Matemática y semiótica en el aula- Maura Iori

Maura Iori

Doctorado Universidad de Palermo, Italia

15 de Mayo de 2013

Matemtica y semitica en el aula:

un punto de vista necesario

Seminario Miradas Contemporneas en Educacin

Si se le pide a un estudiante de escuela secundaria:

qu es una recta?

podemos tener como respuesta:

un dibujo una ecuacin lineal del tipo: ax + by + c = 0 un ente primitivo No s ...en los tres primeros casos las respuestas son representaciones semiticas del objeto pedido, no son el objeto al cual se hace referencia (DAmore, Fandio Pinilla, Iori, Matteuzzi, 2013).

Si se le pide a un estudiante de escuela secundaria:

qu es una funcin?

podemos tener como respuesta: un dibujo f (x) una definicin un diagramma No s ...

Un punto de vista necesario

L o s o b j e t o s m a t e m t i c o s n o s o n a c c e s i b l e s perceptivamente o instrumentalmente, pero slo a travs de los signos, o mejor, de los sistemas semiticos de representacin.

!!!f (x) funcin nmero pi recta

Qu significa decir que un estudiante ha aprendido o se ha construido cognitivamente un objeto matemtico?

Cmo puede el docente distinguir el aprendizaje de un objeto matemtico desde el aprendizaje de simples reglas de tratamiento de las representaciones del objeto en cuestin en un dado registro semitico?

Qu aspectos de las representaciones semiticas son ms problemticos en el proceso de aprendizaje de los estudiantes?

Algunas preguntas

Pero,

qu es un objeto matemtico?

qu es una representacin semitica de un objeto matemtico?

qu es un signo?

Enfoque semitico-interpretativo peirceano

Charles Sanders Peirce (1839 1914)

Un signo, o representamen, es algo que para alguien est por algo bajo algn aspecto o capacidad. Se dirige a alguien, esto es, crea en la mente de esa persona un signo equivalente, o tal vez un signo ms desarrollado. Ese signo que crea lo llamo interpretante del primer signo. El signo est por algo, su objeto. Est por ese objeto no bajo todos los aspectos, sino con referencia a una cierta idea, que a veces he llamado ground del representamen (CP 2.228, 1897).

El signo como relacin triadica

Elementos de la relacin sgnica

De esta definicin emerge una relacin fundamental que involucra tres elementos:

un representamen: el vehculo, la parte material, del signo; un objeto: a lo que el representamen reenva; un interpretante: lo que deriva o viene generado de la relacin entre

representamen y el objeto.Para Peirce la interpretacin de un signo exige adems un cierto conocimiento colateral del signo o del sistema de signos, es decir, un tipo de conocimiento obtenido de otras experiencias precedentes con lo que el signo denota y una cierta familiaridad con el sistema de signos.

Funciones representativa y epistemolgica

Funcin representativa

Funcin epistemolgica

Tipos de objetos

El objeto, es decir lo a lo cual el signo/representamen reenva puede ser de dos tipos: inmediato, es decir el objeto as como es representado por

el signo dinmico, es decir el objeto realmente eficiente, pero no

inmediatamente presente, lo que gua la produccin del signo, y de lo cual el objeto inmediato representa nicamente un aspecto particular.

La semiosis

...

!a + b( ) a b( )

...

El producto de la suma de dos nmeros por su diferencia

a > b > 0

Producto notable

La semiosis

Tringulo obtusngulo

Objeto dinmico

Tringulo

Tringulo

Tringulo escaleno

...

Tringulo con un ngulo

mayor de 90

Ejemplo

Peirce distingue tres tipos de interpretantes:

interpretante inmediato: el primer efecto que un signo puede producir sobre su interprete, una potencialidad semntica;

interpretante dinmico: el efecto producido realmente sobre un intrprete;

interpretante final: el resultado interpretativo al cual cada interpretante llega si el signo es suficientemente considerado.

Tipos de interpretantes

Elementos de la relacin sgnica

Objeto

inmediato dinmico

Interpretante

inmediato dinmico final

Representamen

Categoras faneroscpicas

feeling cualidad pura sensacin posibilidad de existencia pura posibilidad de

signo

Primeridad (Firstness)

Segundidad (Secondness)

mediacin ley representacin convencin ley de signos

Terceridad (Thirdness)

hecho experiencia reaccin realizacin mero hecho de signo

REPRESENTAMEN

CONO

SMBOLO NDICE

Un cono es principalmente un signo de Primeridad; es un signo (representamen) que posee una cierta semejanza con su objeto.

