunos valores mediante la expresión y= 2-x

Six = -3 y = 2-(-3) y = 23 = 8

Six = 2 y = 2-2 = = = = 0,25

¡Comprueba con el resto de los valores!

Uniendolospuntosconunacurva,obtieneslasiguientegráfica(verfigura10).

Figura10.Gráficadelafunciónexponencial

8

1 2

1 2

1 2

1 2

12 22

1 4

1 X XX

2

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Eje x

Eje

y


196

Lagráficaanteriorestípicadetodas las funcionesexponencialesquetie-nen una base entre 0 y 1, esto es 0 a 1; en nuestro ejemplo a=1/2=0,5 así 0 0,5 1. Dichas funciones son decrecientes a medida que los valores de x aumentan (o disminuyen) los valores de y disminuyen (o aumentan).

Para saber más…

En el DVD multimedia debes realizar la actividad interactiva de asociar lafórmulaconsurespectivagráfica,apoyándoteparaelloenlaformadelagráficasiescrecienteodecrecienteycuáleselinterceptoconeleje de las y.

1.Graficalassiguientesfuncionesexponenciales:a)y =3x; b) y=2-x+4; c) y=3x-2

2. La expresión y = 50 · 2t/30, representa el número de bacterias, para t=120min,150miny240min…Hallalagráficaasociadaaestaexpresión.

3. Investiga en la web la aplicación de las funciones exponenciales y realiza un escrito ilustrado de dos hojas.

Recuerda utilizar las escalas adecuadas en los ejes de coordenados al momento de graficarlasfuncionesexponenciales.

1.Entregaa tu facilitador lasgráficas (enpapelmilimetradoousandoelprograma Excel); socializa los resultados.

2. Recuerda que es importante evaluarnos para reflexionar sobre las accio-nes que llevamos a cabo al momento de iniciar nuestro auto aprendiza-jeyafianzarcuálesdeellasestándandoresultadosycuálesdebemoscorregir. ¿Has logrado realizar los ejercicios propuestos?, ¿cómo ha sido tu participación en el CCA?, ¿consideras que la información suministra-daenelmaterialbrindalasherramientassuficientesparahacerlassitua-ciones planteadas?

La educación es esencial en el proceso de liberación del ser humano. Hostos Freire


Aplica tus saberes


197

Semana 6 Ángulos: Grados y radianes

Estimado participante, desde este semestre hasta el 9no tra-bajarás una temática importante dentro de la geometría: la trigo-nometría (medida de los trián-gulos). En este semestre iremos “abonando” los elementos que van a permitirte la comprensión de ésta.

Recordarás que en semestres anteriores se recalcó que la unidad para medir ángulos es el grado; por cierto ¿con qué instrumento se miden los ángulos? Pero en trigonometría vas a nece-sitarotraunidadparamedirángulos:elradián.Específicamenteenestasemananos dedicaremos a establecer la relación entre grados y radianes, para realizar conversiones entre ambos.

1. Completa la tabla 5, apoyándote en tus conocimientos sobre ángulos. Consideremos en cada caso, ángulos centrados en el punto O y cuyos lados son M y P; lo expresamos así, el ángulo MOP, MOP.

Tabla 5

Clasificación Nombre Descripción Gráfico Representación simbólica

Segúnsuabertura

Suaberturamide más de 90°perome-nosde180°

90<MOP<180

Agudo

MOP=90°

¡Empecemos!

¿Qué sabes de...?

M

PO

M PO

Ángulos: Grados y radianes Semana 6

198

2. Observaelgráficoy responde: ¿quéángulo forman lasmanecillasdecada reloj?

Figura 11

Establecer la equivalencia entre los ángulos en radianes (color azul) y los ángulos medidos en grados. Completa los ángulos en º que faltan (rojos).

Figura 12

Observalafigura12yresponde:¿Acuántoequivaleπ radianes en grados?, ¿cuántosradianesson90°?

En términos simples, llamamos ángulo a la parte del plano delimitada por dos semirrectas que parten de un origen común.

Los elementos de un ángulo son dos lados y un vértice.

Figura 13

Hasta ahora hemos medido los ángulos utilizando sólo los grados sexagesi-males(°);otramedidadegranutilidadparaexpresaránguloseselradián,delcual hablaremos a continuación.

45ºy

0º, 360º

180º

225º

150º

π/2π/3

π/4π/6

11/6π

7/4π5/3π3/2π4/3π

5/4π

7/6π

5/6π

3/4π2/3π

0π, π2xπ

Vamos al grano

Vértice

a

Lado

Lado

El reto es...

Semana 6Ángulos: Grados y radianes

199

Un radian es la medida de un ángulo con el vértice en el centro de un círcu-lo y cuyos lados interceptan un arco de circunferencia de longitud igual al radio. De tal manera que si S es la longitud del arco, y reselradio,esposibledefinir:S / r = θ

Figura 14

Conversión de ángulos en grados a radianes y viceversa

¿Cuál es la medida, en radianes de un ángulo de rotación completa (360º)? La longitud del arco L subtendido por un ángulo de rotación completa es la

longitud de la circunferencia (su perímetro), como sabemos, ,

el radio r equivale a un radian, por tanto la longitud de la circunferencia= 2π radianes y se entiende que forma un ángulo de 360º.

360º = 2π radianes 180º = π radianes

Despejando 1 radian = , 1 radian equivale aproximadamente 57,3º

Conviene recordar la relación 180º = π radianes porque puede obtenerse a partir de esta la medida de muchos ángulos especiales.

Veamos algunos ejemplos:

Sisedivide180entre2,tambiénse divide π entre 2

La cuarta parte de 180º es 45º

Sisedivide180entre6,tambiénse divide π entre 6

La tercera parte de 180º es 60º

Sisemultiplica180ºpor3/2,también se multiplica π por 3/2

Longitud = r

r

Radián

L = π L = 2πrd

180ºπ

180 π90º = = rad 2 2

180 π30º = = rad 6 6

180 π45º = = rad 4 4

180 π60º = = rad 3 3

3 3π270º = · 180 = rad 2 2


200

En general para convertir grados en radianes y viceversa puede usarse la relación anterior:

a) Convertir 225º a radianes

180º = π radianes

225º = x

b) Convertir 5π/7 rad

180º = π radianes

x = 4π/9 rad

Los ejes del sistema de coordenadas dividen la circunferencia trigonométri-ca en cuatro cuadrantes,comopuedesverenlafigura15.

Figura 15

Ángulos en posición estándar o normal

Un ángulo en un sistema de coordenadas rectangular está en la posición normal o estándar si su vértice está en el origen y su lado inicial a lo largo del eje positivo x(verfigura16ay16b).Sielladoterminaldeunángulocoincidecon un eje coordenado se dice que es un ángulo cuadrantal(verfigura16c).

Figura 16a y 16b. Ángulos en posición normal Figura 16c. Ángulo cuadrantal

4π/9 rad = 80º 180º · 4π/9 radx = = 80º π rad

5π rad225º = 4 225º · π rad 5π radx = = 180º 4

90º

270º 0º, 360º

PrimerCuadrante

CuartoCuadrante

SegundoCuadrante

TercerCuadrante

180º

+

+-

-

Vértice

Lado inicial

Lado terminal

Lado inicial

x

yLado terminal

Origen (0,0)


201

Elángulodelafigura16aestáenelprimercuadranteyeldelafigura16bestá en el segundo cuadrante.

El ángulo es positivo si se desplaza en sen-tido contrario a las manecillas del reloj y negativo cuando gira favor de las agujas del reloj.

Positivo Negativo

Para saber más…

En la siguiente dirección web encontrarás un video donde se resalta la manera de hallar los ángulos que forman las agujas y manecillas de un reloj: http://www.youtube.com/watch?v=z4wzbc4fAKkhttp://www.li-brosvivos.net/smtc/PagPorFormulario.asp?TemaClave=1173&est=0

1. Expresa en radianes cada uno de los siguientes ángulos:

a) 210º b) 160º c) 135º d) 200º e) 25º

2. Expresa en grados cada uno de los ángulos siguientes:

a) b) c) d) e)

3. ¿Cuáles son las condiciones para que el ángulo pertenezca al primero, segundo, tercer o cuarto cuadrante?

0

s

r

α 0

s

r

-α

Aplica tus saberes

π5

5π 3

7 π 6 11 π 4

3π 2


202

4. Indica si el ángulo pertenece al I, II, III o IV cuadrante o es un ángulo cua-drangular.Sugerencia:Enalgunos,puedeayudarundibujodelánguloen el sistema de coordenadas.

a)135°b)-200°c) d) e)187° f )60°

Figura 17

En el gráfico el ángulode 140° pertenece al II cuadrante y el ángulo -(-60°)pertenecealcuadranteIV.

1. Entrega a tu facilitador los ejercicios de la sección anterior.

2. Autoevalúate

Indicador Regular Bueno Excelente

Convertí los grados a radianes.

Convertí radianes a grados.

Realicé las consultas sugeridas.

Dibujé los ángulos.

-3π 4

2π 3

140º

Q

P

M

E

π- 3


π 3


203

Semana 7 Razones trigonométricas

Continuamos en el estudio de la trigonometría. Esta sema-na nos dedicaremos a conocer y hallar las razones trigonomé-tricas: seno, coseno y tangen-te, así como sus inversas.

Entre las aplicaciones de la trigonometría a los triángulos se tiene que pueden ser útiles en la navegación, agrimensura,

astronomía, arquitectura (sobre todo cuando se deben medir alturas o hacer dise-ños en planos), entre otras. Ponle mucha atención a esta sesión para que puedas avanzar satisfactoriamente.

La trigonometría estudia las relaciones existentes entre los lados y ángulos de un triángulo.

Revisa lo trabajado en la semana anterior (ángulos en posición estándar y ángulos cuadrangulares), además del teorema de Pitágoras, para que puedas establecer conexiones entre los conceptos matemáticos.

Alosobrerosdemiedificiolesencantanlasmatemáticas,dehecho,cuandotrabajan las aplican. Esta mañana el señor Jorge le propuso a su compañero de trabajo, Neptilio, lo siguiente: se necesita para reparar la lámpara que está en la pared, una escalera de 6m de longitud y que su extremo inferior esté a 1,5m de la pared. Determina a qué altura está la lámpara de la pared y cuál es el ángulo de inclinación de la escalera en relación con el piso. ¡No vayas a utilizar instrumentos de medidas! Ayuda a Neptilio a encontrar la solución. Sugerencia:hasungráficodelasituación.

¡Empecemos!

¿Qué sabes de...?

El reto es...

Razones trigonométricasSemana 7

204

Es muy probable que le des respuesta a una de las preguntas planteadas porque ya has tenido la oportunidad de realizar problemas similares; a la otra le darás respuesta a medida que avances con la lectura del material.

Razones trigonométricas de un ángulo

Paradefinirlasfuncionestrigonométricasdeunángulo,primerosecolocaéste en posición estándar y después se selecciona un punto P(x,y) sobre el lado terminal de α, denotamos la distancia OP como r(verfigura18).Observaademás que si se traza una perpendicular al punto P, se forma un triángulo. ¿Qué tipo de triángulo es?

Figura 18 Figura 19

Observaenlafigura19,queelánguloagudoαestáformadoporuncatetoyla hipotenusa. El cateto que forma al ángulo α, junto a la hipotenusa se llama cateto adyacente y el cateto restante es el cateto opuesto a dicho ángulo α.

Como ya sabes, una función es una relación directa entre cantidades, en estecaso,entrelosladosdeltriángulo.Sitomamoscomoreferenciaeltrián-gulo rectángulo obtenemos:

El coseno de α se define como la razón del cateto adyacente sobre lahipotenusa.

cos α =

El seno de α se define como la razón del cateto opuesto sobre lahipotenusa.

sen α =

La tangente de α es la razón del cateto opuesto sobre el adyacente.

tan α =

r

x

yCatetoopuesto

Catetoadyacente

90º

Hipotenusa

α

α0

r

P(x,y)

Lado inicial

Lado terminalVértice

x r

y r

y x

Vamos al grano

Semana 7Razones trigonométricas

205

Funciones trigonométricas inversas

Pueden obtenerse otras razones trigonométricas, con sólo invertirse las compo-nentes de las razones mostradas; éstas funciones son recíprocas a las anteriores.

