MATEMATICAS B ASICAS - ciencias.bogota.unal.edu.cociencias.bogota.unal.edu.co/.../2015-1/Tema_13-Trigonometria.pdf · MATEMATICAS B ASICAS Autoras: Margarita Ospina Pulido Jeanneth

MATEMATICAS BASICAS

Autoras: Margarita Ospina PulidoJeanneth Galeano Penaloza

Edicion: Oscar Guillermo Riano

Universidad Nacional de ColombiaDepartamento de Matematicas

Sede Bogota

Enero de 2015

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Trigonometrıa 1 / 1

Parte I

Trigonometrıa


Razones trigonometricas

Considere los triangulos rectangulos

4ABC y 4MNR, con todos susangulos congruentes.

A B

C

a

c

b

M N

R

m

r

n

Entonces 4ABC ∼ 4MNR, por lo tanto

a

m=

b

n=

c

r.



Considere los triangulos rectangulos 4ABC

y 4MNR, con todos susangulos congruentes.

A B

C

a

c

b

M N

R

m

r

n


a

m=

b

n=

c

r.



Considere los triangulos rectangulos 4ABC y 4MNR,

con todos susangulos congruentes.

A B

C

a

c

b

M N

R

m

r

n


a

m=

b

n=

c

r.



Considere los triangulos rectangulos 4ABC y 4MNR, con todos susangulos congruentes.

A B

C

a

c

b

M N

R

m

r

n


a

m=

b

n=

c

r.




A B

C

a

c

b

M N

R

m

r

n

Entonces 4ABC ∼ 4MNR,

por lo tanto

a

m=

b

n=

c

r.




A B

C

a

c

b

M N

R

m

r

n


a

m=

b

n=

c

r.



A B

C

a

c

b

M N

R

m

r

n

De lo cual se deduce que

a

b=

m

n,

c

b=

r

n,

a

c=

m

r.

Por lo tanto las razones ab , c

b , ac NO dependen del tamano del triangulo.



A B

C

a

c

b

M N

R

m

r

n


a

b=

m

n,

c

b=

r

n,

a

c=

m

r.





A B

C

a

c

b

M N

R

m

r

n


a

b=

m

n,

c

b=

r

n,

a

c=

m

r.





A B

C

a

c

b

M N

R

m

r

n


a

b=

m

n,

c

b=

r

n,

a

c=

m

r.





A B

C

a

c

b

M N

R

m

r

n


a

b=

m

n,

c

b=

r

n,

a

c=

m

r.





Considerando el triangulo rectangulo 4ABC , se definen las razonestrigonometricas del angulo A como

senA =cateto opuesto

hipotenusacosA =

cateto adyacente

hipotenusa

tanA =cateto opuesto

cateto adyacentecotA =

cateto adyacente

cateto opuesto

secA =hipotenusa

cateto adyacentecscA =

hipotenusa

cateto opuesto





hipotenusa

cosA =cateto adyacente

hipotenusa



cateto adyacente

cateto opuesto

secA =hipotenusa


hipotenusa

cateto opuesto





hipotenusacosA =

cateto adyacente

hipotenusa



cateto adyacente

cateto opuesto

secA =hipotenusa


hipotenusa

cateto opuesto





hipotenusacosA =

cateto adyacente

hipotenusa


cateto adyacente

cotA =cateto adyacente

cateto opuesto

secA =hipotenusa


hipotenusa

cateto opuesto





hipotenusacosA =

cateto adyacente

hipotenusa



cateto adyacente

cateto opuesto

secA =hipotenusa


hipotenusa

cateto opuesto





hipotenusacosA =

cateto adyacente

hipotenusa



cateto adyacente

cateto opuesto

secA =hipotenusa

cateto adyacente

cscA =hipotenusa

cateto opuesto





hipotenusacosA =

cateto adyacente

hipotenusa



cateto adyacente

cateto opuesto

secA =hipotenusa


hipotenusa

cateto opuesto



Ejercicio

Demuestre que

sen2 A + cos2 A = 1

tanA = senAcosA

tan2 A + 1 = sec2 A



En un triangulo rectangulo isoceles los angulos agudos deben sercongruentes, luego cada uno mide 45◦.

