matematicamente indimostrabileClaudio Bernardi

Sapienza - Dipartimento di Matematica

che cosa fa un matematico?

calcoli, per esempio, 95247 3518, (a+b)9

a mano sono complicati, ma “so farli”esecuzione meccanica, senza sorprese(e se poi ho una calcolatrice ...)

molto più interessante: probleminumeri primi, come 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

quanti sono i numeri primi? Euclide: «esistono infiniti numeri primi»con un controllo diretto, non posso né verificare,

né confutare

2 3 5 7 11 13 + 1 = 30 03130 031 non è divisibile per 2, 3, 5, 7, 11, 13ha un “nuovo” fattore primo: 30 031 = 59 × 509

calcoli e problemisituazioni analoghe per uno studente:“calcola il valore di …”, “dimostra che …”

come si dimostrano le proprietà nell’insieme N dei numeri naturali 0, 1, 2, … (con le consuete operazioni)?

riportiamo la proprietà che stiamo esaminando a fatti noti

teoria assiomaticaaccettiamo proprietà di base, assiomi o postulatie, a partire dagli assiomi, dimostriamo i teoremi

fra le teorie assiomatiche per i numeri naturali,la più nota è l'aritmetica di Peano (PA)

x (0 ≠ x’) x y [x ≠ y x’ ≠ y’]x (x + 0 = x) x y [x + y’ = (x + y)’]x (x0 = 0) x y (xy’ = xy + x)H(0) x (H(x) H(x’)) x H(x)

gli assiomi, e di conseguenza anche i teoremi, esprimono fatti veri in Ndomanda cruciale: gli assiomi permettono di dimostrare tutto quello che è vero?

congettura di Goldbach: ogni numero pari maggiore di 2 è somma di due numeri primi

(4 = 2+2 12 = 5+7 22 = 3+19)se è vera, riuscirò a dimostrarla?

primo Teorema di Gödel (1931) Esiste almeno una formula G tale la mia teoria (es.: PA) non dimostra G, ma nemmeno ¬G.formula G indecidibile - teoria incompleta

due possibilità:- la formula G è vera in N e ¬G è falsa- la formula G è falsa in N e ¬G è verain ogni caso, esiste una formula che è vera in N ma non è un teorema

la teoria non dimostra tutto quello che vorrei;forse, la congettura di Goldbach è vera ma non dimostrabile

il primo teorema di Gödel si dimostra costruendo una formula G tale che

G ¬ Theor (G)G è una formula che, in un certo senso, dice«non esiste una dimostrazione di G»

attenzione: il I teorema di Gödel vale solo se la teoria è coerente (o non contraddittoria)se dagli assiomi della teoria si potesse dedurre una contraddizione, allora ogni formula sarebbe un teorema

gli assiomi di PA sono contraddittori??

la teoria è non contraddittoria se non c’è una dimostrazione di 2+2 = 5¬Theor (2+2 = 5) questa formula esprime la coerenza (non contraddittorietà) della teoria

secondo Teorema di Gödelnella teoria (in PA) la formula ¬ Theor (2+2 = 5) non si può dimostrare

diamo “un’occhiata” a parte della dimostrazione|–  Theor (G) Theor (Theor (G))|–  Theor (G) Theor (¬ G) per le proprietà di G|–  Theor (G) Theor (¬ G) Theor (G)|–  Theor (G) Theor (2+2 = 5) perché ¬ G G equivale a 2+2 = 5|–  ¬ Theor (2+2 = 5) ¬ Theor (G) contronominale|–  ¬ Theor (2+2 = 5) G per le proprietà di G

una conseguenza importante

non c’è (non ci può essere) un procedimento generale di decisioneper i problemi matematici(differenza fra calcoli e problemi)

nessuno potrà mai realizzare un softwareche risponda a ogni domanda del tipo«è vera la congettura di Goldbach?»

abbiamo una “ragionevole fiducia” che la teoria PA sia non contraddittoriaci sono dimostrazioni, che non si possono tradurre nella teoria stessa

dopo i Teoremi di Gödel,morte della logica?perdita della certezza matematica?

NO, anzi