La secante de α es la razón de la hipotenusa sobre el cateto adyacente.

sec α =

La cosecante de α es la razón de la hipotenusa sobre el cateto opuesto.

csc α =

La cotangente de α es la división entre el cateto adyacente y el opuesto.

cot α =

Las razones trigonométricas coseno y secante del mismo ángulo son inver-sas entre sí, al igual que el seno y la cosecante, la tangente y la cotangente.

Veamos algunos ejemplos que nos aclaren como utilizar las razones trigonométricas:

1. Determina las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal, cuyo lado terminal está en el segundo cuadrante y la tan β = - (ver figura19).

Por lo anterior sabes que tan β =

Entonces, el opuesto es 3 y el adyacente es 4. Como está en el segundo cua-drante el signo de cualquier par ordenado será (-,+), podemos asociar el co-seno con la componente x y el seno con la componente y. Así que el cateto opuesto 3 lo ubicamos en el eje y positivo y el adyacente 4 en el eje x negativo. Observalagráficaqueilustraesteángulo(verfigura20).

Figura 20

r x

r y

x y

3 4

cateto opuesto al ángulo βcateto adyacente al ángulo β

6 5 4 3 2 1 0

6

5

4

3

2

1

-4

(-4, 3)

θ

3


206

Para hallar todas las razones trigonométricas, necesitas las tres medidas de los lados del triángulo rectángulo y sólo tenemos dos. ¿Cuál nos falta?, ¿qué se te ocurre para hallar el tercer valor? ¡Exacto!

Aplicando Pitágoras, tenemos r = x2 + y2 = 32 + (-4)2 = 25 = 5

Ahora podemos calcular las razones trigonométricas:

cos β = = - 0,8 sec β = = - 1,25

sen β = = 0,6 csc β = = - 1,666...

tan β = = - 0,75 cot β = = - 1,33...

Para saber más…

Retomando el problema inicial, ilustramos la situación a través de un gráfico(verfigura21).

Figura 21

Comopodrásobservarenlafigura21seformauntriángulorectángulo.En este problema se nos pide la altura y el ángulo de inclinación. Es muy probable que hayas calculado la altura aplicando el teorema de Pitágo-ras; qué longitud vas a calcular ¿la de una hipotenusa o un cateto?

Sinembargo,laalturadelaparedpuedehallarsesinnecesidaddeapli-car Pitágoras, solamente usando razones trigonométricas. ¿Qué razón trigonométrica usarías para hallar la altura? Puedes usar senβ o tanβ pero necesitarás el valor del ángulo β .

-4 5

-4 3

3 5

3-4

5-4

5 3

x = 1,5 m

r = 6 m

y = ?

β


207

-3 5

Necesariamente tienes que usar cos β = 0,25 para despejar el valor de

β, debemos eliminar el coseno; para ello podemos usar la función inver-

sa llamada arcoCoseno la cual podemos escribir como: arcCos (β); en la calculadora esta función aparece como cos-1. Al aplicar el arcoCoseno, tenemos =

cos-1 (cos β) = cos-1 (0,25) β = cos-1 (0,25) β =75,5°

Para obtener el valor de βhacemosusodelacalculadora.Sigueestospasos: COS-1

SHIFTCOS0,25=75,522...

Aparece en la pantalla este valor

Finalmente, para hallar la altura usaremos tan 75,5º =(¡hazlo usando la otra razón trigonométrica!). Despejando y, tenemos y = tan 75,5º · 1,5m = 3,87 · 1,5m = 5,8m aprox.

La inversa del seno β, el arcsen (β ) lo puedes hallar al presionar en la calculadora la tecla sen-1, y la inversa de la tangente, es el arcotangente (β) la obtienes al presionar tan-1.

De acuerdo a los datos del problema descubre cuál razón trigonométri-ca aplicar y si es necesario usar el teorema de Pitágoras.

1. Enlosejerciciosdel1al6,usalafigura22ABCparahallarlasrazonestrigonométricas.

a) sen β b) tan β c) cos β

d) cos α e) sen α f ) tan α Figura 22

2. Calcula las funciones trigonométricas de α si cos α = α , está en el II cuadrante.

y1,5

Aplica tus saberes

β

A

13

12

5

B

C

α


208

3. Pedroestáconungrupodeamigosjugandoconelvolantín.Silacuer-dadeésteformaunángulode70°conelpisoytieneunlargode20m(verfigura23)¿quétanaltopuedevolarsuvolantín?¿esposiblequeelvolantín de otro compañero, con la misma cantidad de cuerda que el anteriorvuelemásaltoomásbajo?,¿dequédepende?Suponemosquelos volantines tienen la misma forma y que la influencia del viento es igual para ambos.

Figura 23

4. Un cable de tensión se adhiere a un poste de 25m de largo, formando un ángulo de 60º con el suelo. Encuentra la distancia x y la longitud del cabletensor(Verfigura24).

Figura 24

5.Enlarampadelafigura25,latangentedelángulodeinclinaciónA es 2/3 y la altura 2m.

Halla la distancia horizontal y la longitud de la rampa (ver Figura 25).

Figura 25

25 m

60º

x

20 m

A

A


209

1. Realiza los problemas propuestos en la sección anterior y forma un pequeño grupo para poner en común los resultados. Tu facilitador te orientará en caso de dudas. Entreguen un trabajo por grupo.

2. Tu facilitador los organizará para que cada uno evalué el desempeño (con la guía de coevaluación) de algún compañero del grupo. Posterior-mente deben socializar sus opiniones.

Guía de coevaluación

Nombre del evaluado:_____________________________

Indicador Regular Bueno Excelente

Realizó los ejercicios propuestos.

Disposición al trabajo en equipo.

Respetó las decisiones del equipo.

Domina las razones trigonométricas.


Movimiento rectilíneo uniformemente variado (parte 1)Semana 8

210

Semana 8 Movimiento rectilíneo uniformemente variado (parte 1)

A diferencia del MRU cuya veloci-dad es constante, en nuestra vida diaria observamos otro tipo de mo-vimiento en el que hay cambios de velocidad. Este tipo de movimien-to es muy común, por ejemplo, cuando vas en el autobús o en el carro tendrás que frenar, aumentar o disminuir la velocidad producto de las paradas, de las carreteras en mal estado (huecos, baches), de los semáforos o sencillamente por la afluencia de los vehículos; todo lo cual implica un cambio de velocidad. En el caso en que la velocidad varíe uniformemente y el vehículo se desplace en una trayectoria recta, lo llamaremos Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV). Este es el movimiento que trabajaremos en esta sesión.

1. ¿Cuándo decimos que un móvil tiene un movimiento rectilíneo unifor-me?, ¿cuál es su característica principal?

2. Indica cuáles de los siguientes movimientos son rectilíneos uniforme:

a) Un automóvil en una carrera.

b) Un autobús en una avenida congestionada de la capital.

c) Un mango que cae de un árbol.

d) El metro de Maracaibo moviéndose en un tramo recto.

3. Mariana sale a visitar a su amiga Ana y se quedó un rato hablando con ella, posteriormente se dirige a su escuela empleando para ello 2h. La figura26,distanciaytiempo,nosindicacuántosemovióMarianaalolargo del tiempo. Responde:

a) ¿Cuál era la posición de Mariana al principio del movimiento (t=0)?

b) ¿Cuál era en el instante t=1h?, ¿qué velocidad desarrolló en esta pri-mera hora de viaje?

c) ¿En qué posición y por cuánto tiempo permaneció en casa de Ana?

d) ¿Cuál es su velocidad en el viaje de regreso a la escuela?

¡Empecemos!

¿Qué sabes de...?

Semana 8Movimiento rectilíneo uniformemente variado (parte 1)

211

Figura26.GráficodistanciatiempoquerepresentaelmovimientodeMariana.

Lectura de gráficos

Observalasgráficas(figuras27y28).

Figura27.GráficovelocidadFigura28.Gráficodistanciatiempo

Paraelgráficodelafigura27,¿quétipodefuncionesrepresentacadaunode los tramos?, ¿en qué intervalo de tiempo la función es constante?, ¿qué significaque seaconstanteenese tramo?, ¿elmóvilestuvodetenidoenelintervalo de tiempo de 3s a 6s?, ¿en qué intervalo de tiempo puedes asegurar que la velocidad varía?, ¿cómo calcularías la distancia recorrida por el móvil en este tramo?

Paraelgráficode lafigura28,¿cómose llamael tipode funciónencadatramo?¡Hazusodetusconocimientosdelasgráficasestudiadasensemestresanteriores! ¿En qué intervalo de tiempo el móvil está regresando?, ¿qué tipo demovimientosugierelaparábolaenestagráfica?

1.0 2.0 3.0 4.0 t(h)

d(km)

120

50

Casa de Ana

Casa de Mariana

Escuela

v (m/s)

6

3

x (m)

6

3

2 4 6 t(s) 2 4 6 t(s)

El reto es...


212

Aceleración

Ese cambio de velocidad por unidad de tiempo, que expresamos en la intro-ducción, se conoce como aceleración. Matemáticamente se expresa así:

α = =

Observa que la aceleración es la razón de cambio de la velocidad, es decir, qué tan rápido cambia la velocidad.

La diferencia vf - vo , puede representarse con el símbolo ∆ v = vf -vo , que significavariaciónocambio.Puedenpresentarselassiguientessituaciones:

• sivf > vo , la aceleración es positiva, aumenta la velocidad, el móvil va más de prisa.

• sivf < vo , la aceleración es negativa, disminuye la velocidad, el móvil frena.

• sivf = vo , la aceleración es nula y, por tanto, la velocidad se mantiene constante.

Deacuerdoconestaúltimaafirmación,vale lapenapreguntarse:¿puedemoverse un objeto cuando su aceleración es cero? ¡Piénsalo!

Decimos que hay aceleración cuando hay una variación en la velocidad.

La unidad de la aceleración está en función de las unidades de velocidad y tiempo, es decir, relaciona unidades de longitud con unidades de tiempo. En elSistemaInternacional,laaceleraciónsemide:

= = m/s 2

Sinembargo,puedentenersediferentescombinacionesdeunidadesdeve-locidad y tiempo: cm/h2, m/min2, km/h2

Vamos al grano

cambio de velocidadintervalo de tiempo

vf - vo

tf - to

mss

ms2


213

Por ejemplo, la aceleración en un movimiento de 5m/s2,significaqueelmóvilaumenta su velocidad 5m/s cada segundo y si el móvil tiene una aceleración de -10 km/h2significaqueelmóvildisminuyesuvelocidad10km/hcadahora.También puede decirse que cuando un móvil disminuye su velocidad unifor-mementeestádesacelerando,locualsignificaquesuaceleraciónesnegativa.

La aceleración es una magnitud vectorial

La velocidad es una magnitud vectorial, por lo tanto la aceleración también es una magnitud vectorial. En este punto sería bueno preguntarte: ¿cómo se puede cambiar la velocidad? ¡Muy bien!

Un movimiento es acelerado cuando cambia el módulo (rapidez) y/o dirección delvectorvelocidad.Reforcemostusideasconlasilustraciones(verfigura29).

Figura 29. Cambios en la velocidad de un cuerpo

Es muy común en nuestro lenguaje cotidiano que asociemos la aceleración conunaumentodevelocidad.Sinembargo,desdeelpuntodevistacientífico,este término se aplica tanto a disminuciones como a aumentos de velocidad.

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Observalafigura30ynotaquelavelocidadestávariando,portantohadehaber una aceleración. Fíjate además que ésta es constante ¿Qué tan rápido está cambiando la velocidad?

Figura 30. Cambios en la velocidad, en iguales intervalos de tiempo.

Estamos interesados en estudiar el movimiento en el cual la aceleración se mantiene constante, es decir, aquel cuya velocidad aumenta o disminuye uniformemente.

40 km/h 80km/h 0km/h

40 km/h

40 km/h


214

Si laaceleracióndeunmóviles lamisma(constante)durantetodoelmovimiento y la trayectoria es una línea recta, éste recibe el nombre de movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV).

Lafigura31ilustralostresposiblestiposdemovimiento;enestecasoha-blamos de aceleración constante. Una constante puede ser positiva, negativa o cero; si es cero hablamos de un MRU; si es distinta de cero, hablamos de un MRUV. Cuando es distinta de cero, puede ser positiva o negativa: si es positiva, MRUA y, en caso de ser negativa, MRUR.