Si tomamos como longitud de loscatetos 1, el valor de la hipotenusa es

√2.

45◦

45◦

1

1

√2

Las razones trigonometricas son:

sen 45◦ = cos 45◦ =√

22

tan 45◦ = cot 45◦ = 1

sec 45◦ = csc 45◦ =√

2



En un triangulo rectangulo isoceles los angulos agudos deben sercongruentes, luego cada uno mide 45◦. Si tomamos como longitud de loscatetos 1, el valor de la hipotenusa es

√2.

45◦

45◦

1

1

√2


sen 45◦ = cos 45◦ =√

22

tan 45◦ = cot 45◦ = 1

sec 45◦ = csc 45◦ =√

2




√2.

45◦

45◦

1

1

√2


sen 45◦ = cos 45◦ =√

22

tan 45◦ = cot 45◦ = 1

sec 45◦ = csc 45◦ =√

2




√2.

45◦

45◦

1

1

√2


sen 45◦ = cos 45◦ =√

22

tan 45◦ = cot 45◦ = 1

sec 45◦ = csc 45◦ =√

2




√2.

45◦

45◦

1

1

√2


sen 45◦ = cos 45◦ =√

22

tan 45◦ = cot 45◦ = 1

sec 45◦ = csc 45◦ =√

2




√2.

45◦

45◦

1

1

√2


sen 45◦ = cos 45◦ =√

22

tan 45◦ = cot 45◦ = 1

sec 45◦ = csc 45◦ =√

2



Considere el triangulo equilatero de lados de longitud 2, al trazar su alturase divide en dos triangulos rectangulos.

Sus angulos agudos miden 30◦ y60◦ y los catetos 1 y

√3

2 2

1

√3

30◦

60◦60◦


sen 30◦ = cos 60◦ = 12

sen 60◦ = cos 30◦ =√

32

tan 30◦ = cot 60◦ =√

33

tan 60◦ = cot 30◦ =√

3



Considere el triangulo equilatero de lados de longitud 2, al trazar su alturase divide en dos triangulos rectangulos.

Sus angulos agudos miden 30◦ y60◦ y los catetos 1 y

√3

2 2

1

√3

30◦

60◦60◦


sen 30◦ = cos 60◦ = 12

sen 60◦ = cos 30◦ =√

32

tan 30◦ = cot 60◦ =√

33

tan 60◦ = cot 30◦ =√

3



Considere el triangulo equilatero de lados de longitud 2, al trazar su alturase divide en dos triangulos rectangulos. Sus angulos agudos miden 30◦ y60◦ y los catetos 1 y

√3

2 2

1

√3

30◦

60◦60◦


sen 30◦ = cos 60◦ = 12

sen 60◦ = cos 30◦ =√

32

tan 30◦ = cot 60◦ =√

33

tan 60◦ = cot 30◦ =√

3




√3

2 2

1

√3

30◦

60◦60◦


sen 30◦ = cos 60◦ = 12

sen 60◦ = cos 30◦ =√

32

tan 30◦ = cot 60◦ =√

33

tan 60◦ = cot 30◦ =√

3




√3

2 2

1

√3

30◦

60◦60◦


sen 30◦ = cos 60◦ = 12

sen 60◦ = cos 30◦ =√

32

tan 30◦ = cot 60◦ =√

33

tan 60◦ = cot 30◦ =√

3




√3

2 2

1

√3

30◦

60◦60◦


sen 30◦ = cos 60◦ = 12

sen 60◦ = cos 30◦ =√

32

tan 30◦ = cot 60◦ =√

33

tan 60◦ = cot 30◦ =√

3




√3

2 2

1

√3

30◦

60◦60◦


sen 30◦ = cos 60◦ = 12

sen 60◦ = cos 30◦ =√

32

tan 30◦ = cot 60◦ =√

33

tan 60◦ = cot 30◦ =√

3




√3

2 2

1

√3

30◦

60◦60◦


sen 30◦ = cos 60◦ = 12

sen 60◦ = cos 30◦ =√

32

tan 30◦ = cot 60◦ =√

33

tan 60◦ = cot 30◦ =√

3



Ejercicio

Encuentre las demas razones trigonometricas.