Un ndice es principalmente un signo de Segundidad. Es un signo ( re p re s e n t am e n ) q u e e s t influenciado directamente por el objeto con el cual est en relacin. Esto permite dirigir la atencin al objeto.

U n s m b o l o t i e n e principalmente la naturaleza de la Tercidad: es un signo (representamen) cuya relacin con el objeto representado est definida por una ley; es general y convencional.

El representamen en relacin con el objeto

Un signo (representamen) tiene una relacin icnica con su objeto si el signo representa el objeto por medio de una semejanza simplemente cualitativa (imagen), o estructural (diagrama), o por medio de una semejanza entre dos objetos o situaciones de naturaleza diferente (metfora).El punto de fuerza de los signos que tienen una relacin icnica con su objeto es el hecho que estos vehiculan algo del objeto. El punto dbil es que la iconicidad, por s sola, no determina el objeto con el cual el signo es una relacin; el conjunto de los objetos al cual el signo puede ser asociado queda de hecho muy amplio. [Identificar otros objetos matemticos a los cuales la expresin (a+b)(a-b) y las figuras precedentes pueden reenviar].

Relacin icnica

Un signo (representamen) tiene una relacin indexical (de indicacin) con su objeto si el signo permite dirigir la atencin al objeto, o si existe una conexin fsica (natural, artificial o puramente mental) entre el signo (representamen) y el objeto.

Relacin indexical

Un signo (representamen) tiene una relacin simblica con su objeto si la relacin entre el signo (representamen) y el objeto est establecida por una convencin.

Relacin simblica

Imagen

Diagrama

Metfora

semejanza al objeto por cualidad simple

semejanza al objeto de tipo estructural o relacional

semejanza al objeto m e d i a n t e l a representacin de un paralelismo con alguna otra cosa

Tipos de conos

Diagrama

El uso de tal termino, por parte de Peirce, no es de alguna manera limitado a las representaciones graficas; este uso es diferente del comn que contrapone el diagrama entendido como representacin grafica o pictrica a la representacin realizada al interior de un sistema de representacin, o registro, lengua natural. Esta diferencia, como muestra Hoffmann (2010), no existe en Peirce. Segn Peirce, tambin las frases y las ecuaciones son diagramas. Un diagrama solo tiene dos caractersticas fundamentales: representa relaciones y es realizado sobre un sistema de representacin perfectamente

coherente (CP 4.418, aprox. 1903). Desde aqu su carcter icnico.

El termino diagrama, del griego (diagramma), dibujo, deriva del verbo (diagrafo) dibujar, trazar, comp. de (dia) a travez de, por, por medio de y (grafo) describir, pintar, dibujar, escribir; es utilizado para indicar lo que es trazado por medio de lneas (Harper, 2001-2012).

Diagrama

Un diagrama es un signo (representamen) que de manera predominante es un cono de relaciones y al que [ciertas] convenciones ayudan a serlo. [En esto] tambin se usan ndices, en mayor o menor medida. [El diagrama] debera realizarse sobre un sistema de representacin perfectamente consistente, fundado en una idea bsica simple y fcilmente inteligible (CP 4.418, 1903 aprox.).

Diagramas, ndices y smbolos

Un diagrama es un representamen en el cual juegan un papel importante tambin los ndices, cuya funcin es de dirigir la atencin hacia algo (son ndices tambin las variables en las ecuaciones), y los smbolos, cuya relacin con los objetos a los cuales hacen referencia es definida por medio de una ley o de una convencin.

!

a + b( ) a b( ) y x 3= 0

ab3

Diagrama

It is very likely the most important point thereby that a diagram lends itself to highly specific operations (like transformations, combinations, constructions) according to conventional rules. Thus, in this context, diagrams are not just static structures that only have to be perceived, but the objects of operations. And it is the latter that determine the meaning of the diagrams. One might therefore think of a diagram as a (type of) inscription together with a system of operations on it. Inscriptions plus system of operations present the core of the respective mathematical concept (Drfler, 2005).

Willibald Drfler

Rectas paralelas: diagrama?

Diagrama

a x + b y + c = 0a 'x + b 'y + c ' = 0


det a ba ' b '

= 0

15 x + 5 y 10 = 03x + y 5 = 0

det 15 53 1

= 0

Diagrama

y = mx + q


m = m 'y = m 'x + q 'y = 3x + 5y = 3x 2 3= 3

Diagrama

2 + 3 = ?

Irracionalidad de un nmero: diagrama?

2 = ?

Diagrama

Diferenciabilidad de una funcin: diagrama?