Figura31.Gráficovelocidadcontratiempo

Tabla 6Descripción del movimiento en cada intervalo de tiempo

Intervalos de tiempo

Variación de velocidad

Tipo de movimiento

0 - t1 v1 > vo o v1- vo > 0 Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado a > 0

t1 - t2 ∆ v = 0 o v = constante Movimiento rectilíneo uniforme a=0

t3 - t2 vf < vo Movimiento rectilíneo uniforme-mente retardado con a < 0

o t1 t2 t3 t(s)

v[m·s-1]

v1

v0

p q


215

Para saber más…

Gráficas temporales del MRUV

Tabla 7. Tipos de gráficas temporales en un MRUV

Variables relacionadas Características Gráfico

Distancia - tiempo (x- t)

-Elgráficoesunaparábola.-Silaparábolaescóncava hacia arriba el movimiento es acelerado y si es cóncava hacia abajo será retardado.

Figura32a.Gráficadistancia tiempo

Velocidad - tiempo (v- t)

-Elgráficoesunarectaque no es paralela al eje del tiempo.-Supendientenosda el valor de la aceleración.- La distancia (espacio recorrido) puede obtenerse calculando el área bajo la recta v-t

Figura32b.Gráficavelocidad tiempo

Aceleración - tiempo (a- t)

Elgráficoesunalínearecta paralela al eje del tiempo, indicando así que es constante. En la gráfica(verfigura32c)la aceleración es de 2m/s2

Figura32c.Gráficaaceleración tiempo

Vamosa considerar lagráficade lafigura32b, velocidad tiempo.Ha-llando el área bajo la recta obtenemos el espacio recorrido, es decir, la distancia recorrida por el móvil.

Para calcular el área bajo la línea recta, se puede hallar el área de cada unadelasfigurasqueseforman:

x x

t t

Aceleración constanteA

4

2

00 2 4

v

v

v0

A2

A1

0

t0


216

Área = Área + Área

= (base) (altura) + =

= t · vo + donde v - vo = a · t

= vo · t +

Figura 33. Determinación de la distancia a partir deunagráficavelocidadtiempo

Dado que el área total representa la distancia recorrida por el móvil, se tiene que:

x = vo · t +

Esta ecuación es válida si el móvil partió desde el origen del sistema de referencia, es decir xo = 0; de no ser así la ecuación podríamos reescri-birla como:

x = xo + vo · t +

Cabe agregar que si el movimiento es retardado, la fórmula para hallar la distancia es la misma, salvo que, al momento de sustituir los valores, debes considerar la aceleración con signo negativo.

Como has visto, la aceleración está dada por la fórmula α =

Podemos hacer que t = tf - to , asi que α =

De ésta puedes despejar las otras variables: tiempo, velocidad inicial y final,quesereflejanenlatabla8.

(base) (altura)2

t · (v - vo )2

a · t2

2

a · t2

2

a · t2

2

vf - vo

tf - tovf - vo

t

v

v

vovo

(v-vo )

tt0


217

Ecuaciones del MRUV

Tabla 8. Ecuaciones que rigen un MRUV

a: aceleración t: tiempo v: velocidad en un determinado tiempo vo: velocidad inicial x: distancia

α = t = vf = vo + at

x = xo + vo · t + *vf 2 = vo2 + 2 · a · (x - xo)

Despeja velocidad inicialDespeja distancia

1. Usualmente, el pedal o cuchara de un auto se conoce como acelerador. Sialguienafirmaqueelvolanteylosfrenossontambiénaceleradores,¿estará en lo cierto?

2. ¿Un auto está acelerado mientras frena?, ¿por qué?

3. ¿Cuál es la aceleración de un motociclista que se mueve con velocidad constante de 50Km/h durante 10s? Explica tu respuesta.

4. Un auto se mueve con una velocidad de 16m/s. Cuando el conductor aplica los frenos, el movimiento pasa a ser uniformemente retardado, haciendo que el auto se detenga totalmente en 4s.

a) Calcula la desaceleración que los frenos imprimen al carro.

b)Dibujalagráficavelocidad-tiempoduranteelfrenado.

5. Un automóvil, al desplazarse en línea recta, desarrolla una velocidad que varía con el tiempo, como se registra en la tabla 9.

Tabla 9

t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8

v(m/s) 10 12 14 16 16 16 15 18 20

a) ¿En qué intervalos de tiempo el movimiento del auto muestra una aceleración?

vf - vo

tvf - vo

α

α · t2

2

Aplica tus saberes


218

b) ¿En qué intervalo es nula la aceleración?

c) ¿En qué intervalo es negativa?

d) ¿En cuál es uniformemente acelerado (con aceleración positiva)?

1. Discute en grupo las situaciones propuestas en la sección anterior.

2. Autoevalúate

Indicador Si A veces No

Leí el material previo a la sesión en el CCA.

Realicé los ejercicios solicitados.

Expresé las dudas o inquietudes res-pecto a la temática desarrollada.

Participe en la implementación de todas las actividades.

El cerebro no es un vaso por llenar sino una lámpara por encender. Plutarco



219

Semana 9 Movimiento rectilíneo uniformemente variado (parte 2)

Apreciado participante, nece-sitamos que tengas una actitud de éxito y disposición de llegar hastaelfinal,aúnenmediodelasdificultades,porello ¡perse-vera siempre! Y es que precisa-mente la perseverancia te invita a no desistir en la búsqueda de la solución a los problemas que se pueden presentar en tu vida académica y personal.

Durante esta semana nos dedicaremos a resolver problemas del MRUV. Verás que las fórmulas son útiles para resolverlos, pero lo más importante es compren-derlos,antesdeaplicarlas.Laideaesquejustifiqueslasaccionesasumidasenlaresolución de problemas, mediante argumentos convincentes, es decir, funda-mentadosenelconocimientocientífico.

Exploremoslasideasprevias,justificatusrespuestas.¿Quésignificaquelaacele-ración de un cuerpo sea de -3m/s2? Da un ejemplo de algo que se mueva con una rapidez constante y, al mismo tiempo, tenga una velocidad variable.

Alejandroesunestudianteuniversitario.Sedirigealaparadaatomarelauto-bús de la universidad; sin embargo, va un poco tarde, y observa desde lo lejos que el autobús está detenido, por lo cual comienza a correr a una velocidad constante de6m/s,afindealcanzarlo.CuandoAlejandroseencuentraa25mdelautobús,éste inicia la marcha con una aceleración constante de 1 m/s². En estas condicio-nes ¿alcanzará Alejandro el autobús?

¡Empecemos!

¿Qué sabes de...?

El reto es...


220

Reforcemos el concepto de aceleración mediante los siguientes ejemplos.

1. Un ciclista parte del reposo (v=0m/s) y posee una aceleración de 3m/s2. ¿Qué velocidad alcanzará al cabo de 4s?

Sisuaceleraciónesde3m/s2 esto indica que su velocidad va a aumentar 3m/s cada segundo y como parte del reposo, se tiene que:

En 1s, su velocidad es 0+3m/s =3m/s; a los 2s, su velocidad es de 3m/s+3m/s=6m/s;alos3ssuvelocidades9m/syfinalmenteen4ssuvelo-cidad es de 12m/s. ¿Qué harías para hallar la velocidad a los 5s? Como haspodidoobservar,lavelocidadfinalsepuedeobtenermultiplicandola aceleración por el tiempo: v=a.t.Silavelocidadconlacualseiniciaelmovimiento es diferente de cero habrá que sumarla a esta fórmula. Por ejemplo, si la velocidad inicial es de 10m/s, ¿cuál será su velocidad al cabo de 4s?

2. Un automóvil tarda 10s en pasar de v=0m/s a v=50 m/s con una acelera-ción constante. ¿Cuál es el valor de ésta?

Sitarda10senobtenerunavelocidadde50m/s,partiendodelreposo,significaqueencadasegundoaumentabasuvelocidad5m/s,estoeslaaceleración, a=5m/s2

3. Qué tiene mayor aceleración ¿un avión que cambia su velocidad de 980km/h a 990km/h en 10s o una bicicleta que pasa de 0 a 10km/h en un segundo? Piensa bien la respuesta… Es importante que diferencies velocidad y aceleración. Generalmente asumimos que si un cuerpo tie-ne mayor velocidad que otro, también debe tener una mayor acelera-ción.Puedesverqueambosaumentansurapidezen10km/h.Sinem-bargo, la bicicleta emplea 1s para ese aumento, mientras que el avión emplea 10 veces ese tiempo; en consecuencia, la aceleración es menor en el avión, por ser de 1km/h cada segundo; mientras que en la bicicleta es de 10km/h cada segundo.

Resolución de problemas de MRUV

1. ¿Qué distancia recorrerá un auto que avanza con una velocidad de 40m/s si desacelera a 4m/s2 hasta detenerse?

Datos:

La vo=40m/s, como el auto se detendrá v=0, y como desacelera a= - 4m/s2 (¿Por qué este valor es negativo?).

Para calcular la distancia usamos x = vo · t +a · t2

2

Vamos al grano


221

Observa que nos falta calcular el tiempo. Y puedes hacerlo empleando las fórmulas mostradas en el cuadro de la semana anterior pero, en este caso, esbiensencillitocalcularlosinfórmula.Sabemosquesuvelocidadiniciales de 40m/s y su velocidad disminuye 4m/s cada segundo hasta detener-se; esto le tomará exactamente 10s. Halla el tiempo empleando la fórmula para que te asegures de que los resultados son iguales.

Una vez calculado el tiempo que tarda en detenerse, sustituimos los datos en la ecuación de la distancia:

x = vo · t + = · 10s + · (10s)2 = 300m - = 100s2

= 300m - = 150m

Ahora veremos problemas donde intervienen dos móviles. Algunas reco-mendaciones que pueden facilitarte el trabajo son las siguientes:

ü Realiza una ilustración de la situación, ésta ayudará a organizar las ideas.

ü Identificadatosycondiciones;puedespreguntartesilasmagnitu-des que intervienen (tiempo, distancia…) son iguales o diferentes para ambos móviles.

ü Indica el tipo de movimiento de cada uno y escribe las ecuaciones correspondientes.

2. Un automóvil en una carretera lleva una velocidad de 120km/h (33,3m/s) y rebasa a un camión cuando aparece en sentido contrario otro automó-vil a 100km/h (27,8m/s). Los dos conductores frenan simultáneamente y frenan ambos autos con una aceleración constante de 5m/s2. ¿Cuál debe ser la distancia mínima entre los autos, al inicio de la frenada, para que no choquen entre sí?

Auto 1 Auto 2

Figura 34. Problemas de autos

a · t2

230m

s

300m2

3ms2

2

-3ms2

2

-


222

Puedes observar en la ilustración que la distancia mínima corresponde a la distancia x. Dado que cada uno debe recorrer una distancia mientras están des-acelerando, la distancia mínima estará dada por la suma de cada una de esas distancias.

Datos

Auto 1 Auto 2

vo1 = 120 km/h (33,3m/s)

a = -5m/s2

v =0 (va a detenerse)

x1 = ?

vo2 = 100 km/h (27,8m/s)

a = -5m/s2

v =0 (va a detenerse)

x2 = ?

Las velocidades son distintas y el tiempo que transcurre hasta que se detienen es el mismo, por tanto, la distancia es diferente para cada automóvil.

La fórmula x = vo · t + en este problema no es recomendable utilizarla, puesto que tendríamos dos incógnitas. Puedes usar la fórmula vf 2 = vo 2 + 2·a·x Observa que tienes todos los valores a excepción de la distancia, que es precisa-mente lo que debes despejar; tenemos así:

vf2 - vo

2 = 2·a·x Al despejar x se tiene: x = (justificacadapaso)

Auto 1

x = = = = 110,89m

Auto 2.

x = = = = 77,28m

Así que debe haber entre ellos una distancia mínima de xa+xb= 188,2 m para evitar el choque.

a · t 22

vf 2 - vo 2

2a

vf2 - vo

2

2a

vf2 - vo

2

2a

02 -

2 -

02 -

2 -

02 -

-10

-1108,9 33,3m 2

s5ms2

27,8m 2

s5ms2

772,8m2

s2

ms2

m2

s2

-10m s2


223

El auto 1 se va a detener a 110,89m El auto 2 se va a detener a 77,2m

Figura 35

3. Un conductor pasa frente a un inspector de tránsito, quien decide seguir-lo porque el límite de velocidad era de 60km/h (16,7m/s) y el auto iba a 72km/h (20m/s). El inspector, partiendo del reposo, inicia la persecución 10sdespuésquepasóelauto,aunaaceleraciónconstante.Sesabequeel inspector alcanza al conductor a 3000m de donde partió. Determine la velocidad del inspector de tránsito en ese momento.