Resolucion de triangulos rectangulos

En un triangulo rectangulo podemos desconocer las longitudes de algunosde sus lados o la medida de sus angulos, resolver el triangulo es encontrarla medida de todos sus lados y todos sus angulos.

Se utiliza el teorema de Pitagoras y los valores de las“funciones”trigonometricas de angulos de 0◦ a 90◦ que conocemos, o quepueden ser halladas usando una calculadora.


Resolucion de triangulos rectangulos

En un triangulo rectangulo podemos desconocer las longitudes de algunosde sus lados o la medida de sus angulos, resolver el triangulo es encontrarla medida de todos sus lados y todos sus angulos.

Se utiliza el teorema de Pitagoras y los valores de las“funciones”trigonometricas de angulos de 0◦ a 90◦ que conocemos, o quepueden ser halladas usando una calculadora.


Ejemplo 1

Consideremos el siguiente triangulo

A

B

C

a

b

12

30◦

Claramente ]B mide 60◦. Por lo tanto

sen 30◦ = a12 , luego

a = 12 sen 30◦ = 12(

12

)= 6

cos 30◦ = b12 , luego

b = 12 cos 30◦ = 12(√

32

)= 6√

3


Ejemplo 1


A

B

C

a

b

12

30◦



a = 12 sen 30◦ = 12(

12

)= 6


b = 12 cos 30◦ = 12(√

32

)= 6√

3


Ejemplo 1


A

B

C

a

b

12

30◦



a = 12 sen 30◦ = 12(

12

)= 6


b = 12 cos 30◦ = 12(√

32

)= 6√

3


Ejemplo 1


A

B

C

a

b

12

30◦


sen 30◦ = a12 ,

luego

a = 12 sen 30◦ = 12(

12

)= 6


b = 12 cos 30◦ = 12(√

32

)= 6√

3


Ejemplo 1


A

B

C

a

b

12

30◦



a = 12 sen 30◦ = 12(

12

)= 6


b = 12 cos 30◦ = 12(√

32

)= 6√

3


Ejemplo 1


A

B

C

a

b

12

30◦



a = 12 sen 30◦ = 12(

12

)= 6

cos 30◦ = b12 ,

luego

b = 12 cos 30◦ = 12(√

32

)= 6√

3


Ejemplo 1


A

B

C

a

b

12

30◦



a = 12 sen 30◦ = 12(

12

)= 6


b = 12 cos 30◦ = 12(√

32

)= 6√

3


Ejercicio 1

Expresar x y y en terminos de las razones trigonometricas de θ.

y

x

28

θ


Ejercicio 2

Un arbol proyecta una sombra de 6 metros cuando el sol tiene unainclinacion de 60◦, ¿cual es la altura del arbol?


Ejercicio 3

Una escalera de 8 metros se apoya en un edificio formando con el suelo unangulo de 70◦, ¿que altura alcanza? ¿A que distancia del edificio esta subase?


Resolucion de triangulos

Para resolver cualquier triangulo, no necesariamente rectangulo, contamoscon los siguientes dos teoremas:



Ley del seno

En cualquier triangulo ABC con lados a, b, c

A B

C

a

c

b

se cumple que

senA

a=

senB

b=

senC

c



Ley del seno

En cualquier triangulo ABC con lados a, b, c

A B

C

a

c

b

se cumple que

senA

a=

senB

b=

senC

c



Ejercicio

En la figura se desea conocer la longitud del segmento BA. Dado queC = 112, 90◦, A = 31, 10◦ y b = 347, 6 pies.