Diagrama

f (x) = 4x(x + 4)2

(x + 6)2(x 4)

Diferenciabilidad de una funcin: diagrama?

f '(x0 ) ?Diagrama

Diagrama

Experimento diagramtico

La mxima pragmtica

Razonamiento diagramtico

Considere qu efectos, que podran concebiblemente tener consecuencias prcticas, concebimos que tiene el objeto de nuestra concepcin. Entonces, nuestra concepcin de esos efectos es el total de nuestra concepcin de ese objeto CP 5.438, 1905).

La mxima pragmtica

1) se construye un diagrama2) se realiza experimentos sobre el diagrama3) se observa sus resultados4) se asegura la generalidad de los resultados5) se expresa los resultados en trminos generales

Razonamiento diagramtico

Abduccin: propone un diagrama explicativo sobre la base de ciertos hechos.

Deduccin: experimenta con el diagrama trazando.

Induccin : comprueba los resultados del experimento en relacin con los hechos.

Diagramas in abduccin - deduccin - induccin

Abduccin

Abduction is the process of forming an explanatory hypothesis. It is the only logical operation which introduces any new idea; for induction does nothing but determine a value, and deduction merely evolves the necessary consequences of a pure hypothesis.Deduction proves that something must be; Induction shows that something actually is operative; Abduction merely suggests that something may be (CP 5.171-172, 1903).

Resultado: Estos frjoles son blancosRegla: Aquel saco contiene solamente frjoles blancosCaso: Estos frjoles provienen de aquel saco.Resultado: x tiene la propiedad TRegla: Todo x del tipo H tiene la propiedad TCaso: x es del tipo H.

Abduccin

La regla a menudo se busca de f o r m a t a l q u e e x p l i q u e e l resultado. Esto es relevante didcticamente (Bagni, 2009b).

Resultado[ ]Regla[ ]Caso[ ]

TH TH

La suma de las medidas de los ngulos internos de un tringulo es igual a la medida de un ngulo llano.

Se puede pensar en recortar un tringulo dibujado en una cartulina y de doblar o cortar las extremidades (las puntas) del tringulo de cartn de forma tal que estas proporcionen un ngulo llano.

Ejemplo

Abduccin

Resultado: El ngulo suma de los tres ngulos internos de un tringulo de cartn tiene como lados dos semirrectas que pertenecen a la misma recta.

Regla: Los lados de un ngulo llano pertenecen a la misma recta.

Caso: La suma de los ngulos internos del tringulo de cartn es un ngulo plano.

!! !!

Forma de tringulo plegado

Componente icnica:

ngulos dispuestos formando un ngulo llano

Componente indexical:

La suma de los ngulos internos de un triangulo es un ngulo llano

Componente simblica:

Abduccin: Construccin suplementaria del diagrama: plegados o cortados de las extremidades (puntas) del tringulo

La relacin que un representamen puede tener con el objeto al cual hace referencia puede ser de tres tipos:

icnica: relacin de semejanza (por simple cualidad, estructural, o mediante un paralelismo con alguna otra cosa);

indexical: relacin eficaz, existencial, de causa y efecto (a travs de una conexin natural, artificial o puramente mental);

simblica: relacin establecida por una convencin, por un acuerdo o por una ley general.

El representamen en relacin con el objeto

Como el mismo Peirce evidencia - puros smbolos, puros conos y puros ndices, no existen. Un signo (representamen), y por tanto una representacin semitica de un objeto matemtico, posee siempre una componente icnica, una componente indexical y una componente simblica, pero siempre en relacin con el intrprete y con su conocimiento colateral.

Componentes icnicas, indexicales y simblicas

b b2 4ac2a

Inscripcin icnica

Inscripcin indexical

Inscripcin simblica

Forma de tringulo Componente icnica:

A, B, C, Componente indexical:

Concepto de tringulo

Componente simblica:

Ejemplo

consta de

mide

es

se expresa por

y es la ordenada obtenida de la abscisa x usando f

coincide o se solapa con

se calcula con

es o hace o resulta en

misma direccin, mismo sentido y mismo mdulo

Ejemplo: =A = a,b,c{ }AB = 5 cmx = 5y = f (x)

AB = CD

AT =b h2

4 5 = 20u = v

...

No existe notica sin semitica (Duval, 1993).

Raymond Duval

Enfoque semitico-cognitivo de Duval

Raymond Duval (1996) define un registro semitico como un sistema especifico de produccin de representaciones semiticas, un sistema semitico que responde no solo a una funcin de comunicacin o de objetivacin sino tambin a una funcin de tratamiento, es decir de trasformacin de una representacin de un objeto en otra (del mismo objeto) al interior del mismo sistema semitico.