El movimiento que realiza el conductor es un MRU, con velocidad constante de 72km/h (su aceleración es cero), mientras que el inspector desarrolla un mo-vimiento uniformemente acelerado. Además, el inspector lleva una desventaja de 10s, es decir él tiene 10s menos que el otro para recorrer la misma distancia, así que él debe desarrollar una velocidad mayor que la del conductor para poder alcanzarlo.

Datos

Conductor (MRU) Inspector (MRUV)

vcte = 20 m/s

t1= ?

x = 3000m

v0 = 0

t2 = t1 -10s

x =3000m

vf = ?

ü La distancia recorrida por el conductor: x = v · t, despejamos el tiempo

t = = t = 150s

Luego el tiempo que empleará el inspector de tránsito será 150s-10s=140s

ü La distancia recorrida por el inspector de tránsito:

x = = 3000m á (140s)2 = 6000m

a = =

Ahora para determinar la velocidad del motociclista, usamos la fórmula:

v = vo + at = 0 + · 140s = 43,4m/s

a · (t - 10s)2

2

6000m19600s2

0.31ms2

0.31ms2

a · (150 - 10s)2

2

xv

3000m20s


224

Para saber más…

Considerando nuestro problema inicial, tenemos que Alejandro debe alcanzar al autobús con una velocidad constante de 6m/s. Así que si el estudiante pretende alcanzarlo deberá recorrer los 25m que el autobús lleva de ventaja más lo que éste avance con un movimiento con acele-ración constante.

üDistancia recorrida por el estudiante (MRU): x1 = 6 · t

üDistancia recorrida por el autobús (MRUV): x2 = 25 + = 25 +

Para que Alejandro alcance el autobús, las distancias recorridas tanto por él como por el autobús, deben ser iguales, es por ello que podemos igua-lar x1 = x2. En este caso, obtendremos una ecuación de segundo grado:

6t = 25 + 12t = t2 +50 t2 - 12t + 50 = 0

Seobtieneunaecuacióncuadrática¿cómovashallarsusolución?Usa-mos para ello la fórmula general para la resolución de ecuaciones de 2do grado:

Sinembargo,recordarásqueprimerovemossiestaecuacióntienesolu-ción real, esto lo hacemos empleando el discriminante:

b2 - 4 · a · c = (-12)2 - 4 · 1 · 50 = 144 - 200 = -56 < 0

En este caso no hay soluciones reales. La ecuación anterior también puede analizarsemedianteelgráficodelafuncióncuadráticaf(t) = t2 - 12 t + 50

Como vemos no corta al eje x, por lo cual no tiene solución real.

Función Distancia Vs. Tiempo

Figura36.Gráficodistanciacontratiempo

1· t2

2t2

2

t2

2

-b ± b2 - 4ac2a

-15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

Dis

tanc

ia (m

)

Tiempo (s)

300

250

200

150

100

50

0


225

¿QuégráficotesugierenlasecuacionesdedistanciarecorridasporAle-jandro y por el autobús? Como puedes ver, Alejandro lleva un MRU, por lo cual la distancia que recorre es una función lineal del tiempo, mien-tras que el autobús acelera a 1m/s2, por lo cual su movimiento es MRUV; en este tipo de movimiento la distancia es una función cuadrática de tiempo.

Cuando trabajamos con problemas de dos móviles y podemos estable-cerladistanciacomounafuncióndeltiempo,losgráficosdedichasfun-ciones pueden interceptarse o no, indicando si los autos se encontrarán en algún lugar o sencillamente si uno nunca alcanzará al otro.

Las ecuaciones distancia-tiempo para el autobús y para Alejandro, se muestranenlafigura37.Comopuedeapreciarse,notienenpuntosenco-mún, por lo cual en ningún momento las distancias se igualarán, así que, tal como mencionamos antes, Alejandro nunca alcanzará el autobús.

Gráfico que describe el movimiento del autobús y el movimiento de Alejandro

Figura37.Gráficodistanciacontratiempo

Revisa el DVD y encontrarás una serie de ejercicios y/o problemas re-sueltos para que complementes tus aprendizajes.

Gráficadistanciatiempoparaelautobús

GráficadistanciatiempoparaAlejandro

0 5 10 15 20 25

Dis

tanc

ias

reco

rrid

as (m

)

Tiempo (s)

350

300

250

200

150

100

50

0


226

Resuelve los siguientes problemas:

1. Setienendoscuerpos,unocambiasuvelocidadde25km/ha30km/hyelotrode96km/ha100km/h.Silosdoscambiossucedenduranteelmismo intervalo de tiempo, ¿cuál tendrá mayor aceleración?

2. Un cuerpo en movimiento rectilíneo uniformemente acelerado desa-rrolla en el instante t=0 una velocidad inicial vo=5m/s y su aceleración es de a=1,5m/s2

a) Calcula el aumento de la velocidad del cuerpo en el intervalo de 0 a 8s.

b) Halla la velocidad del cuerpo a los 8s.

c) Traza el diagrama v-t para el intervalo de tiempo considerado.

3. Un avión cuando toca pista, acciona todos los sistemas de frenado, que le generan una desaceleración de 20m/s2 y necesita 100m para detener-se. Calcular:

a) ¿Con qué velocidad toca la pista?

b) ¿Qué tiempo demoró en detenerse el avión?

4. Un automóvil está parado en un semáforo. En el momento en que la luz se enciende, arranca con una aceleración constante de 2m/s2. En ese momento, un autobús, que avanza a una velocidad constante de 60km/h, lo adelanta. Calcula:

a) ¿A qué distancia del semáforo el auto alcanza al autobús?

b) ¿Cuánto tiempo pasa hasta que el auto alcanza al autobús?

c) ¿Qué velocidad tiene cada uno en ese instante?

5. Dos autos circulan por el mismo carril, pero, en sentidos contrarios, con velocidades de 90 km/h y 108 km/h. Cuando se divisan uno al otro están a 100 m de distancia y los dos comienzan a frenar con una aceleración de 5 m/s2.a)¿Llegaránachocar?,b)Silohacen,¿enquéposicióntendrálugar el impacto?

Aplica tus saberes


227


1. Formen pequeños grupos para socializar los problemas que previamen-te has intentado resolver.

2.Seleccionaconunaxenelrecuadrolasaccionesqueteayudaronacon-solidar los temas tratados en esta semana:

Realicé las consultas sugeridas en la sección “Para saber más”.

He realizado la mayoría de los ejercicios y problemas propuestos.

Consulto mis dudas e inquietudes con los facilitadores.

He comparado mis resultados con los otros compañeros del grupo.

Otros:_________________________________________________

El trabajo del pensamiento se parece a la perforación de un pozo: el agua es turbia al principio, mas luego se clarifica. Proverbio chino

Caída libre (parte 1)Semana 10

228

Has visto cuando lanzas cual-quier objeto o ves caer frutos de los árboles, que éstos son atraídos hacia la superficiede la tierra ¿Tehas preguntado qué tipo de movi-miento desarrollan estos cuerpos? Esta semana seguiremos estudian-do el MRUV pero en dirección ver-tical; este tipo de movimiento se llama “Caída libre” y se caracteriza por ser un descenso libre de toda restricción de rozamiento, sin fricción con el aire, sólo bajo la influencia de la gravedad.

Verás que el desarrollo de esta temática amerita un trabajo experimental de tu parte que nos permitirá construir la teoría, de allí que el éxito del aprendi-zaje será resultado del empeño que hayas puesto en realizar cada una de las actividades guiadas.

Es importante que tengas claridad en las características del MRUV: ¿qué es loquevaría?,¿quésemantieneconstante?Definecontuspropiaspalabrasqué es aceleración. Revisa las semanas anteriores, en caso de ser necesario.

El reto es que logres determinar experimentalmente el va-lor aproximado de la aceleración debido a la gravedad, utili-zando materiales disponibles en tu entorno.

¿Qué necesitas? Una metra, cronómetro (la mayoría de los celulares tienen cronómetro), cinta métrica de la que utilizan los albañiles.

Figura 38

¿Cómohacerlo?Desdeelprimero,segundoytercerpisodeunedificiodejacaer una metra. Para cada una las respectivas alturas registra el tiempo 4 ve-ces (o más) para disminuir los errores de medida debidos al experimentador. Recoge la información en la tabla 10.

¡Empecemos!

¿Qué sabes de...?

El reto es...

Semana 10Caída libre (parte 1)

Cinta métrica

Esfera

g


229

Tabla 10

Altura 1er piso Altura 2do piso Altura 3er piso

Tiempos (en segundos)

Tiempo 1= Tiempo 1= Tiempo 1=




Promedio= Promedio= Promedio=

Necesitas apoyo de un compañero o compañera para hacer la actividad.

Recuerda: El promedio lo hallas al sumar los tiempos, en este caso los 4 va-lores, y dividir entre el número de valores.

¿Qué predicciones puedes hacer?, ¿crees que un cuerpo tendrá mayor ace-leración cuantomás alto sedeje caer? Si cambiaras el balínporunobjetomás masivo (una esfera de plomo de mayor radio, una pelotica de goma…), ¿consideras que el cuerpo más pesado adquiere mayor aceleración que el li-gero?,¿ambosadquierenlamismaaceleración?Siambossonlanzadosdesdeuna misma altura ¿cuál de los dos tocará primero el suelo? ¡Argumenta tus respuestas! Luego de leer la teoría, compara tus ideas evaluando si estabas en lo cierto o no.

Mientras avances en la lectura, adquirirás nuevos elementos que van a per-mitirte determinar el valor de la aceleración de gravedad.

En este momento debes haber realizado las medidas correspondientes ¿cierto? Bien, para continuar con esta experiencia debes saber que el tipo de movimiento que realiza la metra al caer se conoce como caída libre.

¿Qué significa que un objeto esté en caída libre?

Empecemos por aclarar las ideas que han girado en tornoaestemovimiento.Aristóteles (filósofogriego)creía que al dejar caer dos cuerpos con diferentes pe-

Vamos al grano

Figura 39


230

sos, cae primero aquel que tiene mayor peso y, sus ideas eran muy bien acep-tadasporaquellasociedad.Sinembargo,GalileoGalilei,físicoitaliano,com-probó que al dejar caer dos objetos con distinto peso desde la misma altura (se comenta que este experimento fue realizado en la Torre de Pisa, en Italia), ambos llegan al suelo en el mismo instante. Contrario a las ideas aristotélicas, Galileo llegó a la conclusión siguiente:

Sisedejancaerdoscuerpos,unoligeroyotropesado,simultáneamen-te desde la misma altura, ambos llegarán al suelo en el mismo instante; esto ocurre porque ambos caerán con la misma aceleración.

Puedes observar este hecho en el experimento del tubo al vacío, realizado por Newton; allí se coloca una pluma y una moneda, se observa que ambos caen al mismo tiempo. En uno de los videos que te sugerimos en la sección “Para saber más” puedes ver este maravilloso experimento. ¡No dejes de verlo!

Esto sucede cuando el cuerpo únicamente está influenciado por la fuerza de gravedad, es decir, la fuerza de roce o empuje (ocasionadas por el aire) se considerannulasodespreciables.Sinembargo,sidejascaerdesdeunaciertaaltura ambos objetos, llega primero la moneda ¿a qué se debe esto?, ¿contra-dice esto las ideas de Galileo?

Un cuerpo que cae en la superficie terrestre, cuando se desprecia laresistencia del aire, desarrolla una aceleración constante. Dicho movi-miento se denomina caída libre.