B C

A

112, 90◦

31, 10◦

b = 347, 6



Ley de coseno

En cualquier triangulo ABC con lados a, b y c

A B

C

a

c

b

se tiene

a2 = b2 + c2 − 2bc cosA

b2 = a2 + c2 − 2ac cosB

c2 = a2 + b2 − 2ab cosC



Ley de coseno


A B

C

a

c

b

se tiene

a2 = b2 + c2 − 2bc cosA

b2 = a2 + c2 − 2ac cosB

c2 = a2 + b2 − 2ab cosC



Ley de coseno


A B

C

a

c

b

se tiene

a2 = b2 + c2 − 2bc cosA

b2 = a2 + c2 − 2ac cosB

c2 = a2 + b2 − 2ab cosC



Ley de coseno


A B

C

a

c

b

se tiene

a2 = b2 + c2 − 2bc cosA

b2 = a2 + c2 − 2ac cosB

c2 = a2 + b2 − 2ab cosC



Ejercicio

Resuelva el triangulo ABC si A = 42, 3◦, b = 12, 9 metros y c = 15, 4metros.

B

C

A42, 3◦

b = 12, 9m

c = 15, 4m


Radian

Un radian es la medida de un angulo central que subtiende un arco delongitud r en una circunferencia de radio r .

r


Radian

Observacion

Puesto que la longitud de una circunferencia de radio r es 2πr se tiene que

2πradianes = 360◦

A menudo se acostumbra a omitir la palabra radianes y se escribesimplemente

2π = 360◦


Radian

Observacion




2π = 360◦


Radian

Observacion




2π = 360◦


Radian

Observacion




2π = 360◦


Radian

Ejercicio

Expresar en radianes cada uno de los siguientes angulos 0◦, 45◦, 30◦,90◦, 135◦, 210◦

Expresar en grados cada uno de los siguientes angulos: π3 , 5π

4 , 5π6 , 3π

2 ,11π

4 , 11π6


Funciones Trigonometricas

Las funciones trigonometricas se definen usando la circunferencia unitaria

C1 ={

(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}

y la recta

R ={

(1, t) ∈ R2 : t ∈ R}

como sigue:



Las funciones trigonometricas se definen usando la circunferencia unitaria

C1 ={

(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}

y la recta

R ={

(1, t) ∈ R2 : t ∈ R}

como sigue:



Si t es un numero real y P(x , y) es el punto, en la circunferencia unitariaC1, sobre el cual cae el punto (1, t) despues de enrollar el segmento derecta (1, 0)(1, t) sobre C1, manteniendo fijo el punto (1, 0).

y

x

P•

(1, t)•

(1, 0)•

Ry

x

Entonces:

cos(t) = x

sen(t) = y



Si t es un numero real y P(x , y) es el punto, en la circunferencia unitariaC1, sobre el cual cae el punto (1, t) despues de enrollar el segmento derecta (1, 0)(1, t) sobre C1, manteniendo fijo el punto (1, 0).

y

x

P•

(1, t)•

(1, 0)•

Ry

x

Entonces:

cos(t) = x

sen(t) = y



En el caso en que t sea negativo el punto P(x , y) se obtiene como seilustra en la siguiente grafica.

y

x

P•

(1, t)•

(1, 0)•

Ry

x



En el caso en que t sea negativo el punto P(x , y) se obtiene como seilustra en la siguiente grafica.

y

x

P•

(1, t)•

(1, 0)•

Ry

x



Podemos observar que

−1 ≤ cos(t) ≤ 1

−1 ≤ sen(t) ≤ 1


Identidades Trigonometricas

Ademas, tenemos la identidad fundamental

cos2(t) + sen2(t) = 1.

De la cual se deducen:

1 + tan2(t) = sec2(t).

cot2(t) + 1 = csc2(t).




cos2(t) + sen2(t) = 1.