Registro semitico

Se habla de conversin cuando se pasa de una representacin de un objeto en un registro semitico determinado a una representacin del mismo objeto en otro registro semitico; se trata entonces de una transformacin de representacin que determina un cambio de registro sin modificar el objeto denotado. Mientras que los tratamientos estn estrechamente relacionados con las caractersticas del registro semitico utilizado para la representacin de un objeto, no existen reglas especficas de conversin de un registro a otro (Duval, 2007; 2008).

Registro semitico

Duval (2006a, b) distingue cuatro tipos de registros de representacin: mono-funcionales (los tratamientos pueden asumir la forma de algoritmo)

discursivos (sistemas simblicos) no discursivos [configuraciones de unidad figrales, por ejemplo 0D/2D,

1D/2D, 2D/2D, 3D/2D, donde el denominador denota la inclusin del espacio en el cual se producen las representaciones; por tanto, representaciones de objetos geomtricos de dimensin, respectivamente, 0 (puntos), 1 (por ejemplo segmentos o rectas), 2 o 3 sobre una superficie de dimensin 2 (por ejemplo papel y pantalla)]

multi-funcionales (los tratamientos no pueden ser convertidos en algoritmos) discursivos (lenguaje natural) no discursivos (figuras geomtricas, grficos, diseos etc.).

Tipos de registros semiticos

Duval (2006b)

Toda representacin semitica proporciona un contenido (sentido o modo de presentacin) diferente segn el registro semitico utilizado para su produccin, mientras el objeto representado se vuelve el invariante de un conjunto de representaciones.

Duval (2008) evidencia la estructura, esencialmente didica, de una representacin semitica de la siguiente forma:

{{contenido de la representacin, registro semitico utilizado}, objeto representado}

Representacin semitica

el ltimo dgito es: 0, 2, 4, 6, 8

es divisible por 2

posibilidad de dividir los puntos en dos conjuntos equipotentes

...

Ejemplo: La paridad de los nmeros naturales

2 n , n

1. Eleccin del registro de representacin y eleccin de la representacin en dicho registro.

2. Transformaciones de las representaciones, es decir, pasaje de una representacin semitica a otra, a travs de los tratamientos o de las conversiones.

Caractersticas semiticas de la actividad matemtica

Si tenemos un objeto O cognitivamente construido en nuestra mente y deseamos representarlo por cualquier motivo (por ejemplo nominarlo, comunicarlo a otros, representarlo con un bosquejo, un diagrama, un esquema, un diseo, denotarlo,...), en primer lugar debemos decidir a cual, entre las posibles representaciones semiticas en los diferentes registros de representacin posibles, deseamos recurrir. Cada representacin hace emerger de O diversas cualidades, diferente componentes, diferentes aspectos. Por tanto, la eleccin de partida no es neutra ni indiferente, como no lo es la eleccin de la eventuales representaciones auxiliaras (ms o menos necesarias o tiles) en el pasaje de una representacin semitica a otra (DAmore, Fandio Pinilla, Iori, 2013).

Caractersticas semiticas de la actividad matemtica

Uno de los criterios de seleccin de los registros semiticos es el poder de los tratamientos que ellos permiten hacer.

Ejemplo: paralelismo entre rectas

Seleccin de los registros semiticos

Utilizando la propiedad distributiva del producto respecto a una suma y las usuales notaciones algebraicas, se obtiene una diferencia de dos cuadrados, precisamente el representamen:

Para a>b>0, mediante una operacin de re-configuracin de la figura precedente, se obtiene la correspondiente representacin geomtrica (representamen):

a + b( ) a b( )

a2 b2

Ejemplo

Estos representamen obtenidos, siguiendo las reglas y las convenciones de los correspondientes sistemas de representacin (registro de la escritura algebraica y registro de las figuras geomtricas codificadas con smbolos que denotan propiedades de las unidades figrales representadas), constituyen interpretantes del representamen el producto de la suma de dos nmeros por su diferencia que reenvan al mismo objeto dinmico (objeto matemtico), bajo algn aspecto, a travs objetos inmediatos diferentes entre s.

Registros semiticos Representacin semitica y

representacin auxiliar Transformaciones de las

representaciones semiticas

Sistema de representacin Signo (triada)

Semiosis

Enfoque semitico cognitivo y interpretativo

Enfoque semitico cognitivo y interpretativo

Representaciones semiticas y sus componentes icnicas, indexicales y simblicas

Transformaciones de las representaciones semiticas y formas de aprendizaje icnico, indexical y simblico

Capacidad para: representar el objeto O en un registro; tratar la representacin obtenida al interior del registro; convertir las representaciones de un registro a otro, uno

de los cuales sea el registro de la lengua natural (con toda su especificidad).