Ecuaciones de caída libre

En la introducción manifestamos que este movimiento es MRUV, por lo tan-to se aplican las mismas ecuaciones. Con la salvedad de que por ser un mo-vimiento vertical, a la distancia se le llama altura de la caída, la denotaremos con la letra Y. Por otra parte, la aceleración de gravedad también es una mag-nitudvectorialdirigidahaciaabajo,porlocualconvienedenotarlacomo–g.Cuando la velocidad tiene la misma dirección de la gravedad (hacia abajo), se asume que tiene signo negativo; si está en sentido contrario a la gravedad (hacia arriba) tendrá signo positivo.

Tabla 11Correspondencia de ecuaciones: movimiento horizontal y vertical

MRUV

Movimiento horizontal Movimiento vertical (caída libre)

v = vo + at v = vo - gt - g: aceleración de gravedad

x = xo + vo · t + Y = Yo + vo · t - Y: altura

v2 = vo2 + 2 · a · (x - xo ) v2 = vo

2 - 2 · g · (Y - Yo )

a · t2

2g · t2

2


231

Siconsideramoselcasomássencillodecaídalibre,cuandoelobjetocaedes-de el reposo, vo=0,lasfórmulasdelacolumnaderechasesimplificanaúnmás.Por ejemplo, la velocidad adquirida por el cuerpo después de un tiempo t, se puede expresar así: v = -gt

Es decir, la velocidad o rapidez se obtiene multiplicando la aceleración por el tiempo t.

En nuestro experimento, la metra cae desde el reposo. Tenemos que hallar el valor de la aceleración de gravedad, teniendo los valores de la distancia y el tiempo. ¿Cuál fórmula utilizarías para hallarla? ¡Muy bien!, usamos la fórmula de la altura: Y = Yo + vo -

Sitomamoscomoreferenciaelpuntodellanzamiento,Yo = 0 y como vo = 0se tiene Y = - , despejamos g, Y = g · t2 - = g g = -

El signo negativo indica que las alturas se miden hacia abajo.

Supongamos que realizamos el experimento inicial desde una altura de1,5m. Los resultados se muestran en la tabla 12.

Tabla 12

Altura 1,5 m

Tiempos (en centésimas de segundo)

Tiempo 1 = 56

Tiempo 2 = 61

Tiempo 3 = 59

Tiempo 4 = 52

Promedio = 57

Promedio en segundos = 0,57 s

Sustituyendolosrespectivosvaloreseng =

g = = = = -9,233...

Al calcular g con las otras alturas, tus valores oscilarán entre 9,201 y 9,525 (incluso pueden estar fuera de este rango). El valor de la aceleración de gra-vedad que se acepta como promedio es 9,8m/s2. Los valores que obtuvimos tienen cierto margen de error, debido a que es difícil mantener precisión en tantas medidas.

g · t2

2

g · t2

22Yt2

2Yt2

-2Y(0,57s)2

-21,5 m0,3249s2

ms2

-3 m0,3249s2

2Yt2


232

El valor de la aceleración de la gravedad es el mismo para todos los cuerpos en caída libre que caen desde lugares cercanos a la Tierra y su valor es aproximadamente cons-tante.EstosignificaquelaTierraaceleraalos cuerpos hacia su centro con la misma aceleración.

En otras palabras, un cuerpo en caída libre aumenta su rapidez 9,8m/s cada segundo. Este valor suele usar-se cuando se requiere un trabajo riguroso y exacto. A veces se opta por trabajar con g=10m/s2 dado que este valor facilita los cálculos y permite establecer relaciones más rápidas que el valor con decimal. Observa en la tabla 13 cómo aumenta (aproximadamente) la rapidez de un cuerpo que cae desde el reposo a medi-da que transcurre el tiempo. Calcula la altura en cada instante de tiempo.

Tabla 13

Tiempo 0 1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s

Rapidez 010

m/s20

m/s30

m/s40

m/s50

m/s60

m/s70

m/s

Distancia

Aceleración Constante = 10 m/s2

El término caída libre aplica tanto a los objetos que se dejan caer como a aquellos que son lanzados verticalmente hacia arriba. Examinemos lo que ocurre con la rapidez de un objeto lanzado verticalmente hacia arriba, por ejemplo, una pelota.

En el sistema de referencia que manejamos, la gravedad siempre se consi-dera negativa, no importa si el cuerpo sube o baja; sin embargo, la velocidad puede cambiar de signo (positiva si sube o negativa si baja).

ü Cuando la pelota sube, la velocidad es hacia arriba (positiva) y la acele-ración hacia abajo (negativa), por lo tanto, como velocidad y aceleración van en sentido contrario, se trata de un movimiento retardado.


233

ü Cuando el cuerpo alcanza su máxima al-tura, la gravedad (hacia abajo) ha anulado por completo la velocidad. Es en ese pun-to donde se hace cero la velocidad, y el cuerpo comienza a descender (ganando velocidad), ahora con velocidad negativa (hacia abajo).

ü Cuando la pelota baja, la velocidad es ne-gativa y la aceleración también; velocidad y aceleración van en el mismo sentido (hacia abajo); por lo tanto, se suman y se trata de un MRUA (el signo negativo indi-ca simplemente que está descendiendo).

Figura 40

Para saber más…

Consulta las siguientes direcciones web, donde podrás obtener infor-mación interesante sobre la caída libre, con imágenes interactivas.

http://www.rena.edu.ve/cuartaEtapa/fisica/Tema1b.html

http://www.youtube.com/watch?v=s5QcJfMH-es

http://www.youtube.com/watch?v=xGErI2_Xc1c

1. Para un objeto en caída libre, que parte del reposo, ¿cuál es la acelera-ción al terminar el quinto segundo de caída?, ¿y al terminar el décimo segundo?Defiendetusrespuestas.

2. Dos cuerpos, uno de los cuales es más pesado que el otro, descienden encaídalibreenlasproximidadesdelasuperficiedelaTierra.

a) ¿Cuál es el valor de la aceleración de caída para el cuerpo más pesa-do?, ¿y para el más ligero?

b) ¿Cómo se denomina y cómo se representa esta aceleración de la caída de los cuerpos?

3. Cuando un cuerpo desciende en caída libre,

a) ¿Qué sucede al valor de la velocidad en cada segundo?

b) ¿Y si el cuerpo fuera lanzado verticalmente hacia arriba?

3s velocidad = 0

2s v = 10 m/s

4s v = -10 m/s

1s v = 20 m/s

5s v = -20 m/s

0s v = 30 m/s 6s

v = -30 m/s

Aplica tus saberes


234

4. Elabora un mapa conceptual y/o mental con los diferentes movimientos estudiados hasta el momento; resalta sus características.

Actividad para realizar en el CCA

5. ¡Medir el tiempo de reacción de tus compañeros!

• Manténuna regla (de30cm) sosteni-da verticalmente, tomándola entre tus dedos por el extremo superior, de modo que el cero de la regla esté en el extremo inferior.

• Pideaalgúncompañeroquecoloquelos dedos de su mano cerca del cero de la regla, sin tocarla, pero preparado para tenerla cuando vea que sueltas la regla, dejándola caer.

• Sinaviso,sueltalaregla.Tucompañerodebe tratar de detenerla lo más rápido posible.Siobservaslaposicióndondelogró sujetarla, tendrás la distancia (en cm) que ésta recorrió durante la caída.

• Ladistanciaquehacaídolareglade-pende de su tiempo de reacción, usando: Y = , despejando el tiempo t = que correspondeal tiempo de reacción de tu compañero. Compara el resultado con los tiempos de reacción de otros compañeros.

Autoevaluación

Alfinaldecadasesiónsiempreesrecomendableautoevaluarnosparavisualizar qué tanto estamos poniendo de nuestra parte. ¿En qué aspec-tosdeltemahastenidodificultad?,¿hasrealizadolasconsultassugeri-das?, ¿cuál ha sido tu nivel de participación?

El trabajo hecho con gusto y con amor, siempre es una creación original y única. Roberto Sapriza


g · t2

22Yg

30

Figura 41


235

Semana 11 Caída libre (parte 2)

La semana anterior estudiamos que los cuerpos sometidos a la acción de la tierra desarrollan un movimiento acelerado. La ace-leración de un objeto que cae lo hace con una aceleración de 9,8m/s2; en realidad no se cum-ple exactamente así, debido a la fuerza de roce con el aire. Ahora veremos cómo influye la fuerza de roce en un objeto que cae.

También se presenta en esta semana la resolución de algunos problemas que pueden resolverse empleando las ecuaciones de caída libre.

Para que avances satisfactoriamente en la lectura de este material, necesitas te-ner claridad en los conceptos de caída libre, sus ecuaciones y tener dominio en el despeje. Por ello, repasa nuevamente lo visto en la semana anterior.

Realiza las siguientes experiencias:

1. Deja caer simultáneamente, de una misma altura, dos hojas iguales (puede ser tipo carta), si son recicladas ¡nuestro planeta Tierra estará muy agradecido! Observa que, en la caída, oscilan levemente debido a la resistencia del aire. ¿Llegan, aproximadamente, juntas al suelo?

2. Arruga una de las hojas hasta que formes una bola. ¿Cambia este proce-dimiento el peso de la hoja? Deja caer simultáneamente la bola (hecha con la hoja) y la hoja lisa (sin arrugar), desde una misma altura. ¿Llegan juntas al suelo?

¿Cómo es posible que en la experiencia 2 las hojas no lleguen al suelo en el mismo instante, si ambas tienen el mismo peso?, ¿qué factor influye en que un cuerpo caiga primero que otro?, ¿podrías decir a qué se debe que las caídas en los ejemplos 1 y 2 sean diferentes?

¡Empecemos!

¿Qué sabes de...?

El reto es...


236

Resolución de problemas de caída libre

1. Para saber la profundidad de un pozo, una persona dejó caer una piedra y 3sdespuésoyóelruidodelchoquecontraelfondodelpozo.Sesabeque la velocidad del sonido en el aire vale 340m/s.

a) Calcula el tiempo que la piedra necesitó para llegar al fondo del pozo.

b) Determina la profundidad del pozo.

¿Qué tipo de movimiento desarrolla la piedra y el sonido? Cuando la perso-na oye el ruido del choque de la piedra han transcurrido 3s, distribuidos entre el tiempo que la piedra recorrió la profundidad que tiene el pozo (tp) más el tiempo que necesita el sonido para llegar al oído de la persona (ts), la veloci-dad del sonido es constante, por lo cual tenemos que, mientras la piedra rea-liza un movimiento en caída libre, el sonido tendrá un MRU. Así que el tiempo se distribuye en tp + ts =3s. Por otro lado, las alturas que recorrerán, tanto la piedra como el sonido, son iguales, es decir, la profundidad del pozo.

La profundidad (altura) recorrida por la piedra será:

Y = - = = -5 · (tp)2

Y = -5 · (tp)2 (1)

La distancia que recorre el sonido vendrá dada por:

Y = v · ts = 340 · ts (2)

Pero el tiempo del sonido (ts), podemos escribirlo en términos del tiempo de la piedra como ts = 3 - tp y al sustituirlo en la ecuación (2) tenemos:

Y = 340 · ( 3 - tp ) = 1020 - 340 tp

Y = 1020 - 340 tp (3)

Igualamos la ecuación (1) con la ecuación (3). ¿Por qué?

5 · ( tp )2 = 1020 - 340 tp 5 · ( tp )2 + 340 tp - 1020 = 0

¡Resuelve la ecuación de segundo grado! Tendrás dos valores, uno positivo y uno negativo, recuerda que los tiempos no pueden ser negativos. Así que la solución positiva es tp=2,88s. Luego el tiempo que emplea la piedra para llegar al fondo del pozo es de 2,88s. El resto del tiempo 0,12s es lo que tardó el sonido en viajar desde el fondo del pozo hasta llegar al oído de la persona.

Vamos al grano

g · (tp)2

210 · (tp)2

2


237

Figura 42

Como en el inciso b) nos piden determinar la altura, podemos obtenerla al sustituir el tiempo en cualquiera de las ecuaciones 1 o 2. Considerando la ecuación 1, nos queda Y = -5 · ( 2,88 )

2 = - 41,47 m, aproximadamente. La pro-fundidad del pozo es de 41,47m.