1 + tan2(t) = sec2(t).

cot2(t) + 1 = csc2(t).




cos2(t) + sen2(t) = 1.


1 + tan2(t) = sec2(t).

cot2(t) + 1 = csc2(t).




cos2(t) + sen2(t) = 1.


1 + tan2(t) = sec2(t).

cot2(t) + 1 = csc2(t).



Tambien tenemos las formulas de adicion y sustraccion

sen(r + t) = sen r cos t + cos r sen t

sen(r − t) = sen r cos t − cos r sen t

cos(r + t) = cos r cos t − sen r sen t

cos(r − t) = cos r cos t + sen r sen t

De manera resumida

sen(r ± t) = sen r cos t ± cos r sen t

cos(r ± t) = cos r cos t ∓ sen r sen t

Se obtienen las identidades para angulos dobles

sen 2t = 2 sen t cos t

cos 2t = cos2 t − sen2 t = 2 cos2 t − 1








De manera resumida













De manera resumida













De manera resumida













De manera resumida













De manera resumida













De manera resumida













De manera resumida








Aun mas:

Si 0 < t < π2 entonces cos t > 0 y sen t > 0.

Si π2 < t < π entonces cos t < 0 y sen t > 0

Si π < t < 3π2 entonces cos t < 0 y sen t < 0.

Si 3π2 < t < 2π entonces cos t > 0 y sen t < 0.

|1 x

y

••

• •



Aun mas:





|1 x

y

•

•

• •



Aun mas:





|1 x

y

•

•

• •



Aun mas:





|1 x

y

••

•

•



Aun mas:





|1 x

y

••

•

•



Ejercicio

Escriba el valor de sen(t) y cos(t) para t = 0; π2 ; π; 3π

2 ; 2π.

Encuentre el valor de sen t y cos t parat = 5π

6 ; 5π4 ; 11π

6 ; 3π4 ; 7π

4 ;. 2π3 ; 4π

3 ; 7π6 ; 5π

3 .



Como ademas, cada vez que se da una vuelta a la circunferencia se vuelvesobre los mismos puntos, los valores de las funciones trigonometricas serepiten y tenemos:

sen t = sen(t + 2π) y cos t = cos(t + 2π)

en general:

sen t = sen(t + 2kπ) y cos t = cos(t + 2kπ) para todo k entero.



Como ademas, cada vez que se da una vuelta a la circunferencia se vuelvesobre los mismos puntos, los valores de las funciones trigonometricas serepiten y tenemos:

sen t = sen(t + 2π) y cos t = cos(t + 2π)

en general:

sen t = sen(t + 2kπ) y cos t = cos(t + 2kπ) para todo k entero.


Funcion Periodica

Definicion

Una funcion se dice periodica, de perıodo a, si a es el menor realpositivo para el que se cumple:

Si x esta en el dominio de f entonces x + a tambien esta en el dominio def y ademas f (x) = f (x + a).

Ejemplo

Las funciones seno y coseno son funciones periodicas de perıodo 2π.


Funcion Periodica

Definicion



Ejemplo



Funcion Periodica

Definicion



Ejemplo



y = sen x

−2π−3π2−π −π

2π2

π 3π2

2π

−1

1

x

y

y = sen(x)


y = cos x

−2π−3π2−π −π

2π2

π 3π2

2π

−1

1

x

y

y = cos(x)


Amplitud y desplazamiento de fase

Si y = a sen(bx + c), o y = a cos(bx + c) para numeros reales a, b y cdiferentes de cero, entonces

La amplitud es |a|, el perıodo es 2π|b| y el desplazamiento de fase es

− cb .

Se puede encontrar un intervalo que contenga exactamente un cicloresolviendo la desigualdad

0 ≤ bx + c ≤ 2π.





− cb .


0 ≤ bx + c ≤ 2π.





− cb .


0 ≤ bx + c ≤ 2π.