Aprendizaje de un objeto matemtico O

Modalidades de aprendizaje de un objeto matemticoAprendizaje icnico

cualitativo: la capacidad para usar representamen icnicos de tipo imagen, es decir, semejanzas o aspectos puramente superficiales, relacionados con la forma de las representaciones semiticas;

estructural: la capacidad para usar representamen icnicos de tipo diagrama, es decir, caractersticas o estructuras relacionales de las representaciones semiticas;

a travs de metforas: la capacidad para usar representamen icnicos de tipo metfora, es decir, paralelismos entre dos objetos (uno real, accesible a los sentidos, y el otro matemtico, no accesible a los sentidos) o situaciones diferentes.

Aprendizaje icnico

Por ejemplo: saber utilizar grficos, simetras de una figura, diagramas (incluyendo, entre los diagramas, las relaciones, ecuaciones, axiomas, teoremas, definiciones, descripciones, ...), las estructuras algebraicas, saber distinguir un objeto matemtico de una posible representacin relacionada con el lenguaje cotidiano o la experiencia sensible (en particular, distinguirla de los objetos concretos, herramientas, artefactos, ...).

Aprendizaje indexical la capacidad para usar representamen de tipo indice, gestos,

decticos lingsticos.

Por ejemplo: saber utilizar los signos de referencia a otra cosa, el dedo ndice o el lpiz para sealar algo, y las manos para resaltar ciertas propiedades de un grfico, los colores para resaltar partes de una figura, expresiones lingsticas para designar puntos, segmentos, ngulos, polgonos, curvas, funciones, ...

Aprendizaje simblico saber utilizar los aspectos convencionales de los signos o

representamen de tipo smbolo, incluidas las definiciones y las expresiones que denotan propiedades de los objetos matemticos.

Por ejemplo: saber utilizar la definicin del objeto matemtico funcin, el teorema de Pitgoras, los signos

en matemtica. , , AB, sin + ( ), ak

k=1

+

,

(Aprendizaje icnico, Aprendizaje indexical, Aprendizaje simblico)

Aprendizaje de un objeto matemtico

ax + bx + c = 0 a 0( ) y = mx + q

Ejemplo

Aprendizaje de la matemtica

Aspectos especficos (Fandio Pinilla, 2008): aprendizaje conceptual; aprendizaje algortmico; aprendizaje estratgico (ej.: la resolucin de problemas); aprendizaje comunicativo; aprendizaje semitico (ej.: gestin de las representaciones

y de las transformaciones de tratamiento y de conversin).

1. Saber cmo elegir el registro de representacin y la representacin en dicho registro.

2. Saber cmo transformar las representaciones, es decir, sabe cmo pasar de una representacin semitica a otra, a travs de los tratamientos o de las conversiones.

Qu significa decir que un estudiante ha aprendido o se ha construido cognitivamente un objeto matemtico?

A travs de los modalidades de aprendizaje del estudiante

(Aprendizaje icnico, Aprendizaje indexical, Aprendizaje simblico)

Cmo puede el docente distinguir el aprendizaje de un objeto matemtico desde el aprendizaje de s i m p l e s re g l a s d e t ra t a m i e n t o d e l a s representaciones del objeto en cuestin en un dado registro semitico?

Confusin semitica entre objeto matemtico y su representacin.

Aspectos ms problemticos: icnico cualitativos (escuela primaria) icnico-estructurales (escuela secundaria) (en la base

de los diagramas) relacionados con construccines y propiedades.

Qu aspectos de las representaciones semiticas son ms problemticos en el proceso de aprendizaje de los estudiantes?

La enseanza general de la matemtica ha llevado a considerar otros puntos de vista, adems del matemtico, para la organizacin de situaciones de aprendizaje. Por ejemplo, los relativos a los procesos de adquisicin de conocimientos, la motivacin de los estudiantes, o an la cuestin de la formacin del profesorado. De la misma manera, ha llevado a plantear preguntas sobre la misma naturaleza de la actividad y del pensamiento matemtico. Y es especialmente en este sentido que la importancia de un enfoque semitico se ha impuesto (DAmore, Fandio Pinilla, Iori, 2013).


La semitica ha tomado recientemente un auge importante en el campo de la educacin en general y de la educacin matemtica en particular. (...) De qu manera puede interesar la semitica al docente de matemtica y al matemtico mismo? (...)La semitica nos permite abordar igualmente los procesos de significacin en que se lanzan los estudiantes cuando tratan de comprender las formas de razonamiento matemtico histrico y culturalmente constituido (DAmore, Fandio Pinilla, Iori, 2013).


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Matemática y semiótica en el aula- Maura Iori