2. El siguiente problema es muy interesante. Está referido a las aventuras deSuperman.Luisa,lajovenenamoradadeSupermanenestahistorieta,estáenpeligro,ellaesarrojadadesdeloaltodeunedificiode180mdealtura y desciende en caída libre (con v0=0).Supermanllegaaloaltodeledificio4sdespuésdeliniciodelacaídadeLuisayselanzaasalvarlaconvelocidad constante. ¿Cuál es el mínimo valor de la velocidad que deberá desarrollar este superhéroe para alcanzar a su admiradora antes que cho-que contra el suelo? Usa el valor de g=10m/s2

Debes preguntarte qué tipo de movimiento desa-rrolla cada uno, esto te permitirá establecer las respec-tivasecuacionesygráficos.Podríasplantearte¿cuántotiempo emplea Luisa en su caída?, ¿con cuánto tiempo cuentaSupermanparasalvaraLuisa?

La altura Y, que recorrerá Luisa, también la debe recorrer Superman, por tanto, las distancias queambos recorren son iguales. Luisa desarrolla un MRUA,mientrasqueSupermanMRU.

En el problema se nos pide hallar la velocidad mí-nimaquedebedesarrollarSuperman,paraestotie-nes que saber cuánto tiempo emplea él en salvarla. CiertamenteeltiempoempleadoporSuperman,ts, tiene que ser menor que el de Luisa, tL, exactamente

4smenos,parapoderevitarleuntrágicofinal.Sisabemoseltiempoqueellaem-plea en su caída, podremos determinar cuánto tiempo le queda al superhéroe para salvarla.

En la tabla 14 se reflejan las condiciones mostradas en el problema. No signi-ficaquelosproblemastienesquehacerlosasí,puesestaesunadelasmanerasde organizar la información.

Tabla 14Descripción de los movimientos realizados por Luisa y Superman

Luisa (MRUA)

Tiempo tL

Altura recorrida

Y = = = 5 tL2 Y =5 tL

2

SustituyendoY= 180m, se obtiene(1) 180 = 5 tL

2

g · (t)2

210 · (t)2

2


238

Superman (MRU)

Tiempo (2) ts = tL - 4s

Altura recorrida

Y = v · ts, sustituyendo Y = 180, se tiene, 180 = v · tsSedespejavelocidadquesebus-ca (3) v =

De la ecuación 1, despejamos el tiempo, tL = = 36 = 6s

De ahí tenemos el tiempo que tardaría Luisa en llegar al suelo, es decir lo quetardaenrecorrerlos180m.ParahallareltiempoqueSupermantienepa-rar salvarla, sustituimos tL=6s en la ecuación 2, nos da 2s. Finalmente, al susti-tuir el valor de 180m y el tiempo en la ecuación 3 obtendremos el valor de la velocidadmínima,90m/s,queSupermanrequiereparasalvaraLuisa¿Quélesucederá a nuestra amiga si el superhéroe desarrolla una velocidad menor a la mencionada?

Graficaenelmismoplanocartesiano lagráficadistancia-tiempodecadamovimiento.

Factores que influyen en la caída de los cuerpos

Como sabes, nuestro hogar, La Tierra, está rodeada de una capa de gas (dióxido de carbono, nitrógeno, oxigeno…) que se llama atmósfera. Ésta envuelve la Tierra y evita que el aire salga, creando así un inmenso océano de aire.

El aire es un fluido (porque fluye); la fricción en el aire se conoce como resistencia y es una fuerza que se opone a la de la gravedad. Esta siempre actúa hacia abajo, si la resis-tencia del aire se opone al movimiento del objeto, nos indica que va a actuar en sentido contrario, en este caso, hacia arriba.

La fuerza de resistencia del aire que actúa en un objeto que cae depende de dos factores: de la rapidez y del área de contacto. En el ejemplo de las hojas de papel, el peso es el mismo para ambas, lo que determina que una llegue primeroquelaotraeseláreadesuperficie:lahojaextendidatienemayoráreadesuperficiequelaotra,loqueaumentaconsiderablementelaresistenciaalaire, retardando así el movimiento.

Para entender cómo se relacionan la rapidez del objeto en caída libre y la resistencia en el aire, tenemos que percatarnos de que, a medida que aumen-ta la rapidez del objeto, la resistencia del aire también se incrementará. Por

180ts

1805

Gra

veda

d

Fuerzade rocedel aire

Figura 43


239

ejemplo, un ciclista que se desplace a 25km/h encontrará mayor resistencia que otro que se desplace a 5km/h.

En el ejemplo de un cuerpo que cae, a mayor rapidez de caída habrá mayor resistencia del aire en sentido con-trario a la caída; la fuerza de gravedad que ejerce la Tierra sobre el objeto es contrarrestada en forma creciente por la fuerza de roce del aire, en el momento que esas fuerzas están en desequilibrio (una es mayor que la otra) el cuer-po que cae tiene aceleración hasta que ambas fuerzas se equilibran y cuando esto ocurre (en algunas situaciones no llega a ocurrir) el cuerpo continúa descendiendo con velocidadconstantehastaelfinaldesuviaje;aestaúltimaseleconocecomovelocidad terminal. Donde P es la fuerza de gravedad y R la resistencia del aire.

Ahora bien, con esto podemos entender porque la hoja arrugada cae pri-mero que la lisa (o porque la moneda cae primero que la pluma). La hoja lisa, altenermayorsuperficiedecontactofrontalconelaire,ofrecemayorresis-tencia, es decir la fuerza de roce se incrementará mucho más rápido que en unobjetoque tiene superficiemenor,hastaque seanule con la fuerzadegravedad. A partir de allí, la hoja lisa iniciará un movimiento con velocidad constante, mientras que el otro objeto aún tiene aceleración, sigue con un movimiento acelerado, llegando primero éste último al suelo.

Para saber más…

La aceleración de gravedad no es igual en todos los planetas. En La Tierra, como sabes, es de aproximadamente 9,8m/s2, pero en Marte, por ejem-plo, es de 3,72 m/s2. A través del siguiente ejercicio (sólo necesitas saber despejar y sustituir), calcula el valor de la aceleración de gravedad lunar.

Un astronauta en la luna arrojó una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad de 8m/s y tardó 5s para alcanzar el punto más alto de latrayectoria(estosignificaquelavelocidadenesepuntoes0).Revisalas ecuaciones vistas anteriormente.

Bien, como te has dado cuenta el valor de la luna es aproximadamente 1,6m/s2, la aceleración de la gravedad en la Tierra es aproximadamente 6vecesmayorquelagravedadlunar.Siunobjetosedejacaer(vo=0)desde una misma altura en la Tierra y en la luna, ¿cuál de ellos llegará primero? ¡Exacto! El objeto en la Tierra llega primero, debido a que la aceleración es mayor, es decir, el cuerpo incrementa su velocidad 9,8m/s cada segundo, mientras que en la luna su velocidad aumenta 1,6m/s2 cada segundo. Ahora puedes entender porqué en el video de la semana anterior los objetos en la luna “parecen flotar”, es decir, su caída es muy lenta, comparándola con la de los cuerpos que caen en la Tierra.

Acelerado

P = R

Movimientouniforme

Figura 44


240

1.Sinofueraporlaresistenciadelaire,¿seríapeligrososaliralaintemperieen días lluviosos?

2.ElastronautaScott,delanaveApolo15quellegóa lasuperficiedelaluna, dejó caer desde una misma altura, una pluma y un martillo, y al comprobar que los objetos llegaron juntos al suelo exclamó ¡Vaya que Galileo tenía razón! ¿Cómo explicarías el hecho de que ambos objetos cayeran simultáneamente?, ¿por qué, por lo general, en la Tierra una pluma cae con más lentitud que un martillo?

Resuelve los siguientes problemas y ejercicios.

1.Desdeloaltodeunedificio,accidentalmentesedejacaerunapinzapararopa.Silapinzatardaenllegaralpiso15segundos:

a)¿Cuáleslaalturadeledificio?

b) ¿Con qué velocidad choca contra el piso?

2.Sinohubieseresistenciaalaire¿conquérapidezcaeríanlasgotasqueseformaríanenunanubea1kmsobrelasuperficiedelsuelo?(¡porsuerteesas gotas sienten la resistencia del aire cuando caen!)

3. Un niño, en un puente existente sobre la calle, deja caer una piedra exac-tamente en el momento en que un camión comienza a pasar por abajo. El camión mide 10m de longitud y la piedra se dejó caer desde una po-sición de 5m arriba del vehículo. ¿Cuál debe ser la mínima velocidad del camión para que la piedra no lo golpee?

Nadie puede hacer el bien en un espacio de su vida, mientras hace daño en otro. La vida es un todo indivisible. Mahatma Gandhi

Aplica tus saberes


241

Semana 12 Fenómenos electrostáticos

Es muy probable que hayas observado al peinarte cómo tu cabello se eriza o posiblemen-te después de arrastrar tus pies sobre una alfombra y tocar una manilla metálica hayas senti-do una pequeña chispa en tu dedo. Estos fenómenos se han de explicar a través de cargas eléctricas en reposo. Por esta razón, este estudio recibe el

nombre de electrostática. La electricidad estática suele ocasionar repulsión y atracción entre dos cuerpos. Esta semana nos dedicaremos a analizar los fenó-menos asociadas a ésta, así como las diferentes formas de cargar un cuerpo.

Da una explicación de los siguientes fenómenos:

• Unpeineseelectrizacuandosefrotaconelcabelloyluegopuedeatraera éste (puedes probar con el cabello seco, péinalo y acércalo a unos pa-pelitos). Explica por qué sucede esto.

• Frotaunpitilloconuntrozodeteladesedayluegoacércaloaunchorrofinodeagua,sinhacercontacto.Explicalosucedido.

Realiza esta experiencia antes de la reunión en el CCA.

El péndulo electrostático

Materiales: Base soporte, esferas de poliestireno (bolita de anime), barra de plástico (puede ser una regla o un pitillo), barra de madera o pinza de madera, hilo, aguja, paño de seda y paño de lana.

Descripción: Prepara varias esferas de poliestireno y atraviésalas con una aguja para pasarles un hilo que permita colgarlas de una barra aislante de

¡Empecemos!

¿Qué sabes de...?

El reto es...

Fenómenos electrostáticos Semana 12

242

madera suspendida en lo alto de un soporte. Así has construido un péndulo electrostático(verfigura45a)

Figura 45a Figura 45b

1. Acerca la barra de vidrio a la esfera. ¿Qué ocurre? Frota a continuación la barra de vidrio con un paño de seda y acércala a la esfera. ¿Qué sucede? Toca la esfera con la mano para descargarla. ¿Por qué crees que se des-cargaconlamano?(Verfigura45b).

Repite la experiencia anterior usando la barra de plástico y frotando con el paño de lana.

2. Cuelga del soporte aislante dos esferas, a la misma altura y separadas 1cm. Frota con el paño de seda la barra de vidrio y acércala por debajo de las dos esferas, de forma que toque a ambas simultáneamente. Retira la barra de vidrio y observa la interacción de las dos esferas.

Descarga las esferas tocándolas con la mano. Repite la experiencia con la barra de plástico y el paño de lana.

¿Las esferas se atraen o se repe-len (se separan)? Descarga con la mano ambas esferas.

Frota la barra de plástico con lana al mismo tiempo que otro compañero frota la de vidrio con seda. Acerca ambas barras simul-táneamente hasta tocar cada una de las esferas. Retira la barra y ob-serva lo que sucede.

¿Lasesferasseatraenoserepelen(seseparan)?(Verfigura45c).

Anota tus observaciones y compártelas con tus compañeros del CCA. Debes hacer la lectura de este material.

Figura 45c

Semana 12Fenómenos electrostáticos

243

Carga eléctrica

Para comprender lo que ocurre en el interior de los cuerpos cuando son frotados, tenemos que recurrir al término carga eléctrica.

Enlanaturalezalacargaeléctricaesinherentealamateria.Sinembargo,notoda la materia expresa fenómenos electrostáticos. La materia que nos rodea a su vez está formada por átomos que constan de neutrones, protones y elec-trones. Los protones y electrones tienen una propiedad que se conoce con el nombre de carga eléctrica.

Esta carga eléctrica puede ser de dos tipos, los protones tienen carga eléc-trica positiva, mientras que los electrones tienen carga eléctrica negativa. Enlafigura46semuestraelmodelodeunátomo,enélpuedesobservarquelos neutrones (no tienen carga eléctrica), los protones se encuentran en el núcleo del átomo y los electrones se encuentran en las órbitas. Los electrones son partículas mucho más ligeras que los protones. La carga de un electrón es igual en magnitud, aunque de signo contrario, a la de un protón.