Graficas

Ejercicio

Trace la grafica de las siguientes funciones, encuentre dominio, rango,amplitud y desplazamiento de fase.

1 y = sen x + 2

2 y = 4− cos x

3 y = |cos 4x |4 y = 2 sen(x − π

4 )

5 y = |1− 3 sen(2x − π)|



A partir de las funciones seno y coseno definimos las otras:

tan(t) =sen(t)

cos(t)sec(t) =

1

cos(t)

cot(t) =cos(t)

sen(t)csc(t) =

1

sen(t)




tan(t) =sen(t)

cos(t)

sec(t) =1

cos(t)

cot(t) =cos(t)

sen(t)csc(t) =

1

sen(t)




tan(t) =sen(t)

cos(t)

sec(t) =1

cos(t)

cot(t) =cos(t)

sen(t)

csc(t) =1

sen(t)




tan(t) =sen(t)

cos(t)sec(t) =

1

cos(t)

cot(t) =cos(t)

sen(t)

csc(t) =1

sen(t)




tan(t) =sen(t)

cos(t)sec(t) =

1

cos(t)

cot(t) =cos(t)

sen(t)csc(t) =

1

sen(t)


Ejercicios

Encontrar dominio y rango de estas funciones trigonometricas.


y = tan x

−2π −3π2−π −π

2π2

π 3π2

2π

−2

−1

1

2

x

y

y = tan(x)


y = cot x

−2π −3π2−π −π

2π2

π 3π2

2π

−2

−1

1

2

x

y

y = cot(x)


y = sec x

−2π−3π2−π −π

2π2

π 3π2

2π

−3

−1

1

3

x

y

y = sec(x)


y = csc x

−2π−3π2−π −π

2π2

π 3π2

2π

−3

−1

1

3

x

y

y = csc(x)


Ecuaciones

Ejemplo

Encuentre todas las soluciones de la ecuacion

4 cos t − 2 = 0.

Solucion

4 cos t = 2

cos t =1

2

t =π

3,

5π

3,

7π

3, . . .

t =π

3+ 2kπ,

5π

3+ 2kπ, k ∈ Z


Ecuaciones

Ejemplo


4 cos t − 2 = 0.

Solucion

4 cos t = 2

cos t =1

2

t =π

3,

5π

3,

7π

3, . . .

t =π

3+ 2kπ,

5π

3+ 2kπ, k ∈ Z


Ecuaciones

Ejemplo


4 cos t − 2 = 0.

Solucion

4 cos t = 2

cos t =1

2

t =π

3,

5π

3,

7π

3, . . .

t =π

3+ 2kπ,

5π

3+ 2kπ, k ∈ Z


Ecuaciones

Ejemplo


4 cos t − 2 = 0.

Solucion

4 cos t = 2

cos t =1

2

t =π

3,

5π

3,

7π

3, . . .

t =π

3+ 2kπ,

5π

3+ 2kπ, k ∈ Z


Ecuaciones

Ejemplo


4 cos t − 2 = 0.

Solucion

4 cos t = 2

cos t =1

2

t =π

3,

5π

3,

7π

3, . . .

t =π

3+ 2kπ,

5π

3+ 2kπ, k ∈ Z


Ecuaciones

Ejemplo


√3 + 2 senβ = 0.

Solucion

2 senβ = −√

3

senβ = −√

3

2

β =4π

3,

5π

3,

10π

3,

11π

3, . . .

β =4π

3+ 2kπ,

5π

3+ 2kπ, k ∈ Z


Ecuaciones

Ejemplo


√3 + 2 senβ = 0.

Solucion

2 senβ = −√

3

senβ = −√

3

2

β =4π

3,

5π

3,

10π

3,

11π

3, . . .

β =4π

3+ 2kπ,

5π

3+ 2kπ, k ∈ Z


Ecuaciones

Ejemplo


√3 + 2 senβ = 0.

Solucion

2 senβ = −√

3

senβ = −√

3

2

β =4π

3,

5π

3,

10π

3,

11π

3, . . .