Figura 46. Estructura del átomo

Sifrotasunbolígrafoconuntrozodeteladelana(puedesprobarconunpitillo previamente frotado con servilleta), verás que este es capaz de atraer pequeños trozos de papel. En este caso, decimos que el bolígrafo se ha electri-zado. El bolígrafo queda cargado negativamente y el trozo de lana tiene carga positiva(verfigura47).

Figura 47

Vamos al grano

Neutrones

NúcleoProtones

Electrones


244

El proceso de electrización consiste en la transferencia de cargas eléctricas entre los cuerpos que se frotan. Cuando frotamos dos cuerpos entre sí hay una transferencia de electrones de un cuerpo hacia otro.

Un cuerpo en su estado normal, no electrizado, posee el mismo número deelectronesquedeprotones.Siesecuerpopierdeelectrones,tendráunexcesodeprotones,esdecir,quedaráelectrizadopositivamente.Sirecibe electrones, poseerá un exceso de estos y estará electrizado nega-tivamente.

¿Por qué se electriza un cuerpo?

Como se sabe, los protones y los neutrones se encuentran en el núcleo de los átomos y sus posiciones no se pueden cambiar por simple frotamiento, en cambio, como los electrones se encuentran en las órbitas exteriores del átomo mediante la fricción adquieren energía adicional para liberarse de él y transferirse de un cuerpo a otro. Por esta razón, en la electrización de los cuerpos por frotamiento sólo se llega a intercambiar electrones entre los dos cuerpos.

Formas de cargar un cuerpo

Retomemos el experimento que has realizado, al acercar la barra de plástico o la regla a la esfera, no sucede nada porque el cuerpo está en estado neu-tro. Luego, al frotar la barra de plástico con un trozo de lana, la barra queda electrizada (electrización por frotamiento); al acercarla a la esfera del pén-dulo observa que es atraída por la barra de plástico electrizada y después del contacto (electrización por contacto) es repelida, esto se debe a que han adquirido el mismo tipo de carga. Has lo mismo, pero, con la barra de vidrio. ¿Qué observas?

Sehacomprobadoqueelvidrio,cuandoesfrotadoconseda,adquierecar-ga positiva y, por ende, la seda adquiere carga negativa; la barra de plástico queda electrizada negativamente y el trozo de lana positivamente.

De la experiencia 2 puedes concluir lo siguiente:

a) Los cuerpos cargados con carga del mismo signo, se repelen.

b) Los cuerpos cargados con carga de distinto signo, se atraen.

Figura 48

- - -++ +


245

Con el simple hecho de acercar un objeto electrizado a un cuerpo conduc-tor (por ejemplo, una esfera metálica), la parte que está cerca del inductor (el objeto cargado) atrae cargas de signo contrario a éste, distribuyendo así las cargas en el conductor (que aún se encuentra en estado neutro). Es decir, se produce una separación de las cargas.

Observaatravésdelafigura49cómopuedecargarseuncuerpomediantela inducción.

Figura 49. Procedimiento para electrizar un cuerpo por inducción

Finalmente al retirar la conexión a tierra, el cuerpo queda electrizado negativamente.

Esta forma de cargar un cuerpo se llama inducción.

La inducción también ocurre entre un cuer-po cargado y un material no conductor.

La inducción se presentó cuando acercaste la barra de plástico a la esfera de anime (ésta estaba en estado neutro).

Para saber más…

Para que puedas dar respuesta satisfactoria a la sección “El reto es…” te sugerimos revisar la siguiente dirección web, en la que podrás profun-dizar en las formas más sencillas de electrizar un cuerpo: http://www.etitudela.com/Electrotecnia/principiosdelaelectricidad/cargaycampo-electricos/contenidos/01d56993080930f36.html.

SiseacercauninductorI, con carga positiva, a un conductor C en es-tado neutro, aparecen las cargas inducidas A y B.

Manteniendo el induc-tor I fijo, se efectúa unaconexión a tierra. (Esto se puede hacer tocando a C).

Hay, así un flujo de electrones libres hacia C que anula la carga positiva inducida y produce un exceso de carga negativa.

I I I

C

AB

T

C C


246

En el DVD encontrarás un excelente video que te permitirá ampliar los conocimientos en cuanto al surgimiento de la electros-tática, la explicación de fenómenos elec-trostáticos y otras cosas más ¡No dejes de consultarlo!

Analiza las siguientes preguntas:

1. Sisecargaunglobonegativamenteporfrotamientoyacontinuaciónsepegaenunapared.¿Estosignificaquelaparedtienecargapositiva?,¿por qué llega un momento en que el globo se cae?

2. Explica ¿cómo cargarías negativamente un objeto, únicamente con la ayuda de otro objeto con carga positiva?

3. Cuando te peinas sacas electrones de tu cabello, que se quedan en tu peine. Entonces, ¿queda tu cabello con carga negativa o positiva?, ¿y el peine?

4. Elabora en una lámina de papel bond un cuadro ilustrativo de las for-mas de electrizar un cuerpo (frotamiento, contacto, inducción y polari-zación). Puedes orientarte con preguntas como ¿en qué consiste cada una?, ¿la carga que adquieren los objetos después de cargarse por las formas citadas, son iguales o diferentes?, ¿qué diferencia hay entre el proceso de electrización por inducción y el de polarización?

5. A partir del video, comenta: ¿quién fue el primero en hacer experimen-toselectrostáticos?,¿quésignificalapalabraámbar?,¿quéconcluyóelcientíficofrancésFrancoisDuFaydesusexperimentos?,¿enquéconsis-te el pararrayo inventado por Benjamín Franklin? Explica sus ventajas.

1. En el CCA, formen pequeños grupos para comentar los resultados del experimentoyelvideo.SienelCCAtienendisponibleuncomputadoryun video beam, pueden disfrutar de éste nuevamente.

2. Entrégale al facilitador las respuestas a las preguntas propuestas en la sección anterior. En el CCA elabora la ilustración de las formas de cargar un cuerpo.

Una educación para los pobres no puede ser una pobre educación. José María Velaz

Aplica tus saberes



247

Semana 13 Ley de Coulomb

Esperamos que esta semana sea de gran provecho para ti. De tu disposición y compro-miso depende la calidad del trabajo.

En esta ocasión cuantificare-mos la intensidad de la fuerza electrostática, que surge cuan-do dos cuerpos se atraen o se repelen entre sí. Mediante grá-

ficosestableceremoslaleydeCoulomb,éstapermitirádarrespuestaalassi-guientes preguntas: ¿con cuánta fuerza se repelen dos cargas?, ¿cuántas ve-ces aumenta la magnitud de la fuerza cuando disminuye la distancia entre las cargas? entre otras interrogantes.

Durante el desarrollo de esta semana, comprenderás la ley de Coulomb y resolverás problemas de cargas eléctricas empleando tus conocimientos de proporcionalidad directa e inversa.

Siacercasunabarraelectrizadacomolaqueseobservaenlafigura50,res-ponde, en función a los conocimientos adquiridos en la semana anterior.

Figura 50

a) ¿Hacia dónde se desplazan los electrones libres de este objeto metálico?

b) ¿Cuál es el signo de la carga que aparece en el extremo de A y B, respec-tivamente?

c) ¿Cómo se denomina el proceso de separación de cargas que ocurrió en el objeto metálico?

¡Empecemos!

¿Qué sabes de...?

Ley de CoulombSemana 13

248

El reto es...

Apóyate en tus conocimientos sobre vectores para dar respuesta a las pregun-tas que se plantean. La idea es que establezcas tus conclusiones para posterior-mente contrastarlas con la teoría que verás en la siguiente sección.

Situación N°1. La fuerza eléctrica es proporcional a la carga.

Observa cuidadosamente cómo varía la magnitud del vector fuerza a medida quesemodificaelvalordelacarga:

Figura 51

Deacuerdoconlafigura51puedesresponderaestaspreguntas:¿quéocurrecon la magnitud de la fuerza cuando se duplica o triplica el valor de una carga?, ¿qué ocurre con el valor de la fuerza cuando se incrementa el valor de ambas car-gas? El valor de la fuerza es más intensa ¿cuándo aumenta el valor de una carga o de ambas?, ¿qué ocurre con la magnitud de la fuerza a medida que se incrementa el valor de las cargas?, ¿qué relación existe entre las fuerzas y las cargas?

Situación N°2. La fuerza eléctrica depende de la distancia entre las cargas.

Observacuidadosamentelosgráficosyresponde:

Figura 52

Cuando se duplicó, triplicó el valor de la distancia ¿qué le ocurrió a la magni-tud de la fuerza?, ¿en cuánto disminuyó el valor de la fuerza en cada caso?, ¿qué le ocurre a la fuerza a medida que aumenta la distancia entre las cargas?, ¿qué relación existe entre la fuerza y la distancia entre las cargas?

No avances en la lectura del material, sin haber intentado dar respuesta a es-tas situaciones.

-+

-+

-+

-+

q1

2q1

q1

2q1

d

F

2F

3F

6F

F

2F

3F

6F

q2

q2

3q2

3q2

q1 q2

q1 q2

q1 q2

-+r

-+2r

-+3r

F9

F4

F4

F9

Semana 13Ley de Coulomb

249

q1 q2

+-Atracción

q1 q2

+ +Repulsión

Ley de Coulomb

En la semana anterior se estableció de forma cualitativa que entre los cuerpos que tienen cargas eléctricas se producen fuerzas de atracción y de repulsión.

Figura 53

Para estudiar cuantitativamente con qué fuerza se atraen o se repelen las cargas, se utiliza la ley de Coulomb, deducida por Charles Coulomb (1736-1806). En su experimento con la balanza de torsión encontró que la intensidad (magnitud) de la fuerza electrostática depende de la distancia, la magnitud de lascargasyelcoeficientedek que es la constante de proporcionalidad.

Al darle respuesta a la situación 1, se tiene que, si el valor de la carga se du-plicará (2q1), triplicará (3q2), cuadriplicará, etc., el valor de la fuerza entre las cargas se duplicaría (2F), triplicaría (3F)… Coulomb concluyó que el valor de la fuerza F es proporcional a q1. Podemos escribir F q1, el símbolo se lee “es proporcional a”.

De igual manera, si el valor de q1 no se altera, pero si se duplicará (triplicará, o cuadriplicará) el valor de q2, la fuerza también se duplicaría (triplicará, o cua-driplicará), podemos escribir F q2

Luego como F, es proporcional a q1 y q2, tenemos F q1 · q2 , es decir,

La fuerza de interacción entre dos cargas eléctricas puntuales es propor-cional al producto de dichas cargas.

En la situación 2, la fuerza ejercida entre dos cuerpos electrizados disminuye al aumentar la distancia entre ellos (o aumenta al disminuir la distancia); así Coulomb observó que cuando la distancia d es multiplicada por un número, la fuerza entre las cargas queda dividida por el cuadrado de ese número.

Al combinar esas conclusiones y considerando el valor de la constante k, la ley de Coulomb expresa:

Dos cargas eléctricas se atraen o se repelen con una fuerza que es direc-tamente proporcional al producto de las cargas e inversamente propor-cional al cuadrado de la distancia que las separa.

Vamos al grano

F F F F


250

A través de una fórmula matemática, esto se puede expresar así:

F =

Donde:

*Frepresentalafuerzaelectrostáticaentrelascargas.Suunidadenelsiste-ma internacional es el Newton (N).

*d es la distancia entre las partículas cargadas (medida en m, cm, mm…).

*q1 y q2 representa la cantidad de carga. La unidad de la carga se simboliza con la letra C, que representa un coulomb; ejemplo: cuando el valor de la carga es q1= 13 C, se lee 13 coulomb.

*k es la constante de proporcionalidad, cuyo valor es k=9x109 N.m2/C2

Para saber más…

Profundicemos en la comprensión de esta ley, a través de la resolución de unos ejercicios.

1. Dos cargas eléctricas puntuales (puntuales porque se consideran de pequeñas dimensiones) están separadas por una distancia de 4x10-2 m y se repelen con una fuerza de 27x10-4 N. Piensa que la distancia entre ellas se aumenta a 12x10-2 m.

Figura 54

a) ¿Cuántas veces se incrementó la distancia entre las cargas?

b) ¿La fuerza entre las cargas aumentó o disminuyó?, ¿cuántas ve-ces?

c) Entonces ¿cuál es el nuevo valor de la fuerza de repulsión entre las cargas?

d) La distancia incrementó 3 veces su valor: 12x10-2m=3. 4x10-2m.

e) De acuerdo a lo estudiado, si aumenta la distancia entre las car-gas la fuerza disminuye en un factor de 32=9, la fuerza será 9 ve-ces más pequeña.

f ) La fuerza entre las cargas queda dividida entre el cuadrado del número 3, es decir 9, 27x10-4 N/9=3x10-4 N

k q1 q2

d2

F F1+q

2+q

r


251

2. Un átomo de hidrógeno está compuesto por un protón en su núcleo y éste atrae al electrón que gira alrededor de él. El electrón ¿atrae al pro-tón con la misma fuerza o con más fuerza?

Una fuerza es una interacción entre dos cosas, el protón y el electrón están interactuando. Las fuerzas en este caso son de origen eléctrico, de acuer-do a la ley de acción y reacción (tercera ley de Newton), siempre que un cuerpo A (protón) ejerce una fuerza sobre otro cuerpo B (electrón), éste ejerce también una fuerza de igual magnitud y sentido contrario sobre el primero (protón). Es decir, la magnitud de las fuerzas con que interac-túan es igual, aun cuando el valor de las cargas sea diferente.

Las fuerzas sobre las dos cargas son iguales. Por ejemplo, si la carga q1 ejerce una fuerza de 10N, sobre la carga q2, ésta ejercerá una fuerza de la misma magnitud.

Complementa la resolución de problemas de la ley de Coulomb, en el DVD o en la siguiente dirección web, donde se muestran unos ejercicios en los que se aplica la fórmula; consulta detalladamente sólo los dos primeros de este documento: http://issuu.com/ernestoyanezri-vera/docs/problemas_de_ley_de_coulomb

Resuelve los siguientes problemas.

1. Dos cargas puntuales están a 6cm de distancia. La fuerza de atracción entre ella es de 20N. Calcula la fuerza entre ellas cuando estén a 12cm de distancia. ¿Por qué puedes resolver el problema sin saber el valor de las cargas?

2. Dos cargas eléctricas puntuales están separadas por una distancia de 15cm. La distancia entre ellas se altera hasta que la fuerza eléctrica se vuelve 25 veces mayor.

Si las cargasque seatraenentre síenelproblemaanterior, tienen igualmagnitud. ¿Cuál es la magnitud de cada una de ellas?

3. Dos cargas iguales ejercen fuerzas iguales entre sí. Y si una carga tiene el doble de magnitud que la otra, ¿cómo se comparan las fuerzas que ejercen entre sí?

Aplica tus saberes


252


1. Realiza los ejercicios en tu casa y posteriormente en el CCA formen pe-queños grupos y compartan los resultados. Entrégalos al facilitador.

2. Realiza un breve escrito donde evalúes tu participación en esta semana. Guíate mediante las siguientes preguntas: ¿he realizado la lectura del material antes de mi encuentro en el CCA?, ¿realicé las consultas suge-ridas?, ¿cuáles son mis aprendizajes esta semana?, ¿en qué debo seguir mejorando?

Las mentes creativas son conocidas por ser capaces de sobrevivir a cualquier clase de mal entrenamiento. Anna Freud


253

Semana 14 Consolidando aprendizajes

Hemos llegado al final de otrosemestre. Y es bueno saber que tú has logrado superarte día tras día, cumplir con todos los compromisos asignados, demostrando así que con voluntad y perseverancia todo es posible. Todo el equipo IRFA de-sea que el resto de camino lo reco-rras junto a nosotros, tú eres una persona valiosa. Recuerda tener siempre una actitud triunfadora. ¡Éxitos!

Esmuyprobablequecuandofinalizasunsemestre,untrabajo,unproyecto,oinclusodespuésdeorganizarydisfrutardeunafiesta,digas“silohubiesehecho de esta manera, seguro que…” . Cuando te expresas así estás evaluan-do, estás pensando en posibles mejoras. Por eso esta semana nos dedicamos a profundizar sobre nuestra actuación en los estudios del CCA, es un tiempo para reflexionar sobre las cosas que dejamos de hacer, aquellas que hicimos y cómo podemos mejorarlas.

También se incluye en esta sesión unos ejercicios y problemas del área que permiten poner en práctica la mayoría de los conocimientos que se han ad-quirido durante todo el semestre.

Analiza las siguientes frases:

ü La imaginación es más importante que el conocimiento. Albert Einstein

ü Lo que sabemos es una gota de agua; lo que ignoramos es el océano. Isaac Newton

ü Una caminata de mil millas comienza con un pequeño paso. Lao-tse

ü En todo logro extraordinario la perseverancia es un ingrediente necesa-rio. El que persevera alcanza.

Matthew Andrew

¡Empecemos!

¿Qué sabes de...?

Consolidando aprendizajesSemana 14

254

Revisa tu participación y desempeño en el CCA y evalúa qué tanto has aprendido del área

De tu experiencia como participante, qué mejorarías y qué puedes suge-rir para que el sistema IRFA también mejore. Con las siguientes preguntas orientadoras, se quiere que generes tales respuestas. ¿Cuál ha sido mi nivel decompromiso?,¿asistoa losencuentrosdelCCA?,¿dedicoeltiemposufi-ciente para realizar las lecturas de los materiales y las actividades asignadas?, ¿le pido al facilitador que aclare mis dudas?, ¿qué rol, por lo general, ocupo cuando trabajo en grupos?

Tus respuestas a las siguientes preguntas debes entregárselas al facilitador, pues éstas van a permitir que mejoremos los materiales en cada semestre.

¿Cuáles son tus impresiones respecto al material impreso y multimedia (ca-lidad del texto, imágenes, temáticas tratadas)?, ¿el desarrollo de las temáticas se aborda de forma amena?, ¿las temáticas trabajadas en este material están en coherencia con las abordadas en otros semestres?, ¿en este material se abordan aspectos de mi realidad y/o cotidianidad?, las formas en que se han tratado los temas ¿son adecuadas para el área de matemática y razonamiento lógico?

Para saber más…

Te recomendamos analizar el maravilloso video titulado “Lección de perseverancia, reflexión para la vida”, disponible en http://www.youtu-be.com/watch?v=AoM-69RQflM&feature=related

A continuación se muestran algunos problemas de las semanas trabajadas en este semestre, a los que debes darle solución.

1. La luz viaja en línea recta con velocidad constante de 300.000km/s. ¿Cuál es su aceleración?

El reto es...

Vamos al grano

Aplica tus saberes

Semana 14Consolidando aprendizajes

255

2. Un topógrafo necesita hallar el ancho de un cañón. Para ello se ubica en el punto x frente a un árbol situado en la orilla opuesta, camina 20m hacia la derecha y en ese lugar el ángulo entre la orilla del cañón y la líneadevisibilidadhaciaelárbolesde55°,¿cuáleselanchodelcañón?(Puedesapoyarteenlafigura55).

Figura 55

3. Completa la tabla 15, con las características de los movimientos estudia-dos.

Tabla 15

Tipo de movimiento

Características

Posición Velocidad Aceleración

MRU Es una función lineal del tiempo.

MRUV

Es constante y positiva

MRUR

Es igual a la gravedad

Consolidando aprendizajesSemana 14

256

4. En la tabla 16 se muestran varios valores de la velocidad de un móvil que se desplaza en línea recta.

Tabla 16

t(s) 1 2 3 4 5

v(m/s) 5 8 11 14 17

a) ¿Qué tipo de movimiento es?

b) ¿Cuál es el valor de su aceleración?

c) ¿Cuál es la velocidad inicial del móvil, en el instante t=0?

d) ¿Cuál es la distancia que recorre el cuerpo desde t=0 hasta t=4s? Recuerda:debeshallareláreabajolacurva).Sugerencia:hazunagráfica.

5. Menciona un ejemplo de algo que se cargue por fricción, por contacto y por inducción.

6. ¿Qué función tiene el pararrayos?

7. En la tienda “Ilusión compartida” tienen unas ofertas de bombones por el día de la amistad. Éstos vienen en tres presentaciones: cajas pequeñas (250g), cajas medianas (500g) y 1kg. En un día vendieron 50 cajas en to-tal (pequeñas, medianas y grandes), habiendo 10 cajas más de tamaño pequeñoquemediano.Sielpreciodecadakiloesde36Bsylaventade ese día en bombones fue de 1080 Bs, determina ¿cuántas cajas se vendieron de cada tipo?

8.Maríadejócaerdesdeloaltodeunedificiounapelota(esdecir,partedel reposo) y tarda 4s en llegar al suelo. Considera despreciable la re-sistencia del aire y g=10m/s2. ¿Cuáles laalturadeledificio?,¿conquévelocidad llega el cuerpo al piso?

9. La radiación es un proceso mediante el cual ciertas sustancias se desinte-gran liberando energía. Este proceso puede producirse de forma natural, en centrales eléctricas nucleares o en la producción de armas atómicas. Las mediciones indican que los materiales radioactivos se desintegran enunporcentajefijoporunidaddetiempo.

Por ejemplo, el argón radioactivo 39, tiene una vida media de 4 minu-tos,estosignificaqueen4minutoslamitaddeunacantidadcualquie-ra de argón 39 se transforma (se desintegrará un 50% cada 4 minutos) en otra sustancia debido a la desintegración radioactiva. La función exponencial que permita conocer la cantidad que queda después de t minutos está dada por:

f(t) = 200 · , donde la cantidad inicial es de 200 miligramos de argón.1

2

t4

Semana 14Consolidando aprendizajes

257

Completalatabla17haciendousodelaexpresiónanteriorygraficalafun-ción. ¿Es una función creciente o decreciente?

Tabla 17

Tiempo (s) Miligramos de argón Tiempo (s) Miligramos

de argón

t =0 200 t =12

t =4 100 t =16

t =8 50 t =20

1. Recoge el análisis y reflexión que has realizado durante esta sesión en el siguiente cuadro. La idea es que te hagas consciente de cuáles son esos avancesydificultades,paraquesepasencuálesaspectosdebestraba-jar,paramásserexitosocadadía.Siquierespuedescompartirlocontuscompañeros del CCA.

Avances y/o logros de este semestre Debilidades

Propuestas de mejoras para seguir

adelante…

Piensa en grande y tus hechos crecerán, piensa en pequeño y quedarás atrás, piensa que puedes y podrás, todo está en el estado mental. Napoleón Hill


Referencias

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Bibliográficas

Alvarenga, Beatriz y Ribeiro, Antonio (2001). Física General. Con experimentos sencillos. Oxford University Press. México.

Barnett, Raymond (1995). Precálculo: Algebra, Geometría Analítica y Trigonometría.Editoriallimusa,S.A.GrupoNoriegaEditores.México,D.F.

Carrasco, Patricia y Torres, Gerardo (2006). Matemáticas II. Geometría y trigo-nometría. Thomson. México.

Hewit, Paul G. (2004). Física conceptual 9na edición. Pearson Educación. México.

Jouette,André(2008).Elsecretodelosnúmeros.Swingciencia.Madrid.

La enciclopedia del estudiante: Tomo 7: Física y química (2006), 1era ed. Santillana.BuenosAires.

Sullivan,Michael(1997).Trigonometríaygeometríaanalítica,4a.Ed.Prentice-Hall, México.

Electrónicas

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La física con Félix. Consultado el 05 de mayo de 2012, en http://rpalomino7.wordpress.com/2011/06/08/electrostatica/

Matemáticos 1234. Consultado el 20 de mayo de 2012, en http://merges10.blogspot.com/

Matrices. Consultado el 30 de abril de 2012, en http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/matrizw.htm

Problemas de construcciones. Consultado el 10 de mayo de 2012, en http://platea.pntic.mec.es/jescuder/construc.htm

Sistemas de ecuaciones. Consultado el 17 de abril de 2012, en http://fres-no.pntic.mec.es/amaa0011/BH2/Pdf/Sistemas/Sistemas%20LITERALES%20SOLO.pdf

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Matemática y Razonamiento Lógico - Radio Fe y … · Matemática y Razonamiento Lógico 7mo. Semestre ... la naturaleza y tecnológicos (el movimiento, la electricidad, óptica),