β =4π

3+ 2kπ,

5π

3+ 2kπ, k ∈ Z


Ecuaciones

Ejemplo


√3 + 2 senβ = 0.

Solucion

2 senβ = −√

3

senβ = −√

3

2

β =4π

3,

5π

3,

10π

3,

11π

3, . . .

β =4π

3+ 2kπ,

5π

3+ 2kπ, k ∈ Z


Ecuaciones

Ejemplo


√3 + 2 senβ = 0.

Solucion

2 senβ = −√

3

senβ = −√

3

2

β =4π

3,

5π

3,

10π

3,

11π

3, . . .

β =4π

3+ 2kπ,

5π

3+ 2kπ, k ∈ Z


Ecuaciones

Ejemplo

Encuentre todas las soluciones en el intervalo [0, 2π]

2− 8 cos2 t = 0

cos2 t =1

4

cos t = ±1

2

t =π

3, t =

2π

3, t =

4π

3, t =

5π

3


Ecuaciones

Ejemplo


2− 8 cos2 t = 0

cos2 t =1

4

cos t = ±1

2

t =π

3, t =

2π

3, t =

4π

3, t =

5π

3


Ecuaciones

Ejemplo


2− 8 cos2 t = 0

cos2 t =1

4

cos t = ±1

2

t =π

3, t =

2π

3, t =

4π

3, t =

5π

3


Ecuaciones

Ejemplo


2− 8 cos2 t = 0

cos2 t =1

4

cos t = ±1

2

t =π

3, t =

2π

3, t =

4π

3, t =

5π

3


Ecuaciones

Ejemplo


2− 8 cos2 t = 0

cos2 t =1

4

cos t = ±1

2

t =π

3, t =

2π

3, t =

4π

3, t =

5π

3


Ecuaciones

Ejemplo


sen x − cos x = 0

sen x = cos x

x =π

4, x =

5π

4


Ecuaciones

Ejemplo


sen x − cos x = 0

sen x = cos x

x =π

4, x =

5π

4


Ecuaciones

Ejemplo


sen x − cos x = 0

sen x = cos x

x =π

4, x =

5π

4


Ecuaciones

Ejemplo


sen x − cos x = 0

sen x = cos x

x =π

4, x =

5π

4


Ecuaciones

Ejemplo

Encuentre todas las soluciones de la ecuacion sen 2x(csc 2x − 2) = 0 en elintervalo [0, 2π].

sen 2x(csc 2x − 2) = 0

entoncessen 2x = 0 ∨ csc 2x − 2 = 0

i) Para sen 2x = 0, tenemos:

2x = 0, 2x = π, 2x = 2π, 2x = 3π, 2x = 4π

Luego

x = 0, x =π

2, x = π, x =

3π

2, x = 2π


Ecuaciones

Ejemplo


sen 2x(csc 2x − 2) = 0

entonces

sen 2x = 0 ∨ csc 2x − 2 = 0


2x = 0, 2x = π, 2x = 2π, 2x = 3π, 2x = 4π

Luego

x = 0, x =π

2, x = π, x =

3π

2, x = 2π


Ecuaciones

Ejemplo


sen 2x(csc 2x − 2) = 0



2x = 0, 2x = π, 2x = 2π, 2x = 3π, 2x = 4π

Luego

x = 0, x =π

2, x = π, x =

3π

2, x = 2π


Ecuaciones

Ejemplo


sen 2x(csc 2x − 2) = 0



2x = 0, 2x = π, 2x = 2π, 2x = 3π, 2x = 4π

Luego

x = 0, x =π

2, x = π, x =

3π

2, x = 2π


Ecuaciones

Ejemplo


sen 2x(csc 2x − 2) = 0



2x = 0, 2x = π, 2x = 2π, 2x = 3π, 2x = 4π

Luego

x = 0, x =π

2, x = π, x =

3π

2, x = 2π


Ecuaciones

Ejemplo


sen 2x(csc 2x − 2) = 0



2x = 0, 2x = π, 2x = 2π, 2x = 3π, 2x = 4π

Luego

x = 0, x =π

2, x = π, x =

3π

2, x = 2π


Ecuaciones

Ejemplo (Continuacion)

ii) Para csc 2x − 2 = 0, despejando se tendra

csc 2x = 2

sen 2x =1

2

Por lo tanto

2x =π

6, 2x =

5π

6, 2x =

13π

6, 2x =

17π

6

y ası

x =π

12, x =

5π

12, x =

13π

12, x =

17π

12


Ecuaciones



csc 2x = 2

sen 2x =1

2

Por lo tanto

2x =π

6, 2x =

5π

6, 2x =

13π

6, 2x =

17π

6

y ası

x =π

12, x =

5π

12, x =

13π

12, x =

17π

12


Ecuaciones



csc 2x = 2

sen 2x =1

2

Por lo tanto

2x =π

6, 2x =

5π

6, 2x =

13π

6, 2x =

17π

6

y ası

x =π

12, x =

5π

12, x =

13π

12, x =

17π

12


Ecuaciones



csc 2x = 2

sen 2x =1

2

Por lo tanto

2x =π

6, 2x =

5π

6, 2x =

13π

6, 2x =

17π

6

y ası

x =π

12, x =

5π

12, x =

13π

12, x =

17π

12


Ecuaciones



csc 2x = 2

sen 2x =1

2

Por lo tanto

2x =π

6, 2x =

5π

6, 2x =

13π

6, 2x =

17π

6

y ası

x =π

12, x =

5π

12, x =

13π

12, x =

17π

12


Ecuaciones


Tenemos

sen 2x(csc 2x − 2) = 0 , es decir

sen 2x

(1

sen 2x− 2

)= 0

Hemos obtenido

i) sen 2x = 0

x = 0, x = π2 , x = π, x = 3π

2 ,x = 2π

Pero estas soluciones no satisfacen laecuacion original.

ii) (csc 2x − 2) = 0

x = π12 , x = 5π

12 , x = 13π12 ,

x = 17π12


Ecuaciones


Tenemos


sen 2x

(1

sen 2x− 2

)= 0

Hemos obtenido

i) sen 2x = 0

x = 0, x = π2 , x = π, x = 3π

2 ,x = 2π


ii) (csc 2x − 2) = 0

x = π12 , x = 5π

12 , x = 13π12 ,

x = 17π12


Ecuaciones


Tenemos


sen 2x

(1

sen 2x− 2

)= 0

Hemos obtenido

i) sen 2x = 0

x = 0, x = π2 , x = π, x = 3π

2 ,x = 2π


ii) (csc 2x − 2) = 0

x = π12 , x = 5π

12 , x = 13π12 ,

x = 17π12


Ecuaciones


Tenemos


sen 2x

(1

sen 2x− 2

)= 0

Hemos obtenido

i) sen 2x = 0

x = 0, x = π2 , x = π, x = 3π

2 ,x = 2π


ii) (csc 2x − 2) = 0

x = π12 , x = 5π

12 , x = 13π12 ,

x = 17π12


Ecuaciones


Tenemos


sen 2x

(1

sen 2x− 2

)= 0

Hemos obtenido

i) sen 2x = 0

x = 0, x = π2 , x = π, x = 3π

2 ,x = 2π


ii) (csc 2x − 2) = 0

x = π12 , x = 5π

12 , x = 13π12 ,

x = 17π12


Ecuaciones


Luego las soluciones de la ecuacion son

x =π

12, x =

5π

12, x =

13π

12, x =

17π

12


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MATEMATICAS B ASICAS - ciencias.bogota.unal.edu.cociencias.bogota.unal.edu.co/.../2015-1/Tema_13-Trigonometria.pdf · MATEMATICAS B ASICAS Autoras: Margarita Ospina Pulido Jeanneth